第八章.正交试验设计
试验设计 演示 正交试验设计
正交试验设计什么是正交试验设计？正交试验设计（Orthogonal Experimental Design）是一种多因素、多水平的试验设计方法，通过合理的设计、选择和分析，可以降低实验次数，提高试验效率，从而得到合理和可靠的。
正交试验设计的核心思想是将试验因素进行独立分配，使各个因素之间互不影响，同时尽可能覆盖全面，减少无用次数，以达到有效结果的目的。
正交试验设计的特点1.正交试验设计是一种高效的试验设计方法，它可以在有限的实验次数内，获得更多的信息。
2.正交试验设计可以确定最优的试验方案，在多个因素和多个水平的条件下，合理地选择试验方案。
3.正交试验设计可以分析各个因素之间的交互作用，从而找到最有效的方案。
4.正交试验设计可以避免试验因素之间的干扰，并更好地控制实验误差。
正交试验设计的步骤正交试验设计的步骤包括设计试验因素、确定试验水平和选择正交表等。
1.设计试验因素试验因素是影响试验结果的各个因素，需要仔细考虑，确定确切的试验因素。
2.确定试验水平试验水平是指试验因素的不同取值。
根据试验因素的数量和水平，确定各个因素的取值。
3.选择正交表选择正交表是试验设计的关键步骤，正交表是一种设计合理的表格，可以根据正交表来进行试验设计。
4.进行试验根据确定的试验因素、试验水平和正交表，进行试验，并记录实验结果。
5.分析效果根据试验结果，分析各个因素之间的影响，选择最佳方案，并。
正交试验设计的应用案例正交试验设计可以应用于各个领域的试验设计中，如药物研发、产品设计、面向用户的需求分析等。
以产品设计为例，正交试验设计可以帮助企业确定最佳产品设计方案。
比如，一家公司要设计一款新型手机，可以采用正交试验设计来确定手机的颜色、屏幕大小、拍照像素等因素，以最小的实验次数获得最佳的设计方案。
正交试验设计是一种高效、可靠的试验设计方法，能够在有限的实验次数内获得更多的信息，确定最优的试验方案。
在实际应用中，需要根据具体情况合理选择试验因素和试验水平，并选择合适的正交表进行试验设计。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
正交试验设计
正交试验设计1. 什么是正交试验设计？正交试验设计（Orthogonal Experimental Design）是一种实验设计方法，旨在通过少量试验点，充分收集实验数据，从而减少实验变量的数量，提高实验效率。
正交试验设计适用于产品工艺改进、优化设计、参数选择以及产品性能分析等场景。
正交试验设计的核心思想是通过合理的设计选择，通过改变实验因素的组合，以及试验点数的把握，实现大量试验数据的获取。
在正交试验设计中，通过选择一组适当的实验因素、水平和试验点数，保证实验结果具有可靠性和有效性。
2. 正交试验设计的原理正交试验设计的原理是通过合理选取试验因素的水平，使得因素之间的影响相互独立，避免因素之间的干扰，以确保实验结果的可靠性和有效性。
正交试验设计使用正交表作为设计工具，正交表是由一组正交矩阵构成的，每个矩阵的行数代表试验因素的水平数，列数代表试验点数。
正交表的特点是每一列中任意两个数字之间都正交，即两个数字的乘积等于零。
这种正交性保证了试验因素之间的独立性，减小了因素之间的相互影响，提高了试验效率。
正交试验设计的步骤如下：1.确定试验目标和要素：明确需要优化的目标和相关的要素。
2.选择正交表和水平数：根据要素和水平数选择合适的正交表。
3.确定试验因素和水平：根据试验目标和要素，确定需要进行试验的因素和每个因素的水平。
4.填写正交表：根据选择的正交表和确定的试验因素水平，将试验因素填写到正交表中。
5.进行试验和收集数据：按照正交表中的设计进行试验，记录实验数据。
6.数据分析和优化：通过对实验数据的分析，得出结论并优化设计。
3. 正交试验设计的优势正交试验设计具有以下几个优势：•提高实验效率：通过合理选择试验因素和水平数，正交试验设计可以通过少量的试验点获取大量的实验数据，提高了实验效率。
•确保实验结果可靠性：正交试验设计通过合理的设计选择，避免了因素之间的干扰，保证了实验结果的可靠性。
•降低实验成本：正交试验设计可以在保证实验效果的前提下，减少试验点的数量，降低实验成本。
正交实验设计
正交实验设计正交实验设计（Orthogonal Experimental Design，简称OED）是一种多因素、多水平、随机化的实验设计方法。
它通过合理安排因素水平组合和样本数目，以最少的试验次数获得最多的信息。
正交实验设计采用一种特殊的表格结构，称为正交表。
正交表的特点是每列中各个因素的水平均匀地分布在每一行上，使得各个因素不会相互影响。
这样的设计能够减少试验误差，提高实验效率。
在正交实验设计中，试验因素是研究的主要关注点。
试验因素可以是产品的不同材料、工艺参数的不同设定等。
每个试验因素都有若干个水平，例如材料可以分为A、B、C三种，工艺参数可以设定为1、2、3三个级别。
正交实验设计的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定试验因素：根据研究的目的和问题，确定需要考察的试验因素及其水平。
2. 决定试验水平：根据实际情况，决定每个试验因素的水平数目。
3. 选择合适的正交表：根据试验因素的水平和试验次数，选择合适的正交表。
4. 分配试验条件：根据正交表的分组规则，将试验条件分配给不同的试验组。
5. 进行试验：根据分组结果，按照正交表进行试验。
6. 数据处理与分析：根据试验结果进行数据处理和统计分析，得出结论。
正交实验设计的优点在于能够在尽量少的试验次数下，全面考察多个因素之间的关系。
通过合理设计试验条件，不同因素的影响可以分离出来，减少了试验误差，提高了实验的精度和可靠性。
最后，正交实验设计是一种非常有用和有效的实验设计方法，广泛应用于各个领域的实验研究中。
在进行复杂多因素研究时，可以采用正交实验设计来节约试验成本和时间，提高实验的效率和可靠性。
正交试验设计
正交试验设计正交试验设计是一种常用的多因素试验设计方法，它可以有效地减少试验次数，提高试验效率，节约时间和资源。
正交试验设计适用于多因素作用和相互关系分析，可以帮助研究者快速、准确地了解各因素对结果的影响，并确定最佳因素组合。
本文将详细介绍正交试验设计的基本概念、优势和具体步骤。
正交试验设计的基本概念是对于多因素试验，通过选择一组正交设计矩阵，将各个因素进行组合，使得各因素之间的交叉作用可忽略或者相互平衡。
正交设计矩阵的主要特点是各因素之间两两正交，即彼此独立，相互不影响。
这样可以避免因素个数增加而引起的试验次数急剧增加的问题，提高试验的效率和可靠性。
正交试验设计的优势主要表现在以下几个方面。
首先，它可以较全面地考虑多个因素的相互作用，能够充分发挥各因素的作用，提高试验效果。
其次，正交试验设计能够减少试验次数，节约时间和资源。
通过设计合适的试验方案，可以在较少的试验次数内得到准确的试验结果。
此外，正交试验设计能够更好地发现因素对结果的影响，提供可靠的数据支持，有助于进行因素优化和效果预测。
正交试验设计的具体步骤如下。
首先，确定试验目标和因素。
明确要研究的因素和其水平，以及试验的目标和要求。
其次，确定正交设计矩阵。
根据试验因素的个数和水平，选择合适的正交设计矩阵，确保各个因素之间两两正交。
然后，进行试验的设计和分组。
根据正交设计矩阵，将试验分成几个组别，每个组别都包含所有因素的不同水平组合。
接下来，进行试验的实施。
按照设计和分组的方案进行试验的实施，记录试验数据。
最后，进行数据的分析和结果的解释。
通过对试验数据的统计分析，得出各因素的主效应和交互效应，解释结果，提出结论。
正交试验设计在工程、医学、农业等领域中得到了广泛的应用。
它可以帮助研究者在较短时间内对多个因素进行全面的分析，找到最佳的因素组合，优化工艺和产品设计。
正交试验设计还可以提高研究的可靠性和实用性，为决策提供科学依据。
因此，研究者应该灵活运用正交试验设计方法，充分发挥其优势，提高试验效率和研究水平。
第八章-回归的正交设计教程文件
§2 一次回归正交设计及统计分析
（3）选择适合的2水平正交表进行设计。
在应用2水平正交表进行回归设计时，需以“－1”代换 表中的“2”，以“＋1”代换表中的“1”，并增加“0”水 平。这种变换的目的是为了适应对因素水平进行编码的需要， 代换后正交表中的“＋1”和“－1”不仅表示因素水平的不 同状态，而且表示因素水平数量变化的大小。原正交表经过 上述代换，其交互作用列可以直接从表中相应几列对应元素 相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，这 一点较原正交表使用更为方便。
§2 一次回归正交设计及统计分析
（1）确定试验因素的变化范围。
根据试验研究的目的和要求确定试验因素数 ，并在此基 础上拟定出每个因素Zj的变化范围。回归正交试验设计的因 素一般都大于3个，但也不能太多，否则处理过多，方案难 以实施。
各试验因素取值最高的那个水平称为上水平，以Z2j表示； 取值最低的那个水平称为下水平，以Z1j 表示；两者之算术平 均数称为零水平，以Z0j表示，
因此，在对供试因素 Zj 各水平进行了以上的编码以后，就 把试验结果 y 对供试因素各水平 Zi1,Zi2 , … , Zim 的回归问题转 化为在编码空间试验结果 y 对编码值 xi1,xi2 , … , xim 的回归问 题。
今后，不论是一次回归设计还是二次回归设计，我们都先 将各因素进行编码，再去求试验指标 y 对 x1,x2 , … , xm 的回归方程，这种方法在试验设计中是经常被采用的。
因素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
§2 一次回归正交设计及统计分析
表13-2 3元一次回归正交设计试验方案
x1 (Z1) 1 (17) 1 (17) 1 (17) 1 (17)
x2 ( Z2 ) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4)
回归正交试验设计
z
2
20 10
，x3
z3 0.2 0.1
通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边
长为2。 在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以
大于2。
2020/7/18
试验设计与数据处理
20
今后称x (x1, x2 ,, xp ) 的可能取值的空间为编码空间。我们可以 先在编码空间中寻找一个点x0使E(y)满足质量要求，然后通过 编码式寻找到z0。
y b0
bjzj
b
jj
z
2 j
bij zi z j
j
j
i j
为y关于 z1, z2 ,, z p 的多项式回归方程。
2020/7/18
试验设计与数据处理
5
在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶 与二阶模型）：
yˆ b0 bj z j
j
yˆ b0
bjzj
b jj
著性之前，先对y 的期望是否是 x1, x2 ,, x p的线性函数进行检
验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设：
H0： Ey 0 1x1 p x p
H1： Ey 0 1x1 p xp 当在 (xi1, xi2 ,, xip )上有重复试验或观察时，将数据记为
(xi1 ,
xi2 ,,
2020/7/18
试验设计与数据处理
21
§7.2 一次回归正交设计 7.2.1 一次回归正交设计
建立一次回归方程的回归设计方法有多种，这里介绍一种常
用的方法，它是利用二水平正交表来安排试验的设计方法。 其主要步骤如下： 1．确定因子水平的变化范围
设影响指标y的因子有p个 z1, z2 ,, z p ，希望通过试验建立y
正交试验设计(内容详尽)
用于探索最佳的药物剂量、治疗方案等。
农业科学研究
用于研究不同肥料、农药、种植方式等对农 作物产量的影响。
化学工业
用于研究不同反应条件对化学反应的影响， 提高产物的收率和质量。
正交试验设计的原则
1 2
均衡分布原则
确保每个因素每个水平的试验条件都有机会出现， 避免结果的片面性。
整齐可比原则
保证试验结果的可比性，以便进行数理统计分析。
案例二：化学反应中的正交试验设计
在化学反应中，正交试验设计用于研究不同反应条件 对产物收率和纯度的影响。
例如，在合成某种药物中间体的过程中，通过正交试 验设计来探究温度、压力、催化剂种类和浓度对产物
收率和纯度的影响。
通过优化反应条件，可以提高产物的收率和纯度，降 低生产成本并提高生产效率。
案例三：生物医学研究中的正交试验设计
安排试验计划
总结词：计划性
详细描述：根据正交表，安排详细的 试验计划。这一步骤包括确定试验的 各个水平、组合方式以及试验的顺序 等。合理的试验计划有助于提高试验 的效率和准确性。
实验结果分析
总结词：分析性
VS
详细描述：在完成试验后，对试验结 果进行统计分析。这一步骤包括数据 的整理、处理、分析和解释等。通过 结果分析，可以得出关于试验因素对 试验结果影响的结论，并据此优化试 验方案或进行进一步的研究。
正交试验设计案例分
05
析
案例一：材料科学中的正交试验设计
材料科学中，正交试验设计常用于研究不同材 料成分和工艺参数对材料性能的影响。
例如，在钢铁冶炼过程中，通过正交试验设计 来探究不同温度、压力、时间和合金元素对钢 材强度、韧性和耐腐蚀性的影响。
通过对试验结果的分析，可以确定最佳的工艺 参数组合，从而提高产品质量和降低生产成本。
八正交试验设计讲PPT课件
数理统计 08-05
平
这是三因素三水
试验，通常有两种试验 B3
方法：
（1）全面实验法：
B2
对所有的搭配做试验，共
B1
需进行3³=27次试验。如图 A1
所示，立方体包含了27个
节点，分别表示27次试验。
C3
C2
A2
A3 C1
数理统计
08-06 表8-1
数理统计 08-07
• 全面试验法的优缺点： 优点：对各因素与试验指标之间的关系剖析得比 较清楚，可以分析各因素的效应及交互作用，也 可选出最优条件组合。 缺点：(1) 试验次数太多，费时、费事，当因素 水平比较多时，试验无法完成；
的生产条件。
3
B3
2
B2
6 5 8
4
1
B1
A1
A2
9
7
C3 C2 A3 C1
用正交试验法（ L9 (34 ) ）安排试验只需要9次试验
数理统计 08-14
图8-2
(1)A1B1C1 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (6)A2B3C1
(2)A1B2C2 (5)A2B2C3
数理统计
08•-1正5 交试验法的优点：
数理统计
08-18
• 正交表的正交性（以L9 (34 )为例）
数理统计 08-04
在例1中，对因素A、B、C在试验范围内分 别选取三个水平： A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150Min C：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%
（正交试验设计中，因素可以是定量的， 也 可以是定性的。而定量因素各水平间的距离可以 相等也可以不等）。
正交试验设计
极差分析
在完成试验收集完数据后，将要进行的是极差分析(也称方差分析）。 极差分析就是在考虑A因素时，认为其它因素对结果的影响是均衡的，从而认为，A因素各水平的差异是由于 A因素本身引起的。 用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论： ①在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。 某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标 的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。 ②试验指标随各因素的变化趋势。 ③使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。 ④对所得结论和进一步研究方向的讨论。
分析方法
一、直接对比法
直接对比法就是对试验结果进行简单的直接对比。直接对比法虽然对试验结果给出了一定的说明，但是这个 说明是定性的，而且不能肯定地告诉我们最佳的成分组合。显然这种分析方法虽然简单，但是不能令人满意 。
二、直观分析法
直观分析法是通过对每一因素的平均极差来分析问题。所谓极差就是平均效果中最大值和最小值的差。有了 极差，就可以找到影响指标的主要因素，并可以帮助我们找到最佳因素水平组合。
设计过程
1)确定试验因素及水平数; 2)选用合适的正交表; 3)列出试验方案及试验结果; 4)对正交试验设计结果进行分析，包括极差分析和方差分析; 5)确定最优或较优因素水平组合。
术语辨析
（1）正交试验设计法是遗传算法的一种特例，即正交试验设计法是一种初始种群固定的、只使用定向变异算 子的、只进化一代的遗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算法。
第8章正交
（2）综合平衡法 先对每个指标分别进行单指标的直 观分析，得到每个指标的影响因素主 次顺序和较优水平组合，然后根据理 论知识和实践经验，对各指标的分析 结果进行综合比较和分析，得出较优 方案。 例8-7
3.2 方差分析法
先将试验结果的总变异分解为各因素
不同水平间、交互作用及误差的变异，
然后计算出各F值，查F界值表，确定P
根据因素数和水平数来选择合适的正 交表。一般要求，因素数≤正交表列 数，因素水平数与正交表对应的水平 数一致，在满足上述条件的前提下， 选择较小的表。
表头设计：
表头是指正交表第一行的“列号”。正交表选 定后，要把各因素项及交互作用项分别放在正交 表表头适当的列中去。此过程称表头设计。若因 素间的交互作用可以忽略时，可随意地把各因素 安排在所选表的列上；若因素间有交互作用，则 应将交互作用看作是影响因素，并将其安排在相 应的列上（称为交互作用列）。但是，各个因素 列和交互作用列是不能随意安排的。表头设计不 是唯一的，一项试验，可以做出多种不同的表头 设计，一般来说，只要设计得合理，试验误差不 大，结论一般都是一致的。
L125(531)，…
混合水平正交表： L8(4×24) ， L16(4×212)
L16(42×29) ，L16(43×26)，
L12(3×23) ，L12(3×24) ，L18(2×37)，
L12(6×22) ，…
常用的正交表见附录。
1.2 正交表的特点
“均衡分散”和“整齐可比”
均衡分散（或称搭配均匀）：是说明正交 表列出的这部分组合搭配，在全部可能的 组合搭配中分布是均匀的，因此代表性强， 能较好地反映全面情况。
如L18(6×36)，如表8-3
正交表可分为同水平和混合水平两大类
第八章.正交试验设计
第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。
利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。
我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。
8正交试验设计
综合平衡法
• 水份A对各指标的影响：从表看出，对 裂纹度来讲，水份的极差最大，即水份 是影响最大的因素，水份取A2水平最 好，但对抗压强度和落下强度来讲，水 份的极差都是最小的，即是影响最小的 因素。对抗压强度来讲，水份取A2最 好，取A3次之；对落下强度来讲，水 份取A3最好，取A2次之。对3个指标综 合考虑，水份取A2水平为好。
11
正交表及其用法
本例中各因素对试验指标铁水 温度的影响按大小顺序来说C底焦
高度、A焦比、B风压，最好方案是
C2A3B2即： C2底焦高度，第2水平：1.5 A3焦比，第3水平： 1:14 B2风压，第2水平： 230
12
12.2 多指标的分析方法
• 在实际问题中，需要考虑的指标往 往不止一个，有时是两个、三个， 甚至更多，这都是多指标的问题。 解决多指标试验问题可采用两种方 法：综合平衡法和综合评分法。
2
3 抗压强度
试验号
A BC
Kg/个
1
1
1
1
11.5
2
1
2
2
4.5
3
1
3
3
11.0
4
2
1
2
7.0
5
2
2
3
8.0
6
2
3
1
18.5
7
3
1
3
9.0
8
3
2
1
8.0
9
3
3
2
13.4
K1
11
9
5
K2
5
8
8
裂 K3
6
5
9
k1
纹 k2
3.7 3.0 1.7 1.7 2.7 2.7
第八章 正交实验设计
1.2/1
1.1/1 1.2/1
500
500 600
96
83 88
13
2、综合比较——直观分析法
在测得8个数据后，如何科学地分析这些数据， 从而得出正确的结论，这是试验设计的重要步骤。在 比较中要鉴别的内容是： （1） 在4个因子中，哪些因子对收率的影响大，哪 些因子对收率的影响小？ （2） 如果某个因子对试验数据的影响大，那么它 取哪个水平对提高收率最有利？ 第一个问题要在比较4个因子中获得解决，第二 个问题要在比较每个因子的两个水平中获得解决。先 14 解决第二个问题。
7
多因子试验的分类。 在考查A，B，C，D，…等n个因子对指标y的 n 作用时，若每个因子都取两个水平，则称为 2 因子试验问题。
3n 若被考查的n个因子都取三个水平，则称为
因子试验问题。 若被考查的因子有n+m个，其中，其中n个因子 n m 取两水平，m个因子取三水平，则称为 2 3 因子试验问题。
列号 试验 1 2 3 4 5
A℃ 1
60 60 60 60 80
B小时 2
2.5 2.5 3.5 3.5 2.5
C 3
1.1/1 1.2/1 1.1/1 1.2/1 1.1/1
D 4
500 600 600 500 600
Result y 86 95 91 94 91
6
7 8
80
80 80
2.5
3.5 3.5
88
T1 j T2 j
T1 j T1 j 4
T1 j T2 j
T2 j T2 j 4 89.5
2.0
18
我们从表的最后一行的正负可以看出, 因子A取 A1 比 A2 时收率高；
第8章正交试验设计
3
5.0
150
75
二、无交互作用的正交试验
4、将因素水平上列
F T
A
B
C
D
含油率 yi ％
每个因素上1列；
1
1
1
1 1 27.5
列数>=因素个数； 得到9个试验处理
2
1
2
2 2 24.9
3
1
3
3 3 24.9
5、安排试验（ Fisher准则）
4
2
1
2 3 25.3
设置区组：试验环境相同。
第8章 正交试验设计
一、正交表
1．作用 正交表：是根据组合数学的原理排列而成，安排正交试验
的因素和水平，决定试验的组合处理的一种特殊表格。
2．形式
F
L：正交表 源于拉丁方(Latin square) t：试验处理数（Thing）即：正交表的行数；
l l：因素的水平数（Level）
Lt F：可安排的因素数（Factor）即：正交表的列数
y7= yA3+ yB1+ yC3+ε7
⑦
y8= yA3+ yB2+ yC1+ε8
⑧
5
2
6
2
7
3
8
3
9
3
y9= yA3+ yB3+ yC2+ε9
⑨
B C D Yi
1
1 1 y1
2
2 2 y2
3
3 3 y3
1
2 3 y4
2
3 1 y5
3
1 2 y6
1
3 2 y7
2
1 3 y8
8正交试验设计
3
2
2
3
1
1
1
2
3
1
二 简单对比法
• 轮换方法：即B1C1
A3B1
A3C1 C1 C2 C3*
B1* B2 B3
A1 A2 A3*
B B3 B2 C C2 C3
· · A · · A
2 3
B1 C1 A 1
· · ·
A
得到较优水平组合为A3B1C3 • 试验次数：7次
• 缺点：七个点完全分布在立方体的个别边、面上。在很大范围 无试验点。因此试验缺乏代表性，不能反映事物全貌。特别是 因素间有交互作用时，更不易找到最优方案
1
一 全面试验法
• 定义：将三因素三水平组合搭配而成的各种试验条件全面进 行试验而进行比较选优的方法。 • 试验次数：33=27次， 即立方体的27个交点。 • 优点：能全面剖析出事物内部规 律性。 • 缺点：试验次数太多，当水平较多
时试验量是惊人的。
· · · · · · B · · · · · · C· · B · C· · C · · · · · · B C · · · A A A A
8. 正交试验设计
时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。 ——麦金西
8.1.0 正交设计的发展
20世纪30年代，费希尔在试验设计方面做出了一系 列先驱性的贡献。
20世纪上半叶，正交设计方法已经在数学界中提出。
到40年代后期，日本统计学家田口玄一博士首次将 正交设计方法应用到日本的电话机试验上。
1
三 正交试验法
• 特点：均衡分散，整齐可比 • 优点：多、快、好、省
No.
因素 列 号
A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
第八章正交试验设计
均值
y1
y2
…
yr 1 , yr 2 ,, yrm
…
yr
记第i 水平下的数据和为Ti，Ti yij ；
j 1
m
记第i水平下的数据均值为 y i ，总均值为 y 。此 时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的 波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示
ST ( yij y )2
ST=121492-12002/12=1492， SA=485216/4-12002/12=1304, Se= 1492-1304=188, fT=3×4-1=11 fA=3-1=2 fe=11-2=9
（4）列方差分析表： 本例的方差分析表
来源 因子A 误差e 总计T 偏差平方和 自由度 均方和 F比
~ N (0,1) ,
m
2
SE
~ 2 (n r )
由正态分布性质， yi 与 S E
i 1
r
2 ( y y ) ij i 独立 j 1
1
m ( yi i ) / m ( yi i ) ~ t (n r ). SE MSE /( n r ) 2
A1
A2 A3 A4
利用上表中的数据可算得各平方和：
ST
T2 z 160.7895, 20 i 1 jSA 63.2855, 20 i 1 5 S e ST S A 97.5040.
来源 因子A 平方和 63.258 自由度 3 均方和 21.0952 F比 3.46
的估计是 20.9 4.57
i
各水平均值 i 的区间估计
i 置信度 1 置信区间
yi t (n r ) MSE / m , 1 2 yi t (n r ) MSE / m 1 2
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n n
Xi
试验结果。 T X 为试验结果的总和；
n i 1 i
X i 为安排m个因素，试验次数为n的试验第i次
1 n T X Xi n i 1 n
第8章正交试验设计
本章要求
（1）掌握试验设计的基本概念； （2）掌握正交表的形式与特征； （3）掌握正交设计的试验步骤； （4）熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分 析方法； （5）熟悉正交设计的统计模型与方差分析； （6）了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一 种科学方法。利用规格化的表格—正交表,科 学地挑选试验条件,合理安排实验。 正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口 玄一提出,称为国际标准型正交试验法。认为： “一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。 我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、 机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当 的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型 正交试验设计法 。
4、计算自由度 （什么是自由度？在统计学里，自由度 （degree of freedom, df）是指当以样本的统 计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自 由变化的数据的个数称为该统计量的自由度）
dfT 总的试验次数－1＝n-1
df A 因素水平数－1＝a-1
df E df T－ df A
这两点称为正交性： 均衡分散，整齐可比，代表性强，效率高 均衡分散：正交表中任意一列中，不同的数字出 现的次数相等； 整齐可比：正交表中任意两列，把同行的两个数字 看成有序数对时，所有可能的数对出现的次数相同
选表原则 选用正交表的列数不得少于试验因素个数，正 交表的位级数必须与各因素的位级数相同。 在因素和位级均相同的情况下，试验精度要求 高的，应选用试验次数多的正交表；试验费用 高的或试验周期长的，应尽量选用试验次数少 的正交表。 若各试验因素的位级数不相等，一般应选用相 应的混合位级正交表。 若考虑试验因素间的交互作用，应根据交互作 用因素的多少和交互作用安排原则选用正交表。
Ⅰ+Ⅱ＝425
第四步：进行试验，结果如表所示 第五步：分析结果 （1）直接观察分析，选颜色合格产量最高的搭配，即 A1B1C2D1E1F2 （2）计算分析 先计算各因素不同位级的指标和用Ⅰ、Ⅱ表示；再计算 极差，确定因素的主次顺序。极差越大，说明这个因 素的水平改变对试验结果的影响越大，极差最大的那 个因素，就是最主要的因素。 （3）根据极差大小排列因素的主次：极差大的选好水平， 极差小的从经济效益考虑选水平。根据极差大小选出 不考虑交互作用的水平组合如下： B1C2F2D2A1E1
Sj为第j个因素试验值偏差平方和和，Sj反 映了因素j的变化所引起的试验结果差异。 1 Q ＝ K 令 r 其中：试验总次数为n，每个因 素水平数为m个，每个水平作r次重复，则r ＝n/m。 3、计算误差的偏差平方和 Se ST (S1 S2 Sm )
m 2 j ij i＝1
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念
试验设计例
为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关 因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间 (B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什 么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而 确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各 为多少才能使转化率高。试制定试验方案。
正交表
正交表：是一种规划的表格，各种各样的 正交表都已构造出来了，详见附表。
列号 试验号 1 2 3 4
1 1 2 1 2
2 1 1 2 2
3 1 2 2 1
一、正交表符号的意义
正交表的纵列数 （最多允许安排因素的个数）
L8(27)
正交表的代号 字码数（因素的水平数）
正交表的横行数
二、正交表的正交性（以L9 (34 )为例）
1 2 3 4 5 6 7 8 Ⅰ Ⅱ R 1A 2B 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 215 244 210 181 5 63 3C 4D 5E 6F 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 201 207 213 205 224 218 212 220 23 11 1 15 7 产率 2 56 1 65 1 54 2 43 2 63 1 60 1 42 2 42 颜色 合格 紫色 合格 合格 合格 合格 紫色 合格
解：第一，明确试验目的：改革工艺，提高产 率；确定考核指标，产品外观颜色； 第二，挑因素，选位级，制定因素位级表，经 过集体讨论，决定首批作以下六因素二个位级 的试验，如表：
上表是否先进，是正交试验成功的关键，因此， 要利用专业技术挑因素，选位级，制定因素位 级表。
第三步：确定试验方案 （1）选表正交表 （2）填表：因素顺序上列，位级对号入座 （3）列出试验条件i 1来自m5、作F检验
不考虑交互作用等水平正交试验 方差分析
自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。 为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排 三因素三水平正交试验。试验指标为自 溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水 平表如表1所示，试验方案及结果分析见 表2。试对试验结果进行方差分析。
表2：试验方案及结果分析表
这里，对因素A，在试验范围内选了三种 状态；因子B和C也都取三种状态： A：A1＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：B1＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：C1＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因素可 以是定量的，也可以是定性的。而定量 因素各水平间的距离可以相等，也可以 不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通 常有两种试验进行方法：
三、应用程序 1 )明确实验目的，确定考核指标。 2 )挑因素，选位级，确定因素位级表。 3 )选择适宜的正交表。 4 )因素位级上正交表，确定试验方案，并按实验方案 进行试验。 5 )试验结果分析。
典型例题与分析
北京化工厂生产2，4——二硝基苯肼， 采用正交试验法，找出了最佳工艺条件， 节约了原料，提高了产率，使产品质量 从经常不合格达到了出口标准，现用这 个例子来说明使用正交试验优选法的步 骤。
(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即 AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1， ……， A3B3C3，共有33=27次试验。用图表示 就是图1 立方体的27个节点。这种试验 法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系 剖析得比较清楚。但试验次数太多。特 别是当因子数目多，每个因素的状态数 目也多时。试验量大得惊人。如选六个 因素，每个因子取五个状态时，如欲做 全面试验，则需56＝15625次试验，这实 际上是不可能实现的。如果应用正交实 验法，只做25次试验就行了。而且在某 种意义上讲，这25次试验代表了15625次 试验。
（1）计算 计算各列各水平的K值 计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j、 K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。（如表所 示） 计算总偏差和与各列偏差平方和及自由 度
试验结果的方差分析
方差分析中心要点：一部分反映因素水平变化 引起的波动，另一部分反映试验误差引起的波 动。 即把数据总的偏差平方和（ST）分解为因素的 偏差平方和（S因）与误差的偏差平方和 （S误），并计算它们的评价偏差平方和，然后 进行F检验。最后引入方差分析表。 其步骤如下： 1、计算偏差平方和
列号 试验号
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
正交表的特点： 每个列中，“1”、“2”、“3”出现的次数相同； 任意两列，其横方向形成的九个数字对中， 恰好（1，1）、（1，2）、（1、3）、（2，1） （2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（ 3、3）出现的次数相同
试验工作者在长期的工作中总结出一套办法，创造出所谓的正交 表。按照正交表来安排试验，既能使试验点分布得很均匀，又能 减少试验次数。 对应于A有A1、A2、A3三个平面，对应于B、 C也各有三个平面，共九个平面。则这九个平面上的试验点都应 当一样多，即对每个因素的每个状态都要同等看待。具体来说， 每个平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的点一样多。 这样，作出如图所示的设计，试验点用⊙表示。我们看到，在9 个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面的每行每列都有 一个点，而且只有一个点，总共九个点。这样的试验方案，试验 点的分布很均匀，试验次数也不多。
T2 CT n
Q X i2
i 1
n
ST反映试验结果总的差异，它越大，说明各次 试验间的差异越大；试验误差的产生，一是由 于各因素水平变化引起的，二是由于存在不可 避免的试验误差。
2、计算各因素（列）偏差平方和
1 m S j ＝ K ij2－CT （j＝ ，... k） 1 2，， r i＝1
由此分别得出结论：温度越高转化率越 好，以90℃为最好，但可以进一步探索 温度更好的情况。反应时间以120分转化 率最高。用碱量以6％转化率最高。 所以最适水平是A3B2C2。
基本概念
综上所述： 把试验需要考察的效果称为试验指标，简称指 标。 把对试验指标有影响的参数称为因子。通常用 A、B、C……表示。 把因子变化的各种状态和条件称为因子的水平 （或位级）。常用1、2、3……表示。 把用于正交试验的规范表格，称为正交表。