初中数学竞赛中的二次函数相关问题(下)

三４（Ｒ＋ｒ）２≥ｔｂ＂． 又Ｒｒ＝１一（尺＋ｒ），则
４
中等数学
（尺＋ｒ）２＋４（尺＋ｒ）一４＞１０． 显然，Ｒ＋ｒ＞０．
由此可见，５４９是被算错的Ｙ值，其正确 值应该是５５１． 注：二次函数其实就是自变量取实数的 二阶等差数列，本题就是根据这样的背景设 计的，实在是个好题．透过现象抓住本质特征 是解题的关键．
ｓ。、Ｓ：、ｓ，两两之间的哪些数量关系（要求写 出不少于３条）？
（第１８届江苏省数学竞赛（初三））
讲解：（１）过点Ｐ作删ｊ一４ｃ，删上８ｃ．
府＋ＪＲ＋ｒ＝１．
由题意知，ＢＰ＝ｘ（ｏ＜咒＜６）／ｑ．韶－－－－ｐ＝丽ＡＣ．故
故Ｙ＝去兀｛（尺＋ｒ）２—２［１一（Ｒ＋ｒ）］｝ ＝去７ｃ［（Ｒ＋ｒ）２＋２（月＋ｒ）一２］．
Ｄ 。ｙ
／
八。
＼
ｉ
／
（Ｄ）一ａ＋ｂ一２ｃ
（２＋２√２）并＋√２—１；（２）ｓ。删＝√２或（√２—１）・
（２００１，浙江省绍兴地区初中数学竞赛）
∥丽云丽．）
万方数据
初中数学竞赛中的二次函数相关问题(下)
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 王盛裕， WANG Sheng-yu 浙江省宁波市镇海外语实验学校,315200 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2005(10)
必有一根．
得△☆
：
△ｋ＋ｌ—Ａ｝：
万方数据
２００５年第１０期
５
组
ｉ毒
求
：＝和
冯跃峰
（广东省深圳市深圳高级中学，５１８０４０）
力Ｌ背
（本讲适合高中）
给定一个集合ｘ，ｘ的满足某种条件的 子集构成一个集合ｘ＋，对ｘ＋中的任何一个
子集Ａ，定义一个由ｘ＋到Ｒ的函数．厂（Ａ），
数值和面＿构造函数意寻简化函数式
本文链接：/Periodical_zdsx200510001.aspx
ｋ２的顶点所在曲线是（ （Ａ）Ｙ＝石２
）．
（答案：Ｄ．） ３．若ａ、ｂ为抛物线Ｙ＝（髫一ｃ）（茹一Ｃ—ｄ）～２ 与名轴交点的横坐标，ａ＜ｂ，则ｌ ａ—ｃＩ＋ｌ ｃ一６ｆ的
值为——．
（２００２，全国初中数学竞赛） （答案：ｂ—ａ．） ４．已知ｍ、ｎ均为正整数．若关于菇的方程 ４ｘ２—２ｍｘ＋ｎ＝０的两个实数根都大于１，且小于２， 求ｍ、ｎ的值． （２００３，上海市（宇振杯）初中数学竞赛） （答案：１７＂ｔ＝６，ｎ＝９．） ５．已知二次函数的图像开口向上且不过原点 ０，顶点坐标为（１，一２），与戈轴交于点Ａ、曰，与Ｙ轴 交于点ｃ，且满足关系式Ｉ ＯＣＩ ２＝Ｉ∞ｊ．１ （１）求二次函数的解析式； （２）求△ＡＢＣ的面积． （２００３，太原市初中数学竞赛） （答案：（１）ｙ＝ｘ２—２戈一１或Ｙ＝（１＋√２）ｘ２一
由题设Ｒ＋ｒ＝戈，则
●
ＡＤ＝丽ＡＣ・ＢＰ＝警石＝墨字ｚ．
ｓＩ＝｜ｓ御＝音胖。ＡＮ＝２ｘ，
ｓ２＝ｓⅫｌＰ＝去ＡＤ‘ｐＭ
Ｙ＝ｉ１—７（（ｘ２＋２ｘ一２）． （２）因为Ｒ＋ｒ≥２￣／Ｒｒ，所以，
ｚ２，
一圭×曼字ｘ×等（６一戈）＝一一芎１２ｘ
万方数据
一虿×…ｒ ｘ×ｉ Ｌｏ一刈２—芎ｚ，
Ｓ３＝Ｊｓ尘Ａ舭一ＳＩ—Ｓ２＝百１（６一ｘ）２．
ＯＢＩ．
（Ｂ）Ｙ＝一石２
（Ｄ）Ｙ＝一茗２（算＞０） （Ｃ）Ｙ＝搿２（石＞０） （２００４，全国初中数学竞赛湖ｊＥ赛区预赛） （答案：Ａ．） ２．二次函数Ｙ＝ 础２＋如＋ｃ（ｎ≠０）的图 像如图９所示．则化简 二次根式￣／（ｏ＋ｃ）２＋ ￣／（ｂ—ｃ）２的结果是
（ ）． （Ａ）ｎ＋ｂ （Ｂ）一ａ一６ （Ｃ）ｏ＋ｂ一２ｃ 图９
Ａ＾２ Ｙ＾＋ｌ—Ｙ＾
又因为ｃ＜ｏ，所以，ｃ＜华ｃ．
故厂（百３）＜等。＋寻６＋乏竽ｃ
＝等ｍ口＋以ｂ＋拈ｃ）：ｏ，
＝（础：＋ｌ＋玩＾＋Ｊ＋Ｃ）一（∞２女＋如自＋ｃ）
＝ｎ［（戈＾＋ｄ）２一戈：］＋６［（菇＾＋ｄ）一戈＾］
＝２ａｄｘｔ＋（ａｄ２＋６ｄ）． 故△☆＋Ｉ一△Ｉ
即“丢）＜ｏ．
因此，方程ｆ（咒）＝０，即眦２＋ｋ＋ｃ＝０
记为Ｓ，、Ｓ２、Ｓ，．设
ＢＰ＝戈． Ｂ Ｐ 图７ Ｃ
ＯＢ上，并与佃内切于０
点日，半圆ｏ Ｄ。与半 圆ｏ Ｄ：相切．设两圆 的半径之和为石，面积 之和为Ｙ．
Ｄ 图８
Ｑ
口
（１）试建立以省为自变量的函数Ｙ的解 析式； （２）求函数Ｙ的最小值． （２０００，太原市初中数学竞赛）・ 讲解：（１）如图８，设００。、④０：的半径 分别为Ｒ、ｒ．则
一南５扣省＝≯彤＝扣
Ｙ一＝菊Ｚｌ＝１・０５（万元）・
百一’
４ａｃ—ｂ２
注：解本题要注意取值范围的实际意义．
例９如图６所示，已知边长为４的正方
形钢板有一个角锈蚀，其中ＡＦ＝２，ＢＦ＝１．
有些实际背景的应用性问题，自变量取 值范围受到一定限制时，由二次函数图像的 单调性和连续性，最值不外乎在顶点或区间 的端点处达到．解这类题，首先要建立二次函 数模型，求出函数的解析式及实际问题中的 自变量的取值范围，然后由上面给出的性质 求得最值． 例８经营销售甲乙两种商品能获得的 利润依次是Ｐ（万元）和ｑ（万元），其销售利 润与投入资金ｘ（万元）的关系有经验公式：
表１
ｘ Ｘｌ Ｘ２ Ｘ３ Ｘ４ Ｘ５ 戈６ Ｘ７
因此，八１）＞０．
、
另一方面，／（寻）＝孺９口＋百３
４０７ ５４９ ７１７
６＋ｃ．
ｌ，，
５ｌ
１０ｒ７
１８５
２８５
因为。＞ｏ，所以，９。＜訾。．
但由于粗心算错了其中一个Ｙ值，请指 出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并 说明理由． （２００３，上海市初中数学竞赛） 讲解：设ｚ２一ｚｌ＝戈３一戈２＝…＝戈７一石６ ＝ｄ，且戈。对应的函数值为Ｙｉ．则
２
中等数学
●数学活动课程讲座●
初中数学竞赛中的二次函数相关问题（下）
王盛裕
（浙江省宁波市镇海外语实验学校，３１５２００）
（本讲适合初中） ５应用二次函数的最值性质解决实际问题 二次函数Ｙ＝慨２＋如＋ｃ（ａ≠０），当ａ
由于二次项系数为一了１＜０，则当＾＝
＞０（ｎ＜ｏ）且戈＝一≠一时，），有最小（大）值
），＝一｝（３刊＋吾正
≤石每ｊ Ｊ・ ＝一｛戈＋詈＾＋詈ｔ一，ｕ≤石≤３）． ２一ｉ戈＋ｉ√ｚ＋ｉ
显然，Ｙ是以以为自变量的二次函数．
收稿日期：２００５—０３—２４ 修回日期：２００５—０６—２０
因为点Ｐ在线段ＡＢ上，所以，戈的取值
范围是Ｏ≤ｘ≤１．
而抛物线Ｙ＝一２ｘ２＋６算＋８顶点的横
万方数据
２００５年第１０期
丽ｉ函数值（答案）・
计算＞：．，’（Ａ），我们称这样的求和问题为组
ＡＥＸ＋
比如，∑Ｇ｛＝∑略ｉ
＝（１＋菇）８
ｘ＝ｌ＝２”．
合求和．
本文介绍组合求和的一些常用方法．
１通过构造母函数求解
一般地。
２八彤）Ｌ 苫ｋ驴苫。ｅ妒Ｌ Ｉ，）舯 ２
＝
＾＝ Ｉ
。“２
Ｉ
。５一‘
通过构造母函数将∑Ｉ厂（Ａ）转化为某
Ａ∈Ｘ”
例１２某学生为了描点作出函数Ｙ＝
因为口＞０，所以，拒ｎ＜以。．
’又因为Ｃ＜０，所以，４３ｃ＜√３ｃ． 故０：√芝ｏ＋√ｊｂ＋￣／亏ｃ
＜√３（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｆ（１）．
似２＋ｋ＋ｃ（ｏ≠０）的图像，取自变量的７个 值：ｚｌ＜戈２＜…＜戈７，且戈２一菇ｌ＝戈３一菇２＝… ＝石，一菇。，并分别算出对应的Ｙ值，列出表１．
例１３已知口、ｂ、Ｃ为实数，僦＜０，且 √２ｎ＋√３ ｂ＋√５Ｃ＝０．证明：一元二次方程
故尺＋ｒｉ＞２“２—１），即
筇＞／２舵一１）．
因此，函数的解析式为
１
Ｙ＝—睾７ｃ（ｚ２＋２ｘ一２）．
当石＝２（√２一１）时，有最小值（３—２√２）兀． 注：本题是几何最值问题，通过建立二次
函数模型，应用勾股定理、相切两圆的性质得
在大于寻而小于１的范围内有一个根．
注：根据二次函数的连续性知，当ｎ≤戈
＝２ａｄ（茗＾＋ｌ～戈＆）＝２ａｄ２（常数）． 由给出的数据
Ｙ＾：５１ １０７ ５６ ２２ ７８ ２２ １８５ １００ ２２ ２８５ １２２ ２０ ４０７ １４２ ２６ ５４９ １６８ ７１７
≤６时，若ｆ（口）ｆ（ｂ）＜０，则在ｎ≤戈≤ｂ范 围内函数的图像与菇轴必有一个交点，即对 应的二次方程ｆ（ｚ）＝０在ｏ≤戈≤ｂ范围内
似２＋如＋ｃ＝０有大于寻而小于１的根．
（２００５，全国初中数学联赛） 讲解：设Ｙ＝八菇）＝僦２＋如＋ｃ． 由于ａＣ＜０，不妨设口＞０，Ｃ＜０，则
ｆ（１）＝ｏ＋ｂ＋ｃ．
到半径的数量关系，利用平均值不等式求得 戈的取值范围，进而求得最小值．
７其他
近几年来，初中数学竞赛中涉及二次函 数问题的试题越来越活，形式丰富多彩．
为了合理利用这块 钢板，将在五边形 ＥＡＢＣＤ内截取一个 长方形块ＭＰＮＤ，使 点Ｐ落在ＡＢ上，且 要求面积最大．那
么，钢板的最大利用
率是多少？
图６
ｐ＝｛ｘ，ｇ＝詈＾．已知有３万元资金投入经
营甲乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两 种商品的资金投入分别为多少？能获得的最
大利润是多少？
（第一届中学生数学智能通讯赛） 讲解：如图６所示，点Ｐ在线段ＡＢ上， 过点Ｐ作ＰＭ上ＤＥ，ＰＮ上ＣＤ，垂足分别为
其中／（菇）＝∑ａｋｘＰｋ．
例１设置＝ｉ １，２，…，ｎ｝，对％的任 何非空子集Ａ，令Ｔ（Ａ）是Ａ中所有数之积．
个函数／＜爿）在某点‰处的函数值ｆ（‰）．其
步骤是：
收稿｜Ｉ期：２００５一０１—１０修回日期：２１３１３５—０６—２１
求∑Ｆ（Ａ）．
Ａ￡％
练习题
１．当ｋ取任何实数Ｈ，－ｊ＂，抛物线Ｙ＝÷（戈一七）２＋