二次函数交点式在解题中的妙用

二次函数交点式例题

二次函数交点式例题
交点式也叫恒等式，是应用于函数的数学技巧。

它可以用来求解两个函数的交点。

交点式应用于二次函数，即可以解出两个二次函数的交点。

其中，二次函数是由一个方程式组成的，形式为：
y = ax2 + bx + c
其中，a, b, c为实数，a 0 。

以下为用于二次函数交点式的例题：
例 1：求下列两个二次函数的交点：
y1 = x2 + 2x + 4
y2 = x2 - 2x + 1
解：
根据交点式，可得方程组：
x2 + 2x + 4 = x2 - 2x + 1
解得：
x = -1
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1)。

例2：求下列两个二次函数的交点：
y1 = 6x2 + 3x + 2
y2 = 2x2 - x + 3
解：
根据交点式，可得方程组：
6x2 + 3x + 2 = 2x2 - x + 3
解得：
x = -1/2
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1/2)。

以上就是关于二次函数交点式的例题及解答，还有其他更多的例题和解法，需要通过观察、思考、实际操作等实践方式来掌握，相信只要同学们认真做习题，学习数学将会变得更加轻松。

此外，交点式还可以用于求解更复杂的函数，比如3次函数、4次函数等，为学习者提供了更多的可能性。

它还能够帮助我们理解函数中的极值点、凹点、波峰点、局部最大值等概念，可以说是学习数学的重要工具。

通过以上内容，希望同学们可以更好地掌握交点式，积极参与数学课堂，加深对数学的掌握。

二次函数交点问题,解析式,应用

二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二次函数解题思路十大技巧

二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。

一求函数解析式，再求面积带线段。

动点问题难解决，坐标垂线走在前。

三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。

二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。

.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。

“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。

.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。

3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。

数学思想方法在二次函数中的应用

数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法广泛应用于各个数学领域中，其中二次函数作为数学中的重要概念之一，也同样涉及到数学思想方法的运用。

以下是数学思想方法在二次函数中的几个应用。

一、借助图像思维解决二次函数问题二次函数的图像为抛物线，通过对图像的观察和分析，可以解决一些与二次函数相关的问题。

分析图像的开口方向。

当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上，二次项系数小于0时，抛物线开口向下。

然后，观察图像与坐标轴的交点。

二次函数与x轴相交的点称为零点，与y轴相交的点称为截距。

通过求解二次函数与x轴的交点，可以求得其零点；通过求解二次函数与y轴的交点，可以求得其截距。

还可以利用图像的对称性推出二次函数的对称轴和顶点信息。

对称轴是垂直于x轴的一条线，抛物线关于对称轴对称；顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的极值点。

二、使用函数分析法解决二次函数问题函数分析法是一种通过对函数的定义域、值域、增减性、极值和凹凸性进行分析，以推导出函数的性质和解决问题的方法。

对于二次函数。

可以通过求解二次函数的导数来确定函数的增减性、极值点和凹凸性。

二次函数的导函数是一次函数。

求解一次函数的零点，得到增减性的分界点；然后，通过求解一次函数的导数的零点，得到极值点。

二次函数导数的符号与一次函数的增减性相同。

当二次函数的导数大于0时，二次函数递增；当导数小于0时，二次函数递减。

通过分析函数的增减性和极值点，可以得到二次函数在不同区间的变化趋势和取值范围，从而对二次函数进行更深入的理解和应用。

方程法是指通过建立方程，利用方程的性质来解决问题的方法。

对于二次函数，可以通过建立二次方程来解决与二次函数相关的问题。

求解二次函数的极值点、零点等问题。

对于求解二次函数的极值点，可以通过将二次函数转化为标准形式，并观察得到的一次函数的系数来确定极值点的横坐标。

对于求解二次函数的零点，可以先将二次函数转化为标准形式，然后使用求根公式或配方法来求解方程的解。

二次函数解析式的确定-三点与交点式

二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解即为二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
若一元二次方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有一个交点，即抛物线的顶点。
若一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1, x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有两个交点，且这两个交点关于对称轴对称。
灵活选用方法
在求解二次函数解析式时，可以根据题目给出的条件灵活选用适当的方法。如果已知三个点的坐标，则可以使用三点确定二次函数解析式的方法；如果已知与$x$轴的两个交点和另外一点的坐标，则可以使用交点式确定二次函数解析式的方法。
注意方程组的解法
在使用三点确定二次函数解析式的方法时，需要解一个包含三个未知数的方程组。在解方程组时，可以使用代入法或加减法等方法进行求解。
构造方程组求解系数
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。将三个点的坐标分别代入解析式，得到如下方程组
构造方程组求解系数
$begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
构造方程组求解系数
• y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
设二次函数解析式为$y = a(x x_1)(x - x_2)$，将点$(x_0,
y_0)$代入解析式，得到一个方程。
解这个方程，可以求得$a$的值，从两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$，以及另一个不在 $x$轴上的点$(x_3, y_3)$。

高一二次函数解题技巧及方法

高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。

2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。

二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。

2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。

三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。

2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。

2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。

五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。

2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。

5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。

六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。

2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。

3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。

七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。

(完整版)二次函数交点问题,解析式,应用

二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二次函数交点式例题解题过程

二次函数交点式例题解题过程二次函数交点式例题解题过程二次函数是高中数学中比较重要的一章，它与初中数学中的一次函数构成了重要的数学基础。

在学习二次函数时，掌握二次函数交点式是十分必要的。

下面我们以一道典型的例题为例，进行解题过程的讲解。

例题：已知二次函数f(x)=-2x²+8x-3，求f(x)=1的解。

解题步骤：Step 1：设f(x)=1，即-2x²+8x-3=1.Step 2：将方程化为标准形式，即-2x²+8x-4=0.Step 3：将方程左边乘以-1，得到2x²-8x+4=0.Step 4：将方程左右两边同时除以2，得到x²-4x+2=0.至此，我们将原方程化为了二次方程x²-4x+2=0.Step 5：将二次方程用求根公式进行求解，得$x_1,x_2=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times2}}{2\times1}=2\pm\sqrt{2}$.Step6：将求得的两个解带入原方程，分别得到f(2+\sqrt{2})=1和f(2-\sqrt{2})=1.于是，原方程的解集为{x|f(x)=1}={(2+\sqrt{2}),(2-\sqrt{2})}.这样，我们就完成了对二次函数交点式的运用，并解决了这一典型题目。

二次函数交点式是解决二次函数方程的常用方法，常见的问题有：使用二次函数交点式求解函数零点、确定函数图象的交点位置、求出函数的最大值和最小值等等。

掌握了二次函数交点式的计算方法和应用，对学习数学有重要的帮助。

二次函数交点式的求解过程涉及到许多数学知识，涉及到代数运算、二次函数的标准形式和求根公式等知识点。

所以，我们在学习二次函数时，不仅需要积累数学知识，还需要加强题目训练，熟练掌握计算方法和技巧。

通过多做题，多练习，我们可以深入理解二次函数交点式的应用，提高我们的数学能力和解题能力。

总之，掌握二次函数交点式对于学习数学和解决生活中的实际问题有着很大的帮助。

二次函数交点式在解题中的妙用

二次函数交点式在解题中的妙用作者：陶克斌来源：《读与写·下旬刊》2018年第05期摘要：二次函数在中考题目当中一直是热点和难点，在教学过程中，部分学生对二次函数知识的理解运用不是很到位，这是由于二次函数可分为一般式、交点式和顶点式等多种形式，学生难以区分把握。

其中，交点式二次函数在解决最值问题时能发挥较大作用，需要重点理解掌握，往往能够将题目简化，让人豁然开朗，完成解答。

对此，本文就交点式二次函数问题进行阐述。

关键词：二次函数交点式;最值;对称轴中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）15-0224-01引言函数在初中数学课程体系当中一直是重中之重，其知识体量大，知识点复杂，对于定理和定义的理解需要十分到位且深刻，才能把二次函数掌握清晰，因此是教学任务的主要攻克对象，教师与学生均对其投入了巨大的时间和精力。

在考试中，函数经常作为压轴题和难点题出现，学生在解答过程中往往会感觉到力不从心，丢分现象严重。

学生利用常规方法解答函数题目，往往通过大量计算和思考也不能保证解题的正确率。

对此，笔者结合实际教学经验，提出二次函数的交点式解题方法，可大幅度简化部分二次函数问题，提高得分率。

1.求对称轴当已知函数解析式为y=ax-x1x-x2时，可令y=0，代入方程得a（x-x1）（x-x2）=0，可以解得抛物线与横轴交点坐标A（x1，0）、B（x2，0），由于二次函数曲线具有对称性，可知此两点坐标关于其对称轴是互相对称的，则其对称轴横坐标为x=x2-x12。

例1 ：二次函数y=a（x-1）2+4，已知其与x轴一个交点为（2，0），求该抛物线与x轴另一个交点。

解：常规手段可以利用（2，0）代入方程，解得a=-4;得出解析式为y=-4（x-1）2+4;继续令y=0，可得-4（x-1）2+4=0;解该方程可得另一个交点为（0，0）。

如果利用交点式可知，该二次函数的对称轴为x=1，利用其对称性可知另一个交点坐标为（0，0）。

二次函数交点

二次函数交点
求解二次函数交点是在高中代数学习中一个基本的内容。

在求解
二次函数交点过程中，要求学生理解和掌握其基本概念。

二次函数是一类常见的函数，它以二次多项式形式表示，即
y=ax^2+bx+c（a≠0）。

其中，a、b、c为实数，x为变量，y为函数值。

当令y=0时，就得到了二次函数的标准型方程：ax^2+bx+c=0，我们可
以利用求根公式来求解这一方程。

两个二次函数的交点即为它们同时成立的解，即两个方程组的解，也可以通过求根公式来求解。

对于两个二次函数的交点，我们可以用变量法来求解。

将二次函
数f(x)与g(x)的式子分别记作：f(x)=ax^2+bx+c与g(x)=dx^2+ex+f （a，b，c，d，e，f为实数），令两个函数相等：
ax^2+bx+c=dx^2+ex+f
将以上式子进行整理，可得：x=[(e-b)±√(b^2-4ac+e^2-
2de)]/2(d-a)
再用这个结果把x的值代入二次函数中，得出y的值，即为所求
的两个二次函数交点的横纵坐标。

求解二次函数交点，关键是将问题归纳到求根公式上，并以正确
的步骤推导出结论。

它可以帮助学生掌握基本的概念，即分解因式法，以便于求解此类问题。

交点式求二次函数解析式

交点式求二次函数解析式
交点式是指已知二次函数与坐标系上两点的坐标，通过解方程组
求解二次函数的解析式。

其中，方程组的两个未知数分别是二次函数
的系数。

具体的求解步骤如下：
1.设二次函数的解析式为 y = ax^2 +bx +c，根据给定的两个点
的坐标，列出方程组：
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
其中，x1、y1和x2、y2分别代表两个已知点的坐标。

2.将方程组中第一个方程的左侧减去第二个方程的左侧，右侧做
相应减法，得到一个一元二次方程：
a*(x1^2 - x2^2) + b*(x1 - x2) = y1 - y2
3.再将方程组中第一个方程的左侧乘以 x2，第二个方程的左侧
乘以 x1，然后两个式子相减，得到一个关于 a 和 b 的一元一次方程：
a = (y1-y2)/(x1^2-x2^2)
b = (y2*x1-y1*x2)/(x1-x2)
4.将得到的 a 和 b 的值代入二次函数的解析式中，即可得到二
次函数的解析式：
y = (y1-y2)/(x1^2-x2^2) * x^2 + (y2*x1-y1*x2)/(x1-x2) *
x + c
其中，c 为任意常数。

二次函数像的特征与应用

二次函数像的特征与应用二次函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

它的图像可以通过一些特征来描述和分析，并且这些特征在实际生活中有着许多应用。

本文将就二次函数的特征和应用展开讨论。

一、顶点坐标和开口方向二次函数的图像可以是一个抛物线，它的顶点坐标可以通过函数的标准形式来确定。

对于一般形式的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，顶点坐标的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

开口方向也是二次函数图像的一个重要特征，可以通过二次函数的系数a的正负来确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二、对称轴和焦点二次函数的图像还具有对称性。

对于一般形式的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，对称轴的方程为x=-b/2a。

对称轴将图像分成两部分，两部分关于对称轴对称。

当二次函数的a≠0时，也可以确定该二次函数的一个焦点。

焦点的横坐标和纵坐标可以通过公式x=-b/2a和f(-b/2a)来确定。

三、最值和零点二次函数表示的图像通常存在极值点，也称为最值。

最值点一般位于抛物线的顶点，通过计算可以得到最值点的坐标。

另外，二次函数与x轴的交点称为零点，也就是函数的根。

二次函数的零点可以通过方程f(x)=0来求解，一般可以有两个根或者没有根。

四、应用案例1. 物体抛体运动二次函数在物理学中有着重要的应用，特别是描述物体的抛体运动。

通过对二次函数图像的分析，可以求解物体的最大高度、最大水平距离、落地时间等。

2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数通常采用二次函数来表示。

成本函数关注生产成本与产出之间的关系，通过对二次函数图像的分析，可以确定最低成本和最高成本对应的产量水平，为企业决策提供参考依据。

3. 建筑设计中的曲面二次函数的图像可以用于描述建筑设计中的曲面形状。

例如，拱形桥、穹顶和塔楼等，这些曲面的形状通常可以通过适当的二次函数来表示，以实现结构的稳定和美观。

交点法求二次函数解析式

交点法求二次函数解析式
一元二次方程求解
一元二次方程是最常见的几何形式的方程，解析式是形如ax2 + bx + c = 0的一元二次方程。

本节将从概念、定义和归纳法出发，介绍一元二次方程的求解。

概念
一元二次方程是指形式满足ax2 + bx + c = 0，其中a和b不同时为零的一元二次方程。

a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。

定义
根据定义，一元二次方程的解析式是一个多项式，其中的多项式的最高次幂的系数必须是1，并且它的根成为二次方程的解。

归纳法
根据归纳法，当一元二次方程的系数a，b和c同时为实数时，可以求出二次方程的解析式。

(1)当b2 - 4ac> 0时, 一元二次方程有两个实根，此时该二次方程的解析式为：
x = [-b ± √(b2 - 4ac)]/2a
x = -b/2a
以上，就是一元二次方程及其解析式的求解方法，希望可以对大家有所帮助。

二次函数在解析几何中的妙用举例

二次函数在解析几何中的妙用举例
赵东亚
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2011(000)009
【摘要】在解决某些解析几何问题时，若能恰当、巧妙地构造二次函数，借助其图像性质，常可捕捉到解题的机智，获得新颖、独特、简捷的解法，曲径通幽，回味无穷!现举例说明，以供参考．
【总页数】1页(P10-10)
【作者】赵东亚
【作者单位】江苏省邳州市铁富高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.题根教学法在初中二次函数复习中的妙用 [J], 沈磊;
2.平面几何帮解析几何——妙用平面几何知识减少解析几何问题中的运算量 [J], 冯志强
3.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题 [J], 蔡永强
4.《几何画板》在二次函数教学中的应用举例 [J], 李燕清;张红霞;任莎莎;
5.二次函数交点式在解析几何运算中的应用举例 [J], 柳建显
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数学二次函数解题技巧

数学二次函数解题技巧1. 引言二次函数是数学中常见并且重要的一种函数形式。

掌握二次函数的解题技巧对于数学学习至关重要。

本文将介绍一些常见的二次函数解题技巧，包括求解二次函数的零点、顶点、对称轴以及图像特征等。

2. 求解二次函数的零点二次函数的零点即为函数图像与x轴的交点。

求解二次函数的零点可以使用因式分解、配方法或求根公式等多种方法，具体选择何种方法取决于题目所给的形式。

下面将介绍三种常用的求解二次函数零点的方法。

2.1 因式分解法当二次函数可以进行因式分解时，求解零点可以变得更为简单。

对于一般形式的二次函数f(x)=ax2+bx+c，可以进行因式分解为(px+q)(rx+s)=0的形式。

然后令(px+q)=0和(rx+s)=0，可轻松求解出零点。

例如，对于二次函数f(x)=x2+5x+6，可以进行因式分解为(x+2)(x+3)=0。

由此得到两个零点x1=−2和x2=−3。

2.2 配方法当二次函数不易进行因式分解时，可以尝试使用配方法来求解零点。

配方法的基本思想是通过添加或减去恰当的常数，将二次函数转化为平方形式，从而求解零点。

配方法的步骤如下：1.将二次函数改写为完全平方的形式：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x +\\frac{b}{2a})^2 - \\frac{b^2 - 4ac}{4a}$。

2.令 $a(x + \\frac{b}{2a})^2 - \\frac{b^2 - 4ac}{4a} = 0$，得到方程ax2+bx+c=0。

3.将方程化简并求解出零点。

例如，对于二次函数f(x)=2x2+5x+3，可以通过配方法求解零点。

首先将二次函数改写为完全平方的形式：$f(x) = 2(x + \\frac{5}{4})^2 - \\frac{7}{8}$。

然后令 $2(x + \\frac{5}{4})^2 - \\frac{7}{8} = 0$，化简后得到 $x = -\\frac{7}{4}$ 或x=−1，即得到两个零点。