华师版初中数学：公理和定理
九年级数学定义、命题、公理、定理、证明;全等复习华东师大版知识精讲
九年级数学定义、命题、公理、定理、证明；全等复习华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 定义、命题、公理、定理、证明；2. 全等复习知识点回顾：一. 定义：能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义。
注意：定义必须严密，一般避免使用含糊不清的术语。
二. 命题：判断正确或错误的句子叫做命题。
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果……那么……”的形式。
三. 公理：正确性是人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。
常见公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等；四. 定理：正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。
【典型例题】例1. 指出下列句子哪些是定义。
（1）同位角相等，两直线平行（2）若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直 （3）大于直角而小于平角的角叫做钝角 （4）两点之间线段最短（5）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等解：（2）（3）是定义；（1）（4）（5）不是定义。
例2. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？ （1）连结AB （2）对顶角相等（3）如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等 （4）若a b 22，则a>b解：（2）（3）（4）是命题，其中（2）是真命题，（3）（4）是假命题例3. 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论。
（1）直角都相等（2）末位数是5的整数能被5整除 （3）三角形的内角和是180 （4）同角的余角相等（5）不相等的角不是对顶角 （6）内错角相等，两直线平行 解析：略例4. 如图，AB ＝CB ，BE ＝BF ，∠=∠12，求证：AE ＝CFF EA C2B 1证明： ∠=∠12∴∠+∠=∠+∠12FBE FBE∴∠=∠ABE CBF 在∆ABE 和∆CBF 中AB CB ABE CBF BE BF =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆ABE CBF AE CF例5. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上一点，∠=∠12，∠=∠34，求证：∠=∠56DA E CB 6 1 2 3 45证明：在∆DAC 和∆BAC 中∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪1234AC AC∴≅∴=∆∆DAC BAC CD CB在∆DCE 和∆BCE 中DC BC CE CE =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪43∴≅∴∠=∠∆∆DCE BCE56例6. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，DE 、DF 分别与两边交于E 、F 两点，且∠=EDF 45 ，求∆BEF 的周长。
初中数学-教材上的定义、公理、定理及推论
教材上的定义、公理（基本事实）、定理及推论1、直线、射线、线段定义；点动成线，线动成面，面动成体2、两点确定一条直线，两点之间线段最短3、两条直线有3种关系：重合、平行、相交4、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行5、同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6、垂线段最短7、两直线平行的判定定理1同一平面内，不想交的两直线平行2同位角相等，两直线平行3内错角相等，两直线平行4同旁内角互补，两直线平行5两直线与第三条直线平行，则这两直线平行6两直线与第三条直线垂直，则这两直线平行8、同角、等角、余角、补角、互补、互余定义9、邻补角定义和性质10、外角定义和性质11、对顶角相等12、角平分线定义、性质、判定1定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相同的角，这条射线叫做角平分线2性质：角平分线上的点到角两边的距离相等3判定：角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上13、垂直平分线（中垂线）定义、性质、判定1定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线2性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上14、三角形任意两边之和大于第三边，即最短的两条边之后大于第三边；如果三角形三条边a、b、c，则有|a-b|<c<a+b15、N边形内角和：(n-2)180，N边形外角和：360°，N边形对角线总数：n(n--3)/216、直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么其所对的角为30°17、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半18、勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边平方19、勾股定理逆定理：三角形中如果两条边的平方和等于另一边的平方则该三角形为直角三角形20、三角形“四心”1三条中线的交点是重心2三边垂直平分线的交点是外心3三条内角平分线的交点为内心4三角形三条高线的交点为垂心。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。
在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。
以下是初中几何中常用的公理和定理。
一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。
2.同位角公理：同位角互等。
3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。
4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。
二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。
2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。
3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。
4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。
5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。
7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。
8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。
10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。
11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。
12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。
13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。
14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。
15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。
16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。
17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。
18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。
20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。
华东师大版数学八年级上册2.定理与证明PPT
2.定理:
用推理的方法得到的真命题. 3.证明:
除公理外，一个命题的正确性 需要经过推理，才能作出判断，这 个推理的过程叫做证明.
【根据最新版数学教材编写】 5
举例：
1. 公理：
1) 直线公理：过两点有且只有一条直线.
2) 线段公理：两点之间，线段最短.
3) 平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G
H
C F 【根据最新版数学教材编写】
D 16
例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
OE平分∠AOB， OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF
E
B
证明：∵OE平分∠AOB，
②垂线段最短.
5) 平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线【也根据互最新相版数平学行教材.编写】 7
举例：
定理：
6) 平行线的判定定理：
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
7) 平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补.
【根据最新版数学教材编写】 8
典例分析
3. 证明：
例1.已知：如图，a∥b, c是截线 .
求证：∠1=∠2
c
3a 1
2b
【根据最新版数学教材编写】 9
c
证明：∵a∥b ( 已知 ) ∴∠3=∠2
1 3a 2b
(两直线平行，同位角相等)
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 )
华东师大3013版八年级上册数学定理公式
华东师大3013版八年级上册数学定理公式一、整式运算法则1）幂的运算同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m·a n=a m+n(m、n为正整数) 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a m)n=a mn (m、n为正整数)积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n(n为正整数)同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a m-n2）整式的乘法单项式与单项式相乘：只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb3）整式的除法单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
4）乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2- b2完全平方公式：(a+b)2=a2 +2ab+ b2(a-b)2=a2 - 2ab+ b25）因式分解一提（提公因式）：ma+mb+mc=m(a+b+c)二套（公式法）：a2 +2ab+ b2 = (a+b) 2 a2 - 2ab+ b2= (a-b)2 a2- b2 = (a+b)(a-b)三分组乘法与因式分解：a3+b3=(a+b)(a2 - ab+ b2) a3- b3=(a-b)(a2 +ab+ b2)二、数据的处理频数：表示每个对象出现的次数。
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。
频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。
三、定理两点确定一条直线两点之间，线段最短过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行全等三角形的判定条件边角边(SAS) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等角边角(ASA) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等角角边(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等斜边直角边(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等等腰三角形的性质等腰三角形的两底角相等(等边对等角）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作到线段两端点距离相等的所有点的集合外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三角形每个顶点的距离相等角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合内心：三角形三内角平分线交点，到三角形三边的距离相等勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学华东师大版八年级上册教案：13.1 命题、定理与证明 第二课时 定理与证明
优质资料---欢迎下载课题：13.1 命题、定理与证明第二课时定理与证明＆.教学目标：1、理解公理与命题，公理与定理之间的关系。
2、了解定理的作用，并初步学会运用公理、定理或真命题来证明其他的真命题。
＆.教学重点、难点：重点：公理、定理、命题之间的关系以及定理的作用。
难点：从公理、定理出发，用逻辑推理的方法进行简单的证明。
＆.教学过程：一、问题引入1、复习回顾：一个命题是由哪几部分组成的？2、根据你学过的知识填空.（1）一条直线截两条平行线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线互相平行；（3）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
二、探究新知思考：上述三个命题是真命题吗？以上三个都是真命题，以上的三个真命题均作为本书的公理。
（引出标题）§.公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
注意：（1）公理是真命题，而真命题不一定是公理。
（2）公理可以作为判断其他命题真假的原始依据。
§.探究定理的概念：观察下列判断真命题的推理过程，并在后面括号内填写适当的理由。
（1）命题：垂直于同一条直线的两条直线互相平行.如图所示，ab⊥，ac⊥.求证：cb//证明：∵ab⊥，ac⊥（已知）∴︒=∠901，︒=∠902（垂直的定义）∴21∠=∠（等量代换）a1 2b c∴c b //（同位角相等，两直线平行）（2）如图所示，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，点D 为AB 上任一点，BC DE ⊥. 求证：A ∠=∠1证明：∵︒=∠90C ，BC DE ⊥（已知）∵DE AC //（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） ∴A ∠=∠1（两直线平行，同位角相等） §.定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
九年级数学证明华东师大版知识精讲
初三数学证明华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：证明1. 证明的认识2. 用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。
二. 教学过程：（知识点回顾）1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。
（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等。
（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
2. 等腰三角形：（1）如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。
（2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。
3. 角平分线：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
4. 线段的垂直平分线上（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【典型例题】例1. “三角形内角和180°”的证明。
方法1：方法2：D A EB C方法3：AE方法4：AE（注：通过作平行线将角转化），证明过程略。
例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。
常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：（1）D （2）D（3）（4）D P也可以通过平移角的方法证明：（5） FDE∥BC，FH∥AB∠4＝∠6＝∠B∠3＝∠C∠5＝∠A∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠5＋∠4＋∠3＋∠ADC＝360°例3. 如图，已知：AB∥DE，观察∠A、∠C、∠D的关系如何？A BD EC图1A B D EC图2图1：方法一：延长CD交AB于F∵AB∥DE∴∠1＝∠CDE又∵∠1＝∠A＋∠C∴∠CDE＝∠A＋∠C方法二：延长ED交AC于F∵AB∥DE∴∠CFD＝∠A又∵∠CDE＝∠C＋∠CFD∴∠CDE＝∠C＋∠A方法三：过C作CF∥AB∵AB∥DE，∴DE∥CF∴∠1＋∠D＝180°∠1＋∠2＋∠A＝180°∴∠D＝∠2＋∠A图2：方法一：∵AB∥DE∴∠A＝∠DEA＝∠D＋∠CA BD EC方法二：延长BA、CD交于F∵AB∥DE∴∠F＝∠EDC∴∠BAC＝∠F＋∠C＝∠EDC＋∠C方法三：解略此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。
课件华东师大版数学八年级上册-13 命题、定理与证明 -课时ppt课件
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六
2、边会运用形公理、、定理七进行简边单的真形命题等的证明的。 内角和，得到一个结论：n
∴∠1= ∠AOB， ∠2= ∠BOC
边形的内角和等于（n-2）×180°。 已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
6) 平行线的判定定理：
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
第二课时 公理（正确性由实践总结）
3、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2、会运用公理、定理进行简单的真命题的证明。 6) 平行线的判定定理： 两直线平行，内错角相等. 1、举例说明一些公认的真命题（基本事实）； 经过分析，找出由已知推出求证的
督预示标
• 学习目标
• 1、什么是公理？什么是定理？ • 2、会运用公理、定理进行简单的真命题的
因此： 通过这种方式得到的结论，还需进一步加以 证实。
证明的定义
根据条件、定义及基本事实、定理等，经 过演绎推理，来判断一个命题是否正确， 这样的推理过程叫做证明。
例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条 定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两 个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的 两个锐角互余.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：
从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一 定也是质数。
他的结论正确吗？ 不正确
（2）如下图所示，一位同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形 的内部。于是他得到结论：任何一个三角形三 边的垂直平分线的交点都在三角形的内部。
他的结论正确吗？ 不正确
证明。
自学梳理
• 请同学们阅读课本55--57页的内容，完成 下列问题。
华师大7-9年级所学定理公理
华东师大版数学初一到初三所有公式定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即a^2+b^2=c^247 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48 定理四边形的内角和等于360°49 四边形的外角和等于360°50 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2）×180°51 推论任意多边的外角和等于360°52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
华东师大初中数学八年级上册命题、定理与证明知识讲解[精选]
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命题、定理与证明知识讲解【学习目标】1．了解命题、定理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假；2．能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行几何证明；3．了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据．【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a ，b 两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A 错误；如果a 为有理数，那么a 是实数，故C 错误；有两边和夹角相等的两个三角形全等，故D 错误；而B 根据等腰三角形的定义可判断正确；【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
初中数学考点华师大版
初中数学考点华师大版对初中学生的指导更多的应侧重于学习方法和学习意志品质的培养进入初中以后，学生在学习上的独立性逐渐增强。
知识点是网络课程中信息传递的基本单元,研究知识点的表示与关联对提高网络课程的学习导航具有重要的作用。
今天作者在这给大家整理了一些初中数学考点华师大版，我们一起来看看吧!初中数学考点华师大版11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角其次是圆周角，最小的是圆外角。
初中数学考点华师大版21.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转进程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转进程中旋转的方向是相同的.(4)旋转进程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状.2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.3.旋转作图的步骤和方法：(1)肯定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.初中数学考点华师大版3①直线和圆无公共点，称相离。
华师版九年级数学广角 数学素材 公理
[科目]数学
[关键词]公理/几何
[标题]公理
[内容]
公理
数学中各种理论都是以某些命题为前提，只用它们不用其它而展开一系列的理论研究，这些命题便称之为该理论的公理﹝axiom﹞。
论证几何始于希腊。
埃及人的几何知识是经验的，当时著名学者泰勒斯，于游历埃及时，从当地人学得几何知识，并透过演绎法推导出他们的一些结果。
由此可知，几何的未知命题的论证是依靠一些已知命题的。
但何以证明这些已知命题呢？古希腊著名科学家、逻辑学始创者亚里士多德﹝Aristotle，公元前384─前322﹞曾说“任何一种严密的科学，都始于一些不可证明的原理，否则，所需要的证明将要无止境地进行下去，形成无穷无尽的步骤”。
于是便诞生了从几个“完全自明的命题”推导一切命题的思想，即公理法思想的起源。
亚里士多德把“完全自明的命题”分为两类：（1）公理﹝属普通性的命题﹞；（2）公设﹝属每门科学特有的﹞。
第一本运用公理法思想写成的《几何原本》的作者，古希腊大数学家欧几里得于书中列出公设及公理各五条为基础，以演绎法写出全部几何原理。
这对后世的科学发展影响深远。
由于受亚里士多德影响，他把“完全自明的命题”也分为公设及公理两类，但所指已别于亚里士多德的，故此后人便逐渐不再理会两者区别而统称为公理了。
其后，公理更从“完全自明的命题”发展成为“一个理论的前提假设”，这就是支配着近代数学的“公理主义”思想。
其表表者，德国数学家希尔伯特据此写成了《几何基础》，并提出严密的欧几里得公理系统﹝希尔伯特公理﹞。
数学初中八大公理知识点
数学初中八大公理知识点数学是一门基础学科，是现代科学和技术发展的基石。
在数学中，公理是起基础作用的重要知识点。
初中时期，我们学习数学就会接触到一些数学的基本公理，也称为八大公理。
本文将逐步介绍初中数学的八大公理知识点。
一、点和直线的基本概念在数学中，点和直线是最基本的几何概念。
点是没有大小和形状的，只有位置的概念；而直线是由无数个点组成的，是没有宽度和厚度的。
在几何学中，点用大写字母表示，如A，B，C等；直线用小写字母表示，如a，b，c等。
二、第一公理：任意两点确定一条直线第一公理是几何学中最基本的公理之一。
它表明任意两点可以确定一条唯一的直线。
换句话说，如果给定两个不同的点A和B，那么它们可以确定一条直线。
三、第二公理：任意三点不共线第二公理指出，任意三个不共线的点可以确定一个平面。
这意味着如果给定三个不在同一直线上的点A，B和C，那么它们可以确定一个平面。
四、第三公理：直线上任意一点到另一点都有唯一的直线段第三公理表明，直线上的任意一点到另外一点之间，都存在唯一的直线段。
也就是说，如果在一条直线上给定两个不同的点A和B，那么它们之间只有一条直线段。
五、第四公理：对于任意一点O和任意一条直线L，存在且只存在一条经过O 且垂直于L的直线第四公理是垂直关系的基本公理。
它表明对于给定的一点O和一条直线L，存在且只存在一条通过O且垂直于L的直线。
这条直线被称为垂直于L的直线。
六、第五公理：通过直线外一点，存在且只存在一条与直线平行的直线第五公理是平行关系的基本公理。
它表明通过直线外的一点，存在且只存在一条与给定直线平行的直线。
这是平行线的基本性质。
七、第六公理：任意两条互相垂直的直线，它们之间的角度是九十度第六公理指出，任意两条互相垂直的直线，它们之间的角度是九十度。
这是垂直关系的基本性质。
八、第七公理：平行线的传递性第七公理是平行关系的基本性质。
它表明如果直线A与直线B平行，直线B 与直线C平行，那么直线A与直线C也平行。
新华师大版八年级上册初中数学 2-定理与证明 教学课件
新课导入
探 究 在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断 （陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定 义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所 表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他 们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈 述句叫做命题。
新课讲解
知识点3 证明
证明的一般步骤： ①审题，分清命题的条件和结论； ②画图，结合图形写出已知和求证； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程．
新课讲解
典例分析
例 直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图 13.1.2,在△ABC 中，∠C=90°.
求证：∠A+ ∠B = 90°
.定理都是真命题，定理可以作为判断其他命题真假的依据．
新课讲解
知识点2 定理 定义、命题、公理、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题． (2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其 他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真 命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
第十三章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明 2.定理与证明
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.正确理解公理、定理与证明的含义.（重点） 2.掌握命题证明的一般步骤.(难点） 3.掌握用举反例的方法判断假命题.（重点）
计算一下 2×3×5×7×11+1
与 2×3×5×7×11×1 3+1，你发现了
什么？
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始，排 在前面的任意多个质数的乘积加1 一定也是质数.他的结论正确吗？
华师版初中数学知识内容概况：公理和定理
华师版初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角1、两点之间，线段最短.2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线3、对顶角相等4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
5、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行.6、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.7、平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．二、三角形、多边形10、三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形的任何两边的和大于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．11、多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2.12、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.13、等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．14、直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.三、特殊四边形15、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.16、平行四边形的判定:（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.17、平行线之间的距离处处相等.18、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等且互相平分.19、矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形.20、菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.21、菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形.22、正方形的性质：（1）正方形的四个角都是直角；（2）正方形的四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.23、正方形的判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形.24、等腰梯形的判定：（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形.25、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；（2）等腰梯形的两条对角线相等.26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.四、相似形与全等形27、相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方.28、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.29、全等多边形的对应边、对应角分别相等.30、全等三角形的判定：（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）.（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（S.A.S.）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.).（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.）五、圆31、（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；（2）90°的圆周角所对的弦是圆的直径.32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.34、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.。
八年级数学上册13.1命题、定理与证明理清证明思路素材华东师大版(new)
理清证明思路要说明一个命题是真命题，除了公理外,其他的则需要推理，推理的过程就是证明，初学证明要注意以下两点:一、掌握基本的定义、公理、定理正确地理解几何定义、公理、定理是学好证明的前提，是推理的依据。
如：“两点之间线段最短”是证明三角形两边之和大于第三边的依据等.当一个命题被证明了是真命题时，它又可以作为证明其他命题是真命题的依据。
如:三角形内角和定理是证明四边形内角和等于360°的依据等。
二、掌握证明的书写过程几何证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程,证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件,也可以是定义、公理、已学过的定理。
在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里,像“已知”、“根据定义（如角平分线定义）”以及“等量代换”等。
证明一个几何命题一般分为以下几步：1。
根据题意，画出符合题意的图形。
2.根据条件、结论，结合图形，写出已知求证。
3.经过分析，找出由已知条件推出所要求的结论的途径，写出证明过程。
有些题目中，已经画好了图形,写好了已知、求证,这时只要写出“证明”一项就可以了。
证明的关键是思路的打开，分析问题的思路一般有两个类型。
1。
由果导因：从已知条件出发，逐步推理得到结论。
2。
执果索因：由结论向条件追溯。
下面我们就一道例题来体会一下证明的思路.【例题】已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证∠FDE＝∠DEB.【思考与分析】（1）由条件DE∥BC，可利用平行线的性质定理得同位角、内错角相等，同旁内角互补.（2)要证明∠FDE＝∠DEB，只要证明DF∥BE即可.证明:∵DE∥BC（已知）,∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行,同位角相等）.∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC（已知），∴∠ADF＝∠ABE（角平分线定义）.∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）。
∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）。
【小结】本题运用了平行线的性质和角平分线的定义，采用了由已知条件挖掘新条件，由结论进行逆推，从而找寻思路的方法,在以后的学习中我们要慢慢体会这种方法尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
初中数学公理
初中数学公理
《初中数学公理》
一、数的基本公理
1、集合公理：
（1）集合的定义：集合是任意给定的一组元素的总称。
（2）空集的定义：不包含任何元素的集合被称为空集。
（3）子集定义：若集合A中的所有元素都属于集合B，则A（即子集）称为B（即包含集）的子集。
2、等价关系公理：
若两个集合A和B，它们的元素一一对应，则称A与B是等价的，记作A≌B。
3、一元运算公理：
（1）集合的构成：集合的元素可以是任何类型的数据，可以是整数、小数、有理数、无理数、复数等。
（2）集合运算：集合之间可以进行加减乘除、幂、因式分解等一元运算。
4、基本性质：
（1）绝对值的基本性质：
a）|a|≥0；b）|a|=a或|a|=-a；c）|ab|=|a|·|b|；d）|a+b|≤|a|+|b|。
（2）最大公约数和最小公倍数的性质：
a）若a、b有公因数d，则d是a、b的最大公约数；b）a、b的
最小公倍数是a、b的乘积÷a、b的最大公约数。
5、基本法则：
（1）法则的定义：所谓法则，指的是通过具体的实例和实验，提取出的一种客观规律，并可以用数学语言表达出来，以用于解决实际问题。
（2）基本法则：
a）集合的分配律；b）量纲法则；c）分数的乘除运算法则；d）指数的乘除运算法则；e）和差的乘除运算法则；f）同余方程法则；g）惯例法则。
定理与证明【华东师大版】数学八年级数学(上册)-【完整版】
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新知探究
例. 如图，在Rt△ABC中， 已知：∠C=90° 求证：∠A+∠B=90°
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A
C
B
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新知探究
命题、公理和定理的关系
命题
真命题 假命题
公理 定理
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随堂练习
1.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，指出它 的条件和结论，并指出是真命题还是假命题： （1）同位角相等，两直线平行； （2）三角形的内角和等于180°； （3）半径为r的圆的面积为4πr； （4）四边形的对边平行且相等。
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数学家名言分享 树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我 愿一辈子从实而终。
——华罗庚
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13.1.2 定理与证明
学习目标
1. 了解基本事实（公理）、定理的概念 （重点） 2. 会用公理、定理进行简单的真命题的证明 （难点）
复习引入
命题
概念 结构 分类
条件（题设） 结论
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华师版初中数学知识内容概况
公理和定理
一、线与角
1、两点之间，线段最短.
2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线
3、对顶角相等
4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
5、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
6、平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行.
7、平行线的特征：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
二、三角形、多边形
10、三角形中的有关公理、定理：
（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.
（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
（3）三角形的任何两边的和大于第三边
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11、多边形中的有关公理、定理：
（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°.
（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.
（3）欧拉公式：顶点数+ 面数－棱数=2.
12、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.
13、等腰三角形中的有关公理、定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）
（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．
（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．
14、直角三角形的有关公理、定理：
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、特殊四边形
15、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
16、平行四边形的判定:
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
17、平行线之间的距离处处相等.
18、矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等且互相平分.
19、矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形.
20、菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
21、菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形.
22、正方形的性质：
（1）正方形的四个角都是直角；
（2）正方形的四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
23、正方形的判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形.
24、等腰梯形的判定：
（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；
（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
25、等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；
（2）等腰梯形的两条对角线相等.
26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.
四、相似形与全等形
27、相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应边成比例；
（2）相似多边形的对应角相等；
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方.
28、相似三角形的判定：
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
29、全等多边形的对应边、对应角分别相等.
30、全等三角形的判定：
（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）.
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（S.A.S.）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.).
（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）
（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.）
五、圆
31、（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；（2）90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
34、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.。