安宜高级中学2013-2014学年高一上学期期中模拟数学试题

高一数学期中模拟试卷131103一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,4B =，则A B = ▲ .2．已知集合M ={}1,a -，{}2,aN b =，若{}1M N = ，则M N = ▲3．用列举法表示集合{}2|3log 2,A x x x =-<<∈z ，其表示结果应为 ▲ . 4．满足{}{}1,31,2,3A ⊆Ø的集合的个数为 ▲ . 5．函数lg(4)y x =-的定义域为 ▲ .6．已知函数21(0)()1()(0)3x x x f x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩则((2))f f -= ▲ .7．函数()f x 定义域是R ，有以下判断：① 若()f x 是偶函数，则(3)(3)f f -=； ② 若(3)(3)f f -=-，则()f x 是奇函数；③ 若(2(1)f f >-，则()f x 是R 上的增函数； ④ 若(2)(1)f f >-，则()f x 在R 上不是减函数；其中正确的判断是 ▲ . （填写序号）8．计算：233215()42lg 4lg 278-+++= ▲ . 9．已知0,0a b >>，化简：1224333325()3a b a b --÷-= ▲ .10．函数212()log (4)f x x =-单调增区间为 ▲ .11．函数52y x =+||在区间[5,2]--上的最大值为= ▲ . 12．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为 ▲ . 13．下列命题：①函数1y x=-在其定义域上是增函数； ②函数2(1)1x x y x +=+是偶函数；③函数2log (1)y x =+的图象可由2log (2)y x =-的图象向左平移3个单位得到；④若1.4 1.4141a b=<，则0a b <<； 则上述正确命题的序号是 ▲ .14．函数()23f x ax x =-++在[)1,-+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 ▲二、解答题 (共6道题，计90分) 15．（本题满分14分）设全集U =R ,集合{}|06A x x m =<-<，{}|12B x x =-<<． （1）当2m =-时，求U A B ð；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围； （2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16、（本题满分14分）某公司将进一批单价为7元的商品，若按每个10元销售，每天可卖出100个；若每个商品的销售价上涨1元，则每天的销售量就减少10个.（1） 设每个商品的销售价上涨x 元（0,x x N ≥∈）,每天的利润为y 元，试写出函数()y f x =的表达式，并指明函数的定义域；（2） 当每个商品的销售价定为多少时，每天的利润最大 ? 并求出此最大值.17、（本题满分15分）已知函数121()102()4301log (1)1xx f x x x x x ⎧+≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪->⎪⎩ (1) 画出函数()y f x =的简图（要求标出关键的点、线）； (2) 结合图象，求当()1f x >时，x 的取值范围；(3) 观察图象，若关于x 的方程()f x t =有两个解，求实数 t 的取值范围.18、（本题满分15分）(1) 用单调性定义证明：函数4()f x x x=+在[2,)+∞上是增函数； ⑵ 求函数4()f x x x=+在[6,2]--上的值域.yxO19、（本题满分16分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==. （1）求函数()f x 的解析式；（2）记函数()f x 在区间 [2,1]a a +上的最大值为()g a ，当4a ≥-时，求()g a 的最大值.20、（本题满分16分）如果对于区间I 内的任意x ，都有()()f x g x >，则称在区间I 上函数()y f x =的图象位于函数()y g x =图象的上方.(1) 已知1,a b >> 求证：在(1,)+∞上，函数log b y x =的图象位于log a y x =的图象的上方；(2) 若在区间1[,2]2上，函数()4x f x m =+的图象位于函数1()23x g x x +=-图象的上方，求实数m 的取值范围.高一数学期中考试模拟参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1、{}0,22、{}1,1,2,-3、{}1,2,34、15、{}3|log 24x x ≤<6、177、①④8、89729、2152ab - 10、(,2)-∞11、52 12 13、③④ 14、102a -≤≤二、解答题 (共6道题，计90分) 15．（本题满分14分）解：（1）2m =-时，{}24A x =-<<，{}|12U B x x x =≤-≥或ð ………………2分 所以U A B ð{}|2124x x x =-<≤-≤<或………………4分（2）∵A B =∅ ，∴61m +≤-或2m ≥， ………………7分所以，m 的取值范围是7m ≤-或2m ≥ ………………9分 （3）∵A B A = ，∴B A ⊆ ………………11分∴ 1m ≤-且62m +≥ ………………13分 所以，所求m 的取值范围是41m -≤≤- ………………14分 （注：画数轴略，不画数轴不扣分） 16、（本题满分14分） 解：（1）每个商品的销售价上涨x 元时，每天的销售量则为（10010x -）个， ……2分 每天的利润为(107)(10010)y x x =+--，…………………5分 即：210(730)y x x =-++，其定义域为{}|010,x x x N ≤≤∈…………………7分 (2) 227169010(730)10()24y x x x =-++=--+，…………………10分因为010,x x N ≤≤∈，所以当3x =或4x =时，每天的利润最大，max 420y =…………………13分答：每个商品的销售价定为13元时，每天的利润达到最大，最大值为420元. ……14分 17、（本题满分15分） 解：（1）本小题满分7分. 其中三段图象基本正确各得1分；y 轴上实心点(0,2)和空心点(0,3)、端点(1,1)-、渐近线1x =各1分. 有一处标示不清或不正确，扣1分.（2）因为1()112x +>恒成立；令431x -+=得12x =；令12log (1)1x -=得32x =……………………9分结合图象观察，()1f x >时的x 的取值范围是：12x <或312x << …………11分 （3）观察图象知，方程()f x t =有两个解等价于函数()y f x =的图象与直线y t =只有两个交点. 所以实数 t 的取值范围是12t -≤<或3t ≥ …………15分注：漏掉“=”的，有一处扣1分. 18、（本题满分15分） 解：（1）任取12,[2,)x x ∈+∞，设12x x > ………………2分则211212121212444()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-+ =1212124()x x x x x x --⋅………………4分 ∵ 122x x >≥，∴ 120x x ->，124x x >，∴121240x x x x ->………………6分∴12()()0f x f x ->，即：12()()f x f x > 所以，函数)(x f =xx 4+在[2,)+∞上是增函数………………8分（2）由（1）知，)(x f =xx 4+在[2,6]上是增函数 ………………9分而20(2)4,(6)3f f ==，所以对任意0[2,6]x ∈，有0204()3f x ≤≤成立. …………11分 ∴0[6,2]x -∈--，则020()43f x -≤-≤-，即：020()43f x -≤-≤- …………14分函数)(x f =x x 4+在[6,2]--上的值域是20[,4]3--…………15分 （注：证明第1问时，不强调“任意”，扣1分；解第2问时，也可以通过奇函数求得，但要说清理由）19、（本题满分16分）解（1）由题设知，图象的对称轴为直线1x =，可设2()(1)1f x a x =-+， ………3分 由(0)3f =，得2a =，故2()243f x x x =-+……………5分（2）首先，12,1a a a +>∴<，因为图象的开口向上 当1211,a a ->+-即13a <时，所求的最大值2()(2)883g a f a a a ==-+ ……………7分 当1211,a a -≤+-即113a ≤<时，所求的最大值2()(1)21g a f a a =+=+……………9分 ∴2212113()18833a a g a a a a ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩……………………………11分函数()g a 在1[,1)3上单调递增，在1(,)3-∞上单调递减. ………………………13分∴而(1)3,(4)163f f =-=，当4a ≥-时，()g a 的最大值为163 ………………16分20、（本题满分16分）解：(1) 对任意(1,)x ∈+∞，11log log log log b a x x x x b a-=- ……………2分∵1,a b >> ∴0log log x x b a <<， ∴11log log x x b a> ∴log log b a x x > ………5分 ∴在(1,)+∞上，函数log b y x =的图象位于log a y x =的图象的上方； ………6分 (2) 由题设知，对任意1[,2]3x ∈， 1423x x m x ++>-总成立.即：4223x xm x >-+⋅-在1[,2]2上恒成立.…………………8分令2xt =4t ≤≤，22422323log xxx t t t -+⋅-=-+- ……………………11分记22()23log h t t t t =-+-，而22t t -+在4]上是减函数，23log t -在4]上也是减函数 ∴函数22()23log h t t t t =-+-在4]上是减函数…………………14分所以()h t 在4]的最大值为2723log 2h =-+=∴所求实数m 的取值范围象是7.2m > …………………16分。