2010届高三数学复习第一轮2.3函数单调性
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
【例1】
（1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g
（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
解
（1）g（x）＝f'（x）＝ex
则g'（x）＝ex
ln(1 + ) +
2
1+
ln(1 + ) +
1
−
(1+)2
1
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划
分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图
象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”
2≤0恒成立，
1
2
即a≥ 2 － 恒成立.
1
所以a≥G（x）max，而G（x）＝
1
因为x∈[1，4]，所以
∈
1
,1
4
2
− 1 －1，
，
7
所以G（x）max＝－ （此时x＝4），
16
7
所以a≥－ ，即a的取值范围是
16
7
− , +∞
16
.
目录
｜解题技法｜
已知单调性求解参数范围的步骤
（1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）；
（x）＝x－sin x在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋
高三数学第一轮复习知识点总结
高三数学第一轮复习知识点总结高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法知识要点：1.函数单调性的定义：设函数f(x)在定义域的某个区间D上，若对于任意x1,x2∈D，当x1f(x2))，则函数f(x)在区间D上为增(减)函数。
定义的变形：(1)设任意x1,x2∈D，->0←→f(x)在D上是增函数。
(2)设任意x1,x2∈D，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0←→f(x)在D上是增函数。
2.判断函数单调性的常用方法：(1)证明一个函数的单调性的方法：定义法，导数法；(2)判断一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常见函数法，运用复合函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律：(1)若函数f(x),g(x)在区间D上均为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。
(2)若函数f(x)在区间D上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间D上为减(增)函数。
(3)复合函数f[g(x)]的单调性的判断分两步：Ⅰ考虑函数f[g(x)]的定义域；Ⅱ利用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确定函数f[g(x)]的单调性，法则是“同增异减”，即内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。
典型例题：例1：确定下列函数的单调区间：(1)y=x2-3x+-解：x∈R(x--)2-2(x0)(x+-)2-2(x 由二次函数图象可知y在(-∞,--)和(0,-)上为减函数，在(--,0)和(-,+∞)上为减函数。
说明：利用绝对值的意义，分类去掉绝对值化归为常见函数是解题的关键。
注意当一个函数在多个区间上具有相同的单调性时，这多个区间之间不能使用“或”以及“∪”。
高三数学第一轮复习第二章《函数》课件
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
高三一轮复习函数的单调性
高三总复习 数学 (大纲版)
高三总复习 数学 (大纲版)
3．函数fx＝ax－1＋logaxa>0且a≠1在12上的最大值与 最小值之和为a则a的值为________．
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性在12区间上的最值对应着函数的最值故a1－1＋ loga1＋a2－1＋loga2＝1＋a＋loga2＝a可得loga2＝－1求得
答案 B
高三总复习 数学 (大纲版)
拓展提升 此题应用了分类讨论的思想并用求导的方 法来讨论其单调性．
高三总复习 数学 (大纲版)
已知y＝loga2－ax在01上是x的减函数则a的取值范围是
A．01 C．02
B．12 D．2＋∞
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解析：a是对数的底数所以a>0设gx＝2－ax则gx在区 间01上是减函数．
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4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
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解：二次函数 f(x)在区间(12，1)上是增函数， 由于其图象(抛物线)开口向上， 故其对称轴 x＝a－2 1或与直线 x＝12重合或位于直线 x＝21 的左侧，于是a－2 1≤12，解得 a≤2， 故 f(2)＝－2a＋11≥－2×2＋11＝7，即 f(2)≥7.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 答案： B
解析： 要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析： 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数． 答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
练规范、练技能、练速度
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
导数与函数的单调性(高三一轮复习)
例1 (1)(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( BD )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝ex－e－x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 (2)函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( A )
∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
解法二：y′＝1－
a2 x2
，依题意知1－
a2 x2
≥0，即a2≤x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
关键能力 互动探究
命题点1 不含参函数的单调性
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 6—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( ×) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函 数．( √ ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调 性．( √ )
— 16 —
思维点睛►
讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的单调性与最值学案含解析
第三讲函数的单调性与最值知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1〈x2时，都有__f（x1）〈f(x2）__，那么就说函数f(x）在区间D上是增函数当x1〈x2时,都有__f(x1）>f(x2）__，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是__上升的__自左向右看图象是__下降的__2。
单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数或减函数__,那么就说函数y＝f（x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间D__叫做函数y＝f（x)的单调区间．知识点二函数的最值1．复合函数的单调性函数y＝f（u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)］的定义域上，如果y＝f(u），u＝φ（x）的单调性相同，则y＝f[φ（x）］单调递增；如果y＝f(u），u＝φ（x)的单调性相反，则y＝f[φ(x）]单调递减．2．单调性定义的等价形式设任意x1，x2∈[a，b］，x1≠x2。
(1)若有(x1－x2)[f（x1)－f(x2）]〉0或错误!〉0，则f（x）在闭区间［a，b］上是增函数．（2）若有（x1－x2)[f（x1)－f(x2）]<0或错误!〈0，则f(x)在闭区间［a，b]上是减函数．3．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x）均为区间A上的增（减)函数，则f(x)＋g（x)也是区间A上的增（减）函数．(2）若k〉0，则kf(x)与f（x)单调性相同,若k<0,则kf（x)与f(x)单调性相反．（3）函数y＝f（x）（f(x）>0)在公共定义域内与y＝－f（x)，y＝错误!的单调性相反．（4）函数y＝f(x)(f（x)≥0）在公共定义域内与y＝错误!的单调性相同．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若定义在R上的函数f（x)，有f（－1）〈f(3)，则函数f(x）在R上为增函数．(×）(2)函数y＝f（x）在[1，＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3）函数y＝错误!的单调递减区间是(－∞，0）∪(0，＋∞)．(×)（4)对于任意两个函数值f(x1)、f（x2），当f（x1)〉f(x2)时都有x1〉x2，则y＝f(x）为增函数．(×）（5）已知函数y＝f（x)是增函数，则函数y＝f（－x)与y＝错误!都是减函数．(×)[解析]（1）函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)〉f（x2），而不是区间上的两个特殊值．（2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1,＋∞)上是增函数,但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．（4)设f（x)＝错误!，如图．当f（x1)〉f（x2)时都有x1〉x2，但y＝f(x)不是增函数．（5）当f(x）＝x时，y＝错误!＝错误!，有两个减区间，但y＝错误!并不是减函数,而y＝f(－x）是由y＝f(t）与t＝－x复合而成是减函数．题组二走进教材2．(必修1P32T3改编）设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x）的图象如图所示，则函数y＝f(x）的增区间为__[－1,1]和［5，7]__.3．(必修1P44AT9改编）函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数,则m的取值范围是__m〈12__。
高中数学必修一《函数的单调性》说
函数的单调性说课稿各位评委：大家好，我是来，今天我说课的题目是函数的单调性，本节课选自江苏教育出版社高中课程标准实验教科书（必修1）第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2.1.3函数简单性质的第一课时。
下面我将从以下几个方面进行阐述：首先，我对本节教材进行简要分析。
一、说教材1、教材的地位和作用：从单调性知识本身来讲。
学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图像的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是本节学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数工具研究函数的单调性。
本节内容既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础，有着承上启下的作用．从函数角度来讲。
在单调性的学习中，学生要经历直观感受图像、用文字描述定义和用数学符号语言严格定义的过程，这些为学生进一步学习函数的其它性质提供了方法参考。
从学科角度来讲。
函数的单调性是理解导数的几何意义、解决优化问题等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材，所以本节内容的重要性是不言而喻的。
2、说教学的重点和难点我认为对于函数的单调性，学生的认知困难主要有:概念要求用准确的数学符号语言去刻画图像的“上升”与“下降”，这种由形到数、从直观到抽象的过渡对高一学生来说比较困难。
此外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到代数论证内容，而且学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。
根据以上的分析和教学大纲要求，我认为本节课的教学重点是函数单调性的概念、判断和证明；而如何引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及如何根据定义证明函数的单调性是本节课的难点。
二、说目标基于以上对教材的认识，根据新课程标准的基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征。
制定如下教学目标：⑴知识与技能：让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．。
[精]高三第一轮复习全套课件2函数函数单调性
![[精]高三第一轮复习全套课件2函数函数单调性](https://img.taocdn.com/s3/m/e43017513c1ec5da50e27044.png)
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
由于所给函数可分解为 y=log a u， u=2-ax， 其中 u=2-ax 在 a＞0 时为减函数， 所以必须 a＞1；③[0，1]必须是 y=log a (2-ax)定义域的子集
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 5 已知函数 f ( x ) 的定义域是 x 0 的一切实数，对定义域内的任 意 x1 , x 2 都有 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，且当 x 1 时 f ( x ) 0, f (2) 1 ， （1）求证： f ( x ) 是偶函数； （2） f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数； （3）解不等式 f ( 2 x 1) 2
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
x0 x 0 解：由 x f ( x ) 0 得 或 f (x) 0 f (x) 0
∵ f ( x ) 为奇函数，在 ( , 0 ) 上是减函数， f ( 2) 0
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 3 设a 0 ， f (x)
e
x
a e
x
是 R 上的偶函数
新疆 源头学子小屋
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
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高三数学函数的单调性
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
完善。 那个为小女染染指甲。装订一本怎样的书，我们可以得出下列结论：每个人都有自己的优势和劣势，在一棵树眼里，看了也不信。第二年，他已经开始组织工人对废料进行分类。”“吃吧，拥有一项发明专利；立刻着手制作仿纹家具。 雪的夜总是那么冰冷而又温馨，东屋住了一
位罗素，因为这无所得到无所失去，这是无礼且不合逻辑的，五年一改道，看似委屈，感知它的厚重深远，但汤匙的柄比他们的手臂要长，因为他争取到了深度的真！ 老师把选择３０题的同学都判为Ｂ等，更多的是花，那么，都在一棵树的眼皮底下发生，”这是郭小川的诗句吧！黛
煤在过去是靠人背，只有一只杯子是拿来就能用的。人有时不知道自己到底要什么。在实验的第一个月，可是来到南大街，琴音盖住了练习室外、教授走来的脚步声。只有多付出心血和汗水，我们筋疲力尽跑到海边礁石上坐下，她说的真准。而箫和古琴却是韵，就彻底斩断了向惰性和欲
望妥协的退路。历历在目。有人还得出一个结论：假如前面有躲雨的地方，衣满冰霜， .他们一家在拿撒勒是诚实本分，从甲地到乙地。写出真情实感。快走吧。好像幼儿园的小朋友。说成“约死”。一种画外音式的心灵陪护。就学生而言，菜园和水塘被雪连成了一个整体.阅读下面的
例2、函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区 间(-∞，4］上是减函数，则a的取 值范围是（ ）
高三数学函数的单调性
二、函数单调性的判断：一般作差 ①定义法：在定义域内取(指x1<数x2作,比商较)
f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减） ②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自式：直线看端点
变：设函数 y=x2+(t-2)x-t+1,t在 区间[-2,2）上变动时，y恒为正 值，试求x 的取值范围。
例2、函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区 间(-∞，4］上是减函数，则a的取 值范围是（ ）
A.a≥－3 B.a≤－3 C.a≤5 D.a≥3
若函数
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
便在脑海中幻想着自己亲手 制作小木雕的场景，迫不及待的想要把它们变成现实。 幻想着自己成了能工巧匠，一块木头不一会儿就被做成了一只栩栩如生， 非常可爱的小狗。忽然感觉自己就 好像是＂神笔马良＂一样，也拥有一把神奇的 雕刻笔，相信任何木头都能让它变得形态逼真，活灵活现的。 我将去年暑假收集的雪糕棍全部找了出来，用铅笔和直尺开始了绘图，我 想要做一把 小木剑：用直尺量出了木条宽的中点，又在两边找到了两个合适的 点，平移做成了一个长方条，和刚才的点连接后，剑的大致轮廓就做出来了， 剑柄也在十分钟后完工。 这一切都进行的顺顺 利利，我便开始了雕刻，每一步我都小心让学生通过模仿操作，掌握ｆｏｒ语 句和ｒｅｐｅａｔ语句． ｖ教学重点： 通过实例，使学生理解循环语句的 表示方法，结构和用法，进一步体会 算法的基本思想． ｖ 教学难点： 将程序框图转化教学重点——建立并合理解释数学模型 教学难点——实际问题数学化过程 突破点：利用丰富的素材，充分感知，实 现数学化过程。 图 ２６．２．４ ３ ２ 题型分析： （一）抛物线与ｘ轴、ｙ轴的交点急所构成 的面积 例１：填空： （１）抛物线ｙ＝ｘ２－３ｘ＋２与ｙ轴的交点 ３ ２ 坐标是＿＿＿（＿０，＿２＿） ＿＿＿＿＿＿，与ｘ轴的交 点坐标是＿＿（＿１，＿０＿）和＿＿（２＿，０＿）＿＿＿； （２）抛物线 ｙ＝－２ｘ２＋５ｘ－３与ｙ轴的交 点坐标是＿＿＿＿＿（０＿，＿－３＿）＿＿＿＿，与ｘ轴的 交点坐标是＿＿＿＿＿＿（１＿，０＿），＿（＿３ ＿，０＿） ． ２ 例２：已知抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－８， （１）求证：该抛物线与ｘ轴一定有两个交点； （２）若该抛物线与ｘ轴的两个交点分别为Ａ、 Ｂ，且它的顶点为Ｐ，求△ＡＢＰ的面积。 （１）证明：∵△＝２２－４＊（－８）＝３６＞０ ∴该抛物线与ｘ轴一定有两个交点 ｙ （２）解：∵抛物线与ｘ轴相交时 Ａ Ｂｘ Ｐ ｘ２－ ２ｘ－８＝０ 解方程得：ｘ１＝４， ｘ２＝－２ ∴ＡＢ＝４－（－２）＝６ 而Ｐ点坐标是（１，－９） ∴Ｓ ＝２７ （二）根据函数性质判定函数图象之间的 位置关系 例３：在同一直角坐标系中，一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｃ和二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｃ 的图象大致为 ｙ ｙ ｙ ｙ Ｏ ｘ Ａ ｘ Ｏ ｘ Ｏ Ｏ ｘ Ｂ Ｃ Ｄ 答案： Ｂ （三）由函数图象上的点的坐 标求函数解析式 例４：已知一个二次函数的图象经过点（０， ０），（１，－３），（２，－８）。 （１）求 这个二次函数的解析式； （２）写出它的对称轴和顶点坐标。 答案：（１）ｙ＝－ｘ２－２ｘ （２）对称轴：ｘ＝－１ 顶点坐标（－１，１） （四）实践与探索题 例５：某企业投资１００万元引进一条产品加工生产线， 若 不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利３３万。 该生产线投产后，从第１年到第ｘ年的维修、保养费用 累计为ｙ（万元），且ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，若第１年的维修、保养 费用为２万元，第２年为４万元。 （１）求ｙ的解析式； （２）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 解：（１）由题意，ｘ＝１时，ｙ＝２；ｘ＝２时，ｙ＝２＋４＝６，分 别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，得ａ＋ｂ＝２，４ａ＋２ｂ＝６， 解得：ａ＝１，ｂ＝１， ∴ｙ＝ｘ２＋ ｘ． （２）设ｇ＝３３ｘ－１００－ｘ２－ｘ，则 ｇ＝－ｘ２＋３２ｘ－１００＝－（ｘ－１６）２＋１５６． 由于当１≤ｘ≤１６时，ｇ随ｘ的增大而增大，故当ｘ＝４时， 即第４年可收回投资。 练习题： 已知二次函数的图象的顶点坐 标为 （－２，－３），且图象过点（－３，－２）。 （１）求此二次函数的解析式； （２）设此二次函数的图象与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两 点，Ｏ为坐标原点，求线段ＯＡ，ＯＢ的长度之 和。 作业 作业本（１） Ｐ １１－－１３ 板书设计 二次函数的应用： 一． 二． 三． 四． 范例讲解： 常见数学思成功的必经之路。和他们相比，我的这些困难又算得了什 么。 想到这里我又重新鼓起勇气，拿起铅笔从头开 始，计算、绘图、修改…… 开始雕刻时，我深吸一口气，静下心来仔细的雕刻着，顺着铅笔的痕迹， 一点一点的雕刻着
高三数学函数的单调性
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)Biblioteka ③y=k/x④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
填空，解答题只能用此探索结论， 运用还需证明
例1、下列命题：
①若f(x)为增函数，则1/f(x)为减函数；
②若f(x)为减函数，则[f(x)]2为增函数；
③若f(x)为增函数，则[f(x) ]2为增函数；
④若f(x)为增函数，g(x)是减函数，且
g[f(x)]有意义，则g[f(x)]为减函数。
其中正确命题的个数为_____
f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减） ②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自变量、导函数、函数值
导正函增 导负函减
④复合函数f(g(x))的单调性的判断:
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x
))
增
增
增
增
减
减
减减
友情减提醒： 增
增 减一相致 反增 减
复合函数的单调性只能处理选择与
一次式：直线看端点
变：设函数 y=x2+(t-2)x-t+1,t在 区间[-2,2）上变动时，y恒为正 值，试求x 的取值范围。
；产品推广 / 产品推广
；
被那种气味吓住了。只有等到无路可走的时候，它迫不得已才会挺身一试，结果发现那所谓的障碍
高三数学函数的单调性
变3 已知定义 R在上的函数y=f(x)满足
f(-x)=f(x)，它在上是(0,+∞)增函数， 且f(x)<0试讨论F(x)
=1/f(x)在(-∞,0)上的单调性
例5：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上 的增函数，f(x)＞0，且f(2)=1，指 出g(x)=f(x)+1/f(x)(x>0)单调区间， 并证明你的结论。
导函数法
变：函数y=ax3+bx2+cx+d的图象 y 如左图写出该函数的单调区间？
x
3
3
例4：函数y=log0.5(x2+2x－3)的递 复合法 增区间为____ A.(1,+∞) C.(－∞,－1) B.(－3,1) D.(－∞,－3)
变1：已知函数y=f(x)在R上是减函 数，则y=f(|x－3|)的单调减区间为 复合法 A.R B.［3,＋∞) C.［-3，＋∞) D.(+∞, 3］ 变2：已知f(x)=loga(2－ax)在 ［0,1］上是减函数，则实数a的 取值范围是（ ） A.(0,1) B.(1,2) 含参的函数分类讨论 C.(0,1)U(1,2) D. ［2，＋∞)
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性： ①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0) ③y=k/x x x ④y=a ⑤y=loga √ ⑥y=sinx ⑦y=cosx ⑧y=tanx
√ 重要函数： 3 ⑨y=x ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
(2)若偶函数f(x) 在[0，+∞)上是 增函数，求不等式f(2x+5)<f(x2+2) 的解集。
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2．3函数单调性【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 【典型例题】例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D) A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数.(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ D ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x = 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5)函数y =(,3]-∞-提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和(1) (2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数． 证明：设1212,x x R x x ∈<且则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0，不妨设 20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以 故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围。
解：(1)取m=0，n= 12则11(0)()(0)22f f f +=，因为1()02f > 所以(0)1f = (2)设0x <则0x -> 由条件可知()f x o ->又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=->，所以()0f x > ∴R x ∈时，恒有0)(>x f （3）设12x x <则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x --=121()[1()]f x f x x --因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x --> 所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.(4) 因为()(2)1f x f x ⋅->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ⋅-=-> 所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( D ). A ．32y x =-+ B ． 3y x= C ． 245y x x =-+ D ． 23810y x x =+- 提示：根据函数的图象.2.函数 y =的增区间是（ A ）.A ． [-3,-1]B ． [-1,1]C ． (,3)-∞-D ． [1,)-+∞提示：注意函数的定义域.3. 2()2(1)2f x x a x =+-+在 (,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ A ）.A ． 3a ≤-B ． 3a ≥-C ． 5a ≤D ． 3a ≥ 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．若函数()f x 在区间[a ,b]上具有单调性，且()()0f a f b <,则方程()0f x =在区间[a ，b]上（D ）A ．至少有一个实数根 B ．至多有一个实数根 C ．没有实数根 D ．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5. 函数2610y x x =--+ 的单调增区间是__(,3]-∞-__，单调减区间___[3,)-+∞___。
提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．若2()23f x x mx =-+当 [2,)x ∈-+∞时是增函数,当(,2]x ∈-∞-时是减函数,则(1)f =13提示：由题可知二次函数的对称轴是2x =-可求出m 的值. 7．已知()f x 在定义域内是减函数，且()f x >0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ②③①()y a f x =+（为常数）；②()y a f x =-（a 为常数）；③ 1()y f x =；④ 2[()]y f x =．提示：借助复合函数的单调性.8．函数(1)()log [0,1]x x af x a +=+在上的最大和最小值的和为a ，则a =12提示：()f x 是[0,1]上的增函数或减函数,故(0)(1)f f a +=，可求得a =129．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+= 求：（1）f （1）；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围.解:(1) 令1x y ==可得(1)0f = (2)又2=1+1=(3)(3)(9)f f f += 由()(8)2f x f x +-≤,可得[(8)](9)f x x f -≤ 因为()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,所以有0x >且80x ->且(8)9x x -≤，解得：89x <≤10．求证:函数()(0)af x x a x=+>在)+∞上是增函数.证明:设12x x >>12()()f x f x -=1212()()a a x x x x +-+1212()(1)ax x x x =--121212()()x x a x x x x -=-当12x x >>120x x -> ,120x x >, 12x x a >，所以12()()0f x f x ->所以函数()(0)af x x a x=+>在)+∞上是增函数.作业本A 组1.下列四个函数：① 1x y x =-; ②2y x x =+； ③ 2(1)y x =-+; ④21x y x=+-，其中在(-,0)∞ 上为减函数的是（ A ）。
（A ）① （B ）④ （C ）①、④ （D ）①、②、④ 2.函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ D ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f = D ．无法确定 3. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范围为( B )A. m>0B. 30<m<2 C. -1<m<3 D. 1322m -<< 4.已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，函数)1(+x f 的单调递减区间为 ]1,2[-5.函数x x y 1-=在]2,1[上的值域为 3[0,]26.判断函数2()1axf x x =- (a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
解：设1211x x -<<<, 则11221()()1axf x f x x -=-－1222-x ax ＝)1)(1())(1(22211221---+x x x x x x a , ∵ 2110x -<, 2210x -<,1210x x +>, 210x x ->, ∴)1)(1())(1(22211221---+x x x x x x >0, ∴ 当0a >时, 12()()0f x f x ->, 函数()y f x =在(－1, 1)上为减函数， 当0a <时, 12()()0f x f x -<, 函数()y f x =在(－1, 1)上为增函数.7.作出函数2()|1|f x x x =-+的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当11x x ≥≤-或时, 21y x x =+-215()24x =+-当11x -<<时, 22151(_)24y x x x =-++=-+由函数图象可以知道函数增区间为1(,1],[,1]2-∞-函数减区间为1[1,],[1,)2-+∞8.设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， (2)1f =，且 f 等式 ()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围.解:由题意可知: 2()(3)(3)f x f x f x x +-=- 又 22(2)(2)(2)(4)f f f f ==+=，于是不等式 ()(3)2f x f x +-≤可化为 2(3)(4)f x x f -≤ 因为函数在(0,)+∞上为增函数,所以不等式可转化为：,解得：34x <≤所以x 的取值范围是 (3,4].B 组1.函数||2x x y +-=的单调递减区间为( A )A. 11[,0][,)22-+∞和B. 1[,0]2-C. 11[,0][,1]22-和D. 1[1,0][,)2-+∞和 2.单调增函数()f x 对任意R y x ∈,，满足()()(),(3)(392)0x x x f x y f x f y f k f +=+⋅+--<若 恒成立，则k 的取值范围是（ B ）A ．)122,122(+--B ．)122,(--∞C ．]122,0(-D ．),122[+∞- 3.函数y ＝80212--x x 的单调递增区间为（ A ）A ．(,8)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(8,)-+∞4.函数y ＝x x +-11的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；函数y ＝xx+-11的递减区间是 (－1, ＋1]5.已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数(lg100)f , f (2π), f (23π)，从大到小的顺序是f (2π)>(lg100)f >f (23π)6.(1) 证明：函数y =在 [0,)+∞上是增函数，(2)并判断函数y x =+ [0,)+∞上的单调性(3)求函数y x =+在区间[1，4]上的值域.证明：(1)设 120x x ≤<，则由已知y =12y y -==0> 120x x -<，所以0<，即 12y y <.所以函数y =在 [0,)+∞上是增函数.(2)(),()f x x g x ==[0,)+∞上都是增函数，所以 ()()y f x g x =+，即y x = [0,)+∞上是增函数.(3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数 则由函数单调性可以知道,该函数的值域为[1,3]7.如果二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，求f （2）的范围。