平面向量的数量积及应用教学设计

平面向量的数量积及应用教学设计
华罗庚中学袁劲竹
一、教材分析
向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。

利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。

《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。

也就是，在复习了平面向量数的有关概念，坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。

二、课标要求
1、平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、命题走向及高考预测
通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。

预测高考：
预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。

四、学情分析
学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。

由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。

五、教学目标
知识目标：1、掌握平面向量的数量积公式及向量的夹角公式；
2、运用平面向量的知识解决有关问题。

能力目标：1、通过本节课的学习培养学生观察、分析、化归转化的能力；
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

六、教学重点、难点
重点：平面向量数量积公式及平面向量的应用。

难点：如何将有关问题等价转化为向量问题。

七、教法、学法分析
教法：采取启发引导、反馈评价等方式；
学法：引导学生积极参与、自主探索，培养探究能力。

八、教学过程
【基本知识点回顾】
1、向量的数量积的概念
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积。

4、向量的应用
（1）平面向量数量积的运算
（2）利用平面向量数量积解决平行与垂直问题
（3）利用平面向量数量积解决夹角问题
（4）平面向量的综合运用
注：本节课是第2课时，重点学习（3）利用平面向量数量积解决夹角问题和（4）平面向量的综合运用，其中平面向量的综合运用主要是在三角函数中的应用，在立体几何、解析几何等方面的应用放在后面学习。

【典例剖析】
应用3：利用平面向量数量积解决夹角问题
夹角的余弦值
与的夹角的大小与）（，求：，，已知年广州调研、例b a b a b a b a b a b a a +-=+⋅-=•=)2(;121)()(211)2011(1
思路分析（先提问学生，然后板演解题过程）：利用向量夹角的余弦公式求解
设计意图：让学生分析解题思路以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

让学生上台板演可以暴露学生存在的问题，老师及时予以纠正，并呈现标准的解答格式，促使学生自我反思，以加强学生答题的规范性，做到“会做的题目得满分，不会做的题目不得零分”。

【巩固练习】 的夹角是（）与，则向量且、重庆理）已知）（（b a a b a b a 2)(61091=-•==
6A π、 4
B π、 3
C π、 2
D π、 2、数量积的性质(e 是单位向量，〈a ，e 〉＝θ)
(1)e ·a ＝a ·e ＝__________. (2)当a 与b 同向时，a ·b ＝_____；当a 与b 反向时，a ·b ＝__________.特别地，有a ·a ＝_______或|a |＝________ (3)a ⊥b ⇔__________.
(4)cos 〈a ，b 〉＝________. 3、数量积的坐标运算
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝______________. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝_______，|a |＝________. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|BA →|＝____________________. (4)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔_____________________.
夹角的余弦值等于（）
，则，，为平面向量，已知，年高考课标全国卷）（b a b a a b a )18,3(2)3,4(2010)2(=+= 65
8、A 658-、B 6516、C 6516-、D
答案：（1）C ； （2）C ；
设计意图：选用的两道题中，一道题向量是非坐标形式的，另一道题向量是坐标形式的，通过练习，让学生学会选用适当的公式解题，巩固所学知识。

同时，让学生多参与、多思考、多活动，改变教师大段讲解的倾向，使师生活动交替进行，调节学生的注意力，促进学生各方面的发展。

题后小结：
应用四：平面向量的综合运用
例2、(2009 湖北理)已知向量(cos sin )a αα=，， (cos sin )b ββ=，，(10)=-，c ．
（1）求向量b +c 的长度的最大值；
（2）设π4
α=，且()+⊥a b c ，求cos β的值．
设计意图：通过典例精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、解决问题的能力。

【自主探究、共同提高】 _____cos )1,1(2)3,3()06(1θθ，则，，的夹角为与设向量天津理、-=-=a b a b a 的夹角的余弦值
与，试求，，若的夹角为与、已知两单位向量d c a b d b a c b a -=-=212020______
)cos 2,sin 2()sin ,(cos 2032121长度的最大值是则向量，，，已知两个向量、设p p op op θθθθπθ-+==≤≤
答案： 1
； 2、42
219-；3、23 设计意图：要求每位学生自己先做练习，然后对照答案进行自主的学习、同座之间互相探讨，然后听老师或学生进行讲解。

本环节尽量留出时间让学生充分地比较，互相学习，共同提高。

(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系． (2)若已知a 与b 的坐标，则可直接利用公式 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.
【课堂小结】：
1、向量知识，向量观点有着广泛的应用 ，本节课主要学习了两方面的应用： 利用平面向量数量积解决夹角问题和平面向量的综合应用（在三角函数中应用）
2、本节课主要学习了化归转化的思想方法
向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系
设计意图：课堂小结由师生共同进行，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

同时要引导学生学会总结：做完一道题目的总结，学完一课、一章的总结，有总结才有提高，通过：练习—总结—再练习，提高学习效率。

【课堂小测】 的夹角为（）与，则向量，且，，北京、b a a c b a c b a ⊥+===21)05(1
030、A 060、B 0120、C 0150、D ._______)(212的夹角是与，则向量，且，、已知b a b a a b a -⊥==
22)cos ,1(),1,(sin 3πθπθθ<<-==，且、已知向量b a θ求若,).1(b a ⊥ 的最大值求）（b a +.2
答案：1、C 2、
4
π 3、（1）4π- ，（2）12+ 设计意图：通过课堂小测快速反馈，既可以把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到鼓励，乐于接受下一个任务，又可以及时发现学生存在的问题，及时矫正乃至调节教学的进度，从而有效地提高课堂教学的效率。

的值求且和思考题、设向量)8
2cos(,528)
2,(),cos ,sin 2()sin ,(cos πθππθθθθθ+=+∈-==n m n m
【课后作业，分层练习】
必做： 《课时作业本》第4章第3课时
选做：(2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b ＋c |的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考空间。

【教学反思】
待写……。