华中科技大学 流体力学第七章2
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对于有势质量力：
定理得证
第二章-1
由斯托克斯定理，沿封闭流体线的速度环量等 于流体线所围曲面面积上的旋涡强度。既然速度环 量不随时间变化，旋涡强度也不会随时间变化。
推论
理想、正压流体在有势质量力的作用下，只要 在某一时刻流动无旋，在此前和此后的所有时刻 流动也必定无旋。
如果在某一时刻流动无旋，则任意流体面上的 旋涡强度都等于零，在推论条件下，旋涡强度不随 时间变化，因此在此前和此后的所有时刻旋涡强度 也必定为零，所以流动也是无旋的。
A0
n2 A2
n0 n1
A1
第二章-1
推论 在流场中涡管不能中断。
涡管只可能以下列三种形式出现： 一端或者两端延伸到无穷远； 自身形成封闭环； 端部中止于物面或者其它边界。
例 抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环； 龙卷风一端始于水面，另一端升入云层； 河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。
第二章-1
沿 ds 的切向速度积分是
第二章-1
d 对时间的变化率为
沿整条曲线 L 的速度环量 对时间的变化率为
=0 沿封闭流体线速度环量对时间的变化率等于加速度环量。
第二章-1
开尔文(汤姆森)定理
理想、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封 闭流体线的速度环量不随时间变化。
证明 理想流体的运动方程为
对于正压流体：
如果流动是由静止状态启动的，它将始终无旋。
第二章-1
开尔文爵士
(Lord Kelvin, 1824-1907)
1824年生于爱尔兰的贝尔法 斯特，原名威廉.汤姆森(William Thomson)，1845年毕业于剑桥大 学，1846年起任格拉斯哥大学物 理学教授，因在装设大西洋海底 电缆中的突出贡献，1892年被封 为开尔文爵士 。
1．涡线与涡管
1
2
3
4
涡线 --- 处处与涡矢量 相切的空间曲线。
由于
涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。
流线方程
涡线方程
涡线不相交，并且具有瞬时性。
第二章-1
涡管 -- 由涡线组成的管状曲面。 涡管强度 -- 涡管横截面积上的涡通量。
涡管的例子： 龙卷风涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转，
其流体质点都具有很大的旋转角速度；涡核区以外 的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质 点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可 以被近似地看成是一个涡管。
类似地，江水、河水中的旋涡也可以被近似地 当作涡管处理。
第二章-1
海姆霍茨定理 任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。
证明
在涡管管壁 A0 上有
开尔文在热学、电磁学、流 体力学、光学、地球物理、数学、 工程应用等方面都做出过杰出贡献，一生发表论文600余 篇，取得发明专利70余种，其中在热学和电磁学等方面取 得的成就尤为出色，热力学温度(K)使用了他的名字命名。
第二章-1
3．旋涡运动的生成 流体具有粘性，流体是非正压的和非有势质量力
的作用是产生旋涡运动的原因。 流体粘性生成旋涡的例子 当流体流经物面时形成边界层，边界层是很薄的旋涡层。 速度的间断面会产生旋涡。
旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积 旋涡量，这就是它被称为涡通量的原因。
第二章-1
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求 x2 + y2 = 1所 围圆面积上的旋涡强度。
解 旋转角速度
在面积 A上旋涡强度
与上个例题中速度环量相等。
第二章-1
3．斯托克斯(Stokes)定理
AL
在涡核区外 r > R ，流体速度分布为
I 是龙卷风的旋涡强度。
第二章-1
由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发 生在涡核区的外缘，即 r = R 处。由涡核区速度 表达式得
龙卷风的旋涡强度等于沿 r = R 圆周的速度环量
涡核外速度为 龙卷风区域的风速分布
第二章-1
7.3 旋涡运动的基本概念
A
n
第二章-1
例 测出龙卷风旋转角速度为 = 2.5 rad/s，风区最大
风速为 vmax = 50 m/s。求出整个龙卷风区域的风速 分布。 解 龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体， 它的中心部分(涡核区)以等角速度绕自身轴旋转， 并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。 在涡核区内 r < R ，流体速度分布为
解 在圆 x2 + y2 = 1上, 其速度环量为
第二章-1
2．旋涡强度
涡量 -- 速度场的旋度
面积A上的涡通量 -- 涡量在 A 上法向分量的积分 也称为旋涡强度(或涡强)
n -- 面积 A 上的法向单位矢量。
第二章-1
当面积 A 在 xoy 平面上，nx = 0，ny = 0，nz = 1 所以
第二章-1
第二章-1
2．开尔文（Kelvin）定理 在讨论无旋流动时，很自然要提出的问题是：
在什么条件下流动才有可能是无旋的 ？ 开尔文定理指出了旋涡生成的原因，因而能 够帮助我们对上述问题做出回答。
第二章-1
定义 如果质量力矢量可以表示为某函数的梯度，即， 则该质量力场为有势质量力场。 -- 力势函数 例 重力场是最常见的有势力场，
华中科技大学 流体力学 第七章2
2020年4月24日星期五
7.2 速度环量与旋涡强度
1．速度环量 速度环量 -- 沿封闭曲线的切向速度积分
ds v
L
正方向：逆时针， 沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。
第二章-1
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求绕圆 x2 + y2 = 1 的速度环量。
根据数学定理: 如果 A 是封闭曲线 L 所围的单连通区域，则
令 P = u， Q = v， R = w，
第二章-1
封闭曲线 L 上的速度环量与 L 所围单连通区域 A 上 的旋涡强度之间具有等量关系。
斯托克斯定理中的 A 可以是空间曲面 面积，而不一定要求是平面面积。
无旋流动 -- 沿流场中任意封闭曲线 L 的速度环量均为零
第二章-1
例 密度是常数的均质不可压缩流体 是 正压流体,
例 等熵流动的均质气体 是 正压流体,
例 大气层中的空气 不是 正压流体，因为在大气层中 空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。
例 考虑到温度、盐含量对密度的影响，海水 不是 正 压流体。
第二章-1
为了证明开尔文定理，首先推导一个运动学公式。 考察一条封闭的流体线 L，沿该封闭线速度环量为
流体线由流体质点构成，当流体质点发生运动， 流体线的位置、形状和长度都会产生变化。为了研 究沿流体线的速度环量随时间的变化，先研究沿流 体线上一个微段的速度积分对时间的变化率。
第二章-1
t 时刻：ds t+ t 时刻：ds
设 0 点速度矢量为 v，0 点速度矢量为v，
由矢量相加的运算法则得到
沿 ds 的切向速度积分是
例 科里奥利力是非有势质量力。
第二章-1
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即 该流体为正压流体。 此时，可以定义一空间函数 或 -- 压强函数
第二章-1
正压条件 又可以表示为
第二章-1
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即
该流体为正压流体。 此时，可以定义一空间函数
或者
-- 压强函数
第二章-1
流体非正压生成旋涡的例子 大气层中的空气及海洋中的海水都是非正压流体。 海陆风、季风、赤道地区的贸易风是大气层中空 气非正压所Baidu Nhomakorabea生的旋涡运动； 海洋环流是海水非正压所产生的旋涡运动。
第二章-1
第二章-1
第二章-1
非有势质量力生成旋涡的例子 拔掉澡盆的塞子会出现逆时针方向旋转的涡； 北半球逆时针方向旋转的台风和龙卷风； 地球自转的科氏力会在大气层中生成气旋。
定理得证
第二章-1
由斯托克斯定理，沿封闭流体线的速度环量等 于流体线所围曲面面积上的旋涡强度。既然速度环 量不随时间变化，旋涡强度也不会随时间变化。
推论
理想、正压流体在有势质量力的作用下，只要 在某一时刻流动无旋，在此前和此后的所有时刻 流动也必定无旋。
如果在某一时刻流动无旋，则任意流体面上的 旋涡强度都等于零，在推论条件下，旋涡强度不随 时间变化，因此在此前和此后的所有时刻旋涡强度 也必定为零，所以流动也是无旋的。
A0
n2 A2
n0 n1
A1
第二章-1
推论 在流场中涡管不能中断。
涡管只可能以下列三种形式出现： 一端或者两端延伸到无穷远； 自身形成封闭环； 端部中止于物面或者其它边界。
例 抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环； 龙卷风一端始于水面，另一端升入云层； 河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。
第二章-1
沿 ds 的切向速度积分是
第二章-1
d 对时间的变化率为
沿整条曲线 L 的速度环量 对时间的变化率为
=0 沿封闭流体线速度环量对时间的变化率等于加速度环量。
第二章-1
开尔文(汤姆森)定理
理想、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封 闭流体线的速度环量不随时间变化。
证明 理想流体的运动方程为
对于正压流体：
如果流动是由静止状态启动的，它将始终无旋。
第二章-1
开尔文爵士
(Lord Kelvin, 1824-1907)
1824年生于爱尔兰的贝尔法 斯特，原名威廉.汤姆森(William Thomson)，1845年毕业于剑桥大 学，1846年起任格拉斯哥大学物 理学教授，因在装设大西洋海底 电缆中的突出贡献，1892年被封 为开尔文爵士 。
1．涡线与涡管
1
2
3
4
涡线 --- 处处与涡矢量 相切的空间曲线。
由于
涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。
流线方程
涡线方程
涡线不相交，并且具有瞬时性。
第二章-1
涡管 -- 由涡线组成的管状曲面。 涡管强度 -- 涡管横截面积上的涡通量。
涡管的例子： 龙卷风涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转，
其流体质点都具有很大的旋转角速度；涡核区以外 的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质 点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可 以被近似地看成是一个涡管。
类似地，江水、河水中的旋涡也可以被近似地 当作涡管处理。
第二章-1
海姆霍茨定理 任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。
证明
在涡管管壁 A0 上有
开尔文在热学、电磁学、流 体力学、光学、地球物理、数学、 工程应用等方面都做出过杰出贡献，一生发表论文600余 篇，取得发明专利70余种，其中在热学和电磁学等方面取 得的成就尤为出色，热力学温度(K)使用了他的名字命名。
第二章-1
3．旋涡运动的生成 流体具有粘性，流体是非正压的和非有势质量力
的作用是产生旋涡运动的原因。 流体粘性生成旋涡的例子 当流体流经物面时形成边界层，边界层是很薄的旋涡层。 速度的间断面会产生旋涡。
旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积 旋涡量，这就是它被称为涡通量的原因。
第二章-1
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求 x2 + y2 = 1所 围圆面积上的旋涡强度。
解 旋转角速度
在面积 A上旋涡强度
与上个例题中速度环量相等。
第二章-1
3．斯托克斯(Stokes)定理
AL
在涡核区外 r > R ，流体速度分布为
I 是龙卷风的旋涡强度。
第二章-1
由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发 生在涡核区的外缘，即 r = R 处。由涡核区速度 表达式得
龙卷风的旋涡强度等于沿 r = R 圆周的速度环量
涡核外速度为 龙卷风区域的风速分布
第二章-1
7.3 旋涡运动的基本概念
A
n
第二章-1
例 测出龙卷风旋转角速度为 = 2.5 rad/s，风区最大
风速为 vmax = 50 m/s。求出整个龙卷风区域的风速 分布。 解 龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体， 它的中心部分(涡核区)以等角速度绕自身轴旋转， 并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。 在涡核区内 r < R ，流体速度分布为
解 在圆 x2 + y2 = 1上, 其速度环量为
第二章-1
2．旋涡强度
涡量 -- 速度场的旋度
面积A上的涡通量 -- 涡量在 A 上法向分量的积分 也称为旋涡强度(或涡强)
n -- 面积 A 上的法向单位矢量。
第二章-1
当面积 A 在 xoy 平面上，nx = 0，ny = 0，nz = 1 所以
第二章-1
第二章-1
2．开尔文（Kelvin）定理 在讨论无旋流动时，很自然要提出的问题是：
在什么条件下流动才有可能是无旋的 ？ 开尔文定理指出了旋涡生成的原因，因而能 够帮助我们对上述问题做出回答。
第二章-1
定义 如果质量力矢量可以表示为某函数的梯度，即， 则该质量力场为有势质量力场。 -- 力势函数 例 重力场是最常见的有势力场，
华中科技大学 流体力学 第七章2
2020年4月24日星期五
7.2 速度环量与旋涡强度
1．速度环量 速度环量 -- 沿封闭曲线的切向速度积分
ds v
L
正方向：逆时针， 沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。
第二章-1
例 设速度分布为 u = -6y，v = 8x，求绕圆 x2 + y2 = 1 的速度环量。
根据数学定理: 如果 A 是封闭曲线 L 所围的单连通区域，则
令 P = u， Q = v， R = w，
第二章-1
封闭曲线 L 上的速度环量与 L 所围单连通区域 A 上 的旋涡强度之间具有等量关系。
斯托克斯定理中的 A 可以是空间曲面 面积，而不一定要求是平面面积。
无旋流动 -- 沿流场中任意封闭曲线 L 的速度环量均为零
第二章-1
例 密度是常数的均质不可压缩流体 是 正压流体,
例 等熵流动的均质气体 是 正压流体,
例 大气层中的空气 不是 正压流体，因为在大气层中 空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。
例 考虑到温度、盐含量对密度的影响，海水 不是 正 压流体。
第二章-1
为了证明开尔文定理，首先推导一个运动学公式。 考察一条封闭的流体线 L，沿该封闭线速度环量为
流体线由流体质点构成，当流体质点发生运动， 流体线的位置、形状和长度都会产生变化。为了研 究沿流体线的速度环量随时间的变化，先研究沿流 体线上一个微段的速度积分对时间的变化率。
第二章-1
t 时刻：ds t+ t 时刻：ds
设 0 点速度矢量为 v，0 点速度矢量为v，
由矢量相加的运算法则得到
沿 ds 的切向速度积分是
例 科里奥利力是非有势质量力。
第二章-1
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即 该流体为正压流体。 此时，可以定义一空间函数 或 -- 压强函数
第二章-1
正压条件 又可以表示为
第二章-1
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即
该流体为正压流体。 此时，可以定义一空间函数
或者
-- 压强函数
第二章-1
流体非正压生成旋涡的例子 大气层中的空气及海洋中的海水都是非正压流体。 海陆风、季风、赤道地区的贸易风是大气层中空 气非正压所Baidu Nhomakorabea生的旋涡运动； 海洋环流是海水非正压所产生的旋涡运动。
第二章-1
第二章-1
第二章-1
非有势质量力生成旋涡的例子 拔掉澡盆的塞子会出现逆时针方向旋转的涡； 北半球逆时针方向旋转的台风和龙卷风； 地球自转的科氏力会在大气层中生成气旋。