相似图形的性质(2)
3.3相似图形的性质
（2） ∵ ∴
a 2 2 5 c 2 15 2 5 = = ， = = ， b 5 d 5 5 5 3
a c = Leabharlann b d让学生讨论证明结 论
∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段． 对于成比例线段我们有下面的结论：
a c 如果 = ，那么 ad＝bc． ＝ ． b d
，那么 如果 ad＝bc（a、b、c、d 都不等于 0） 那么 ＝ （ 、 、 、 ） ， 以上结论称为比例的基本性质．
a c = ． b d
例2的证明有一定 的难度，需要利用 等式的基本性质进 行变换。可以先让 学生讨论证明方 法，教师再归纳总 结。
a c a+b c+d = ，那么 = ； b d b d a c a c （2） 如果 = ，那么 = ． b d a−b c−d a c 证明（1）∵ = ， b d 例2
_______________．
过
程
设
图 24.2.1
概括
计
像这样，对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的 长度的比等于另外两条线段的比，如
a c = （或 a∶b＝c∶ b d
d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段 成比例线段，简称比例线段 成比例线段 （proportional segments） ．此时也称这四条线段成比例．
课题：相似图形的性质 课题 相似图形的性质
课 时 教学目标 课时） （总 2 课时）第 2 课时 1．经历对相似图形进行观察、分析、动手操作、画图、测量和计算等过程，得 出相似图形的性质． 2．能够按照要求作出简单平面图形的相似图形． 理解相似图形的基本性质，认识相似图形，正确找出相似图形的对应顶点、 对应角与对应边． 运用作图的步骤，正确运用作图语言，综合运用变换解决有关问题． 教学难点 教学方法 教学教具 分组分享教学法 三角板—副 内 一.试一试 教 由下面的格点图可知， 容 设计意图
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似和全等是几何学中常用的概念，用来描述图形之间的关系。
在本文中，我们将讨论图形的相似性和全等性，并且探讨它们之间的区别以及它们在几何学中的应用。
一、相似性相似性是指两个图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个相似的图形有着相同的形状和对应的角度，但是它们的大小可能不一样。
相似性可以通过比较两个图形的边长比例来判断。
如果两个图形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
例如，在三角形中，如果两个三角形的对应边长的比例相等，则它们是相似的。
相似三角形的各个角度是相等的，但是它们的边长和面积可以不同。
相似性在测量图形的尺寸时非常有用，因为它允许我们通过测量较小图形的尺寸来推导出较大图形的尺寸。
相似性也适用于其他图形，如矩形、圆形和多边形。
当两个图形相似时，它们的形状是相同的，只是尺寸不同。
相似性在建筑、地图制图和工程设计等领域有广泛的应用。
二、全等性全等性是指两个图形在形状和尺寸上完全相同。
当两个图形全等时，它们的所有边长、角度和面积都相等。
全等性可以通过比较两个图形的边长和角度来确定。
以三角形为例，如果两个三角形的三个对应边长和对应角度都相等，则它们是全等的。
全等三角形的形状和尺寸完全一样，它们可以互相重合。
全等性在测量和构造几何图形时非常重要，因为全等的图形可以用来证明其他几何定理和推导出其他图形的性质。
除了三角形，其他图形如矩形、圆形和多边形也可以存在全等的情况。
全等性在几何学中起着重要的作用，它提供了一种精确测量和比较图形的方法。
三、相似性与全等性的区别相似性和全等性之间存在着一些重要的区别。
首先，相似性只要求两个图形在形状上相似，而全等性要求两个图形在形状和尺寸上完全相同。
相似的图形可以有不同的尺寸，而全等的图形尺寸必须完全相同。
其次，相似性可以通过比较边长的比例来判断，而全等性需要比较边长和角度。
在确定两个三角形是否相似时，我们只需要比较两个三角形的边长比例。
但是，要确定两个三角形是否全等，我们需要比较边长和角度。
相似知识总结讲解
相似知识总结知识点一：放缩与相似形1图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2、把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶、我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷、若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.1. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1 ）有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m n,那么就说这两条线段的比是a：b= m： n （或—m）b n2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，女口a -b d4、比例外项：a在比例一c（或a：b = c：d）中a、d叫做比例外项。
b d5、比例内项：在比例- c（或a：b = c：d）中b、c叫做比例内项。
b d6、第四比例项:在比例a■—（或a：b = c：d）中, d叫a、b、c的第四比例项。
b da b7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b = b:d时，我们把bb d叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长a c度的比相等，即一一（或a：b=c: d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）4、合比性质：--b d a b~b~ （分子加（减）分母,分母不变）1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC 和BC(AC >BC),如果ACABBCAC，（2 ）比例性质1、基本性质：a：bc d ad bc （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：a c b d一（把比的前项、后项交换）b d a c3、更比性质（交换比例的内项或外项）：a-，（交换内项）c dd -，（交换外项）b ad b•（同时交换内外项）c a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a cb d a a bc cd 'a b c d5、等比性质: （分子分母分别相加，比值不变.)a c如果_ —b d 邑m(b df nf n 0),a书［7 Ac e m a那么b d f n b注意：（1）、此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；（2）、应用等比性质时，要考虑到分母是否为零；（3）、可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.知识点三：黄金分割即AC2=AB X BC,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，ACU5 1与AB的比叫做黄金比。
知识点1 图形相似的定义
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
人教版数学九年级下册27.1《图形的相似》教案
（3）相似变换的性质：相似变换是本节课的另一个难点，教师需要详细讲解相似变换的性质，如对应点、对应线段的比等，并通过实例使学生理解这些性质。
举例：讲解旋转变换、平移变换等相似变换的性质，让学生在实际操作中体会相似变换的特点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个形状看起来很相似的物体？”（如两个相似的三角形装饰品）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索图形相似的奥秘。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似图形相关的实际问题，如相似三角形的周长比、面积比等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作两个相似三角形并比较它们的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
教学内容与课本紧密相关，旨在帮助学生掌握图形相似的相关知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
《图形的相似》章节的核心素养目标如下：
1.培养学生的空间观念，提高对图形相似性的认识，增强观察、分析图形的能力。
2.培养学生运用数学语言进行表达、交流、合作的能力，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生逻辑思维和推理能力，能运用相似性质进行严密的论证。
举例：分析相似四边形的性质，解决面积、周长等与相似多边形相关的问题。
2.教学难点
（1）相似图形的识别：学生往往在识别相似图形时存在困难，需要教师通过丰富的实例和引导，帮助学生掌握识别相似图形的方法。
江苏省2020年中考数学复习课件--第二十四讲 相似图形2
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．2∶1
当堂过关
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中 线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是 ( C)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
当堂过关
3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且
课后精练（A组）
1．(2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点， ∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )
A．1
B．2 C．3 D．4
课后精练（A组）
2．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D )
两个位似图形的位置可以在位似中心的同侧，也可以在位 似中心的异侧(位似图形是位置特殊的相似图形，具有相似图 形的所有性质)．
2．性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的_距__离____ 之比等于位似
课堂精讲
考点1 相似三角形的性质 例1 (2019·常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则
∴△ACD∽△BCE.∴ABDE＝ABCC＝ 33.
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°.
又 AB＝2AC＝4，AE＝4 3，
∴BE＝ AB2＋AE2＝8.∴AD＝ 33BE＝833.
当堂过关
1.(2019·西藏)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点， 则△ADE与△ABC的面积之比是( A )
AC＝2，AE＝4，求AD的长．
课堂精练
【分析】(1)连接 BE，证明△ACD≌△BCE，得到 AD＝BE； 在 Rt△BAE 中，AB＝4 2，AE＝2，求出 BE，得到答案；(2)连 接 BE，证明△ACD∽△BCE，得到ABDE＝ABCC＝ 33，求出 BE 的 长，得到 AD 的长．
24.2 相似图形的性质
２４.２ 相似图形的性质第一课时 成比例线段【教学目标】1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
【教学重点和难点】教学重点：成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用 教学难点：比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质 一、创设情境，揭示目标：大小不同的两个国旗是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
本节课的学习目标：1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
二、自学指导(课件出示)1、完成课本P45——46，完成试一试，概括成比例线段的定义；并能过自学例1会判断四条线段成比例。
2、通过学习例2掌握比例的基本性质。
三、学生自学，教师巡视。
学生看书，教师巡视，确保人人独立认真看书。
四、引导更正，指导运用1、成比例线段的定义四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc ba ＝，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2、例题解析例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝ 练习：课本P47E1 3、比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a ，b ，c ，d 四个数满足dc ba ＝，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么dc b a ＝吗？与同伴交流．如果dc ba ＝，那么ad ＝bc 。
若ad ＝bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a ＝课本P47E2 4、例题解析例题1：如图，已知dc b a =＝3，求bba +和ddc +； 例题2：如果dc ba=＝k （k为常数），那么ddc b b a +=+成立吗？为什么？探究延伸，拓展思维（想一想再回答）（1）如果dc b a =，那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f ed c b a ==，那么b af d b e c a =++++成立吗？为什么？（3）如果d c b a =，那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么． （4）如果d c b a =＝…＝nm （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么b an d b m c a =++++++ΛΛ成立吗？为什么．（小组讨论完成上面的问题）五、课堂练习课本P47E3 六、课后小结本节课我们学习了什么？1、成比例线段2、比例的性质 七、课后作业习题24.2 e3、7、8八、课后反思：本节课的教学有以下几个方面取得了十分好的效果：首先，课堂内容的导入是本节课的一个亮点，从众多的线段、各种图形中找出比值相等的组成比例式，从而认识比例、熟悉比例的定义，使本节课有了一个良好的开端。
《相似三角形的判定 2》教学反思
《相似三角形的判定 2》教学反思在《数学课程标准》的指导下，我们致力于将学生培养成为能够自主探索、合作交流的行为主体。
本节课的教学设计继续秉承这一理念，进一步深化了活动性、开放性、探究性、合作性和体验性。
以下是本节课的教学反思。
教学流程与设计1. 情境创设与问题引导- 本节课通过实际问题引入，例如“如何确定两座建筑物的相似比例”，激发学生的求知欲。
- 通过问题情境的设置，引导学生自主探索相似三角形的性质和判定方法。
2. 合作交流与新知探索- 学生在小组内进行合作交流，共同探讨相似三角形的判定条件。
- 教师在这一过程中扮演引导者的角色，适时提供启发性的问题，帮助学生深入理解。
3. 应用拓展与目标达成- 通过设计多层次的练习题，学生能够将所学知识应用到实际问题中，如解决几何图形的相似问题。
- 教师通过观察学生的解题过程，及时发现并指导学生解决应用中的难点。
4. 归纳总结与目标深化- 课程最后，教师引导学生总结相似三角形的判定方法，并讨论其在不同情境下的应用。
- 通过归纳总结，学生能够更深刻地理解相似三角形的数学意义和实际价值。
课堂组织与评价方式1. 自主探索与合作交流- 本节课采用“自主探索，合作交流”的教学组织形式，鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论。
- 教师在此过程中注意引导学生倾听他人意见，逐渐完善自己的想法，体验与同伴交流的快乐。
2. 评价方式的创新- 本节课的评价方式注重学生的参与度和合作精神，教师通过观察学生的表现，及时给予表扬和鼓励。
- 评价不仅关注学生的知识掌握情况，更关注学生的思考过程和合作能力。
教学反思与改进建议1. 题量与时间安排- 反思中发现，题量过大导致课堂时间安排较紧，部分问题未能深入探讨。
- 建议在未来的教学中，适当减少题量，确保每个问题都能得到充分的讨论和理解。
2. 题目深度与拓展- 虽然学生完成了题目，但有时缺乏对题目本身的深入思考，仅停留在解题层面。
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。
但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。
2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和课后作业。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。
例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。
通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。
相似图形知识点总结
相似图形知识点总结一、相似图形的定义和性质1.1 相似图形的定义相似图形是指具有相同形状但大小可以不同的图形。
当两个图形的对应边成比例，并且对应的角度相等时，我们称这两个图形是相似的。
1.2 相似图形的性质相似图形具有以下性质：1) 对应角相等：相似图形中的对应角是相等的。
2) 对应边成比例：相似图形中的对应边的长度成比例。
3) 面积比例：相似图形的面积的比等于对应边的平方比。
1.3 相似图形与全等图形的区别相似图形和全等图形都具有相同的形状，但是它们之间有一个重要的区别：全等图形的对应边和对应角都相等，而相似图形的对应边成比例，对应角相等。
二、相似图形的判定条件2.1 AAA相似判定如果两个图形的对应角相等，则这两个图形是相似的。
2.2 AA相似判定如果两个图形的其中两组对应角相等，则这两个图形是相似的。
2.3 直角三角形的相似判定在直角三角形中，如两个直角三角形中对应角相等，则这两个三角形是相似的。
2.4 SSS相似判定如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形是相似的。
2.5 SAS相似判定如果两个图形的其中两组对应边成比例，并且两组对应角相等，则这两个图形是相似的。
2.6 相似图形的判定定理在实际问题中，我们常常需要判定两个图形是否相似。
根据相似图形的性质，我们可以得到相似图形的判定定理，例如：角平分线定理、高度定理等。
三、相似图形的应用3.1 计算图形的面积相似图形的面积比例定理可以用于计算图形的面积。
根据相似图形的面积比例定理，我们可以得到如果两个图形相似，它们的面积的比等于对应边的平方比。
这个性质可以用于计算各种图形的面积，例如三角形、矩形、圆等。
3.2 计算图形的周长相似图形中的对应边成比例，这个性质可以用于计算图形的周长。
如果两个图形相似，它们的周长的比等于对应边的比例。
3.3 解决实际问题相似图形的性质和定理在解决各种实际问题中有着广泛的应用，例如解决建筑设计、地图测量、影视特效等问题。
初中相似图形的教学教案
教案：初中相似图形教学教学目标：1. 让学生理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2. 培养学生运用相似图形解决实际问题的能力。
教学内容：1. 相似图形的定义和性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的图形变换知识，如平移、旋转等。
2. 提问：你们认为什么是相似图形？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似图形的定义：在平面内，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
2. 讲解相似图形的性质：a. 相似图形的对应边成比例。
b. 相似图形的对应角相等。
c. 相似图形的大小可以通过比例关系来计算。
3. 讲解相似图形的判定方法：a. 如果两个图形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个图形相似。
b. 如果两个图形互相旋转或翻转后能够重合，那么这两个图形相似。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题：判断两个图形是否相似。
2. 引导学生通过对应角和对应边的关系来判断图形是否相似。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生通过相似图形的性质和判定方法来解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，让学生明确相似图形的概念和性质。
2. 提问：相似图形在实际生活中有哪些应用？3. 拓展知识：介绍相似图形在几何学中的重要性，如相似三角形的性质和应用。
教学评价：1. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，评估学生对相似图形的理解和应用能力。
相似三角形的性质-性质定理1,2,3
在无法直接过河测量宽度的情况下，可以在河的一侧选择两个点，并在另一侧 选择一个点，使得这三个点构成的两个三角形相似。通过测量已知距离和角度 ，可以计算出河的宽度。
解决实际问题
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形的性质来测量海上目标物（ 如岛屿）的距离和方位。通过观察目标物和两个已知点构成 的三角形，可以计算出目标物的距离和方位角。
证明过程
在 ΔABC 和 ΔDEF 中，分别作 AM 和 DN 垂直于 BC 和 EF，垂 足分别为 M 和 N。
又因为 SΔABC = (1/2) × BC × AM, SΔDEF = (1/2) × EF × DN ，代入上式得 (AM/DN)^2 = (AB/DE)^2。
由于 ΔABC ∽ ΔDEF，根据相似三 角形的定义，我们有 ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
军事应用
在军事领域，相似三角形的性质可以用于计算炮弹的射程和 落点。通过测量炮弹的初速度和发射角度，可以预测炮弹的 飞行轨迹和落点位置。
建筑设计中的应用
建筑设计比例
在建筑设计中，相似三角形的性质可 以帮助建筑师保持建筑物的比例和美 感。通过相似三角形的缩放性质，建 筑师可以轻松地按比例放大或缩小建 筑物的设计。
例如，在 ΔABC 和 ΔDEF 中，如果已知 AB = 6, DE = 3, AC = 8, 那么根据性质定理2，我 们可以直接得出 DF = 4。
另外，性质定理2也可以用于证明其他几何定理或解决复杂的几何问题。例如，在证明勾股 定理时，可以通过构造相似三角形并应用性质定理2来证明。
04
性质定理3：相似三角形的面积比等于相 似比的平方
∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，并且AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则称这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质二
相似三角形的判定与性质一、基础巩固一．解答题1. 如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【答案】（1（∠ADE=40°（∠AED =65°（（2（8cm【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（根据相似三角形的对应角相等即可得到结论（（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论（【详解】（1（（（BAC=75°（（ABC=40°（（（ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（（（ABC（（ADE（（（ADE=（ABC=40°（（AED=（ACB=65°（（2（（（ABC（（ADE（（AD DE AB BC=（（AB=30cm（BD=18cm（BC=20cm（（30183020DE-=（（DE=8（cm（（【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等（对应边成比例的性质（准确找出对应边与对应角是解题的关键（2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=12BC吗？（3）DG=5cm，试求△AEF的周长．【答案】（1）△AEF 为等边三角形；证明见解析；（2）证明见解析；（3）10cm ．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B =∠C =30°，再利用垂直平分线的性质得BE =AE ，AF =CF ，则∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF =∠AFE =60°，于是可判断△AEF 为等边三角形； （2）由D 是AB 中点、G 是AC 中点知//DG BC ，得出△∽△ADG ABC ，最后根据相似三角形的性质即可得出答案．（3）利用AE =BE ，AF =CF 可得AE +EF +AF =BE +EF +CF =BC =10cm ，从而可确定△AEF 的周长．【详解】解：（1）△AEF 为等边三角形．理由如下：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，∴BE =AE ，AF =CF ，∴∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，∴∠AEF =2∠B =60°，∠AFE =2∠C =60°，∴△AEF 为等边三角形；（2）∵D 是AB 中点、G 是AC 中点，∴DG 是△ABC 中位线，∴//DG BC ，∴ADG B ∠=∠，AGD C ∠=∠，∴△∽△ADG ABC ， ∴12DG AD BC AB ==， ∴DG =12BC ； （3）∵DG =5，∴BC=2DG=10，∵AE=BE，AF=CF，∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，∴△AEF的周长为10cm．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．3. （1）如图1，Rt△ABC中，若AC=4，BC=3，DE△AC，且DE=DB，求AD的长；（2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB=MN，且△AMN△△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．【答案】（1）258（2）见解析【解析】【分析】（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到DE ADBC AB=，据此可得AD的长．（2）作∠B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，则MN=BM，而MN∥BC，则△AMN∽△ABC（【详解】（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，△AB=5，△DE△AC，△C=90°，△DE△BC，△△ADE△△ABC，△DE AD BC AB=，即535AD AD-=，解得AD=258，故AD的长为258．（2）如图2所示，作△B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB 于M，MN即为所求．【点睛】考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4. 如图，点C（D在线段AB上，（PCD是等边三角形，且（ACP（（PDB（（1）求（APB的大小．（2）说明线段AC（CD（BD之间的数量关系．【答案】（1（120°（（2（见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=（PBD，根据三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．【详解】解：（1（（（PCD是等边三角形，（（PCD=60°（（（A+（APC=60°（（（ACP（（PDB（（（APC=（PBD（（（A+（B=60°（（（APB =120°（（2（∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD （（（ACP （（PDB （ （AC PD =PC BD（ （CD 2=AC •BD （【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．5. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=6cm ，EC=3cm ，BC=6cm ，∠BAC=∠C=47°．（1）求∠AED 和∠ADE 的大小；（2）求DE 的长．【答案】（1）∠AED=47°；∠ADE=86°；（2）4（cm ）．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．【详解】解：（1）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠AED=∠C=47°，∠ADE=180°﹣∠BAC ﹣∠AED=86°；（2）∵△ABC ∽△ADE ， ∴=AE DE AC BC ，即6=96DE ， 解得，DE=4（cm ）．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．6. 如图，BC ，AD 相交于点C ，△ABC ∽△DEC ，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．【答案】（1）3.1；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴AC BC DC EC=，∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3∴4.89.3 1.6CE=，解得：CE=3.1．（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∵∠ACB+∠DCE=180°，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴BC⊥AD．【点睛】此题考查相似三角形的性质，正确找出两个三角形的对应边与对应角是解题关键．7. 如图：已知△ABC△△DEC，△D=45°，△ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求：（1）△B的度数；（2）求AD的长．【答案】(1) 75°；(2)152cm.【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．【详解】（1（∵△ABC∽△DEC（∴∠A=∠D=45°（在△ACB中，∠B=180°（∠A（∠ACB=180°（45°（60°=75°（（2（∵△ABC∽△DEC（∴AC BC DC EC（即DC=ACBC×CE=92cm（∴AD=AC+CD=152cm（【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．8. 已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】（1）∠ADE =35°，∠AED =70°；（2）12cm．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=35°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣35°=70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=35°，∠AED=∠C=70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD=BC：DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．9. 如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=kx(k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【答案】（1）y=3x，（2，32）（2）（0，53）【解析】【分析】（1）根据D为BC的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D（得出函数关系式，进而得出E点坐标（2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案．【详解】（1（（BC（x轴，点B的坐标为（2（3（（（BC=2（∵点D为BC的中点，（CD=1（∴点D 的坐标为（1（3（（将点D 的坐标代入y=k x中得（k=1×3=3（ ∴反比例函数的表达式y=３ｘ（ （BA（y 轴，∴点E 的横坐标与点B 的横坐标相等为2（∵点E 在双曲线上， （y=３２（ ∴点E 的坐标为（2（３２（（ （2）∵点E 的坐标为（2（３２（（B 的坐标为（2（3），点D 的坐标为（1（3（（ （BD=1（BE=３２（BC=2（ （（FBC（（DEB（ （DB BE CF BC＝（ （FC=４３（ （OF=3（４５＝３３ ∴点F 的坐标为（0（５３（（ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．10. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD=CD ，则∠ACB= ．（2）如图，在△ABC 中，AC=2，，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．【答案】（1）96°；（2．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB 即可．（2）设BD=x ，利用△BCD ∽△BAC ，得=BC BD BA BC，列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）当AD=CD 时，如图3，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知AC=AD=2，∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BD BA BC =，设BD=x ，）2=x （x+2），∵x ＞0，∴1，∵△BCD ∽△BAC ，∴CD BD AC BC =，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．11. 如图，AD∥BC（∠ABC=90°（AB=8（AD=3（BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【答案】AP=247或AP=2或AP=6【解析】【分析】由AD//BC,∠B=90°,可证∠P AD=∠PBC=90°,又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【详解】解：（ AB（BC,（ （B=90°,（ AD（BC,（ （A=180°﹣（B=90°,（ （P AD=（PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使（P AD与（PBC相似,那么分两种情况:若（APD（（BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=24 7,若（APD（（BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x =2或x =6,所以AP =247或AP =2或AP =6． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？【答案】（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011【解析】 【分析】（1）在Rt △CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 【详解】由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm ==；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt △CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：①当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；②当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，CP CQ CB CA =，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒． 因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．13. 如图所示，Rt ABC Rt DFE ~（CM （EN 分别是斜边AB （DF 上的中线，已知9AC cm =（12CB cm =（3DE cm =（()1求CM 和EN 的长；()2你发现CM EN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【答案】（1）CM=7.5,EN=2.5；（2）相等，相似三角形对应中线的比等于相似比.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】.解：()1在Rt ABC 中，15AB ===，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴7.152CM AB ==， ∵Rt ABC Rt DFE ~， ∴DE DF AC AB=，即319315DF ==， ∴5DF =，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴ 2.152EN DF ==； ()2∵7532..51CM EN ==， 相似比为9331AC DE ==， ∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形对应的中线之比等于相似比. 14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE△△DEF ，AB=6，AE=9，DE=2，求EF 的长.【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，求出DF 的长度，在直角三角形DEF 中，利用勾股定理求出斜边EF 长【详解】解：（（ABE（（DEF ， （AB AE DE DF692AB AE DE ===，，69=2DF∴， （DF=3在矩形ABCD 中，（D=90°．（在Rt（DEF 中，EF ==15. 如图，△AED ∽△ABC ，相似比为1∶2.若BC ＝6，则DE 的长是多少？【答案】DE=3（【解析】【分析】由△AED∽△ABC，相似比为1（2，可得DE（CB=1（2，又由BC=6，即可求得DE的长．【详解】∵△AED∽△ABC，∴DE：CB=1：2，∵BC=6，∴DE：6=1：2，∴DE=3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例．16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．【答案】（1）BE＝DF＋EF；证明见解析；（2）1 ．【解析】【分析】（1）猜想BE＝DF＋EF，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，通过角的计算可得出∠EAF′＝∠EAF，结合AF＝AF′、AE＝AE即可证出△EAF≌△EAF′（SAS），进而得出EF＝EF′，再结合BE＝BF′＋EF′即可得出结论；（2）由△EGF∽△EFA可得出∠EFG＝∠EAF＝45°，结合∠ECF＝90°可得出CE＝CF，设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据BE＝DF ＋EF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入BE＝x（1＋x）中即可求出结论．【详解】解：（1）猜想：BE＝DF＋EF，理由如下：将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′＋∠EAF′＋∠GAD＝90°，∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°，∴∠EAF′＋∠GAD＋∠DAF＝90°，∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，AF=AF?EAF=EAF? AE=AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴BE＝BF′＋EF′＝DF＋EF．（2）∵△EGF∽△EFA，∴∠EFG＝∠EAF＝45°，∵∠ECF＝90°，∴CE＝CF．设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据题意得：1＋1＋x＝x（1＋x），解得：x﹣1，∴x（1＋x）＝1，∴BE的长为1【点睛】本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17. 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C旋转．（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是；（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF ，求PE的长．【答案】（1）垂直、相等；（2）画图见解析；（1）中结论仍成立；证明见解析；（3）．6【解析】【分析】（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD＝CB，CE＝CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角、对应边相等，互余关系得出垂直、关系；（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知OFCF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．【详解】解：（1）垂直，相等，理由如下：延长DE 交BF 与点N ，作AM ⊥DC ，垂足为点M ，则四边形ABCM 是矩形， ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1，∵在Rt △ADM 中，tan ∠ADC ＝2， ∴AM =2DM，解得：DM ＝1， ∴CD ＝DM ＋MC ＝2，∴CD ＝BC ，在△CDE 和△CBF 中，DC=BC DCE=BCF=90CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠EDC ＝∠FBC ，DE ＝BF ，∵∠FBC ＋∠BFC ＝90°，∴∠EDC ＋∠BFC ＝90°，∴∠DNF ＝90°，∴DE ⊥BF ，故填：垂直，相等；（2）（1）中结论仍成立．证明如下：过A 作AM ⊥DC 于M ，则四边形ABCM 为矩形． ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1．∵DC ＝2，∴DM 2==12， ∴DC ＝BC ．∵△CEF 是等腰直角三角形，∴∠ECF ＝90°，CE ＝CF ．∵∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，在△DCE 和△BCF 中，DC=BC DCE=BCF CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCF ，∴DE ＝BF ，∠1＝∠2，又∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠BCD ＝90°，∴DE ⊥BF ，∴线段DE 和BF 相等并且互相垂直．（3）∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB OA OB==CD OC OD，∵AB＝1，CD＝2，∴OA OB1== OC OD2，在Rt△ABC中，，∴OA=3，同理可求得OB=3，∵OF=，∴AC AF=OA+OF==22，∴CE=CF=2，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠OBC＝45°，由（2）知△DCE≌△BCF，∴∠1＝∠2，又∵∠3＝∠OBC＝45°∴△CPE∽△COB，∴PE CE=OB BC，22，∴．【点睛】本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长．18. 如图，在等腰梯形中，AD BC ∥，E 为AD 上一点，且AE:DE=1:3，联结BD 和CE ，BD 与CE 交于点F ，如果4=AD ，6BD BC ==．（1）求梯形的周长（2）求线段CF 的长度【答案】（1）10+（2）【解析】【分析】（1）过A 做AM ∥CD，交BC 于M ，先证明△ABM∽△BCD,解得AB 的长度，从而利用梯形的周长公式求解即可（2）先证明△EDF∽△BDA,求出EF 的值，因为AD∥BC,利用平行线分线段成比例求解即可【详解】（1） 如图，过A 做AM ∥CD，交BC 于M∵AD∥BC，AM∥CD∴四边形AMCD 是平行四边形∴AD=MC=4，AM=CD∵梯形ABCD是等腰梯形∴AB=CD∴AB=AM∴∠ABM=∠AMB∵BD=BC=6∴∠BDC=∠BCD∵AM∥CD∴∠AMB=∠BCD∴△ABM∽△BCD∴AB BM BC AB=∴BM=6-4=2∴2 6ABAB=∴AB=∴CD=AB=∴梯形ABCD周长=AB＋BC＋CD＋AD=10＋（2）∵AE:DE=1:3,AD=4∴DE=33 4AD=∵AD∥BC∴DFDE EF BC BF CF==∵BC=BD=6∴3DF6EFBF CF ==∴BF=2DF，CF=2EF ∴BD=3DF=6∴DF=2∴DE EF BD AB==12∵∠EDF=∠BDA∴△EDF∽△BDA∴EF=12∴CF=2EF=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断与性质的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键19. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，若S △ADE =16cm 2，S △EFC =49cm 2， 求①BC DE，②S △ABC ．【答案】（1）114；（2）121 【解析】 【分析】利用平行求相似三角形，再根据相似三角形的性质，对应求解.【详解】①（DE∥BC，EF∥AB；（（ADE=（ABC, （AED=（ACF（（ΔADE（ΔABC（（ABC=（EFC, （EFC=（ADE（（ΔADE（ΔEFC（（S △ADE ：S △EFC =(BC（EF) ²=16:49, BC（EF=4（7（（DE∥BC，EF∥AB；（四边形DEFB 为平行四边形，DE=BF（（= 114. （（ΔADE（ΔABC（= 114（ （S △ADE ：S △ABC =（4:11（²=16（121（（S △ADE =16cm 2；（S △ABC E =121 cm 2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和利用平行求相似三角形，熟练掌握这两点是解题的关键.20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE＝125．【解析】【分析】（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，∴∠BAM＝∠EDA，在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，∴△ADE∽△MAB；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，∴BM＝32，∴AM52 =，由（1）知，△ADE∽△MAB，∴AM AB DA DE=，∴5223DE =，解得，DE ＝125． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． 21. 已知在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，且AD=DE ．连接AC 交DE 于点F ，作DG ⊥AC 于点G ．（1）如图1，若12EF DF =，DG 的长； （2）如图2，作EM ⊥AC 于点M ，连接DM ，求证：AM ﹣EM=2DG ．【答案】（1）13；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设EF=x ，DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD ，根据勾股定理求出x ，在△ADF 中，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，求出MDK 为等腰直角三角形，求出MK=2DG 即可．【详解】（1）解：设EF=x ， 12EF DF =， ∴ DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD在Rt ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，∴ 222(3)(2)x x +=，∵x ＞0，∴x=1，∴EF=1，DF=2，AD=3，∴由三角形面积公式得：11,22ADF SAD DF AF DG =•=•即3213AD DF DG AF ⨯=== （2）证明：过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，∴∠1=∠2，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，又∵∠4=∠EFM ，∴∠3=∠5，在△ADK 和△EDM 中1235AD DE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADK EDM ≌（ASA ），∴DK=DM ，AK=EM ，∴MDK 为等腰直角三角形，∵DG ⊥AC ，∴MK=2DG ，∴AM ﹣EM=AM ﹣AK=MK=2DG ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 边上，若四边形DEFB 为菱形，并且AB=8cm ，BC=12cm ，求菱形DEFB 的边长．【答案】4.8cm【解析】【分析】设菱形DEFB 的边长为x ，根据菱形的性质得出BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，得出比例式，代入求出即可．【详解】设菱形DEFB 的边长为x ，∵四边形DEFB 是菱形，∴BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD BC AB=， ∵AB=8，BC=12，8AD AB BD x =-=-， ∴8128x x -=， 解得： 4.8x =．即菱形DEFB 的边长为4.8cm ．【点睛】本题考查了菱形的性质和相似三角形的性质和判定，求出△ADE ∽△ABC 是解此题的关键．23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由BC 2=BF•BA ，∠ABC=∠CBF 可判断△BAC ∽△BCF ，再由DE ∥BC 可判断BCF DGF ∽，所以DGF BAC ∽，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，易得AH ∥DE ，由点E 为AC 的中点得AH=2EG ，再利用AH ∥DG 可判定AHF DGF ∽，则根据相似三角形的性质得AH AF DG DF=，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC 2=BF•BA ，∴BC ：BF=BA ：BC ，而∠ABC=∠CBF ，∴BAC BCF ∽，∵DE ∥BC ，∴BCF DGF ∽，∴DGF BAC ∴∽，∴DF ：BC=DG ：BA ，∴DF•AB=BC•DG ；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE ∥BC ，∴AH ∥DE ，∵点E 为AC 的中点，EG ∴为CAH 的中位线，∴AH=2EG ，∵AH ∥DG ，∴AHF DGF ∴∽， ∴AH AF DG DF=， ∴2EG AF DG DF =， 即2DF•EG=AF•DG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24. 在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝6，求CE的长．【答案】（1）3；（2）76．【解析】【分析】（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明PD AD==2PM AM即可解决问题；（2）由△AMP∽△FDE，推出PM AM=DE DF，即可解决问题；【详解】解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠PAD ＝∠PAB ＝45°， ∵PK ⊥AD ，PH ⊥AB ，∴PK ＝PH ， ∴APD APM 1AD FK S PD AD 2===1S PM AMAM PH 2⋅⋅⋅⋅， ∴AB ＝AD ＝2，AM ＝BM ＝1， ∴DM∴PD PM＝2， ∴PD＝233， （2）∵PF＝PD，DM∴DF PM ∵DE ∥AM ，∴∠AMP ＝∠EDF ，∵∠DFE ＝∠MAP ＝45°， ∴△AMP ∽△FDE ， ∴PM AM =DE DF，∴13=1DE ，∴DE ＝56， ∴EC ＝2﹣56＝76． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．25. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．【答案】（1）32；（2）23；（3）6 【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ．易证△AEF ≌△CEB ，则有EF=BE ，AF=BC=2k ．易证△AFP ∽△DBP ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值； （3）当CD=2时，可依次求出BC 、AC 、EC 、EB 、EF 、BF 的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEB ，∴EF=BE ，AF=BC=2k ．∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB= 5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6． 故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 26. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DH 丄AB 于H ，交AO 于G ，连接OH ．（1）求证：AG •GO ＝HG •GD ；（2）若AC ＝8，BD ＝6，求DG 的长．【答案】（1）见解析；（2）DG ＝154【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，由于DH ⊥AB 于H ，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH ∽△DGO ，根据相似三角形的性质得到=AG HG DG OG ，于是得到结论；（2）根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∵DH ⊥AB ，∴∠AOD ＝∠AHD ＝90°，∵∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ， ∴=AG HG DG OG∴AG •GO ＝HG •GD ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，∴OA ＝12AC ＝4，OB ＝12DB ＝3，∴AB ＝5，由（1）△AGH ∽△DGO 得∠GAH ＝∠GDO∵∠AOB ＝∠DOG ＝90°，∴=AO AB DO DG， ∴453=DG， 解得：DG ＝154. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．27. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°．（1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求EB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【解析】 【分析】（1）由AD ∥BC 、AB ⊥BC 可得出∠A ＝∠B ＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE ＝∠BEC ，进而即可证出△ADE ∽△BEC ；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°．∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，（2）解：∵△ADE ∽△BEC ， ∴AD AE =BE BC， 即12=BE 3， ∴BE ＝32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE ∽△BEC ；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．28. 如图1，设D 为锐角（ABC 内一点，（ADB=（ACB+90°（（1）求证：（CAD+（CBD=90°（（2）如图2，过点B 作BE（BD（BE=BD ，连接EC ，若AC•BD=AD•BC（ （求证：（ACD（（BCE（（求AB CD AC BD⋅⋅的值．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②AB CD AC BD⋅⋅ 【解析】【分析】（1）如图1，延长CD 交AB 于E（根据三角形外角的性质得到∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（结合已知条件∠ADB=∠ACB+90°（即可证明.（2（①∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（根据同角的余角相等即可得到∠CAD=∠CBE（根据AC•BD=AD•BC（BD=BE（即可得到,AC BC AD BE=根据相似三角形的判定方法即可判定△ACD ∽△BCE（②连接DE（根据BE ⊥BD（BE=BD（得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DE BD=分别判定△ACD ∽△BCE（△ACB ∽△DCE（根据相似三角形的性质得到,AB DE AC DC =则AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅ 【详解】证明：（1）如图1，延长CD 交AB 于E（∵∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB（∵∠ADB=∠ACB+90°（∴∠CAD+∠CBD=90°（（2（①如图2（∵∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（∴∠CAD=∠CBE（∵AC•BD=AD•BC（BD=BE（ ∴,AC BC AD BE= ∴△ACD ∽△BCE（②如图2，连接DE（∵BE ⊥BD（BE=BD（∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DE BD= ∵△ACD ∽△BCE（∴∠ACD=∠BCE（∴∠ACB=∠DCE（ ∵,AC CD BC CE= ∴△ACB ∽△DCE（ ∴,AB DE AC DC=∴AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅【点睛】考查三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.29. 如图，在△ABC 中．AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，F 是AB 中点，连EF 交AD 于点G ．(1)求证：AD 2＝AB•AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，求AD AG的值．【答案】(1)证明见解析；(2)74.【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ∽△CAD ，可得,AD AE CA AD=推出AD 2=AB•AE ，即可解决问题；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF ，再根据DF ∥AC ，可得332.24DF DG AE AG === 由此即可解决问题；【详解】(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°，∵∠DAE ＝∠DAC ，∴△DAE ∽△CAD ， ∴,AD AE CA AD= ∴AD 2＝AC•AE ，∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB•AE ．(2)解：如图，连接DF ．∵AB ＝3，∠ADB ＝90°，BF ＝AF ， ∴13,22DF AB == ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴DF ∥AC ，∴332.24 DF DGAE AG===∴ADAG＝74．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．30. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E（（1）求证：AG=CG（（2）求证：AG2=GE·GF（【答案】（1）证明见解析；（2（证明见解析.【解析】【分析】（1（根据菱形的性质得到AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB，推出△ADG（（CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=（DCG，等量代换得到∠EAG=（F，求得△AEG（（FGA，即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，（AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB（在△ADG与△CDG中，AD CDADG CDGDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,（（ADG（（CDG（SAS（（（AG=CG（（2（（（ADG（（CDG（AB（CD （（F=（FCD（（EAG=（GCD（（（EAG=（F （（AGE=（AGE（（（AEG（（FAG（（AG EG FG AG=,（AG2=GE•GF（【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．二、拓展提升31. 如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE•FC=FO•OB．【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到∠FOC=（OEB，得到△BOE（（CFO，根据相似三角形的性质证明．【详解】证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，∴△BOE∽△CFO，OE OB OF FC=，∴OE•FC=FO•OB．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32. 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF．（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．。
相似图形的概念与性质
相似图形的概念与性质相似图形是在几何学中经常遇到的一个重要概念。
当两个或多个图形的形状相似并且对应的角度相等时，我们称这些图形为相似图形。
相似图形具有一些独特的性质和特点，本文将从定义、性质和应用几个方面进行探讨。
一、相似图形的定义相似图形是指两个或多个图形的形状相似，它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
具体来说，如果存在一个比例因子k，使得两个图形所有对应边的长度之比都等于k，且两个图形对应角度相等，那么这两个图形就是相似的。
二、相似图形的性质1. 边比例性质：相似图形中对应边的长度之比相等。
即，如果两个图形相似，那么它们的对应边长的比值恒定。
2. 角度性质：相似图形中对应角度相等。
即，如果两个图形相似，那么它们的对应角度都相等。
3. 周长比例性质：相似图形的周长比等于对应边长的比值。
即，如果两个图形相似，那么它们的周长之比等于对应边长之比。
4. 面积比例性质：相似图形的面积比等于对应边长的比值的平方。
即，如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于对应边长之比的平方。
5. 相似三角形特性：相似三角形的三个内角相等，并且对应边的长度之比相等。
三、相似图形的应用1. 测量与估算：利用相似图形的性质，可以进行测量和估算。
例如，通过测量一个相似图形的某条边长和它与另一个相似图形对应边长的比值，可以估算出另一个图形的边长。
2. 图像缩放：相似图形的性质在图像的缩放过程中起到重要作用。
通过控制比例因子k的大小，可以按比例对图像进行放大或缩小。
3. 建模与模拟：相似图形的概念常用于建模和模拟过程中。
例如，在建筑设计中，可以利用已知建筑物的相似图形特性，对新的建筑物进行设计和模拟。
总结：相似图形在几何学中扮演着重要的角色。
了解相似图形的概念和性质，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
相似图形的性质也在我们的日常生活中得到广泛的应用，从测量到建模都离不开相似图形的概念和方法。
因此，我们应该加深对相似图形的理解，并善于运用相似图形的性质来解决实际问题。
初中数学 如何判断两个图形是否相似
初中数学如何判断两个图形是否相似要判断两个图形是否相似，我们可以考虑以下几个方法：1. 观察对应角度是否相等：如果两个图形的对应角度相等，那么它们很可能是相似的。
对应角度是指在两个图形中相同位置的角度。
例如，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们可能是相似的。
2. 比较对应边长是否成比例：如果两个图形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
对应边长是指在两个图形中相同位置的边长。
例如，如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
3. 使用相似三角形的性质：根据相似三角形的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。
如果两个三角形满足这些性质，那么它们是相似的。
4. 利用比例关系：如果我们知道一个图形的各个部分之间的比例关系，我们可以根据这个比例关系来判断另一个图形是否相似。
比例关系可以是长度比例、面积比例等。
如果两个图形的各个部分之间的比例关系相同，那么它们可能是相似的。
5. 使用相似性判定定理：相似性判定定理是几何学中用来判断两个图形是否相似的定理。
根据不同的定理，我们可以利用一些特定的条件来判断相似性。
例如，AA判定定理指出，如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们是相似的。
需要注意的是，判断两个图形是否相似通常需要多个条件的共同验证。
只有满足所有相似性的条件，我们才能确定两个图形是相似的。
总结一下，判断两个图形是否相似可以通过观察对应角度是否相等、比较对应边长是否成比例、使用相似三角形的性质、利用比例关系和应用相似性判定定理等方法。
在判断过程中，需要注意验证多个条件，确保满足相似性的要求。
第五章图形的相似-相似的判断与性质
相似的判断与性质教学目标掌握相似三角形的判定条件，会证明三角形相似，会利用相似进行计算。
重难点分析重点：1、三角形相似的判定；2、利用相似证明等式；3、利用相似进行计算。
难点：1、三角形相似的证明；2、三角形相似的计算。
知识点梳理1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。
2、相似三角形的判定：（1）如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；（3）如果有两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
A字型 8字型交错型双垂直型3、相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比等于相似比；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方；知识点1：相似的概念及判定【例1】下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是【 】A.ABC ∆中，o A 42=∠，o B 118=∠，C B A '''∆中，，o B 15='∠ B.中，8=AB ，4=AC , o A 105=∠，中，16=''B A ，8=''C B ， C.中，，20=BC ，35=CA ，中，36=''B A ，40=''C B ，70=''A C D.和中，有C B BC B A AB ''=''，C C '∠=∠ 【例2】给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似， ②所有的等边三角形都相似，③所有的直角三角形都相似， ④所有的等腰直角三角形都相似．其中判断正确的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】如图，已知△ABC ，P 为AB 上一点，连接CP ，以下条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是【 】A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．D ．【随堂练习】1、如图，BD 平分∠ABC ，且AB ＝4，BC ＝6，则当BD ＝_________时，△ABC ∽△DBC 。
相似三角形的性质 (2)教学设计
相似三角形的性质【教学目标】1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。
2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。
3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。
【教学重难点】重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。
难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。
【教学过程】一、设计龟免赛跑故事导入新课有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？（以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。
）二、自主探究，发现新知1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单《相似三角形的周长与面积》实验报告单目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系小组分工：要求：①在方格纸（方格边长为1个单位）上，画出一个与已知厶ABC相似,但相似比不为1的格点AABC（每小组至少画两种情况）；111②分别计算：AABC与AABC的相似比，周长比及面积比，然后填表;相似比周长比面积比AABC s AABCiiiAABC s AABCiii从以上表中可以看出，当相似比等于K时，周长比等于，面积比等于。
由此可以猜想：相似三角形的周长比等于，面积比等于。
（学生经历动手实验-观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。
注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。
）猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
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（第 5 题）
5．如图所示的两个矩形是否相似？
（第 5 题）
a b 3 7．已知： b 5
a ，求 b 的值．
图 24.2.2
图 24.2.2
AB＝______cm， BC＝______cm； A′B′＝______cm， B′C′＝______cm． 显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等 的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩 小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度 相比都“同样程度”地缩小了．
实际上这也是我们判定两个多边形是否相 似的方法， 即如果_________________________，那 么这两个多边相似四边形中，求未 知边x的长度和角度α的大小．
图 24.2.5
思考
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰 三角形呢？两个等边三角形呢？
课堂练习
两个相似的平面图形之间有 什么关系呢？为什么有些图形是 相似的，而有些不是呢？相似图 形有什么主要性质呢？
做一做
图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然， 它们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小 地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张 地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′）与 C（C′）两地之间的图上距离．
AC 1．（1）根据图示求线段比： CD
AC CB
CD DB
（第 1 题）
（2）试指出图中成比例的线段．
3．下图是两个等边三角形，找出图形中的 成比例线段，并用比例式表示．
（第 3 题）
4．根据下图所示，这两个多边形 相似吗？说说你的理由．
（第 4 题）
5．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由．
图24．2．3中两个四边形是相似形，仔细观 察这两个图形，它们的对应边之间是否有以 上的关系呢？对应角之间又有什么关系？
图 24.2.3
再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是 否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？
图 24.2.4
概括
由此可以得到两个相似多边形的性质：
对应边成比例，对应角相等．
计算可得
BC AB ＝________， B C ＝________． A B
AB BC 我们能发现 AB ＝ B C
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段是 成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对 应线段都是成比例的． 这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？