边际、弹性分析
管理经济学名词解释
管理经济学名词解释管理经济学是一门关于经济学和管理学交叉领域的学科，涉及了许多与组织和企业管理相关的概念和术语。
在本文中，我们将对一些常见的管理经济学名词进行解释和阐述。
以下是对这些名词的详细解释：1.效用（Utility）效用是指个人或组织对特定产品、服务或决策结果所感受到的满意程度或期望值。
在经济学中，效用被认为是人们行为背后的动力。
管理经济学中，效用的概念常用于衡量和评估企业或组织内部决策的合理性。
2.边际分析（Marginal Analysis）边际分析是指在决策过程中考虑每个额外的单位或变动的效果。
它基于边际成本和边际收益的原理，通过比较额外一单位的成本和收益来做出最优决策。
在管理经济学中，边际分析可以帮助经理人确定最佳投入与产出的平衡。
3.供给与需求（Supply and Demand）供给与需求是经济学中最基本的概念之一。
供给指的是市场上各个卖方愿意以一定价格和数量提供的商品或服务。
需求指的是市场上各个买方愿意以一定价格和数量购买的商品或服务。
供给与需求的平衡决定了市场价格和交易量。
4.弹性（Elasticity）弹性是指单位价格变化对数量变化的敏感程度。
市场上的产品或服务的需求弹性和供给弹性可以帮助企业了解消费者对价格敏感程度，从而调整定价策略和市场策略，以实现利润最大化。
5.固定成本与变动成本（Fixed Costs and Variable Costs）固定成本是指在生产或经营过程中无论产量多少都不会改变的成本，如租金、设备折旧等。
变动成本是与产量或经营规模成正比例变动的成本，如原材料成本、劳动力成本等。
企业通过合理控制固定成本和变动成本的比例来实现成本效益。
6.机会成本（Opportunity Cost）机会成本指的是由于某个选择而放弃的最高价值的替代选择的成本。
在资源有限的情况下，企业或个人做出一种选择必然意味着无法选择其他可行的方案，机会成本帮助我们权衡各种选择并做出经济最优的决策。
微积分— 边际分析与弹性分析
《微积分》(第三版) 教学课件
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二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
弹性的意义
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 fx0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
R(100) 1002 6100 10600
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(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L(q) R(q) C(q)
例4.已知某产品的成本函数为C(q) 2q2 4q 21，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数.
ff(x((0xx)00)f)
x0xx00 f(fx((0xx)00))
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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
导数在经济学的应用
第七节 导数在经济学中的应用本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析.内容分布图示★ 引言 ★ 边际函数★ 边际成本 ★ 例1★ 边际收入与边际利润★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 函数的弹性★ 需求弹性 ★ 例5★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-7 ★ 返回内容要点：一、边际分析在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时，y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化.边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值.边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数.边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，收入函数 )()(x xP x R =利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数)收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数.二、 函数弹性函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义.定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量)()()(x f x f x x f y y -∆+=∆ 与自变量的相对改变量x x ∆之比xx y y //∆∆, 称为函数)(x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性(或相对变化率). 而极限 x x y y x //lim0∆∆→∆ 称为函数)(x f 在点x 的弹性(或相对变化率), 记为.lim //lim 00yx y y x x y x x y y Ex Ey x x '=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ 注: 函数)(x f 在点x 的弹性ExEy 反映随x 的变化)(x f 变化幅度的大小,即)(x f 对x 变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, )(x f ExE 表示)(x f 在点x 处,当x 产生1%的改变时, 函数)(x f 近似地改变)(x f Ex E %, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字.需求弹性：设需求函数)(P f Q =, 这里P 表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P 时的需求弹性如下:)()(lim //lim)(00P f P f P Q P P Q P P Q Q P P P '⋅=⋅∆∆=∆∆==→∆→∆ηη 当P ∆很小时, 有 PQ P f P P f P f P ∆∆⋅≈'⋅=)()()(η, 故需求弹性η近似地表示在价格为P 时, 价格变动1%, 需求量将变化%η, 通常也略去“近似”二字.注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当0>∆P 时, 0<∆Q ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 用需求弹性分析总收益的变化：总收益R 是商品价格P 与销售量Q 的乘积, 即),(P f P Q P R ⋅=⋅=由 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='+=')()(1)()()(P f P P f P f P f P P f R ),1)((η+=P f知：(1) 若1||<η, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,0>'R R 递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.(2) 若1||>η, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.0<'R , R 递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.(3) 若1||=η, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度.0='R , R 取得最大值.综上所述, 总收益的变化受需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化,例题选讲：边际分析例1（讲义例1）设每月产量为x 吨时, 总成本函数为4900841)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.例2（讲义例2）设某种产品的需求函数为P x 1001000-=, 求当需求量300=x 时的总收入, 平均收入和边际收入.例3（讲义例3）设某产品的需求函数为x P 1.080-=(P 是价格, x 是需求量), 成本函数为x C 205000+=(元).(1) 试求边际利润函数)(x L ', 并分别求150=x 和400=x 时的边际利润.(2) 求需求量x 为多少时, 其利润最大?例4（讲义例4）设某厂在一个计算期内产品的产量x 与其成本C 的关系为32000001.0003.061000)(x x x x C C +-+==(元),根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量.函数弹性例5（讲义例5）设某种商品的需求量x 与价格P 的关系为.411600)(PP Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1) 求需求弹性)(P η;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 再增加1%, 求该商品需求量变化情况.例6（讲义例6）某商品的需求函数为275P Q -=(Q 为需求量, P 为价格).(1) 求4=P 时的边际需求, 并说明其经济意义.(2) 求4=P 时的需求弹性, 并说明其经济意义.(3) 当4=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?(4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?例7（讲义例7）糖果厂每周的销售量为Q 千袋, 每袋价格为2元, 总成本函数为10001300100)(2++=Q Q Q C (元), 试求:(1) 不盈不亏时的销售量; (2)可取得利润的销售量;(3) 取得最大利润的销售量和最大利润;(4) 平均成本最小时的产量.例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品:60000,001.02.7)(60000,0002.04.2)(22≤≤-=≤≤-=x x x x R x x x x C试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?例9 某企业的成本函数为50005.0+=x C ，其中C 的单位为元，而x 为上生产数量. 试求10000,1000=x 及100000时的单位平均成本, 当x 趋近于无穷大时单位平均成本的极限为何?课堂练习1.设某产品的成本函数和价格函数分别为,10050)(,100053800)(2x x P x x x C -=-+= 决定产品的生产量x , 以使利润达到最大.2.设商品需求函数为,2/12)(P P f Q -==(1) 求需求弹性函数;(2) 求6=P 时的需求弹性;(3) 在6=P 时, 若价格上涨1%, 总收益增加还是减少? 将变化百分之几?(4) P 为何值时, 总收益最大? 最大的总收益是多少?。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
经济学论文容易用的模型
九个基本经济数学模型：1、边际分析模型：边际成本：设成本函数为：C=C(q) (q是产量)则边际成本：表示产量为q时生产1个单位产品所花费的成本。
边际收益：设需求函数为P=P(q) (q是产量，P是价格)则收益函数为：R=R(q)=q﹒p(q)边际收益为：表示销售量为q时销售1个单位产品所增加的收入。
边际利润：设利润函数L=L(q)=R (q)-C(q) 则边际利润ML=L’(q)= 边际利润ML=L’(q)表示销售量为q时销售点1个单位产品的所增加的利润。
2、弹性分析模型：需求价格弹性：设需求函数q=q(p)，q是需求量，P是价格。
则需求价格弹性：当价格上升百分之一时，需求量减少百分之一；当价格下降百分之一时，需求量上升百分之一需求收入弹性：需求量是收入的（单增）函数，q=q(R),q是需求量，R是收入，则需求收入弹性当收入增加百分之一时，需求量增加百分之；当收入减少百分之一时，需求量减少百分之3、最大利润模型：设总利润L=L(q)=R(q)-C(q)L(q)取得最大利润的必要条件：L(q)取得最大利润的充分条件：4、最优批量模型：（其中：T总成本，Q为每批产量，S为产品的调整准备成本，A为全年产量）得5、线性回归方程：模型设变量x与y存在线性关系，y=ax+b，对n 项实验得n对数据（x1、y1）, （x2、y2）,………(xn、yn)。
可求出则y=ax+b6、线性规划数学模型：1 2 1式称为目标函数，2式称为约束条件x1、x2………, xn称为决策变量，满足2式的一组变量值称为线性规划问题的可行解，使1式达到最大（小）值的可行解称为最大解。
7、投入产出数学模型：投入产出表(略)产出分配平衡方程：（i=1,2,…...,n）投入构成平衡方程：（j=1,2,…...,n）是直接消耗系数设则投入产出数学模型完全消耗系数: 有：8、风险型决策数学模型：1期望值准则如果用A表示各行动方案的集合，N表示各自然状态的集合，P是各状态出现的概率向量，M 是益损值的矩阵，即这时，则决策实质就是求向量E（A）的最大元或最小元对应的行动方案。
导数在经济中的应用
一个单位产品，总收入约增加12个单位。
二、弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对 生产、供给、需求等问题的研究。 函数的弹性是指函数的相对变化率。
对于函数f(x),如果极限
y / y lim y x x x 0 x / x lim f ' ( x) x 0
边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
2、边际收入：多销售一个单位产品所增加的销售收入。 收入函数R=R(q)，q为某产品的销售量。 边际收入就是收入函数关于销售量q的导数R'(q)。 3、边际利润：多销售一个单位产品所增加(或减少)的 利润。
利润函数L=L(q)=R(q)-C(q)，q为某产品的销售量。
边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
2、边际收入：多销售一个单位产品所增加的销售收入。 收入函数R=R(q)，q为某产品的销售量。 边际收入就是收入函数关于销售量q的导数R'(q)。 3、边际利润：多销售一个单位产品所增加(或减少)的 利润。
利润函数L=L(q)=R(q)-C(q)，q为某产品的销售量。
p dS p Es S ' ( p ) S dp S
例2 设某商品的需求函数为
Q 3000 e0.释其经济含义.
p p 0.02 p 解： Ed Q' ( p) 3000 (0.02)e Q 3000 e 0.02 p
Es (2) 2
它的经济含义是：当价格为2时，若价格增加1%， 则供给增加2%.
1 由q=100-5p得： p (100 q) 5 1 1 R(q) (100 q)q (100 q q 2 ) 于是 5 5 1 边际收入函数为 R' (q) (100 2q) 5 R' (20) 12, R' (50) 0, R' (70) 8
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
边际分析与弹性分析
L' ' (Q) 0,即R' ' (Q) C' ' (Q) 充分条件：
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R' (Q) C ' (Q) , R' ' (Q) C ' ' (Q)
（二）弹性分析
Ey x x 1.弹性定义：设y=f(x)可导，则 y' f ' ( x) Ex y f ( x) 称为y=f(x)的弹性。
例1：某企业生产一种产品，利润L(x)= 250x 5x 2 ，x 为产量，在x=10、25、30时分别求再多生产一吨产品所 带来的利润。
解： L' ( x) 250 10x
L' (10) 150, L' (25) 0, L' (30) 50
2.最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取最大值必要条件：L' (Q) 0,即R' (Q) C ' (Q)
4.收益弹性
ER p p p R' ( p ) (pQ)' 1 Q' 1 (p ) Ep R (p ) pQ Q
R' (p ) Q pQ' Q(1 (p ))
பைடு நூலகம்
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) % ( 2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
y
2.需求弹性：设需求函数Q=f(p)在 p处可导， 则在p处需求弹性为
EQ p ( p ) Q Ep Q
边际的概念 经济学中常见的边际函数 弹性分析 需求价格弹性
称为边际利润函数. 当销售量为Q, 总利润为L=L(Q)时, 称 L(Q ) 为销售量 为Q 时的边际利润, 它近似等于销售量为Q 时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润.
例3 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入
p 1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求：(1)需求弹性函数(通常记作 p); 2
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求点弹性. 解
p 1 1 3 1 (1) Q ( p ) a ( ) ln( ) 3 2 2
Q( p) 由p p Q( p )
(2) p 0.92,
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
C C (90) C (75) 101.25(元 / 件) x 90 75
(3) 当日产量为75件时的边际成本 1 C ( x ) x 60 2
C(75) C( x)
x 75
97.5(元)
2. 边际收益
利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响. 在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp > 0)或降
价(Δp < 0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以
得出价格变动如何影响总收益的结论. 总收益 R 表示为价格 P 的函数需求函数
R(P ) P Q P Q ( P)
总收益 R 对 P 的导数是总收益关于价格的边际收益
际函数值。 已知 意义). 故有
y f ( x0 )x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍.ppt
所以 Q 20 时，平均成本最小。
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第四章 中值定理与导数的应用
（三）收益 收益是生产者出售一定量产品时所得到的 全部收入。 平均收益是生产者出售一定量的产品，平 均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品 的售价。 边际收益是总收益的变化率。 总收益、平均收益、边际收益均为产量的 函数。
y0 x0
lim y x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当
x0
为定值时，Ey
Ex
为定值。
x x0
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第四章 中值定理与导数的应用
对一般的 x ，若 f ( x) 可导，则
Ey lim y y lim y x y x
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第四章 中值定理与导数的应用
10%，而商品乙只涨了0.1%。因此我们有必要 研究函数的相对改变量和变化率。
例如，y x2 , 当 x 由10改变到12时，y 由
100改变到144，此时自变量与因变量的绝对改 变量分别为 x 2 ,y 44 , 而
例7 某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 是年产量 Q 的函数
R
R(Q)
400Q
Q2 2
80000
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总
利润是多少？
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当 Q 10 时，总成本 C(10) 125 平均成本 C(10) 12.5 边际成本 C(10) 5
边际分析与弹性分析
边际分析与弹性分析边际分析和弹性分析是经济学中重要的概念和工具。
边际分析主要研究个体或单位在其中一决策上的最后一单位收益或成本，弹性分析则是研究个体或单位对外部影响的敏感程度。
边际分析是指在边际条件下，对单位变动的最后一个单位进行分析的方法。
边际成本是指增加或减少单位产量所引起的总成本的变化，边际效益是指增加或减少单位产量所引起的总效益的变化。
在做决策时，我们通常会比较边际成本与边际效益之间的关系，当边际效益大于边际成本时，持续增加产量，反之亦然。
这种比较的方法称为边际收益递减原理。
以生产为例，边际成本和边际效益可以用来优化生产过程。
当边际成本低于边际效益时，单位的生产成本还可以通过增加产量来降低，从而带来更多的利润。
但是，随着产量的增加，边际成本将逐渐增加，当边际成本高于边际效益时，增加产量将不再有利可图。
弹性分析是指个体或单位对其中一变量变化的敏感程度。
根据弹性的概念，我们可以衡量其中一变量的变化对其他相关变量的影响。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性衡量了消费者对产品或服务价格变化的敏感程度。
价格弹性大于1表示消费者对价格变化非常敏感，产品或服务的需求量会随价格的变动而显著变化。
价格弹性小于1表示消费者对价格变化不太敏感，产品或服务的需求量不会随价格的变动而显著变化。
收入弹性衡量了消费者对收入变化的敏感程度。
收入弹性大于0表示产品或服务的需求量与收入正相关，收入增加时需求量也会增加，收入弹性小于0表示产品或服务的需求量与收入负相关，收入增加时需求量会减少。
边际分析和弹性分析在经济学中起着重要的作用。
通过边际分析，我们可以优化决策，确定最优的产量或资源配置方案。
而弹性分析则帮助我们了解市场需求和供给的变化，指导企业和政府制定相应的决策策略。
例如，在企业的市场定价决策中，通过对价格弹性的分析，企业可以了解到市场对产品价格变化的敏感程度，进而决定是否降价来吸引更多的顾客。
另外，在政府的税收政策制定中，通过收入弹性的分析，政府可以了解到不同收入水平的人群对税收的敏感程度，进而制定相应的税收政策来实现贫富均衡或者调控经济发展。
边际分析与弹性分析PPT课件
y(10) 20 它表示当 x 10时， x改变一个单位，
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二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
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例4 边际成例3中的商品，当产量Q为多少时，
解
C
200 Q2
0.05,C
400 Q3
令C 0，得Q2 4000, Q 63.25 (只取正值)，
C(63.25) 0
所以Q 63.25时，平均成本最小．
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三、收益
总收益是生产者（或销售者）出售一定量商品时所 得到的全部收人．
在点 x x0处， x从 x0改变一个单位， y相应
改变的值应为y xx0 ．但当 x改变的“单位”很小时， x1
或 x的“一个单位”与 x0值相对来说很小时，则有
y x x0 dy x x0 f ( x) dx x x0 f ( x0 )
x 1
dx 1
dx 1
（当x 1时,标志着 x由 x0减少一个单位。）
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例 3 生产某种产品Q个单位时成本函数为C 200 0.05Q2， 求生产60个单位与生产80个单位该产品时的总成本、 平均成本及边际成本．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
边际与弹性
解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex
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例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价 10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？
题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采 用相对改变量.
解 时，有
因为R=PQ，由(3)式有 当时，有 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.
在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在 短期成本函数中作为固定成本，它是常数，而生产中使用劳力，原料、 材料、水电等方面的投入随产量x的变化而改变，生产的这部分成本是 可变成本，以记，于是成本函数可表示为
此时边际成本为 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本. 在实际经济量化分析问题中，经常将产量为时的边际成本和此时已 花费的平均成本做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成 本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成 本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平 均成本时可使产品的平均成本最低. 2．边际收入和边际利润 在经济学中，边际收入定义为销量为x时再多销售一个单位产品时 所增加的收入. 设收入函数是可导的，收入函数的变化率是 同边际成本道理一样，我们认为就是边际收入.因此，边际收入是
1．边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量为x时再增加一个单位产量时所 增加的成本. 成本函数的平均变化率为
它表示产量由x变到x+时，成本函数的平均改变量. 当成本函数可导时，根据导数定义，成本函数在x处变化率为 在经济上我们认为就是边际成本.因此，边际成本是成本函数关于 产量x的一阶导数.，它近似等于产量为x时再生产一个单位产品所需增 加的成本，即
的大小时，是指弹性的绝对值,一般在经济分析中将需求弹性记为. 当时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的
百分比相等；当时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价 格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当时，称为低弹 性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动 对需求量影响不大.
设x的改变量为时，经济变量的改变量为=，则相应于,y的平均变化
率是
由边际的概念，在上式中取或就可得到边际量的表达式.但边际概念 的定义和计算使我们想到能否用函数的导数作为y的边际量呢？如果按 纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须 趋向于零，而实际问题中自变量x的经济意义通常是按计件的产量或销 量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考 虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很 大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的 这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导 数 表示经济变量y的边际量，即认为的经济意义是自变量在x处有单位改变 量时所引起函数的改变数量.
念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在 此不再阐述.
下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用. 例1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为和，其中为产量，
单位为件，和的单位为千元，求：
（1）边际成本、边际收入、边际利润；
（2）产量时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解
这个大小度量了对x变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描 述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重
要. 如果极限 存在，则称此极限值为函数在点x0处的点弹性，记为，
称为函数在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.
而称
为函数在以x0与x0+为端点的区间上的弧弹性. 弧弹性表达了函数当自变量x从x0变到x0+时函数的平均相对变化
一、边际分析
边际的概念. 如果一个经济指标y是另一个经济指标x的函数，那么当自变量有改 变量时，对应有函数的改变量.在经济学中，当自变量在x处有一个单位 改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x处的边 际量.例如当生产量在x单位水平时的边际成本，就是在已生产x单位产 品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再 多生产一个单位产品所花费的成本.
收入函数关于产量x的一阶导数.，它近似等于销量为时再销售一个单位
产品所增加（或减少）的收入.即 设利润函数为，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即
则边际利润是 因此，边际利润是利润函数关于产量x的一阶导数，它近似等于销
量为x时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润. 在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概
二、弹性分析
一个简单引例.设，当x由10变到11时，y由100变到121.显然，自变 量和函数的绝对改变量分别是=1，=21，而它们的相对改变量和分别为
=
=
这表明，当自变量x由10变到11的相对变动为10%时，函数y的相对 变动为21%，这时两个相对改变量的比为
解释E的意义：x=10时，当x改变1%时，y平均改变2.1%，我们称为 从x=10到x=11时函数的平均相对变化率，也称为平均意义下函数的弹 性.
率，而点弹性正是函数在点x0处的相对变化率. 例2 求指数函数的弹性函数.
解 因为 所以 .
1. 需求弹性 函数的弹性表达了函数在处的相对变化率，粗略来说，就是当自变 量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数. 需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一 个经济指标. 设某商品的市场需求量是价格的函数：，是可导函数，则称 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为. 可以这样解释的经济意义；当商品的价格为时，价格改变1%时需 求量变化的百分数. 为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需 求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量 和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m公斤/ 元来度量，在美国将以公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价 格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中 广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等. 由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而 ,这 说明需求价格弹性一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1% 时，需求量将下跌（或上涨）约，因此在经济学中，比较商品需求弹性
在商品经济中，商品经营者关心的是提价（）或降价（）对总收入 的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.
设收入函数为，则，此时边际收入为
（2）
当很小时,有
（3） 由此可知，当（高弹性）时，商品降价时()，，即降价可使收入增 加，商品提价时()，，即提价将使总收入减少. 当（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当（单位弹性）时，，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格 政策,以使收入快速增长. 例3 设某种产品的需求量与价格的关系为 （1）求需求弹性； （2）当产品的价格时再增加1%，求该产品需求量变化情况. 解 （1）由需求弹性公式 需求弹性为-1.39p，说明产品价格增加1%时，需求量将减少 1.39%. （2）当产品价格时,有 这表示价格时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格 降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高 弹性的，适当降价会使销量大增.
释其经济意义.
解 由边际的定义有 （1）边际成本
边际收入 边际利润 （2）当产量为20件时，其收入和利润为
（千元） （千元） 其边际收入与边际利润为 （千元/件） （千元/件） 上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润 为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即 生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业 的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利 千元的局面，故应该再增加产量.