高中数学第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选修1_1

(1)当 Δt＝1 时， v ＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当 Δt＝0.1 时， v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)
(3)当 Δt＝0.01 时， v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
120 120 ＋15－ －15 ΔT T10－T0 15 5 解 ＝ ＝ 10 10 Δt ＝－1.6 ℃/min.
(2)当 V 从 1 L 增加到 2 L 时， 气球半径增加了 r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了.
[预习导引] 1.函数的变化率的定义 已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令 Δx＝x－x0； Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).
要点一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2； ②1；③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
Δy ∴ ＝－4.9Δx－3.3. Δx
Δy ①当 Δx＝2 时， ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； Δx Δy ②当 Δx＝1 时， ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； Δx
化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
要点二 求物体运动的平均速度
以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关系 1 2 为：s(t)＝v0t－ gt . 2 例2 (1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0＋Δt 这段时间的平均速度 v ；
解
由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.
Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0) 1 1 2 2 ＝v0(t0＋Δt)－ g(t0＋Δt) －v0t0＋ gt0 2 2
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气 如何描述这种现象呢？
球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，
答：气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L) 之间的函数关系 3 3V 是 r(V)＝ 4π ，
(1)当 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r1－r0 1－0 r2－r1 2－1 ≈0.62(dm/L).
1 v ＝v0－10g－ ×g×0.4＝v0－10.2g. 2
规律方法
已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位
移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根 据平均速度的意义可知就是求这个函数在 [t0，t0＋Δt]内的平
均变化率.
跟踪演练2
动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t
Δy ③当 Δx＝0.1 时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； Δx Δy ④当 Δx＝0.01 时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. Δx
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx] 上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解
当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率
逐渐变大，并接近于－3.3.
规律方法
求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)再计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
Δy fx2－fx1 (3)得平均变化率 ＝ . Δx x2－x1
跟踪演练1
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均
表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt
时间段内动点的平均速度，其中
(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.
解
动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为
1020＋Δt＋520＋Δt2－10×20－5×202 v＝ Δt 210Δt＋5Δt2 ＝ ＝5Δt＋210， Δt
1 ＝Δtv0－gt0·Δt－ g(Δt)2. 2
1 Δtv0－gt0·Δt－ gΔt2 Δs 2 1 v＝ ＝ ＝v0－gt0－ gΔt. 2 Δt Δt
(2)求物体在t＝10 s到10.4 s这段时间的平均速度.
解
当t0＝10 s时，Δt＝0.4 s，
则物体在t＝10 s到10.4 s这段时间的平均速度
变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
fx0＋Δx－fx0
[3x0＋Δx2＋2]－3x2 0＋2 ＝ Δx x0＋Δx－x0
6x0·Δx＋3Δx2 ＝ ＝6x0＋3Δx. Δx
当 x0 ＝ 2 ， Δx ＝ 0.1 时，函数 y ＝ 3x2 ＋ 2 在区间 [2,2.1] 上的平均变
∴从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min.
(2)体温T(t)对时间t的变化率.
解 设时间的增量为 Δt，则体温 T(t)的改变量为 ＋15－ －15 t＋Δt＋5 t＋5 120 120
fx0＋Δx－fx0 Δy 则当 Δx≠0，比值 ＝ Δx Δx
叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.
2.平均变化率的计算过程
自变量的改变量Δx＝x2 －x1 ↓ 函数值的改变量 Δy＝y2 －y1 ＝f x2 －f x1 ＝fx1 ＋Δx－fx1 ↓ Δy y2 －y1 f x2 －f x1 f x1 ＋Δx－f x1 ＝ ＝ ＝ Δx x2 －x1 Δx x2 －x1
第三章——
3.1 导 数
3.1.1 函数的平均变化率的意义. 2.会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率. 3.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实