中考数学思维方法讲义【第13讲】直线和圆的位置关系(含答案)

状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级第13讲 直线和圆的位置关系圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。

【知识纵横】§Ⅰ直线和圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ．⑴直线与圆相交⇔d __ ____ r ； ⑵直线与圆相切⇔d __ ____ r ； ⑶直线与圆相离⇔d __ ____r 。

§Ⅱ圆的切线：1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___； 2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；二“算”：算算圆心到直线的距离d 和圆的半径为r 之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。

4．四条性质：切线有许多重要性质⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____； ⑵过切点的半径垂直于_ ____；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。

5．弦切角定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论 ：a )两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b )弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。

【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设OP x =，则x 的取值范围是__________．2、射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）．变式一：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB=D 在线段AC 上（不与点A 、C 重合），过点D 作DE ⊥AC 交AB 边于点E ． （1）当点D 运动到线段AC 中点时，DE = ；（2）点A 关于点D 的对称点为点F ，以FC 为半径作⊙C ，当DE = 时，⊙C 与直线AB 相切．2、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD+ BC ，AB 是⊙O 直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为_____ _．考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结AE ，交CD 于点F ． （1）若⊙O 的半径为8，求CD 的长； （2）证明：PE =PF ；（3）若PF =13，sinA =513，求EF 的长．变式二：如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长．【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长．变式三：如图，Rt ABC△中，90ABC∠=°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF CF=，求tan ACO∠的值．CEBAOFD【思维拓展】【例6】如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F ，过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ． （1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC =12，tan ∠F =12，求cos ∠ACB 的值．【例7】已知AB 是⊙O 的直径，AB =4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且CD =OA ． （1）当OC=，求证：CD 是⊙O 的切线；（2）当OC＞CD 所在直线于⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长；②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE •ED 的值；若不存在，请说明理由．变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、DC 为半径作AC ，点E 在AB 上，且与A 、B 两点均不重合，点M 在AD 上，且ME =MD ，过点E 作EF ⊥ME ，交BC 于点F ，连接DE 、MF ．（1）求证：EF 是AC 所在⊙D 的切线； （2）当MA =34时，求MF 的长； （3）试探究：△MFE 能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF 的长度；若不是，请说明理由．FAM【课后测控】1、如图1，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．2、如图2，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．已知BD =2，设AD =x ，CF =y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．图1 图2 图33、如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．4、如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上。

①若正方形的顶点F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是____________；②若正方形DEFG 的面积为100，且ΔABC 的内切圆半径r =4，则半圆的直径AB = __________．5、如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D ． (1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度．6、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．7、如图，已知AB 是⊙O 直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 作⊙O 的切线与ED 的延长线交于点P ． （1）求证：PC =PG ； （2）点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若点G 是BC 的中点，试探究CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O 的半径为5，若点O 到BCED 的长．部分答案与提示：【例2】考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形． 分析：（1）首先连接OD ，由直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，⊙O 的半径为8，可求得OB 的长，又由勾股定理，可求得BD 的长，然后由垂径定理，求得CD 的长； （2）由PE 是⊙O 的切线，易证得∠PEF =90°﹣∠AEO ，∠PFE =∠AFB =90°﹣∠A ，继而可证得∠PEF =∠PFE ，根据等角对等边的性质，可得PE =PF ；（3）首先过点P 作PG ⊥EF 于点G ，易得∠FPG =∠A ，即可得FG =PF •sinA =13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案． 解答：解：（1）连接OD ，∵直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，⊙O 的半径为8， ∴OB =OA =4，BC =BD =CD ， ∴在Rt △OBD 中，BD ==4，∴CD =2BD =8；（2）∵PE 是⊙O 的切线， ∴∠PEO =90°， ∴∠PEF =90°﹣∠AEO ，∠PFE =∠AFB =90°﹣∠A ， ∵OE =OA ， ∴∠A =∠AEO ， ∴∠PEF =∠PFE ， ∴PE =PF ；（2）过点P 作PG ⊥EF 于点G ， ∴∠PGF =∠ABF =90°， ∵∠PFG =∠AFB ， ∴∠FPG =∠A ， ∴FG =PF •sinA =13×=5，∵PE =PF ，∴EF =2FG =10．变式二：2.证明（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线∴OF ⊥FH ……………1分 ∵FH ∥BC ，∴OF 垂直平分BC ………2分∴BF FC =∴AF 平分∠BAC …………3分 （2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠FDB =∠FBD∴BF =FD ………………6分（3）解： 在△BFE 和△AFB 中∵∠5=∠2=∠1，∠F =∠F∴△BFE ∽△AFB ………………7分∴BF AFFE BF=， ……………8分 ∴2BF FE FA =⋅ ∴2BF FA FE = ……………………9分∴274944FA == ∴AD =4974-=214 …………………10分 【例4】考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）连结OD ，AB 为⊙0的直径得∠ADB =90°，由AB =AC ，根据等腰三角形性质得AD 平分BC ，即DB =DC ，则OD 为△ABC 的中位线，所以OD ∥AC ，而DE ⊥AC ，则OD ⊥DE ，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC =∠DAB ，根据等角的余角相等得∠ADE =∠ABD ，在Rt △ADB 中，利用解直角三角形的方法可计算出AD =8，在Rt △ADE 中可计算出AE =，然后由OD ∥AE ，得△FDO ∽△FEA ，再利用相似比可计算出BF ． 解答：（1）证明：连结OD ，如图， ∵AB 为⊙0的直径， ∴∠ADB =90°， ∴AD ⊥BC ， ∵AB =AC ，∴AD 平分BC ，即DB =DC ， ∵OA =OB ，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，∴EF 是⊙0的切线；（2）解：∵∠DAC =∠DAB ， ∴∠ADE =∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE =sin ∠ABD ==，而AB =10，∴AD =8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ==，∴AE =，∵OD ∥AE ，∴△FDO ∽△FEA ， ∴=，即=，∴BF =．【例5】考点：圆的综合题；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO =90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D ，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE 的长，进而利用勾股定理得出EC ，AC ，BC 的长，即可得出CD ，利用（2）中相似三角形的性质得出NB 的长即可． 解答：（1）证明：∵△BCO 中，BO =CO ， ∴∠B =∠BCO ，在Rt △BCE 中，∠2+∠B =90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO =90°， 即∠FCO =90°，∴CF 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB =∠FCO =90°，∴∠ACB ﹣∠BCO =∠FCO ﹣∠BCO ， 即∠3=∠1， ∴∠3=∠2， ∵∠4=∠D ，∴△ACM ∽△DCN ；（3）解：∵⊙O 的半径为4，即AO =CO =BO =4，在Rt △COE 中，cos ∠BOC =，∴OE =CO •cos ∠BOC =4×=1，由此可得：BE =3，AE =5，由勾股定理可得：CE ===，AC ===2， BC ===2，∵AB 是⊙O 直径，AB ⊥CD ， ∴由垂径定理得：CD =2CE =2，∵△ACM ∽△DCN ， ∴=，∵点M 是CO 的中点，CM =AO =×4=2，∴CN ===，∴BN =BC ﹣CN =2﹣=．【例6】考点：圆的综合题；探究型；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 分析：（1）连接OA ，由OP 垂直于AB ，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，可得出AP =BP ，再由OA =OB ，OP =OP ，利用SSS 得出三角形AOP 与三角形BOP 全等，由P A 为圆的切线，得到OA 垂直于AP ，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB 垂直于BP ，即PB 为圆O 的切线；（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD 与三角形OAP 相似，由相似得比例，列出关系式，由OA 为EF 的一半，等量代换即可得证． （3）连接BE ，构建直角△BEF ．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE =x ，BF =2x ，进而可得EF =x ；然后由面积法求得BD =x ，所以根据垂径定理求得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据勾股定理易求BC 的长；最后由余弦三角函数的定义求解． 解答：（1）证明：连接OA ， ∵P A 与圆O 相切，∴P A ⊥OA ，即∠OAP =90°， ∵OP ⊥AB ，∴D 为AB 中点，即OP 垂直平分AB ， ∴P A =PB ，∵在△OAP 和△OBP 中，，∴△OAP ≌△OBP （SSS ）， ∴∠OAP =∠OBP =90°， ∴BP ⊥OB ，则直线PB 为圆O 的切线；（2）答：EF 2=4DO •PO ． 证明：∵∠OAP =∠ADO =90°，∠AOD =∠POA ， ∴△OAD ∽△OP A ， ∴=，即OA 2=OD •OP ，∵EF 为圆的直径，即EF =2OA ， ∴EF 2=OD •OP ，即EF 2=4OD •OP ； （3）解：连接BE ，则∠FBE =90°． ∵tan ∠F =， ∴=，∴可设BE =x ，BF =2x ，则由勾股定理，得 EF ==x ，∵BE •BF =EF •BD ， ∴BD =x ．又∵AB ⊥EF ， ∴AB =2BD =x ，∴Rt △ABC 中，BC =x ，AC 2+AB 2=BC 2， ∴122+（x ）2=（x ）2，解得：x =4，∴BC =4×=20， ∴cos ∠ACB ===．【例7】考点：圆的综合题；存在型；分类讨论；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；等边三角形的判定与性质；梯形；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD 为直角三角形，如答图①所示； （2）①如答图②所示，关键是判定△EOC 是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出△ACE 的周长；②符合题意的梯形有2个，答图③展示了其中一种情形．在求AE •ED 值的时候，巧妙地利用了相似三角形，简单得出了结论，避免了复杂的运算． 解答：（1）证明：连接OD ，如答图①所示． 由题意可知，CD =OD =OA =AB =2，OC =，∴OD 2+CD 2=OC 2由勾股定理的逆定理可知，△OCD 为直角三角形，则OD ⊥CD ， 又∵点D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：①如答图②所示，连接OE ，OD ，则有CD =DE =OD =OE ， ∴△ODE 为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°； ∵OD =CD ，∴∠4=∠5，∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°， ∴∠EOC =∠2+∠4=90°，因此△EOC 是含30度角的直角三角形，△AOE 是等腰直角三角形． 在Rt △EOC 中，CE =2OA =4，OC =4cos 30°=， 在等腰直角三角形AOE 中，AE =OA =，∴△ACE 的周长为：AE +CE +AC =AE +CE +（OA +OC ） =+4+（2+）=6++．②存在，这样的梯形有2个．答图③是D 点位于AB 上方的情形，同理在AB 下方还有一个梯形，它们关于直线AB 成轴对称． ∵OA =OE ，∴∠1=∠2，∵CD =OA =OD ，∴∠4=∠5，∵四边形AODE 为梯形，∴OD ∥AE ，∴∠4=∠1，∠3=∠2， ∴∠3=∠5=∠1，在△ODE 与△COE 中，∴△ODE ∽△COE ， 则有，∴CE •DE =OE 2=22=4．∵∠1=∠5，∴AE =CE ， ∴AE •DE =CE •DE =4．综上所述，存在四边形AODE 为梯形，这样的梯形有2个，此时AE •DE =4．变式四：考点：圆的综合题；几何综合题；切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理． 分析：（1）过点D 作DG ⊥EF 于G ，根据等边对等角可得∠MDE =∠MED ，然后根据等角的余角相等求出∠AED =∠GED ，再利用“角角边”证明△ADE 和△GDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD =GD ，再根据切线的定义即可得证；（2）求出ME =MD =，然后利用勾股定理列式求出AE ，再求出BE ，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME 和△BEF 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再利用勾股定理列式计算即可得解； （3）假设△MFE 能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ME =EF ，先利用“角角边”证明△AME 和△BEF 全等，根据全等三角形对边角相等可得AM =BE ，设AM =BE =x ，然后表示出MD ，AE ，再根据ME =MD ，从而得到ME =AE ，根据直角三角形斜边大于直角边可知△MEF 不可能是等腰直角三角形． 解答：（1）证明：过点D 作DG ⊥EF 于G ， ∵ME =MD ，∴∠MDE =∠MED ， ∵EF ⊥ME ，∴∠DME +∠GED =90°， ∵∠DAB =90°，∴∠MDE +∠AED =90°， ∴∠AED =∠GED ，∵在△ADE 和△GDE 中，，∴△ADE ≌△GDE （AAS ）， ∴AD =GD ， ∵的半径为DC ，即AD 的长度，∴EF 是所在⊙D 的切线；（2）MA =时，ME =MD =2﹣=，在Rt △AME 中，AE ===1，∴BE =AB ﹣AE =2﹣1=1，∵EF ⊥ME ， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠B =90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，又∵∠DAB =∠B =90°， ∴△AME ∽△BEF ， ∴=，即=，解得EF =，在Rt △MEF 中，MF ===；（3）假设△MFE 能是等腰直角三角形， 则ME =EF ，∵在△AME 和△BEF 中，，∴△AME ≌△BEF （AAS ）， ∴MA =BE ， 设AM =BE =x ，则MD =AD ﹣MA =2﹣x ，AE =AB ﹣BE =2﹣x ， ∵ME =MD ， ∴ME =2﹣x ， ∴ME =AE ，∵ME 、AE 分别是Rt △AME 的斜边与直角边， ∴ME ≠AE ， ∴假设不成立，故△MFE 不能是等腰直角三角形． 5、（1）证明：连接OC ， ……………………………………1分 因为点C 在⊙O 上，OA =OC ，所以.OCA OAC ∠=∠ 因为CD PA ⊥，所以90CDA ∠=，有90CAD DCA ∠+∠=.因为AC 平分∠P AE ，所以.DAC CAO ∠=∠……………3分所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠= ……4分 又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以CD 为⊙O 的切线. ………………5分 （2）解:过O 作OF AB ⊥，垂足为F ，所以90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=， 所以四边形OC DF 为矩形，所以,.OC FD OF CD == ……………………………7分 因为DC +DA =6，设AD x =,则6.OF CD x ==-因为⊙O 的直径为10，所以5DF OC ==，所以5AF x =-. 在Rt AOF △中，由勾股定理知222.AF OF OA +=即()()225625.x x -+-=化简得211180x x -+=，解得2x =或x=9. ………………9分 由AD DF <，知05x <<，故2x =. ………10分 从而AD =2，52 3.AF =-= …………………11分因为OF AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.AB AF ==…………12分 7、考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）连结OC ，根据切线的性质得OC ⊥PC ，则∠OCG +∠PCG =90°，由ED ⊥AB 得∠B +∠BGF =90°，而∠B =∠OCG ，所以∠PCG =∠BGF ，根据对顶角相等得∠BGF =∠PGC ， 于是∠PGC =∠PCG ，所以PC =PG ；（2）连结OG ，由点G 是BC 的中点，根据垂径定理的推论得OG ⊥BC ，BG =CG ，易证得Rt △BOG ∽Rt △BGF ，则BG ：BF =BO ：BG ，即BG 2=BO •BF ，把BG 用CG 代换得到CG 2=BO •BF ；（3）解：连结OE ，OG =OG =，在Rt △OBG 中，利用勾股定理计算出BG =2，再利用BG 2=BO •BF 可计算出BF ，从而得到OF =1，在Rt △OEF 中，根据勾股定理计算出EF =2，由于AB ⊥ED ，根据垂径定理可得EF =DF ，于是有DE =2EF =4． 解答：（1）证明：连结OC ，如图， ∵PC 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ，∴∠OCG +∠PCG =90°， ∵ED ⊥AB ，∴∠B +∠BGF =90°， ∵OB =OC ， ∴∠B =∠OCG ， ∴∠PCG =∠BGF ， 而∠BGF =∠PGC ， ∴∠PGC =∠PCG ， ∴PC =PG ；（2）解：CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系为CG 2=BO •BF ．理由如下：连结OG ，如图， ∵点G 是BC 的中点，∴OG ⊥BC ，BG =CG ， ∴∠OGB =90°， ∵∠OBG =∠GBF ，∴Rt △BOG ∽Rt △BGF ， ∴BG ：BF =BO ：BG ，∴BG 2=BO •BF ，∴CG 2=BO •BF ；（3）解：连结OE ，如图， 由（2）得BG ⊥BC ， ∴OG =，在Rt △OBG 中，OB =5， ∴BG ==2，由（2）得BG 2=BO •BF ， ∴BF ==4，∴OF =1，在Rt △OEF 中，EF ==2，∵AB ⊥ED ， ∴EF =DF ， ∴DE =2EF =4．。