高中数学：数列不等式综合测试新课标人教A版必修5
高中数学：数列与不等式测试题新课标人教A版必修5
数 列 与 不 等 式 测 试 题班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________ 一、选择题：（每小题5分，共50分）1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式n a 是（ ） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、32+n n2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24282a a a =，11=a 则=2a （ ）A 、2B 、2C 、22D 、213、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02564=-+a a a 则=9S （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（ ） A 、M<N B 、M>N C 、M=N D 、不确定5、若011<<b a ，则下列不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（ ） A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（1）（3） D 、（3）（4）6、不等式1213≥--x x 的解集是 （ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243x x C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432x x x 或 D 、{}2<x x7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则（ ）A 、 1B 、 1-C 、 2D 、 128、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-a D 、2123<<-a11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________14、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________15、关于x 的不等式211(1)0(0)x a x a a a a-++++<>的解集为 三、解答题：16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-(1) 求数列{}n a 的通项公式 ； (2) 求n S 的最大或最小值.18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若n n a C =·n n b 2+，（1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S .19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？ 21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1112,2--==n n a a a ， ,4,3,2=n ， (1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+=ni i i n a a T 11，求证：43+<n T n . 数 列 与 不 等 式 测 试 题 参 考 答 案一、选择题：（每小题5分，共50分）11、215 12、21- 13、81 14、 [－1,1) 15、1(1,)a a + 三、解答题：16、（本小题满分12分） 解：（1）设公比为q ，则n n n q a a q q 2,2,216113==∴=∴=------------------------6分 （2）由（1）得,32,853==a a 则12,32,853===d b b 2812-=∴n b nn n S n 2262-=-----------------------（12分） 17、（本小题满分12分） 解：（1）当n=1时，4711-==S a 当n ≥2时，4921-=-=-n S S a n n n故492-=n a n ----------------------------------6分（2）由 248n S n n =-576)24(2--=n ，于是n S 有最小值是-576，此时24=n ；无最大值。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试A卷
第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。
高中数学 第三章 不等式同步测试 新人教A版必修5(2021年最新整理)
高中数学第三章不等式同步测试新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式同步测试新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式同步测试新人教A版必修5的全部内容。
不等式（时间:120分钟，满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2015·高考山东卷)已知集合A＝｛x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（) A．(1，3) B．（1,4） C．（2,3） D．（2,4）2．（2015·高考北京卷)若集合A＝{x｜－5＜x＜2｝,B＝{x｜－3＜x＜3｝，则A∩B＝( ）A．｛x｜－3＜x＜2｝ B．｛x｜－5＜x＜2} C．{x|－3＜x＜3} D．｛x|－5＜x＜3}3．（2014·高考课标全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件错误!则z＝2x－y的最大值为（) A．10 B．8 C．3 D．24．（2015·高考天津卷）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝x＋6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．405．(2015·高考湖南卷）若实数a,b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为（）A. 2 B．2 C．2错误! D．46.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园（阴影部分）,则其边长x（单位：m)的取值范围是( )A．[15,20] B．[12，25]C．[10，30］D．［20，30]7．（2014·高考重庆卷)若log4（3a＋4b)＝log2ab,则a＋b的最小值是（)A．6＋2 3 B．7＋2错误! C．6＋4错误! D．7＋4错误!8．(2015·高考重庆卷）若不等式组错误!表示的平面区域为三角形，且其面积等于错误!，则m的值为( ）A．－3 B．1 C.错误! D．39．(2014·高考山东卷)已知x，y满足约束条件错误!当目标函数z＝ax＋by(a〉0，b>0)在该约束条件下取到最小值2错误!时，a2＋b2的最小值为（）A．5 B．4 C. 5 D．210．(2015·高考山东卷）若函数f（x)＝错误!是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ）A．(－∞，－1） B．(－1，0） C．（0，1) D．(1,＋∞)11.(2015·高考北京卷）如图,函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f（x)≥log2(x＋1)的解集是（）A．｛x｜－1＜x≤0} B．｛x｜－1≤x≤1}C．｛x|－1＜x≤1｝D．{x｜－1＜x≤2｝12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0,则当错误!取得最大值时，错误!＋错误!－错误!的最大值为（）A．0 B．1 C.94D．3题号123456789101112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上）13．(2015·高考广东卷)不等式－x2－3x＋4〉0的解集为________．(用区间表示)14．(2015·高考江苏卷）不等式2x2－x＜4的解集为________．15．若x,y满足约束条件错误!则x－y的取值范围是________．16．(2014·高考辽宁卷）对于c〉0，当非零实数a,b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a ＋b｜最大时，错误!＋错误!＋错误!的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f(x）是定义域为R的偶函数,当x≥0时，f（x)＝x2－4x,求不等式f（x＋2）<5的解集．18．(本小题满分12分)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最少为多少元．19.（本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x(单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x 的一次函数．(1）当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；（2）当车流密度x为多大时,车流量(单元时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时)20．（本小题满分12分）(2014·高考江苏卷节选）已知函数f(x）＝e x＋e－x,其中e是自然对数的底数．(1）证明：f（x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf（x)≤e－x＋m－1在(0,＋∞）上恒成立,求实数m的取值范围．21.(本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米,某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－错误!(1＋k2)x2(k＞0）表示的曲线上,其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小），其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由．22．（本小题满分12分）(2015·高考浙江卷）已知数列{a n｝满足a1＝错误!且a n＋1＝a n－a错误!(n∈N*)．（1）证明：1<错误!≤2(n∈N*)；（2）设数列{a错误!}的前n项和为S n，证明：错误!〈错误!≤错误!（n∈N*)．参考答案与解析1．【解析】选C。
高中数学人教A版必修5《数列》综合测试卷(详解)
人教A 版必修5《数列》综合测试卷测试时间120分钟 测试分值150分本卷分为第Ⅰ卷（非选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列{}n a 的公比31-=q ，则=++++++86427531a a a a a a a a （ ）A ． 31-B ． -3C ． 31D ． 32.数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，其中,75,2511==b a ,100100100=+b a 那么数列{}n n b a +的前100项和是（ ）A ．0B ． 100C ．10000D ．1024003.等差数列{}n a 中，01>a ，若其前n 项和为n S 时，有94S S =，那么当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．4或5B ．4或6C ．5或6D ．6或74.若数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且满足22n m S S n m =，其中n m N n m ≠∈*,,，则=nma a （ ） A ．n m B ． 11--n m C ． 1212--n m D ．12++n m5.等比数列{}n a 中，,6,214851152=++=++a a a a a a 则=++++1411852a a a a a （ ）A ． 8B ． 大于8C ． 31242D ．412406.已知等差数列{}n a 的公差是2，且100100321=++++a a a a ，那么=++++1001284a a a a （ ）A ． 25B ． 50C ． 75D ．100 7.已知*)(1562N n n na n ∈+=，则数列{}n a 的最大项是（ ） A ．第12项 B ． 第13项 C ． 第12或13项 D ．不存在8.等差数列{}n a 的公差为21，145100=S ，则=++++99531a a a a （ ） A ． 60 B ．85 C ．2145D ．759.若数列{}n a 的通项公式为nn na 2=，则前n 项和是（ ） A ． n n S 211-= B ． n n n n S 22121--=- C ．)211(n n n S -= D ．n n n n S 22121+-=-10. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中，第100项是（ ） A ． 10 B ． 13 C ． 14 D ．10011.已知等差数列中，,1,16497==+a a a 则=12a （ ） A ． 15 B ． 30 C ． 31 D ．6412.已知数列{}n a 中，)0(1>=b b a ，111+-=+n n a a （*N n ∈），能使b a n =成立的n 的数值是（ ）A ． 14B ． 15C ．16D ．17二、填空题:本大题共4小题，考生共需作答4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.已知等差数列{}n a 中，||||93a a =，公差0<d ，则使得前n 项和n S 取得最大值的n 的值是_____.14. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知35-=n n S a （*N n ∈），则n a =__________.15. 已知数列}{n a 满足11=a ，1321)1(32--++++=n n a n a a a a （2≥n ），则}{n a 的通项公式=n a _____________.16.在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前3项和为21，则=++543a a a ________第Ⅱ卷三、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，令n n S b 1=，且5244=b a ，1536=-S S ，n n b b b S +++= 21'.(1) 求数列{}n b 的通项公式；(2)求'n S 的表达式.18. （12分）数列{}n a 的前n 项和为,322n n S n -=求{}||n a 的前n 项和n P .19. （12分）设数列{}n a 满足：1a =1，352=a ，n n n a a a 323512-=++，*)(N n ∈. (1) 令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，求数列{}n b 的通项公式；(2) 求数列{}n na 的前n 项和n S .20. （12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a =1且满足)13(32-=n n n S a S ，2≥n .(1) 求证：}1{Sn是等差数列； （2）设13+=n S b nn ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .21. （12分）已知数列{}n a 满足)3(21)109()109()109(2221n n a a a n n +=+++ ； （1）证明：数列{}n a 不是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）试分析数列{}n a 有没有最大项，若有，求出这个最大项；若没有，试说明理由.22.（12分）已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列}{n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且31=a ，1>n a ，令)1(log 2-=n n a b .（1）证明：数列}1{+n b 为等比数列；（2）设n n nb c =，求数列}{n c 的前n 项和.n S参考答案1.答案B2.解析 ∵数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，∴{}n n b a +是等差数列，{}n n b a +的前100项和为100002)100100(100=+.答案C3.解析 等差数列前n 项和Bn An S n +=2是关于n 的二次函数，由94S S =可知，这个函数的图象关于5.6294=+=x 对称，又*N n ∈，当n=6或7时，n S 的值最大.答案D 4.解析 ∵2211])1(2[])1(2[n m d n a n d m a m S S n m =-+-+=，∴21da =，∴1212)1(2)1(2--=-+-+=n m d n d d m da a n m .答案C5.解析 由已知得,3311521485==++++q a a a a a a ∴3122=a ，∴312421411852=++++a a a a a .答案C6.解析 由已知得10022991001001=⨯⨯+a ，即981-=a ， ∴424252752582242525141001284⨯⨯+⨯+=⨯⨯+=++++a a a a a a .1002550)98(25=+-⨯=答案D.7.解析 法1 由⎩⎨⎧≥≥--11n n n n a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++≥++--≥+156)1(1156156)1(11562222n n n n n n n n，解得1312≤≤n . 法 2 394115611562≤+=+=nn n n a n ，当且仅当nn 156=即392=n 时取等号，又*N n ∈，∴12=n 或13. 答案C.8.解析 ∵)()(10064299531100a a a a a a a a S +++++++++=,又145100=S ，21=d ，∴=++++99531a a a a .6025.050145=⨯-答案D 9.解析 可用错位相减法或验证.,21S S 答案B10.解析 由1002)1(<+n n 得13≤n ，∴141=+n .答案C 11.答案A12.解析 ∵,1b a =111+-=+n n a a ， ∴112+-=b a ，,111,1111143b bb a b b b a =+-+-=-+=++-=∴b a a a a a a ======161310741.答案C.13.解析:法 1 由||||93a a =知|8||2|11d a d a +=+，又0<d ，∴051>-=d a ，∴65,00)1(00111≤≤∴⎩⎨⎧≤+≥-+⎩⎨⎧≤≥+n nd a d n a a a n n 即.又*N n ∈，∴5=n 或6. 法2 由已知可得093>-=a a ，则02936=+=a a a ，∴65S S =最大.答案5或6. 14.解析 由35-=n n S a 得53+=n n a S ，当2≥n 时，5311+=--n n a S ， ∴41,511-=-=--n n n n n a a a a a 即，当1=n 时，,351-=n a a ∴.431=a 则.)41(431.--=n n a 答案15.解：由已知1321)1(32--++++=n n a n a a a a （2≥n ）①得11=a ，22=a ，当3≥n 时，23211)2(32---++++=n n a n a a a a ②，d a a a a 50)(299531+++++= .)41(431.--n①-②得）（即3)1(111≥=-=----n na a a n a a n n n n n ， ∴2!13)2)(1(3)2)(1(2n n n n a n n n a n =⨯⋅⋅--=⋅⋅--= （3≥n ）， 又11=a 不适合上式，2a =1适合上式，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥==.2,2!1,1n n n a n16.答案 8417.解：（1）由n n S b 1=得441S b =， 又,52643521144=++⇒=d a d a b a 1512315136=+⇒=-d a S S ，解得1,11==d a ， ∴.2)1(21+=+++=n n n S n 则.)1(21+==n n S b n n （2）)1(2322212'11+++⨯+⨯=+++=n n b b b S n n )]111()3121()211[(2+-++-+-=n n.12)111(2+=+-=n nn 18.解：∵,16)16(22+--=n S n 当16=n 时，n S 取得最大值216.∴016>a ，当17≥n 时，n a 0<.当16≤n 时，;322n n P n -=当16>n 时，.512322)(216181716+-=-=+++-=n n S S a a a S P n n n∴⎩⎨⎧>+-≤-=.16,51232;16,3222n n n n n n P n 19.解:（1）∵121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++， 故{}n b 是公比为32的等比数列，且32121=-=a a b ，nn b )32(=（n *N ∈）. （2）nn b )32(=)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=-∴-++ ，又11=a ，可得1323--=n nn a （n *N ∈）. 记数列}32{11--⋅n n n 的前n 项和为Tn ，则,)32(32211-++⋅+=n n n T∴,)32()32(232322n n n T ++⋅+= 两式相减得.32)3(9)32(3])32(1[91-+-=--=n n n n n n n T从而Tn n na a a S n n 2)21(3221-+++=+++= .1832)3()1(2311-+++=-+n n n n n20.（1）证明：当2≥n 时，)13(32-=n n n S a S ，1--=n n n S S a ，∴)13)((312--=-n n n n S S S S ，整理得1131--+=n n n S S S ，即3111=--n n S S ， 因此}1{nS 是等差数列. ])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-（2）解：,231,233)1(111-=∴-=-+=n S n n S S n n )13)(23(113+-=+=n n n S b n n ， )13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯=n n T n )]131231()10171()7141()411[(31+--++-+-+-=n n .13+=n n 21.（1）证明：当n=1时，,21091=a 则,9201=a当n=2时5)109()109(221=+a a ，则,271002=a 当n=3时9)109()109()109(33221=++a a a ，则,72940003=a ∴3122a a a ≠.因此数列{}n a 不是等比数列. （2）解：由)3(21)109()109()109(2221n n a a a n n +=+++ 得 当2≥n 时，)]1(3)1[(21)109()109()109(211221-+-=+++--n n a a a n n ， 两式相减得1+=n ，∴n n n a )910)(1(+=，又9201=a ， ∴n n n a )910)(1(+=，n *N ∈. （3）∵1)1(9)1(10)910)(1()910)(2(11>++=++=++n n n n a a nn n n ， ∴n n a a >+1，即}{n a 为递增数列，因此数列}{n a 中没有最大项.22.解：（1）∵bx x x f +=2)(为偶函数，∴0=b ，2)(x x f =， 又1)1(21+-=+n n a f a ，∴21)1(21-=-+n n a a ， n n a )109(∵1>n a ，∴)1(log 21)1(2log )1(log 22212-+=-=-+n n n a a a ， 即]1)1([log 21)1(log 212+-=+-+n n a a ， ∵)1(log 2-=n n a b ，∴)1(211+=++n n b b ， 又31=a ，21)13(log 1)1(log 12121=+-=+-=+a b ， ∴数列}1{+n b 是首项为2、公比为2的等比数列.（2）由（1）知,22211n n n b =⋅=+-∴,12-=n n b 又n n nb c =，∴n n c nn -⋅=2， 令n n n d 2⋅=，数列}{n d 的前n 项和为n T ，则 n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ， ①143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=n n n T ， ②①-②得22)1(212)12(22)2222(11132--=⨯---=⨯-++++=-+++n n n n n n n n n T ， ∴22)1(1+-=+n n n T ，数列}{n c 的前n 项和2)1(22)1()21(1+-+-=+++-=+n n n n T S n n n .242)1(21-+--=+n n n n。
人教版新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析).doc
学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数． 答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析 由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q ， 则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
数列与不等式的综合上学期高二数学人教版(必修5)1106附答案
数列与不等式的综合已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a ()n ∈*N ． （1）证明：112()nn a n a +≤≤∈*N ； （2）设数列2{}na 的前n 项和为n S ，证明11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ． 【参考答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【试题解析】（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->， 由102n a <≤得，211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤． （2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n n a a +≤-≤，所以11112n n n a a +≤-≤， 因此111()2(1)2n a n n n +≤≤∈++*N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++．【解题必备】（1）数列与不等式的综合问题是高考考查的热点，考查方式主要有三种： ①判断数列问题中的一些不等关系； ②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； ③考查与数列问题有关的不等式的证明问题．（2）在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．1．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项．（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设1113(1)3na n n nb t +-+=+-⨯，对n ∈*N 有1n n b b +>恒成立，求实数t 的取值范围．2．已知数列{}n a 满足0n a >，且对一切n ∈*N ，有321ni n i aS ==∑，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求证：对一切n ∈*N ，有2112n n n a a S ++-=；（2）求数列{}n a 的通项公式； 学科#￥网 （3）求证：213541612221n n n a a a a a a a a a -+⋅⋅⋅⋅<．1．【答案】（1）11a =，21n a n =-；（2）(6,2)-．2．【答案】（1）证明见解析；（2）n a n ；（3）证明见解析． 学科@#网。
高中数学单元综合测试卷 第三章 不等式 (人教A版必修5)
第三章不等式单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．不等式x2≥2x的解集是()A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}解析：原不等式化为x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.答案：D2．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|解析：根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则1a>1b，A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确，所以选C.答案：C3．若a，b，c是不全相等的正数．给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与b<a及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：D4．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是() A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：A5．已知m，n∈R＋，且m＋n＝2，则mn有()A ．最大值1B ．最大值2C ．最小值1D ．最小值2 解析：∵m ，n ∈R ＋，∴mn ≤(m ＋n 2)2＝1.答案：A6．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B7．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2，其中正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由于1a <1b <0，则b <a <0，则③不正确；又a ＋b <0<ab ，则①正确；b 2－a 2＝(b ＋a )(b－a )>0，所以b 2>a 2，则|b |>|a |，所以②不正确；b a >0，a b >0，且b a ≠a b ，则b a ＋ab>2，所以④正确．答案：C8．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2B.32 C ．1＋223D ．3＋2 2解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号． 答案：C9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3D ．9解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，B (－12，12)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：B10．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a －b 等于( )A ．10B ．14C ．－4D ．－10解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－16，∴b ＝－2，∴a －b ＝－10.答案：D11．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22≈3时，n ＋8n取得最小值．答案：C12．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－∞，1)解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <11－sin θ.∵θ∈[0，π2)，∴11－sin θ≥1，∴m <1.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式x －x 2>0的解集是________． 解析：原不等式等价于x 2－x <0，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：图1如下图1中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB . 可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42， 所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 215．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．解析：设使用x 年平均费用最少，由年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车年维修费构成首项为0.2万元，公差为0.2万元的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x2x 万元，设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2xx ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x 10≥1＋210x ·x 10＝3.当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．答案：1016．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2·2x ＝(2x －1)2－1.由于1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，由二次函数性质，知当2x＝2，即x ＝1时y 有最小值0，所以原不等式在区间[1,2]上恒成立，只要a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知a >0，试比较a 与1a的大小．解：a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a.因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a. 综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.18．(本小题12分)已知a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c 解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立．19．(本小题12分)已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，求(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0. 所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2.当x 、y 同号时，x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≥2xyxy ＋2＝4；当x 、y 异号时，x 2＋y 2≥2|xy |，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≤2|xy |xy＋2＝0.故(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．20．(本小题12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解：由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，所以A ＝{x |x <－4或x >2}；由6＋x －x 2>0，即x 2－x －6<0，得－2<x <3，所以B ＝{x |－2<x <3}．于是A ∩B ＝{x |2<x <3}．由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0，当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0即为x 2<0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．21．(本小题12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：图2设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域，如右图2所示的阴影部分．目标函数z ＝2x ＋3y 即直线y ＝－23x ＋z 3，其斜率为－23，在y 轴上的截距为z3，且随z 变化的一族平行线．由图知，当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)，此时z min =2×5＋3×5＝25(m 2)，即两种金属板各取5张时，用料面积最省．图322．(本小题12分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：设AN 的长为x 米(x >2)，由|DN ||AN |＝|DC ||AM ||AM |＝3x x －2，∴S 矩形AMPN =|AN |·|AM |＝3x 2x －2.(1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2x －2>32，又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋∞)．(2)y ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12 ≥23(x －2)×12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2，即x ＝4时，取等号，∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。
新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷附答案解析
解题技巧
认真审题，理解 题意
运用所学知识， 分析问题
结合实际，联系 生活
细心计算，确保 答案准确
易错点提醒
计算错误：学生可 能因为粗心或计算 能力不足而犯错
概念混淆：学生对 相关概念理解不清 晰，导致填空题答 案错误
逻辑推理错误：学生 在解题过程中，可能 因为逻辑推理不严密 而导致答案错误
审题不清：学生可能因 为审题不仔细，导致理 解题意出现偏差，从而 影响答案的准确性
难度分布：试卷难度适中，注重基础知识的考查，同时也有一定的难度和区分度。
题型设计：本试卷包括选择题、填空题、解答题等多种题型，考查学生的不同能力。
考查重点：本试卷重点考查学生的数学基础知识和应用能力，以及学生的数学思维和解题技 巧。
难度分析
基础题占比： 40%
中档题占比： 40%
难题占比：20%
题目设计注重考查 学生的数学析
题目类型：单项选择题
题目数量：10道
题目难度：中等
解析：对每道题目进行详细的 解析，包括解题思路、方法、 答案等
解题技巧
掌握基础知识：选择题通常考察基础知识点，应熟练掌握相关概念和公式。 仔细审题：读懂题目要求，找出关键信息，避免因误解而选错答案。
排除法：对于一些难以确定答案的选择题，可以采用排除法，排除明显错误的选项。
善于利用选项：有些选择题的答案可以通过代入选项进行验证，从而快速找到正确答案。
易错点提醒
选项中涉及到的知识点是否准确掌握 选项中的陷阱和迷惑性词语是否能够识别 计算和分析过程中是否有遗漏或错误 解题思路和方法是否正确且符合题意
题目类型及解析
题目类型：填空题 题目难度：中等 题目数量：10道 解析：针对每道题目给出详细的解题思路和答案解析
2018_2019学年高中数学第三章不等式学业质量标准检测新人教A版必修5(含答案)
第三章 不等式学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( A ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6) ＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .故选A ．2．设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( A ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．3．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)若a ＞b ＞c ，则下列不等式成立的是( B ) A ．1a －c ＞1b －cB ．1a －c ＜1b －cC ．ac ＞bcD ．ac ＜bc[解析] ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c >0， ∴1a －c ＜1b －c，故选B ． 4．不等式1x <12的解集是( D )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 因1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (x －2)>0，解得x <0或x >2，故选D ．5．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( D )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1[解析] 解法一：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B 、C ；∴选D ． 解法二：原不等式化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1，选D ．6．(2018－2019学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．(0,8)B ．(1,8)C ．(0,10)D ．(1,10)[解析] 由题意得a 2－8a ＜0， ∴0＜a ＜8，故选A ．7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－12[解析] ∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．故选A ． 8．(2018－2019学年度江西戈阳一中高二月考)设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f a f b ，则下列关系正确的是( C )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q[解析] f (x )＝e x是增函数， ∵0＜a ＜b ，∴ab ＜a ＋b2，∴f (ab )＜f (a ＋b2)∴p ＜q 又f (a ＋b2)＝ea ＋b2＝e ab，f a f b ＝e a ·e b ＝e a ＋b ，∴r ＝q ，故选C ．9．不等式(x －2a )(x ＋1)(x －3)<0的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则a 的值为( D ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2[解析] 当2a ＝4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a ＝2． 10．下列函数中，最小值是4的函数是( C ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝e x＋4e －x(其中e 为自然对数的底数) D ．y ＝log 3x ＋log x 81[解析] 当x ＜0时，y ＝x ＋4x≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x＝4ex 即e x＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D ． 11．(2016·全国卷Ⅰ理，8)若a >b >1,0<c <1，则( C ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[解析] 对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c，因为c >0，所以y ＝x c为增函数，又a >b >1，所以a c>b c，A 错．对于选项B ，ab c<ba c⇔(b a)c<b a ，又y ＝(b a)x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．12．(2018－2019学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2[解析] y ＝x 2＋2x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋3x －1＋2≥2x －3x －＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即(x －1)2＝3，x －1＝3，x ＝3＋1时，等号成立． 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为__[－3,1]__．[解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m 、n >0)上，则1m ＋1n的最小值为__4__．[解析] 由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1， ∵m >0，n >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·1＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝n m ＋mn＋2≥4．等号在n m ＝mn 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1n m ＝mn，得m ＝n ＝12．∴1m ＋1n的最小值为4．15．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，－12)__．[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0－1m ＜41m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝__13__．[解析] 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M 、N 、M ∩N ．[解析] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4． ∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x <1或x ≥3． ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3． 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0， ∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－m －2＋m 2－2m －，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3．综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3．19．(本题满分12分)(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(m ∈R )． [解析] 当m ＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x ∈R ． 当m ≠0时，原不等式化为(mx －1)(mx ＋3)＜0， ∵m 2＞0，∴(x －1m )(x ＋3m)＜0．当m ＞0时，－3m ＜x ＜1m ，当m ＜0时，1m＜x ＜－3m．综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为(－3m ，1m )；当m ＜0时，原不等式的解集为(1m，－3m)．20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ [解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －－0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13．21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2>1 ． [解析] a ＝0时，不等式的解集为∅，ax x －2>1⇔a －x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0． ∵a ＜1，∴a －1＜0． ∴化为(x －21－a )(x －2)＜0，当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1， ∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅．22．(本题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0． (1)当m ＋1>0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0ff，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0ff，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1．由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。
2021年高中数学 综合测试题 新人教A版必修5
2021年高中数学综合测试题新人教A版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2答案B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是( )A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2 187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，a n＝3＋(n－1)×6＝2 187，∴n＝365.∴{a n}可为等差数列．若{a n}为等比数列，则公比q＝93＝3.a n＝3·3n－1＝2 187＝37，∴n＝7.∴{a n}也可能为等比数列．答案 B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( ) A．钝角B．直角C．锐角D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.即a2＋b2－c2＝c2>0，cos C>0.答案 C4．定义新运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，ba >b ，例如1]( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤2x －1，x 2<1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2>2x －1，2x －1<1.解得x <1.答案 B5．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e －x－2解析 A 中当x <0时不成立，B 、C 中y 取不到2，因此A 、B 、C 均错，D 正确．y ＝e x＋4e －x－2≥2e x ·4e －x－2＝2，当且仅当e x ＝4e x ，即当e x＝2，x ＝ln2时，取等号．答案 D6．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5 解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5. 答案 C7．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )A ．7，－4B ．8，－8C ．4，－7D ．6，－6解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，z max＝7；当m＝0，n＝－2时，z min＝－4.答案 A8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则ax＋cy的值等于( )A.14B.12C．2 D．1解析用特殊值法，令a＝b＝c.答案 C9．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )A．4.6 m B．4.8 mC．5 m D．5.2 m解析设三角形两直角边长为a m，b m，则ab＝2，周长C＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab ＝22＋2≈4.828(m)．答案 C10．设{a n}是正数等差数列，{b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1, 则( ) A．a n＋1>b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1解析a n＋1＝a1＋a2n＋12≥a1a2n＋1＝b1b2n＋1＝b n＋1.答案 B11．下表给出一个“直角三角形数阵”：141 2，143 4，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于( )A.18B.14C.12D ．1解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.答案 C12．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－4解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时z ＝2×1＋0＝2. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°. ∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63. 答案6314．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a的取值范围是__________． 解析 ∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B ＝2A <π2，0<π－A －B <π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π4，π6<A <π3.∴A ∈(π6，π4)．∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .∴ba ∈(2，3)．答案 (2，3)15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n(n ∈N *)，则b n ＝________.解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3·2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n.∴b n ＝(－1)n·1a n ＝－1n3·2n －1.答案 －1n3·2n －116．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )的图象是开口向上的抛物线，要当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f1＝1＋m ＋4≤0，f2＝4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.答案 m ≤－5三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．解 A ＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >1.A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <13，或1<x <2，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13≤x ≤1，或x ≥2}．18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1.(1)是否存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}，若存在，求实数a ，b 的值，若不存在，请说明理由；(2)若a 为整数，b ＝a ＋2，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求a 的值． 解 (1)∵不等式ax 2－bx ＋1>0的解集是{x |3<x <4}， ∴方程ax 2－bx ＋1＝0的两根是3和4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝3×4＝12，b a ＝3＋4＝7.解得a ＝112，b ＝712.而当a ＝112>0时，不等式ax 2－bx ＋1>0的解集不可能是{x |3<x <4}，故不存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}．(2)∵b ＝a ＋2，∴f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1. ∵Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点． 又函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点， ∴f (－2)·f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0， 解得－32<a <－56.∵a ∈Z ，∴a ＝－1.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，问A 、B 两种药最多能各配几剂？解 设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多配4剂，B 种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C . (1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的范围． 解 (1)由a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A， 得a ＋b a ＝b b －a，即b 2－a 2＝ab ，① 又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C . sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.②由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋cb>1. 又a ＋c b＝a 2＋c 2＋2acb 2≤ 2a 2＋c2b2＝2b2b2＝2，故a ＋cb的取值范围为(1，2]．22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，(d ≠0)． 由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.当m ＝1时，a m a m ＋1a m ＋2＝－5×－3－1＝－15. 显然它不是数列{a n }中的项． 当m ＝2时，a m ·a m ＋1a m ＋3＝－3×－13＝1. 它是数列{a n }中的项．因此，符合题意的正整数只有m ＝2.-40403 9DD3 鷓 22181 56A5 嚥 &26923 692B 椫26477 676D 杭22458 57BA 垺{39956 9C14 鰔(>r376399307 錇。
人教A版高中数学必修五数列综合题.docx
鑫达捷 数列综合题姓名 班级（ C ）1、20位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，该运动员的平均得分：若取一位小数，为9.4（用四舍五入取近似值），若取两位小数，那么最小值应当是（A ）9.35 （B ）9.38 （C ）9.39 （D ）9.40（ A ）2、已知数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -的值为 （A ）12 （B ）12- （C ）12± （D ）14 （ D ）3、在等差数列中{}n a ，已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（A ）15 （B ）16 （C ）17 （D ）18（ B ）4、若数列{}n a 的前8项的值各异，且8n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 的前8项的值的数列为 （A ）{}21k a + （B ）{}31k a + （C ）{}41k a + （D ）{}61k a +（ A ）5、设各项均为实数的等比数列{}n a 的前项和为1030,10,70,n S S S ==则40S =（A ）150 （B ）200- （C ）150或200- （D ） 400或50-6、一棵小树，假设每年的高度增加一倍，且经10年可长到2米高，则长到12米高时需要 8 年。
7、2323n a a a na ++++=L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-++-=+++)1()1()1()1(2)1(221a a na a n a a n n n n 。
8、给出两个等差数列12,,,,p a m a a n L 与12,,,,,q m b b b n L ，且m n ≠，则2121a a b b -=- pq )1(2+ 9、已知数列{}n a 中，372,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则11a = 21 10、已知{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a =L ，则36930a a a a L = 202 。
人教A版高中数学 必修5 函数、数列与不等式 综合培优练习(含答案)
人教A 版高中数学 必修5 函数、数列与不等式 综合培优练习第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．已知数列{a n }中，a 1=2, a n +1－a n =3(n ∈N*)则数列{a n }的通项a n 的表达式是（ ）A ．3n －1B ．3n －2C ．3n －5D ．132-⋅n2．若23)(-=x x f ，则)]([1x f f -为 （ ）A ．98+x B ．9x －8 C ．32+x D ．x 3．若a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的（ ）A ．a +b ≥b －cB ．（a －b ）c 2≥0 C ．b a c -2＞0 D ．ac ≥bc4．如果a 、b 、c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0 ( )A ．一定有两不等实根B ．一定有两相等实根C ．一定无实根D ．有两符号不相同的实根5．如果等比数列{a n }的首项为正数，公比大于1，那么数列{log 12a n }是 ( )A ．递增的等差数列B ．递减的等差数列C ．递增的等比数列D ．递减的等比数列 6．已知函数()y f x =与()y g x =的图像如图所示，则不等式()0()f xg x >的解集是( ) A ．[5,25] B ．(5,25]- C ．(15,5)(5,25]-- D ．(15,5][5,25]--7．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n Bn n ，则135135b b +的值为（ ）A ．87B ．97C ．78D ．20198．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、∈y R ，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（n *∈N ），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦)9．设M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意0,0s t >>，都有()()()f s f t f s t +<+.给出函数.12)(,log )(221-==x x f x x f 下列判断正确的是（ ） A ．M x f M x f ∉∉)(,)(21 B ．M x f M x f ∈∈)(,)(21 C ．M x f M x f ∉∈)(,)(21 D ．M x f M x f ∈∉)(,)(2110.如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：A 1、B 1、C 1、D 1通过小路和公路相连，各路口分别是A 、B 、C 、D ，现要在公路上建一个长途汽车站，为使各村镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在（ ） A ．A 处 B ．B 处C ．B 、C 间的任何一处（包括B 、C ）D ．A 、B 之间的任何一处（包括A 、B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．函数1lg1xy x -=+的定义域的区间长为 ． 12．已知f (x )＝221x x +,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (21)＋f (31)＋f (14)＝__________________． 13．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为____．14．定义符号运算“＃”满足#(,x y ax by a b =+是常数），且2#24,3#18==，那么2#(3)-的值是___________．15．设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 99100101a a -<-.给出下列结论：A.0<q <1；B.1981T <；C.991011a a <；D.使1n T <成立的最小自然数n 等于199. 其中正确结论的编号是 ．答 题 卡三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解下列不等式： （1）1x <-； （2）3252---x x x＜－117．（本题满分12分）{a n }为等差数列，公差d >0，S n 是数列{a n }的前n 项和,已知 14427,24a a S ==，（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n .18．（本题满分12分）已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+---，当(3,2)x ∈-时，()0f x >；当(,3)(2,+)x ∈-∞-∞时，()0f x <． （1）求()f x 在[0,1]内的值域；（2）c 为何值时20ax bx c ++≤的解集为R ．19．（本题满分12分）某公司一年内共需购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围？20．（本题满分13分）若数列{}n a 对任意*n N ∈，满足211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数)，则称数列{}n a 为等差比数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足)1(2-=n n a S ，求数列{}n a 的通项公式，并判断数列{}n a 是否为等差比数列；（2）若数列{}n a 为等差数列，试判断数列{}n a 是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试写出一个等差比数列的通项公式n a ，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．21．（本题满分14分）本大题分甲、乙两题，其中乙题为9班学生必做题，其余各班的学生可从这两题中任选一题作答，若两题都选，则只以得分较少的题给分．(甲)已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R ，a ≠0）．（Ｉ）当０＜a ＜12，[1,1]x ∈-时，()f x （x ∈R ）的最小值为54，求实数a 的值． （II ）如果x ∈[0，1]时，总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．（III ）令1=a ，当[,1]()x n n n *∈+∈N 时，()f x 的所有整数值的个数为()g n ，数列(){}2ng n 的前n 项的和为n T ，求证：7n T <． （乙）设函数)(x f 的定义域、值域均为R ，)(x f 的反函数为)(1x f -，且对任意实数x ，均有15()().2f x fx x -+<.定义数列01{}:8,10,n a a a ==1(),1,2,n n a f a n -==．（1）求证：);,2,1(2511 =<+-+n a a a n n n （2）设);()21)(6(:,,2,1,0,21*+∈-<=-=N n b n a a b nn n n n 求证 （3）是否存在常数A 和B ，同时满足①当n =0及n =1时，有nn n BA a 24+⋅=成立； ②当n =2,3，…时，有nn n BA a 24+⋅<成立. 如果存在满足上述条件的实数A ，B ，求出A ，B 的值；如果不存在，证明你的结论.参考答案1．A a 1=2, a n +1－a n =3(n ∈N*)则数列{a n }的通项a n =3n －12．D 23)(-=x x f ，则11[()][32]3(32)2f f x f x x --=-=--= 9x －8 3．B a 、b 、c ∈R 且a ＞b ，则（a －b ）>0， c 2≥0 ,∴（a －b ）c 2≥04．C a 、b 、c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0 的22430b ac b ∆=-=-<. 5．B 等比数列{a n }的首项为正数，公比大于1，那么数列{log 12a n }是递减的等差数列6．C 如图函数()y f x =与()y g x =的图像，不等式()0()f xg x > ()0()0()0()0f x f xg x g x ><⎧⎧⇔⇒⎨⎨><⎩⎩或解集是(15,5)(5,25]-- 7．A 两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ， 则513175131741725175a a A b b B +⨯+==+⨯-＝878．C ()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、∈y R ，都有()()()f x f y f x y =+，112a =，()n a f n =（n *∈N ） 11(1)(1)()2n n a f n f f n a +=+==11[1()]1221()1212n n n S -⇒==-- 则数列{}n a 的前n 项和的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9．D 对于任意0,0s t >>，都有()()()f s f t f s t +<+..12)(,log )(221-==xx f x x f 判断正确的是M x f M x f ∈∉)(,)(2110. C 各路口分别是A 、B 、C 、D ，要在公路上建一个长途汽车站，使各村镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在B 、C 间的任何一处（包括B 、C ） 11．2 函数1lg1xy x -=+的定义域是(1,1)-． 12．3.5 f (x )＝22221111111()()()11111[]x f f x f x x x x x=-=-=-⇒=+=+++, 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (21)＋f (31)＋f (14)＝3+ f (1)＝3.5．13．4 181()()9916a x y a x y ++≥⇒≥⇒≥，则正实数a 的最小值为4．14．9 符号运算“＃”满足#(,x y ax by a b =+是常数），且2#24,3#18==，224,383,1a b a b a b ⇒+=+=⇒==-那么2#(3)-＝9．15．ACD 设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 98219799119910011101,00111a a q a q q a a q --<⇒><⇒<<--.1981T <不确定，991011a a <正确，1n T <成立的最小自然数n 等于199正确.16．解：（1）原不等式等价于2230310223(1)x x x x x ⎧-≥⎪->⇒≥⎨⎪-<-⎩且2x ≠． 故原不等式的解集为：3{|2x x ≥且2}x ≠． （2）原不等式移项，整理得322322--+-x x x x ＜0 ，同解于（x 2－3x +2）(x 2－2x －3)＜0，即：(x +1)(x －1)(x －2)(x －3)＜0 ， 由数轴标根法可有：－1＜x ＜1或2＜x ＜3 。
2021年高中数学 不等式练习 新人教A版必修5
2021年高中数学 不等式练习 新人教A 版必修5班级： 姓名： 座号：一、知识点归纳：（一）不等式与不等关系：1、不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：(3)加法法则：；(4)乘法法则：；2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差（商）法（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：（三）线性规划1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:直线定界，特殊点定域2、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（四）基本不等式1、若，则（当且仅当时取等号）2、基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 二、范例讲解1.比大小：例1 (1)（＋）2 ６＋2；(2) 当a ＞b ＞0时，log a log b2.不等式的性质 例2.已知a 、b 、c 满足c<b<a ，且ac<0，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．ab>a c ；B ．c(b –a)<0；C ．D ．3.解一元二次不等式 例4、 解不等式：（1）；（2）例5.已知集合，求，例6.已知关于x 的不等式的解集为，求求不等式的解集.例7．设 （1）若对于恒成立，求实数x 的取值范围（2）（8班）若对于恒成立，求实数的取值范围（3）（8班）若对于恒成立，求实数的取值范围4.二元一次方程（组）与平面区域、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例8．已知x 、y 满足不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+02222y x y x y x ,求的最小值，并求此时的的值。
5.基本不等式例9. 已知正数满足，则的最小值（）A．B．C．2 D．4例10.求(x>5)的最小值.例11.求函数的最大值例12.建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米110元，池壁的造价为每平方米90元，求长方体的长和宽分别是多少时水池造价最低，最低造价为多少？三、课外作业一、选择题1、若，则下列不等式：①；②③④中，正确的不等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、设则下列各式中正确的是 ( )....3、下列不等式的证明过程正确的是（ ） A. B. y x y x y x lg lg 2lg lg ,0,0⋅≥+>>则若 C. D. 4sin 4sin 2sin 4sin ,0=⋅≥+>>x x x x x 则若π4、若正数x ，y 满足，则的最小值是（ ）A ． B ． C ．5 D.65、已知不等式的解集是，则二次不等式的解集是 （ ）A . B. C. D.6、（8班）设，若关于的不等式在恒成立，则的最小值为（ ）A ． 16B ． 9C ． 4D ． 27、若实数，满足约束条件则目标函数的最大值为( )A ．2B ．1C ．-2 D.-38、已知实数，满足约束条件，若目标函数的最优解有无数多个，则实数的值为（）A ．-1B ．C ． D.1二、填空题9、设0<x<5, 则函数的最大值为 .10、若恒成立，则实数k 的取值范围是______ ______.11、点在直线x+2y=3上移动，则的最小值是 .12、设x、y∈R＋且＝1,则x＋y的最小值为____ ____.13、（8班）已知实数满足则的最小值为三、解答题14、已知，.（I）若，求；（II）若R，求实数的取值范围.15、某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每两卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？16、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层xx平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21630 547E 呾}[A40745 9F29 鼩{ j37173 9135 鄵G30198 75F6 痶。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修五数列、不等式综合测试一、选择题（本大题共10 小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知数列 ,)12(3,,15,3,3-n ，则9是它的（） A ．第12项 B ．第13项C ．第14项D ．第15项 2．已知数列n a 中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50C ．51 D ．523．等差数列{}n a 中，,1,16497==+a a a 则12a 的值为（ ） A ．15B ．30C ．31D ．644．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于 （ ）A ．1B ．56 C ．16 D ．1305．下列函数中，最小值是2的是（）A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x =+<<C ．33xxy -=+ D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 6．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）A ．12 B.13 C.14 D.157．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（）A 18B 24 C.60D 908．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：（）他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙图1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙图2A.289B.1024C.1225D.13789．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= （）A. (21)n n -B. 2(1)n +C 2(1)n - D. 2n10．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+ （）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．已知等差数列}{n a 满足56a a +=28，则其前10项之和为． 12．数列}{n a 满足341+=-n n a a ，且01=a ，则5a =_________. 13．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a = ．14．数列}{n a 满足11=a ，241-=--n a a n n （2≥n ），则数列}{n a 的5a =_________.三.解答题（满分80分,解答应写出文字说明,演算步骤）15．（本小题10分）已知等差数列{n a }中，0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .16．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-， （1）求其通项n a ；（2）若它的第k 项满足58k a <<，求k 的值.17. （本小题14分）某种汽车购买时费用为4.14万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增． （Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为)(n f ，试写出)(n f 的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.18．（本小题14分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
19．（本小题15分）已知等比数列}{n a 的前n 项和为b a S nn +⋅=2，且31=a 。
（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 20．（本小题15分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1-n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为n T ，问满足20091000>nT 的最小正整数n 是多少？ 必修五数列、不等式综合测试参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABCBCCDB二、填空题11、14012、 25513、 64 14、 49三、解答题：15、（方法一）解：等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a∴⎩⎨⎧=+++-=++0)5()3(16)6)(2(1111d a d a d a d a 解之得：⎩⎨⎧=-=281d a 或⎩⎨⎧-==281d a∴数列{}na 的前n 项和为n n d n n na Sn92)1(21-=⨯-+=或n n S n 92+-=. （方法二）解：等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a ，∴073=+a a∴⎩⎨⎧=+-=0167373a a a a 解之得：⎩⎨⎧=-=4473a a 或⎩⎨⎧-==4473a a∴公差82,243137-=-==-=d a a a ad 或82,243137=-=-=-=d a a a a d∴数列{}na 的前n 项和为n n d n n na Sn92)1(21-=⨯-+=或n n S n 92+-=. 16、解：（1）数列{}na 的前n 项和n n Sn92-=，∴当1=n 时，8191211-=⨯-==S a当2=n 时，[])1(9)1()9(221-----=-=-n n n n S S a n n n即：102-=n a n综上：102-=n a n ，*N n ∈ （2）由85<<k a ，∴81025<-<k ，∴18215<<k∴8=k .17、解：（1）由题意可知在第n 年汽车的维修费为n n 2.02.0)1(2.0=⨯-+万元，∴使用n 年该车的维修费为n n n n n Sn1.01.02.02)1(2.02+=⨯-+=（万元） ∴使用n 年该车的总费用4.141.01.01.09.04.14)(22++=+++=n n n nn n f （万元）（2）假设在第n 年报废最合算，则该车使用n 年平均费用为14.141.0)(++==nn n n f y ∴4.314.141.0214.141.0=+⨯≥++=n n y （万元）当且仅当n n 4.141.0=，即12=n 时，nn f y )(=最小∴在使用12年后报废最合算.18、解：（1）数列{}na 的前n 项和为,nS 11,a=142n n S a +=+∴当1=n 时，6241122=+=+=a a a S ，∴52=a又易知：241+=-n n a S ，（2,*≥∈n N n ）∴11144-++-==-n n n n n a a a S S，（2,*≥∈n N n ）由此可得：)2(2422111--+-=-=-n n n n n n a a a a a a∴22211=---+n n nn a a a a又n n n a a b 21-=+，∴数列{}nb 是以2为公比，以3212=-a a为首项的等比数列.（2）由（1）可知11232-+⨯=-=n n n n a a b∴432211=-++nn n n a a∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nna2是以43为公差，2121=a 为首项的等差数列，∴414343)1(212-=⨯-+=n n ann ∴)4143(2-=n an n数列{}n a 的通项公式为)4143(2-=n a n n .19、解：（1）等比数列{}n a 的前n 项和为b a S nn +⋅=2，且31=a∴3211=+⋅==b a a S，a b a b a S S a 224122=--+=-= a b a b a S S a 448233=--+=-=∴等比数列{}na 的公比223==a aq ，又q a a 12=，∴232⨯=a ，得3=a由362=+=+⋅b b a 得3-=b∴11123--⨯==n n nq a a（2）由（1）可知1231-⨯==n n n na n b∴数列{}nb 的前n 项和为)22124232221(31123210--+-+++++=n n n nn T ① ∴)22124232221(312114321n n n n n T +-+++++=- ②由①-②得)2212121212121(3121143210n n n n T -++++++=- )222(31nn +-=∴)222(32n n n T +-=.20、解：（1）点)31,1(是函数xa x f =)(,0(>a 且)1≠a 的图象上一点∴a a ==131,即有x x f )31()(=等比数列{}n a 的前n 项和为c c n f n-=-)31()(∴c c f a-=-=31)1(1；9231)31()1()2(22-=-=+--=c f c f a 272)31()31()2()3(233-=-=+--=c f c f a∴等比数列{}na 的公比3123==a a q ∴323121-==-=q a c a由此得1=c 且n n n q a a 3211-==- ∴数列{}nb )0(>nb的首项为11==c b又由n S 为数列{}n b 的前n 项和，0>n b ，∴0>nS且11--+=-n n n n S S S S ，)2(≥n∴11=--n n S S ，111==b S ，∴数列{}n S 是以1=d 为公差，11=S 为首项的等差数列∴n n S n =⨯-+=1)1(1 ∴2n S n =∴当2≥n 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S bn n n综上：12-=n b n ，*N n ∈ （2）由（1）12-=n b n ，易得)12)(12(111+-=+n n b b n n数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n bb 的前n 项和为n T ∴)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n Tn21)121121(21)7151(21)5131(21)311(⨯+--++⨯-+⨯-+⨯-=n n)12112171515131311(21+--++-+-+-=n n 12)1211(21+=+-=n nn ∴2009100012>+=n n T n ，即100020002009+>n n解之得：9111191000+=>n ∴满足20091000>n T 的最小正整数n 是112.。