山东省2014届理科数学一轮复习试题选编14：平面向量的数量积(教师版)

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山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练平面向量的数量积(含解析)

考点：平面向量数量积的运算1、 (1)(2014·威海期末考试)已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(2013·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a在b 方向上的射影为________．解析 (1)∵a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1) ∴b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)． ∴a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5. (2)由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2 ＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a ·b |b |＝52. 答案 (1)D (2)522、 (1)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2)(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______．解析 (1)8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝30，即18＋3x ＝30，解得x ＝4.故选C. (2)∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.答案 (1)C (2)7123.向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝( )．A ．2B ．(0,4)C ．4D ．(1,4) 解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 C4．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( )． A.14 B.12C ．1D ．2解析如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 C5．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1解析由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 A6．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( )． A.2π3 B.π6 C.π3 D.5π6解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0. ∴2|b |2·cos<a ，b >＋|b |2＝0，∴cos<a ，b >＝－12，又<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝2π3.答案 A7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )|b |2＝t 2＋1－t ＝1－t2. 由b ·c ＝0，得1－t2＝0，所以t ＝2.答案 28．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，又AB →＝OB →－OA →＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，解得x ＝y .又AC →＝(x －3，y ＋1)＝λ(0,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，结合x ＝y ，解得λ＝2.答案 29.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，<AB →，AC →>＝60°，则|OA →|＝________.解析因为<AB →，AC →>＝60°，所以AB →·AC →＝|AB→|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132. 答案 132考点：向量的夹角与向量的模1、(1)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． (2)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 解析 (1)等式平方得|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，则|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |cos θ，即0＝4|b |2＋4·3|b |2cos θ，得cos θ＝－13.(2)因为|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4a 2＋b 2＝4＋4＝8，故|2a －b |＝2 2. 答案 (1)－13(2)2 22、已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)若平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 和b 的夹角θ的取值范围是________．解析 (1)由|2a －b |＝10平方得，4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，即|b |2－4|b |cos 45°＋4＝10，亦即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)． (2)依题意有|a ||b |sin θ＝12，即sin θ＝12|b |，由|b |≤1，得12≤sin θ≤1，又0≤θ≤π，故有π6≤θ≤5π6.答案 (1)3 2 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π63．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )． (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，故x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)， ∴|a －b |＝－22＋02＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.4．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.5．(2013·青岛一模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )．A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为cos θ＝a ＋b ·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.所以θ＝π3.答案 B6．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1.∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7. 欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.考点：向量的垂直关系1、已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c ·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＝0. 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a ·b ＝0， ∴c ·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0， ∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．考点：坐标法的应用1、 (2012·上海卷)在矩形ABCD 中，设AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．解：如图，以A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k (0≤k ≤1)，则点M 的坐标为(2，k )，点N 的坐标为(2－2k,1)，则AM →＝(2，k )，AN →＝(2－2k,1)，AM →·AN →＝2(2－2k )＋k ＝4－3k ，而0≤k ≤1，故1≤4－3k ≤4. 答案 [1,4]2、(2012·江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析：以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)，∴AF →＝(x,2)，AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，∴F (1,2)，∴AE →·BF →＝ 2.。

【范文】高考数学(理科)一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案

高考数学（理科）一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案27 平面向量的数量积及其应用导学目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理．向量数量积的定义向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a•e＝e•a＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③a•a＝________________或|a|＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤|a•b|____|a||b|.2．向量数量积的运算律交换律：a•b＝________；分配律：•c＝________________；数乘向量结合律：•b＝________________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝，b＝，则a•b＝________________________；设a＝，b＝，则a⊥b⇔________________________；设向量a＝，b＝，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.若A（x1，y1），B（x2，y¬2），则|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.自我检测.（XX•湖南）在Rt△ABc中，∠c=90°,Ac=4,则AB→•Ac→等于A．－16B．－8c．8D．162．已知向量a，b满足a•b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝A．0B．22c．4D．83．已知a＝，b＝，⊥b，则λ等于A．－2B．2c.12D．－124.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），c（x，y），若AB→⊥Bc→，则动点c的轨迹方程为________________．5.（XX•天津）若等边△ABc的边长为2，平面内一点m满足cm→＝16cB→＋23cA→，则mA→•mB→＝________.探究点一向量的模及夹角问题例1 已知|a|＝4，|b|＝3，•＝61.求a与b的夹角θ；求|a＋b|；（3）若AB→＝a，Bc→＝b，求△ABc的面积．变式迁移1 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足•＝0，则|c|的最大值是A．1B．2c.2D.22已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a＝，b＝，且ka＋b的长度是a－kb的长度的3倍．求证：a＋b与a－b垂直；用k表示a•b；求a•b的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2 设向量a＝，b＝，c＝．若a与b－2c垂直，求tan的值；求|b＋c|的最大值；若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.求a•b及|a＋b|；若f＝a•b－|a＋b|，求f的最大值和最小值．变式迁移3（XX•四川）已知△ABc的面积S=AB →•Ac→•＝3，且cosB＝35，求cosc.．一些常见的错误结论：若|a|＝|b|，则a＝b；若a2＝b2，则a＝b；若a∥b，b∥c，则a∥c；若a•b＝0，则a＝0或b＝0；|a•b|＝|a|•|b|；c＝a；若a•b＝a•c，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a＝，b＝，θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|＝a•a＝a2|a|＝x21＋y21a与b的数量积a•b＝|a||b|cosθa•b＝x1x2＋y1y2a与b共线的充要条件A∥b⇔a＝λba∥b⇔x1y2－x2y1＝0非零向量a，b垂直的充要条件a⊥b⇔a•b＝0a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0向量a与b的夹角cosθ＝a•b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y223.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=cD，可转化证明AB→2＝cD→2或|AB→|＝|cD→|.（2）要证两线段AB∥cD，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB→＝λcD→成立即可．（3）要证两线段AB⊥cD，只需证AB→•cD→＝0.一、选择题．若向量a＝，b＝，a•b＝0，则实数m的值为A．－32B.32c．2D．62．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知⊥，则实数k的值为A．－6B．－3c．3D．63.已知△ABc中，AB→＝a，Ac→＝b，a•b<0，S△ABc＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAc等于A．30°B．－150°c．150°D．30°或150°4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，•b＝0，则a 与b的夹角为A．30°B．60°c．120°D．150°5．已知a＝，b＝，则a在b上的投影为A.135B.655c.6513D.1313题号2345答案二、填空题6．设a＝，b＝，α∈π2，π，若a•b＝25，则sinα＝________.7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．8．已知向量m＝，向量n与向量m夹角为3π4，且m•n＝－1，则向量n＝__________________.三、解答题9.已知oA→＝，oB→＝，oc→＝，在线段oc上是否存在点m，使mA→⊥mB→，若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．0．已知向量a＝，sin)，b＝．求证：a⊥b；若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．1．已知a＝，b＝2cosx＋π6，1，函数f＝a•b．求函数f的单调递减区间；若f＝85，求cos2x－π3的值．答案自主梳理．a•b＝|a||b|cos〈a，b〉①|a|cos〈a，e〉②a•b＝0③|a|2a•a④a•b|a||b|⑤≤ 2.b•aa•c＋b•c λ 3.a1b1＋a2b2 a1b1＋a2b2＝0 a21＋a22 a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22x2－x12＋y2－y12自我检测2．B [|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a•b＋b2＝8＝22.]3．D [由•b＝0得a•b＋λ|b|2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y2＝8x解析由题意得AB→＝2，－y2，Bc→＝x，y2，又AB→⊥Bc→，∴AB→•Bc→＝0，即2，－y2•x，y2＝0，化简得y2＝8x．5．－2解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设c，A，B，这样利用向量关系式，求得mA→＝32，－12，mB→＝32，－12，mB→＝－32，52，所以mA→•mB→＝－2.课堂活动区例1 解∵•＝61，∴4|a|2－4a•b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a•b－27＝61，∴a•b＝－6.∴cosθ＝a•b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a•b＋|b|2＝16＋2×－6＋9＝13.∵AB→与Bc→的夹角θ＝2π3，∴∠ABc＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|Bc→|＝|b|＝3，∴S△ABc＝12|AB→||Bc→|sin∠ABc＝12×4×3×32＝33.变式迁移1 c [∵|a|＝|b|＝1，a•b＝0，展开•＝0⇒|c|2＝c•＝|c|•|a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ，∴|c|的最大值是2.]λ<12且λ≠－2解析∵〈a，b〉∈，∴a•b>0且a•b 不同向．即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<12.当a•b同向时，由a＝kb得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解由题意得，|a|＝|b|＝1，∴•＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．|ka＋b|2＝k2a2＋2ka•b＋b2＝k2＋2ka•b＋1，2＝3－6ka•b.由条件知，k2＋2ka•b＋1＝3－6ka•b，从而有，a•b＝1＋k24k．由知a•b＝1＋k24k＝14≥12，当k＝1k时，等号成立，即k＝±1.∵k>0，∴k＝1.此时cosθ＝a•b|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a•b的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 解因为a与b－2c垂直，所以a•＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin－8cos＝0.因此tan＝2.解由b＋c＝，得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cos β，所以a∥b.例3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解a•b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|，∵x∈－π3，π4，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.f＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f取得最小值－32；当cosx＝1时，f取得最大值－1.变式迁移3 解由题意，设△ABc的角B、c的对边分别为b、c，则S＝12bcsinA＝12.AB→•Ac→＝bccosA＝3>0，∴A∈0，π2，cosA＝3sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010，cosA＝31010.由题意cosB＝35，得sinB＝45.∴cos＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.∴cosc＝cos[π－]＝－1010.课后练习区．D [因为a•b＝6－m＝0，所以m＝6.]2．D [由•＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]3．c [∵S△ABc＝12|a||b|sin∠BAc＝154，∴sin∠BAc＝12.又a•b<0，∴∠BAc为钝角．∴∠BAc＝150°.]4．c [由•b＝0，得2a•b＝－|b|2.cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]5．B [因为a•b＝|a|•|b|•cos〈a，b〉，所以，a在b上的投影为|a|•cos〈a，b〉＝a•b|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]6.35解析∵a•b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝25，∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，∴sinα＝35.7．120°解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c•a＝0，即•a＝0.∴a2＋a•b＝0.又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cosθ＝0.∴cosθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．或解析设n＝，由m•n＝－1，有x＋y＝－1.①由m与n夹角为3π4，有m•n＝|m|•|n|cos3π4，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，∴n＝或n＝．9．解设存在点m，且om→＝λoc→＝，mA→＝，mB→＝．…………………………………………∵mA→⊥mB→，∴＋＝0，………………………………………………即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴m点坐标为或225，115.故在线段oc上存在点m，使mA→⊥mB→，且点m的坐标为或．………0．证明∵a•b＝cos•cosπ2－θ＋sin －θ•sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………解由x⊥y得，x•y＝0，即[a＋b]•＝0，∴－ka2＋b2＋[t－k]a•b＝0，∴－k|a|2＋|b|2＝0.………………………………………………………………又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………1．解f＝a•b＝2cosx＋π6＋2sinx＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3.…………………………………………………………由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.所以f的单调递减区间是π6＋2kπ，7π6＋2kπ．……………………………………………………………由知f＝2sinx＋π3.又因为2sinx＋π3＝85，所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝45.所以cos2x－π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………。

2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：54平面向量的数量积及运算律

∴k＝－12. 【思维总结】在(2)中直接利用a·b＝0，使化简简单，如果把 a与b的坐标代入(a＋2b)·(ka＋b)化简过程麻烦．
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方法感悟
方法技巧 1．向量的加、减、数乘与数量积的混合运算可以看成多项式的运算，按多项式的运算法则进行．例如(λ1a＋λ2b)·(k1a＋k2b) ＝λ1k1a2＋(λ1k2＋λ2k1)a·b＋λ2k2b2. 2．用坐标计算时，有时先化简再代入坐标简单，整体运用|a|2 及a·b的结果．
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 平面向量数量积的运算求两个向量的数量积，有两种方法：一是根据定义，确定两个向量的长度以及两个向量的夹角，代入定义式即可；二是坐标形式，确定两个向量的坐标，然后代入坐标公式．
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例1 (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，则 a·b＝________；(a－2b)·(a＋b)＝________. (2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝ __________________________________________________； b在a上的投影为________．【思路分析】利用平面向量数量积的定义及运算律计算a2， b2，及a·b.
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【解析】 (1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×4×(－12)＝－8. (a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝16＋8－32＝－8. (2)法一：a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)， 2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)， (a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18. 法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2 ＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.

2014届高考数学一轮复习效果监测平面向量的数量积及平面向量的应用

平面向量的数量积及平面向量的应用1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,- 4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。

2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用》理新人教A版

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC，又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322，则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ，由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ，则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5，整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量．其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错；对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。

山东省2014届理科一轮复习试题选编16：平面向量的综合问题

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编16：平面向量的综合问题一、选择题1 ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）已知||||2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且||OC 的最小值为1,则||(OA tOB t -∈R)的最小值为（）ABC ．2D【答案】B2 ．(2012年普通高等学校招生全国统一考试预测卷理科数学1)设()()1212,,,a a a b b b ==,定义一种向量积()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.已知12,,,023m n π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,点P (x ,y )在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f (x )的图象上运动,且满足OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点),则y=f (x )的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．21 【答案】D ．3 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）若,,a b c均为单位向量,且0a b ⋅= ,则a b c +- 的最小值为（）A1-B ．1C1+D【答案】A 222222232()a b c a b c a b a c b c a b c +-=+++⋅-⋅-⋅=-+⋅,因为0a b ⋅= ,且1a b c === ,所以a c += ,所以()cos ,,a b c a b c a b c a b c +⋅=+<+>=<+>,所以23(),a b c a b c +-=-<+> ,所以当cos (),1a b c <+>=时,2a b c +- 最小为2231)a b c +-=-=- ,所以1a b c +-=- ,即a b c +-的最小值为1-.选A ．4 ．(2012年高考(广东文))(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12B ．1C ．32D ．52【答案】解析: C ．⋅==⋅ aa b a b b b b1cos 2k θ=,= b b a a 2cos 2kθ=,两式相乘,可得212cos 4k k θ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32=a b . 5 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在△ABC 中,E 、F 分别为AB ,AC中点.P 为EF 上任一点,实数x ,y 满足PA +x PB+y PC =0.设△ABC ,△PBC ,△PCA ,△PAB 的面积分别为S ,1S ,2S ,3S ,记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=,则23λλ 取最大值时,2x +y 的值为（）A ．-1B ．1C ．-32D ．32【答案】D【解析】由题意知2111==λS S ,即S S 211=.,所以S S S S 211132=-=+,两边同除以S ,得2132=+S S S ,即2132=+λλ,所以3232221λλλλ≥+=,所以16132≤⋅λλ,当且仅当4132==λλ,此时点P 位EF 的中点,延长AP 交BC 于D,则D 为中点,由0=++PC y PB x PA ,得AP PA PC y PB x =-=+,PC PB PC PB PD AP 2121)(21+=+==,所以21,21==y x ,所以232=+y x ,选 D ．6 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）定义域为[a,b]的函数()y f x =图像的两个端点为（）A ．B,M(x ,y )是()f x 图象上任意一点,其中(1)[,=+-∈x a b a b λλ,已知向量(1)O N O A O B λλ=+- ,若不等式||MN k ≤恒成立,则称函数()[,]f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为（）A ．[0,)+∞B ．1[,)12+∞C ．3[)2++∞D ．3[)2-+∞【答案】D7 ．(北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测(数学文))在平面直角坐标系xOy 中,已知向量OA 与OB关于y 轴对称,向量)0,1(=a ,则满足不等式20OA AB +⋅≤ a 的点),(y x A 的集合用阴影表示为【答案】B ．8 ．(哈尔滨市第六中学2011-2012学年度上学期期末高三理科考试卷)已知点G 是ABC ∆重心,),(R ∈+=μλμλ,若2,120-=⋅=∠A ,的最小值是（）A ．33 B ．22 C ．32 D ．43 【答案】C ．9 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是（） A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙aC ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2【答案】B 【解析】由定义知:a ⊙b= mq-np:所以选项A 正确;又b ⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq-np, 所以选项B 错误;(λa)⊙b=mq np λλ-,λ(a ⊙b)= λ( mq-np)= mq np λλ-,所以对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b),选项C 正确;(a ⊙b)2+(a·b)2=( mq-np)2+( mp+nq)2=22222222m q n p m p n q +++,|a|2|b|2=()()222222222222m n p q m q n p m p n q ++=+++,所以(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2,因此D 正确.10．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A,B,M()(),x y x 是f 图象上任意一点,其中()()()1,1x a b R O N O A O B λλλλλ=+-∈=+-向量,若不等式MN k ≤ 恒成立,则称函数()[],f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为（）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 由题意知1,2a b ==,所以5(1,2),(2,)2A B .所以直线AB 的方程为1(3)2y x =+.因为()()1212M x a b λλλλλ=+-=+-=-,()()551(1,2)1(2,)(2,)222ON OA OB λλλλλλ=+-=+-=-- ,所以2N x λ=-,,M N 的横坐标相同.且点N 在直线AB 上.所以1113(3)222M N x MN y y x x x x =-=+-+=+- ,因为12x x +≥=,且1322x x +≤,所以13313()22222x x MN x x =+-=-+≤ ,即MN 的最大值为32所以32k ≥-选 C ． 11．(2012年高考(安徽理))在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（）A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(-【答案】【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=-12．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,P 是BC 边中点,角A ,B ,C的对边分别是a ,b ,c ,若0cAC aPA bPB ++=,则ABC ∆的形状为（）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图由AC c +aPA bPB += 知PC b c PA c a PC b PA a PA PC c )()()(-+-=-+-0=,而PA 与PC 为不共线向量,0=-=-∴b c c a ,.c b a ==∴故选（）A ．13．(2010昌平二模试题(理科)正式稿)设向量1212(,),(,)a a a b b b ==,定义一种向量积:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= .已知1(,3),(,0),26m n π== 点P 在sin y x =的图像上运动,点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（）A ．1,2π B ．1,42π C ．3,πD ．3,4π【答案】 C ．二、填空题14．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）下列命题中,正确的是____________________(1)平面向量a 与b 的夹角为060,)0,2(=a ,1=b ,则=+b a(2)已知((sin ,1,a b θ== ,其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2,则a b ⊥(3)O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足:sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,λ∈+∞,则直线AP 一定通过ABC ∆的内心【答案】 ①②③15．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义平面向量的一种运算:||||sin ,⊗=⋅a b a b a b ,则下列命题:①⊗=⊗a b b a ;②()()λλ⊗=⊗a b a b ;③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ; ④若a =11221221(,),(,),||x y x y x y x y =⊗=-则b a b . 其中真命题是_________(写出所有真命题的序号).【答案】①④由定义可知||||sin ,⊗=⋅=⊗b a b a a b a b ,所以①正确.②当λ<时,,,a b a b λπ<>=-<>,所以()||||sin ,||||sin ,λλλλ⊗=⋅=-⋅a b a b a b a b a b ,而()||||sin ,λλ⊗=⋅a b a b a b ,所以②不成立.③因为a b + 的长度不一定等于a b +,所以③不成立.④2222222()||||sin ,||||(1cos ,)⊗=⋅<>=⋅-<>a b a b a b a b a b 22222||||||||cos ,=⋅-⋅<>a b a b a b222222222112212121221||||()()()()()a b x y x y x x y y x y x y =⋅-⋅=++-+=-a b ,所以1221||x y x y ⊗=-a b ,所以④成立,所以真命题是①④.16．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）已知O 为锐角△ABC 的外心,10,6==AC AB 若AO =x AB +y AC ,且5102=+y x ,则BAC ∠cos 的值是________【答案】3117．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点,且EF//BC,实数x,y 满足0.,,,PA xPB yPC ABC PBC PCA PAB ++=∆∆∆∆设的面积分别为S,S 1,S 2,S 3,记312123,,S S SS S Sλλλ===,则23λλ⋅取最大值时,2x+y 的值为________. 【答案】32 【解析】由题意知12312S S S S ==+,223232322()1216S S S S S S λλ+=≤=,当且仅当23S S =时取等号,此时点P 在EF 的中点,所以0PF PE +=,由向量加法的四边形法则可得,2PA PB PE += ,2PA PC PF += ,所以20PA PB PC ++= ,即11022PA PB PC ++=,又0PA xPB yPC ++= ,所以12x y ==,所以322x y +=.18．(山西省实验中学仿真演练试卷文)对于命题:若O 是线段AB 上一点,则有0OB OA OA OB ⋅+⋅= .将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点,则有0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.将它类比到空间的情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有______________________________________.【答案】 0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----+++=19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）下列命题中,正确的是____________________①平面向量a 与b 的夹角为060,)0,2(=a ,1=b ,则=+b a②已知((sin ,a b θ== ,其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2,则a b ⊥③O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足:sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,λ∈+∞,则直线AP 一定通过ABC ∆的内心【答案】①②③ 【解析】①中,2a = ,所以1c o s 60212a b a b ==⨯= ,所以22221427a b a b a b +=++=++= ,所以a b +=,正确.②中,sin sin a b θθ==+ ,即sin sin sin a b θθθ==+,因为3(,)2πθπ∈,所以sin 0θ<,所以s i n s i ns i n s i n 0a b θθθθ=+=-= ,即a b ⊥ ,正确.③中,根据正弦定理可知2sin sin AB AC R C B ==,所以s i n ,s i n22ABACC B RR==,即()2()sin sin AB AC AB AC R C B AB ACλλ+=+ ,即2()AB ACOP OA R APAB AC λ-=+=,即AP 与BAC ∠的角平分线共线,所以直线AP 一定通过ABC∆的内心,正确,所以正确的命题为①②③.20．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)关于非零平面向量,,a b c .有下列命题:①若(1,),(2,6)k ==-a b ,∥a b ,则3k =-; ②若||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60; ③||||||+=+a b a b ⇔a 与b 的方向相同; ④||||||+>-a b a b ⇔a 与b 的夹角为锐角; ⑤若(1,3),(2,4),(4,6)---a =b =c =,则表示向量4,32,-a b a c 的有向线段首尾连接能构成三角形.其中真命题的序号是____________(将所有真命题的序号都填上).【答案】 ①③⑤三、解答题21．(湖北黄冈中学高三五月适应训练)已知ABC ∆中,90C ∠=︒,D 为斜边AB 上靠近顶点A 的三等分点.(I)设,CA a CB b ==,求CD ;(II)若1CA CB ==,求CD 在AB方向上的投影. 【答案】 (1) ∵ 3AB AD =即()3CB CA CD CA -=-∴32CD CB CA =+ 故 2133CD a b =+(2)过C 作CE AB ⊥于E ,则由射影定理得83AE =∴53DE =又因为CD 在AB 方向上的投影为负,故CD 在AB 方向上的投影为53。

一轮效果监测2014届高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》Word版含解析

平面向量的数量积及平面向量的应用知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、121.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《平面向量的数量积》

则|b|＝________.
32
单击题号显示结果 1 2 3 4
5
答案显示
B C D -16
单击图标显示详解
考向一平面向量数量积的运算
【审题视点】
【例1】►(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(1)直接利用数量积的
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于
三点提醒 (a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向
量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等． (3)向量夹角的概念要领会，比如在等边三角形ABC中，A→B与 B→C的夹角应为120°，而不是60°.
1、选择题 2 、填空题 3、解答题
考点梳理
1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. (2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x21＋y21.
所以P→A·(P→B＋P→C)＝P→A·2P→M＝－4|P→M|2
M/
＝－49|A→M|2＝－49，故填－49.
答案 (1)－6 (2)－49

2014年山东省高考理科数学试题+答案(全)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3 第Ⅱ卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考公式:如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P((A))+P((B))；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P((A))*P((B))第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += (A) 54i -(B)54i +(C) 34i -(D)34i +答案：D解析：由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+，选D 考点：复数的四则运算，复数的概念。

（2）设集合{|1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}xB y y x ==∈,则A B =(A) [0,2](B) (0,3)(C) [1,3)(D)(1,4)答案：C解析：由已知{|13},{|14}A x x B y y =-<<=≤≤，所以，[1,3)A B =，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。

山东省高考数学一轮复习试题选编14 平面向量的数量积

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编14：平面向量的数量积一、选择题 1 ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a -b)=0,则k= （） A ．-12 B ．-6 C ．6 D ．12【答案】D 【解析】因为(2)0a a b -=r r rg ,即(2,1)(5,2)0k -=g ,所以10+20k -=,即12k =,选D ．2 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=r r r r则向量a b r与的夹角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-=r r r r r r ,所以3a b ⋅=r r ,所以31cos ,162a b a b a b ⋅<>===⨯r rr r r r ,所以,3a b π<>=r r ,选B ．3 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ．B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点, 则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A ．29-B ．29 C ．2 D ．2-【答案】A 解析:x PO = , 则π22)(PC PO =⋅=⋅+29)23(2)3(22--=--=x x x , 所以29,23-=最小值为时x4 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0AB CD AB AD AC u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u u rg ,则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C【解析】因为+=0AB CD u u u r u u u r r ,所以AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r,所以四边形ABCD 是平行四边形.又()=0AB AD AC DB AC -=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ,所以对角线互相垂直,所以四边形ABCD 是菱形,选C ．5 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,AB AD ==60,A M AB ∠=︒点在边上,且1,3AM AB DM DB =u u u u r u u u r g 则等于（）A ．BC ．1-D ．1【答案】D6 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）在△ABC 中,AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为（） A ．52-B ．52C ．54-D ．54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r所以点D 是BC 的中点,则1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,11()22BD BC AC AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222115()(23)444AC AB =-=-=-u u u r u u u r ,选C ． 7 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）向量()()2,0,,a b x y ==r r ,若b b a -r r r与的夹角等于6π,则b r的最大值为（）A ．4B ．C ．2D 【答案】A 【解析】设(2,0)OA a ==u u u r r ,(,)OB b x y ==u u u r r ,则b a AB -=r r u u u r .因为b b a -r r r 与的夹角等于6π,即6OBA π∠=,设,OB a AB x ==u u u r u u u r ,根据余弦定理有,22222cos 6a x ax π=+-,整理得2240x a +-=,则方程有解,所以22)4(4)0a ∆=--≥,即216a ≤,所以04a <≤,所以b r的最大值为4,选A8 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知(1,2),2(3,1)a a b =-=r r r ,则a b ⋅=r r（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 因为(1,2),2(3,1)a a b =-=r r r ,所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)b a =-=-=-r r,所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯=r r,选 D ．9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知向量b a 、,其中2=a ,2=b ,且a b)a ⊥-（,则向量a 和b 的夹角是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A 【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-a a a b 设a 与b 的夹角为θ,则.4,22||||cos πθθ==⋅=b a 故选A 10．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若两个非零向量a r ,b r满足||2||||a b a b a ρρρρρ=-=+,则向量a b +r r 与b a -r r 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π【答案】B 由a b a b +=-r r r r 得,222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ,即0a b ⋅=r r .由2a b a +=r r r ,得22224a a b b a +⋅+=r r r r r ,即223b a =r r ,所以3b a =r r ,所以22222()()32a b b a b a a a a +⋅-=-=-=r r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与b a -r r 的夹角的余弦值为2()()21cos 222a b b a a a b a b a a θ+⋅-===+⋅-⋅r r r r r r r r r r ,所以3πθ=,选B ．11．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则 OC AB ⋅u u u r u u u r的值为（）A ．15-B ．15C ．65-D ．65【答案】A12．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b （）A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】 B 因为2,1a b ==r r ,所以1cos 60212a b a b ⋅=⋅=⨯=o r r r r ,所以2222442441223a a b b +=+⋅+=++==r r r r a b ,选 B ．13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）在ABC∆中,60=∠BAC °,，E，F ，AC AB 12==为边BC 的三等分点,则AF AE ⋅等于（）A ．35B ．45 C ．910 D ．815 【答案】A14．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）非零向量,a b r r 使得||||||a b a b -=+r r r r 成立的一个充分非必要条件是（）A ．//a b r rB ．20a b +=r r rC ．||||a ba b =r rr r D ．a b =r r【答案】B 【解析】要使||||||a b a b -=+r r r r 成立,则有,a b r r共线且方向相反,所以当20a b +=r r r 时,满足2a b =-r r,满足条件,所以选B ．15．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,60AB AD A ==∠=o,点M 在AB 边上,且13AM AB DM DB =⋅u u u u r u u u r ，则等于（）A ．32-B ．32C ．1-D ．1【答案】 D 1,3DM DA AM DA AB DB DA AB =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2211444()()133333DM DB DA AB DA AB DA AB DA AB AD AB⋅=+⋅+=++⋅=+-⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r74741cos6012133332AD AB =-⋅=-⨯⨯⨯=o u u u r u u u r .选 D ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）直线0x +-=与圆224x y +=交于A,B两点,则OA u u u r ·OB u u u r =（）A ．4B ．3C ．2D ．-2【答案】C由2204x x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩,即(0,2)A B ,所以OA u u u r ·2OB =u u u r ,选C ．17．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若12,e e u r u u r是平面内夹角为60o 的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+r u r u u r r u r u u r的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o【答案】D 【解析】12121cos 602e e e e ==ou r u u r u r u u r g ,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-r r u r u u r u r u u r g g,a ===r,b ===r ,所以,a br r的夹角的余弦值为1cos ,2a b a b a b<>===-r r r r g r r ,所以,120a b <>=o r r ,选 D ．二、填空题18．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设单位向量1212121,,22e e e e e e ⋅=-+=u r u u r u r u u r u r u u r 满足则____.19．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知向量(1,1),(2,0)a b ==r r,则2a b +r r 等于______________.【答案】【解析】22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=r r,所以2a b +===r r 20．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若AB=I,3AC =,,60AB AC =ou u u r u u u r ,则OA =u u u r ______________.【答案】132因为,60AB AC =ou u u r u u u r ,所以13cos 60322AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ,又1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以222211()(2)44AO AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即2113(139)44AO =++=u u u r ,所以132OA =u u u r . 21．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知向量,||2,||1,60,|2|a b a b a b a b ==︒-=r r r r r r r r满足与的夹角为则______.【答案】222．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如上图,在△ABC 中,AN =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为___________.【答案】113 23．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若||2||0,,,b a c a b c a a b =≠=+⊥r r r r r r r r r且则向量与的夹角为________.【答案】120︒ 24．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知向量a,b 满足,||1,||2,()==⊥+a b a a b ,则a 与b 夹角的大小是___________【答案】34π【解析】因为()a a b ⊥+r r r ,即()0a a b +=r r r g ,所以20a a b +=r r r g,即21a b a =-=-r r r g ,所以2cos ,2a b a b a b<>===r rr r g r r ,所以3,4a b π<>=r r .25．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知向量(1,1),(2,0)a b ==r r,则2a b +r r 等于为.（第14题图）N PCB【答案】25【解析】因为(1,1),(2,0)a b==r r ,所以22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=r r,所以222422025a b +=+==r r.26．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ABC ∆中4,2AC AB ==,若G 为ABC ∆的重心,则AG BC ⋅=u u u r u u u r__________.【答案】4 【解析】,设BC 的中点为D,因为G 为ABC ∆的重心,所以2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ,所以22222111()()()(42)43333AG AD BC AB AC AB AC AB AC ==+-=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g .27．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在△ABC 中22,AB u u u r ·BC uuur =1,则BC=____________.【答案】228．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知4=a ρ,3=b ρ,()()61232=+•-b a b a ρρρρ,则a ρ与b ρ的夹角θ为____________________【答案】ο120(或32π) 29．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设非零向量,,a b c r r r满足,a b c a b c ==+=u u r u u r u r r r r ,则,a b =r r__________.【答案】120o 或23π 【解析】因为a b c +=r r r ,所以()c a b =-+r r r,所以()c a b a b =-+=+r r r r r 所,以2222c a a b b =++r r r r r g ,即212a b b =-r r r g ,所以2112cos ,2b a b a b a b a b-<>===-rr r r r g r r r r ,所以,120a b <>=o r r .30．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试理科数学）如右图放置的正方形ABCD ,AB =1,A ,D 分别在x轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC → ·OB →的最大值是____________.证明过程或演算步骤.【答案】231．（2013山东高考数学（理））已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120°,且3AB =u u u r ,2AC =u u u r ,若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,且AP BC ⊥u u u r u u u r,则实数λ的值为__________.【答案】712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o,且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-ou u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v ,即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v,即493(1)0λλ---=,解得712λ=.。

2014届高考数学一轮全能优化考评：平面向量的数量积

平面向量的数量积一、选择题1．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－242．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．设x ，y ∈R，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8二、填空题6．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．7．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．8．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．三、解答题9．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →(BC →＋AB →)＝CA →·AC →＝－CA →2＝－25.【答案】 C2．【解析】 ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，则设b ＝λa ，∴c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.【答案】 B4．【解析】 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92， |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，∴cos θ＝（a ＋b ）·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】 D 5．【解析】因为a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝85×2＝45，且θ∈[0，π]，则sin θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝5×2×35＝6. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 (1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量2a ＋b |2a ＋b |＝(31010，1010)． (2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255. 【答案】 (1)(31010，1010) (2)－2557．【解析】 (a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋1×2×cos 60°＝2，则a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝2. 【答案】 28．【解析】由题意知OA →＝(－2，1)，OB →＝(4，3)，则|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－555＝－55， ∴sin ∠AOB ＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 【答案】 5三、解答题9．【解】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53，当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ＞－53且λ≠0. 10．【解】 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．【解】 ∵A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12， ∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，∴OA →＋2OB →＝(1，2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝14， ∴sin θ·cos θ＝－38.。

山东省2014届高三仿真模拟测试理科数学试题十四(word版)(精校)

山东省2014届高考仿真模拟测试试题十四高三数学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）}，M ={a ,d }，N ={a ,c ,e }，则M ∪C U N 为（） A ．{c ,e } B ．{a ,b ,d } C ．{b ,d } D ．{a ,c ,d ,e }2.若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且12ia bi i-+=，则（）A ．12a =- ，12b =B ．12a =- ，12b =-C ．12a =，12b =-D ．12a =，12b = 3.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R均有210x x ++<”．4.已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()()2,4,1,3,AB AC ==AD BD ⋅=则（）A. 8-B. 6-C.6D.85.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．6B ．8C ．10D ．156. 已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题：①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，则αβ⊥，其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32 ,则正视图中的x 值是（）A.2B.92C.32D. 3 8.设（其中e 为自然对数的底数），则的值为（）A.43 B.54C.65D.769.已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示 ,则函数()x g x a b =+的图像是（）10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 是该双曲线和圆2222x y a b +=+的一个交点，若1221sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率是（）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上）11.已知=2•，=3•，=4•，…．若=8•（a ，t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a+t= ．12.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答)．13.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______. 14.在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20092007220092007S S -=,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是__________.15.设,x y 满足约束条件434044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为8，则ab 的最大值为 __________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.(本小题满分12分)已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(I)求()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．17.（本题满分12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且22AB AD a ==.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为231,,342，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 19. （本小题满分12分）{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足1()n n S a n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T . 20.（本题满分13分）设函数x a bx ax x f )21(2131)(23-++=，R b a ∈,，0≠a ，（Ⅰ）若曲线)(x f y =与x 轴相切于异于原点的一点，且函数)(x f 的极小值为a 34-，求b a ,的值；（Ⅱ）若00>x ，且02112000=-++++x ax b x a ， ①求证：0)1(00<+'x x f a ； ②求证：)(x f 在)1,0(上存在极值点．21.(本小题满分14分)设椭圆222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =⋅直线l :y=kx+m(km<0)与椭圆C 交于M N 、两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且2||||AB MN =4．是否存在直线l ，使得⋅=-？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. OM ON2山东省2014届高考仿真模拟测试试题高三数学（理科答案）一、选择题：(51050)''⨯= BBCDC BCAAB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 71 12. 300 13. 3 14.1+n n15.2三、解答题：17.解：（Ⅰ）∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊆平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，∴EA ⊥平面EBC ,∴EA EC ⊥. (Ⅱ) 如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，∴3BOE π∠=，∴1(,,0)22E a a ，由题设可知(0,,)C a a ，(0,,)D a a -，∴33(,,)22DE a a a =-，31(,,)22CE a a a =--.设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =，由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=得00z x =，00y =，取02x =，得0z ∴p =. 又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =， 21cos ,p q <>=.∴ 平面DCE 与平面AEB . 18.解：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A ，“乙海选合格”为事件B ，“丙海选合格”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E ．则11123()1()134224P E P ABC =-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0, 1, 2, 3．1(0)()24P P ABC ξ===；6(1)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=； 11(2)()()()24P P ABC P ABC P ABC ξ==++=；6(3)()24P P ABC ξ===．所以ξ的分布列为101232424242412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由题意得：211112222n n T n =⨯+⨯++⨯……………①2311111112(1)22222n n n T n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯…………②①-②得：211111122222n n n T n +=+++-⋅1111(1)111221122212n n n n n n ++⨯-=-⋅=--⋅- 1222222n n n nn n T ++--∴=-=. 20.解：（Ⅰ）])21(323[3)(2aa x a bx x a x f -++=，依据题意得：2)43(3)(a b x x a x f +=，且06316922≠-=a a ab ． 0)4)(43()(=++='a b x a b x a x f ，得a b x 43-=或a bx 4-=．如图，得a a b f 34)4(-=-， ∴a a b a b a 34)2)(4(32-=-，a b 4=，代入a a a b 6316922-=得51=a ，54=b . （Ⅱ）①)21()(2a bx ax x f -++='．)]21(1)1([)1(0020000a x bx x x a a x x f a -++++=+']211)1([002000x ax b x ax ax -++++= ]2)1([02000+-+=x ax ax ax 0)2()1(02002<++-=x x x a ． ②a f 21)0(-='，b a f +-='1)1(．若210<<a ，则021)0(>-='a f ，由①知0)1(00<+'x x f ，所以)(x f '在)1,0(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点．若21≥a ，由①知0)1(0<+'x x f ; 又0)2()12(2)13()1)(21(2)1(11)1(0000000>+-+-=+--++--=+-='x x a x a x x a x x a a b a f ，所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点．若0<a ，由①知0)1(00>+'x x f ，0)2()12(2)13(1)1(000<+-+-=+-='x x a x a b a f ，所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点．综上知)(x f 在)1,0(上是存在极值点．21.解：(Ⅰ)椭圆的顶点为，即b 12c e a ==，所以2a =， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(Ⅱ)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k-⋅=+∴△=22226416(43)(3)k m k m -+-=2216(1239)0k m -+>，则，令0m =，可得，∴2||4||AB MN =，化简得m k =-或m k =(舍去)，∴21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++=2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++解得k = 故直线l的方程为1)y x -或1)y x =-．。

《聚焦典型题》(苏教版)2014届高考一轮数学(理)《平面向量的数量积》(一轮复习限时提分训练基础到提升

平面向量的数量积分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·镇江统考)已知|a |＝1，|b |＝2，若(a －b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析设a 与b 夹角为θ，由(a －b )⊥a ，得(a －b )·a ＝0，又|a |＝1，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.答案π42．(2012·山东省实验中学二模)已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(－sin A,1)，q ＝(1，cos B )，则p 与q 的夹角是________(填锐角，钝角或直角)．解析设p 与q 的夹角为θ，则由△ABC 是锐角三角形，得A ＋B ＞π2，所以A ＞π2－B ，sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，所以p ·q ＝－sin A ＋cos B ＜0，即cos θ＜0，θ为钝角．答案钝角3．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________. 解析 |a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3. 答案34．(2012·苏州调研)设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝________.解析由BE →＝2EC →，得AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，所以AE →＝13AB →＋23AC →.同理AF →＝23AB →＋13AC →，又AB →⊥AC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝29AB →2＋29AC →2＝29×9＋29×36＝10.答案 105．(2011·南京模拟)在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________．解析以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2×2＝ 2.6．(2011·南通模拟)已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________．解析由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝2，得|AB →||AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →＝0知，O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝33.答案33二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解 (1)法一由题意知AB →＝(3,5)，AC →(－1,1)则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，∴|AB →＋AC →|＝210， |AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.法二设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为BC 的中点，故E (0,1)．又E (0,1)为AD 的中点，所以D (1,4)． ∴|BC |＝[2－－2＋[3－－2＝42，|AD |＝－1－2＋－2－2＝210.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题意知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t ) 由(AB →－tOC →)·OC →＝0得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，解得t ＝－115.8．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)若存在实数k 和t ，满足x ＝(t ＋2)a ＋(t 2－t －5)b ，y ＝－k a ＋4b ，且x ⊥y ，求出k 关于t 的关系式k ＝f (t )；(2)根据(1)的结论，试求出函数k ＝f (t )在t ∈(－2,2)上的最小值．解 (1)a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，所以x·y ＝－(t ＋2)·k ·a 2＋4(t 2－t －5)·b 2＝0，故－(t ＋2)·k ·4＋4(t 2－t －5)·1＝0，整理得k ＝f (t )＝t 2－t －5t ＋2(t ≠－2)．(2)k ＝f (t )＝t 2－t －5t ＋2＝t ＋2＋1t ＋2－5，因为t ∈(－2,2)，所以t ＋2>0，则k ＝t ＋2＋1t ＋2－5≥－3，当且仅当t ＋2＝1，即t ＝－1时取等号，所以k 的最小值为－3.分层训练B 级创新能力提升1．(2012·启东模拟)若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，12，MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.答案－22．(2012·南京模拟)已知向量p 的模为2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，且a ＝3p＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．解析由题意可知较小的对角线为|a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q |＝p ＋3q2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2＝ 8＋122×22＋9＝29. 答案293．(2010·辽宁改编)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于________． ①|a |2|b |2－a ·b2；②|a |2|b |2＋a ·b2；③12|a |2|b |2－a ·b 2；④12|a |2|b |2＋a ·b2.解析设向量a 与b 的夹角为θ，由已知可得S △OAB ＝ 12|a ||b |sin θ＝12|a ||b |1－cos 2θ＝ 12 a 2·b 2－a 2·b 2·⎝⎛⎭⎪⎫a ·b |a ||b |2＝12|a |2|b |2－a ·b 2.答案 ③4．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的________心．解析如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0，所以NM →⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心．答案外5．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪 (1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝k 2＋2k c β－α＋1，|a －k b |＝1－2kβ－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)．又k ≠0，∴cos(β－α)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a⊥b .6.(205四市调研)如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线． (1)求证：DC ＝2BD ； (2)求AB →·DC →的值．(1)证明在△ABD 中，由正弦定理得ABsin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD.①在△ACD 中，由正弦定理得ACsin ∠ADC＝DCsin ∠CAD.②又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ，又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ，由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD .(2)解因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121.所以AB →·DC →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC → ＝23|AB →||BC →|cos(π－B )＝23×3×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1121＝－223.。

2014届高考数学一轮复习5.4平面向量的数量积及运算律随堂检测理(含解析)人教版

2014届高考数学一轮复习 5.4 平面向量的数量积及运算律随堂检测理（含解析）人教版1．(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AB ＝2, AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析：选A.∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|BC →|cos B ＝－12. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. ∴|BC |＝ 3.2．(2012·高考大纲全国卷)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b解析：选D.如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455. ∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b . 3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)．点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B.由题意得MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，|MN →|＝4，|MP →|＝x ＋2＋y 2， ∴有|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，即y 2＝－8x .4．(2011·高考浙江卷)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编17：平面向量 Word版含答案

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编17：平面向量一、选择题1 ．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若非零向量b a ,满足||||=.0)2(=⋅+,则,的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o【答案】C2 ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）已知向量a→=(cos θ,sin θ),b →=(3,1),则|2a →―b →|的最大值和最小值分别为（）A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,4【答案】A3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图,AB 是⊙O 的直径,点,C D 是半圆弧AB 的两个三等分点,,AB a AC b ==,则AD =（）A ．12a b -B ．12a b - C ．12a b +D ．12a b + 【答案】D4 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）已知i 与j 为互相垂直的单位向量,2a i j =-,b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是（） A ．1(,2)(2,)2-∞--B ．1(,)2+∞C．22(2,)(,)33-+∞D ．1(,)2-∞【答案】A5 ．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）设非零向量a .b .c满足||||||c b a ==,=+,则向量.间的夹角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B6 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）在ABC∆中,2,3==AC AB ,若O 为ABC ∆内部的一点,且满足=++,则⋅=（）A ．21 B ．52 C ．31 D ．41 【答案】C7 ．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AP →=3AB →+2AC →,则△ABP 与△ABC 的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B ．8 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设a .b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a ba b +=成立的是（）A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥【答案】A9 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）下列各式正确的是（）A ．a b =a b ⋅B ．()222a b=a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅D ．若a b=a c ⋅⋅则b=c【答案】C10．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）如图,,90PA PB APB =∠=︒,点C 在线段PA 的延长线上,,D E 分别为ABC ∆的边,AB BC 上的点.若PE 与PA PB +共线,DE 与PA 共线,则PD BC ⋅的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B11．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为3π,则a b += （）A ． 1B C D ．2【答案】C12．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅= （）A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】B13．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）已知向量(3,4)a =,(2,1)b =-,如果向量a xb -与b 垂直,则x 的值为（）A ．233B ．323C ．25 D ．25-【答案】C14．（山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测数学（理）试题）设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为（）A ．6π B ．3π C ．4π D ．512π 【答案】C15．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）O 是平面上一定点,（）A ．B ．C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[||||(+∞∈⋅++=λλAC ACAB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B16．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）已知向量a =(1,2),向量b =(x ,-2),且a ⊥(a -b ),则实数x 等于（）A ．9B ．4C ．0D ．-4【答案】A17．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知||1,||2,,60a b a b ==<>=,则|2|a b -=（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】A18．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知向量(2,8),(8,16)a b a b +=--=-,则a 与b 夹角的余弦值为（）A ．6365B ．6365-C ．6365±D ．513【答案】B19．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则（）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【答案】B 二、填空题20．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）在直角三角形ABC中,3,2==∠AC C π,取点D.E 使BE AB DA BD 3,2==,那么=⋅+⋅_________________________.【答案】321．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若向量(2,3),(4,7)BA CA ==,则BC =___________.【答案】(2,4)--22．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）在ABC∆中,3BC BD =,AD AB ⊥,1AD =,则AC AD ⋅=_________.23．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）定义*a b 是向量a 和b的“向量积”,它的长度*s i na b a b α=,其中α为向量a 和b 的夹角,若()2,0u =,(1,3u v -=-,则*()u u v +=_____________.【答案】2324．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）已知向量(1,1),(1,2)a b ==-,若()(,)a a b R λμλμ⊥+∈,则λμ=___________.【答案】12-25．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）在ABC ∆中,若向量)sin sin ,sin sin 2(),sin ,sin (sin B A C A C B A +-=-=,且//,则角B____________________.【答案】4π26．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）设M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216BC =,AB AC AB AC +=-,则AM =___________ .【答案】227．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）如图,在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形内(含边界)任意一点,则AM AN ⋅的取值范围是______.【答案】[]0,6根据题意,由于在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形内(含边界)任意一点,以A 为原点建立直角坐标系,那么可知M(2,1),B(2,0)N(x,y),则可知2AM AN x y ⋅=+,0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,结合线性规划可知当目标函数过点(0,0)最小,过点(2,2)最大,因此可知AM AN ⋅的取值范围是[]0,6.28．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为北偏西____★____度. 【答案】3029．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且|AB →|=3, |AC →|=2,若λ=+AP AB AC , 且⊥AP BC ,则实数λ的值为__________.【答案】712三、解答题30．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,(6,0),(1A C ,点,M 满足12OM OA =,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图. (1)求OCM ∠的余弦值;(2)是否存在实数λ,使()OA OP CM λ-⊥,若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OA OC OM OA ====,(2,3),(1,CM CO =-=-7cos cos ,14||||CO CM OCM CO CM CO CM ⋅∴∠=<>==(2)设(P t ,其中15t ≤≤,()OP t λλ=(6,3),(2,OA OP t CM λλλ-=--=若()OA OP CM λ-⊥,则()0OA OP CM λ-⋅=即12230(23)12t t λλλ-+=⇒-=,若32t =,则λ不存在若32t ≠,则1223t λ=- 33[1,)(,5]22t ∈⋃,故12(,12][,)7λ∈-∞-⋃+∞31．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）已知向量a→=(cos 3x 2,sin 3x 2),b →=(cos x 2,―sin x 2),且x ∈[0,π2].(1) 已知a →∥b →,求x;(2)若f(x)=a →·b →―2λ|a →+b →|+2λ的最小值等于―3,求λ的值.【答案】解:(1)∵ a →∥b →∴ cos3x 2×(―sin x 2)―sin 3x 2cos x2=0,即sin2x=0, ∵ x ∈[0,π2] ∴ x=0,π2(2)∴a →·b →=cos 3x 2cos x 2―sin 3x 2sin x2=cos2x;|a →+b →|=2+2a →·b →=2+2cos2x∵ x ∈[0,π2]∴ f(x)=cos2x―2λ1+2cos2x+2λ=2cos 2x―4λcosx+2λ―1令g(t)=2t 2―4λt+2λ―1,0≤t≤1∴ ① 当λ≤0时,g(t)在[0,1]上为增函数,g(t)min =g(0)=2λ―1=―3, ∴λ=―1≤0; ② 当0<λ≤1时,g(t)min =g(λ)=―3, ∴ λ2―λ―1=0 ∴ λ=1±52∉[0,1],舍去;③ 当λ>1时,g(t)在[0,1]上为减函数,g(t)min =g(1)= 1―2λ=―3, ∴λ=2>0 ∴ 由上可知,λ=―1或232．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ;(2)求|a +b |和|a -b |.【答案】解:(1)(2a -3b )·(2a +b )=61,解得a ·b =-6∴cos θ=a ·b |a ||b |=－64×3=-12,又0≤θ≤π,∴θ=2π3(2)|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=13, ∴|a +b |=13|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=37. ∴|a -b |=3733．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）已知(2c o s ,2s i n )(c o sa b ααββ=＝，,02αβπ<<<. (Ⅰ)若a b ⊥,求|2|a b -的值;(Ⅱ)设(2,0)c =,若2a b c +=,求βα,的值.【答案】解: (Ⅰ)∵b ⊥a∴0a b ⋅=又∵2222||4cos 4sin 4a a αα==+=,1sin cos ||2222=+==ββ∴2|2|a b - ()222244448a b a ab b =-=-+=+=,∴|2|22a b -=.(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴cos cos 1sin sin 0αβαβ+=⎧⎨+=⎩即cos 1cos sin sin αβαβ=-⎧⎨=-⎩两边分别平方再相加得: 122cos β=- ∴1cos 2β= ∴1cos 2α= ∵02,αβπ<<<且sin sin 0αβ+= ∴15,33απβπ==34．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）已知向量123,,AP AP AP 满足1230AP AP AP ++=,且123||||||1AP AP AP ===.求证:123PPP ∆为正三角形· 【答案】。

高考数学大一轮复习向量的数量积及平面向量的应用精品试题文(含模拟试题)

精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知，且关于的函数在R上有极值，则向量的夹角范围是（）A． B． C． D．[解析] 1.由题意得，，即，得，解得.2.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 设，，则在上的投影的取值范围是（）A.B.C.D.[解析] 2.因为，所以，，又，则，所以，因为，所以.3.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试) 若() 是所在的平面内的点，且.给出下列说法：①；②的最小值一定是；③点、在一条直线上．其中正确的个数是A．个. B．个. C．个. D．个.[解析] 3.根据两个向量数量积的定义可知为定值，可得向量及在向量的方向上的投影比相等，如图所示，故①②，错误，因为，所以在过点且与垂直的直线上，故③正确.4.(湖北省武汉市2014届高三2月份调研测试) 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为A．30° B．60° C．120° D．150°[解析] 4.由题意，，，，，所以，.5.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在中, , ，为的中点 , 则=（）A．3 B． C．-3 D．[解析] 5.因为，所以6.（2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测）设为向量。

则是的（）A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也必要条件[解析] 6.因为，所以，或，所以是的充要条件.7.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）若向量, 是两个互相垂直的单位向量，则向量-在向量方向上的投影为 . [解析] 7.因为, 是两个互相垂直的单位向量，所以，所以，，如图所示，设向量和向量的夹角为，故在向量方向上的投影为.8.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．[解析] 8. 因为，所以，两边平方得，即，因为，所以. 9.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 已知．[解析] 9.由题意得，得，又，所以，.10.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 已知向量a, b均为单位向量，若它们的夹角是，则等于________。

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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编14：平面向量的数量积一、选择题 1 ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a -b)=0,则k= （） A ．-12 B ．-6 C ．6 D ．12【答案】D 【解析】因为(2)0a a b -=,即(2,1)(5,2)0k -= ,所以10+20k -=,即12k =,选D ．2 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知()1,6,2a b a b a ==⋅-= 则向量a b与的夹角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-= ,所以3a b ⋅= ,所以31cos ,162a b a b a b ⋅<>===⨯,所以,3a b π<>= ,选B ．3 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ．B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点, 则()PA PB PC +⋅的最小值是( )A ．29-B ．29 C ．2 D ．2-【答案】A 解析:x = ,则π2)(PC PO PC PB PA =⋅=⋅+29)23(2)3(22--=--=x x x , 所以29,23-=最小值为时x4 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0AB CD AB AD AC,则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形【答案】C【解析】因为+=0A B C D ,所以A B C D D C =-= ,所以四边形ABCD 是平行四边形.又()=0AB AD AC DB AC -=,所以对角线互相垂直,所以四边形ABCD 是菱形,选C ．5 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,AB AD ==60,A M AB ∠=︒点在边上,且1,3AM AB DM DB = 则等于（）A ．BC ．1-D ．1【答案】D6 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）在△ABC 中,AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为（） A ．52-B ．52C ．54-D ．54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r所以点D 是BC 的中点,则1()2AD AB AC =+ ,11()22BD BC AC AB ==- ,所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-2222115()(23)444AC AB =-=-=- ,选C ． 7 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）向量()()2,0,,a b x y == ,若b b a -与的夹角等于6π,则b的最大值为（）A ．4B ．C ．2D 【答案】A 【解析】设(2,0)OA a == ,(,)OB b x y == ,则b a AB -= .因为b b a - 与的夹角等于6π,即6OBA π∠=,设,OB a AB x == ,根据余弦定理有,22222cos 6a x ax π=+-,整理得2240x a +-=,则方程有解,所以22)4(4)0a ∆=--≥,即216a ≤,所以04a <≤,所以b的最大值为4,选A8 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知(1,2),2(3,1)a a b =-= ,则a b ⋅=（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 因为(1,2),2(3,1)a a b =-= ,所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)b a =-=-=-,所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯=,选 D ．9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知向量b a 、,其中2=a ,2=b ,且a b)a ⊥-（,则向量a 和b 的夹角是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A 【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-a a a b 设a 与b 的夹角为θ,则.4,22||||cos πθθ==⋅=b a 故选A 10．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若两个非零向量a ,b满足||2||||a b a b a=-=+,则向量a b + 与b a - 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π【答案】B 由a b a b +=- 得,222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ,即0a b ⋅= .由2a b a += ,得22224a a b b a +⋅+= ,即223b a = ,22222()()32a b b a b a a a a +⋅-=-=-= ,所以向量a b + 与b a - 的夹角的余弦值为2()()21cos 222a b b a a a b a b a a θ+⋅-===+⋅-⋅ ,所以3πθ=,选B ．11．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++= ,则 OC AB ⋅的值为（）A ．15- B ．15C ．65-D ．65【答案】A12．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b （）AB ．C ．4D ．12【答案】 B 因为2,1a b == ,所以1cos 60212a b a b ⋅=⋅=⨯= ,所以+===a ,选 B ．13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）在ABC∆中,60=∠BAC °,，E，F ，AC AB 12==为边BC 的三等分点,则AF AE ⋅等于（）A ．35B ．45 C ．910 D ．815 【答案】A14．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）非零向量,a b使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（）A ．//a bB ．20a b +=C ．||||a ba b =D ．a b =【答案】B 【解析】要使||||||a b a b -=+ 成立,则有,a b共线且方向相反,所以当20a b += 时,满足2a b =-,满足条件,所以选B ．15．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,60AB AD A ==∠=,点M 在AB 边上,且13AM AB DM DB =⋅ ，则等于（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【答案】 D 1,3DM DA AM DA AB DB DA AB =+=+=+ ,所以2211444()()133333DM DB DA AB DA AB DA AB DA AB AD AB⋅=+⋅+=++⋅=+-⋅74741cos 6012133332AD AB =-⋅=-⨯⨯⨯= .选 D ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）直线0x +-=与圆224x y +=交于A,B两点,则OA ·OB =（）A ．4B ．3C ．2D ．-2【答案】C由2204x x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩,即(0,2)A B ,所以OA ·2OB = ,选C ．17．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若12,e e是平面内夹角为60 的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为（）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】D 【解析】12121c o s 602e e e e ==,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-,====,所以,a b的夹角的余弦值为1cos ,2a b a b a b<>===- ,所以,120a b <>= ,选 D ．二、填空题18．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设单位向量1212121,,22e e ee e e ⋅=-+= 满足则____.19．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知向量(1,1),(2,0)a b ==,则2a b + 等于______________.【答案】【解析】22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=,所以2a ==20．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若AB=I,3AC =,,60AB AC =,则OA = ______________.【答案】因为,60AB AC =,所以13cos 60322AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯= ,又1()2AO AB AC =+ ,所以222211()(2)44AO AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ,即2113(139)44AO =++= ,21．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知向量,||2,||1,60,|2|a b a b a b a b ==︒-=满足与的夹角为则______.【答案】222．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如上图,在△ABC 中, =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为___________.【答案】113 23．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若||2||0,,,b a c a b c a a b =≠=+⊥且则向量与的夹角为________.【答案】120︒ 24．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知向量a,b 满足,||1,||()==⊥+a b a a b ,则a 与b 夹角的大小是___________【答案】34π【解析】因为()a a b ⊥+ ,即()0a a b += ,所以20a a b +=,即21a b a =-=- ,所以cos ,a b a b a b<>===,所以3,4a b π<>= .25．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知向量(1,1),(2,0)a b ==,则2a b + 等于为.【答案】【解析】因为(1,1),(2,0)a b == ,所以22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=,所以2a ==26．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ABC ∆中4,2AC AB ==,若G 为ABC ∆的重心,则AG BC ⋅=__________.【答案】4 【解析】,设BC 的中点为D,因为G 为ABC ∆的重心,所以2211()()3323A G A D A B A C A B A C ==⨯+=+ ,BC AC AB=-,所以22222111()()()(42)43333AG AD BC AB AC AB AC AB AC ==+-=-=-=.27．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在△ABC 中AB ·BC=1,则BC=____________.【答案】228．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知4=a ,3=b ,()()61232=+∙-b a b a,则a 与b 的夹角θ为____________________【答案】120(或32π) 29．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设非零向量,,a b c满足,a b c a b c ==+= ,则,a b =__________.【答案】120 或23π 【解析】因为a b c += ,所以()c a b =-+,所以()c a b a b =-+=+ 所,以2222c a a b b =++ ,即212a b b =- ,所以2112cos ,2b a b a b a b a b-<>===-,所以,120a b <>= .30．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试理科数学）如右图放置的正方形ABCD ,AB =1,A ,D 分别在x轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC → ·OB →的最大值是____________.证明过程或演算步骤. 【答案】231．（2013山东高考数学（理））已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.【答案】712【解析】向量AB 与AC 的夹角为120,且||3,||2,AB AC == 所以1c o s 1203232A B A C A B A C ⋅=⋅=-⨯⨯=- .由AP BC ⊥ 得,0AP BC ⋅= ,即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-= ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=,即493(1)0λλ---=,解得712λ=.。