一次函数及反比例函数的图象与性质

一次函数及反比例函数的图象与性质
一、知识要点概述
（一）一次函数
1、一次函数的定义：形如y=kx＋b(k，b为常数且k≠0)的函数叫一次函数．
2、正比例函数的定义：y=kx(k≠0)叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．
3、一次函数的图象是一条经过及(0，b)的一条直线．
4、一次函数的性质：当k＞0时y随x的增大而增大．
当k＜0时y随x的增大而减小．
5、一次函数y=kx＋b的图象与k、b的符号关系表
（二）反比例函数
1、反比例函数定义：形如叫做反比例函数．自变量的取值范围是x≠0．
2、反比例函数的图象是双曲线．
3、反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
(2)当k＜0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
（三）基本规律
1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b．
2、对于直线l 1：y=k 1x ＋b 1，与l 2；y=k 2x ＋b 2．
当l 1∥l 2时，k 1=k 2且b 1≠b 2，反之当k 1=k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2．
3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kx ＋b 与两坐标轴的交点
和(0，b)，正比例函数图象过(0，0)和
点(1，k)． 4、反比例函数的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x≠0，这两条曲线可以无限地接近x 轴、y 轴，但永远不会与x 轴、y 轴相交．双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的．
5、过双曲线上任一点向x 轴或y 轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为
．这一结论常常
用到，应特别记住．
二、典型例题剖析 例1、(1)若函数是一次函数，则m=________．
(2)已知m 是整数且一次函数y=(m ＋4)x ＋m ＋2的图象不经过第二象限，则m=________．
点评：
(1)一次函数y=kx ＋b 中k≠0这一条件不能忽视．
(2)直线y=kx＋b不过第二象限的条件要特别注意，此时直线经过第
一、三象限是正比例函数．
例2、已知y＝y
1＋y
2
，y
1
与x－1成正比例，y
2
与x＋1成反比例．当x=0时y=－5，当
x=2时y=1，那么当y=－3时x=________．分析：
根据题意，分别设出y
1与y
2
的函数关系式，根据y=y
1
＋y
2
，把x、y代入求出比例
系数，得到y与x的函数关系式，再求x的值．
注：
这里必须注意，其中的两个比例函数要用两个不同字母k
1，k
2
，千万不要用同一个
字母k，这是同学们易错的地方．
例3、已知一直线经过点A(－1，1)和B(1，－5)求直线AB的解析式．
分析：
直线的解析式可设为y=kx＋b，因为k，b待定，由直线过A(－1，1)和B(1，－5)可以确定．
解：
设直线AB的解析式为：y=kx＋b(k≠0)
∵点A(－1，1)和B(1，－5)在直线y=kx＋b上，
∴直线AB的解析式为y=－3x－2
点评：
求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：
(1)设函数的解析式为y=kx＋b(k≠0)．
(2)将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组．
(3)求k，b的值，得函数的解析式．
例4、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y=－x＋(k＋1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标及△AOC的面积．
点评：
例5、如图，已知直线y=－x＋2与x轴、y轴分别交于A和点B，另一直线y=kx＋b(k≠0)
经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分．
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值．
(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1︰5，求k和b的值．
解：
(1)由直线y=kx＋b(k≠0)经过点C(1，0)且把△AOB分成面积相等的两部分，则该直线应为△ABO的中线BC所在的直线，由题意知B点坐标为B(0，2)，
∴y=kx＋b经过点B(0，2)，C(1，0)，易求得k=－2，b=2．
(2)如果直线y=kx＋b分△AOB两部分的面积比为1︰5，则有两种情形：
①过点C作直线y=kx＋b交y轴于点E(0，y
)，
例6、已知关于x的函数y=k(x－1)和它们在同一坐标系的图象大致是（）
A．B．C．D．
解：选B．
按比例系数的性质进行分类讨论．当k＞0时双曲线在第二、四象限，而直线y=k(x－1)在第一、三、四象限，故只有选B．
例7、已知(－1，y
)，(2，y2)，(π，y3)在反比例系数的图象上，则下列结论
1
正确的是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
解：选B ．
无论k 为何值，反比例系数－k 2－1＜0，所以双曲线
的两个分支分别位
于第二、四象限．故当x ＜0时y ＞0，当x ＞0，y ＜0．
∴y 1＞y 2，y 1＞y 3．
又∵2＜π，∴y 3＞y 2．
∴y 1＞y 3＞y 2，选B ． 例8、已知反比例函数的图象上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且当x 1＜0＜x 2时有y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）
解：选C ．由x 1＜0＜x 2时有y 1＜y 2知1－2m ＞0，
例9、某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时冷藏费．
(1)设该批发商待运的海产品有x(吨)，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y 1(元)和y 2(元)，试求y 1和y 2与x 的函数关系式．
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？
分析：这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键．
解：(1)根据题意有
(2)当y
1
=y2即222x＋1600=250x＋200，解得：x=50；
当y
1＞y
2
即250x＋200＞222x＋1600，解得：x＞50；
当y
1＜y
2
即250x＋200＜222x＋1600，解得x＜50.
当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于30吨且不足50吨时，选择汽运公司，当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司．
例10、十堰市广电局与长江证券公司联合推出宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、点击武当、影视欣赏、股市大户室等项服务．其上网费用的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间(x小时)与上网费(y元)的函数关系如图所示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元，若设一用户每月上网x小时，月上网总费用y元．
(1)根据图象求出方式二中y与x的函数关系式(0≤x≤100)；
(2)试写出方式三中，y与x的函数关系式(0≤x≤75)
(3)试问此用户每月上网60小时，选用哪种方式上网，其费用最少？
分析：
这是一道图象信息题，根据题意，结合图象解题，其中求方式二的解析式是难点，应分0≤x≤50和50≤x≤100两个区间求解析式．
解：
(1)①当0≤x≤50时，y=58．
②当50≤x≤100时，设y=kx＋b(k≠0)，由图象可知直线经过(50，58)，(100，118)两点，
(2)当0≤x≤75时y=1.6x
(3)当x=60时，方式一收费y=80元；
当x=60时，方式二收费y=1.2×60－2=70元；
当故用户每月上网60小时，应选择方式二上网费用最小x=60时，方式三收费
y=1.6×60=96元．。