060702高数试卷期末试卷
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期6月期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省宜春市高二下学期6月期末数学试题一、单选题1．已知集合{}ln 1A x x =<，{}2B x y x ==-，则A B = （）A ．()0,eB ．(],2∞-C ．(]0,2D ．(),e -∞【答案】C【分析】根据对数的单调性解对数不等式求出集合A ，再根据具体函数的定义域求出集合B ，进而利用交集的概念即可求出结果.【详解】因为{}{}ln 10e A x x x x =<=<<，{}{}22B x y x x x ==-=≤，结合交集的概念可得(]0,2A B = ，故选：C2．若)1,0(,2P -，()3,1,1Q 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（）A ．()1,2,3B ．()1,3,2C ．()2,1,3D ．()3,2,1【答案】C【分析】利用方向向量的定义求解.【详解】依题意，直线l 的一个方向向量为3111( )( )( 0 21)23PQ -=-=，，，，，，，其他三个均不合要求.故选：C ．3．若直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．21,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组21122y x k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2(12)3253k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，所以2(12)032503k k -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得1252k k ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，所以5122k -<<，即实数k 的取值范围是51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A4．等差数列2-，0，2，…前10项的和为（）A ．252B ．302C ．352D ．402【答案】C【分析】根据等差数列求和公式求解.【详解】由题意，12=-a ，2d =，()1101011010182,103522a a a a d S +∴=+-==⨯=；故选：C.5．在等比数列{}n a 中，已知119a =，59a =，则3a =（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式可求出结果.【详解】设公比为q ，依题意得4519a a q ==，得4199q =，得481q =，29q =，所以2311919a a q ==⨯=.故选：A6．函数()2sin f x x x =-的零点个数为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B【分析】求出()2sin f x x x =-为奇函数，并得到()00f =，考虑2x >时无零点，02x <≤时，求导，得到函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.【详解】()2sin f x x x =-定义域为R ，()00f =，又()()()2sin 2sin f x x x x x f x -=-+=-+=-，故()2sin f x x x =-为奇函数，当2x >时，由于2sin 2x ≤恒成立，故()2sin 0f x x x =-<恒成立，无零点，故<2x -时，也不存在零点，当02x <≤时，()2cos 1f x x '=-，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()2sin f x x x =-单调递增，当π,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()2sin f x x x =-单调递减，故()2sin f x x x =-在π3x =处取得极大值，也时最大值，02sin ππππ33333f ⎛⎫=- =-⎝⎭>⎪，显然()00f =，()2sin2202f =-<，故由零点存在性定理知，在π,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上存在一零点，结合函数为奇函数，在π2,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上存在一零点，综上，()2sin f x x x =-一共有3个零点.故选：B7．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n 年的累计年产量为()()()1134T n n n n =++（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（）A ．7年B ．8年C ．9年D ．10年【答案】B【分析】计算出()1354n a n n =+，解不等式()135604n n +≤，则有2352400n n +-≤，再利用二次函数的单调性即可得到答案.【详解】第一年年产量为12a =，以后各年年产量为()()()11354n a T n T n n n =--=+，()2,N n n *≥∈，当1n =时也符合上式，∴()()135N 4n a n n n *=+∈．令()135604n n +≤，得2352400n n +-≤．设()235240f n n n =+-，对称轴为56n =-，则当0n >时，()f n 单调递增，又因为n *∈N ，()28385824080f =⨯+⨯-=-<，则最大生产期限应拟定为8年，()293959240480f =⨯+⨯-=>，故选：B ．8．已知函数()e ,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩＞，()22g x x x =-，记函数()()()F x g f x m =-，若函数()F x 恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12324x x x -+的最大值为（）A ．1ln3-B ．1ln3+C ．3ln3-D ．3ln3+【答案】C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，转化为研究()ln 34h x x x =-+，01x <<的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由()f x 的解析式，可知()f x 在(],0-∞上单调递增，且值域为(]0,1，在()0,∞+上单调递增，且值域为()0,∞+，函数()f x 的图像如图所示，所以在()f x 的值域(]0,1上，任意函数值都有两个x 值与之对应，在值域()1,+∞上，任意函数值都有一个x 值与之对应.要使()()()F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，由()22g x x x =-的图像开口向上且对称轴为1x =，易知10m -<<，此时()()12g t g t m ==，且1212012,2t t t t <<<<+=，结合()f x 的图像及123x x x <<，得12132e 2,2xx t x t ===，则121123ln ,,22t t x t x x ===，所以()1231121111124ln 2ln 22ln 34x x x t t t t t t t t -+=-+=-+-=-+，且101t <<，令()ln 34h x x x =-+，01x <<，则()1133xh x x x-=-='.当103x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当13x >时，()()0,h x h x '<单调递减.所以max 1()3ln33h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故12324x x x -+的最大值为3ln3-.【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.二、多选题9．在高台跳水运动中，s t 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是()24.9 6.510h t t t =-++，判断下列说法正确的是（）A ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是3.3m /sB ．运动员在1t =s 时的瞬时速度是 3.3m /-sC ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度上升D ．运动员在1t =s 附近以3.3m /s 的速度下降【答案】BD【分析】求出1s t =时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.【详解】由已知，(1) 4.9 6.51011.6h =-++=，1s t =的瞬时速度为20004.9(1) 6.5(1)1011.6lim lim lim(4.9 3.3) 3.3t t t h t t t t t∆→∆→∆→∆-+∆++∆+-==-∆-=-∆∆，因此该运动员在1=s t 附近以3.3/m s 的速度下降，故选：BD ．10．过点33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线()3y f x x ==相切的直线方程为（）A ．64150x y +-=B ．360x y +-=C ．360x y +-=D ．46150x y +-=【答案】BC【分析】设出切点003(,)x x ，利用导数的几何意义得出切线方程为020033()y x x x x -=--，再利用条件得到方程200430x x -+=，从而求出0x ，进而可求出切线方程.【详解】设切点为003(,)x x ，因为3y x =，所以23y x'=-，故切线方程为020033()y x x x x -=--，又因为切线过点33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以02003333()22x x x -=--，整理得200430x x -+=，解得03x =或01x =，当03x =时，切线方程为33(3)39y x -=--，即360x y +-=，当01x =，切线方程为33(1)11y x -=--，即360x y +-=.故选：BC.11．已知{}n a 为各项为正数的等比数列，251,24a a ==.记n S 是数列{}n a 的前n 项和，n T 是数列{}2n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的公比为2B ．224nnS T =C ．数列{}2log n a 为等差数列D ．数列{}2|log |n a 的前n 项和为23242n n -+【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出等比数列{}n a 的通项公式，再逐项分析、计算判断作答.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由251,24a a ==，得3528a q a ==，解得2q =，A 正确；于是22421224n n n n a a q ---==⨯=，2424(2)4n n n a --==，显然数列{}2n a 是首项为164，公比为4的等比数列，则221(12)18(41)128n n nS -==--，1(14)164(41)14192n nn T -==--，224n nS T =，B 正确；422log log 24n n a n -==-，212log log 3(4)1n n a a n n +-=---=，数列{}2log n a 为等差数列，C 正确；显然2||4||log n n a =-，当1n =时，23|log |n a =，223241312411322n n -+-⨯+==≠，D 错误.故选：ABC12．已知函数()f x 满足()()20f x f x '+>，且()01f =，则（）A ．()f x 不可能是偶函数B ．若0x >，则()0f x >C ．112ef ⎛⎫>⎪⎝⎭D ．若0x >，则()12f x x>-【答案】BCD【分析】由题意构造函数2()e ()=x g x f x ，求导后可得()0g x '>，所以()g x 在R 上单增，然后逐个分析判断即可.【详解】令2()e ()=x g x f x ，则[]2()e()2()0xg x f x f x ''=+>，故()g x 在R 上单增.对于A ，如()1f x =为常函数，此时()f x 为偶函数，A 错误;对于B ，若0x >，则2()e ()=x g x f x (0)1,g >=从而2()e 0x f x ->>，B 正确；对于C ，由011()e ()(0)e (0)122g f g f =>==可得11()2f e>，C 正确；对于D ，若0x >，同B 选项可知2()e x f x ->，令()e (1)x h x x =-+，则()e 1x h x '=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以()(0)0h x h ≥=，所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），故2e 21x x ->-+()0x >，则()12f x x >-，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，解题的关键是根据()()20f x f x '+>构造函数2()e ()=x g x f x ，求导后可判断函数的单调性即可，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．已知点()1,2A -，()4,6B -，则AB =．【答案】5【分析】利用两点间的距离公式计算可得.【详解】因为()1,2A -，()4,6B -，所以()()2214265AB =---+-=⎡⎤⎣⎦.故答案为：514．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为.【答案】34/0.75【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可.【详解】设购买甲书的概率为x ，购买乙书的概率为y ，则由题意可得()11,61,2x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得23,34==x y .故答案为:34.15．已知函数()3223121f x x x x =+-+，则()f x 在[]3,2-上的最大值为．【答案】21【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出()f x 在[]3,2-上的最大值.【详解】()()()26612621f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得1x =或2x =-．当[)(]3,21,2x ∈--⋃时，()0f x ¢>，当()2,1x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在()2,1-上单调递减，在[)(]3,2,1,2--上单调递增．因为()()221,25f f -==，所以()max 21f x ⎡⎤=⎣⎦．故答案为：21.16．若数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++--=，且12a =，则数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项的积为.【答案】2【分析】由已知推出111n n n a a a ++=-，由递推关系可得21n n a a +=-，所以421n n n a a a ++=-=，所以数列{}n a 的周期为4且21n n a a +⋅=-，继而推出332n n n n a a a a +++=-，由周期性计算乘积即可.【详解】由已知可得：111121111111n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ++++++++--=⇒=⇒==---343221n n n n n n n a a a a a a a +++++⇒=-=⇒=-由上可得{}n a 周期为4，12a =，可得23412113,,1223a a a +==-=-=-，故32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期也为4，数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项分别为413a -=-，512a a -=-=-，623a a -=-=，7312a a -=-=，故数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项的积为()()2020411123232323⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⨯⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】关键点点睛：（1）将已知等式化简､变形，得到数列{}n a 的周期为4；（2）化简32n n n a a a ++，寻找数列32n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭和数列{}n a 之间的关系.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列(1)求通项公式na (2)设2n an b =，求数列n b 的前n 项和nS 【答案】(1)52n a =或35n a n =-(2)42n S n =或8128n n S -=【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出1a 和d 可得结果；（2）根据等比数列求和公式可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1434102a d ⨯+=，即1235a d +=，又237,,a a a 成等比数列，所以2327a a a =，即2111(2)()(6)a d a d a d +=++，整理得21230d a d +=，得0d =或132d a =-，若0d =，则152a =，15(1)2n a a n d =+-=，若132d a =-，则119252a a -=，得12a =-，3d =，35n a n =-.综上所述：52n a =或35n a n =-.（2）若52n a =，则52242n b ==，42n S n =；若35n a n =-，则358232nn n b -==，18(18)3218n n S -=⋅-8128n -=.18．3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高二（A ）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34，35，通过第二轮比赛的概率分别是45，23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．(1)若高二（A ）班获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，三轮后总分高的获胜．假设两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是13，23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在第一题中乙已得10分的情况下最终甲获胜的概率．【答案】(1)分布列见解析，1(2)925【分析】（1）根据题意，计算出X 的取值和概率，利用数学期望的计算公式计算可得解（2）根据题意，乙已得10分，分类讨论甲获胜情况，进而可求得概率【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件1A ，2A ，则1343()455P A =⨯=，2322()535P A =⨯=．由题意可得，X 的取值有0，1，2，326(0)(1)(1)5525P X ==-⨯-=，323213(1)(1)(1)555525P X ==-⨯+⨯-=，326(2)5525P X ==⨯=.X012P6251325625所以6136()0121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为1131()355P B =⨯=，2224()3515P B =⨯=，乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为1115525⨯=②甲得10分，乙再得10-分，其概率为121234()53525C ⨯⨯=；③甲得0分，乙再得20-分，其概率为2234()3525⨯=．故乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为144925252525++=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，24,,90,,PD CD AD AB AB CD CDA E F ====∠=分别为棱,PD PB 的中点，14PG PC =.(1)证明：,,,A G F E 四点共面；(2)求平面ABF 与平面AEF 的夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件可知，若存在,R m n ∈，使AG mAE nAF =+，则,,,A G F E 四点共面；（2）分别求出平面ABF 与平面AEF 的法向量，从而根据夹角公式求解即可.【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥，又底面ABCD 为直角梯形，90CDA ∠= ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()4,0,0,0,0,2,2,1,2,0,1,3A E F G .()()()4,0,2,2,1,2,4,1,3AE AF AG =-=-=-.设AG mAE nAF =+ ，即4421322m n n m n -=--⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,21,m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以12AG AE AF =+.故,,,A G F E 四点共面.（2）设(),,n x y z =r是平面AEF 的法向量，则420220n AE x z n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z =，得()1,2,2n =-r.取AP 的中点H ，则(2,0,2)H ，连接DH ，又因为PD AD =，所以DH AP ⊥，又由（1）,CD AD PD CD ⊥⊥，AD PD D =I ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AB CD ∥，所以AB ⊥平面PAD ，又DH ⊂平面PAD ，所以DH AB ⊥，又AP AB A = ，AP ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以DH ⊥平面ABF ，即平面ABF 的一个法向量为()2,0,2DH =.所以2cos ,2n DH n DH n DH⋅==.故平面ABF 与平面AEF 的夹角的大小为π4.20．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元．(1)求{}n a 的通项公式．(2)当827ab =时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？(3)当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？【答案】(1)12123,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⋅+⋅≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)这个人第三年的收入最少，为8a9元(3)当38ab ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入【分析】（1）根据题意得到2n ≥时，122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到数列的通项公式；（2）由2n ≥时，122833272n n n a a a --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式，即可求解；（3）由2n ≥时，12122323332382n n n n n a a a b a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.【详解】（1）解：由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12123,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⋅+⋅≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（2）解：由827a b =，当2n ≥时，12121228328382327232729n n n n n a a a a a a ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当122833272n n a a --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，上式的等号成立，即2242233n -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得3n =，所以这个人第三年的收入最少，最小值为8a9元．（3）解：当2n ≥时，12121223233233232382382n n n n n n n a a a a b a a a------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥+≥⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当38ab =且2233121log 1log 223n =+>+=，上式等号成立，因此，等号不能取到，当38ab ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为22，点61,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与直线10,2y kx m k m ⎛⎫=+≠> ⎪⎝⎭相交于不同的两点M 、N ，P 为弦MN 的中点，A 为椭圆C 的下顶点，当AP MN ⊥时，求m 的取值范围．【答案】(1)2213x y +=(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件可得出关于2a 、2b 的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y 、(),P P P x y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆>可得出2231m k <+，由韦达定理求出点P 的坐标，根据AP MN ⊥结合斜率关系可得出2231m k =+，代入2231m k <+结合12m >可得出m 的取值范围.【详解】（1）解：由题意可知222c =，所以22c =，所以222a b -=①，又2226311a b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以221619a b +=②，由①②可得23a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）解：设点()11,M x y 、()22,N x y 、(),P P P x y，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222316310+++-=k x mkx m ，由题知()()222236123110k m k m ∆=-+->，可得2231m k <+③，由韦达定理可得122631kmx x k +=-+，2213231P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，21313P APP y m k k x mk+++∴==-，AP MN ⊥ ，则23113APm k k mk k++=-=-，即2231m k =+④，把④代入③得22>m m ，解得02m <<，又12m >，故m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()(1)e x f x ax =-，a R ∈.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)当12a =时，存在,(0,)m n ∈+∞满足()()f m f n =，证明22em n +>-.【答案】(1)(1)10a x y --+=(2)证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）由()()f m f n =得2e 2n m mn--=-，令12(1,2)m x -=∈，22(0,1)n x -=∈，12x t x =后可转化为证2(1)ln 1t t t ->+，构造函数2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+即可求证.【详解】（1）依题意得(0)1f =，()(1)e x f x ax a '=--，所以(0)1f a '=-，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1(1)y a x -=-，即(1)10a x y --+=.（2）12a =时，1()(1)e 2x f x x =-，1()(1)e 2xf x x '=-，令()0f x '=，得1x =，(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0)1f =，e(1)2f =，(2)0f =，因为存在,(0,)m n ∈+∞满足()()f m f n =，不妨设m n <，则其一个必要条件是01,12m n <<<<，由()()f m f n =得11(1)e (1)e 22m nm n -=-，即2e 2n m m n --=-，令12(1,2)m x -=∈，22(0,1)n x -=∈，则1212e x x x x -=，两边取对数得1122ln x x x x =-，即12121ln x x x x -=，要证22em n +>-，只要证2m n +>，1212122222212x x m n x x x x ++>⇔-+->⇔+<⇔<，故只要证1212122ln x x x x x x +-<，即112212112ln x x x x x x +-<，设12xt x =，则1t >，故只要证112ln t t t+-<，即2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即2(1)ln 1t t t ->+成立，从而原不等式得证.【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
资料：06-07-3高数(A)期末参考答案及评分标准
模板资料 资源共享06-07-3高数A 期末试卷参考答案（A ）一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x =，0y =，0z =；2．交换积分次序221111d (,)d x x x f x y y ---=⎰⎰；3．设{}222,,,x y z r x y z ==++r 3divrr =； 4．设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22d d Cx y x xy y +=⎰；5.设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为；6．设2()e x f x =，则(2)(0)n f =；7. 设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π=；8.设正向圆周:1C z =，则cos d Czz z=⎰；9．函数1()cosf z z z=的孤立奇点0z =的类型是-------（如为极点，应指明是几级极点），[]Res (),0f z =；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为.学号 姓名密封线模板资料 资源共享二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)11．判断级数1342nn nn ∞=-∑的敛散性. .12．求幂级数1121n n n n x n ∞+=+∑的收敛域与和函数.三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)13．将函数()f x x x =+ 在(1,1]-上展开为以2为周期的Fourier 级数.模板资料 资源共享14．将函数21()43f z z z =-+ 在圆环域13z <<内展开为Laurent 级数.四．（15）(本题满分9分) 验证表达式 22(cos 21)d (3)d x xy x x y y +++-+ 为某一函数的全微分，并求其原函数.五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分41d 1x x +∞+⎰.模板资料 资源共享六．（17）(本题满分10分)已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面2211z x y =-- 22z x y =+ 所围立体表面的外侧的流量.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰。
高等数学二(A)期末考试试题.docx
太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。
二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。
)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。
(完整word版)大学高等数学高数期末考试复习试卷及题库解析 (1)
(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.
12.级数 的敛散性为( )
(A)当 时，绝对收敛；（B）当 时，条件收敛；
(C)当 时，绝对收敛；（D）当 时，发散.
三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6.将函数 展开成余弦级数为__________________________________
.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.
7.若 有连续的二阶偏导数，且 (常数)，则 （）
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) ..
9.已知空间三角形三顶点 ，则 的面积为（A）
(A) ；(B) ；(C) ；(D)
5.设 为从点 沿曲线 到点 一段曲线，计算 .
解题过程是：
6.设 是上半球面 的下侧，计算曲面积分 .
7.将函数 展开成关于 的幂级数.
解题过程是：
四、证明题（7分）.
证明不等式: ，其中 是正方形区域： .
2007—2008学年第二学期
《本科高等数学(下)》试卷
（理工类）
专业班级
姓名
学号
开课系室基础数学系
13.（本题满分6分）设 确定 ，求全微分 .
题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.
15.（本题满分8分）求幂级数 的和函数.
（本题满分6分）计算 ，其中 为曲面 被柱面 所截下的有限部分.
17.（本题满分8分）计算积分 ，其中 为曲线 上从点 到 沿逆时针方向的一段有向弧.
高数期末试卷及答案
一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ . 答案：)1ln(x -解：x e u f u -==1)(2,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax xx x ,则=a . 答案：1解：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022.3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim.答案：4解：4)]1()1([)]1()31([lim0=-+--+→x f x f f x f x4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、=⎰xx 22cos sin .答案：C x x +-cot tan解：C x x xdxx dx dx x x x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。
1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x xx f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点；(C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='.答案：D5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(x f dx x f dxd⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.答案：B三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f xx-=--422)2(,求)2(+x f . 答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f tt t tt t , (3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f xxx xx . (6分)2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11coslim )1cos(lim (3分)11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n . (6分) 3、求极限)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， (3分)而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→nn n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→nn n n n n n n . (6分) 4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.答案：1解：xx x x x x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→xxx x x x . (6分)5、求函数xx y 1sin=的导数.答案：)11cos 1(21sin xx x xy x -=']1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1sin x x x x x ex x+-=)1sin 1ln 1cos 1(21sin xx x x x x x +-=. (6分)6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x解： 方程两边对x 求导得：02ln =-'+'+y yy xy , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)1(1-='-=y k , (3分) 从而法线方程为：)1(11-⋅-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)7、求曲线12134+-=x x y 的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f , (3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34)1(=f ． (3分)(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3,1(．(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分) 8、计算⎰+xx dx)1(3． 答案：C x x +-66arctan 66 俞诗秋解：⎰⎰⎰+===+=+==)1(6 ])(1[)()1(2352636366t t dtt x x dx x x dx x t t x (3分) ⎰⎰⎰+=-=+-+=2221 6 611)1( 6t dtdt dt t t ． C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)9、计算⎰xdx e x 2sin ．答案：C x x e x +-)2cos 2sin 21(104 解：⎰⎰⎰+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 212cos 212cos 212sin (3分)⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 412sin 412cos 212sin 412cos 21,∴C x x e xdx e x x +-=⎰)2cos 2sin 21(1042cos ． (6分)10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋 解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(1010=-=-===P P P PdP dQ Q P η, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=.证明: 令3)()(x x f x F =,623)(3)()(xx f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8)2()1()1(F f f F ===, 由罗尔定理知：)2,1(∈∃ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.。
大学高等数学期末考试题A卷(答案)
广东海洋大学2006 —— 2007 学年第 二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。
（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。
（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共 页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值； （B ）)2,1(f 不是极小值； （C ）)2,1(f 是极大值； （D ）)2,1(f 是极小值。
高等数学期末考试试题及解答
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
0607高等数学A(二)试题答案 济南大学
x y z 0 2. 设 2 2 2 x y z 1
y z 求 , . x x
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
y z 1 1 1 x x 系数行列式 J z y y z y z y z x x x 当 J 0 时,
则级数收敛.
重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数. A级数发散, B,C绝对收敛, D条件收敛.
当 q 1时,收敛 n aq n 0 当 q 1时, 发散
1 当p 1时,收敛 p n n 0 当p 1时,发散
1 ( 1)n1 发散 , 收敛 , n n 0 n 0 n
xdxd ydz, 其中 为三个坐标
z
1
0 z 1 x y 解: : 0 y 1 x 0 x 1 x d x d y d z
O
1 x y 0
1 y
x d x
0 1 1 x 0
dz
1
x1
y
(1 x y )d y
y 1 x
( 1 x 1 )
注意： 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域．
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2 2 z 4 x y 5. 曲面 在点(1,1,2)处的切平面方程为
.
解: 令 法向量 n (2 x, 2 y, 1)
n
(1, 2,3)
(2, 2, 1)
1 0
x y z d S xydydz 0 xd x
D
由对称性，
3 原式 = 3 x y z d S . 5 4
棉湖中学～精选学年度第一学期期末考试高二数学试题文科参考答案
棉湖中学2006～ 2007 学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试题参照答案一、选择题（此题共10 小题；每题 5 分，共 50 分）1-5CBADC6-10CDBAC二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）11. 3312.16,13.y 114. ②④8附：部分题目提示：1．由余弦定理和已知可得2bccos A bc0 ，故cos A1/ 2,A120 2．y ' |x1 x2 |x1 1，即切线的斜率为1，故倾斜角为 45°。
5．由a1a2a330a210 ， a n2an 1a n 150an 150又 S n300， S n n( a1a n ) n(a2a n1)，得n(1050)300,n 10 。
2227．由导函数图象可见，y f x 开始单一递加（速度越D 来越快—愈来愈慢），接着单一递减（速度愈来愈快—愈来愈慢），应选 D。
8．如右图提示计算得塔高CD 20 20 3 。
9．当PF PA 最小时 A 点在点 P 到准线的垂线上（如203 A60E452020B20C图），可得点 P 的纵坐标为2，代入 y2 =2x，求得纵坐标为 2 ，选（ A）。
10．由①x2 4 x 3 0 1 x 3 ，由② x26x 8 0x 2 ，或x 4。
同时知足①式和②式的全部x 的值为1 x 2。
观察四个选项，只有（C）合适。
12．由ab8 a b8 2ab ，设ab t(t0)，则 ab t 2，因此 t 282t ，即 t 22t80 ，解得 t 4 ，或 t 2 （舍去）。
14．注意：①中“p且q为真”“ p 或 q 为真”，但“ p 或 q 为真”“ p 且 q 为真”；③中，椭圆的焦点在y 轴上， a=5，故△ ABF 2的周长为 4a=20。
三、解答题（本大题共 6 小题，满分80 分）15.解：解：在△ABD 中，设 BD = x┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分则 BA2BD2AD22BD AD cos BDA 即142x2102 2 10x cos60整理得： x 210x960┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分解之： x116x2 6 （舍去）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分在△ BCD 中， BDC=30 °，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分由正弦定理：BC BD┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分sin CDB sin BCD∴BC16sin 30 8 2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄sin13512 分16. 解：（ 1）y12x 26x 18 6( x 1)( 2x 3) ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分列表以下：－1┄7 分+0-0+由上表↗↘可知↗, 1 和3,均为函数的单一递加区间，23为函数的单调递减区间.1,2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分（2）由（ 1）知f ( x)在（ - 1，2）上有极小值：y极小61┄┄┄┄┄┄┄┄410 分又 f ( 1)16, f (2)1161，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄124分故 f ( x) 在1,2 上的最小值是61，最大值是 16.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄414 分17. 解：在同一坐标系中，作直线x2y 7 0,4x 3y 120, x 2 y 3 0 ，再根据不等式组确立可行域ABC （如图）.A┄┄┄┄┄┄┄ 6 分B把目标函数z x2y2看作点x, y到原点O的距离的平方.O C┄┄┄┄┄┄┄7 分x2y70解得点A9,8由3y1204x┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分所以( x2y2 ) max OA 22821459；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分由于原点到直线 BC 的距离为0033┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5512 分所以(x 2y 2 ) min95┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分即 z max145 ， z min9 / 5┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分18．解：∵直线y kx1与曲线 y x3ax b 切于点( 1，3)∴点 ( 1， 3) 在直线y kx1与曲线 y x3ax b 上┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 2 分∴ 3 k 1 k23 1 a b又由y x3ax b3x2a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分由导数的几何意义可知：k y |x 1 3 a2a1┄┄┄┄┄┄┄10分将 a 1 代入3 1a b ，解得 b3┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分19．解：设方案（Ⅰ）第n 年终加薪 a n，则 a n =1000n；设方案（Ⅱ）第n 个半年加薪 b n，则 b n =300 n。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学试题(五)（含答案）单项选择题(每小题1分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。
1.函数y=x 1-+arccos 21x +的定义域是( )A. x<1B.-3≤x ≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 2.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos 3x B.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-3.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D.24.y=的反函数是xx323+( ) A.y=233x x +-- B.y=xx332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x2x1-5.设n x u lim ∞→=a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数6.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在7.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量8.x21sin x 3lim x ∙∞→=( ) A.∞ B.0 C.23 D.329.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在 C. )x (f lim 1x +→不存在 D. )x (f lim 1x →不存在 10.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义 11.设y=2cosx ,则y '=( )A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.-2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx12.设f(x 2)=)x (f ),0x (x 11'≥+则=( )A.-2)x 1(1+B. 2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+13.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-514.设y=f(x),x=e t,则22dty d =( )A. )x (f x 2''B. )x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D. )x (f x ''+xf(x)15.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d16.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln 2x+c C.ln(lnx)+c D.xxln +c17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x 1x-,[-2,2]18.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 19.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=e xB.y=x 3C.y=x 2D.y=lnx 20.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+C-c e 212x +- D.c e 412x +-21.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x +c C. 3123x+c D.c 2ln 2x 3+22.⎰+πdx )14(sin=( ) A.-cos 4π+x+c B.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π23.⎰-)x cos 1(d =( )A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 24.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dxC.0D.以上都不正确25.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lima x +→=( ) A.0 B.a C.af(a) D.不存在26.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx27.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 28.当x>2π时，⎰π'x 2dt )t t sin (=( ) A.x x sin B. x xsin +c C x x sin -π2 D. x x sin -π2+c29.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dxB.⎰e1xln x dxC.⎰-113x dxD.⎰+∞-0x dx e30.下列广义积分中收敛的是( )A. ⎰+∞0xdx sinB.⎰-11xdxC.⎰--012x1dx D.⎰∞--0xdx e31.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn 1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 32.下列级数中绝对收敛的是( )A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(33.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+-( )A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 34.设幂级数∑∞=-0n n n )2x(a在x=-2处收敛，则此幂级数在x=5处( )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定35.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为( ) A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1} C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1} D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1}36.设z=(2x+y)y ，则=∂∂)1,0(x z( )A.1B.2C.3D.037.设z=xy+yx,则dz=( )A.(y+dy )y x x (dx )y 12-+B. dy )y 1y (dx )yx x (2++-C. (y+dy )y x x (dx )y 12++D. dy )y 1y (dx )yx x (2+++38.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为( ) A.x-3y+2z=0 B.x=1 C.y=-3 D.z=2 39.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=( )A.1B.-1C.2D.-2 40.微分方程y x 10y +='的通解是( )A.c 10ln 1010ln 10y x =-- B. c 10ln 1010ln 10yx =- C.10x +10y =c D.10x+10-y =c 二、计算题(一)(每小题4分，共12分)41.求4x 2x lim416x --→42.设z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2=4z 所确定的隐函数，求xz ∂∂ 43.求微分方程dxdy-yctgx=2xsinx 的通解. 三、计算题(二)(每小题7分，共28分)44.设y=ln(secx+tgx),求y ' 45.求⎰+3122x1xdx46.求幂级数∑∞=-+1n nn n x n )3(5的收敛半径.47.求dxdy y x sin 224y x 2222+⎰⎰π≤+≤π四、应用题(每小题8分，共16分)48.求抛物线y=3-x 2与直线y=2x 所围图形的面积。
浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题(含答案)
2023学年第二学期期末测试卷高二数学学科试卷第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（ ）A. B. C. D.2.已知），若为纯虚数，则（ ）A.1B.2C.或D.1或23.已知函数与是互为反函数，则（ ）A. B. C. D.4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ）A. B. C. D.5.已知平面，，，若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ）A.B.C.D.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ）B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题{}05U x x =∈≤≤N {}0,1,4U A =ðA ={}2,3,5{}2,5{}3,5{}2,3()()2321i z a a a a =-++-∈R z a =1-2-()y f x =3xy =119f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭123f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()13f =()31f =48~1328135613141732αβγαγ⊥βγ⊥αβ∥a b 60︒2b a = a b λ- b2b - λ=38279432()2341f x ax x =-+-()1,1-a 5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭54,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦54,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭24,133⎡⎤⎧⎫-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ABC △A B C a b c ABC △S 22cos bc A b c +=+sin cos cos AB C=+12目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为两个随机事件，且，，则（ ）A.当和互斥时，B.当和互斥时，C.当和相互独立时，D.当和相互独立时，10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）A. B.C. D.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.13.已知正实数满足，则______.14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.16.（15分）已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条A B ()0P A >()0P B >A B ()()()P A B P A P B =+ A B ()()()1P AB P A P B =--A B ()0P AB =A B ()()()P AB P A P B=x ()20,,ax bx c a b c ++>∈R {}23x x -<<0a >0bc >0a b +=0a b c -+>()f z 0z ()()1n n z f z n +=∈N 0z 1z 2z n z M n z M <n ∈N 0z ()f z 0i z =()f z ()f z ()2f z z=()11f z z=-()3f z z =()()21f z z =-()f x ()2,8()1f -=a 11222a a--=22a a -+=P ABCD -PAB ⊥ABCD 3PA =4PB =5CD =P ABCD -BC =1e 2e 122a xe e =- 12b e xe =-a b ∥x 1212e e ⋅=- ()()a b a b +⊥- b ()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.17.（15分）为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.18.（17分）如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.（i ）若，求证：平面；（ii ）若直线与平面的值.π2π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []2,12[]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12x y 2s ABCD 24AB BC ==60DAB ∠=︒E AB ADE △DE A DE '△A B 'A C '4A C '=A DE '⊥BCDE ()01A F A C λλ'='<<12λ=BF ∥A DE 'DF BCDE λ19.（17分）已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上的最小值为.（i ）求；（ii ）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.()()f x x x a a =+∈R ()f x a 0a <()f x [)2,+∞()M a ()M a ()()24g x x ax a =++∈R x ∈R [)02,x ∈+∞()()0g x f x =a2023学年第二学期期末考试高二数学学科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
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一、填空：（每小题4分，共28分）
1、若232
x y e -=+是一阶线性微分方程y ay b '+=的一特解，则a = ，b = . 2、交换积分的次序：1121011(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰ .
3、微分方程2dy x y dx x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的通解是 . 4、二次积分21(,)x dx f x y dy ⎰在极坐标系下的表示为 .
5、微分方程1x y y e '''-=+的一个特解应具的形式为 .
6、设2123,,x x x x x y e y e e y e e -==+=+是二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解，则该方程的通解为 .
7、设(,)f x y 连续，且2(,)(,)D
f x y x f u v dudv =+⎰⎰其中D ：221x y +≤，则
(,)D
f x y d x d y =⎰⎰ . 二、计算下列二重积分（每小题7分，共28分）：
1、2
x D e dxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线3y x =与直线(0)y x x =≥所围区域。
2、D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线2y x =、直线2y x -=以及x 轴所围区域.
3、22()arctan
D y x y dxdy x
+⎰⎰，其中D 是由2214y x ≤+≤、,0y x x ==所围第一象限区域.
4、D
x y d σ-⎰⎰，其中{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤
三、求下列微分方程的通解或特解：（每小题6分，共24分）
1、 ()20dy y y dx --=.
2、 ()2tan ,12y y
y y x x π
'=+=.
3、 ()()36
3,1,135y y x y y x '
'''-===
4、 ()()252cos 6sin ,01,02y y y x x y y ''''-+=+==.
四、综合题：（每小题8分，共16分）
1、求满足微分方程 x y y e ''+=且在其上一点()0,1处与曲线21y x x =++相切的
曲线方程()y y x =.
2、求满足微分方程 ()()()0
2x x t y t dt y x -+-=-⎰的二阶可导函数()y x .
五证明题：（4分）
假设函数()f x 与()g x 均连续，()()000f g ==，()0f '与()0g '均存在且()00g '≠，
试证：
()
() 222
222
0 lim
R
x y R
f d
f
g
σ
+
→
+≤
'
=
'
⎰⎰
.。