高中数学课件 两条直线平行与垂直的判定培训讲学
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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(共30张PPT)
2
0+2+
2
=
=
= -2,
解得
所以 R 点的坐标是(-2t,2).
= 2.
1+
2
+
2
,
,
归纳总结
利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤
描点 → 在坐标系中描出给定的点
↓
猜测 → 根据描出的点，猜测图形的形状
↓
求斜率 → 根据给定点的坐标求直线的斜率
↓
结论 → 由斜率之间的关系判断形状
y=3.此时 AB 与 CD 不平行.
故所求点 D 的坐标为(3,3).
②若 AD 是直角梯形的直角边,
-3
则 AD⊥AB,AD⊥CD,kAD= ,kCD= .
-3
-3
由于 AD⊥AB,则 ·3=-1.
又 AB∥CD,∴-3=3.
18
= 5 ,
AD 与 BC 不平行.
解上述两式可得
梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是
直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有
x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的
坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
3-
-2-3
,k
=
2
-5
-1-2
-5
= -3 .
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
3-
-5
即-5× -3 =-1,解得 a=0.
综上所述,a的值为0或5.
3-
2.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件(共15张PPT)
在同一条直线上,确定常数a的值.
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
高中数学 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件 图文
【解析】1.根据题中的条件及斜率公式得 (1)kl15 4,kl2 2,所 以 kl1kl2,所以直线l1与l2不平行. (2)kl1 3kl2,所以l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1斜率不存在，且直线l1与y轴不重合，而l2的斜率也不存 在，且恰好是y轴，所以l1∥l2． 答案：(3)
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
所以C点坐标为 (0,5 17)或(0， 5 17).
2
2
【技法点拨】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直 线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步. (2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有 参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
【解析】1.直线PQ的斜率kPQ= 2 ，当m≠-1时，直线AB的斜率
7
kAB
3m2 ． 22m
(1)因为AB∥PQ，所以kAB=kPQ,
即 3m 2 2 ,
2 2m 7
解得 m
2. 5
(2)因为AB⊥PQ,所以kAB·kPQ=-1,
即 3m2 21,
22m 7
解得 m 9 .
【探究提升】两条直线垂直的等价条件
(1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则
直线平行与垂直课件PPT课件
直线平行与垂直课件ppt课件
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概 念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并 且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及 解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果 错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两 条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到 了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个 道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性 和功能性，常常需要利用直线平行和垂 直的性质。例如，在设计和制造机器零 件时，需要确保各个部分相互垂直或平 行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也 得到了广泛应用。例如，在电路板的设计 中，需要确保各个线路相互垂直或平行， 以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方 法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作 为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和 起点，画出直线。
平行线的定义
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概 念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并 且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及 解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果 错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两 条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到 了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个 道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性 和功能性，常常需要利用直线平行和垂 直的性质。例如，在设计和制造机器零 件时，需要确保各个部分相互垂直或平 行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也 得到了广泛应用。例如，在电路板的设计 中，需要确保各个线路相互垂直或平行， 以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方 法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作 为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和 起点，画出直线。
平行线的定义
2-1-2两条直线平行和垂直的判定 课件(共35张PPT)
则直线 l 的倾斜角为__1_3_5_°___． 解析 ∵tanα＝1－＋43＝－1，∴α＝135°.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
两条直线平行与垂直的判定PPT课件
3.1.2两条直线平行 与垂直的判定
复习引入
1. 倾斜角定义及其取值范围；
复习引入
1. 倾斜角定义及其取值范围； 2. 斜率定义及其斜率公式.
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充?
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充? 3. 总结一下几何、代数两种方法是如何
归纳
1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论:
若直线l1、l2存在斜率k1, k2，则
l1 //l2
k1=k2, (其中l1, l2不重合);
若l1、l2可能重合，则k1=k2
l1⊥l2
k1·k2=－1
l1//l2或 l1与l2重合
2. 利用斜率研究直线位置关系必须讨论是
否存在.
练习 教材P.89练习第1、2题
课堂小结
1. 两条直线平行或垂直的真实等价条件； 2. 应用条件，判定两条直线平行或垂直； 3. 应用直线平行的条件，判定三点共线.
课后作业
1. 阅读教材P.86到P.89； 2. 《习案》十八.
故 乡人 汪曾祺
人都有恋土恋乡的情结。“日暮途 且远，游子悲故乡”，淋漓地表述了思 乡的情怀；叱咤风云的曹操，在《却东 西门行》诗中云：“狐死归首丘，故乡 安可忘。” 无穷的乡思，绵长不断。
复习引入
1. 倾斜角定义及其取值范围；
复习引入
1. 倾斜角定义及其取值范围； 2. 斜率定义及其斜率公式.
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充?
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充? 3. 总结一下几何、代数两种方法是如何
归纳
1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论:
若直线l1、l2存在斜率k1, k2，则
l1 //l2
k1=k2, (其中l1, l2不重合);
若l1、l2可能重合，则k1=k2
l1⊥l2
k1·k2=－1
l1//l2或 l1与l2重合
2. 利用斜率研究直线位置关系必须讨论是
否存在.
练习 教材P.89练习第1、2题
课堂小结
1. 两条直线平行或垂直的真实等价条件； 2. 应用条件，判定两条直线平行或垂直； 3. 应用直线平行的条件，判定三点共线.
课后作业
1. 阅读教材P.86到P.89； 2. 《习案》十八.
故 乡人 汪曾祺
人都有恋土恋乡的情结。“日暮途 且远，游子悲故乡”，淋漓地表述了思 乡的情怀；叱咤风云的曹操，在《却东 西门行》诗中云：“狐死归首丘，故乡 安可忘。” 无穷的乡思，绵长不断。
两条直线平行与垂直的判定 课件
2a 解得 a＝1，10 分
3
所以 a＝1时，两直线垂直.12 分 3
[规范与警示] 解答本题需规范两个关键步骤： (1)注意对参数 a 进行分类讨论，即分为 a＝0 或 a＝1 和 a≠0 且 a≠1 两种情况．如①处是失分点．
(2)在利用斜率相等求参数时，求得结果要进行检验，在确保 两直线不重合时，才能下结论，同时要注意解末总结，漏掉总 结导致解答不完整、不规范．如②处也是失分点.
∴ l1∥ l2 .
(4)由题
意知，
－ k1＝－
1－ 2－
1＝ 0
1，
k2＝32－ －
4＝ 3
1，虽然
k1＝ k2，但是
E， F， G，H
四点共线，
∴l1 与 l2 重合．
方法归纳 (1)判断两 直线的平 行，应首 先看两直 线的斜率 是否存 在，即 先看两点的横坐标 是否相等．教材中的平行条件 只有在斜率都 存在的情况下方可 使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特 殊判断． (2)判断斜 率是否相 等实际是 看倾斜角 是否相等 ，归根 结底是 充分利用两直线平 行的条件：同位角相等，则两直线平 行．
两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行 设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2， 倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：
前提条件 对应关系
α1＝α2≠90° l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2
α1＝α2＝90° l1∥l2⇔两直线斜率都不存
在
图示
2.两条直线垂直
对应 关系
数学思想
分类讨论思想在平行和垂直问题中的应用
已知点 A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点 D 的坐 标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向 排列) [解] 设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图所示．
3
所以 a＝1时，两直线垂直.12 分 3
[规范与警示] 解答本题需规范两个关键步骤： (1)注意对参数 a 进行分类讨论，即分为 a＝0 或 a＝1 和 a≠0 且 a≠1 两种情况．如①处是失分点．
(2)在利用斜率相等求参数时，求得结果要进行检验，在确保 两直线不重合时，才能下结论，同时要注意解末总结，漏掉总 结导致解答不完整、不规范．如②处也是失分点.
∴ l1∥ l2 .
(4)由题
意知，
－ k1＝－
1－ 2－
1＝ 0
1，
k2＝32－ －
4＝ 3
1，虽然
k1＝ k2，但是
E， F， G，H
四点共线，
∴l1 与 l2 重合．
方法归纳 (1)判断两 直线的平 行，应首 先看两直 线的斜率 是否存 在，即 先看两点的横坐标 是否相等．教材中的平行条件 只有在斜率都 存在的情况下方可 使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特 殊判断． (2)判断斜 率是否相 等实际是 看倾斜角 是否相等 ，归根 结底是 充分利用两直线平 行的条件：同位角相等，则两直线平 行．
两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行 设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2， 倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：
前提条件 对应关系
α1＝α2≠90° l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2
α1＝α2＝90° l1∥l2⇔两直线斜率都不存
在
图示
2.两条直线垂直
对应 关系
数学思想
分类讨论思想在平行和垂直问题中的应用
已知点 A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点 D 的坐 标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向 排列) [解] 设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图所示．
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
6. 过 Am,1 与 B(1, m) 的 直 线 与 过 点 P(1,3) ， Q(5,0) 的 直 线 垂 直 ， 则
-3 m _____________.
解析：过点
Am,1
与
B(1,
m)
的直线的斜率为
m 1 1 m
,
过点 P(1,3) ， Q(5,0) 的直线的斜率为 3 0 1 , 15 2
l1 l2 k1k2 1 .
直线斜率 对应关系
图示
k1，k2 都存在 若 l1⊥l2 ⇔ k1·k2 = – 1
y
l1
l2
x
O
一条斜率不存在，另一条斜率为零
l1与l2的位置关系是 l1⊥l2
y
l2
l1
O
x
注意：“两条直线的斜率之积等于–1”是“这两条直线垂直”的充 分不必要条件；因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于 –1，还有 可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0.
值范围及正切函数的单调性可知，1 2 ，因此l1 l2 .
y l1 l2
α2 α1
O
x
对于斜率分别为 k1 ， k2 的两条直线l1 ，l2 ，有 l1 l2 k1 k2 .
注意:当1 2 90 时，直线的斜率不存在，此时l1 l2 . 若直线 l1 ，l2 重合，此时仍然有 k1 k2 .用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
不存在，下面对 a 进行讨论：当 a 2 3 ，即 a 5 时，l1 的斜率不存在，l2 的斜率
为 0，此时满足 l1 l2 .当 a 2 3，即 a 5 时，直线l1 ，l2 的斜率均存在.设直线l1 ，
l2
的斜率分别为 k1
，k 2
两条直线平行与垂直的判定课件
解：若两条直线垂直，则两条直线的倾斜角相差 90°.
► 题组一 两条直线的平行问题 【例题演练】
例 1 下列情况中，直线 l1 与 l2 一定平行的有____(_3_)____． (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－ 1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2)； (3)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5，5)．
如果直线 l1 的斜率为 k1＝－a2，直线 l2 的斜率为 3，若 l1∥l2，
则 a 的值为( )
A．－3
B．－6
C．－32
2 .3
[答案] B
► 题组二 三点共线问题 【例题演练】
三点例 __共_1_线__已__知．(A填(－“2共，线3)”，或B(“ 3，不－共2线)，”C)12，12，则 A，B，C
若∠C 为直角，则 AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即m2－＋51·m2－－11
＝－1，解得 m＝±2.所以，m＝－7 或 3 或±2.
条直线平行与垂直的判定
自学探究
► 知识点一 两条直线平行
设两条不重合的直线 条件为_____k_1＝__k_2___．
l1，l2
的斜率分别为
k1，k2，则
l1∥l2
的等价
说明：
(1)定义中的条件成立的前提是两条直线不重合且它们的斜率存
在；上面的等价条件是两条直线不．重．合．且．斜．率．存．在．的前提下才成立 的，缺少这个前提，结论并不成立．
例 2 一束光线从点 P(0，1)出发，射到 x 轴上一点 A，经 x 轴反射，反射光线过点 Q(2，3)，则点 A 的坐标为__12_，__0___．
► 题组一 两条直线的平行问题 【例题演练】
例 1 下列情况中，直线 l1 与 l2 一定平行的有____(_3_)____． (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－ 1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2)； (3)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5，5)．
如果直线 l1 的斜率为 k1＝－a2，直线 l2 的斜率为 3，若 l1∥l2，
则 a 的值为( )
A．－3
B．－6
C．－32
2 .3
[答案] B
► 题组二 三点共线问题 【例题演练】
三点例 __共_1_线__已__知．(A填(－“2共，线3)”，或B(“ 3，不－共2线)，”C)12，12，则 A，B，C
若∠C 为直角，则 AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即m2－＋51·m2－－11
＝－1，解得 m＝±2.所以，m＝－7 或 3 或±2.
条直线平行与垂直的判定
自学探究
► 知识点一 两条直线平行
设两条不重合的直线 条件为_____k_1＝__k_2___．
l1，l2
的斜率分别为
k1，k2，则
l1∥l2
的等价
说明：
(1)定义中的条件成立的前提是两条直线不重合且它们的斜率存
在；上面的等价条件是两条直线不．重．合．且．斜．率．存．在．的前提下才成立 的，缺少这个前提，结论并不成立．
例 2 一束光线从点 P(0，1)出发，射到 x 轴上一点 A，经 x 轴反射，反射光线过点 Q(2，3)，则点 A 的坐标为__12_，__0___．
两条直线平行与垂直的判定PPT教学课件
例2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
为什么花样游泳运动员要用鼻夹？ 为什么我们能把气体吸入到肺内？ 气体如何被运送到每一个细胞呢？
第二节 人体细胞获得氧气的过程
一、呼吸道和肺组成呼吸系统
被泄露的氯气熏黄的油菜
江西省修水县上衫乡下衫村42岁的村民朱洪 福，在乡里第一个村民死于矽肺病之后，他和百 余名村民被第一批检查出患上了矽肺病。现在， 与他一起检查出有矽肺病的村民中，已有20多人 陆续死去。而随后两批检查出矽肺病的近220人 中，也已有30多人相继死亡。
几乎每个月都有人因矽肺病死亡,村里笼罩着 死亡的阴影。1986年10月，偏僻的上衫乡发现了 金矿，于是村民们就开始了采金生涯。但没有人 告诉他们要采取防护措施，在无知的状况下，村 民们进行了几近疯狂的开采。一天24小时在井下， 上来的时候，嘴里鼻孔里全是石粉。
和为 5 的直线的方程． 6
一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，
因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+=0 ，
其中待定（直线系）
1 若直线 x - 2ay = 1和 2x - 2ay = 1平行，则 a = 0 。
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a= 1
L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1∥L2的充要条件是
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
为什么花样游泳运动员要用鼻夹？ 为什么我们能把气体吸入到肺内？ 气体如何被运送到每一个细胞呢？
第二节 人体细胞获得氧气的过程
一、呼吸道和肺组成呼吸系统
被泄露的氯气熏黄的油菜
江西省修水县上衫乡下衫村42岁的村民朱洪 福，在乡里第一个村民死于矽肺病之后，他和百 余名村民被第一批检查出患上了矽肺病。现在， 与他一起检查出有矽肺病的村民中，已有20多人 陆续死去。而随后两批检查出矽肺病的近220人 中，也已有30多人相继死亡。
几乎每个月都有人因矽肺病死亡,村里笼罩着 死亡的阴影。1986年10月，偏僻的上衫乡发现了 金矿，于是村民们就开始了采金生涯。但没有人 告诉他们要采取防护措施，在无知的状况下，村 民们进行了几近疯狂的开采。一天24小时在井下， 上来的时候，嘴里鼻孔里全是石粉。
和为 5 的直线的方程． 6
一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，
因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+=0 ，
其中待定（直线系）
1 若直线 x - 2ay = 1和 2x - 2ay = 1平行，则 a = 0 。
2 若直线 x + ay = 2a + 2和 ax + y = a + 1平行，则 a= 1
L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
那么L1∥L2的充要条件是
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_k_1_·__k_2=_-_1_．
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在 时,相互平行的两条直线的斜率才相等. (2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满 足k1·k2=-1. (3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平行. 答案：(1)× (2)× (3)√
2.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
2.两条直线的垂直 (1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两 条直线_互__相__垂__直__. (2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直 线互相垂直,则它们的斜率_互__为__负__倒__数__;反之,若两条直线的 斜率互为负倒数,则它们_互__相__垂__直__, l1⊥l2 _k_2____k1_1_
二、两直线垂直的条件 探究1：如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问 题：
(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图(1)),则其倾斜 角有何关系?斜率有何关系?
提示：由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2= tan(α1+90°) tan 1 1,即 k2k 1 1,所 以 k 1g k2 1 .
(2)直线l1的斜率k1与直线l2的斜率k2的关系如何? 提示：①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不 存在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线 l2的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.
探究2：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,思考下列问题： (1)平面内两条直线的位置关系有哪些? 提示：平面内两条直线的位置关系有：相交、平行及重合. (2)若k1=k2,直线l1,l2的位置关系如何? 提示：若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线 是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数 形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_相__等__;反之,若两条直 线的斜率相等,则它们_平__行__,即l1∥l2⇔_k_1=_k_2_. (2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角 都为__9_0_°_,这两条直线互相_平__行__.
1.已知直线l1与直线l2,满足下列条件：
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5).
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( 3 ,0),N(2 3 ,3).
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是
.
2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2), D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值. 【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直 线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而 求出a的值.
m=
.
【解析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以其斜率k1=
.3
3
又因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=- 3.
答案：- 3
(2)因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率 k130(41直)线1l2， 的斜率k2=tan 45°=1, 因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率
kl1
m因为4 ,
2 m
直线l2的斜率 k
l
=-2,
2
且l1∥l2，所以 k =l1 -2，即
m 4所以2m, =-8.
2 m
答案：-8
一、两直线平行的条件 探究1：已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思 考下列问题： (1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等吗? 提示：直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角 相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.
【探究提升】直线l1,l2平行的等价条件及符号表示 (1)等价条件：
①两直线不重合；
②斜率都不存在或斜率相等．
(2)符号：l1∥l2
k1=k2, 或α1=α2=90°.
【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系 若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有 三种：平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是： (1)平行：倾斜角相同,没有公共点. (2)相交：倾斜角不同,只有一个公共点. (3)重合：倾斜角相同,有无数多个公共点.
【探究提升】两条直线垂直的等价条件 (1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则 k 2 即k1k1 ,1·k2=-1. (2)k1,k2中一个不存在,一个为0⇒l1⊥l2.
(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.
类型 一 直线的平行
尝试解答下列问题,体会寻找直线平行条件的过程,掌握
两条直线平行的等价条件及判断技巧.
(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的结论 还成立吗? 提示：不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直 线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
探究2：当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗? 提示：成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足 α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )
提示：(1)错误.有时斜率不一定存在,只有斜率都存在 时,相互平行的两条直线的斜率才相等. (2)错误.只有斜率都存在时,相互垂直的两条直线的斜率才满 足k1·k2=-1. (3)正确.斜率都为0的两条直线,倾斜角都为0°,故两直线平行. 答案：(1)× (2)× (3)√
2.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
2.两条直线的垂直 (1)当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两 条直线_互__相__垂__直__. (2)当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直 线互相垂直,则它们的斜率_互__为__负__倒__数__;反之,若两条直线的 斜率互为负倒数,则它们_互__相__垂__直__, l1⊥l2 _k_2____k1_1_
二、两直线垂直的条件 探究1：如图,直线l1,l2满足l1⊥l2,请根据图形,探究下面的问 题：
(1)斜率都存在的两条直线l1,l2,若l1⊥l2(如图(1)),则其倾斜 角有何关系?斜率有何关系?
提示：由图可知倾斜角的关系为α2=α1+90°,所以tanα2= tan(α1+90°) tan 1 1,即 k2k 1 1,所 以 k 1g k2 1 .
(2)直线l1的斜率k1与直线l2的斜率k2的关系如何? 提示：①当两条直线的倾斜角都为90°时,两直线的斜率都不 存在;②当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角α1与直线 l2的倾斜角α2相等,故tanα1=tanα2,即k1=k2.
探究2：设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,思考下列问题： (1)平面内两条直线的位置关系有哪些? 提示：平面内两条直线的位置关系有：相交、平行及重合. (2)若k1=k2,直线l1,l2的位置关系如何? 提示：若k1=k2,即tanα1=tanα2,又直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°,所以α1=α2,故直线l1,l2平行或重合.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线 是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数 形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_相__等__;反之,若两条直 线的斜率相等,则它们_平__行__,即l1∥l2⇔_k_1=_k_2_. (2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角 都为__9_0_°_,这两条直线互相_平__行__.
1.已知直线l1与直线l2,满足下列条件：
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(-1,1),D(-3,5).
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M( 3 ,0),N(2 3 ,3).
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是
.
2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2), D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值. 【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直 线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而 求出a的值.
m=
.
【解析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以其斜率k1=
.3
3
又因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=- 3.
答案：- 3
(2)因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率 k130(41直)线1l2， 的斜率k2=tan 45°=1, 因为k1·k2=-1,所以l1⊥l2.
答案：l1⊥l2
(3)由题知直线l1的斜率存在,则直线l1的斜率
kl1
m因为4 ,
2 m
直线l2的斜率 k
l
=-2,
2
且l1∥l2，所以 k =l1 -2，即
m 4所以2m, =-8.
2 m
答案：-8
一、两直线平行的条件 探究1：已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思 考下列问题： (1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2相等吗? 提示：直线l1,l2满足l1∥l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角 相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.
【探究提升】直线l1,l2平行的等价条件及符号表示 (1)等价条件：
①两直线不重合；
②斜率都不存在或斜率相等．
(2)符号：l1∥l2
k1=k2, 或α1=α2=90°.
【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系 若考虑两条直线可能重合,则平面上两条直线的位置关系共有 三种：平行、相交、重合.借助于倾斜角,它们之间的关系是： (1)平行：倾斜角相同,没有公共点. (2)相交：倾斜角不同,只有一个公共点. (3)重合：倾斜角相同,有无数多个公共点.
【探究提升】两条直线垂直的等价条件 (1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则 k 2 即k1k1 ,1·k2=-1. (2)k1,k2中一个不存在,一个为0⇒l1⊥l2.
(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.
类型 一 直线的平行
尝试解答下列问题,体会寻找直线平行条件的过程,掌握
两条直线平行的等价条件及判断技巧.
(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的结论 还成立吗? 提示：不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直 线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.
探究2：当k1·k2=-1时,l1⊥l2成立吗? 提示：成立,由k1·k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角α1,α2满足 α2=α1+90°,故直线l1,l2垂直.