用特殊化思想巧解高考中的抽象函数题
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
抽象函数常见题型解法
高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。
解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
11≤≤-x练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
高考数学抽象函数6种快速解题方法与技巧(....
高考数学抽象函数的6大快速解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
特别解析：抽象函数性质
特别解析：抽象函数性质篇抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。
所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
函数f(x)的定义域为(0,)+∞，对 任意正实数x,y 都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则(2)f = （12）总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。
材料七：设函数)(x f 满足x xx f x f +=-+1)1()(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。
抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。
掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。
抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。
在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。
下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。
根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。
将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。
将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。
答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。
下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。
因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。
抽象函数的解题妙法——特殊化方法
Ａ ／１５ ＜ （．） ６５ ．（．） ／３５ ＜ ．） Ｂ ３５ ＜厂１５ ＜ （．） ． ．） － ．） ，６５ （ Ｃ，６５ ＜ （．） １ ） ．（．） ，３５ ＜ ． ５ Ｄ ３５ ＜厂６５ ＜ （． ） ． ．） Ｉ ．） ， １５ （＝ 一２ 得 厂 一 １ ， （ ）＝ｆ
（ ） ４；
令 ｚ＝ 一１得 ０ ：ｆ５ ， ， ） （）
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的以 ６ 为周期的 函数 ，（ 在 （ ， 厂 ） ０ ３ 内单 调 递 减 ， Ｙ＝厂 ） 图 ） 且 （ 的 象 关 于 ：３对 称 ， 下 面 正 确 的 则 结 论 是 （ ）
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、
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特 殊 值 法
四 、 殊 性 质 法 特 利 用 抽 象 函数 的一 些 特 殊 性
例 １ 设 厂 是 定 义 在 Ｒ 上 （ ） 的奇 函数 ，（） ， 厂 厂１ ＝２ 且 （ ＋１ ＝ ） ＋ ） Ｂ ＿ １） （ ） ６ ， 么 厂 ０ ＋ｆ ４ 的值 （
—
２ 。 ）
（．） （ ＋ ．） Ａ６ ０５ ＝ ６５ ＝厂 ０５ ＝ — ．） ６ ｌ５５ ＝ （ ＋２５ ＝ （ — ．） 厂 ．） ，３ ．） ｆ ３ ２ ５ （
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ｔ。 ）
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难 点剖 析 ３ ６
历 史 ， 该 说 是 一 门 丰 富 多 应
抽 象 函数 的 解题妙法——特殊化方法
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
高考数学几种解决抽象函数问题的方法
一、赋值法赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需条件或发现某些性质，其中f（0）、f（1）是常常起桥梁作用的重要条件。
例１设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对于任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。
若已知f（2）=1，试求：（１）f（1/2）的值；（２）f（2 - n）的值，其中n为正整数。
思路：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律。
解：（１）令ｘ＝ｙ＝１，则f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0再令x=2，y=1/2，则f（1）=f（2）+f（1/2）∴f（1/2）= －f（2）= －1（２）由于f（2 - 2）=f（1/2）+f（1/2）= －2，f（2 - 3）= f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）= －3，依此类推就有f（2 - n）= －n，其中n为正整数。
二、利用函数单调性解抽象函数不等式，要设法将它转化成显性的不等式求解．这需要具备两个条件：一是要把不等式化为f(□)＞f(△)的形式，二是要判断函数的单调性。
再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号＂f＂去掉，得到具体的不等式求解．例2 若f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且对一切a，b∈（0，+∞），都有f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，试解不等式f(x+6)－f(1/x)＞2．思路：逆用函数单调性，将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系．解：因为f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，所以f(x+6)－f(1/x)＞2则f(x+6)－f(1/x)＞2f(4)则有f(x 2+6x)－f(4)＞f(4)故f[(x 2+6x)/4]＞f(4)．由于f(x)是（0，+∞）上的减函数，因此由1/x＞0x+6＞0(x 2+6x)/4＜4同时成立解得0＜x＜2，故原不等式的解集是(0，2)．三、利用函数的对称性例3 设函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3－x）且方程f（x）=0恰好有6个不同的实根，这6个根的和为（）A.18B.12C.9D.0解：由命题１知，y=f（x）的图象关于x=3对称，故6个根的和为18，故选A。
抽象函数问题及解法
抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。
打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。
如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。
“特殊化法”速解高考选择题
余 弦 值 不 易求 出， 据 条 件 取 特 殊 图形 正 四 面体 。则 根 问题 立 即转 化 为 求 正 四 面 体 中 两 个 面所 成 二 面角 的 余
二 、取特殊 位置
例 ２ 若 动 点 Ｐ、Ｑ 在 椭 圆 ９ 。１ｙ＝ ４ ． ｘ＋ ６ｚ １４上 ，且
弦值 ，使 问题快速获解． 在立 几选择题 中， 取特 殊图形 是我们的常用方法 ．
列叫做调 和数列 ． ｘ ，是 调和数列 ， 若 ，ｚ ｙ 且有 ＝ ｃ ， ６＝ ａ ｂｃ ，为正数 ） ａｂ （ ， ，， 则 Ｃ Ａ 成等差数列 ． Ｃ 成调和数列 ． ） Ｂ 成等 比数列 ． Ｄ 各项平方成等差数列 ．
高的交点为 Ｈ， ＝ ＋ ＋－＇， ｍ（ ￣ Ｏ Ｏ － ）则实数 的值 ｄ
ａ ｃ ｈ ｌ ｒ ｍｏ ｅ ｏ ． ｈ ｔＳｍｏ ｅ ｗｅ ｓ ｏ ｌ ｅｐ ｔ ｏ ｅ ｌ ｏ ｏ ｋ ｎ ｉ Ｗ ａ ’ ｏｓ ｔ ｒ ． ｈ ｕ ｄ ｈ ｌ ｓ ｈ
主渭是否一致 、 单复数是否一致、 指代是否清楚等。 此外 ，
标点符号和字母大小写也是—个不能忽略的问题。基础 写作要求用五个句子完成 ，而句点是区分一个完整句子
项 的 和 为 １０ ０ ，则 前 ３ 项 的 和 为 （ ｍ
Ａ．１ ０ ３ Ｂ．１ ７０ Ｃ．２１ ０
）
Ｄ．２６ ０
解 析 ：取特 殊值 ｍ＝ ，则 Ｏ＝ ｌ３ ，ａ＋￣ １０ ｌ ，ｓ＝ ０ ｌａ＝ ０ ， １
ａ＝ ￣ ７０， ａ＝１ ０， ３ １
弦值为 （
Ａ． ３ ４
．
） 体 化 （ ｎ ） 使 一 个 具 ｓｘ ， ｉ
复杂的 问题被 轻松 、简单地解决 了． 熟练 掌握 一 些基
高考数学5类常见抽象函数真题讲解！你对抽象函数有多少了解？
高考数学5类常见抽象函数真题讲解！你对抽象函数有多少了解？题型一：正比例例题．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)．求证:f(x)是奇函数(2)．若f(-3)=a,用a表示f(24)①令y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(x)+f(-x)=f(0)令x=y=0,则f(0)=2f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数②∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=.....=8f(3)又∵f(-3)=a,∴f(3)=-a，∴f(24)=-8a题型二：对数函数型例题：函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数（1）证明：f(1)=0;（2）若f(x)+f(x-3)≥2成立，求x的取值范围。
①证明：令x=y=1，则f(1×1)=f(1)+f(1),故f(1)=0②∵f(2)=1,令x=y=2∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2,f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]∴f[x(x-3)]≥f(4)∵f(x)是减函数∴x(x-3)≤4,∴x²-3x-4≤0成立的x的取值范围是-1≤x≤4题型三:指数函数型例题. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1) 证明:f(0)=1,且x<0时,f(x)>1;(2) 证明: f(x)在R上单调递减;解：(1)令m=0,n=1,f(0+1)=f(0)f(1)∵当x>0时,0<f(x)<1∴f(1)>0,f(0)=1∵x>0,∴-x<0∵f(-x+x)=f(-x)f(x)f(0)=1,x>0时,0<f(x)<1∴f(-x)>1∴x<0时,f(x)>1(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]·f(x1)∵x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,故f(x2-x1)-1<0,∵f(x1)>0∴[f(x2-x1)-1]·f(x1)<0∴ f(x2)-f(x1)<0,∴f(x1)>f(x2)∴函数f(x)是R上的单调减函数.题型四：幂函数型题型五：三角函数型。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =， 有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
抽象函数巧思维，创新问题妙设置
4!(!!!J!&!!!!)!#!!!!?!## *(#根据奇函数的性质确定-&((%($利用抽 象函数满足的关系式-&#&"(%-&"(以及奇函数的 性质确定函数-&"(的周期性$利用数列的递推关系
, 1 式加以变形与转化$确定数列 (0 $# 的类型并确定 0
数列4(05的通项公式$综合数列与抽象函数的交汇知 识加以转化与求值!
一考试模 拟 测 试 %二 &数 学 试 卷 (!#&%多 选 题 &函 数 -%"&的定义域为 *!且-%" &!&)-%" $!&都为奇函 数!则下列说法正确的是%!!&!
4!-%"&是周期为#的周期函数 J!-%"&是周期为"的周期函数 )!-%" $#&为奇函数 ?!-%" $$&为奇函数 *(#利用 奇 函 数 的 定 义$通 过 抽 象 函 数$将 " 换成 &"$代入对应的函数$通过恒等变形与转化得到 -&" $#(%-&"&#($进而再次把" 换成"$#$可得 -&"(是周期为"的周期函数,在此周期函数性质的基 础上$结合-&"&!(是奇函数的性质判断相关函数的 奇偶性! 解析根据题意!若-%"&!&)-%"$!&都为奇函 数!则 有 -%&" &!&%&-%" &!&!-%&" $!& %&-%" $!&!从而有-%"&%&-%&" &#&!-%"& %&-%&" $#&%&-%#&"&!故 有 -%# & "& %-%&" &#&%-%" $#&%-%" &#&%-%" $"&% -%"&!所以-%"&是周期为"的周期函数又由于-%" &!&为奇函数!结合-%"&是周期为 "的周期函数!则-%" $$&%-%" &!&也是奇函数! 综上分析!故选 J)! !"# 充 分 把 握 抽 象 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 与 关 系式$是破解此类抽象函数综合问题最常用的基本方
借助抽象函数模型，解决函数性质问题
则 有 f(
-f(
1)
=-2,
4)
=f(
2)
=0,
1)+
f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
=0。
f(
所以 f(
1)+f (
2)+ … +f (
9
0)=2
2×
[
]
1)
+f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
+f(
1)+f(
2)
f(
=2。
故选择答案:
C。
点评:
涉及 此 类 比 较 复 杂 且 有 明 显 规 律
的函数值之间的连续和、
-2<m <6,
m|-2<
故所求不 等 式 的 解 集 为 {
x|x < -2 或
。
m <6}
点评:
在涉 及 抽 象 函 数 的 单 调 性 的 判 定
定及相关 的 应 用 问 题 时,赋 值 法 思 维 是 一 种
与应用中,
特别是在解决与抽象函数的单调
常见的思 维 技 巧。 其 实,涉 及 抽 象 函 数 中 特
创新意识与创新应 用 问 题 可 以 很 好 地 考
可得a1·a2·…·an-1<n。
an <n
an ,
得 a1 =1,
于是 1+a2 =a2,
此时无解,
不存在满
足条件的“
创新集”
A;
当 n=3 时,有 a1a2 <3,故 只 能 a1 =1,
求得 a3 =3,
用特殊法巧解一类抽象函数问题
用特殊法巧解一类抽象函数问题总结出一般性的结论，这一过程体现的是从“特殊到一般”的思维过程.抽象函数体现的即为一类函数的一般性特征，在解决有关抽象函数的问题时，若能将其转变为具体的函数，实现“一般到特殊”的思维逆转，进而对其解析式研究，则可使问题简化.下面举例说明.例1 （2022年东北三省三校联合模拟）设函数f（x）的导函数为f ′（x），若对任意x∈R都有f ′（x）>f（x）成立，则正确的结果是（）.A.f（ln2022）<2022f（0）B.f（ln2022）=2022f（0）C.f（ln2022）>2022f（0）D.以上结论不确定分析^p 与解答函数f（x）为满足对任意x∈R都有f ′（x）>f（x）的抽象函数，而题目结论是f（ln2022）与2022f（0）的大小关系，此时若是能求出f（ln2022）与2022f（0）的值，则可以得出结论，即若能知道函数f（x）的解析式，便可解决此题.由于要满足f ′（x）>f（x），而对于常值函数f（x）=a（a为常数），恒有f ′（x）=0.若a<0，则有f ′（x）=0>f（x）=a，此时便可得到结论.所以不妨令f（x）=-1，则对任意x∈R都有f ′（x）>f（x），则f （ln2022）=-1，2022f（0）=-2022.因为-1>-2022，所以f（ln2022）>2022f（0），故答案选C.评注此题存在f（ln2022），结合题目中的条件可令f （x）=-e-x，有f ′（x）=e-x，满足f ′（x）>f（x）.此时f（ln2022）=-12022，2022f（0）=-2022.因为-12022>-2022，所以f（ln2022）>2022f（0）.由此可得，特殊化的形式并不一定是唯一的，通常若抽象函数能具体为常值函数，就将其特殊成为常值函数，可使运算变简便.例2 （2022年全国）设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f （x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）.A.（-∞，-1）∪（0，1）B. （-1，0）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D. （0，1）∪（1，+∞）分析^p 与解答由于f（x）是奇函数，则不能考虑常值函数，若将函数具体成三角函数比较困难，所以可以考虑将函数具体成多项式.若考虑一次函数，则不满足条件：当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，结合已知条件，函数的每一项的次数应该为奇数，则可令f（x）=-x3+x.解f（x）=-x3+x>0易得x<-1或0<x<1，故选A.评注当抽象函数无法具体成常值函数时，要结合题目中的已知条件，选择合适的函数模型.例3 （2022年全国）已知偶函数f（x）在A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD. a>c>b分析^p 与解答此题函数y=f（x）在R上满足f ′（x）-f（x）>0，但由于函数为奇函数，所以无法将其特殊为常值函数.但观察到题目中存在f（ln2）与f（ln3），结合函数的性质，则可令f（x）=ex-e-x，所以a=f（ln3）3=3-1/33=89，b=f（ln2）2=2-122=34，c=-ef（1）=-e（e-1e）=1-e2.因为89>34>1-e2，则a>b>c，故答案选A.例5 定义在R上的函数f（x）关于点（1，1）中心对称，又是偶函数，那么在区间内，方程f（x）=1至少有实数根.分析^p 与解答此题中的函数f（x）既是中心对称函数，又是偶函数，显然不能化为常值函数模型，但可联系到正、余弦函数模型.由于函数f（x）是关于点（1，1）中心对称的偶函数，不妨令f（x）=cosπx2+1，而f（x）=1即f （x）=cosπx2+1=1，有cosπx2=0，又x∈，则x=1，3，5，7，9，即有五个实数根.当在选择题与填空题中遇到有关抽象函数的问题时，可以根据题目中的已知条件将其特殊为具体的函数，通常先观察函数能否化为常值函数.若能，则将其具体为一个常值函数，若不能，则可根据题目中的条件确定合适的函数模型，将其解析式确定下来，再对其进行研究.。
抽象函数题型
高考数学总复习：抽象函数题型抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84 故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。
解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
《高考试题中抽象函数问题的解决策略》
高考试题中抽象函数问题的解决策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。
【方法荟萃】一、“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12- D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ， 从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。
【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。
解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。
令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。
（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-，所以，)(x f y =为偶函数。
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域为 Ｒ的函数 ， ｚ 在 （ ， ｏ 上为减 函数 ， 函 ｇ ） （ ） ８ ＋ｏ ） 且 可得 ＿ ｚ 为 Ｒ上 的奇函数 ， （ ） Ｒ上的偶 厂 ） （ ｇｚ 为 数 —ｆ ｘ ） （ ＋８为偶 函数 ， （ 则 ） 函数， 于是令 ，ｚ 一 ｇ ＝ 。 （） ， （） ．可得 ／（ ） 一
ｍ＋ 一０
②
｛‘ 一 ｉ －。 解 于 ， 实 数 程 。 删十 ，关 ｚ 的 系 方 ｌ 一 四 １‘ Ｈ 口
组”从 而避免 向量 问题通过繁杂 的作图计算． ，
联 立 ① ②得 ：
一
，
一
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【 ３ 如图： Ｉ 茄 １ ， ， 夹角 例 】 Ｉ —ｌ —１ 蔬 １０，２， 夹角 ３。 ￣ ５用 ， 表示 ２￣－ － ｏ ｏ， － ， Ｄ 蔬
． ．
一
＋ 秀 扣
责任编辑 ： 马红
【 作者单位 ： 北省黄石市第三 高级 中学】
【 解答】 设 一
＋ｎ
ｌ 一
３ ９
鉴 警 一…一 … …，… 塞 …
０ “ ￡ 《
涪 数 外 司 高 考 数 学
【 般解 法 】由 ， 一 ） 一 ， ｚ ， － ｘ 一 一 （ 一 （ ） ｇ（ ）
Ａ．厂 ６＞ 厂７ （） （ ）
Ｃ． ７ ＞ 厂９ ） （）
．
Ｂ 厂６ ＞ 厂 ９ ． （ ） （） Ｄ． 厂７＞ ｆ １ ） （） （Ｏ
１ ｇ （ ） ｘ， ， ｚ ＝２ 从而得 出正确答案为 Ｂ．
【 ４ （０ ７年 高考 辽宁卷 ， １ ） 例 】 ２０ 文 ３ 已知 函 【 一般解法】由 —ｆ ｘ＋８ 为偶 函数 可得 ， 数 一 ，（ 为 奇 函数 ， ，（ ）一ｆ（ ） １ 则 （ ） ） 若 ３ ２一 ， （ ８ 一 厂 一 ＋８ ， ｚ ｚ＋ ） （ ） 用 一８代替其 中的 Ｘ得 ， ， 一２ 一， 一 ３ 一— — ． （ ） （ ）
【 ｍ Ｉ ２
一ｍＩ Ｉ＋ １２１ ｌ ｓ２。 － ．１ １０ ｚ ０ － ｃ ｏ
３ｆ ｍ 一 ＜￣ ） ｊ －
ｒ ３
即 Ｘ －＝Ｘ＋ １ Ｘ ：１￣ ｒ１ Ｘ （ ５ Ｘ ｅ 。 Ｘ １ －
‘ ・
专一 ① —＿，●， 一 ４ ● ●，● ●● ，， 潦 数 ． ＋ ｚ 数 学 ｆ ＿ 离考 同理： ． 一 球 葫 葫
．
（） ｚ 一，（ ６ ） 从 而 得 到 函数 ，（ 关 于 Ｘ＝ １ 一ｚ ， ｚ） 二兰 ８对 称 ， 以 ，（ ） 一 所 ６ 一ｆ（ Ｏ ， ７ 一 １ ） ，（ ）
）
经学过的或者所熟悉 的函数 ， 通过利用所熟悉 函数
的性质来求解所 要求解 的问题 ．这 种方法 使用 的
Ａ ．Ｏ
Ｂ． １
Ｃ．３
Ｄ ．５
【 一般解法】定义 在 Ｒ上 的 函数 ， ｚ 是奇 函 （）
前提是在特殊化 的过程 中必 须保证所 特殊 化出来 数 ， Ｏ 一Ｏ 又是周期 函数 ， 它的一个正周期 ， ） ， Ｔ是 的函数一定要满足 题 目中所 给 的已知条 件 ！下面 ． ｊ ＝， 一７ 一Ｏ ．ｒ ． （ （ ３ ， 通过 ２０ 年高考 中所 出现 的部分 函数 问题 ， 谈 ０７ 谈 函数 特殊化思想方法 的使用 ： 【 １ （ ０ ７ 高考安徽 卷 ， １ ）定 义在 Ｒ 例 ］２０ 年 理 １ 上的函数 厂 ） （ 既是奇函数 ， 又是周期 函数 ， Ｔ是它
函数．又由已知“ ＞Ｏ ／（） ， ＞ｏ得 ｘ 时， ＞０／（ ） ”
奇 函数， ｚ 在 （ ， 。 上单 调递 增 ， 函数 ｇ ） （ ） ０ ＋。 ） 偶 （ 在 （ ， ｘ 上也单调递增 ．于是有 ， ｚ 在 （ 。 Ｏ ＋ｃ ） ３ （ ） 一ｏ ，
在［ ２］ 围内画出其 图像 ， 一２ ， 范 可迅速得 出正确
・ ． ．
ｆ一 一（ 一， 能 ， ． （号）， ）ｏ 可 为５ 则 选Ｄ
【 特殊化法】由已知条件 “ 义在 Ｒ上 的函数 定 ， ｚ 既是奇函数 ， （） 又是周期 函数” 联想 到高中阶段 最熟悉 的周期 函数 ， ＝ｓ ｘ， ） ｉ 其周期 为 Ｔ一２ ｎ ，
ｇ ｚ 可得， ｚ 为 Ｒ上的奇函数 ， （ 为 Ｒ上 的偶 （） （）
～
．
…
…
＾… － 望 量 ｌ
ｘ ｎ ｅ ｘ
ｖ
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ｗ
ａ
Ｉ
用特殊化思想巧解高 的抽象函数题
■ 杜 增 年
若将方程 ， ｚ 一Ｏ 闭区 间［ （） 在 一Ｔ， 所谓函数特殊化思想 ， 就是把 已知条件中不含 的一个正周期．
函数解析式的抽象 函数通过联想 ， 特殊化为 我们 已 刀 上的根的个数记为 ｌ 则 ｎ可能 为（ ｒ ／ ）
答案为 Ｄ． 【 ２ （０７ 例 １ ２０ 年高考重庆卷 ， ９ 理 ）已知定义
Ｏ 上单调递增 ， （ ） （ 。 Ｏ 上单调递减 ， ： ） ｇ ｚ 在 一。 ，） 即 ｚ
＜ｏ 厂（） ， ｚ＜ｏ 故选项为 Ｂ． 时， ｚ ＞ｏｇ（） ．
【 殊化 法 】由 － 一 ｚ ： 一 ｆ ｘ ， 一 ） 特 厂 （ ） （ ） ｇ（ 一
，一 一 厂 一 （Ｔ＋ ） （ ） 一 （ 厂一 Ｔ ）
一
（ ， ）
（ 上接 《 平面 向量基本定理 的应用》 ｐ ８ ３）
比较①② ， 由平面 向量基本定理得 ：
．
・
．
．
＝
ｚ ＋
．
ｆ 上
：
．
・ ．
ｌ ＋ｍ ２Ａ １ １ （＋ ）
Ｉ
１ １ ｃｓ０ ．１ ． ０ ３。
・ 优 一
解 得 ： ｍ一
一面 一４ 面 一 ，
三、 利用等定系数学法 ， 构造关于两 系数的方 程 组， 即 “若 口 一 卸１ ＋ ｙ１ 则 ｅ，
’ ． ．
５ １ ｃ ｓ ０ 一 × １× １ ｃ ｓ ２ 。 ， １ × × ｏ ９。 × ｏ ｌ０ ＋ ｚ 。 ×
１
一
・ ． ．