11-1反常积分的概念

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数学分析11.1反常积分概念

数学分析11.1反常积分概念(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十一章反常积分 1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22xmgR .于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：⎰rR 22x mgR dx=mgR 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：⎰+∞R22x mgR dx=⎰+→r R 22∞r xmgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：21mv 02=mgR. 以g=s 2, R=×106m 代入，可得v 0=mgR ≈s.例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度.设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2dx=v πr 2dt ，即有dt=x)-2g(h rR 22dx. ∴流完一桶水所需的时间为：t f =⎰h22x)-2g(h rR dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为： t f =⎰-→u22h u x)-2g(h rR lim dx=)u -h -h (grR 2lim22h u -→=grR 2h lim 22hu -→.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限⎰+→ua ∞u f(x)dx lim =J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=⎰+∞a f(x)dx ，并称⎰+∞af(x)dx 收敛. 若极限不存在，则称⎰+∞af(x)dx 发散.类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：⎰-b∞f(x)dx=⎰-→bu ∞u f(x)dx lim .又有⎰+-∞∞f(x)dx=⎰+∞a f(x)dx +⎰-b∞f(x)dx, 其中a 为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，⎰+-∞∞f(x)dx 才收敛.例3：讨论无穷积分⎰+∞1px dx的收敛性. 解：当p=1时，⎰+∞1p xdx=⎰+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞, 当p>1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1-p 1,∴当p ≤1时，⎰+∞1p x dx发散于+∞; 当p>1时，⎰+∞1p xdx 收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞2p x(ln x)dx; (2)⎰+-+∞∞2x 1dx . 解：(1)∵⎰+∞2px(ln x)dx=⎰+∞ln2p t dt ; 根据例3的结论可知，当p ≤1时发散; 当p>1时收敛. (2)⎰+-+∞∞2x 1dx =⎰++∞02x 1dx +⎰-+0∞2x 1dx =⎰++→u 02∞u x 1dxlim +⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =⎰++→u02∞u x 1dxlim+⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =∞u lim +→arttanu-∞v lim -→arttanv=π，收敛.定义2：设函数f 定义在区间(a,b]上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积. 如果存在极限⎰+→bu a u f(x)dx lim =J ，则称此极限为无界函数f 在(a,b]上的反常积分，记作J=⎰ba f(x)dx ，并称反常积分⎰b a f(x)dx 收敛. a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba f(x)dx 又称为瑕积分. 若极限不存在，则称⎰ba f(x)dx 发散.类似的，可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰ba f(x)dx =⎰-→ua b u f(x)dx lim .其中f 在[a,b)有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f 的瑕点c ∈(a,b)，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰→u acu f(x)dx lim -+⎰+→bvcv f(x)dx lim ,其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积. 当且仅当⎰ca f(x)dx 和⎰bc f(x)dx 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.又若a,b 都是f 的瑕点，而f 在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰+→c uau f(x)dx lim +⎰-→vcbv f(x)dx lim , 其中c 为(a,b)内任一实数. 当且仅当⎰+→c u a u f(x)dx lim 和⎰-→vc b v f(x)dx lim 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.例5：计算瑕积分⎰102x -1dx 的值.解：⎰102x -1dx =⎰→u21u x -1dx lim -=-1u lim →arcsinu=2π.例6：讨论瑕积分⎰10qx dx(q>0)的收敛性. 解：当q=1时，⎰10q xdx=⎰+→1u 0u x dx lim =-+→0u lim lnu=+∞, 当0<q<1时，⎰10q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =1-q 1, 当q>1时，⎰1q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =+∞, ∴当q ≥1时，⎰10q x dx发散于+∞; 当0<q<1时，⎰+∞1p xdx 收敛.注：∵⎰∞+0p x dx=⎰10p x dx +⎰∞+1px dx (p>0)，右边两个反常积分不同时收敛， ∴⎰∞+0p xdx对任何实数p 发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)⎰∞+0x -2xe dx ；(2)⎰∞+∞-x -2xe dx ；(3)⎰∞+0xe 1dx ；(4)⎰+∞+12)x 1(x dx；(5)⎰++∞+∞-254x 4x dx ；(6)⎰∞+0x -x sin e dx ；(7)⎰∞+∞-x-x sin e dx ；(8)⎰+∞+02x 1dx . 解：(1)⎰∞+0x -2xe dx=⎰+→u0x -∞u 2xelim dx=)e 1(lim 212u -∞u -+→=21，收敛. (2)∵⎰0∞-x -2xe dx=⎰-→0u x -∞u 2xe lim dx=)1(e lim 212u -∞u --→=-21. ∴⎰∞+∞-x -2xe dx=⎰0∞-x -2xe dx+⎰∞+0x -2xe dx=0，收敛. (3)⎰∞+0xe1dx=-2⎰-+→u 02x∞u e lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x =-2)1e (lim 2u∞u --+→=2，收敛. (4)⎰+∞+12)x 1(x dx =⎰++→u 12∞u )x 1(x dx lim =1]u 12ln )1u 1[ln(lim ∞u +--++→=1-ln2，收敛. (5)∵⎰++0∞-254x 4x dx =⎰++-→0u 2∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→212u arctan 21arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫⎝⎛+2π21arctan 41； ⎰+++∞254x 4x dx =⎰+++→u 02∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→21arctan -212u arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫ ⎝⎛21arctan -2π41； ∴⎰++∞+∞-254x 4x dx =⎰++0∞-254x 4x dx +⎰+++∞0254x 4x dx =4π，收敛.(6)⎰∞+0x -x sin e dx=⎰+→u0x -∞u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[-e -u(cosu+sinu)+1]=21，收敛.(7)∵⎰0∞-xx sin e dx=⎰→0ux ∞-u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[e u (cosu-sinu)-1]= +∞，发散； ∴⎰∞+∞-x x sin e dx 发散. (8)⎰+∞+02x 1dx =⎰++→u2∞u x 1dx lim =)u 1u ln(lim 2∞u +++→=+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值. (1)⎰bap a)-(x dx；(2)⎰102x -1dx ；(3)⎰20|1-x |dx ；(4)⎰102x-1x dx ； (5)⎰10x ln dx ；(6)⎰1x -1xdx ；(7)⎰102x -x dx ；(8)⎰10p x(lnx)dx . 解：(1)当p=1时，⎰ba p a)-(x dx =⎰+→b u a u a -x dx lim =a -u a-b ln lim a u +→=+∞，发散；当p ≠1时，⎰bap a)-(x dx =⎰+→b u p a u a)-(x dx lim =1-p a u 1-p a)-(u 1lim p -11a)-p)(b -(11+→-， ∴当p ≥1时，⎰ba pa)-(x dx=+∞，发散. 当p<1时，⎰ba p a)-(x dx =1-p a)-p)(b -(11，收敛. (2)⎰12x -1dx =⎰-→u 021u x-1dx lim =u -1u 1ln lim 211u +-→=+∞，发散. (3)⎰2|1-x |dx =⎰211-x dx +⎰1x-1dx =⎰+→2u1u 1-x dx lim + ⎰-→v1v x-1dx lim=2)1-u 1(lim 1u -+→-2)1v -1(lim 1v --→=4，收敛.(4)⎰12x -1x dx=⎰-→u21u x -1x lim =-)1u -1(lim 21u --→=1，收敛.(5)⎰10x ln dx=⎰+→1u 0u lnx lim dx =+→0u lim (-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)⎰a0x -1x dx=⎰+a -1a 0222)t (12t dt=2(⎰+a -1a 02t 11dt-⎰+a -1a 022)t (11dt). 又⎰+a-1a 02t 11dt=arctan a -1a ，当a →1-时，其极限为2π.⎰+a-1a 022)t (11dt=⎰+a-1aarctan 022)θtan (11dtan θ=⎰a-1a arctan 02θcos d θ=21sinarctana -1a cosarctan a -1a +21arctan a-1a，当a →1-时，其极限为4π. ∴⎰1x-1x dx=2(2π-4π)=2π，收敛.(7)取a ∈(0,1)，则⎰102x-x dx =⎰1a2x-x dx +⎰a2x-x dx =⎰-→ua21u x-x dx lim +⎰+→av20v x-x dx lim=2⎰-→u arcsin a arcsin 1u dt lim +2⎰+→aarcsin v arcsin 0v dt lim =π，收敛.(8)∵⎰p x(lnx)dx =⎰p (lnx)d(lnx)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=1p p)(lnx)-(111p |x ln |ln 1-p ，，又⎰10p x(lnx)dx =⎰1a p x(lnx)dx +⎰a 0px(lnx)dx, a ∈(0,1).∴当p=1时，⎰1a p x(lnx)dx=⎰-→u a 1u xlnx dx lim =-→1u lim [ln(ln1)-ln(lna)]=-∞，发散. 当p ≠1时，⎰1ap x(lnx)dx =⎰-→u a p 1u x(lnx)dx lim =-→1u lim [1-p p)(lnu)-(11-1-p p)(lna)-(11]=∞，发散. ∴⎰10p x(lnx)dx 发散.3、举例说明：瑕积分⎰ba f(x)dx 收敛时，⎰ba 2(x)f dx 不一定收敛.解：令f(x)=x1，则⎰10f(x)dx=2，收敛. 但⎰102(x)f dx=⎰10x1dx 发散.4、举例说明：⎰+∞a f(x)dx 收敛且在[a,+∞)上连续时，不一定有f (x)lim ∞x +→=0.解：例如由狄利克雷判别法知，⎰+∞12sinx dx=⎰+∞1tsint dt 收敛，但∞x lim +→sinx 2不存在.5、证明：若⎰+∞a f(x)dx 收敛，且存在极限f (x)lim∞x +→=A ，则A=0. 证：若A ≠0，不妨设A>0，则由f (x)lim ∞x +→=A ，取ε=2A>0，存在M ，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2A ，即2A <f(x)<23A . 记f(x)=g(x)+2A，则⎰+∞a f(x)dx=⎰+∞a g(x)dx+⎰+∞a 2A dx ，∵⎰+∞a 2Adx 发散，∴⎰+∞a f(x)dx 发散，矛盾. ∴f (x)lim ∞x +→=A=0.6、证明：若f 在[a,+∞)上可导，且⎰+∞a f(x)dx 与⎰+'∞a (x)f dx 都收敛，则f (x)lim ∞x +→=0.证：∵⎰+'∞a (x)f dx=⎰'+→ua ∞u (x)f lim dx=∞u lim +→ [f(u)-f(a)]=f (x)lim ∞x +→-f(a)，收敛. ∴f (x)lim∞x +→存在，又⎰+∞af(x)dx 存在，根据第5题的结论有f (x)lim ∞x +→=0.11。

反常积分概念.

(1)
e
0
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解：
(1)
1be x dx
e x
b 1
1 eb
lim (1
b
eb
)
1
lim
b
1 eb
1
故
0
e
x
dx收敛，且
0
e
xdx
1
(2)
b 1
1 x4
dx
1 3x
3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (
b
1 3
1 3b3
)
1 1 lim 3 3 b
a
b
简化上述过程： dx 1 x2
[arctanx]
2
( )
2
其中[arc
tanx]
应理解为lim x
arc
tan
x
lim
x
arc
tan
x
解(2):
0
xex
2
dx
[
1 2
ex2
]0
1 2
(0 1)
1 2
练习2：求下列无穷积分：
(1)
xe
x2 2
dx
(2)
0
e
x
dx
例6.
试确定广义积分发散.
1
1 x2
dx
(2)
1
x
2dx
a dx
例7 计算反常积分 0
a2 x2
解 lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的瑕点.

反常积分和无穷级数的逻辑体系

反常积分和无穷级数的逻辑体系反常积分和无穷级数是数学中比较重要的两个分支，两者常常使用到极限的概念，但是它们也有着不同的性质和应用场景。

本文将从反常积分和无穷级数的定义、性质、收敛性及其应用等方面，进行较为全面的介绍和分析。

一、反常积分1.定义在正常情况下，积分的上下限是有限的，函数在这个区间内是有定义且有界的。

但是一些情况下，积分的上下限包含无穷或者函数在某些点的值发散，这时就需要用到反常积分。

反常积分的定义可以根据积分区间中极限存在或不存在分为两种情况：①区间有限，且$f(x)$在该区间内有界但出现无穷大的间断点，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \infty$或$\mathop{\lim }\limits_{x\to b} f(x) = \infty$。

此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t_1 \toa^+ ,t_2 \to b^- } \int_{t_1}^{t_2} f(x)\mathrm{d}x$$②区间不含一端点，而该端点处$f(x)$趋于无穷大，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \infty$。

此时反常积分的定义为：$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to +\infty } \int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x$$或$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mathop {\lim }\limits_{t\to -\infty } \int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x$$2.性质反常积分的基本性质包括线性性质、比较性质和底比复.其中比较性质是判断反常积分收敛与否的重要方法，其主要内容为：比较定理：设$0\leq f(x) \leq g(x)$,$a\leq x\leq b$,则有$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$$比较判别法：设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负，则有a.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)} < +\infty $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；b.如果$\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，且 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} > 0 $，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

反常积分计算

反常积分计算昨天我的老师上了一堂“反常积分计算”，他主要是说用反常积分计算。

在那堂课里他让我们理解了许多关于反常积分计算的原理和概念，让我明白了为什么反常积分计算会很复杂。

但它也让我从中学到了很多知识，接下来就让我为你讲讲吧！首先我们来讲一下什么是反常积分计算。

当y趋向于无穷大时，dx^2y=0；当x趋向于无穷小时， dy=1。

而这个原理其实也很简单，就是说，如果我们将某个函数f(x)写成f(x) =dx^2y，当x越来越大，这个函数值就变得越来越小，而当x越来越小，这个函数值就越来越大。

其实反常积分计算的根本原因就是上面的这个道理，反常积分计算的目的也是通过变形使得这个函数值的改变跟x趋近于无穷大时函数值的改变相反。

还有就是用这个方法去解决比较难的积分。

反常积分计算是应用于比较高阶的微积分，比如在数列或者复数函数的极限等方面。

就像数列的求导或者对复数求导之类的，需要做出很繁琐的步骤，但是最后的结果是一样的。

这些其实都是反常积分计算的一个应用。

就像求数列和求复数的导数其实都是反常积分计算的应用。

还有反常积分计算的另外一个重要应用就是解析几何。

所以我们要做好一切准备工作，特别是针对我们这些还没学过反常积分计算的同学，我们要先找到有什么办法可以计算反常积分计算。

然后我们要把有什么反常积分计算的方法弄清楚。

比如无穷级数的收敛性问题、反常积分计算与无穷级数收敛性的区别，解析几何的有关问题等等，这些我们都要先搞懂。

还有，我们还要做好相关资料的搜集，像课本上的积分表、定理表、一些反常积分计算的例题，甚至是书上的练习题，只要能够帮助我们提升的都要做好。

比如一些求极限的资料，比如用到幂级数、解析几何、韦达定理之类的都要积累起来。

因为我们会发现，其实反常积分计算和无穷级数是密不可分的，我们在做反常积分计算的时候，很多地方都是通过无穷级数的方法来求解的。

所以我们一定要准备好这两种方法，而且要知道两者的区别。

不过现在好像对我们也不太管用，毕竟我们都没有学过无穷级数。

反常积分收敛才能使用积分定理

反常积分收敛才能使用积分定理反常积分收敛是一种关于积分的特殊概念，在数学领域中占据着重要的地位。

而要使用积分定理，首先必须确保反常积分的收敛性，这是一个基本条件。

本文将从此角度出发，深入探讨反常积分的收敛性对于使用积分定理的必要性，并根据此主题展开详细的讨论。

一、反常积分的概念及收敛性的重要性1. 反常积分的概念在数学上，当被积函数在给定区间上不是有界函数或者被积区间为无界区间时，传统的定积分无法直接求解。

这时候就需要引入反常积分的概念，来解决这类特殊情况下的积分计算问题。

2. 反常积分收敛的必要性反常积分的收敛性是指在积分区间上，被积函数在无穷远处趋于零并且积分结果存在有限值。

只有在反常积分收敛的情况下，才能够确保积分值的存在性和唯一性。

保证反常积分的收敛性是使用积分定理的前提条件之一。

二、如何判断反常积分是否收敛1. 收敛性判别法判断反常积分的收敛性有多种方法，常用的包括比较判别法、极限判别法、绝对收敛和条件收敛等。

这些方法在数学上都有严格的数学证明，可以有效地判断反常积分的收敛性。

2. 反常积分收敛的充分条件对于一般的反常积分，如果函数能够在积分区间上趋于有界，且不存在无穷间断点，那么该反常积分就是收敛的。

这是反常积分收敛的重要充分条件。

三、反常积分收敛与积分定理的关系1. 积分定理的应用范围在实际问题中，经常会遇到利用积分定理来求解曲线下面积、质心、转动惯量等问题。

而积分定理的使用范围包括了常规定积分和反常积分两种情况。

保证反常积分的收敛性对于使用积分定理来解决实际问题至关重要。

2. 反常积分收敛对积分定理的影响如果反常积分收敛，那么根据积分定理可以方便地求解出曲线下面积等问题；反之，如果反常积分发散，那么积分定理就无法适用。

反常积分的收敛性直接影响着积分定理的使用，是积分定理的前提条件之一。

四、个人观点与理解在数学领域中，反常积分的收敛性是使用积分定理的基本前提，对于保证积分定理的有效性至关重要。

数学分析(下)11-1反常积分概念

§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。

11-1 反常积分概念

速度 v0 至少要多大？
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解设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R 处火箭所受的引力为
F mgR x
2 2
,
R 处需作功
于是火箭从地面上升到距地心为 r
R
r
mgR x
2
2
d x mgR
2
1 1 . R r
v 2 g(h x ) .
在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足 π R 2 d x v π r 2 d t , 因此
dt r R
2 2
2g h x
dx , x 0 , h.
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于是流完一桶水所需时间为
t
0 r2
h
R
2
2g h x
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当 r
时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的积分
2 2

R
m gR x
2
d x lim
r

r R
m gR x
2
dx m gR .
由机械能守恒定律可求初速度
1 2 m v0 m gR . 2
v0
u a

F ( b ) lim F ( u ).
例4 计算瑕积分 0 ln x d x . 解
1
0 ln x d x 的瑕点为 0. 因此,
1 1

1
0 ln x d x lim x ln x d x 0
1
lim 0 ln 0

反常积分

第十一章反常积分§1 无穷限反常积分概念教学目的：掌握无穷限反常积分的概念，反常积分的收敛与发散的判别法。

重点难点：反常积分的收敛与发散的判别法。

教学内容：前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分⎰badx x f )(从不同方面予以推广.例如，将区间[]b a ,推广到无限区间(][)()+∞∞-+∞∞-,,,,,a b ，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间[]b a ,的有界函数)(x f 推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等. 一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题．引例1求曲线21y x=和直线1x =及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积？解：曲边梯形的面积可看做21d xA x +∞=⎰其含义可理解为211d 1limlim 1lim 11bbb b b x A x x b →+∞→+∞→+∞⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭(图11—1)，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度0v 至少要多大？设地球半径为R ，火箭质量为m,地面上的重力加速度为g 。

按万有引力定律，在距地心)(R x ≥处火箭所受的引力为.22x mgR F = 于是火箭从地面上升到距离地心为)(R x >处需作的功为).11(222r R mgR dx x mgR rR-=⎰ 当+∞→r 时，其极限mgR 只就是火箭无限远离地球需作的功．我们很自然地21y x =A1会把这极限写作上限为∞+的“积分”： .lim 2222mgR dx x mgR dx x mgR r R r R==⎰⎰+∞→∞+最后，由机械能守恒定律可求得初速度0v 至少应使.2120mgR mv =用)(10371.6)/(18.962m R s m g ⨯==，代人，便得 )./(2.1120s km gR v ≈=相对定积分(不妨称之为正常积分)而言，上面两例分别提出了两类反常积分. 二无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim， (1)则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ⎰+∞=)(， (1') 并称dx x f a ⎰+∞)(收敛．如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分： .)(lim)(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-= )2(对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：.,)()()(dx x f dx x f dx x f aa ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+= (3) 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值，都和实数a 的选取无关．注2 由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的，因此，f 在任何有限区间),(],[+∞-∞⊂u v 上，首先必须是可积的．注 3 dx x f a ⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．设)(x F 是)(x f 的一个原函数,并记)()(lim x F F x +∞→=+∞, )()(lim x F F x -∞→=-∞则无穷积分可表示为⎰+∞a dx x f )(=)()()(a F F x F a -+∞=+∞ ⎰∞-bdx x f )(=)()()(-∞-=∞-F b F x F b⎰+∞∞-dx x f )(=)()()(-∞-+∞=+∞∞-F F x F即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是)(+∞F 与)(-∞F 是一种极限运算,当极限存在时, )(+∞F 与)(-∞F 表示极限值,当极限不存在时)(+∞F 与)(-∞F 只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限)(+∞F 与)(-∞F 是否存在. 显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.例1 计算下列无穷积分（1）dx x ⎰+∞∞-+211 （2）dx e x ⎰+∞-0 （3）⎰+∞-02dx xe x （4）dx x x e ⎰+∞2)(ln 1 解: （1）dx x ⎰+∞∞-+211=+∞∞-x arctan =x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→- =πππ=--)2(2（2）dx e x ⎰+∞-0=+∞--0xe =0)(lim e e x x +--+∞→=1（3）⎰+∞-02dx xe x =21-)(022⎰+∞--x d e x =∞+--0221xe =)21(lim 2x x e -+∞→-+21=21 （4）dx x x e⎰+∞2)(ln 1=x d x e ln )(ln 12⎰+∞=ex∞+-ln 1=ex x ln 1ln 1lim++∞→=1例2 讨论无穷积分 ⎰∞+1p xdx)4( 的收敛性．解由于{,1),1(11,1,ln 11≠--=-=⎰p u p p u up p xdx{1,11,11l i m >-≤∞++∞→=⎰p p p up u xdx 因此无穷积分(4)当户>1时收敛，其值为11-p ；而当1≤p 时发散于.∞+ 例3 讨论下列无穷积分的收敛性： ;)(ln )12⎰∞+p x x dx.1)22⎰∞+∞-+x dx （2d 0?1x x x +∞-∞=+⎰对吗）解 1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来．对于本例来说，就有 .)(ln 2ln 2⎰⎰∞+∞+=pp tdt x x dx从例3知道，该无穷积分当1>p 时收敛，当1≤p 时发散． 2)任取实数a ，讨论如下两个无穷积分： ⎰∞-+a x dx 21 和 .12x dxa +⎰∞+由于,2arctan )arctan (arctan lim 1lim2π+=-=+∞→-∞→⎰a u a x dxu au u,arctan 2)arctan (arctan lim 1lim 2a a v x dxv va n -=-=++∞→+∞→⎰π因此这两个无穷积分都收敛．由定义1， .111222π=+++=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-a s x dxx dx x dx注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质，否则会出现错误。

数学分析反常积分113瑕积分的收敛判别法

单调性
如果函数在瑕点附近单调，则瑕积分收敛。
3
有界性
如果函数在瑕点附近有界，则瑕积分收敛。
瑕积分的收敛性质与积分区间的关系
01
积分区间长度
积分区间长度有限时，瑕积分收敛。
02
积分区间端点
03
积分区间形状
积分区间端点处的函数值不影响瑕积分收敛性。
积分区间形状不影响瑕积分收敛性。
瑕积分的收敛性质与积分变量的关系
积分变量范围
积分变量范围有限时，瑕积分收敛。
积分变量变化趋势
积分变量变化趋势不影响瑕积分收敛性。
积分变量与瑕点的关系
积分变量与瑕点位置关系不影响瑕积分收敛性。
05
瑕积分的收敛判别法的应用
在解决数学问题中的应用
判断反常积分的收敛性
01
通过使用瑕积分的收敛判别法，可以判断反常积分是否收敛，
从而确定积分的值或其不存在性。
解决物理中的反常现象
有些物理现象可以归结为反常积分的问题，通过应用瑕积分的收敛判别法，可以深入理解这些现象的内在机制。
建立物理模型的边界条件
在建立物理模型时，边界条件的确定非常重要，而瑕积分的收敛判别法可以为确定边界条件提供重要的依据。
在解决工程问题中的应用
分析工程的稳定性
在工程设计中，系统的稳定性是非常重要的，而瑕积分的收敛判别法可以用来分析系统的稳定性，如振动分析、流体动力学
分类
反常积分可以分为两种类型，即无穷积分和瑕积分。
瑕积分的定义
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的某点$c$处不连续，且$f(x)$在$[a, c]$和$[c, b]$上的积分都存在，则称这个定积分为瑕积分。

反常积分的知识点总结

反常积分的知识点总结一、反常积分的概念和性质1. 反常积分的定义反常积分是指在某些情况下，定积分的积分区间非有限区间，导致积分结果不存在或者收敛性不足的积分。

具体来说，若被积函数 f(x) 在积分区间内存在无穷大或者间断点，则定积分就无法进行，这时需要使用反常积分来进行求解。

反常积分可以分为第一类反常积分和第二类反常积分两种。

第一类反常积分指的是区间端点处的函数值为无穷大或定义间断的情况。

第二类反常积分则是函数在积分区间范围内的某一点发散的情况。

2. 反常积分的分类反常积分根据积分区间的不同性质可以分为以下几种情况：（1）无穷区间上的反常积分当被积函数在整个实数轴上无穷大或者间断时，就出现了无穷区间上的反常积分。

（2）有限区间上的反常积分当被积函数在积分区间内的某一点为无穷大或者不连续时，就出现了有限区间上的反常积分。

3. 反常积分的性质反常积分具有一些特殊的性质，这些性质对于理解和处理反常积分都具有重要意义。

（1）线性性质反常积分具有线性性质，即两个反常积分的和或差仍然是反常积分。

（2）可加性对于有限区间上的反常积分，如果将积分区间进行分割，可加性成立，即将积分进行分割后分别积分再求和等于整体积分。

（3）定积分收敛性的判定若函数在区间端点处的正负极限只要有一个是无穷大，则对应的反常积分就发散。

否则，就收敛。

二、反常积分的计算方法1. 无穷区间上的反常积分对于无穷区间上的反常积分，计算方法一般采用积分限的变换，将无穷区间转化为有限区间，然后再进行积分运算。

常用的方法包括极限计算和变量代换等。

极限计算法的基本思路是将无穷区间上的反常积分转化为有限区间上的积分，再利用定积分的性质进行求解。

变量代换法则是利用变量代换将无穷区间变换为有限区间，再进行积分求解。

2. 有限区间上的反常积分对于有限区间上的反常积分，可以采用逐点定义的方法，即将积分区间内的无穷大或间断点分别处理，再将结果求和，从而得到整体的反常积分结果。

反常积分收敛定义

反常积分收敛定义
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。

但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。

因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。

这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

1、反常积分= Improper Integral
就是不属于平常的积分，具体体现在两方面：
第一方面：积分上限、或下限、或同时上限或下限，是正无穷大或负无穷大；
另一方面：积分区域包含奇点(singlarity)，也就是被积函数出现无穷大的情况。

2、A的上限是无穷大、下限是负无穷大；D的上限是正无穷大，它们属于反常积分。

当x = 0，B的被积函数为无穷大，左极限是负无穷大，右极限是正无穷大；
当x = -1，C的被积函数是正无穷大，正的原因是-1 的右极限所致。

所以，B、C，也是反常积分。

3、反常积分是不是收敛的判断方法，就是在没有无穷型间断点的区域上积分后，
将积分的上下限代入，若可以直接算就直接算；若不能直接算就取极限，极限
存在就收敛，极限不存在就不收敛。

4、C的积分是arcsinx，代入上限限后，结果是0 -（-π/2）= π/2。

所以，C收敛。

这种方法，就是积分判断法= Integral test 。

反常积分的审敛法

反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。

本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。

一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。

对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)⁡〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。

二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。

常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。

2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)⁡(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。

3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)⁡S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。

反常积分无界点拆开

反常积分无界点拆开一、什么是反常积分？在高等数学中，反常积分是指积分区间无限或者积分函数在某个点处无界的情况。

反常积分的概念是数学分析中的重要概念，其应用广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有着重要的应用。

二、什么是无界点？无界点是指反常积分中的被积函数在某个点处无界，即在该点附近函数值无限增大或减小。

在反常积分中，无界点是一个非常重要的概念，因为它决定了反常积分是否收敛。

三、无界点的分类在反常积分中，无界点可以分为两类：第一类是无穷远点，第二类是有限点。

无穷远点是指当积分区间趋于无穷时，被积函数在某个点处无界。

有限点是指在积分区间内，被积函数在某个点处无界。

四、无界点的拆分在反常积分中，如果存在无界点，我们可以通过拆分积分区间的方式来解决。

具体来说，我们可以将积分区间分为两个部分，使得无界点恰好在分界点处，然后对于每个部分分别进行积分，最后将两个积分结果相加即可。

例如，对于反常积分$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x$$我们可以将积分区间从0到无穷分为两个部分，即$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x+\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x$$然后对于每个部分分别进行积分，得到$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\left.\operatorname{arctan} x\right|_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}$$$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\left.\frac{1}{2}\operatorname{ln}\left(x^{2}+1\right)\right|_{1}^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{ln} 2$$最后将两个积分结果相加，得到$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{ln} 2=\frac{3 \pi}{4}-\frac{1}{2} \operatorname{ln} 2$$五、总结在反常积分中，无界点是一个非常重要的概念，它决定了反常积分是否收敛。

反常积分知识点的总结

反常积分知识点的总结一、反常积分的基本概念（一）反常积分的定义反常积分是指在积分区间上，当被积函数存在无穷限的时候，即函数在积分区间上的某一个或两个端点处存在无穷大或者无穷小的情况，这种积分就称为反常积分。

数学上对函数在无穷限处的性态进行了严格的定义，并分别称为无穷限的反常积分。

反常积分的求解是非常重要的，也是数学中的一个重要工具。

（二）反常积分的类型反常积分主要有两种类型：一是无穷限的反常积分，二是间断点的反常积分。

1. 无穷限的反常积分当被积函数在积分区间有一个端点处无穷或者是无穷小的时候，那么这类积分就是无穷限的反常积分。

2. 间断点的反常积分当函数在积分区间上有一个间断点，且在那个点可能是无穷大，或者是无穷小的时候，这类积分就是间断点的反常积分。

（三）反常积分的性质反常积分具有一些特殊的性质，主要包括：1. 线性性质：对于反常积分，有线性积分的性质，即如果函数f(x)和g(x)在区间[ a, b ]上可积，那么有$\int_{a}^{b} [ f( x )+g( x ) ] dx= \int_{a}^{b} f( x )dx+\int_{a}^{b} g( x )dx$2. 可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么有$\int_{a}^{b} f( x )dx=\int_{a}^{c} f( x )dx+\int_{c}^{b} f( x )dx$3. 绝对收敛性：如果函数在某区间上绝对收敛，则在该区间上的反常积分也是收敛的。

以上是反常积分的基本概念，包括定义、类型和性质。

下面将介绍反常积分的求解方法。

二、反常积分的求解方法（一）无穷限的反常积分的求解方法对于无穷限的反常积分，常见的求解方法包括：1. 极限求解法当被积函数在积分区间上的一个端点处有无穷大或无穷小时，可以通过极限的方式来求解反常积分。

具体步骤如下：（1）将积分转化为某个极限形式；（2）利用极限的相关性质，对极限进行分析和计算；（3）得到反常积分的极限解。

反常积分的概念

反常积分的概念反常积分是指在积分计算过程中出现了一些不符合常规规则和常识的现象。

在数学中，积分是微积分的一个重要概念，通常用来描述曲线下方的面积或者描述某一变量的累积效应。

然而，在一些特定的情况下，积分的计算可能会出现一些反常的现象，这就是反常积分。

反常积分通常分为两类：无界积分和奇点积分。

无界积分是指在积分区间上，被积函数在某些点上的取值趋于无穷大或者在积分区间上存在无界的情况。

奇点积分则是指在积分区间上，被积函数在某些点上存在间断点或者无定义的情况。

在微积分课程中，我们通常会学习到定积分和不定积分。

定积分是指对一个函数在一个区间上的积分，通常用来计算曲线下方的面积。

不定积分则是指对一个函数的积分，求出一个原函数。

在这些常规的积分情况下，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式或者基本积分公式来进行计算。

然而，在一些特殊情况下，我们就需要考虑反常积分的情况。

比如，被积函数在积分区间上存在间断点，导致积分不收敛；或者被积函数在积分区间上存在无穷大的情况，导致积分不收敛。

这就需要我们对反常积分进行特殊的处理。

对于无界积分，我们通常采用极限的方法进行计算。

比如，当被积函数在积分区间上存在无穷大的情况时，我们可以考虑对被积函数进行适当的变换，使之在积分区间上的积分变为有界的，然后再计算极限。

在奇点积分的情况下，通常需要将积分区间分成多个子区间，分别处理每个子区间上的积分，最后将它们的结果进行合并。

这些处理方式都是为了应对反常积分的情况，确保积分的结果是良定义的。

反常积分在实际应用中也有着重要的地位。

在物理学、工程学、经济学等领域，我们经常需要对一些特殊函数的积分进行计算，这就需要考虑到反常积分的情况。

比如，在波动理论中，对于波函数的积分计算就可能会出现反常积分的情况。

在概率论中，对于一些分布函数的积分计算也可能会出现反常积分的情况。

因此，对于反常积分的理解和处理是十分重要的。

在处理反常积分时，我们通常需要先判断积分的收敛性。

反常积分的定义及其计算方法

反常积分的定义及其计算方法数学中的反常积分是一种特殊的积分形式，其定义更为复杂，计算方法也不同于一般积分。

本文将详细介绍反常积分的定义及其计算方法。

一、反常积分的定义反常积分是指无限积分或在某个点附近积分不收敛的积分，即积分区间可能为无限区间，也可能在有限区间内部存在瑕点。

形式化地说：若函数f(x)在区间[a, +∞)上连续但在此区间内的某点x0处不连续，或函数在[a, x0)内连续而在a处不连续，则称在区间[a, +∞)上的积分∫a f(x)dx为反常积分，并记作∫a+∞f(x)dx或∫a f(x)dx（注意，两种记法均表示同一个积分，只是为了书写方便采用不同的形式）。

同样地，若函数f(x)在区间(-∞, b]上连续但在此区间内的某点x0处不连续，或函数在(x0, b]内连续而在b处不连续，则称在区间(-∞, b]上的积分∫b f(x)dx为反常积分，并记作∫-∞b f(x)dx或∫bf(x)dx。

二、反常积分的计算方法反常积分的计算方法可以分为两类：无穷限积分的计算和瑕积分的计算。

1. 无穷限积分的计算对于一般的有限区间内的积分，我们可以通过牢记基本积分公式轻松计算，但是对于无穷限积分，我们需要考虑其极限是否存在，即积分是否收敛。

【定理】如果∫a+∞f(x)dx和∫a+∞|f(x)|dx都收敛（或者都发散），则∫a+∞f(x)dx收敛的充分必要条件是其绝对值|f(x)|在[a, +∞)上可积。

根据上述定理，我们可以将无穷限积分化为以下三类：（1）收敛但不绝对收敛的无穷限积分当无穷限积分∫a+∞f(x)dx收敛但∫a+∞|f(x)|dx发散时，称∫a+∞f(x)dx为收敛但不绝对收敛的反常积分。

此类积分的计算方法为：（2）绝对收敛的无穷限积分当无穷限积分∫a+∞f(x)dx和∫a+∞|f(x)|dx同时收敛时，称∫a+∞f(x)dx为绝对收敛的反常积分。

此类积分的计算方法为：（3）发散的无穷限积分当无穷限积分∫a+∞f(x)dx发散时，称∫a+∞f(x)dx为发散的反常积分。

反常积分-的审敛法

第11章反常积分§11. 1 反常积分的概念一基本内容一、无穷限反常积分定义 1 设函数()f x 在[, )a +∞上有定义，且在任意区间[, ]a u 上可积，如果lim()d uau f x x→+∞⎰存在，则称此极限为()f x 在[, )a +∞上的反常积分，亦称为()f x 在[,)a +∞上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作 ()d af x x+∞⎰．ie ()d lim()d uaau f x x f x x+∞→+∞=⎰⎰:，此时并称 ()d af x x+∞⎰收敛．如果极限不存在，则称 ()d af x x+∞⎰发散．同理可定义 ()d lim()d bbuu f x x f x x-∞→-∞=⎰⎰， ()d ()d ()d a af x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，几何解释如图．()d af x x+∞⎰收敛是指图中阴影区域的面积存在．二、瑕积分定义 2 设函数()f x 在(, ]a b 上有定义，且在点a 的任一右邻域内无界，而在[, ](, ]u b a b ⊂上有界可积，如果 lim ()d buu a f x x+→⎰存在，则称此极限为无界函数()f x 在上(, ]a b 的反常积分，记作 ()d baf x x⎰，ie ()d lim ()d bbauu af x x f x x+→=⎰⎰:，并称 ()d baf x x⎰收敛，否则称其发散．其中a 称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b 为瑕点时，()d lim ()d buaau bf x x f x x-→=⎰⎰．当()f x 的瑕点(, )c a b ∈，则定义()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d u bauu cu cf x x f x x -+→→=+⎰⎰．若, a b 都是()f x 的瑕点，则定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d c uucu au bf x x f x x+-→→=+⎰⎰．二习题解答１讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值 (1)2d x xe x+∞-⎰；解：由于2201d (1)2ux u xe x e --=--⎰，21limd 2ux u xe x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(2)2d x xe x+∞--∞⎰；解：由于22 01d (1)2x u uxe x e -=--⎰21limd 2x ux xe x -→-∞=-⎰而2220d d d 0x x x xe x xe x xe x +∞+∞----∞-∞=+=⎰⎰⎰所以该反常积分收敛，且收敛于0．(3)0x +∞⎰；解：由于21ux ⎛⎫= ⎝⎰，lim 212u →+∞⎛⎫= ⎝．所以该反常积分收敛，且收敛于2．(4) 2 11d (1)x x x +∞+⎰；解：由于22 111111d d (1)1uu x x x x xx x ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 11111ln 1ln ln 2ux u x x u u ++⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭．2 11limd 1ln 2(1)uu x x x →+∞=-+⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于1ln 2-．(5) 2 1d 445x x x +∞-∞++⎰；解：由于 22 0 0111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)228|u x u π=+=+-2 01lim d 445488uu x x x πππ→+∞=-=++⎰，0 022 111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰ 011arctan(21)arctan(21)282|u x u π=+=-+02 1lim d 44584u u x x x ππ→-∞=+++⎰所以该反常积分收敛，且收敛于2π．(6)1sin d x e x x+∞-⎰；解：由于 11sin d [1(sin cos )]2ux ue x x e u u --=-+⎰，11lim sin d 2ux u e x x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(7) sin d x e x x+∞-∞⎰；解：由于 01sin d [1(sin cos )]2uxu e x x e u u =-+⎰，1limsin d ux u e x x →+∞=∞⎰．所以该反常积分发散． (8)1x +∞⎰．解：由于 1ln(u x u =+⎰，1lim u u x →+∞=+∞⎰．所以该反常积分发散．2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 1d ()b p a x x a -⎰；解：由于x a =为瑕点，而11 ()1()11d 11()ln()ln()1p p b p u b a u a p x p px a b a u a p --⎧---≠⎪=--⎨-⎪---=⎩⎰，1 ()11lim d 1()1pb p u u a b a p x p x a p +-→⎧-<⎪=-⎨-⎪∞≥⎩⎰，所以1p <时，该瑕积分收敛，且值为1()1pb a p ---；所以1p ≥时，该瑕积分发散．(2) 1201d 1x x -⎰；解：由于1x =为瑕点，而u2011d [ln(1)ln(1)]12x u u x =+---⎰，u2011lim d 1u x x -→=∞-⎰．所以该瑕积分发散．(3)2x⎰；解：由于1x =为瑕点，而2(1uux x ==⎰⎰，1lim 2uu x -→=⎰．同理21lim 2uu x +→=⎰，所以该瑕积分收敛，且值为4．(4)1x ⎰；解：由于1x =为瑕点，而1u x =⎰，1lim 1uu x -→=⎰所以该瑕积分收敛，且值为1． (5)1ln d x x⎰；解：由于0x =为瑕点，而1ln d 1ln ux x u u u=-+-⎰，1lim ln d 1uu x x +→=-⎰．所以该瑕积分收敛，且值为1-． (6)x ⎰；解：令2sin x t =，则cos dx t t t=⎰⎰2220 02sin d(1cos2)d2t t t tπππ==-=⎰⎰，所以该瑕积分收敛，且值为2π．(7)1x⎰；解：令2sinx t=，则12x tπ=⎰⎰22d tππ==⎰．所以该瑕积分收敛，且值为π．(8)11d(ln)pxx x⎰．解：由于0x=，1为瑕点，又11(ln)111d(ln)ln ln1ppx C ppxx xx C p-⎧+≠⎪-=⎨⎪+=⎩⎰，而1p=时，1limlnlnxx-→=∞，1p<时，11lim(ln)1pxxp+-→=∞-1p>时，111lim(ln)1pxxp--→=∞-所以p R∀∈，瑕积分11d(ln)pxx x⎰发散．3 举例说明：瑕积分()dbaf x x⎰收敛时，2()dbaf x x⎰不一定收敛．解：例如x⎰收敛于2π，但1d1xxx-⎰发散．4 举例说明：积分()daf x x+∞⎰收敛，且()f x在[,)a+∞上连续时，不一定有lim()0xf x→+∞=．解：例如+41sin dx x x∞⎰．因令x=+ +41 11sin d4x x x t∞∞=⎰⎰．所以 +4 1sin d x x x∞⎰收敛，且4()sin f x x x =在[,)a +∞上连续，但lim ()x f x →+∞不存在．5 证明：若 ()d af x x+∞⎰收敛，且lim ()x f x A→+∞=存在，则0A =．证：假设0A ≠，不妨设0A >，因lim ()x f x A→+∞=，所以0M ∃>，()2Ax M f x ∍>⇒>“”．于是()d ()2uMAf x x u M >-⎰，从而lim()d uMu f x x →+∞=∞⎰．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故0A =．6 证明：若()f x 在[,)a +∞上可导，且 ()d af x x+∞⎰与()d af x x+∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：因为()d ()()u af x x f u f a '=-⎰，所以由()d af x x+∞'⎰都收敛知lim ()x f x →+∞存在，故由上一题知lim ()0x f x →+∞=．§11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一基本内容一、无穷限积分的性质由无穷限积分的定义知()d af x x+∞⎰收敛lim()d uau f x x→+∞⇔⎰存在；由极限的柯西收敛准则知lim()d uau f x x→+∞⎰存在0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．定理1()d af x x+∞⎰收敛0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．性质1 若 1 ()d ,af x x +∞⎰ 2 ()d af x x+∞⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1111()()d ak f x k f x x +∞+⎰也收敛，且[] 11111122 ()()d ()d ()d aaak f x k f x x k f x x k f x x+∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰．性质2 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则b a ∀>， ()d af x x+∞⎰与 ()d bf x x+∞⎰同收同发，且()d ()d ()d b aabf x x f x x f x x+∞+∞=+⎰⎰⎰．性质3 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则()d af x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛，且()d ()d aaf x x f x x+∞+∞≤⎰⎰．定义1 如果 ()d af x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰称绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别．由于()()d uaF u f x x=⎰单调上升，所以，()d af x x+∞⎰收敛()()d ua F u f x x⇔=⎰有上界．定理2 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤，则 ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛；而 ()d af x x+∞⎰发散()d ag x x+∞⇒⎰发散．推论 (比较判别法的极限形式)若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim()x f x cg x →+∞=，则(1) 0c <<+∞ ()d af x x+∞⇒⎰与 ()d ag x x+∞⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛； (3) c =+∞时， ()d ag x x+∞⎰发散()d af x x+∞⇒⎰发散．当选用 11d p x x +∞⎰为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，则 1(1) ()p f x x ≤，且1p >时， ()d a f x x+∞⎰收敛；1(2) ()p f x x ≥，且1p ≤时， ()d a f x x+∞⎰发散．定理'3(柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则(1) 0λ≤<+∞，且1p >时， ()d af x x +∞⎰收敛； (2) 0λ<≤+∞，且1p ≤时， ()d af x x+∞⎰发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法此法是对一般无穷限积分的敛散性判别．定理4 (狄立克雷判别法) 若,()()d uau a F u f x x∀>=⎰有界，()g x 在[,)a +∞上单调，且lim ()0x g x →+∞=，则()()a f x g x dx +∞⎰收敛．定理 5 (阿贝尔判别法) 若()d af x x+∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则()()d af xg x x+∞⎰收敛．二习题解答1 设()f x 与()g x 是定义在[,)a +∞上的函数，u a ∀>，()f x 与()g x 在[,]a u 上可积，证明：若2 ()d a f x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，则 ()()d af xg x x+∞⎰与 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰亦收敛．证：(1) 因为t R ∀∈，()2()()0tf x g x -≥，从而()2()()d 0a tf x g x x +∞+≥⎰，即222()d 2()()d ()d 0aaatf x x t f xg x x g x x +∞+∞+∞-+≥⎰⎰⎰．故由判别式为负得()2222()()d 4()d ()d 0aaaf xg x x f x x g x x +∞+∞+∞-≤⎰⎰⎰．即()222()()d ()d ()d aaaf xg x xf x xg x x+∞+∞+∞≤⎰⎰⎰．而 2()d af x x+∞⎰，2()d ag x x+∞⎰收敛，所以 ()()d a f x g x x+∞⎰收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰2()d af x x +∞=⎰2()()d af xg x x +∞+⎰2()d ag x x+∞+⎰，所以2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．证：(2) 因为 2 ()d a f x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，所以22 ()()d 2af xg x x+∞+⎰收敛．而 22()()()()2f x g x f x g x +≤，故 ()()d a f x g x x+∞⎰绝对收敛，亦收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰22 ()d 2()()d ()d aaaf x x f xg x x g x x+∞+∞+∞=++⎰⎰⎰．所以由四则运算知 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．2 设()f x 、()g x 、()h x 是定义在[,)a +∞上的三个连续函数，且()()()f x g x h x ≤≤，证明(1) 若 ()d a f x x +∞⎰， ()d a h x x +∞⎰都收敛，则 ()d a g x x+∞⎰也收敛；证：因为()()()f x g x h x ≤≤，所以u a ∀>，()d uaf x x ⎰()d u ag x x ≤⎰ ()d uah x x≤⎰．而()d af x x+∞⎰， ()d ah x x+∞⎰都收敛，所以 lim()d uau f x x →+∞⎰， lim ()d ua u h x x →+∞⎰都存在，从而 lim()d uau g x x→+∞⎰存在，故 ()d ag x x+∞⎰收敛．(2) 若 ()d af x x +∞⎰ ()d ah x x A+∞==⎰，则 ()d a g x x A+∞=⎰．证：因为 ()d a f x x +∞⎰ ()d ah x x A +∞==⎰所以lim()d uau f x x A→+∞=⎰， lim()d uau h x x A→+∞=⎰，于是由夹逼性定理得 lim()d uau g x x A→+∞=⎰，故 ()d a g x x A+∞=⎰．3 讨论下列无穷限积分的收敛性：(1) 0x +∞⎰；解：因为43lim 1x x →+∞=，而x+∞⎰收敛，故x+∞⎰收敛．(2)1d 1x xx e +∞-⎰；解：因为2lim 01x x x x e →+∞⋅=-，而 2 11d x x +∞⎰收敛，故 1d 1xxx e +∞-⎰收敛．(3)x +∞⎰；解：因为lim 1x =，而1x+∞⎰发散，故x+∞⎰发散．(4) 3 1arctan d 1x xx x +∞+⎰；解：因为23arctan lim 12x x x x x π→+∞⋅=+，而 2 01d x x +∞⎰收敛，故 3 1arctan d 1x xx x +∞+⎰收敛．(5) 1ln(1)d n x x x +∞+⎰；解：当1n ≤时， 1ln(1)d n x x x +∞+⎰发散，当1n >时， 1ln(1)d n x x x +∞+⎰收敛．(6)d (,0)1mn x x m n x +∞>+⎰．解：因为lim 11m n mn x x x x -→+∞⋅=+，所以当1n m -≤时，0d 1mn xx x +∞+⎰发散，当1n m ->时，0d 1mnx x x +∞+⎰收敛．4 讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛： (1)1x ⎰；解：因为12lim 1x x →+∞=，而1x+∞⎰发散，所以1x ⎰发散．又1()2cos14F u x ==-≤⎰，()g x 在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知1x x +∞⎰收敛．综上可知 1x ⎰条件收敛．(2) 2 0sgn(sin )d 1x x x +∞+⎰；解：因为22sgn(sin )111x x x ≤++，而 201d 1x x +∞+⎰收敛，所以 2 0sgn(sin )d 1x x x +∞+⎰绝对收敛．(3)x⎰；解：因为0()cos d sin 1u F u x x u ==≤⎰，而()100g x x =+在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知x⎰收敛．=+，而d 100x x +∞+⎰发散，0d 100xxx +∞+⎰收敛，所以x⎰发散，综上可知0x⎰条件收敛．(4)ln(ln )sin d ln ex x x x +∞⎰．解：因为()sin d cos cos 2u eF u x x e u ==-≤⎰,ln(ln )()ln x g x x =在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知ln(ln)sin dlnexx xx+∞⎰收敛．又2ln(ln)ln(ln)ln(ln)ln(ln)sin sin cos2ln ln2ln2lnx x x xx x x x x x x≥=-，而ln(ln)dlnexxx+∞⎰发散，ln(ln)cos2dlnexx xx+∞⎰收敛，所以ln(ln)sin dlnexx xx+∞⎰条件收敛．5 举例说明，()daf x x+∞⎰收敛时，2()daf x x+∞⎰不一定收敛；()daf x x+∞⎰绝对收敛时，2()daf x x+∞⎰也不一定收敛．证：例如()f x1()df x x+∞⎰收敛，但221 1()df x x x+∞+∞=⎰⎰发散．又如345345333100,221,()1,11 01,(1)xn x n n x n nnf xn x n n x n nnx n nn n ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫+-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎨⎡⎤⎪-++∈+⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎛⎫⎪∈-+-⎪⎪-⎝⎭⎩，如图．则23331111()d231236f x x nnπ+∞=⋅+⋅++⋅+=-⎰，所以 1()d f x x+∞⎰收敛且为绝对收敛．但21()df x x+∞⎰发散．6 证明：()daf x x+∞⎰若绝对收敛，且lim()0xf x→+∞=，则2()daf x x+∞⎰必定收敛．证：因为lim()0xf x→+∞=，所以110,,()1M a x M f x ε∀>∃>∍>⇒≤“”，于是1x M >时，2 ()()f x f x ≤，又()d af x x+∞⎰收敛，就上述ε，2M a ∃>，21122,()d u u u u M f x x ε∍>⇒<⎰“”取12max{,}M M M =，则12,u u M >时，22112()d ()d u u u u f x x f x x ε≤<⎰⎰，故 2 ()d af x x+∞⎰收敛．7 证明：若()f x 是[,)a +∞上的单调函数，且 ()d a f x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：不妨设()f x ，则[,),()0x a f x ∀∈+∞≥．实因假设00[,),()0x a f x ∃∈+∞<，则0x x >时，0()()f x f x ≤，从而 000 ()d ()()ux f x x f x u x ≥-⎰，即 0lim()d ux u f x x →+∞=∞⎰，此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾．又由 ()d af x x+∞⎰收敛得 0,M a ε∀>∃>，22()d 2xx x M f t t ε∍>⇒<⎰“”．而221()d ()d ()02x xxx f t t f x t xf x ≥=≥⎰⎰，所以2x M >时，0()xf x ε≤<，于是0()f x ε≤<，故lim ()0x f x →+∞=．8 证明：若()f x 在[,)a +∞上一致连续，且 ()d a f x x+∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：假设lim ()0x f x →+∞≠，则00ε∃>，M a ∀>，0x M ∃>，00()f x ε∍≥“”．因为()f x 在[,)a +∞上一致连续，所以0δ∃>，000()()22x x f x f x εδδ∍<-<⇒-<“”．从而00()()()()2f x f x f x f x ε≥--≥于是M a ∀>，0,x x M ∃>，00()d 24xx f x x x x εεδ∍≥->⎰“”．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故lim ()0x f x →+∞=．9 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法．证：因为 ()d af x x+∞⎰收敛，所以0M ∃>，u a ∀>，()()d uaF u f x x M=≤⎰，即()F u 在[,)a +∞上有界．又()g x 单调有界，所以极限存在．设lim ()x g x A→+∞=，则()lim ()0x g x A →+∞-=，从而由狄氏差别法知() ()()d af xg x A x+∞-⎰收敛．而() ()()d ()()d ()d a aaf xg x x f x g x A x A f x x+∞+∞+∞=--⎰⎰⎰故 ()()d af xg x x+∞⎰收敛．§11. 3 瑕积分的性质与收敛判别一基本内容一、瑕积分的性质设a 为瑕点，由瑕积分的定义知()d baf x x⎰收敛存在lim ()d buu af x x+→⇔⎰，由极限的柯西收敛准则知lim ()d buu af x x+→⎰存在0,0,εδ⇔∀>∃>2112 ,(,)()u u u u a a f x dx δε∍∈+⇒<⎰“”．定理1()d baf x x⎰收敛0,0εδ⇔∀>∃>，2112 ,(,)()d u u u u a a f x x δε∍∈+⇒<⎰“”．性质 1 设 a 为瑕点，若1 ()d baf x x⎰、2 ()d baf x x⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1122()()d bak f x kf x x+⎰也收敛，且[] 11221122 ()()d ()d ()d bbbaaak f x k f x x k f x x k f x x+=+⎰⎰⎰．性质2 设a 为瑕点，则(,)c a b ∀∈， ()d baf x x⎰与 ()d caf x x⎰同收同发，且收敛时，()d ()d ()d bcb aacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰．性质3 设 a 为瑕点，若,()u a f x ∀>在[, ]u b 上可积，则()d baf x x⎰收敛()d baf x x⇒⎰收敛，且()d ()d bbaaf x x f x x≤⎰⎰．定义1 如果收敛 ()d ba f x x⎰，则称 ()d ba f x x⎰绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别．定理2 设a 为瑕点，若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]u b 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤，则 ()d ba g x x⎰收敛()d baf x x⇒⎰收敛，而()d baf x x⎰发散⇒()d bag x x⎰发散．推论(比较判别法的极限形式) 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]u b 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim ()x a f x c g x +→=，则(1) 0c <<+∞时， ()d ba f x x⎰与 ()d bag x x ⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d bag x x⎰收敛()d b af x x⇒⎰收敛；(3) c =+∞时， ()d bag x x⎰发散 ()d ba f x x⇒⎰发散．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]u b 上可积，则(1)1()()pf x x a ≤-且01p <<时， ()d b a f x x ⎰收敛； (2)1()()pf x x a ≥-且1p ≥时， ()d ba f x x ⎰发散．定理 3 (柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]ub 上可积，且lim()|()|p x a x a f x λ+→-=，则(1) 0λ≤<+∞且01p <<时， ()d ba f x x⎰收敛；(2) 0λ<≤+∞且1p ≥时， ()d ba f x x⎰发散．二习题解答1 讨论瑕积分的收敛性(1) 22 01d (1)x x -⎰；解：瑕点为1x =．改写积分为 2 1 2222 0 0 1111d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰．因为 12 01d (1)x x -⎰发散，所以 22 01d (1)xx -⎰发散．(2) 32sin d xxx π⎰；解：瑕点为0x =．因为2lim 1x x →=，而xπ⎰收敛，所以32sin d x xxπ⎰收敛．(3)1x⎰；解：瑕点为0,1x =．因为H 1111lim(1)lim 11x x x x x --→→→-==，而 1 01d 1x x -⎰发散，所以 1x ⎰发散．(4) 10ln d 1xx x -⎰；解：瑕点为1x =．而112H211112ln ln (1)lim(1)lim lim 012(1)x x x xx x x x xx ---→→→--⋅===--，又1x⎰收敛，所以 10ln d 1xx x -⎰收敛．(5) 130arctan d 1xx x -⎰；解：瑕点为1x =．而3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π--→→-⋅==-++，又 1 01d 1x x -⎰发散，所以 130arctan d 1xx x -⎰发散．(6)2 01cos d m xx x π-⎰；解：瑕点为0x =．而21cos 1lim 2m m x x x x +-→-⋅=，所以当21m -<，即3m <时21cos d m xx x π-⎰收敛；所以当21m -≥，即3m ≥时2 01cos d mxx x π-⎰发散．(7)1011sin d x x x α⎰；解：瑕点为0x =．而111sin x x x αα≤，所以当01α<<时， 1 011sin d x x x α⎰绝对收敛；又2α≥时，1111sin xx x αα-≤，而 1101d x x α-⎰发散，所以此时 1011sin d x x x α⎰发散；当12α≤<时，1 011sin d x x x α⎰条件收敛． (8) 0ln d x e x x+∞-⎰．解：积分表为11ln d ln d ln d xxx e x x e x x e x x+∞+∞---=+⎰⎰⎰．就 1 0ln d x e x x-⎰，瑕点为0x =，而120lim ln 0xx x e x +-→⋅=，所以 1ln d x e x x-⎰收敛；就 1ln d x e x x+∞-⎰，因20lim ln 0xx x e x +-→⋅=，所以 1ln d x e x x+∞-⎰收敛．综上可知 0ln d x e x x+∞-⎰收敛．2 计算下列瑕积分的值 (1) 1(ln )d n x x⎰；解：设1 0(ln )d n n I x x=⎰，则1111 0lim(ln )lim (ln )d |n n n n eee e I x x n x x nI ++--→→=-=-⎰，而10 0d 1I x ==⎰，所以 1 0(ln )d (1)!n n x x n =-⎰．(2)1nx ⎰．解：令2sin x t =，则d 2sin cos d x t t t =，于是1212 02sin d nn n I x t t π+==⎰⎰ 22 02sin d(cos )n t t π=-⎰22122202sin cos 22sin cos d |nn t t n t t tππ-=-+⋅⎰212122 04sin d 4sin d n n n t t n t tππ-+=-⎰⎰12()n n n I I -=-，于是 1221n n n I I n -=+，而0I =2 02sin d 2t t π==⎰，所以212(2)!!2(!)2(21)!!(21)!n n n n I n n +=⋅=++．3 证明瑕积分2 0ln(sin )d J x xπ=⎰收敛，且ln 22J π=-，(提示：利用22 0ln(sin )d ln(cos )d x x x xππ=⎰⎰，并将它们相加)．证：瑕点为0x =，而3H 20001sin lim ln(sin )lim lim 2cos x x x x x x x+++→→→=-⋅3201sin lim 02cos x x x x +→=-=，所以2 0ln(sin )d J x xπ=⎰收敛．令2x t π=-知22 0 0ln(sin )d ln(cos )d x x x x ππ=⎰⎰，于是22 0 02ln(sin )d ln(cos )d J x x x xππ=+⎰⎰22 0 0sin 2ln(sin cos )d lnd 2xx x x x ππ==⎰⎰2 0ln sin 2d ln 22x x ππ=-⎰．而令2x t =得201ln sin 2d ln sin d 2x x t t ππ=⎰⎰ 2 0 211ln sin d ln sin d 22t t t t πππ=+⎰⎰ 22 0 011ln sin d ln cos d 22t t t t J ππ=+=⎰⎰．所以ln 22J π=-．4 利用上题结果，证明(1)2ln(sin )d ln 22ππθθθ=-⎰；证：令t θπ=-，则ln(sin )d ()ln(sin )d t t tππθθθπ=-⎰⎰，于是ln(sin )d ln(sin )d 2πππθθθθθ=⎰⎰220ln(sin )d ln 22πππθθ==-⎰．(2) 0sin d 2ln 21cos πθθθπθ=-⎰．证：() 0 0sin d d ln(1cos )1cos ππθθθθθθ=--⎰⎰ln 2ln(1cos )d ππθθ=--⎰2 0 0ln 2ln 2d ln sin d 2ππθπθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ 02lnsin d 2πθθ=-⎰2 04lnsin d t tπ=-⎰2ln2π=．所以 0sin d 2ln 21cos πθθθπθ=-⎰．总练习题111 证明下列等式(1) 110 1d d ,011p px x x x p x x --+∞=>++⎰⎰；证：令1x t =，则21d d x t t =-，于是1111 1112 0 00111d lim d lim d 1111p p p e e e e x x x x t x x t t t ++---→→⎛⎫==⋅⋅-⎪++⎝⎭+⎰⎰⎰1 1 10lim d d 11p p ee t t t t t t +--+∞→==++⎰⎰，所以110 1d d ,011p px x x x p x x --+∞=>++⎰⎰．(2) 10 0d d ,0111p px x x x p x x --+∞+∞=<<++⎰⎰．证：因为01p <<，所以0x =为瑕点．令1x t =，则21d d x t t =-，于是1 0 12 00111d d d 1111p pp x t x t tx t t t t --+∞+∞-+∞=-⋅⋅=+++⎰⎰⎰所以 10 0d d 11p px x x x x x --+∞+∞=++⎰⎰．2 证明下列不等式(1)12π<<⎰；证：1x =为瑕点．而12111lim(1)lim 2x x x --→→-==，所以1⎰收敛．又设sin x t =，则d cos d x t t =，于是12 0π=⎰⎰而1≤≤，所以12π<<⎰． (2)201111d 122x e x e e +∞-⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭⎰．证：因为22lim 0x x x e -→∞=，所以2d xe x+∞-⎰收敛．而2222110 1d d d d x x x xe x e x e x e x+∞+∞----=+>⎰⎰⎰⎰22 11201d d()2x x xe x e x --≥=--⎰⎰1122e =-．222211d d d 1d x x x xe x e x e x xe x+∞+∞+∞----=+<+⎰⎰⎰⎰()22111d 2x e x +∞-=--⎰112e =+．故结论成立．3 计算下列反常积分的值． (1) 0cos d (0)ax e bx x a +∞->⎰；解：01cos d d(sin )axaxebx x e bx b +∞+∞--=⎰⎰1sin sin d ax axa e bx e bx x bb +∞+∞--=+⎰2d(cos )ax a e bx b +∞-=-⎰2 22cos cos d ax ax a a e bx e bx xb b +∞+∞--=--⎰222 0cos d ax a a e bx xb b+∞-=-⎰所以22 0cos d ax ae bx x a b +∞-=+⎰为所求．(2) 0sin d (0)ax e bx x a +∞->⎰；解：方法同上可得22 0sin d ax be bx x a b +∞-=+⎰．(3) 2 0ln d 1xx x +∞+⎰；解： 1 222 0 0 1ln ln ln d d d 111x x xx x x xx x +∞+∞=++++⎰⎰⎰，就 2 1ln d 1x x x +∞+⎰作变换1x t =，则21d d x t t =-，于是20 12222 1 1 0ln ln 1ln d d d 111x t t t x t t x t t t +∞⎛⎫=-⋅-=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 所以 20ln d 01xx x +∞=+⎰． (4)2ln(tan )d πθθ⎰．解：设tan x θ=，则21d d 1x x θ=+，于是2ln(tan )d πθθ⎰2 0ln d 01xx x +∞==+⎰．4 讨论反常积分sin d (0)bxx b x λ+∞≠⎰,λ取何值时绝对收敛，λ取何值时条件收敛．解： 1 0 0 1sin sin sin d d d bx bx bxx x x x x x λλλ+∞+∞=+⎰⎰⎰，就 1 0sin d bxx x λ⎰，当0λ>时，0x =为瑕点．当01λ<<时，sin 1bx x x λλ≤，而 1 01d x x λ⎰收敛，所以当01λ<<时， 1 0sin d bxx xλ⎰绝对收敛．当12λ≤<时，因为10sin sin lim lim 0x x bx bxx b x x λλ-→→==>，而111d xx λ-⎰收敛，所以当12λ≤<时，10sin d bxx x λ⎰绝对收敛．当2λ≥时，因为10sin sin lim lim 0x x bx bxx b x x λλ-→→==>，而111d xx λ-⎰发散，所以当2λ≥时，10sin d bxx x λ⎰发散．就 1sin d bx x x λ+∞⎰，当0λ≤时， 1sin d bxx x λ+∞⎰发散．当01λ<≤时， 1()sin d uF u bx x=⎰在[1,)+∞上有界，1()g x x λ=单调以零为极限，由狄氏判别法知1sin d bxx x λ+∞⎰收敛．而 22sin sin 1cos bx bx bx x x x x λλλλ≥=-，所以 1sin d bx x x λ+∞⎰发散，故 1sin d bxx x λ+∞⎰条件收敛．当1λ>时，因为sin 1bx xx λλ≤，而 1 01d x x λ⎰收敛，所以当1λ>时，1 0sin d bxx x λ⎰绝对收敛．综上可知，当0λ≤时，或2λ≥时， + 0sin d bxx xλ∞⎰发散；当01λ<≤时， + 0sin d bxx x λ∞⎰条件收敛；当12λ<<时， + 0sin d bxx x λ∞⎰绝对收敛．5 证明：设f 在[0,)+∞上连续，0a b <<． (1) 若lim ()x f x k→+∞=，则()()d ((0))ln f ax f bx bx f k x a +∞-=-⎰；证：令ax t =，则 ()()d d A aA a f ax f t x t x t δδ=⎰⎰，令bx t =，则 ()()d d A bA b f bx f t x t x t δδ=⎰⎰，于是 0()()()()d d d aA bA a b f ax f bx f t f t x t t x t t δδ+∞-=-⎰⎰⎰ ()()()()d d d d b bA aA bA a b bA b f t f t f t f t t t t t t t t t δδδδ=++-⎰⎰⎰⎰()()d d b bA a aA f t f t t t t t δδ=-⎰⎰ ()()d d b b a a f y f Ay y y y y ε=-⎰⎰1[()()]d b a f f A yyδξη=-⎰(积分中值定理,,(,)a b ξη∈)[()()]lnbf f A a δξη=-．令0,A δ+→→+∞得 0()()d ((0))lnf ax f bx bx f k x a +∞-=-⎰．(2) 若 ()d a f x x x +∞⎰收敛，则 0()()d (0)ln f ax f bx bx f x a +∞-=⎰．证：由(1)得()()d f ax f bx x x +∞-⎰()()d d b bA a aA f t f t t tt t δδ=-⎰⎰．因()d af x x x +∞⎰收敛，所以由柯西收敛准则得0,M a ε∀>∃>，2112(),d u u f x u u M x x ε∍>⇒<⎰“”．即 ()lim d 0bA aA A f t t t →∞=⎰．故 0()()d (0)ln f ax f bx bx f x a +∞-=⎰．6 证明下述命题(1) 设0a >，()f x 为[,)a +∞上的非负连续函数．若 ()d axf x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰也收敛．证：因为 ()d axf x x+∞⎰收敛，所以所以由柯西收敛准则得0,M a ε∀>∃>，2112,()d u u u u M xf x x a ε∍>⇒<⎰“”．而1()d ()d aa f x x xf x x a +∞+∞<⎰⎰，于是亦有21()d u u f x x ε<⎰．故 ()d af x x+∞⎰收敛．(2) 设0a >，()f x 为[,)a +∞上的连续可微函数，且当x →+∞时，()f x 递减地趋于0，则 ()d af x x+∞⎰收敛的充要条件为 ()d axf x x+∞'⎰收敛．证：()⇒设 ()d af x x+∞⎰收敛，因()d ()()d |aaaf x x xf x xf x x+∞+∞+∞'=-⎰⎰而lim ()0x xf x →+∞=(本章第二节第8题) 所以 ()d axf x x+∞'⎰收敛．()⇐设 ()d a xf x x +∞'⎰收敛，则0ε∀>，M a ∃>，()d AxA x M tf t t ε'∍>>⇒<⎰“”．因为()f x 递减地趋于0，所以()0f x '≤，于是由积分中值定理得()d ()d [()()]AAxxtf t t f t t f A f x ξξ''==-⎰⎰，从而 0[()()][()()]x f A f x f A f x ξε≤-≤-<．又lim ()0A f A →+∞=，所以lim ()0x xf x →+∞=．从而()d ()()d |aaaxf x x xf x f x x+∞+∞+∞'=-⎰⎰()()d aaf a f x x+∞=-⎰，故 ()d af x x+∞⎰收敛．反常积分无限区间上的积分或的积分，这两类积分叫作,又名反常积分.1.无限区间上的积分一般地，我们有下列定义定义6.2设函数在区间上连续，如果极限（）存在，就称上极限值为在上的广义积分.记作即（ 6.24 ）这时我们说广义积分存在或收敛；如果不存在，就说不存在、发散或不收敛.类似地，可以定义在及上的广义积分.（ 6.25 ）其中（ 6.26 ）对于广义积分，其收敛的充要条件是：与都收敛.广义积分收敛时，具有积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.为方便起见，引入记号，这样，若为的一个原函数，则（其中）注意：这里与是独立变化的，不能合并成 .2.无界函数的积分先给出瑕点或奇点的概念，若（或）时，，则点（或点）称为无界函数的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是的瑕点.定义6.3设函数在上连续，左端点为的瑕点，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分.记作（ 6.27 ）这时我们说广义积分存在或收敛.如果不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散.注：表明从大于0的方向趋于0，已经隐含了 .类似地，设函数在上连续，右端点为的瑕点，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分.记作（ 6.28 ）这时我们说广义积分存在或收敛.如果不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散.还有，设函数在上连续，左端点、右端点均为的瑕点，如果及均存在，其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散.对于区间端点、均为的瑕点的广义积分有存在和均存在. 和都存在.其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，另外，设函数在上除一个内部点外连续，且内部点为的瑕点，如果和均存在，也即和都存在，其中与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作（ 6.29 ）如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散.对于内部点为的瑕点的广义积分有存在和均存在.和都存在.广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限.为方便起见，引入记号左端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为右端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为左端点、右端点均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为（为内的一个确定点）（）( 这里的值有时不必马上算出，可对抵掉. )仅内部点为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.。

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第十一章反常积分§1 反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限教学要点——————————————————————————§1 反常积分概念一问题的提出例1在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？解设地球半径为R ，火箭质量为m 地面重力加速度为g ，有万有引力定理，在距地心x 处火箭受到的引理为22()mgR F x x=于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为22211()rRm gR dx m gR xRr=-⎰当r →∞时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功2222limrr RRm gR m gR dx dx m gR xx∞→∞==⎰⎰再由能量守恒定律，可求得处速度0v 至少应使200111.2(/)2m v m gRv km s =⇒=≈例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为h x -时，水从小孔里流出的速度为v =设在很短一段时间t ∆内，桶里水面降低的x高度为x ∆，则有下面关系：22R x v r t ππ∆=∆由此得2,[0,]t x x h ∆=∈所以流完一桶水所需的时间应为22(2()hf Rt dx rg h x =-⎰但是，被积函数在(0,]h 上是无界函数，，所一我们取22lim (2()lim uf u hu hRt dxrg h x --→→=-==⎰相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。

二两类反常积分的定义无穷限反常积分的定义⎰=AaA F )(，⎰+∞-+∞=aa F F f )()(.无穷限反常积分几何意义例1 ⑴ 讨论积分⎰+∞+021xdx,⎰∞-+021xdx,⎰+∞∞-+21xdx的敛散性 .⑵ 计算积分⎰+∞++0252x xdx.例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴⎰+∞1pxdx; ⑵⎰+∞2)(lnpx x dx .例3 讨论积分⎰+∞axdxcos 的敛散性 .二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点）1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈ 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分⎰-121x dx 的敛散性 .例10 讨论瑕积分⎰>1) 0 ( q xdx q的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞pxdx的敛散性 .2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有⎰⎰∞+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====baab xb t dt t t b f dx x f 12111)(,3. 把瑕积分化成了无穷积分;设0>a , 有⎰⎰⎰∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====aaaxt tdtt g tdt t g dx x g 01122111 )(，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 .例11 证明瑕积分⎰11sin1dx xxα当2<α时收敛.证明 ⎰⎰∞+-=====1211sin dt tttx α, 由例6 , 该积分当2<α时收敛.§2 无穷积分的性质与收敛判别(一) 教学目的：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．(二) 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．(2)举例说明：当⎰∞adxxf|)(|收敛时，不一定有lim()0xf x→+∞=，由此使学生对柯西准则有进一步的理解．一无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=akdxx kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f)(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )Th 积分⎰+∞adx x f )(收敛εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判敛法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a , )(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+；⎰+∞af =∞+, ⇒⎰+∞ag=∞+. ( 证 )例4 判断积分⎰+∞++0225)1sin(dx xx 的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gf x =+∞→lim.则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag= ∞+时,⎰+∞af =∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1pxdx为比较对象, 即取)(x g =px1.以下a > 0 )设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤px1且p 1>,⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥px1且p 1≤, ⇒⎰+∞af =∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且 λ=+∞→)(lim x f x px . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af =∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx exxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xx p与⎰+∞1cos dx xx p) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sindx x ,⎰+∞12cosdx x ,⎰+∞14sindx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果,积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 . 但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sindx xx却发散.( 参阅例6 )§3 瑕积分的性质与收敛判别:Th ( 比较原则 ) 推论1 ( Cauchy 判别法 )推论2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) 例12 判别下列瑕积分的敛散性 :⑴ ⎰1,ln dx xx ( 注意被积函数非正 ). ⑵ ⎰21ln dx xx .例13 讨论非正常积分⎰+∞-+011dx x xα的敛散性. [1]P330 E13§4 C —R 积分与R 积分的差异:1. )(x f ∈R ],[b a , ⇒ 在],[b a 上)(x f =)1(0; 但)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上有界 . 例如函数⎩⎨⎧≠≥==.1 , 0,, )(n x x n x n x f 但2. )(x f ∈R ],[b a ,⇒|)(x f |∈R ],[b a ,但反之不确. R 积分是绝对型积分.|)(x f |在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 ,但反之不确. C —R 积分是非绝对型积分.3. )(x f ,)(x g ∈R ],[b a , ⇒ )(x f )(x g ∈R ],[b a ;但)(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(x f )(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积. 可见, )(x f 在区间) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(2x f 在区间 ) , [∞+a 上可积.。