如何引导学生进行数学策略性知识的学习

数 学 策 略 性 知 识 的 学 习
数学组 朱长芬
摘要：数学策略性知识是在数学学习或问题解决过程中，蕴涵在“事实知识”背后的内在方法，是学生对自己的信息表征、组织、贮存、提取方式及对思维过程本身的调节和监控。

本文结合三角函数与平面向量的教学，提出了从强调对所估计的问题解决方向的检验、通过自我评价调整问题解决策略、强调学生形成有价值的思考、培养学生对问题的条件、结论等推广、引申的能力四方面来对学生进行数学策略性知识的学习指导。

关键词：数学、策略性知识、学习指导
数学策略性知识是在数学学习或问题解决过程中，蕴涵在“事实知识”背后的内在方法，是学生对自己的信息表征、组织、贮存、提取方式及对思维过程本身的调节和监控。

比如，对自己的思考过程(从一个数学活动的开始到结束的每一步心理活动)进行的反思；对数学活动所涉及的知识、思想方法、有联系的问题进行自我监控；对题意的理解过程、解题思路、推理的过程、运算的过程、语言的表述进行自我监控等等，都是有关的策略性知识。

在教学实践中发现，学生策略性意识不强，也不注重这方面的学习。

本人结合三角函数与平面向量的教学，探讨如何引导学生进行数学策略性知识的学习。

1、强调对所估计的问题解决方向的检验
估计和检验是一种很有效的问题解决策略。

一些教师较少鼓励学生进行这种猜测、估计与检验的活动。

学生进行数学问题解答的检验，只是将得到的答案代入要求计算的表达式中，看计算得对不对，只求形式的结果，省略了猜测、检验、和修正的过程，也就是说只能检查答案，却不能修正答案。

所以，教学中，应强调学生在数学问题解决时，先依据已知条件在一定的范围内进行大致估计，以明确某个方向(解决策略、解决的前景等)，然后进行检验(对错都要评价，找出理由)，再针对上述信息，进行修正、调节(考虑调节的方法、决定修正什么、思考怎样修正、决定如何修正等)。

案例：在一次平面向量的测试中，有这样一个问题：“在四边形ABCD 中，已知a AB =，d DA c CD b BC ===,, ，且a d d c c b b a ⋅=⋅=⋅=⋅判断四
边形ABCD 的形状？
一个学生在交试卷时，很急切地要与老师讨论。

学生：老师，这道题(指着试卷说)我想了很久，是不是菱形啊？(不是很肯定的语气)
老师觉得有点诧异，以这个学生的数学学习情况看，这个问题对于他不是个难题，但为什么他处理起来有疑惑呢？而且并没有得出准确答案。

所以，在收完试卷后，老师特地拿出该生的试卷，并找来这个学生。

老师：你能告诉我，你对这个题目是怎么想的吗?
学生：我当时看了一下已知条件，估计四边形ABCD 是个菱形，然后就往这个方向努力。

老师：你最初估计之后，没有检验一下是否合理吗?
学生：没有这个习惯，有估计就可以往下做了。

老师：那你现在看看解答过程，发现有问题吗?
学生仔细看了试卷，想了想，自言自语：“怎么好像这个条件d b c a ⋅=⋅有点问题？我怎么想出来的呢?”
原来，学生考试时没有发现，对于自己的估计，并没有足够的条件可以加以论证，但由于他没有对自己的估计进行检验，中间分析时就多加了一些条件(比如，d b c a ⋅=⋅)进去，以便完成对估计的论证。

学生：如果我一开始就检验一下就好了。

菱形并不满足已知的一些条件，按已知条件是证不出来的。

看来我要想着对自己的最初估计进行检验，分析一下猜测是否合理，所用的条件是否为已知的等等，应该可以不断修正的……
老师：你对自己的问题分析得很好，这为你多提供了一个问题解决的策略。

几个星期后，有一天，这个学生兴冲冲地来找我。

“老师，我发现这个估计加检验很有用啊，这次考试的那几道选择题，我一下子就猜出来了，很多同学算了很久还是错了…”，“还有上次那道题，我想出了另一种方法，老师你来帮忙验证是否正确”。

以下是这个学生提供的很妙的解决过程。

（令k a d d c c b b a =⋅=⋅=⋅=⋅，由向量数量积的定义，
当K>0时,四边形的四个外角都是锐角,则外角和小于3600，这不可能； 当K<0时,四边形的四个外角都是钝角,则外角和大于3600，这也不可能； 所以，只有当K=0，则四边形的四个内角都是900，因此，四边形是矩形。

）
2、通过自我评价调整问题解决策略
学生通过“做”数学来学数学，通过动手操作，学生积极参与课堂教学活动，这是值得提倡的学习方法。

根据这一理念，本人在三角函数的教学中，给出具体数学情境，先让学生动手去“做”数学，使学生产生认知的冲突，然后
引导学生反思、评价解决问题的方法，帮助他们找到调整策略的途径，学习必要的数学策略性知识。

案例：在学完两角和与差的正弦、余弦公式后，本人给出了一道关于两角和差公式应用的问题，先让学生动手做，然后让他们评价自己的方案。

题目：已知,1411)cos(,71cos -=+=βαα且)2
,0(,πβα∈，求βcos 的值？ 经过一段时间的思考，学生做出了回答。

学生1：7
34sin )2,0(,71cos =∴∈=
απαα 由余弦的和角公式14
11sin 734cos 71sin sin cos cos )cos(-=-=-=+βββαβαβα ∴ 1cos sin 22=+ββ 14
11sin 734cos 71-=-ββ 但是解这个方程组的计算太复杂了，既有根号又有平方，是不是我的方法不对? 学生2：我也是这么做的，我觉得自己的想法没有错，但计算太繁琐了，是不是有别的方法，避免复杂计算呢?
〔几乎所有的学生都是采用这种方案，然后在解方程组时停下来了，……〕 老师：这种想法是对的，但是发现计算过程复杂，这时就要调整原有的方法，从而使问题简化。

对三角函数，一般要考虑角和函数名的变化，大家先观察要求的角和已知角之间有什么联系?大家看，已知角是…，要求的是… 学生3：已知βαα+,，要求β……哦，αβαβ-+=)(
老师：很好，发现了角之间的变换关系，我们可以把βα+看作一个整体、一个已知的角，求βcos 就可以转化为求))cos((αβα-+，运用和角公式进行运算即可。

（学生运用已调整的方法做题，很快展开αβααβαcos )cos())cos((+=-++
αβαsin )sin(+很快就计算出βcos 的值为1/2。

）
在这个问题解决过程中，学生开始时受到以往数学思维习惯的影响，陷入了“复杂计算”的困境，这时需要调整策略，通过反思和自我评价，换个角度思考，从中发现“线索”，问题就迎刃而解了。

3、强调学生形成有价值的思考
在数学学习的不同阶段，对待同样类型的知识要有不同的要求。

学生应从发展自己数学思维的角度出发，多与同学合作、交流，从相互的提问、质疑中
逐渐形成有价值的思考(比如，能充分利用已知条件，能有助于导出所需要的结果，能为寻找解题策略提供借鉴经验，能促进深入思考问题，有助于方法的优化等)。

案例：在三角函数复习课上，有以下问题：已知)4
,0(,135)4sin(ππ∈=-x x ，求x 2cos 的值？ 从解答情况看，学生有以下几种想法(根据课堂上学生的练习情况，通过提问的方式了解学生的思维)
学生1：运用差角公式展开)4sin(x -π
，联立1cos sin 22=+x x ，想解方程组
求x x cos ,sin 但是过程繁琐，做不下去。

学生2：我得到13
5cos )4sin(==-x x π
，哦，不对，公式记错了。

学生3：我也展开了)4sin(
x -π，还求出了x x cos sin 2-的值，接下来就不会
做了…… 听了几个学生的想法后，教师先对三角函数进行归纳复习(三角函数中常见的题型：化简、证明、求值。

由于三角公式很多，做这类题抓三件事：先看角，寻找角之间的联系；再分析函数，看是否为同名函数，化为弦还是切就看怎么用方便，经常是想办法化为正、余弦；然后观察整体结构，看选择什么公式最恰当)。

几分钟后，教师鼓励学生之间对这三种想法进行讨论，以下是来自其中四个学生的讨论：
学生1：我展开)4sin(x -π
，计算很复杂啊，怎么往下做？你是怎么做的？
学生2：我本来也和你想的一样，但觉得
x x 2,4与-π有关系，可以变一变，
让我再想想？ 学生3：是啊，我觉得三角函数就是变角有意思，变)4()4(
2x x x --+=ππ行吗？
学生2：不行，增加了新角x +4π
，求不出它的三角函数值，还有其他变法吗？
（这时教师刚好在旁边听他们的讨论，学生们借此询问老师的意见。

） 老师：你们的方向正确，想着变角，但变角是为了优化解决过程，应该考虑改变正、负号或函数名，而不是增加变化量，你们再讨论一下。

学生4：是啊，还要考虑角度的限制范围，你们说该怎么变啊？
学生3：我想到了，2)4(22π
π
+--=x x ，没有增加新角，行吗？
老师；变得好！对三角问题，不要一见到公式就展开，应该学着变角、变函数名，采取有发展前途的策略。

教师重视通过问题情境，鼓励学生之间的交流，引导学生之间的提问、检查，经历思维修正、发展的过程。

促使学生养成这样的习惯:在平时的数学学习中，认真对待基本的知识，对认为简单的问题从优化解决策略上考虑，要有发展自己的能力的意识，积累经验，这样在以后应付变化的问题情境时才能游刃有余。

4、培养学生对问题的条件、结论等推广、引申的能力
数学学习中，通过回顾和反思，尽可能地把问题一般化，引出推论，以多样的方式逼近问题，使其应用范围扩大。

通过对解题过程和结果的反思，从中感悟解决数学问题的策略。

下面通过平面向量教学中的几个细节说明如何从细微处着手，培养学生对数学问题的引申、推广能力。

案例：一次课上，学生正在思考两个问题：是否每一非零向量都可分解为两个不共线的向量？平面上两个不共线向量是否能表示出平面上所有向量？
学生根据向量的加法画图，找出两个实数21,λλ，把平面内的任一向量a 表示为2211e e a λλ+=的形式，总结出平面向量基本定理。

突然，一个学生说：“这跟物理上力的分解很相似，它们有什么关系啊?”
老师：问得好！物理上力的合成、分解问题，用数学的角度来分析，就是平面上任何一个向量可表示为两个不平行向量的线性组合。

数学上很多知识都有其物理背景。

学生：可是，我们学的是力的正交分解，像直角坐标系，向量之间的夹角也是直角吗?好像定理中没有说明。

老师：大家看看刚才画的向量图，角度可以怎样变化？
学生：我画的是平行四边形，同桌画的夹角就和我的不一样。

对了，夹角可以是任意的，垂直是特殊情况。

老师：很好!夹角有任意性，这为以后直角坐标系的推广做了铺垫。

学生：推广？还有什么样的坐标系啊？空间吗？
老师：大家讨论一下，从一维(直线)到二维(平面)再到三维(空间)，向量的表示有何变化？
学生在积极地思考，不时地进行交流。

教师在黑板上写下，例题，如图，OB OA ,不共线，)(,R t AB t AP ∈=，用OB OA ,表示OP 。

然后， 请学生发表他们讨论的结果。

学生1：我们认为，既然平面上用两个向量，
那么，空间中应该要用三个向量来表示所有的
向量吧(不是很肯定的语气)。

学生2：是啊，我原以为也用两个，画图 试了试，好像不行。

那么二维用两个，三维就用三个，还有，一维该用一个。

老师：说的好！大家对定理的推广有些理解了。

对于直线上的任意向量可以只用一个向量表示，三维空间需要三个两两不共线的向量来表示。

这将为大家后续学习空间向量时，经历平面向量基本定理向空间向量基本定理的推广打下基础。

老师：回头看看二维平面，思考这个例题，除了问题本身，大家试着改变题目条件，例如A ，B ，P 三点的关系，各个向量之间的关系等等，或者推广你得到的结论，看看问题有何进一步的变化？
一段时间过后，一些学生完成例题的解答（OB t OA t OP +-=)1(）一些学生还试图对题目进行一些变化，也有几个学生在讨论改变哪个条件才最容易得到的结论。

临近下课，让学生课后与老师讨论所得的结果。

以下是学生得到的一个很有用结论。

（如果)1(-≠=λλPB AP 则λ
λ++=1OB OA OP ，原题中的λ是AP 与AB 之间的比，改进为其中一部分AB 与另一部分PB 之间的比。

”“我从一些参考书上看到，这好像是将要学习的线段定比分点的向量公式”。

）
为了帮助学生建构起良好的数学认知结构，在一些数学知识学习和数学问题解决的过程中，教师可以通过分析问题的背景、应用范围、所蕴含的数学知识体系等，引导学生将问题进行引申推广，从而学习必要的数学策略性知识，积累如何习得和应用数学策略性知识的经验，逐渐提高数学学习效率。

参考文献:
(1) G ．波利亚.怎样解题〔M 〕.北京科学出版社,1982.
(2)任勇.数学学习指导与教学艺术〔M 〕.人民教育出版社,2004.
O A B P。