高中数学配套课件：第1部分 第一章 1.2 1.2.1 函数的概念

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又∵g[f(x)]＝x2＋x＋1， 1 2 ∴x ＋ax＋ (a ＋3)＝x2＋x＋1.解得 a＝1. 4
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[例 3] (12 分)求下列函数的定义域： x＋12 (1)y＝ － 1－x； x＋1 x＋1 (2)y＝ . |x|－x
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[思路点拨]
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[精解详析] (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必
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1．下列函数中，f(x)与 g(x)相等的是 A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x，g(x)＝ x2 x2－4 C．f(x)＝x＋2，g(x)＝ x－2 D．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
(
)
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解析：对于 A，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义 域为{x|x≥0}， 两函数的定义域不相同， 所以不是相等函数； 对于 B，g(x)＝ x2＝|x|，与 f(x)＝x 的对应关系不相同，所 x2－4 以不是相等函数； 对于 C， g(x)＝ ＝x＋2(x≠2)， f(x) 与 x－2 ＝x＋2 的定义域不同，所以不是相等函数；对于 D，g(x) ＝ x2＝|x|，与 f(x)＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以 是相等函数．
数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当 且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时， 这两个函数才是同一个函数．
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(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们 不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同. 如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对
应关系不同，所以是两个不同的函数．
3－x≥0， (2)函数有意义，当且仅当 x－1≥0.
解得 1≤x≤3，所以
这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
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x－1≠0， 2 (3)函数有意义，当且仅当x＋1≥0， x＋1≠0. 解得 x>－1，且 x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且 x≠1}．
提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1. 问题2：时间t(0≤t≤3)确定后下落的距离s确定吗？ 提示：确定． 问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？
提示：不能．
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1．函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A中的 任意一个数x ，在集合B中 都有 唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A .
1－x 若 f(x)＝ (x≠－1)，求 f(0)，f(1)，f(1－a)， 1＋x
f[f(2)](a≠2)． [思路点拨] 将 x 分别赋值，代入函数解析式化简即可．
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1－0 1－1 [精解详析] f(0)＝ ＝1，f(1)＝ ＝0， 1＋0 1＋1 1－1－a a f(1－a)＝ ＝ (a≠2)； 1＋1－a 2－a 1－2 1－ 1＋2 1－f2 f[f(2)]＝ ＝ ＝2. 1＋f2 1－2 1＋ 1＋2
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(3)A 中为负数的元素没有平方根，故在 B 中没有对应的元素 且 x不一定为整数，故此对应关系不是 A 到 B 的函数； (4)对于集合 A 中任意一个实数 x， 按照对应关系 f： x→y＝0， 在集合 B 中都有唯一确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数.
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[例 2]
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[精解详析]
图号 正误 原因 x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足 存在性 同时满足存在性与唯一性 x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足存在性 x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不
①
② ③ ④
×
√ × ×
满足唯一性
[答案] B
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[一点通] 1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下方面去 判断，即A、B必须是非空数集，A中任一元素在B中有且
答案：D 返回
2．下列对应关系是否为 A 到 B 的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
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解：(1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故不是 A 到 B 的函数； (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，按照对应关系 f：x→y＝x2，在集合 B 中都有唯一确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到集合 B 的函数；
只有一个元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函 数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”， 而不能是“一对多”．
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3．根据图形判断对应是否为函数的方法：
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若 在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则 不是函数．
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[例1]
设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下
列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关 系的有 ( )
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A．0个
C．2个 [思路点拨]
B．1个
D．3个 由函数的概念判断，对于集合A中的
任意一个数x，按照某种对应关系，在集合B中都有唯 一的数f(x)与之对应，就是从A到B的函数．
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函数定义的理解：
(1)集合A、B是非空数集． (2)从集合A到集合B有一明确的对应关系(如一个 等式)． (3)A中任何一个数在B中都有唯一确定的数与之
对应，即集合A中每一个数都能在集合B中找到唯一
的数与之对应．
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(4)函数的定义域是集合A，值域是集合B的子集． (5)函数是一种对应，是多对一或一对一．一对多 的对应不是函数．
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1 5．已知 f(x)＝2x＋a，g(x)＝ (x2＋3)，若 g[f(x)]＝x2＋x＋1， 4 求 a 的值．
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1 2 解：∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝ (x ＋3)， 4 1 ∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝ [(2x＋a)2＋3] 4 1 2 ＝x ＋ax＋ 3，＋∞)
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x－2≥0， 解析：要使函数有意义，需满足 x－3≠0，
即 x≥2 且 x≠3.
答案：C
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7．求下列函数的定义域： 3 (1)y＝2＋ ； x－2 (2)y＝ 3－x· x－1； (3)y＝(x－1) ＋
0
2 . x＋1
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3 解：(1)当且仅当 x－2≠0，即 x≠2 时，函数 y＝2＋ 有 x－2 意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
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8．已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的 定义域．
解： ∵函数 f(x)的定义域为[－1,4]， ∴－1≤2x＋1≤4. 3 ∴－2≤2x≤3.∴－1≤x≤2. 3 故 f(2x＋1)的定义域是[－1，2]．
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1．对函数相等的概念的理解：
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函
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[一点通]
1．在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，
f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时， 只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数 式)代入即可； 2．求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．
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4 3．设函数 f(x)＝ ，若 f(a)＝2，则实数 a＝________. 1－x
定义 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
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(2)无穷区间的表示：
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
(－∞， 符号 ＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
x＋1≠0， 须满足 1－x≥0， x≠－1， 即 x≤1.

(3 分)

(5 分)
所以函数的定义域为{x|x≤1，且 x≠－1}． (6 分)
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(2)要使函数有意义，必须满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}． (9 分) (11 分) (12 分)
理解教材新知
第 一 章
1.2 1.2.1
把握 热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
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某物体从高度为 44.1 m 的空中自由落下， 物体下 落的距离 s 与所用时间 t 的平方成正比.这个规律用数 1 2 学式子可描述为 s＝ gt ，其中 g＝9.8 m/s2. 2
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问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？
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2．函数的定义域与值域
函数y＝f(x)中，x叫 自变量 ， x 的取值范围 叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值 的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．显然，值域是集 合B的 子集 ．
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3．区间的概念及表示 (1)区间定义及表示：
设a，b是两个实数，而且a<b.
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[一点通]
1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就
是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下 列各种情形： (1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大 于或等于零； (2)分式中分母不能为0； (3)零次幂的底数不为0； 返回
(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使
4 解析：由题意知，f(a)＝ ＝2，得 a＝－1. 1－a