圆周运动绳杆模型
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一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体， 按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑 (如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动， 该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
1 (2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的 做匀速圆周运动， 2 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时， 小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
T0 2π 2 【思维启迪】 mg＝mR( ) →周期 T0→T′＝ →F′向＝ T0 2 2π 2 mR( ) →盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力 T′
(2013· 长春模拟)如右图所示，质量为 m 的小球 置于方形的光滑盒子中， 盒子的边长略大于小球的直径. 某同学 拿着该盒子在竖直平面内以 O 点为圆心做半径为 R 的匀速圆周 运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计．求： (1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力， 因此小球仅受重力作用， 由重力 2π 2 提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR( ) T0 解之得 T0＝2π R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 4π2 ＝ 2R T 由第(1)问知 T0＝2π R T0 g 且 T＝ 2
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则 mgh＝ mv ，h＝2l， 2 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 v2 v2 为 FN′，则 FN′－mg＝m l ，故 FN′＝mg＋m l ＝560 N＋ 82 56× N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 1.6 小为 2800 N.
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
v2 由mg＝m r 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ v2 m r ，绳、轨道对球 讨论 产生弹力 FN 分析 (2)不能过最高点 v< gr， 在到达最高 点前小球已经脱离 了圆轨道
(1)当 v＝0 时， FN＝mg， FN 为支持力， 沿半径背 离圆心 (2)当 0<v< gr时， －FN v2 支＋mg＝m r ，FN 背向 圆心，随 v 的增大而减 小 (3)当 v＝ gr时， FN＝0 (4)当 v> gr时， v2 FN 拉＋mg＝m r ，FN 指 向圆心并随 v 的增大而 增大
答案：(1)8 m/s (2)560 N 2800 N
由上述三式知 a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知 在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg 即 FN＝－mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0
因为 F 为正值、FN 为负值，Hale Waihona Puke Baidu牛顿第三定律知小球对盒子 的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【答案】 (1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军． 如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求： (1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动， 该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
1 (2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的 做匀速圆周运动， 2 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时， 小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
T0 2π 2 【思维启迪】 mg＝mR( ) →周期 T0→T′＝ →F′向＝ T0 2 2π 2 mR( ) →盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力 T′
(2013· 长春模拟)如右图所示，质量为 m 的小球 置于方形的光滑盒子中， 盒子的边长略大于小球的直径. 某同学 拿着该盒子在竖直平面内以 O 点为圆心做半径为 R 的匀速圆周 运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计．求： (1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力， 因此小球仅受重力作用， 由重力 2π 2 提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR( ) T0 解之得 T0＝2π R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 4π2 ＝ 2R T 由第(1)问知 T0＝2π R T0 g 且 T＝ 2
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则 mgh＝ mv ，h＝2l， 2 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 v2 v2 为 FN′，则 FN′－mg＝m l ，故 FN′＝mg＋m l ＝560 N＋ 82 56× N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 1.6 小为 2800 N.
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
v2 由mg＝m r 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ v2 m r ，绳、轨道对球 讨论 产生弹力 FN 分析 (2)不能过最高点 v< gr， 在到达最高 点前小球已经脱离 了圆轨道
(1)当 v＝0 时， FN＝mg， FN 为支持力， 沿半径背 离圆心 (2)当 0<v< gr时， －FN v2 支＋mg＝m r ，FN 背向 圆心，随 v 的增大而减 小 (3)当 v＝ gr时， FN＝0 (4)当 v> gr时， v2 FN 拉＋mg＝m r ，FN 指 向圆心并随 v 的增大而 增大
答案：(1)8 m/s (2)560 N 2800 N
由上述三式知 a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知 在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg 即 FN＝－mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0
因为 F 为正值、FN 为负值，Hale Waihona Puke Baidu牛顿第三定律知小球对盒子 的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【答案】 (1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军． 如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求： (1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．