三边对应成比例

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初中数学三角形边角关系的公式

初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是小编整理的初中数学三角形边角关系的公式大全，欢迎阅览。

初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。

(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。

关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

三角形相似与位似

知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。

平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

初中数学相似三角形的判定方法

相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

相似的判定条件

相似的判定条件
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

相似的判定条件 1
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似.).
相似的判定条件 2
1.相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。

2.相似三角形所有对应线段的比值(对应高度、对应中线、对应平分线、外接圆半径、内切圆半径等。

)等于相似比。

3.相似三角形的周长之比等于相似比。

4.相似三角形面积之比等于相似比的平方。

5.相似三角形中内切圆和外接圆的直径比和周长比与相似比相同，内切圆和外接圆的面积比是相似比的平方。

相似三角形的复习

相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等；、相似三角形的对应角相等； 2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、、相似三角形的对应线段（中线、角平分线）成比例，且等于相似比；角平分线）成比例，且等于相似比； 3、相似三角形的周长比等于相似比；、相似三角形的周长比等于相似比； 4、相似三角形的面积比=（相似比）2 、相似三角形的面积比（相似比） 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直、角三角形和原三角形相似。角三角形和原三角形相似。
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，；（2）请找出S 之间的关系式，由；（）请找出 △ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并给出证明。给出证明。 A A E C E C
B
F
D
B
F
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤：三角形相似证线段成比例的一般步骤：证线段成比例的一般步骤 1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三、角形；角形； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 3、如这两个三角形不相似，则采用其它办、如这两个三角形不相似，中间比代换等如找中间比代换等）；法（如找中间比代换等）；（注意：当无法用三角形相似来证明线段成注意：比例时，可试着用引平行线的方法。）引平行线的方法比例时，可试着用引平行线的方法。）
F
1、如图 ABCD中，G是BC延长线上的一点，、延长线上的一点，中是延长线上的一点 AG与BD交于点，与DC交于点，则图中相似的与交于点E，交于F点交于点交于三角形共有（三角形共有（D ）对。 A

三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形的判定3三边成比例

相似三角形的判定3
【开心一刻】
1.三个金叫鑫，三个水叫淼，三个人叫众，那么三个鬼应该叫什么? ------叫救命
2.你的爸爸的妹妹的堂弟的表哥的爸爸与你叔叔的儿子的嫂子是什么关系? ------亲戚关系
3.用什么可以解开所有的谜? ------迷底
4.上无片瓦遮身，下无立锥之地。腰间挂个葫芦，只知阴阳之理。猜一字。 ------卜
对应成比例，那么这两个三角形相
似）．
课堂练习
书70页练习1，2，3
补充：生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.5米，则梯子的长为——————
A
D
E
B
C
丰收园
本节课你学到了什么?
作业
习题23.3
4．依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；（2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；（3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
证明3010abcabc如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相依据下列条件证明abc和abc相似ab10cmbc8cmac16cmab16cmbc256cm128cm书70页练习123图2436如图ab是斜靠在墙上的长梯梯脚b距墙16米梯子上一点d距离墙14米bd长为05米则梯子的长为依据下列各组条件判断abc和abc是不是相似如果相似请给出证明过程

三角形的三边关系

三角形的三边关系在几何学中，三角形是最基础和重要的图形之一。

三角形由三条线段组成，这些线段相交在三个点处，同时也确定了三个内角。

在三角形中，三条边之间存在着一些重要的关系，本文将探讨三角形的三边关系。

1. 三角形边长的关系在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下关系，称为三角形的三边关系：a +b >c (1)a + c >b (2)b +c > a (3)其中a、b和c分别表示三角形的三条边的长度。

这些不等式反映了三角形中任意两边之和大于第三边的规律。

这个规律非常重要，因为它是构成一个合法三角形的必要条件。

如果在三角形中存在a + b = c，a + c = b或b + c = a的情况，则这个三角形被称为退化三角形。

此时，三条边形成一条直线，无法构成一个真正的三角形。

2. 三角形边长的大小关系除了满足不等式关系外，三角形的边长还具有一定的大小关系。

根据三边关系，我们可以判断三角形的边长大小如下：如果a > b且a > c，则角C最大，边a是最长边；如果b > a且b > c，则角A最大，边b是最长边；如果c > a且c > b，则角B最大，边c是最长边；如果a = b = c，则三角形是等边三角形，三条边相等；如果a^2 = b^2 + c^2，则角A为直角，三角形是直角三角形；如果b^2 = a^2 + c^2，则角B为直角，三角形是直角三角形；如果c^2 = a^2 + b^2，则角C为直角，三角形是直角三角形。

3. 三角形边长之间的比例关系三角形的边长也可以存在一定的比例关系。

常见的三角形边长比例关系有以下几种：等腰三角形：两边相等的三角形，即a = b或b = c或c = a；等腰直角三角形：除了两条直角边相等以外，还有一边也与它们相等；等边三角形：三边都相等的三角形，即a = b = c；相似三角形：三个内角分别相等且边长成比例的三角形。

九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》优秀教学案例

4.关注学生个体差异，实施差异化教学
本案例中，教师关注学生的个体差异，针对不同层次的学生布置难易适度的习题。这种差异化教学策略使每个学生都能在课堂上找到适合自己的学习节奏，提高学习效果。
5.反思与评价相结合，促进学生的自主学习
本案例强调反思与评价的重要性，教师通过课堂观察、学生自评和互评等多种方式，全面评估学生的学习效果。这种评价方式有助于学生认识到自己的优点和不足，培养自我反思、自主学习的习惯，为学生的终身学习打下坚实基础。
此外，我还会要求学生在课后进行自我反思，总结自己在课堂上的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。通过这样的方式，使学生在完成作业的过程中，进一步巩固和深化对相似三角形性质的理解。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本教学案例的最大亮点之一是紧密联系学生的生活实际，通过展示校园内外的三角形物体，引导学生从生活中发现数学问题。这种情景创设使得学生对相似三角形的概念有了更直观、生动的认识，激发了他们的学习兴趣，提高了课堂的吸引力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组挑选一道具有代表性的习题进行讨论。讨论过程中，学生需要共同分析问题，探讨解题思路，并尝试用相似三角形的性质来解决问题。
我会在各组之间巡回指导，提供必要的帮助和提示，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，通过合作交流，共同解决问题。
（四）总结归纳
（二）过程与方法
1.通过观察、发现、讨论等教学活动，培养学生独立思考、合作交流的能力。
2.引导学生运用已学的几何知识和方法，探索相似三角形的性质，培养学生的创新精神和实践能力。
3.通过解答例题、习题，让学生掌握相似三角形性质的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的数学应用意识和实际操作能力。

相似三角形的判定(三边及两边夹角)

D
C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
2如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．A1D2B
EC
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上
的一点，且 BD2 = PD ? AD
求证：△ADC∽△CDP．
A
P
BD
C
如如图图在在正正方方形形网网格格上上有有A△1B1ＡC1和1Ｂ1AＣ2 B12C和2，△Ａ 2Ｂ它们2Ｃ相2似,它吗们？相如果似相吗似？，如求果出相相似比，；求如出果相似不比相；似如，请果说不明相理似由，。请说明理由。
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
B` A
A` C`
D
E
B
C
A
A’
B
C B’
C’
A'B' = B'C' = A'C' △ABC∽△A’B’C’
AB BC AC
如果一个三角形的三组对应边的
比相等,那么这两个三角形相似.
1.6
E
F
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延
长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
D B
A
D
E
相似三角形的判定方法
方法1：通过定义（不常用）
方法2：

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

公开课：三边对应成比例

(3)△ABC与△A'B'C' 相似吗?为什么?
三边对应成比例的两个三角形相似.
已知:如图△ABC和△ ABC中,
AB AB
AC AC

BC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
B`
C`
A
D
E
B
C
判定定理3：三边对应成比例的两三角形相似. A
几何语言： ∵ AB AC BC
复习回顾:
定义
判定方法
三角、三边对应相等角边角
全等三角形的两个三角形全等. （ASA）
角角边边角边边边边（AAS）（SAS）（SSS）
相似三角形三角对应相等，
三边对应成比例的两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截的三角形与原三角形相似.
有两个角对应相等的两三角形相似.
8
6
F
12
E
(3)AB=3，BC=4，AC=6；
方法总结：把每个三角形的三
DE=6，EF=9，DF=12 边按大小顺序依次排列，然后
不相似
比较它们对应的比值是否相等
例2：如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
△ABC与△DEF相似吗?
若相似,请给出证明,若不
BC AC
=2厘米，，
A'C'
=3厘米
，B'C'
=4厘米.
还能回得答到下同面样的的问结论题吗：？
A 12cm
18cm
(1)分别计算
A' B' AB
,
B' C' BC

九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》教案、教学设计

-运用启发式教学法，引导学生自主探究相似三角形的性质，培养他们的发现问题和解决问题能力。
-结合直观演示法，利用几何画板等教学工具，形象直观地展示相似三角形的性质。
-采用小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
2.教学过程：
-导入新课：通过一个实际生活中的问题，引出相似三角形的定义，让学生初步感知相似三角形的应用。
-各小组派代表进行汇报，展示他们的讨论成果。
2.教学目的：
-培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
-加深学生对相似三角形性质的理解，拓展他们的思维。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
-设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固相似三角形的性质和判定方法。
-针对不同层次的学生，提供不同难度的题目，使他们在练习中提高。
-激发学生对相似三角形性质的好奇心，调动他们的学习兴趣。
-引导学生从生活中发现数学问题，体会数学与生活的紧密联系。
（二）讲授新知
1.教学活动设计：
-通过几何画板动态演示，让学生直观地观察并发现相似三角形的性质。
-结合教材，讲解相似三角形的定义，阐述三条边对应成比例的两个三角形相似的原因。
-通过具体例子，讲解相似三角形的判定方法，如SSS（Side-Side-Side）判定法。
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们的学习积极性。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们的自信心。
3.通过相似三角形的学习，让学生感受到几何图形的美，提高他们的审美能力。
4.培养学生严谨、认真的学习态度，使他们认识到细节在数学学习中的重要性。
5.引导学生将数学知识与实际生活相结合，培养他们用数学眼光观察世界的能力。
3.案例分析：结合实际案例，让学生运用相似三角形的判定方法，解决具体问题。

相似三角形的判定(三边对应成比例)

A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC

DF AC

EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
AC 1 AC 3
∴ ABC ∽ ABC （ SSS ）
（三边对应成比例，两三角形相似）
2.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8,
DE=10,则当DF=_1_6__,EF=_2_4__时,△ABC∽△DEF.
A
5
8
D
10
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
AB AC BC
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
判定方法3 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简记为：三边对应成比例的两个三角形相似.
8
6
△ABC∽△DEF
DE=6，EF=8，DF=12
F
12
E
DE=6，EF=12，DF=△8 ABC∽ △EDF
(3)AB=3，BC=4，AC=6；方法总结：把每个三角形的三

如何判断三角形的边长成比例

如何判断三角形的边长成比例三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。

在解决几何问题时，我们有时需要判断三角形的边长是否成比例。

本文将介绍一些判断三角形边长成比例的方法。

一、使用相似三角形判断相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。

当两个三角形相似时，它们的对应边长成比例。

因此，我们可以通过判断两个三角形是否相似来判断它们的边长是否成比例。

判断两个三角形相似的条件有三个：1. AAA相似性质：两个三角形的三个角分别相等时，它们是相似的。

2. SAS相似性质：两个三角形的一个角相等，且它们的一个对边成比例时，它们是相似的。

3. SSS相似性质：两个三角形的三个边分别成比例时，它们是相似的。

通过以上相似性质，我们可以判断三角形的边长是否成比例。

如果两个三角形满足相似性质，它们的对应边长成比例，反之则不成比例。

二、使用角度判断除了使用相似三角形判断，我们也可以通过角度判断边长是否成比例。

1. 直角三角形：在直角三角形中，边长成比例的情况相对简单。

根据勾股定理，边长满足3:4:5或5:12:13的关系时，可以判断边长成比例。

2. 锐角三角形：对于锐角三角形，我们可以利用正弦定理、余弦定理和正切定理来判断边长是否成比例。

- 正弦定理：对于锐角三角形ABC，设三个边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有 sinA/a = sinB/b = sinC/c。

如果sinA/a = sinB/b = sinC/c成立，可以判断边长成比例。

- 余弦定理：对于锐角三角形ABC，设三个边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

如果c^2 =a^2 + b^2 - 2abcosC成立，可以判断边长成比例。

- 正切定理：对于锐角三角形ABC，设三个边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有 tanA = a/b，tanB = b/c，tanC = c/a。

第3课时三边成比例的判定方法

第 3 课时三边成比率的判断方法1.掌握三角形相像的判断方法3.2. 会用相像三角形的判断方法 3 进行计算 .阅读教材P93-94 ，自学“例 3”，理解相像三角形判断定理3.自学反应学生独立达成后集体校正①假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相像 .②假如两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比率，那么这两个直角三角形.③要判断两个直角三角形相像，最简单的方法就是再找对应相等，就能够依据相像三角形的判断3，判断这两个直角三角形相像 .④如下图，已知∠ ADE=∠ B, 则△ AED∽.原因是.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相像吗？为何？要依据已知条件选择适合的方法.活动 1小组议论例 1如图，△ ABC与△ A′ B′ C′相像吗？你有哪些判断方法？解：△ ABC∽△ A′B′ C′ .判断方法有 :1.三边成比率的两个三角形相像 .2.两角分别相等的两个三角形相像.3.两边成比率且夹角相等 .4.定义法 .活动 2追踪训练 ( 独立达成后展现学习成就 )1. 在 △ ABC 与 △ A' B ' C ' 中， AB 9cm ， BC 8cm ， CA 5cm ， A' B ' 4.5cm ， B' C '2.5cm ， C ' A ' 4cm ，则以下说法错误的选项是（）A. △ ABC 和 △A'B 'C '相像B. AB 和 A' B' 是对应边C. C 和C ' 是对应角D.BC 和 B'C ' 是对应边2. △ ABC 的三边长分别为2、10 和 2，△ A ′ B ′ C ′的两边长分别为 1和 5 ，假如△ ABC ∽ A 'B 'C ' ，则△ A ′B ′ C ′第三边的长为（）2 B.2C.2D.22A.23. 若 △ ABC 的各边都分别扩大为本来的 2 倍，获得 △ A' B 'C ' ，则以下结论正确的选项是（）A. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的对应角不相等B. △ABC 与 △ A'B'C ' 不必定相像C. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 1∶2D. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 2∶14. 已知△ ABC 的三边长分别为 6cm ， 7.5cm ， 9cm ，△ DEF 的一边长为 4cm ，假如这两个三角形相像，则△DEF 的另两条边长能够是（）A.2cm ， 3cmB.4cm ， 5cmC.5cm ， 6cmD.6cm ，7cm5. 以下四个三角形，与左图中的三角形相像的是（）6. 在△ ABC 和△ A'B'C' 中， AB=12， BC=15， AC=24， A'B'=20 ， B'C'=25 ，A'C'=40 ，则△ ABC 和△ A'B'C'（填“相像”或“不相像” ）．7. 如下图，要使△ ABC ∽△ DEF ，则 x =.8. 如图，点 O 是 △ ABC 外的一点，分别在射线 OA ，OB ，OC 上取一点 A ，B ，C ，使得OAOB OC3 ，AB ，B C ，CA△ABCOAOBOC连结，所得与△ABC能否相像？加以说明．活动 1 小组议论例 2 已知：如图，∠ ABC=∠ CDB=90°， AC=a,BC=b,当 BD 与 a,b 之间知足如何的关系时 , 这两个三角形相像 ?解 : ∵∠ ABC=∠ CDB=90°，（ 1）当BC =AB时 , △ ABC ∽△ CDB ，BD CD此时BC =AB =AC，即 a=b .BDCD BCbBD∴ BD=b 2.a2即当 BD=b时 , △ ABC ∽△ CDB ；a（ 2）当AB =BC时 , △ ABC ∽△ BDC ，BD CD此时 AB =BC =AC ，即 AB =AC .BD CD BC BD BC∴a2b 2 =a,BD=ba 2b 2 .BDba∴当 BD=ba 2b 2 时, △ ABC ∽△ BDC.a综上所述，即当b 2 b a 2 b 2BD=或 BD=时 , 这两个三角形相像 .aa此题还是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种状况.活动 2追踪训练（独立达成后展现学习成就）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2 cm/s 的速度挪动，点Q 从C 点出发，沿 CA 方向以 1 cm/s 的速度挪动，若 P 、Q 分别从B 、C 同时出发，经过多少秒时，△CPQ 与△CBA相像？活动 3讲堂小结1. 本节学习的数学知识 : 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像 .2. 依据题目的详细状况，选择适合的方法证明三角形相像 .3.本节学习的数学思想 : 数形联合、分类议论 .教课至此，敬请使用《名校讲堂》相应课时部分.【预习导学】自学反应①相等②相像③一个锐角④△ ACB 略⑤相像略【合作研究 1】活动 2追踪训练1.D2.A3.C4.C5.B6.相像 7. 408. 由已知 OA OCAOCA OC ，∴△ AOCA C OABC A B 3 ，OA 3 ，∽△AOC .∴OA3.同理3，OC ACBCAB∴ A CB C A B . ACBCAB∴ △ABC ∽△ABC.【合作研究 2】活动 2追踪训练设经过 t s 时，△ CPQ 和△ CBA 相像，此时 BP=2t cm ， CQ=t cm ，则 CP=（ 8-2t) cm ，此中 0<t<4.又 BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，求得 AC=6 cm.（ 1）当 PQ ∥ AB 时，△ CPQ ∽△ CBA,则CP =CQ，即82t = t, 因此 t=2.4.CBCA 86（ 2）当CP =CQ时，△ CPQ ∽△ CAB,则82t = t，解得 t=32.CA CB6811故经过 2.4 s 或32s 时，△ CPQ 与△ CBA 相像 .11。

07-25.4 相似三角形的判定-课时3 利用三边判定两个三角形相似和直角三角形相似的判定九年级上册

, ,, ., ,, ., .同理，，又, .
解： .理由如下：， . ，，，， .
5.新趋势·过程性学习如图，在和中，，分别是，上一点， .
（1）当时，求证 .证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由.
解:相似.理由如下：如图，分别过点，作，,交于点,交于点 .
, ，.同理 .又,, ,
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】如图，网格中都是等边三角形，，，，，.与的位置பைடு நூலகம்同，.当点在和处时，
，，，；当点在处时，，相似比是；当点在处时，，相似比是.综上所述，使与相似的点有4个.
3.一题多解如图，四边形，，都是正方形，则____ .
45
第3题图
【解题通法】在网格中证明两个三角形相似的常用方法常用的方法是两边对应成比例且夹角相等或者三条边对应成比例.在利用三条边对应成比例证明两个三角形相似时，将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算出对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.
3.在中，，，，把的各边的长度进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方.其中，得到的三角形与相似的有( )
第二十五章图形的相似
过基础教材必备知识精练
过能力学科关键能力构建
快速核答案过基础教材必备知识精练知识点1 三边对应成比例的两个三角形相似 1.C 2.B 3.B
4.证明:证法一，，分别是，，的中点，，，，，.证法二，，分别是，，的中点，，，，，，，.，，.同理可得，.