2019年(苏教版理科数学)高考三轮考前专项押题练：填空题押题练F组(含答案)
江苏省2019年高考数学三轮专题复习素材：填空题押题练D组(含答案)
填空题押题练D 组1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x 2≤x}，则M∩N＝______.解析 因为N ＝{x|x 2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以M∩N＝{0,1}． 答案 {0,1} 2．复数11＋i＝________.解析 11＋i ＝－＋－＝1－i 2＝12－12i. 答案 12－12i 3．解析 根据对答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________． 解析 设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝2898，易得x ＝12.答案 125．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1,0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c. 答案 a ＞b ＞c6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．解析 根据函数图象变换法则求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π67．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________．解析 利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以， 其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211. 答案 2118．在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析 所求概率P ＝180°－45°290°＝34.答案349．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010， AC ＝305，又CD ＝50， 由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 45°10．对于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________．解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤a x ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min，a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max，利用反比例函数的单调性得－32≤a≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1211．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案 x ＋y －2＝012．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．＝2，分别取DC ，AB 解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC 而BE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222的中点E ，F ，连接AE 、CE 、EF.由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB.＝1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2. 答案 (0，2)13．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB →＋AN →·AM →＝________.解析 根据向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AM →＝9.答案 914．已知函数f(x)＝－xln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|e x－a|＋a22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g(x)的最大值M 与最小值m 的差为32，则a ＝________.解析 因为f′(x)＝－ln x －1＋a≥0在(0，e)上恒成立，所以a≥(ln x＋1)max ＝2.又x ∈[0，ln 3]时，e x∈[1,3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g(x)＝a －e x＋a 22递减，此时M －m ＝a －1＋a22－⎝⎛⎭⎪⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2，3]时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x＋a22，0≤x≤ln a，e x－a ＋a22，ln a ＜x≤ln 3，此时m ＝a22，M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a 22，所以a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52.答案 52。
2019年高考押题卷(三 )试卷
2019年高考押题卷(三)理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分 ）1．已知i 为虚数单位，则复数21i +的共轭复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（ ） A ．[3,2)- B ．[l,2)-C ．(l,2)-D ．(2,3] 3．2018年小华的月工资为7000元，各种用途占比如图1所示，2019年小华的月工资的各种用途占比如图2所示，已知2019年小华每月的旅行费用比2018年增加了525元，则2019年小华的月工资为（ ）A ．9500B ．8500C ．7500D ．7000 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若181212a a a ++=，则13S =（ ）A ．104B ．78C ．52D ．39 5．若曲线()e ()1x f x a x =--在0x =处的切线方程为0x y -=，则实数a =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．已知向量(1,1)=a ，(2,)x =b ，若()-aa b ，则实数x =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2- 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成的，且正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．108．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意为：“已知直角三角形的两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现向该三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在该三角形的内切圆外的概率为（ ）A ．215πB ．2115π-C ．320πD ．3120π- 9．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，过点()1,1P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则||AB =（ ）A ．2BC ．4D ．5 10．已知函数1()e 2e x x f x x =--，若2(3)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3[1,]2-B ．3(,1][,)2-∞-+∞C ．3[,1]2-D ． 3(,][1,)2-∞-+∞ 11．已知某三棱锥的底面是边长为4的等边三角形，侧棱长都相等，高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（ ）A ．481πB ．427πC ．3281πD ．43π 12．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222:1(0)4x y a a Γ-=>上的一点C 作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形OACB 的面积为3，则双曲线Γ的离心率e =（） AB ．3 CD 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）1．已知2()m x y +的展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式的二项式系数的最大值为b ，其中m 为正整数，若158a b =，则m =________________．2．若实数x ，y 满足约束条件41041x y x y y --≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则ln ln z y x =-的最小值为________________．3．已知数列{}n a 的前n 项和*21()n n S a n =-∈N ，设21log n n b a =+，则数列11{}n n b b +的前n 项和n T =________________．4．若501(2)x a a x -=++23452345a x a x a x a x +++，则2a =____________.5．设x ，y 满足约束条件24010210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则23y z x +=+的最大值是____________. 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3122n n S a =-，则3100log a =____________. 7．已知函数1e ,0()21,0x xf x x ax a x -⎧>⎪=⎨⎪++≤⎩（a ∈R ），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22214b a c -=． （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积为52，求b 的值．附加：（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，且(1c o s )3c A C +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =1b =，求ABC △的面积.18．（本小题满分12分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的生活，共享汽车、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．在某景区设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准为每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算），甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12，超过1小时且不超过2小时还车的概率分别为12，14，且两人租车时间都不会超过3小时． （Ⅰ）求甲、乙两人租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人租车费用之和为ξ，求ξ的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 交椭圆C 于两点A 、B ，且0(1,)M y 是线段AB 的中点，直线2l 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线2l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）设函数()ln x f x ax x=-，a ∈R . （1）若函数()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2）若存在2[e e ]x ∈,，使不等式1()4f x ≥成立，求a 的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1(x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3)4ρθπ=-． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=(0)ρ>．（1）将圆C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，射线l 与圆C 交于点(B 不同于点)O ，求OAB △面积的最大值．。
2019年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(三)含解析
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ． 3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<数()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A BC D 【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =后，得到的图象关于y 轴对称，所以关于y 轴对称，即，2ϕπ<，6ϕπ∴=-，选A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A B C 1 D 1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线 其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①()F x=，x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k当x ∈R恒成立，令，，当时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x>()'0G x >；当x =时，()Gx '取到极小值，极小值是0∴函数()f x 和()h x C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(4)(含附加及详细解答)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 复数2＋i1＋i (i 为虚数单位)的模为________．2. 函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________ . 3. 某公司生产A ，B ，C 三种药品，产量分别为1 200箱，6 000箱，2 000箱．为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46箱进行检验，则A 药品应抽取________箱．4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的y 的值为________．5. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0， π6， π4， π3， π2， 2π3， 3π4， 5π6， π.现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为________． 6. “α＝π4”是“cos 2α＝0”的________条件．7. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.则sin α的值为________.8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），kx －x 2（x <1）是R 上的单调增函数，则实数k 的取值范围是________．9. 如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为36，点E 为棱B 1B 上的点，且B 1E ＝2BE ，则三棱锥A 1AED 的体积为________．10. 若直线l ：2x ＋y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且a >0，b >0则ab 的最大值为________．11. 在等比数列{a n }中，a n ＞0且a 1a 3a 5a 7a 9＝32，则a 2＋a 8的最小值是________． 12. 已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]，则满足f (x 0)>f (π6)的x 0的取值范围是________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －2b |＝2|c －a |，则|c ＋2a |的最小值是________． 14. 已知a ≠0，函数f (x )＝e x －a (x ＋1)的图象与x 轴相切．若x >1时，f (x )>mx 2，则实数m 的取值范围是__________________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：（1）EF ＝12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n .（1）求函数f (x )在区间[－π4，π6]上的最大值；（2）设g (x )＝12－f (x )，若sin(2θ－π6)＝13，0<θ<π4，求g (θ)的值．一个游戏盘由一个直径为2 m的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1 m，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.（1）试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；（2）求时间T最短时cos θ的值.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点(2, 2)．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△P AB的面积最小．若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，则称数列{a n }是“容数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2(n ∈N *)，求证：{a n }是“容数列”； （2）设{a n }是各项均不为0的“容数列”． ① 若p <0，求证：{a n }不是等差数列；② 若p >0，求证：当a 1，a 2，a 3成等差数列时，{a n }是等差数列.20. (本小题满分16分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，ax 3＋（b －4a ）x 2－（4b ＋14）x ＋1， 0≤x ≤4，a （log 4x －1）， x >4(a ，b 为常数，且a ≠0)．（1）若b ＝0且f (8)＝1，求f (x )在x ＝0处的切线方程；（2）设a ，b 互为相反数，且f (x )是R 上的单调函数，求a 的取值范围； （3）若a ＝1，b ∈R .试讨论函数g (x )＝f (x )＋b 的零点的个数，并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 021的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P (23，π6)，直线l ：ρcos(θ＋π4)＝22，求点P 到直线l 的距离．C. (选修45：不等式选讲)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a |，若函数f (x )的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE ＝2BF＝2.（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角CEFD的大小．23. 已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，a m，使得a1a2，a2a3，…，a m－1a m，a m a1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值．（1）求f(6)的值；（2）对于给定的正整数n(n＞1)，①当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求f(k)的解析式；②当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求f(k)的解析式．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四) 1. 102 解析： 2＋i 1＋i ＝3－i 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪3－i 2＝94＋14＝102. 2. (－1，2) 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，解得－1<x <2.3. 6 解析：461 200＋6 000＋2 000×1 200＝6.4. 2 解析：由程序框图可知，第一次运行时，输入x ＝5，不满足x ≤0，故x ＝5－3＝2；第二次运行时，x ＝2不满足x ≤0，故x ＝2－3＝－1；第三次运行时，x ＝－1满足x ≤0，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，输出y ＝2.5. 49 解析：当余弦值为正数时，x ＝0，π6， π4， π3，概率为49. 6. 充分不必要 解析：由cos 2α＝0，得2α＝k π＋π2，α＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴ “α＝π4”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7. 13 解析：∵ β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，∴ sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429， ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13.8. [2，3] 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1，k －1≤2，∴ 2≤k ≤3.9. 6 解析：VA 1AED ＝VEA 1AD ＝13S △A 1AD ·AB ＝16SA 1ADD 1·AB ＝16×36＝6.10. 258 解析：|2a ＋b |5＝5，且a >0，b >0，从而2a ＋b ＝5，∴ 5＝2a ＋b ≥22ab ，∴ ab ≤258，当且仅当2a ＝b ，即a ＝54，b ＝52时等号成立，从而ab 的最大值为258. 11. 4 解析：∵ a 1a 3a 5a 7a 9＝32，a n >0，∴ a 5＝2，∴ a 2＋a 8≥2a 2a 8＝4.12. ⎣⎡⎭⎫－π2，－π6∪⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故考虑函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的情形，利用导数可得函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故在⎣⎡⎦⎤0，π2上f (x 0)>f ⎝⎛⎭⎫π6的x 0的取值范围是⎝⎛⎦⎤π6，π2，利用对称性质知，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上， x 0的取值范围是[－π2，－π6)∪⎝⎛⎦⎤π6，π2.13. 20－10 解析：设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OP →＝c ＝(x ，y )，则由|c －2b |＝2|c －a |，得x 2＋(y －2)2＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝10.又|c ＋2a |＝（x ＋2）2＋y 2，∴ |c ＋2a |min ＝20－10.14. (－∞，e －2] 解析：f ′(x )＝e x－a ，依题意，设切点为(x 0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f ′（x 0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ex 0－a （x 0＋1）＝0，ex 0－a ＝0.又a ≠0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1，f (x )＝e x －x －1.由题意，得e x －x －1>mx 2，即e x－x －1x 2>m 在(1，＋∞) 上恒成立．设h (x )＝e x －x －1x 2，x >1，则h ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x 3，x >1.设s (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x >1, ∴ s ′(x )＝(x －1)e x ＋1，x >1，∴ s ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴ s (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∵ s (1)＝3－e >0，∴ s (x )>0即h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∵ h (1)＝e －2，∴ m ≤e －2，即实数m 的取值范围是(－∞，e －2]． 15. 证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG ∥BD .又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC .(7分)(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE .又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC . 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF .又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD .又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵ －π3≤2x ＋π6≤π2，∴ f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1＋32， ∴ f (x )max ＝1＋32.(7分)(2) 由(1)知g (x )＝12－f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∵ sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝13，0<θ<π4，∴ －π6<2θ－π6<π3，∴ cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝223，∴ g (θ)＝sin ⎝⎛⎫2θ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋π3＝26＋16.(14分)17. 解：(1) 过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝OG sin θ＝1sin θ，EF ＝1＋1sin θ，AE ︵＝θ，∴ T (θ)＝AE ︵5v ＋EF 6v ＝θ5v ＋16v sin θ＋16v ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4.(6分)(2) ∵ T (θ)＝θ5v ＋16v sin θ＋16v，∴T ′(θ)＝15v －cos θ6v sin 2θ＝6sin 2θ－5cos θ30v sin 2θ＝－（2cos θ＋3）（3cos θ－2）30v sin 2θ， 记cos θ0＝2，θ0∈[π，3π]，－ ＋故当cos θ＝23时，时间T 最短．(14分)18. 解：(1) 由题意得2c ＝26，且4a 2＋4b2＝1.又c 2＝a 2－b 2，故a 2＝12，b 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(6分)(2) 设点P (x 0，y 0)，其中x 0∈(2，23]，且x 2012＋y 206＝1，又设A (0，m )，B (0，n )，不妨令m >n ,则直线P A 的方程为(y 0－m )x －x 0y ＋x 0m ＝0，则圆心(1，0)到直线P A 的距离为|y 0－m ＋x 0m |（y 0－m ）2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，(8分) 同理，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根，则(m －n )2＝（2y 0）2＋4x 0（x 0－2）（x 0－2）2，又△P AB 的面积为S ＝12(m －n )x 0，所以S 2＝y 20＋x 0（x 0－2）（x 0－2）2x 20＝（x 0－2）2＋82（x 0－2）2x 20，令t ＝x 0－2∈(0，23－2]，记f (t )＝（t 2＋8）（t ＋2）22t 2，则f ′(t )＝t （t ＋2）（t 3－16）t 4＜0在(0，23－2]上恒成立，所以f (t )在(0, 23－2]上单调递减，故t ＝23－2，即x 0＝23时，f (t )最小，此时△P AB 的面积最小，当x 0＝23时，y 0＝0，即P (23，0)．(16分) 19. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *，则{a n }是“容数列”⇔存在非零常数p ，使得(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ， 显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“容数列”．(4分) (2) ① 假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)·d ][a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p <0矛盾，故假设不成立，从而{a n }不是等差数列．(10分) ② 因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p (p >0)，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1(n ≥2)．因为{a n }的各项均不为0，所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ≥2)，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列． 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1a 2＝2，从而a n ＋1＋a n －1a n＝2(n ≥2)，即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，即证．(16分) 20. 解：(1) ∵ f (8)＝1，∴ a ＝2. 又b ＝0，∴ f (0)＝1，∴ f ′(0)＝－14，∴ f (x )在x ＝0处的切线方程为x ＋4y －4＝0.(4分)(2) ∵ y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，且f (x )是R 上的单调函数，∴ 在y ＝a (log 4x －1)中，应该有y ′＝axln 4≤0，故a <0.(5分) 在y ＝ax 3＋(b －4a )x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1中，其中a ＋b ＝0， y ′＝3ax 2－10ax ＋4a －14，导函数的对称轴为x ＝53，故Δ＝100a 2－12a ⎝⎛⎭⎫4a －14≤0，解得－352≤a <0， 即a 的取值范围是[－352，0)．(8分)(3) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <0，x 3＋（b －4）x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1，0≤x ≤4，log 4x －1，x >4，则f ′(x )＝3x 2＋2(b －4)x －⎝⎛⎭⎫4b ＋14(0≤x ≤4)， 其判别式Δ＝4b 2＋16b ＋67>0，记f ′(x )＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ＋－＋当b >0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x ＝1－b 无解，又f (0)＋b ＝1＋b >0, f (4)＋b ＝b >0,f (2)＋b ＝8＋4(b －4)－2⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－152－3b <0， 方程在(0，4)上有两解，方程一共有两个解；(10分)当b <－1时，⎝⎛⎭⎫12x ＋b ＝0有一解x ＝log 0.5(－b )，log 4x －1＋b ＝0有一解x ＝41－b,又f (0)＋b ＝1＋b <0，f (4)＋b ＝b <0， f ⎝⎛⎭⎫12＋b ＝18＋14(b －4)－12⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－34b >0, 故方程在(0，4)上有两解，方程共有4个解；(12分)当－1<b <0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x －1＋b ＝0有一解， 又f (0)＋b ＝1＋b >0，f (4)＋b ＝b <0,方程在(0，4)内只有一解，方程共两解；(14分)当b ＝0时，有x ＝4和x ＝12两解，当b ＝－1时，有x ＝0，x ＝5－102，x ＝16三个解，综上，当b >－1时，g (x )有2个零点； 当b ＝－1时，g (x )有3个零点；当b <－1时，g (x )有4个零点．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)21. A . 解：由题意得矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝(λ－a )(λ－1)．因为矩阵M 有一个特征值为2，f (2)＝0，所以a ＝2.(2分)所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.(10分)B. 解：点P 的直角坐标为(3，3)．(2分)直线l 的普通方程为x －y －4＝0，(4分)从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.(10分) C. 解：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3，所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |.(4分)由题设，得|a 2－2a |<3，解得－1＜a ＜3，即a 的取值范围是(－1，3)．(10分)22. (1) 证明：连结BD ，∵ FB ∥ED ，∴ F ，B ，E ，D 共面．∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AC.又ABCD 为正方形，∴ BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴ AC ⊥平面DBFE ，而EF ⊂平面DBFE ，∴ AC ⊥EF.(4分)(2) 解：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)．由(1)知AC →为平面DBFE 的法向量，即AC →＝(－2，2，0)，又CE →＝(0，－2，2)，CF →＝(2，0，1)，设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1， 则x ＝－12，y ＝1，∴ n ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，1. 设二面角CEFD 的大小为θ，则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝1＋232×22＝22. 又二面角CEFD 为锐角，∴ θ＝π4.(10分)23. 解：(1) 由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意；若∃a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意，综上所述，m 的最大值为2，即f(6)＝2.(2分)(2) 由题意，当n(n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，设A 1＝{1，2，…，n}，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}，显然，∀a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n(n －1)＜n(n ＋1)＜k ，所以从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，∀a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2) ≥k ，不符合题意，所以从集合A 2中选出的a j 必不相邻．因为从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，所以从集合A 2中选出的a j 至多有n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间，所以f(k) ≤2n. ① 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，取一串数a i 为1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，或写成a i ＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n ＋1－i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n)， 此时a i a i ＋1≤n(n ＋2)＜k(1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，所以f(k)＝2n.(5分)② 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n(n ＋2) ≥k ，与题意不符，所以f(k) ≤2n －1，取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n ，或写成a i＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n －i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n －1)， 此时a i a i ＋1≤n(n ＋1)＜k(1≤i ≤2n －2)，a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意，所以f(k)＝2n －1.(10分)。
2019届高考理科数学百校联盟押题卷3套(含解析)
2019届高考全国统一试卷押题卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（ ）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-， 故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确； 对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确； 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点， 则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1A M=-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A MBN A M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种， ∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=． 若A ，B 是函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ） A ．12e- B ．1e -C ．32e-D ．2e -【答案】B【解析】如图，显然PA PB ⋅的模不为0，故当PA PB ⋅最小值为0时，只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ，PB 与函数图象相切，根据对称性，易得45BPD ∠=︒， 设()00,B x y ，当x a ≥时，()2e x a f x -'=，∴()020e 1x a f x -'==，∴02x a =， ∵(),0P a ，∴PD a =，∴BD a =，即()2,B a a ，∴22e a a a -=，∴1a =，∴当1x ≥时，()2e x f x -=，递增，故其最小值为1e -，根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -．故选B ．12．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2233ln ln 3a m n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．15BC ．45D【答案】D【解析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，∴2202220y b mn x a a==--， ∴()3222222222233ln ln 36ln 236ln 333a a b a a a b m n b bb mn mn b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=-++=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1a t b=>，则()322236ln 3f t t t t t =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t -+-+-'==，∴当2t =时，函数()f t 取得最小值()2f ．∴2a b =，∴e =，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:1C x y -=的右焦点为F ，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____． 【答案】1【解析】双曲线22:1C x y -=的1a b ==，∴c)F，设双曲线的一条渐近线方程为y x =，则F到渐近线的距离为1d ==，故答案为1．14．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_______．【答案】24【解析】()()4124144C 2C 2rrrr r r r T x x x ---+==，∴240r -=，∴2r =，∴22214C 224T +==．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，则5a =_____．【答案】32【解析】n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，①则当2n ≥时，1n n a S -=，② -①②得1n n n a a a +-=，∴12n na a += (常数）， 则数列{}n a 是从第二项起，公比2的等比数列，求得214a S ==，∴()2224n n a n -=⋅≥，故()()241 422n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩，当5n =时，54832a =⨯=，故答案为32． 16．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ．若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为209时，实数λ的值为________． 【答案】34或35【解析】设AQ xAC =，∵P ，G ，Q 三点共线，∴可设()1AG AP AQ μμ=+-，∴()1AG AB xAC λμμ=+-， ∵G 为ABC △的重心，∴()13AG AB AC =+，∴()11133AB AC AB xAC λμμ+=+-，∴()13113xλμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相乘得()119x λμμ=-①，∵1sin 21sin 2ABC APQAB AC AS S AP AQ A =△△，920x λ=②，②代入①即()20181μμ=-解得49μ=或59，即35λ=或34，故答案为34或35．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，222b c a +=．（1）求a的值；（2）若1b =，求ABC △的面积． 【答案】（1（2 【解析】（1）由题意，得222b c a +=-．∵2222cos b c a bc A +-=．∴2cos bcA =， ∵π3A =，∴a A == （2）∵a sin sin a b A B =，可得1sin 2B =． ∵a b >，∴π6B=，∴ππ2C A B =--=，∴1sin 2ABC S ab C ==△．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BMD ；（2）当PA =AM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵M ，O 分别为PC ，AC 中点，∴PA MO ∥．∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA ∥平面BMD ．（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ．∵ABCD 为菱形，π3ABC ∠=，∴AH AD ⊥．分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ∴()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P，12M ⎝⎭．∴312AM ⎛= ⎝⎭，()0,2,0BC =，(3,1,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ．由0BC PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得200y y =⎧⎪+=．取1z =，∴()1,0,1=m ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ．∴32sin cos ,AM AM AMθ⋅====⋅m m m ∴直线AM 与平面PBC ． 19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋯⋯，其回归直线y bx a =+的斜率和截距最小二乘估计分别为：1221ˆni i i n ii x y nx y b xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-．参考数据：618440i i i x y ==∑，62125564i i x ==∑．【答案】（1）0.2.9ˆ8y x =+；（2）分布列见解析，1．【解析】（1）由题意，得384858687888636x +++++==，16.818.820.822.82425.821.56y +++++==，616221684406632150.225564663636ˆi i i xy x y b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑．，21.50ˆˆ.2638.9a y bx =-=-⨯=． 故所求线性回归方程为0.2.9ˆ8yx =+． （2）由题意，知X 的所有可能取值为0，1，2．∵()023326C C 10C 5P X ===，()113326C C 31C 5P X ===，()203326C C 12C 5P X ===，∴X 的分布列为∴()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．（12分）已知长度为4的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点M ，N ．若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3．【解析】（1）设(),P x y ，(),0A m ，()0,B n ．∵3BP PA =，∴()()(),3,33,3x y n m x y m x y -=--=--，即333x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，∴434m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又4AB =，∴2216m n +=．从而221616169x y +=．∴曲线C 的方程为2219x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立22219y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()223736910x tx t ++-=． 由()()2236437910t t ∆=-⨯⨯->，可得t <又直线2y x t =+不经过点()0,1H ，且直线HM 与HN 的斜率存在， ∴1t ≠±，∴t 1t ≠±．∴123637tx x +=-，2129937t x x -=．∵()()12121212124111HM HNx x t x x y y k k x x x x +-+--+=+=， ∴()()121212414411x x t x x tx x t +-+=-=+．解得3t =，∴t 的值为3． 21．（12分）已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a ∈R ．（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）(],2-∞．【解析】（1）由题意，知()()()22e 1e e xx xax x a x f x a x x x ---=--='+． ∵当0a <，0x >时，有e 0x ax -<．∴当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>． ∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由题意，当1a =时，不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立．即()e ln 11x x x b x -+-≥恒成立，即ln 11e x x b x x-≤--恒成立． 设()ln 1e xx g x x x =--．则()22221ln 1e ln e x xx x x g x x x x -+=-+='． 设()2e ln x h x x x =+，则()()212e x h x x x x'=++．∵当0x >时，有()0h x '>．∴()h x 在()0,+∞上单调递增，且()1e 0h =>，1ln 202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． ∵函数()h x 有唯一的零点0x ，且0112x <<． ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增． 即()0g x 为()g x 在定义域内的最小值，∴0000ln 11e x x b x x -≤--． ∵()00h x =，得0000ln e x x x x =-，()011*2x <<， 令()e x k x x =，112x <<．∴方程()*等价于()()ln k x k x =-，112x <<． 而()()1e x k x x +'=在()0,+∞上恒大于零，∴()k x 在()0,+∞上单调递增． 故()()ln k x k x =-等价于ln x x =-，112x <<． 设函数()ln m x x x =+，112x <<．易知()m x 单调递增． 又11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，∴0x 是函数的唯一零点．即00ln x x =-，001e x x =．故()g x 的最小值()()000000000ln 111e 1x x x g x x x x x x -=--=--=． ∴实数b 的取值范围为(],2-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线错误！未找到引用源。
2019年江苏省高考冲刺压轴卷 数学试题及解析(Word版,解析版)
2019江苏省高考压轴卷数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、KS5U 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且AB ＝点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.KS5U 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把KS5U 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞），短轴长为． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为3，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．KS5U 解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019年江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】31]． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣3， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是31]．故答案为：31]． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x≤32，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x≤32+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤xx ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x或﹣72≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤12或﹣72≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x公共点为（x 0，y 0），由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得0alnx联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴|OM |1===，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为3d ==，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝22224c a a c ++≥+=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）49．（2）14． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),，∴sinαβ=（﹣∴22249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2111321272714cos α-⋅-=-=﹣，求得14cos α，或14cos α＝-（舍去），综上，cos α 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(sin )(sin cos 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）2k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b，c，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离4||k d ，∴|AB |=，∴12AP AB ＝，∴2244|k ||k |113•2212123APM S AP d k k ∆⋅==++＝＝解得k =19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）0x =（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()022p x xx 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立．变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ，因为2xx +≥=x =， 所以002x x +，从而(20x 0≤，所以0x（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t ==--化为方程：240x y ++=圆的方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长为5= D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．KS5U解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）5；（2）5． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD⊥PD ， 在Rt △PDA 中，AP ==cos ∠DAP ＝AD AP= 所以，异面直线AP 与BC（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF中，可得DF =在Rt △DPF 中，sin ∠DFP＝5PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。
2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(含附加及详细解答,共8套)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x(x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证：（1）平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； （2）MN ∥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.（1）若A ＝5π12，求边c 的大小；（2）若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．（1）求开学第二天选择A餐厅的人数；（2）若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． （1）求a n 和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．（1） 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2） 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围；（3） 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d (c ，d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．C. (选修45：不等式选讲)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角BAB1C平面角的余弦值．23. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．（1）当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3. 102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z |＝14＋94＝102.4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e .5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x <4时，f (x )＝f (x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f (log 23－3)＝f (log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f (log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315. 10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V P ACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立． 12. n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n－⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n .13. 4 解析：y ＝2x x －1－f (x )的零点即为2x x －1＝f (x )的解，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )有四个交点．∵y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f (x )≥0及x >0，得a ≤ex e x 的解集恰为[m ，n ]，设 g (x )＝exe x ，则g ′(x )＝e （1－x ）e x，由g ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，且g (1)＝1，g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝exex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C .又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP . ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP .又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)， 第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M (0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1，即y ＝k ⎝⎛⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0， 则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12，∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n .(2分)b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n －3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大，∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n ＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min .(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f (x )＝ln x ＋2e x，得f ′(x )＝1－2x －xln xxe x，x ∈(0，＋∞)，(1分)∴ 曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e .∵ f (1)＝2e ，∴ 曲线y ＝f (x )切线方程为y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由xe x f (x )>m ，得k >mx－ln x ，令F (x )＝mx－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e ]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e ]上单调递减， ∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e ]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e <m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e ]上单调递减， k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln (－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e ]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e )＝me－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e <m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫me －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1. 令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －xln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －xln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0，∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e x x ＋1>1， ∴ 1－x －xln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)21. A . 解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4，(4分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－1316 16.(10分) B. 解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )， 所以直线l 的普通方程为y ＝3x .(2分)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2]). (4分) 联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6， 由x ∈[－2，2]，则x ＝23，y ＝6(舍去)，故P 点的直角坐标为(0，0)．(10分)C. 证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32) ≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33， 即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.(10分)22. 解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)．(1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010， 所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(4分)(2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)．设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0， 取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝25×2＝105. 易知二面角BAB 1C 为锐角， 所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 由已知得a 3＝70，a 4＝180，所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.(2分)猜想：a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：① 当n ＝2时，结论成立．② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500.将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k －1＋a 2k －1＝－500，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500，故当n ＝k ＋1时结论成立， 根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立．(4分)(2) 将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501.设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501.又a n ＋1＋a n ∈N *，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82. 由a n ＋1＋a n ＝250，解得n ＝3； 由a n ＋1＋a n ＝82，得n 无整数解， 所以当n ＝3时，满足条件．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________． 8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的________条件．10. 已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 3，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (2 019)＝________．11. 设点O ，P ，Q 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a ≥c >0，且3a －b ＋c ＝0，则ac b的最大值为__________． 13. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则S 9的最大值是________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 在区间[a －1，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：（1）AM ∥平面PBC ；（2）平面BDP ⊥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C . （1）求a 的值；（2） 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17. (本小题满分14分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .（1）若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；（2）若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．18. (本小题满分16分)某公司一种产品每日的网络销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．（1）求m 的值；（2）假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.（1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列； （2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )． （1）若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值；（2）若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（3）若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)1. {x |－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3. 6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f (x )＋f (－x )＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (log 23)＋f (－log 23)＝1.8. 2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425.9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m (m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )的周期为4，∴ f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1.11. 5 解析：不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12. 36 解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c ＝c a 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81. 14. 1或0 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a <2时，f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝max {f (a －1)，f (a ＋1)}，又f (x )max －f (x )min＝4，f (x )max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f (x )min ＝f (a －1)，f (x )max ＝f (a ＋1)， ∴ f (a ＋1)－f (a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN .又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC .(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT .∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD .同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC . ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD .∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD .∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC . 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC .(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A <π，∴ sin A ＝63.由于角A 为锐角，得cos A ＝33.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分)17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1，解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e >12.又0<e <1，∴ 12<e <1，即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分)18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6).令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值，故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13，所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分) 20. 解：(1) 函数g (x )的定义域为(－1，＋∞)， g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1，则g (0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f (x )的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h (x )＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x )＝x ＋k ＋1x ＋1.令φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，∵ φ′(x )＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，即h ′(x )在[0，2]上为增函数，∴ h ′(x )max ＝h ′(2)＝k ＋73.∵ h (x )在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x )≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h ′(x )max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73，即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分)(3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e2.∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ，∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2，f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)， 且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e2⊆(f (x )min ，min {f (－1)，f (4)})，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ，∴e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3，所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分) C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5 ＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分) 又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0， 即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124， 所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个． 当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证： （1）BC ⊥平面P AB ；（2）AD ∥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.（1）求a 的值；（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．17. (本小题满分14分)如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；（2）如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求矩阵A .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝22.3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a <7，∴ －6<a <－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13. 55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55.14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以PH ⊥平面ABCD .(4分)。
2019年江苏省苏州市高考数学考前指导卷含答案解析
2019年江苏省苏州市高考数学考前指导卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=．2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．19．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣qb n+1=a n﹣qb n，其中q∈R，n∈N*．（1）若{b n}是公差为2的等差数列，且a1=q=3，求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，a1=3q＜0，且对任意m，n∈N*，a n≠0，都有∈（，6），试求q的取值范围．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．2019年江苏省苏州市高考数学考前指导卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）={5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={5}．故答案为：{5}2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数定义是法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1z2=（1+ai）（3+2i）=3﹣2a+（3a+2）i是实数，∴3a+2=0，解得a=﹣．故答案为：．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=56．【考点】系统抽样方法．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5=12，∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，∴a=16，b=40，∴a+b=56，故答案为：564．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2a3，化为=3=q．故答案为：3．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序执行的结果是什么．【解答】解：i=0＜4，s==，i=1＜4，s==﹣，i=2＜4，s==﹣3，i=3＜4，s==2，i=4，输出s=2，故答案为：2．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0，写出f（x0+），结合诱导公式求值．【解答】解：由f（x）=Asin（2x+φ）+k，∵f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，∴，解得：A=1，k=3．∴f（x）=sin（2x+φ）+3．由f（x0）=2，得sin（2x0+φ）+3=2，∴sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0．则f（x0+）=+3=cos（2x0+φ）+3=3．故答案为：3．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合已知可得SC⊥平面SAB，并求出SC，解三角形求得△ASB 的面积，代入体积公式求得三棱锥的体积．【解答】解：如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=．在△SAB中，由取AB中点D，连接SD，则SD⊥AB，且BD=．∴．∴．故答案为：．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线AC的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|==．故答案为：．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】设=t＞0，变形=+t=+﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设=t＞0，则=+t=+﹣≥﹣=﹣，当且仅当=时取等号．故答案为：﹣．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B 的值．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得：sin2A ﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴解得：sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，∴解得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=0，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．…16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，从而可证BC⊥平面ACEF，进而可证BC⊥AM．（2）设AC与BD交于点N，由AM∥平面BDE，可得四边形ANEM是平行四边形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得，又CE=a，从而可求EN，进而可求AM的值．【解答】证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且，由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF，又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，所以，又CE=a，所以，所以．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意知，，将代入化简即可得出．（2）y′=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：．（2）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增；x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．②当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足19．已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣qb n+1=a n ﹣qb n ，其中q ∈R ，n ∈N *． （1）若{b n }是公差为2的等差数列，且a 1=q=3，求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }是首项为2，公比为q 的等比数列，a 1=3q ＜0，且对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，都有∈（，6），试求q 的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列递推式． 【分析】（1）确定{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，即可求数列{a n }的通项公式；（2）确定a n =2q n +q ，a n ＜0，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q 的取值范围． 【解答】解：（1）由a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ）=2q=6，所以{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，故{a n }的通项公式为．（2）因为，所以，当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2[（q n ﹣q n ﹣1）+（q n ﹣1﹣q n ﹣2）+…+（q 2﹣q ）]+3q=2q n +q ．当n=1时，a 1=3q ，符合上式，所以，因为a 1=3q ＜0，且对任意，故a n ＜0，特别地2q 2+q ＜0，于是，此时对任意n ∈N *，a n ≠0．当时，，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和．由及，解得．综上所述，q 的取值范围为．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．2019年8月1日。
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题江苏卷)+word版含解析
数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则_________________【答案】【解析】，本题正确结果：2．已知复数满足，则________.【答案】【解析】解：因为所以所以.3．甲、乙两位同学的5次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为______．【答案】2【解析】由茎叶图可得：甲的平均成绩为，所以方差为；乙的平均成绩为，所以方差为；因此，所以甲稳定，方差为2.故答案为24．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断是,则实数的取值范围是______．【答案】（36,45]【解析】由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，可得当时，求得，而当时，求得，要使的输出的结果为，判断框应该填入的判断是时，则.5．函数的定义域为______．【答案】【解析】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．6．欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3的圆，中间有边长为1的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．【答案】【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为，所以其面积为，又由中间边长为的正方形，则正方形的面积为，由几何概型的概率公式可得概率为.7．函数的最小正周期为，则函数在内的值域为______．【答案】【解析】函数的最小正周期为，∴，，则在内，，，故答案为：．8．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：9．函数满足，且在区间（-2,2]上，，则的值为_________【答案】1【解析】因为，所以函数的最小正周期为，所以，又在区间（-2,2]上，，所以，所以.故答案为110．如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.11．已知，，若成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，，则，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在为增函数，则，解可得：，即t的取值范围为；故答案为：12．过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】圆C：（xm）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．13．已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ . 【答案】【解析】，，，又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为，填.14．已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．16．已知，为钝角且，．求的值；求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．17．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知，．（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．【答案】(1)，定义域为 (2)见解析【解析】（1）法一：由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为法二：由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小，此时y=答：当点距离点米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低18．椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量.（1）若，求椭圆的标准方程;（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，斜率.【解析】（1）易知，因为，所以为等腰直角三角形，所以b=c，由可知，故椭圆的标准方程为：；（2）由已知得，设椭圆的标准方程为，的坐标为，因为,所以，由题意得,所以，又因为在椭圆上，所以,由以上两式可得，因为不是椭圆的顶点，所以，故，设圆心为，则，圆的半径假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知,所以，即，解得故存在满足条件的直线.19．已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1) 见解析(2) (3)或．【解析】（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．综上，增区间是，无减区间，增区间是，减区间是（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．① 当时，由，，所以有零点．② 当时，若，由，得；若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．③ 当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．20．设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和. 【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得： a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，四边形是圆的内接四边形，，的延长线交的延长线于点.求证：平分.【答案】见解析【解析】借助题设条件设法证明：证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以. 因为，所以.又，，所以，即平分.B.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且，求矩阵．【答案】【解析】由题意，，则．因为10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则．所以矩阵.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】【解析】将直线l的参数方程为化为方程：圆的方程为化为直角坐标系方程：，即，，其圆心，半径为∴圆心C到直线l的距离为∴直线l被圆C截得的弦长为．D.[选修4-5：不等式选讲]设均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】先将式子进行巧妙变形，再借助基本不等式进行推证：证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）所以.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即取x＝3，则＝(3，－，－1)，设直线BE与平面A1DC所成角为sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．23．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次. （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为，因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．。
2019年全国普通高等学校招生统一考试预测卷(江苏卷)数学试题三(解析版)
2019年全国普通高等学校招生统一考试预测卷三（江苏卷）数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．设集合{|||3}{12}{212}U x x x A B =∈==--Z ＜，，，，，，，则()U A B =ð ▲ .答案：{0,1,2} 解析：{}(){}0,1,0,1,2UUB A B =∴⋃=。
2．复数2i(12ia z a -=∈+R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点在坐标轴上，则a = ▲ . 答案：1,4- 解析：()()()21242221255a i i a a ia i z i ----+-===+，对应的点在坐标轴上，就是说它的实部或者虚部为零或者同时为零，所以a =1,4-。
3．已知双曲线的中心在原点O ，焦点在x 轴上，若一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ . 答案：5解析：根据题意得2ba=，那么22145c a b e a a +===+=。
4．在体积为43π的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过12的概率为 ▲ .答案：18解析：设球的半径为r ，那么344,133r r ππ==，该点到球心距离不超过12的概率为341132=483ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
5．如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC ，1111BC AC B C ，，的中点，则水的体积与容器的体积比为 ▲ . 答案：34解析：334=4ABC ABC S hV V S h ∙=∙水容器。
6．如图是一个算法的流程图，运行相应的程序，若输出S 的值为84，则输入正整数x 的值为 ▲ . 答案：2解析：根据题意可得。
7．若函数2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则不等式()0f x ＜的解集为 ▲ . 答案：(1,0)- 解析：奇函数2(0)lg()0,110f a a =+=∴=--， 1()001(1,0)1x f x x x+⇒<<⇒∈--＜。
《押题预测》2019年5月2019届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷(考试版)
12019年第三次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．若复数i(12i)z =-，其中i 是虚数单位，则z =______________. 2．已知集合{|A y y x ==，{1,0,1,2}B =-，那么A B =______________.3．在学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：1.9,1.8,2.3,2.4,2.1（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.4．运行下面的程序框图，如果输入36,15m n ==，则输出的n 的值为______________.5．不等式2lg(1)lg(35)x x +<+的解集为______________.（用区间形式表示）6．已知正六边形123456A A A A A A 的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点(16)i j A A i j ≤<≤、 得到线段，则||{1,2}i j A A ∉的概率为______________.7．现有橡皮泥制作成的圆柱和圆锥各一个，已知它们的底面半径都为r ，高都为2，现在把它们重新捏成一个实心球体，其半径也为r （不计捏合过程中的损耗），则这个实心球体的表面积为______________. 8．若矩形的长和宽分别为，，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.9．已知双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆弧被双曲线四等分，则双曲线离心率的平方为______________.10．已知曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，直线1l 与曲线Γ交于11(,),M x y 22(,)N x y 两点，点3344(,),(,)P x y Q x y 在曲线Γ上，若1234,,,x x x x 均不相等，且MP NQ k k =-，则MN NP PQ QM k k k k +++=______________.11．将函数()f x 的图象向左平移π3个单位后，得到函数2333()cos 4sin 222g x x x x =+的图象，则函数()f x 在π[0,]3上的值域为______________.12．如图，0,||2,||2OA OB OA OB ⋅===，点C 是线段AB上的一个动点，D 为OB 的中点，则DC OC⋅的最小值为______________.i j A A a b213．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222cos cos sin 22a c bB BC -=-，1cos 2A A +的取值范围为______________.14．若存在实数11[,]22a ∈-，使函数()||()(1)f x x x a t a =---有3个不同的零点，则实数t 的取值范围为______________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC . 求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .16．（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且tan A =．（1）求角C 的大小；（2）若2sin cos sin 2sin()A B C A B +=+，1c =，求ABC △的面积． 17．（本小题满分14分）某型号汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时间t (单位：秒)的关系为32510(0)s t k t t t =-⋅++>，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k 的取值范围． 18.（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，上顶点为B ，右焦点为F ，点4(,)(0)3T t t >是椭圆C 上的一点，x 轴上到B ,T 两点距离之和最小的点为右焦点F . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点O 作直线l 交椭圆C 于两个不同的点M ,N ,若点P 是椭圆C 上一点,三角形PMN 是以MPN ∠为顶角的等腰三角形，且36tan =∠PMN ，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）设函数2()(ln 1)(0)f x x a x a =-+>，其中e 为自然对数的底数.（1）求()f x 的极小值；（2）当0a >时，求证：2(e )1a f >． 20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项积为n T ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m T a =，则称数列{}n a 是“R 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项积(1)22n n nT +=(n *∈N )，证明:{}n a 是“R 数列”；（2）设{}n a 是等比数列,其首项13a =,公比为q ．若{}n a 是“R 数列”,求q 的值；（3）证明：对任意的等比数列{}n a ，总存在两个“R 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =⋅（n *∈N ）成立．3数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
2019年【高考快递】江苏省高考数学押题卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5高考原创押题卷(二)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i .棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________. {x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝1－b i ，则(a ＋b i)8＝________. 16 [由a ＋i ＝1－b i 可得a ＝1，b ＝－1，从而(a ＋b i)8＝(1－i)8＝(－2i)4＝16.] 3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2＝________.65[数据160,162,159,160,159的平均数是160，则该组数据的方差s 2＝15(02＋22＋12＋02＋12)＝65.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________．4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据下列的伪代码，可知输出的结果S 为________． i ←1While i ＜100 i ←i ＋2S ←2i ＋3End While Print S205 [该程序的作用是输出满足条件i ＝2n ＋1，n ∈N ，i ＝i ＋2≥100时，S ＝2i ＋3的值．∵i ＋2＝101时，满足条件，∴输出的S 值为S ＝2×101＋3＝205.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13 [设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E -A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图219 [连结B 1D 1，设B 1D 1∩A 1C 1＝F ，再连结BF ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线，又根据B 1F ═∥12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52， 即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1qb 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.]11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2， ∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14， 当x ＝0时，有最大值，最大值为2， 则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363 [设椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12， |BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即 e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc 2的最大值为________．32 [由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos C sin C ，即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos C sin C ，∴sin (B ＋A )sin A sin B ＝cos C sin C ，即sin C sin A sin B ＝cos C sin C，∴sin 2C＝sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c22ab ，整理得a 2＋b 2＝3c 2，∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立．]14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x－4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4)[由题意得，f (x )＝(x －4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧ m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. (1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值．[解] (1)∵α为锐角，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，23π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 4分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋π6＝45. 6分(2)又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos α＋⎭⎪⎫π6＝－35. 8分 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－sin α＋⎭⎪⎫π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝35×45－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝2425.14分16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点．图4(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD . [证明] (1)连结AC 1，设交A 1C 于点O ，连结OD . 2分 ∵四边形AA 1C 1C 是矩形，∴O 是AC 1的中点．在△ABC 1中，O ，D 分别是AC 1，AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.4分又∵OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .6分(2)∵CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 10分∵AP⊂平面A1B1BA，∴CD⊥AP.∵BB1＝2BA，BB1＝AA1，BP＝14BB1，∴BPBA＝24＝ADAA1，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴AP⊥平面A1CD. 14分17．(本小题满分14分)如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(km)，沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.图5(1)求S关于θ的函数关系式；(2)试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos θ的值，若不存在，说明理由．[解](1)在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP的面积S△CDP ＝34CP2＝32(5－3cos θ). 4分又因为△COP的面积S△COP ＝12OC·OP sin θ＝32sin θ，所以S＝S△CDP ＋S△COP－S扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512.6分注：当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512.(2)存在．由(1)知，S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)， 令S ′＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝16.当0＜θ＜θ0时，S ′＞0， 所以当θ＝θ0时，S 取得最大值.10分或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．此时cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝－356，cos θ0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6－π6＝1－10512. 14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，4分所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 6分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23， 10分 则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0， 所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x . 联立⎩⎨⎧ y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 13分 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 16分19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列. 4分设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧ a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n . 6分 (2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2.所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3， 10分当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3.于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2).14分 又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *. 16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎝⎛13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )极值点的个数．[解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ， 即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 4分因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2， 记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0，所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞). 6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号．(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ， 10分所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0，所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点，当a ＜0时，f (x )有三个极值点. 16分。
2019年高考数学押题预测卷江苏卷02(含答案)
绝密★启用前2019年高考数学押题预测卷02（江苏卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
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4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =，若{4}AB =，则实数a =____________．2．已知i 是虚数单位，a ∈R ，若(1i)(i)2a -+=，则实数a =____________．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数分别为9.1，9.3，9.2，x ，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =____________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y 的值为3，则输入的x 的值为____________．2Read If 0Then sin Else2End If Print x x y x y x x y>←←+5．函数()422x x f x =--的定义域为____________．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为____________．7．已知函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(0,4]上，2cos ,023()3log (),242x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则1(())2f f -=____________．8．在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从袋子中随机取2个小球，则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率为____________． 9．若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴之间的距离为2π，则()4f π-=____________． 10．设球与圆锥的体积分别为1V ，2V ，若圆锥的母线长是其底面半径的3倍，且球的表面积与圆锥的侧面积相等，则12V V =____________． 11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，2nnS S 是非零常数，则称数列{}n a 为“和等比数列”．若数列{}n b 是首项为3，公差为(0)d d ≠的等差数列，且数列{}n b 是“和等比数列”，则公差d =____________．12．已知函数21,0()(1),0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，设函数()()()()g x f x f x k k =--+∈R ，若函数()g x 在R 上恰有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为____________．13．已知圆22:1O x y +=，点00(,)P x y 在直线:3240l x y +-=上，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B ，使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围为____________．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b ，c成等差数列，则3sin sin A C+的最小值为____________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11A B B C ⊥，1C C BC =． （1）求证：AB平面11A B C ；（2）求证：平面11A BC ⊥平面11A B C ．16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )αλα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，其中0λ>，02αβπ<<<，且向量+a b 与向量-a b 互相垂直． （1）求实数λ的值； （2）若45⋅=a b ，tan 2β=，求tan α的值． 17．（本小题满分14分）某景区拟规划种植一批菊花，为了美观，将种植区域（区域①）设计成半径为1千米的扇形EAF ，设EAF θ∠=，其中42θππ<<．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域②）和休闲区（区域③），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元． （1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ的值为多少时，种植区、观赏区和休闲区的年总收入最大？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22114:x C y +=，椭圆222221(0):x y C a b a b+=>>，点P在椭圆2C 上，椭圆2C 与椭圆1C 1，且椭圆2C 与椭圆1C 的离心率相同． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）①射线PO 与椭圆1C 依次交于A ，B 两点，求证：||||PA PB 为定值； ②过点P 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若直线1l ，2l 与椭圆1C 均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有111(1)2(1)n n nn n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，且10n n a a ++≠，其中12a =，0q ≠．记21123n n n T a qa q a q a -=++++，(1)n n n n b q T q a =+-．（1）若1q =，求2019T 的值； （2）①求数列{}n b 的通项公式；②若数列{}n c 满足11c =，且当2n ≥时，121n b n c -=-，是否存在正整数k ，t ，使得1c ，1k c c -，t k c c -成等比数列？若存在，求出所有的正整数k ，t 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x =-，2()g x mx kx =-，其中m ∈R 且0m ≠，k ∈R ．（1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k 的值； （2）当0m >，0k =时，求证：函数()()()F x f x g x =+有两个不同的零点； （3）若1m =，设函数2()()1()e ex xf xg xh x '+=+，若存在实数,,[0,1]a b c ∈，使得()()()h a h b h c +<，求k 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
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填空题押题练F 组
1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2
－2x ＜0}，B ＝{x|x ＞1}，则集合A∩∁U B ＝________.
解析 ∁U B ＝{x|x≤1}，A ＝{x|0＜x ＜2}，故A∩∁U B ＝{x|0＜x≤1}． 答案 {x|0＜x≤1}
2．复数(1＋2i)2
的共轭复数是________．
解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i. 答案 －3－4i
3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2
5，a 2＝1，则a 1＝________.
解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 2
5⇒a 2
3·q 6
＝2(a 3q 2)2
⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22
. 答案
22
4．设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≥3，x －y≥－1
2x －y≤3，
，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．
解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2,1)时
取得最小值7. 答案 7
5．下列结论错误的是________．
①
②
③“若am 2
＜bm 2
，则a ＜b”的逆 ④若p ∨q 为假 解析 根据四种
答案 ③
6．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.
解析 x ＝
1
10
(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式 s 2
＝1n ∑n i ＝1
(x i －x )2
代入数据，
s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2
]计算得方差为125.
答案
12
5
7．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N(x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－12＝3.
答案 3
8．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为53，则C ＝________，sin A ＝________.
解析 由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角∠C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12absin C ，代入数据解得sin C ＝3
2，又∠C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△
ABC 中，由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由余弦定理得sin A ＝asin C c
＝
4×3
221
＝277.
答案
21
27
7
9．已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．
解析 “在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c”的基本事件总数为23
＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以P ＝1－38＝5
8.
答案
58
10．下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.
解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25. 答案 25
11．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.
解析 双曲线的方程为x 2
2－y
22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，
则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠ F 1PF 2＝
2
2
＋2
2
－14
2×22×42＝34
. 答案
34
12．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2
－，x≤0，－＋1，x ＞0，f(x)＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 012＝________.
解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第 2 012项．作出函数f(x)的图
象如图，由图象可知方程f(x)＝x 的根依次是0,1,2,3，…，所以a n
＝n －1，故a 2 012＝2 012－1＝2 011. 答案 2 011
13．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)＋xf′(x)＞0成立，若a ＝40.2
f(40.2
)，b ＝
(log 43)f(log 43)，c ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________．
解析 由f(x)＋xf′(x)＞0得(xf(x))′＞0，令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且
a ＝g(40.2
)，b ＝g(log 43)，c ＝g ⎝
⎛⎭
⎪⎫log 4
116＝g(－2)＝g(2)，因为0＜log 43＜1＜40.2
＜2，所以c ＞a ＞b. 答案 c ＞a ＞b
14．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →
＝xe 1＋ye 2，则将有序实数对(x ，
y)叫做向量OP →
在
坐标系xOy 中的坐标．
(1)若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →
|＝________；
(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________． 解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－1
2.
(1)|OP →|＝
1
＋2e 2
2
＝ 9＋4－6＝7；(2)设圆O 上任意一点Q(x ，y)，则OQ →＝xe 1＋ye 2，|OQ →
|＝1，
即x 2＋2xy×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2
－1＝0.
答案 (1)7 (2)x 2
－xy ＋y 2
－1＝0。