热点5 复数的概念与运算
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数的基本概念与运算例题和知识点总结
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
高三数学复数的概念与运算知识精讲
高三数学复数的概念与运算【本讲主要内容】复数的概念与运算复数的概念及代数形式的运算【知识掌握】复数的建立，经历了一个漫长的过程。
在许多数学家和数学工作者的辛勤工作下，历经了三百年的时间，数系从实数系向复数系的扩X ，才基本得以完成。
【知识点精析】1. 对已学过的实数集及实数子集的回顾实数（）有理数（）正有理数零负有理数无理数正无理数负无理数无限不循环小数R Q ⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎪⎫⎬⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 2. 由于解方程的需要，在实数集中，有些方程是无法解决的。
例如：x 210+=。
为此，人们引进一个新数i ，叫虚数单位。
并且规定： （1）i 21=-（2）实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加乘运算律，仍然成立。
3. 复数集：形如a bi a b R +∈()，的数叫复数。
（1）复数a bi a b R +∈()，，当b =0时，叫实数。
（2）复数a bi a b R +∈()，，当b ≠0时，叫虚数。
（3）复数a bi a b R +∈()，，当a b =≠00，时，叫纯虚数。
其中a 与b 分别叫复数，a bi a b R +∈()，的实部和虚部。
4. 复数相等若两个复数a bi +和c di +的实部和虚部分别相等，就说两个复数相等。
记作：a bi c di a b c d R +=+∈()，，， 那么：a c b d ==，特殊地：a bi a b +=⇔==005. 两个复数只能说明相等或不相等，不能比较大小。
6. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数叫做共轭复数。
复数z 的共轭复数可以用z 表示，即复数：z a bi =+的共轭复数是z a bi =-。
7. 共轭复数的性质 （1）z z =（2）z z z z ·==||||22（其中|z|叫复数的模） （3）z z a z z bi +=-=22， （4）z z z z 1212+=+ （5）z z z z 1212-=- （6）z z z z 1212⋅=⋅ （7）z z z z z 121220⎛⎝⎫⎭⎪=≠() 8. 复数的加法与减法（1）复数的加法按以下法则表示：设z a bi z c di 12=+=+，是任意两个复数，那么它们的和：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++ （2）复数的加法满足交换律，结合律，即 ①z z z z 1221+=+（交换律）②()()()z z z z z z z z z 123123213++=++=++（结合律） （3）复数的减法复数的减法规定为加法的逆运算，即把满足()()c di x yi a bi +++=+的复数x yi +叫做复数a bi +减去复数c di +的差。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的定义与运算规则
复数的定义与运算规则复数是数学中的一个重要概念，是由实数和虚数构成的数。
它的定义可以通过二元有序实数对来表示，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数的定义与运算规则是数学学习中必须掌握的基础知识之一。
一、复数的定义复数可以看作是实数与虚数的结合体。
实数是我们平时所熟知的数字，而虚数是不能用实数来表示的数，其平方值为负数。
复数的定义主要是为了解决在实数范围内无法进行根号运算的问题。
具体而言，复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，a 和b都是实数，i是虚数单位。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部表示复数在虚数轴上的位置。
例如，复数2+3i中，实部为2，虚部为3i。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法复数的加法和减法运算规则与实数的运算规则相似。
实部和实部相加（或相减），虚部和虚部相加（或相减）得到结果的实部和虚部。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(2+3i)-(4+5i)=-2-2i2. 复数的乘法复数的乘法运算按照乘法分配律进行。
实部和虚部分别相乘，并根据i的平方值化简。
例如，(2+3i)*(4+5i)=(-7+22i)，即(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i3. 复数的除法复数的除法运算需要将除数和被除数同时乘以共轭复数的形式。
共轭复数是将虚部的符号取反得到的复数。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23/41)+(2/41)i，即[(2*4+3*5)+(3*4-2*5)i]/[4^2+5^2]4. 复数的乘方和开方复数的乘方和开方运算可以通过将复数转化为指数形式来进行。
指数形式表示为r*(cosθ+isinθ)，其中r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
例如，对于复数a+bi，其模r=sqrt(a^2+b^2)，辐角θ=arctan(b/a)。
复数的乘方运算按照指数运算规则进行，复数的开方运算则将指数形式转化为常规复数形式。
5. 复数的共轭和模运算复数的共轭运算是将虚部取反，复数的模运算是求复数的绝对值。
复数的运算与应用
复数的运算与应用复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分组成。
在实际生活和科学研究中，复数的运算与应用广泛存在并发挥重要作用。
本文将探讨复数的基本运算规则和实际应用领域。
一、复数的基本运算规则1. 复数的表示形式复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，2 + 3i 就是一个复数。
2. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(2 + 3i) + (1 - 2i) = 3 + i，(2 + 3i) - (1 - 2i)= 1 + 5i。
3. 复数的乘法复数的乘法采用分配律，即 (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
例如，(2 + 3i) × (1 - 2i) = 8 - i。
4. 复数的除法复数的除法需要将除数的复数共轭乘以被除数，然后分子分母分别实部相除、虚部相除。
例如，(2 + 3i) ÷ (1 - 2i) = (4/5) + (7/5)i。
二、复数的应用领域1. 电路分析在电学领域中，复数广泛用于描述交流电路的分析和计算。
通过将电阻、电感和电容等元件的阻抗用复数表示，可以简化计算过程。
复数运算在求解电压、电流和功率等问题中发挥着重要作用。
2. 信号处理在信号处理领域，复数被用于描述和分析信号的频谱特性。
傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的重要工具，复数的性质使得傅里叶变换能够有效描述信号的频谱分布和频域特性。
3. 物理学在量子力学和波动光学中，复数起到了关键的作用。
薛定谔方程中的波函数用复数表示，复数的模的平方表示了粒子在空间中的概率密度分布。
光的传播和干涉现象也可以用复数表示，例如，复振幅描述了光的强度和相位。
4. 统计学在统计学中，复数被应用于描述多维数据的特征和相似性。
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的知识点公式总结
复数的知识点公式总结一、复数的基本概念1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部与虚部：复数z=a+bi中，a称为实部，b称为虚部，通常用Re(z)和Im(z)表示。
3. 纯虚数：实部为0的复数，称为纯虚数，如bi，则bi为纯虚数。
4. 共轭复数：设z=a+bi是一个复数，如果将z的虚部b改变符号，得到一个新的复数z’=a-bi，称z’是z的共轭复数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：z=a+bi，即由实部a和虚部b构成的复数形式。
2. 幅角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为复数的模，θ为复数的辐角。
3. 按模辐角表示：z=r·exp(iθ)。
4. 柯西-黎曼公式：当z=x+yi时，可表示为z=r(exp[i(θ+2kπ)]), k=0,±1,±2,...。
三、复数的运算规则1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a+c)-(b+d)i。
3. 乘法：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
5. 复数的乘方：(a+bi)²=a²-b²+2abi。
6. 复数的幂运算：zⁿ=(r·exp(iθ))ⁿ=rⁿ·exp(iθn)。
7. 复数的共轭：z=a+bi的共轭为z*=a-bi。
8. 复数的倒数：z=a+bi的倒数为1/z=1/(a+bi)。
四、复数的性质1. 除法：任一非零复数z=a+bi，存在有唯一的复数1/z=1/(a+bi)，满足z(1/z)=1。
2. 复数的模：|z|=√(a²+b²)，其中|z|为z的模。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是由实数与虚数构成的数。
它的基本形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用于描述一些实际问题，比如电路分析、信号处理和数学问题等。
本文将介绍复数的基本概念与运算。
一、复数的基本概念复数的实部和虚部分别是实数，实部用a表示，虚部用b表示。
实数是复数的一种特殊情况，当b=0时，复数退化为实数。
对于任意一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，可以将其表示为有序对(z=a,b)。
复数可以用复平面上的点来表示，其中实轴是实数轴，虚轴是虚数轴。
实部对应着实轴上的点，虚部对应着虚轴上的点。
二、复数的运算1. 加法与减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要对实部和虚部进行独立的运算。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和z₃=z₁+z₂为(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₄=z₁-z₂为(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
2. 乘法复数的乘法运算可以通过分配律展开，然后利用i²=-1化简。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积z₃=z₁z₂可以计算为(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 除法复数的除法可以通过将除数和被除数都乘以共轭复数的形式进行。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商z₃=z₁/z₂可以计算为[(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)]+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i。
三、复数的性质1. 共轭复数给定一个复数z=a+bi，它的共轭复数记为z*，即a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部符号相反。
2. 模或绝对值对于一个复数z=a+bi，它的模记为|z|，可以计算为√(a²+b²)，表示复数到原点的距离。
3. 平方根复数的平方根是一个复数，它满足平方后等于给定的复数。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
第五章 复数 知识点总结梳理-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2019新教材北师大版数学必修第二册第五章知识点清单目录第五章复数§1 复数的概念及其几何意义§2 复数的四则运算§3 复数的三角表示第五章复数§1 复数的概念及其几何意义一、复数的有关概念1. 我们通过定义i2=-1引进一个新数i，来扩充数的范围，其中i叫作虚数单位.形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z.二、复数的分类1. 根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a+bi(a，b∈R){实数(b=0)虚数(b≠0){纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)2. 全体复数构成的集合称为复数集，记作C. 显然R⫋C.3. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：三、复数相等1. 两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.2. 注意：两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.四、复数的几何意义1. 复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2. 复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，即复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b).(2)设复平面内的点Z(a，b)表示的复数为z=a+bi(a，b∈R)，连接OZ(O为坐标原点)，⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)也是一一对应的，则复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ .即复数z=a+bi 平面向量OZ3. 复数的模⃗⃗⃗⃗⃗ 的模称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|. 由向量模的定(1)定义：向量OZ义可知，|z|=|a+bi|=√a2+b2.⃗⃗⃗⃗⃗ |，即点Z(a，b)到原点O的距离.(2)几何意义：|z|=|OZ4. 共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用z表示. 当z=a+bi(a，b∈R)时，z=a-bi. 显然，|z|=|z|；z=a+bi(a，b∈R)的虚部b=0⇔z=z.五、对复数概念的理解1. 判断一个实部或虚部含有参数的复数在什么情况下分别是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数分类为实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R)，则(1)当且仅当b=0时，z为实数；(2)当且仅当a=b=0时，z为实数0；(3)当b≠0时，z为虚数；(4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数；(5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数.2. 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数.3. 对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法.六、复数相等的充要条件的应用复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：(1)分别确定两个复数的实部与虚部；(2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解.七、复数的几何意义及其应用1. 复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的一个点Z(a，b)表示.⃗⃗⃗⃗⃗ =(a，b)一一对应.(2)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ2. 复数的模(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的计算公式求解.(2)复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离.3. 常见复平面内点的集合的形式(1)|z|=1表示复数z对应复平面内的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆.(2)|z-z1|=d(d>0)表示复数z对应复平面内的点的集合是以复数z1对应的点为圆心，d 为半径的圆.(3)|z|<r(r>0)表示复数z 对应复平面内的点的集合是以原点为圆心，r 为半径的圆的内部区域.§2 复数的四则运算 2. 1 复数的加法与减法一、复数的加法及运算律 1. 复数的加法设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R)，则z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数加法的运算律(1)结合律：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)； (2)交换律：z 1+z 2=z 2+z 1. 二、复数的减法 1. 相反数给定复数z 2，若存在复数z ，使得z 2+z=0，则称z 是z 2的相反数，记作z=-z 2.2. 复数的减法减去一个复数，等于加上这个复数的相反数. 设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R),则z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 三、复数加减法的几何意义设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di(a ，b ，c ，d∈R)分别与向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ，d)对应. 如图1，根据向量加法的平行四边形法则，有OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由平面向量的坐标运算，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+c ，b+d)，即向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与复数(a+c)+(b+d)i 对应.如图2，根据向量减法的三角形法则，有OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由平面向量的坐标运算，得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-c ，b-d)，即向量Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与复数(a-c)+(b-d)i 对应. 可见，复数的加减法可以按照向量的加减法来进行.四、复数的加减运算 复数加减运算的两种方法1. 复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部的和作为实部，虚部的和作为虚部. 减法要将减数的实部、虚部变为其相反数后与被减数进行求和.2. 利用复数加法的结合律进行计算. 五、复数加减法几何意义的应用1. 利用复数加减法的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用复数的几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；(2)数转化为形：对一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.2. 利用复数的几何意义解题的常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1+z 2对应的点为C ，O 为坐标原点(点O ，A ，B 不共线).(1)四边形OACB 为平行四边形；(2)若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则四边形OACB 为矩形； (3)若|z 1|=|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.2. 2 复数的乘法与除法2. 3 复数乘法几何意义初探一、复数的乘法1. 定义：设a，b，c，d∈R，则(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2. 乘法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)交换律z1·z2=z2·z1乘法对加法的分配律z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z33. 乘方的运算性质z m·z n=z m+n，(z m)n=z mn，(z1·z2)n=z1n·z2n(其中m，n∈N+).4. 虚数单位i的幂的周期性i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(其中n∈N).5. 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，它等于这个复数(或其共轭复数)模的平方，即若z=a+bi(a，b∈R)，则z·z=|z|2=|z|2=a2+b2.二、复数的除法1. 复数的倒数给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2.2. 复数的除法对任意的复数z1=a+bi(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1 z2=z1·1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数.因此z1z2=a+bic+di=(a+bi)·[cc2+d2-dc2+d2i]=ac+bdc2+d2-ad−bcc2+d2i.在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”.三、复数的乘法的几何意义1. 设复数z 1=a+bi(a ，b∈R)所对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若z 2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与c 的数乘，即OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c 倍得到的.2. 设z 3=(a+bi)·i 所对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针旋转π2得到的. 四、复数的乘除运算 1. 复数乘除运算的策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘分母的共轭复数，类似于以前学习的分母有理化.2. 复数代数运算中的常用结论(1)i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i ；i n +i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N). (2)1i =-i ；1+i 1−i=i ；1−i 1+i=-i ；(1±i)2=±2i .(3)设ω1=−1+√3i2，ω2=−1−√3i2，则ω1，ω2具有如下关系：①ω13=ω23=1；②1+ω1+ω2=0；③ω12=ω1=ω2，ω22=ω2=ω1；④ω1ω2=1.五、在复数范围内解一元二次方程1. 对于实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0，a ，b ，c∈R)，若Δ=b 2-4ac>0，则方程有两个不等实根；若Δ=b 2-4ac=0，则方程有两个相等实根；若Δ=b 2-4ac<0，则方程没有实根，但方程有两个共轭虚根x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a，且这两个根也满足根与系数的关系.2. 如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.3. 根与系数的关系在复数范围内仍然成立.§3 复数的三角表示一、复数的三角形式1. 辐角以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、复数z=a+bi(a，b∈R)对应的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的射线为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角.2. 复数z=a+bi(a，b∈R)的三角形式：z=r·(cos θ+isin θ)，其中r=√a2+b2，cos θ=ar，sin θ=br.满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.二、复数的乘法运算r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.三、复数的除法运算r1(cosθ1+i sinθ1) r2(cosθ2+i sinθ2)=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.2. 特别地，若n∈N+，则[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cos nθ+isin nθ).11 / 11四、两个复数的辐角1. 辐角的性质两个复数积的辐角等于各复数辐角的和，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，一个复数n 次幂(n∈N +)的辐角等于这个复数辐角的n 倍.2. 注意辐角与辐角的主值的区别，特别是解题过程中的不同点；两个复数积的辐角的主值不一定等于两复数的辐角的主值之和，商的辐角的主值不一定等于两复数辐角的主值之差.五、给值求值常见结论(1)复数z=r(cos θ+isin θ)的平方根为√r (cosθ+2kπ2+i sin θ+2kπ2)(k=0，1)； (2)复数z=r(cos θ+isin θ)的立方根为√r 3(cos θ+2kπ3+i sinθ+2kπ3)(k=0，1，2)； (3)复数z=r(cos θ+isin θ)的n(n ≥2，且n∈N +)次方根为√r n (cosθ+2kπn +i sin θ+2kπn )(k=0，1，2，…，n-1).。
复数的概念和运算
复数的概念和运算内容：1．复数的有关概念虚数单位I ；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.2．复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释要求：对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，并能利用这些知识解决简单问题.对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识解决有关问题.例1．i 2n-3+i 2n-1+i 2n+1+i 2n+3的值为（ ）.A 、-2B 、0C 、2D 、4分析与解答： 法一：原式0)()1()11(332=-+--=+++=i i i i i i i ii n n 法二：原式 0)1111()1(3264232=-+-=+++=--n n i i i i i法三：视为等比数列， 原式011)11(1)1(322832=+-=--=--n n i ii i . 选B. 几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了i 的运算的周期性：14=n i ，.,1,342414i i i i i n n n -=-==+++例2．设z 1,z 2为复数，那么02221=+z z 是z 1,z 2同时为零的（ ）.A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件分析与解答：若z 1,z 2同时为零，则02221=+z z 成立；而当02221=+z z 时，就不一定z 1,z 2同时为零. 如：当z 1=i, z 2=1时0112221=+-=+z z ，故选B.注意在复数集中不能套用实数集中的性质.例3．下面命题中正确的是（ ）.A 、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B 、复数a+b i =c+d i 的充要条件是a=c,b=d.C 、如果让实数 a 与纯虚数a i 对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.D 、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.分析与解答：A 、否定：因为复数≠虚数，如z=3,3=z , ∴0=-z z 不是纯虚数.B 、a,b,c,d 应为R ，否则不成立，因此否定.C 、否定：a=0时，a i =0不是纯虚数.D 、正确，虚轴不包括原点.例4．已知：i z z 97||3-=-，求复数z.分析与解答：设z=a+b i (a,b ∈R)，由已知有 i b a bi a 97)(322-=+-+，整理为i bi b a a 973322-=++-，根据复数相等，有⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)2.....(.. (9)3)1........(7322b b a a 由 (2)得b=-3代入(1)得a=4或45=a . 经检验45=a 舍去， ∴z=4-3i . 注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因此必须验根.例5．设z ∈c ，且|z|=2,求|31|z i +-的最小值和最大值.分析与解答： 法一：|||31||31|||||31||z i z i z i +-≤+-≤--，又∵ |z|=2, 2|31|=-i ,∴ 4|31|0≤+-≤z i ，因此|31|z i +-的最小值为0，最大值为4.此法利用的是复数模的性质：||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|.请问，你知道等号成立的条件吗？ 法二：利用复数减法的几何意义：|z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆. )31(||31|i z z i +--=+-|表示此圆上的点到点)3,1(-M 的距离，由图知：∵M 就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M 点的直径的另一端M'处，|MM'|=2R=4，得最远距离为4.此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.例6．当21i z --=时，求z 100+z 50+1的值. 分析与解答： 由21i z --=得i i z -=-=222， ∴i 4=-1. 则 z 100+z 50+1=(-1)25+(-1)12(-i )+1=-i . 例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz . (2)z 的实部和虚部都是整数.分析与解答：由题,设 z=x+yi (x,y ∈Z 且x 2+y 2≠0),则2210101010y x yi x yi x yi x yi x z z +-++=+++=+ i yx y y x x )101()101(2222+-+++= ∵ z z 10+是实数，∴ 虚部0)101(22=+-yx y ， ∴ y=0或010122=+-y x ，又∵ 6101≤+<z z ，∴ 6)101(122≤++<y x x ……① (1)当y=0时 ①式化为 6101≤+<xx , x<0时，010<+x x ， 6101≤+<xx 无解. x>0时，,610210>≥+x x 6101≤+<x x 无解. (2)当x 2+y 2=10时，①式可化为 1<2x ≤6, ∴ 321≤<x , 又∵x,y ∈Z, ∴x=1,x=2,x=3. ∴ ⎩⎨⎧==31y x ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==131331y x y x y x 因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是： i i i i -+-+3,3,31,31.。
复数的概念与运算
复数的概念与运算一:知识点详析1．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位,规定21i =-,形如a+bi 的数称为复数,其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算：⑴n i ()*n N ∈怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4 ()*,k N r N ∈∈） ⑵i i 2321232121--=+-=ωω、是1的两个虚立方根，并且：13231==ωω221ωω=122ωω=211ωω=121ωω=21ωω=12ωω=121-=+ωω⑶ 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷ 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n ∈+=+θθθθ ⑸ 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：)1210)(2sin2(cos-=+++=n k nk i nk r z nk ，，，， απαπ它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。
全国高考复数复习专题
复数一、复数的概念及运算： 1、复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）实部：a ， 虚部：b ；（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数； （4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：)0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac di c bi a 。
3、复数的共轭与模：共轭复数: 复数的模:复平面:复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系， 另：z 与z 关于x 轴对称， z 表示z 对应点与原点的距离。
二、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）， 令ac b 42-=∆， 当0>∆时， 方程有两个不相等的实数根。
当∆=0时， 方程有两个相等的实根； 当0<∆时， 方程有两个共轭虚根：2,221ib x i b x ∆---=∆-+-=。
2、一元二次方程的根与系数的关系：若方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）的两个根为21x x 、， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121； 考点1：复数的基本运算1.等于2. 已知复数z3i ）z ＝3i ， 则z ＝3. 3(1－i)2＝4.复数(1+i)21－i等于5. 复数4)11(i+的值是考点2：复数的模长运算1.已知复数z =， 则z 等于2. 已知02a <<， 复数z 的实部为a ， 虚部为1， 则z 的取值范围是考点3：复数的实部与虚部1. 复数3(1)i -的虚部为考点4：复数与复平面内的点关系1. 在复平面内， 复数1ii+对应的点位于2. 在复平面内， 复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在复平面内， 复数ii+-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 若()()i x x x x z 653222+-+--=对应的点在虚轴上， 则实数=x考点5：共轭复数1.复数512i+的共轭复数是2. 若2a bi -+与3a i -互为共轭复数， 则实数a 、b 的值分别为3. 把复数z 的共轭复数记作z ， 已知i z i 34)21(+=+,则z 等于考点6：复数的周期1.已知()n n f n i i -=-()n N ∈， 则集合{}()f n 的元素个数是 （）A．2 B. 3 C. 4 D. 无数个考点7：复数相等1. 已知21(1)()x y i x y x y i -++=-+--， 求实数x 、y 的值。
推导复数的基本概念与运算
推导复数的基本概念与运算复数是由实数和虚数构成的数学概念。
它具有实部和虚部，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
推导复数的基本概念与运算，我们可以从以下几个方面进行探讨。
一、复数的基本定义复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足 i^2=-1。
实数部分和虚数部分可以是任意实数。
二、复数的图像表示复数可以在复平面上进行图像表示，实部和虚部分别作为横纵坐标，在复平面上得到坐标点。
通过复数的图像表示，我们可以更直观地理解复数的性质和运算。
三、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数的加法和减法类似。
对于两个复数a+bi 和 c+di，实部相加，虚部相加得到结果。
四、复数的乘法复数的乘法运算使用分配律进行计算。
对于两个复数 a+bi 和 c+di，将其展开后，按照实部和虚部相加的方式计算得到结果。
五、复数的除法复数的除法运算存在一定的复杂性。
我们可以将除法运算转化为乘法运算，即通过求倒数的方式来实现。
对于两个复数 a+bi 和 c+di，先求倒数后再进行乘法运算得到结果。
六、复数的共轭复数的共轭是指保持实部相同，而虚部变号的操作。
对于复数a+bi，它的共轭复数为 a-bi。
共轭复数在复数运算中有重要的应用。
七、复数的模和幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理进行计算。
复数的幅角表示复数与实轴的夹角，可以使用反正切函数进行计算。
模和幅角是描述复数性质的重要指标。
八、复数的乘方和开方复数的乘方和开方运算可以使用指数运算进行计算。
复数的乘方表示复数连乘的结果，复数的开方表示找到指定次数幂等于该复数的复数值。
在复数的推导中，我们还可以应用欧拉公式、复数的指数函数和对数函数等高级数学概念。
这些内容超出本篇文章的范围，但相信通过以上基本概念与运算的探讨，读者已能初步理解和应用复数的推导。
总结：通过对复数的基本概念与运算的推导，我们可以更全面地了解复数的性质和运算规律。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它在实际应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些实际应用。
一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，满足i²=-1。
实数部分a与虚数部分bi可以是任意实数。
二、复数的运算规则1. 复数的加法复数的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如：(2+3i) + (4+5i) = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如：(2+3i) - (4+5i) = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法规则为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如：(2+3i) * (4+5i) = -7 + 22i。
4. 复数的除法复数的除法规则为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
例如：(2+3i) / (4+5i) = 23/41 - 2/41i。
三、复数的实际应用复数在物理学、工程学、电路分析等领域中有着广泛的应用。
1. 复振幅在物理学中，复振幅描述了周期性运动的振幅和相位差，可以用复数表示。
通过复数的加法和乘法运算，可以方便地进行振幅和相位的计算。
2. 交流电路分析在电路分析中，交流电路中电流和电压是相位差90°的正弦函数，可以通过复数表示。
利用复数的乘法和除法运算，可以简化交流电路的分析过程。
3. 矢量运算在工程学中，矢量运算广泛应用于力学、电磁学等领域。
复数可以表示二维矢量，利用复数的加法和乘法运算，可以方便地进行矢量的计算。
复数的概念与运算理科
复数的概念与运算-理科第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如a bi+（a b R∈，）(2).虚数单位为i：①21i=-.②i和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.(4).复数的几种形式：①.代数形式：z a bi，），其中a叫实部记作Re(z)，=+（a b R∈b叫虚部记作Im(z)；②几何形式: 将(,)a b作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示, 点称为复数的几何形式.即(,)z a b = ③将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即z OZ = (5).复数的分类： ①.实数⇔b = 0,即z a = ②.虚数⇔0b ≠③.纯虚数⇔a = 0且0b ≠,即z bi =(6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z 的共轭复数用z 表示,即z a bi =+（a b R ∈，）,则z a bi =-（a b R ∈，） (7).两个复数相等的定义：a bi c di a c+=+⇔=且b d=（其中a b c d R ∈，，，，）;特别地00a bi ab +=⇔==2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±; ()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++()()()()22()()a bi c di a bi ac bd bc ad ic di c di c di cd +-+++-==++-+②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.(2).运算定律:①复数的加法满足交换律、结合律;即123,,,z z z C ∀∈都有()()1221123123;z zz z z z Z z z z +=+++=++②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律;即123,,,z z z C ∀∈()()()12211231231231323;;z z z z z z Z z z z z z Z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅(3)距离:①模:z =; ②复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.3、复数的性质(1). 共轭复数的性质：z z =2121z z z z +=+az z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121zz z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z） nnz z)(=特别地:z R z z ∈⇔=; 非零复数z 是纯虚数⇔0z z += 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质111212222;;(0);nn z z z z z z z z z z zz z =⋅=⋅=≠=; 11;z z z =⇔⋅=特别地:2222zz z z z z====⋅(3).复数的乘方：①)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn;②对任何z ，21,zz C∈及+∈N n m ,有nn n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i就会得到11=-的错误结论.(4).绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z+≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z∈=.注：12233411n n nz z z z z z z z z z -++++=.4.复数常用的结论：(1).ni 周期为4; 即4142434,1,,1n n n nii iii i+++==-=-= ;)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++(2).211(1)2,,11iii i i i ii+-±=±==--+(3).若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则1若021z z+，则21z z- .（×）[21,zz )(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω为复数，而不是实数]2若21z z，则021z z-.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）(2).在实数集成立的2||x x =.当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax时，应注意下述问题：①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况. ③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题在线 题型一、复数的概念例1． (2009·福建理13) 复数2(1)i i +的实部是 .【解析】2(1)1i i i +=--,所以实部是-1【答案】-1例2．(2007·广东) ．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b =A. 2B. 12C. -12 D. -2【解析】(1)(2)2(12)bi i b b i ++=-++，而复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，那么由20b -=且120b +≠得b=2，故选A 。
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(2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. (4)i4n＋i4n 1＋i4n 2＋i4n 3＝0.
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[题组突破] 10 1． 设 i 是虚数单位， 若复数 a－ (a∈R)是纯虚数， 3－i 则 a 的值为( A．－3 ) B．－1 C．3 D．1
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复数问题的解题思路 (1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础 ，结 合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题． (2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决 问题．
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10 解析：选 C a－ ＝a－3－i 是纯虚数，则 a＝3. 3－i
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2i 2． (2015· ) 设 i 是虚数单位 ， 则复数 在复 安徽高考 1－ i 平面内所对应的点位于( A．第一象限 C．第三象限 ) B．第二象限 D．第四象限
2i（1＋i） 2（i－1） 2i 解析：选 B ＝ ＝ ＝ 2 1－i （1－i）（1＋i） －1＋i，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点 为(－1，1)，该点位于第二象限．
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复数的概念与运算高Fra bibliotek专题辅导与测试·数学
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[知识速览] 1．复数的除法 复数的除法一般是将分母实数化 ，即分子、分母同 乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 1＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i， ＝i ， ＝－i. 1－i 1＋i
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3．(2015· 西工大附中模拟 )已知 a ＝1－bi，其中 a， 1＋i ) D. 5
b 是实数，i 是虚数单位，则|a－bi|＝( A．3 B．2 C．5
解析： 选D
a（1－i） a 由 ＝1－bi， 得 ＝1 1＋i （1＋i）（1－i）
a a a a －bi，即 － i＝1－bi，即 ＝1 且－ ＝－b，即 a＝2，b 2 2 2 2 ＝1，则|2－i|＝ 5.