人教A版高中数学必修2第四章 达标测试卷(无答案)
高中数学必修2第四章测试及答案
高二数学周测一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内）A．相交B．外切C．内切D．相离2. 两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条3. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝14. 与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是（）A．x－y±5＝0 B．2x－y＋5＝0C．2x－y－5＝0 D．2x－y±5＝05. 直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()A．2B．2 C．22D．426. 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是（）A．30 B．18 C．62D．527. 若直线3x－y＋c＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x2＋y2＝10相切，则c的值为()A．14或－6 B．12或－8 C．8或－12 D．6或－148. 若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________9. 圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)的圆的标准方程为__________10. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为二、解答题（共40分）11．（15分）求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．12．（25分）已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程（8分）；(2)求过P点的圆的切线长（8分）；(3)求直线AB的方程（9分）．高二数学周测答案 一、选择题 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A二、填空题8．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0； 9． (x －1)2＋(y ＋2)2＝2； 10．22．三、解答题11．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ． 又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2，设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7．在Rt △AMC 中，由勾股定理，得22 2 － ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．12．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1 ＋3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31． 如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102． 设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0． 由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)． 所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(第12题) (第11题)(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．。
高中数学 第四章 圆与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第四章 单元质量测评对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12答案 A解析 由(－1)2＋12－4m ＞0，解得m ＜12．2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －3＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为( )A ．2 5B ．4 5C ．8 5D ．20 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝3，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝11，圆心为(－2，2)， C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0，即(x －2)2＋y 2＝16，圆心为(2，0)，半径为4， ∴|C 1C 2|＝16＋4＝25， △PC 1C 2面积最大时，有PC 2⊥C 1C 2，∴△PC 1C 2的面积的最大值为12×25×4＝45，故选B ．3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0等价于y ＝－1a x －b a ，因为k ＝－1a ＞0，－ba＞0，所以直线不经过第四象限．4．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( ) A ．|AB|>|CD| B ．|AB|<|CD| C ．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD| 答案 D解析 |AB|＝22＋12＋m －32＝5＋m －32，|CD|＝22＋02＋－12＝5．因为(m －3)2≥0，所以|AB|≥|CD|．5．从M(0，2，1)出发的光线，经平面xOy 反射后到达点N(2，0，2)，则光线所行走的路程为( )A ．3B ．4C ．17D ．3 2 答案 C解析 点M(0，2，1)关于平面xOy 对称的点为M′(0，2，－1)，光线所行走的路程为 |M′N|＝2－02＋0－22＋2＋12＝17．6．直线x ＋3y ＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心 答案 A解析 直线x ＋3y ＝0的斜率为－33，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角为120°，斜率为－3，所以直线方程为3x ＋y ＝0．圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2，0)到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝233＋1＝3＝r ，所以直线与圆相切． 7．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定 答案 C解析 ∵圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，∴x－y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，解得m ＝6． 8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 答案 B解析 设圆C 2的圆心为(a ，b)，则依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径长不变，所以圆C 2的半径长为1，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，选B ．9．以(a ，1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5 答案 A解析 因为两条直线2x －y ＋4＝0和2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝25，所以所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a ，1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为|2a －1＋4|5＝|2a ＋3|5＝5，即a ＝1或a ＝－4，又因为圆心(a ，1)到直线2x －y －6＝0的距离也为5，所以a ＝1．所以所求的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，故选A ．10．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M ：(x －3)2＋(y －2)2＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析 过圆M 的圆心(3，2)向直线y ＝2x 作垂线，设垂足为N ，易知当点P 与点N 重合时，l 1与l 2关于y ＝2x 对称，此时，|MP|＝|2×3－2|5＝45，又圆M 的半径长为25，故sin∠MPA＝12，则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°． 11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB|＝2m ．因为∠APB＝90°，连接OP ，易知|OP|＝12|AB|＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max ＝|OC|＋r ＝6，即m 的最大值为6．12．设点M(x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值X 围是( )A ．[－1，1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 答案 A解析 解法一：过M 作圆O 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A ．解法二：过O 作OP⊥MN 于P ，则|OP|＝|OM|sin45°≤1， ∴|OM|≤2， 即x 20＋1≤2，∴x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a ，0)(a ＜0)，则圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|a ＋0|12＋12＝2，解得a ＝－2．故圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．14．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是________________．答案 x －2y －1＝0(x≠1)解析 圆心坐标为(2m ＋1，m)，半径长r ＝|m|(m≠0)．令x ＝2m ＋1，y ＝m(m≠0)，可得x －2y －1＝0(x≠1)，即为圆心的轨迹方程．15．若直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB＝60°，则实数m 的取值X 围为________．答案 [－22，2 2 ]解析 若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x ＋y ＋m ＝0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x2＋y 2＝1的两条切线PA ，PB ，等价于直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4有公共点，由点到直线的距离公式可得|m|2≤2，解得m∈[－22，2 2 ]．16．当且仅当a<r<b 时，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离是2，则以(a ，b)为圆心，且和直线4x －3y ＋1＝0相切的圆的方程为______________．答案 (x －1)2＋(y －5)2＝4解析 因为圆心(0，0)到直线3x ＋4y －15＝0的距离d ＝|－15|32＋42＝3，结合图形可知，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)上有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2，等价于|r －3|<2，即1<r<5，所以a ＝1，b ＝5．又点(1，5)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1＋5×－3＋1|42＋－32＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且|AB|＝32，求直线l 的方程．解 (1)将圆C 的方程化为标准方程为x 2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心为C(0，1)，半径r ＝5，圆心C(0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m|m 2＋1＝|m|m 2＋1＜1＜5，因此直线l 与圆C 相交．(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝22． 又d ＝|m|m 2＋1，则|m|m 2＋1＝22，解得m ＝±1，所以所求直线方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．18．(本小题满分12分)在空间直角坐标系Oxyz 中．(1)在z 轴上求一点P ，使得它到点A(4，5，6)与到点B(－7，3，11)的距离相等； (2)已知点M 到坐标原点的距离等于23，且它的横、纵、竖坐标相等，求该点的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(0，0，c)， 因为|PA|＝|PB|， 所以16＋25＋c －62＝49＋9＋c －112，所以c ＝515，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，515．(2)设点M 的坐标为(a ，a ，a)， 所以a 2＋a 2＋a 2＝23， 所以a 2＝4，所以a ＝±2．所以点M 的坐标为M(2，2，2)或M(－2，－2，－2)．19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心在第二象限，半径为2．(1)求圆C 的方程；(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－E2－1＝0，D 2＋E 2－4×32＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2(舍去)．∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0． (2)圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设切线l ：x ＋y ＝m(m≠0)，∴圆心C(－1，2)到切线的距离等于半径2， 即|－1＋2－m|2＝2，∴m＝－1或m ＝3． ∴所求切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．20．(本小题满分12分)已知点P 1(－2，3)，P 2 (0，1)，圆C 是以P 1P 2的中点为圆心，12|P 1P 2|为半径的圆．(1)若圆C 的一条切线在x 轴和y 轴上截距相等，求此切线方程；(2)若P(x ，y)是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解 (1)设圆心坐标为C(a ，b)，半径为r ，依题意得 a ＝－2＋02＝－1，b ＝3＋12＝2，r ＝12×4＋4＝2．∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①若截距均为0，即圆C 的切线过原点，则可设该切线为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则有|－k －2|k 2＋1＝2，解得k ＝2±6．此时切线方程为(2＋6)x －y ＝0或(2－6)x －y ＝0． ②若截距不为0，可设切线为x ＋y ＝a 即x ＋y －a ＝0， 依题意得|－1＋2－a|2＝2，解得a ＝－1或a ＝3．此时切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上，所求切线方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． (2)∵|PM|＝|PO|，∴|PM|2＝|PO|2，即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2，整理得y ＝2x ＋34，而|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2＝1420x 2＋12x ＋9，当x ＝－122×20＝－310时，|PM|取得最小值．此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0． (1)求证：对任意的m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．解 (1)证明：因为直线l ：mx －y ＋1＝0恒过定点N(0，1)，且点N(0，1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)由题知C(0，2)，设动点M(x ，y)， 当x ＝0时，M(0，1)；当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC， 所以y －2x ·y －1x＝－1，整理得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，又(0，1)满足此方程，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程是x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14．22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A 地是B 地的2倍，若A ，B 两地相距10千米，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品？解 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x ，y)，设从A 地运货到P 地的运费为2a 元/千米，则从B 地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品， 则2ax ＋52＋y 2＜ax －52＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2032．即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购买，圆C 外的居民应在B 地购买，圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购买．。
高中数学人教A版必修二：第四章《圆与方程》单元试卷(2)(Word版,含解析)
第四章圆与方程单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线y ＝x ＋10与曲线x 2＋y 2＝1的位置关系是( )． A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )． A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝13．点P (x ，y ，z )2=，则点P 在( )．A ．以点(1,1，－1)为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，2为半径的球面上D ．无法确定4．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则l 的方程是( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0 D ．x －y ＋2＝0 5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且只有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )．A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对7．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )． A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝08．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．39．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为( )．A ．36πB ．12πC ．D ．4π10．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y －1＝0(x ≠1) C ．x －2y －1＝0(x ≠1) D ．x －2y －1＝0 11．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )．A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．0＜k ＜512．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k的取值范围是( )．A ．3[,0] 4- B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[33-D ．2[,0]3-二、填空题(本题共4小题，，每小题4分，共16分)13．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为__________．14．点P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为__________．15．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．16．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为________．三、解答题(本题共6小题，共74分)17．(12分)一圆和直线l：x＋2y－3＝0切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．18．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为的弦所在的直线方程．19．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．20．(12分)圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B.(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求线段AB的长．21．(12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22．(14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案与解析1.答案：B解析：1=>.2.答案：A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，1=，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C.3.答案：C解析：根据两点间距离公式的几何意义，动点(x，y，z)满足到定点(1,1，－1)的距离恒等于2.4.答案：D解析：∵两圆圆心分别为(0,0)和(－2,2)，∴中点为(－1,1)，两圆圆心连线斜率为－1.∴l的斜率为1，且过点(－1,1)．∴l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.5.答案：B解析：⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，124C C=<，∴只有2条公切线．∴应选B.6.答案：C解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，1=-，解得a＝±3.7.答案：B解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为2231324(1)()x y－＋－＝.显然这两个圆是相交的，由22221313124x yx y⎧+=⎪⎨(-)+(-)=⎪⎩得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．8.答案：C解析：两圆的圆心分别为(,1)2aA，B(2,0)，则AB的中点1(1,)42a+在直线x－y－1＝0上，即111042a+--=，解得a＝2，故选择C.9.答案：B解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝2＝12π.10.答案：C解析：圆心为(2m＋1，m)，r＝|m|(m≠0)．不妨设圆心坐标为(x，y)，则x＝2m＋1，y＝m，所以x－2y－1＝0.又因为m≠0，所以x≠1.因此选择C.11.答案：A解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为(x＋2)2＋y2＝9，如图所示．当x＝0时，y±＝，结合图形可得A，∵AMk=∴(0k∈．12.答案：A解析：圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d，MN≥＝∴34k-≤≤.13.答案：解析：圆心C的坐标为(8,1)，由题意，得PC⊥l，∴PC的长是圆心C到直线l的距离．即PC=14.答案：1解析：∵圆心到直线的距离为1025d=＝，∴点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1.15.答案：(x－2)2＋y2＝10解析：由题意，线段AB中点M(3,2)，12ABk＝－12ABk＝－，∴线段AB中垂线所在直线方程为y－2＝2(x－3)．由223y xy-=(-)⎧⎨=⎩得圆心(2,0)．则圆C的半径r=故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.16.答案：x＋y－3＝0解析：设圆心(a,0)，∴222|1|a+＝－,∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.17.解：设圆心坐标为C(a，b)，圆的方程即为(x－a)2＋(y－b)2＝25.∵点P(1,1)在圆上，则(1－a)2＋(1－b)2＝25.①又l为圆C的切线，则CP⊥l，∴121ba-=-.②联立①②解得11ab⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或112ab⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即所求圆的方程为(x－12＋(y－1－2＝25或(x－12＋(y－1＋2＝25.18.解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①则圆心(0,0)到此直线的距离为||2dc=.因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以2220+＝.由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x－y－2＝0.19.解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为半径的圆．20.解：(1)两圆方程相减，得4x －4y ＋1＝0，即为AB 的方程．两圆圆心连线即为AB 的垂直平分线，所以AB 的垂直平分线的方程过两圆圆心，且与AB 垂直． 则AB 的垂直平分线的斜率为－1.又圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心为(1,0)，所以AB 的垂直平分线的方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.(2)圆x 2＋y 2－2x －5＝0的半径、圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心到AB 的距离、AB 长的一半三者构成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋y 2－2x －5＝0可化为(x －1)2＋y 2＝6，所以圆心(1,0)，半径，弦心距8=，由勾股定理得222||()(28AB +=，解得2AB ＝.21.解：(1)由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.则27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩∴直线l 恒过定点A (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，∴(3,1)在圆C 的内部，故l 与C 恒有两个公共点．(2)当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，有l ⊥AC ，由12AC k ＝－，得l 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.22.解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3+，(3-．故可设C 的圆心为(3，t )，则有22223(1)t t +＋－＝，解得t ＝1.则圆C 3=所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：22319.x y a x y -+=⎧⎨(-)+(-)=⎩ 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此1,2(82)4a x -±＝，从而x 1＋x 2＝4－a ，212212a x x a -+＝.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元测试（含参考答案）
人教A 版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题3x 2y 21．双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，则该双曲线的离心率为4a b （）A ．43B ．53C ．54D ．2x 2y 22．若双曲线2-2=1(m >0)的离心率为2，则实数m 的值为（）m m +2A ．1B ．13C ．2D ．33．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60︒，则该双曲线的标准方程为（）x 2y 2A ．-=1927y 2x 2C ．-=1279y 2x 2B ．-=1927x 2y 2D ．-=12794．已知点F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，若过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，交抛物线的准线于点P ，且PA =λ1AF ,，PB =λ2BF ，则λ1+λ2=（）A ．2B ．1C ．0D ．125．33)，已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F (0，直线4x +3y -13=0与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）y 2x 2A ．+=1325x 2y 2B ．+=1325y 2x 2C ．+=1369x 2y 2D ．+=1369y26．已知A、B分别是双曲线C:x-=1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第22一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A．(1,1)B． 1,⎛4⎫⎪⎝3⎭C．⎛4⎫,1⎪⎝3⎭D．⎛44⎫,⎪⎝33⎭x27．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，2则OP⋅FP的最小值为A．2-2B．12C．2+2D．1x2y28．已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若a bPF1=2PF2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． 0,⎪⎛⎝1⎫2⎭B．,⎛11⎫⎪⎝32⎭C．⎢,1⎪⎡1⎫⎣3⎭D．⎢,1⎪⎡1⎫⎣2⎭x2y29．直线过椭圆：2+2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的a b圆交于P，Q两点，若PF=3FQ，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（）A．12B．33C．73D．217x2y2F2，10．已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，若PF2-PF1=2a，a bPF1⊥F1F2，过点F2作一条与双曲线C的渐近线垂直的直线，垂足为Q，若PF1=3QF2，则双曲线C的离心率为（）A．52B．2C．103D．10二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2，过F1作直线l交C于A,B两点，且∆ABF2的周长为16，那么C的方程为2__________．12．已知双曲线C 的方程为x 2-y 2=1，则C 的右焦点到它的渐近线的距离为__________．213．抛物线y =4x 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足AF=4，BF点O 为原点，则∆AOF 的面积为__________．三、双空题x 2y 214．已知椭圆2+2=1(a >b >0)，其上一点P (3,t )到两个焦点的距离分别为6.5a b 和3.5，则该椭圆的离心率为_____，方程为_______．x 2y 215．已知双曲线2-2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a ,0)和(0,b )，若a b (-a ,0)到直线l 的距离为22c ，则离心率为__________．双曲线渐近线方程为3__________．x 2y 216．F 1，F 2分别为椭圆C :+=1的左、右焦点，P 是C 上的任意一点．则95PF 1⋅PF 2的最大值为__________；若A (0,46)，则AP -PF 2的最小值为__________．x 2y 217．=1，已知双曲线-则该双曲线的渐近线方程为________，焦点坐标为________.43四、解答题18．如图，抛物线x 2=y 与直线y =1交于M 、N 两点，Q 为该抛物线上异于M 、N 的任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ．（1）求M 、N 两点的坐标；（2）证明：B 、D 两点关于原点O 对称；（3）设△QBD 、QCA 的面积分别为S 1，S 2，若点Q 在直线y =1的下方，求S 2-S1的最小值．x 2y 2519．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距a b 3离为3．（1）求椭圆C 的方程；222（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得过点P 引圆O :x +y =b 的两条切线PA 、PB 互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1x 2y 2F 1，F 2，20．已知椭圆2+2=1,a >0,b >0，分别为椭圆的左右焦点，离心率e =，2a b 上顶点P (0,3)．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 2且斜率不为0的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |=4F 2N满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．2221．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1:2x -y =1．（1）过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；22OP ⊥OQ ；Q 两点．（2）设斜率为1的直线C 1交于P 、若l 与圆x +y =1相切，求证：x 2y 2x 2y 2F 2，22．椭圆2+2=1(a >b >0)与双曲线2-2=1(m >0,n >0)有公共焦点F 1、a b m n P 是它们的一个公共点．（1）用b 和n 表示cos ∠F 1PF 2；（2）设S∆F1PF2=f(b,n)，求f(b,n)．参考答案1．C 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y =b b 3x 即y =x ，由此可得4a a3，4结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率．【详解】3x 2y 2解：双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，4a b b 可得a解得e =故选：C 23c 2-a 29，即=，24a 16525，即e =．164【点睛】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．2．A 【分析】根据双曲线的离心率公式计算可得；【详解】x 2y 2解：因为2-2=1(m >0)m m +2所以a 2=m 2，b 2=m 2+2m 2+m 2+2由题意，得．=2，解得m =1（m =-1（舍去）m故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质的应用，属于基础题.3．C 【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程得到a ,b 关系,求解即可.【详解】抛物线x 2=24y 的焦点：(0,6),可得c =6,双曲线的渐近线的倾斜角为60︒,双曲线的焦点坐标在y 轴上.a b 21可得=3,即2=,36=a 2+b 2,解得a 2=27,b 2=9.b a 3y 2x 2所求双曲线方程为：-=1.279故选：C .【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.4．C 【分析】⎧x =my +12设直线AB 方程为x =my +1，点P (-1,-)，联立方程⎨2，y =4xm ⎩2整理得y -4my -4=0，根据韦达定理结合向量关系，即可得解.【详解】y 2=4x 的焦点为F (1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 方程为x =my +1，P (-1,-2)，m联立方程⎨⎧x =my +12y -4my -4=0，，整理得2⎩y =4x2则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，∆=(-4m )+16>0，由PA =λ1AF ，PB =λ2BF ，2)=λ1(1-x 1,-y 1)，m2(1+x 2,y 2+)=λ2(1-x 2,-y 2)，m 22得y 1+=-λ1y 1，y 2+=-λ2y 2，m m (1+x 1,y 1+λ1=-1-22，λ2=-1-，my 1my2∴λ1+λ2=-2-【点睛】2(y 1+y 2)2⨯4m =-2-=-2+2=0．my 1y 2m ⨯(-4)本题考查了抛物线和过焦点直线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥建立各个量之间的关系，同时考查了向量的运算，计算量相对较大，属于较难题.5．C 【解析】y 2x 2设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)a b ⎧y 2x 2+=1⎪2222222联立方程：⎨a 2b 2，整理得：(16b +9a )x -104b x -169b -9a b =0,⎪4x +3y -13=0⎩x 1+x 2104b 2=1，即设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则=2，化简得：a 2=4b 2，22216b +9a 2⎧a =3622，又a -b =27，易得：⎨2b =9⎩y 2x 2∴此椭圆的方程是+=1369故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.6．B 【分析】,)，设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，则k 1k 2=2，再由双曲线的性质可得点A (-1,0)，B (10由基本不等式可得2k 1=k 2=2，进而可得点P (3,4)，即可求得重心坐标.【详解】,)，由题意点A (-1,0)，B (10设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，y y y 22(x 2-1)则k 1>0，k 2>0，k 1k 2=⋅==2=2，x +1x -1x 2-1x -1所以2k 1+k 2≥22k 1k 2=4，当且仅当2k 1=k 2=2时取等号，⎧y=1⎪⎧x =3⎪x +1所以⎨，解得⎨，所以点P (3,4)，2⎩y =4⎪x 2-y =1⎪2⎩则△PAB 重心坐标为 故选：B.【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.7．B 【详解】试题分析：设点，所以，由此可得⎛-1+1+30+0+4⎫⎛4⎫,⎪即 1,⎪．33⎝⎭⎝3⎭OP ⋅FP =(x ,y )⋅(x -1,y )，x ∈[-2,2]，所以OP ⋅FP 的最小值为考点：向量数量积以及二次函数最值．8．C 【分析】根据椭圆定义及PF 1=2PF 2求出PF 2，由a -c ≤PF 2即可求解.【详解】由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，1.22a ，32a又因为a -c ≤PF 2，所以a -c ≤，3a所以有：≤c ，3因为PF 1=2PF 2，即PF 2=c 1∴≥，a 3故椭圆的离心率的取值范围是[,1)．故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.9．D 【分析】根据圆的性质结合PF =3FQ ,∠POQ =120︒求出直线PQ 的斜率，再根据A ,F 的坐标得出直线PQ 的斜率，从而得出b ,c 的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】13椭圆的焦点在x 轴上，∴a >b >0,∴F (-c ,0),A (0,b )，故直线FA 的方程为x y+=1，即bx -cy +bc =0，-c bb c，直线FA （即PQ ）的斜率为过O 作的垂线OM ，则M 为PQ 的中点，∠POQ =120,∴∠OPM =30，∴OM 3，=tan 30=PM 3PF =3FQ ,∴F 是MQ 的中点，∴直线PQ 的斜率k =tan ∠MFO =OM =2⨯OM =23，MF PM 3b 23，不妨令b =23t ,c =3t ，∴=c 3则a =b 2+c 2=21t ，∴椭圆的离心率e =c =21，故选D.a 7【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a ,c ，从而求出e ;②构造a ,c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10．D 【分析】联立直线与椭圆方程，求出PF 再用点到直线的距离公式求出QF 2，由PF 1=3QF 2，1，可得b=3，从而求出离心率；a【详解】⎧x 2y 2⎪2-2=1b 2b 2解：联立⎨a ，解得y =±，故PF 1=．b a a ⎪x =-c⎩点F 2(c ,0)到渐近线bx ±ay =0的距离d =b b 2=3，=3QF 由PF 知，故=3b 12a a|bc |a +b 22=b ，故QF 2=b ，b 2故e =1+=10，2a 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于中档题.x 2y 211．+=1168【解析】试题分析：依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c 2＝，∴c ＝22，∴b 2＝8.a 2x 2y 2∴椭圆C 的方程为+=1168考点：椭圆的定义及几何性质12．1【分析】求出双曲线的焦点、渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题得：其焦点坐标为(-2,0)，(2,0)．渐近线方程为y =±x ，所以焦点到其渐近线的距离d =故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.13．2.【解析】|±2|1+(±1)22=1．⎧AF=4，⎪⎪BF 1AF =5，A (4，4)，S =14=2p =2，.由题可得p =2，⎨2112⎪+==1，⎪⎩AF BF 2即答案为2.【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．1x 24y 214．+=122575【分析】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，由椭圆定义得PF 1+PF 2=2a =10，得16139t 216a =5；由+2=1⇒t 2=b 2，得PF 1=(3+c )2+b 2=，同理得25225b 25PF 2=(3-c )2+【详解】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，点P (3,t )在椭圆上，由椭圆定义可得51627b =，解得c =，从而解得离心率和方程.2252PF 1+PF 2=2a =6.5+3.5=10，9t 216∴a =5，∴PF 1=(3+c )+t ，且+2=1⇒t 2=b 2，于是得到25b 2522PF 1=(3+c )2+16213b =6.5=，252同理得PF 2=(3-c )2+75，4c 151627b =3.5=，联立两式可得到c =，∴e ==，2a 2252b 2=a 2-c 2=x 24y 2∴椭圆方程为+=1．25751x 24y 2故答案为：，+=1.22575【点睛】本题考查椭圆的标准方程及定义的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．15．3y =±2x【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到2e 4-9e 2+9=0，解方程即可得到离心率，注意条件0<a <b ，则有e 2>2，注意取舍，最后求出双曲线的渐近线．【详解】解：直线l的方程为x y+=1，即为bx+ay-ab=0，a b22c，3c2=a2+b2，(-a,0)到直线l的距离为可得：2aba2+b2=22c，即有3ab=2c2，32即9a2b2=2c4，即9a（c2-a2）=2c4，9a2c2-9a4-2c4=0，c，则2e4-9e2+9=0，a32解得e2=3，或e=．2由于e=由于0<a<b，即a2<b2，即有c2>2a2，即有e2>2，故e2=3，∴e=3故渐近线方程为y=±bx=±2x．a故答案为：3；y=±2x【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．94【分析】首先根据题意得到PF1⋅PF2的最大值.根据1+PF2=6，再利用基本不等式即可得到PF题意得到PF2=6-PF1，从而得到AP-PF2=AP+PF1-6，从而得到答案.【详解】x2y2由+=1可得：a=3，c=2，95由椭圆定义可知PF1+PF2=2a=6，PF1⋅PF2≤(PF1+PF22)2=9，当PF1=PF2时取等号．PF1+PF2=2a=6⇒PF2=6-PF1.AP -PF 2=AP -(6-PF 1)=AP +PF 1-6又AP +PF ，1上时取等号）1≥AF 1（当且仅当P 在线段AF (AP -PF )2min=AF 1-6=(0+2)2+(46-0)2-6=4.故答案为：9；4【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了基本不等式求最值，属于简单题.17．y =±【分析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程；以及焦点坐标.【详解】3x(±7,0)2x 2y 2=1，可得a =2，b =解：双曲线-43则该双曲线的渐近线方程为：y =±焦点坐标为：(±7,0).3，c =7，3x .2故答案为：y =±【点睛】3x ，(±7,0).2本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，考查计算能力.18．（1）M (-1,1)，N (1,1)；（2）证明见解析；（3）22-3．【分析】⎧y =x 2（1）由⎨得M ，N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)⎩y =12（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，得点B 坐标为(0,x 0)，点D 坐标为(0,-x 0)，可得B ，D两点关于原点O 的对称．（3）由（2）得|BD |=2|x 0|，S 1=12|BD ||x 0|=x 0．在直线MQ 的方程中令y =0，得点A2x0x 0((0)NQ 坐标为，，在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为，0)，1-x 01+xx 041122S 2==|AC ||x 0|=t ∈(0，1]，则S 2-S 1=2t +-322-3即可．2，令t =1-x 0，21-x 0t【详解】⎧y =x 2⎧x =-1⎧x =1解：（1）由⎨得⎨或，⎨，y =1y =1y =1⎩⎩⎩∴M 、N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)．（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，直线的方程为MQ ：y =(x 0-1)(x +1)+1，令x =0，得点B 坐标为(0,x 0)，直线的方程为NQ ：y =(x 0+1)(x -1)+1，令x =0，得点D 坐标为(0,-x 0)，2∴B 、D 两点关于原点的对称．（3）由（2）得|BD |=2x 0，S 1=12BD x 0=x 0．2x0,0)，1-x在直线MQ 的方程中令y =0，得点A 坐标为(x0(,0)，NQ 在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为1+x24x 0x 02x 0x 012∴AC =-=S =AC x 0=2，22，1+x 01-x 01-x 021-x 0442x 02x 0-x 02∴S 2-S 1=-x 0=．221-x 01-x 02令t =1-x 0，-1<x 0<1，可得t ∈(0,1]，则S 2-S 1=2t +-3≥22-3，当且仅当t =1t 22-2时取等号．时，即x 0=22综上所述，S 2-S 1的最小值为22-3．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．⎛6525⎫⎛6525⎫⎛65-25⎫x 2y 2-,,,19．（1）+（2）存在，，，，=1；P 的坐标是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪55555⎭94⎝⎭⎝⎭⎝5⎛6525⎫-5,-5⎪⎪．⎝⎭【分析】（1）根据离心率为5，再由短轴一个端点到右焦点的距离为3可得a =3，联立即可得解；3（2）假设存在点P ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，则点P 为以O 为圆心，2b 为⎧x 2y 2=1⎪+半径的圆与椭圆C 的交点，联立即⎨9即可得解.4⎪x 2+y 2=8⎩【详解】（1）e =1-()2=b a 5，a =3，b 2=4，3x 2y 2∴+=1．94（2）假设存在点P ，过点P 引圆O 的切线，连接OA ，OB ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，点P 为以O 为圆心，2b 为半径的圆与椭圆C 的交点．⎧236⎧x 2y 2x =⎪=1⎪⎪+5即⎨9，解得⎨，44⎪y 2=⎪x 2+y 2=8⎩⎪5⎩所以点P 的坐标是(-【点睛】本题考查了椭圆基本能量的计算，考查了离心率和长轴等概念，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于较难题.65-25652565256525,)，(-,)，(,)，(,-)．55555555x 2y 220．（1）（2）不存在，理由见解析.+=1；43【分析】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）首先根据题意列出方程组⎨b =3，再解方程组即可得到答案.⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩⎧x =ky +1⎪（2）首先设直线为l :x =ky +1，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立⎨x 2y 2得到=1⎪+3⎩4(3k 2+4)y 2+6ky -9=0，从而得到y 1+y 2=-6k -9y y =，，再根据123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N ，得到-y 1=3y 2，化简得到3k 2=3k 2+4，此方程无解，即可得到答案.【详解】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）由题可得：⎨b =3，解得：a =2，b =3，c =1，⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩x 2y 2所以椭圆方程为：+=1．43（2）设直线为l :x =ky +1，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，⎧x =ky +1⎪22由⎨x 2y 2，化简得(3k +4)y +6ky -9=0，=1⎪+3⎩4y 1+y 2=-6k -9y y =，，123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N 即MF 2=3F 2N ，∴MF 2=3F 2N ，MF 2=(1-x 1,-y 1)，F 2N =(x 2-1,y 2)，∴-y 1=3y 2，∴y 1+y 2=-6k，3k 2+43k -9ky =，，1223k +43k +43k -9k -9∴y 1y 2=2⋅2=2，3k +43k +43k +4∴y 2=化简得3k 2=3k 2+4，此方程无解，所以不存在满足题意的直线l ．【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．（1）【分析】（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点A (-过点A 与渐近线y =求解.（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，利用点到直线的距离公式可得b 2=2，联立方程2；（2）证明见解析.82,0)，渐近线方程：y =±2x ，从而可得22x 平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而⎧y =x +b，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，由OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=0即证.⎨22⎩2x -y =1【详解】x 2C 1:-y 2=12（1）双曲线，左顶点A (-1,0)，渐近线方程：y =±2x ．22过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为y =2(x +2)，即y =2x +1．2⎧2x =-⎪⎧⎪y =-2x ⎪4解方程组⎨得⎨⎪⎩y =2x +1⎪y =1⎪2⎩所以所求三角形的面积为S =12．|OA ‖y |=28（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |=1，即b 2=2．2⎧y =x +b 由⎨2得x 2-2bx -b 2-1=0．2⎩2x -y =1⎧x 1+x 2=2b设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则⎨2x x =-1-b ⎩12又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )，所以OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+b )(x 2+b )=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0．故OP ⊥OQ ．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.b 2-n 222．（1）2；（2）bn .2b +n 【分析】（1）先由余弦定理得到4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和222b24c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，再由点P 在椭圆和双曲线上，得到r 1r 2=和1+cos α222n 22b 22n 2b 2-n 2，最后建立方程表示出cos α=2即可；r 1r 2==21-cos α1+cos α1-cos αb +n 2b 22bn r 1r 2==b 2+n 2222（2）由（1）整理得和sin α=1-cos α=2，最后直b -n 21+2b +n b +n 2接表示出S ∆F 1PF 2即可．【详解】∠F 1PF 2=α，（1）令PF 1=r 1，PF 2=r 2，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：F 1F 22=r 12+r 22-2r 1⋅r 2⋅cos α，2222所以4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和4c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，因为P 是椭圆上的点，则r 1+r 2=2a ，2b 2．r 1r 2=1+cos α因为P 是双曲线上的点，则r 1-r 2=2m ，2n 2．r 1r 2=1-cos α2b 22n 22b 22n 2b 2-n 2所以r 1r 2=，即，整理得：cos α=2==1+cos α1-cos α1+cos α1-cos αb +n 2⎧2b 2r 1r 2=2b 2⎪22⎪r 1r 2==b +n 1+cos α（2）由（1）可得⎨，整理得：，b 2-n 2221+2⎪cos α=b -n b +n 222⎪b +n ⎩2bn b 2-n 22sin α=1-cos α=由（1）可知cos α=2，所以，b 2+n 2b +n 2所以S ∆F 1PF 2=【点睛】本题考查同角三角函数关系、余弦定理、椭圆与双曲线的定义的几何意义、三角形的面积公式，是中档题.1r 1r 2sin α=bn ．2。
人教版必修二第四章测试题(含答案)
第四章测试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）M (1,4, 2) M1. 已知点，那么点关于y 轴对称点的坐标是（）．( 1, 4,2) ( 1,4, 2) (1,4, 2) (1,4, 2)A．B．C．D．2. 若直线3x+4 y+ c=0 与圆（x+1） 2 2+y =4 相切，则 c 的值为（）．A．17 或- 23 B．23 或- 17 C．7 或- 13 D．- 7 或133. 过圆x2+y2- 2x+4 y- 4=0 内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（）.A．x+ y- 3=0 B．x- y- 3=0 C．x+4 y- 3=0 D．x- 4y- 3=04. 经过A( 1,1), B(2,2), C (3, 1)三点的圆的标准方程是（） .A． 2 2(x 1) y 4 B.2 2 (x 1) y 5C． 2 2(x 1) y 4 D.2 2 (x 1) y 55. 一束光线从点A（－1，1）出发经x 轴反射，到达圆C：（x－2）2＋（y－3）2=1 上一点的最短路程是（）.A．3 2 －1 B．2 6 C．5 D．46. 若直线l :ax+ b y+1=0 始终平分圆M:x2+y2+4x+2 y+1=0 的周长，则(a- 2)2+( b- 2)2的最小值为（）.A． 5 B．5 C．2 5 D．10A B(0,2) P (x 1)2 y2 1 ABP( 1,0)7. 已知两点、，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值分别为（）.1 1(4 5), ( 5 1)A．B．2 2 1 1(4 5), (4 5) 2 21 1(3 5), (3 5)C．D．2 2 1 1(2 5), ( 5 2) 2 28. 已知圆 2 2 4x y 与圆2 2 6 6 14 0x y x y 关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）.A.x 2y 1 0B.2x y 1 0C. x y 3 0D.x y 3 09. 直角坐标平面内，过点P(2,1) 且与圆 2 2 4x y 相切的直线（）.A.有两条B.有且仅有一条C. 不存在D. 不能确定10. 若曲线 2 2 2 6 1 0x y x y 上相异两点P、Q 关于直线kx 2y 4 0 对称，则k 的值为（）.A.1B. - 1C. 12D. 22 2 2 211. 已知圆和圆相交于A、B 两点，C1 : x y 4x 6y 0 C2 : x y 6x 0则AB 的垂直平分线方程为（）. A.x y 3 0 2x y 5 0 3x y 9 0 4x3y 7 0B. C. D.2 2y kx 3 ( x 3) ( y 2) 412. 直线与圆相交于M ，N 两点，若︱MN ︱≥2 3 ，则k 的取值范围是（）.3 3 3 3,0 , 0, , A．B．C．D．4 4 3 3 23 ,0二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分. 把答案填在题中的横线上）2 213. 圆C : x y 2x 4y 4 0 的圆心到直线l ：3x 4y 4 0 的距离d．2 2 8x 2y 5 0 x y A B AB14. 直线与圆相交于、两点，则.x y 1 015. 过点A（4，1）的圆 C 与直线相切于点B（2，1），则圆 C 的方程为.2 y216. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x- 5y+c=0x 4的距离为1，则实数 c 的取值范围是______ .三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）A ( 1 , 8)(3,0)B x17. （10 分）已知圆经过，两点，且截轴所得的弦长为2，求此5 5圆的方程.18.（12 分）已知线段AB 的端点 B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C:(x2 y21)4上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过 B 点的直线L 与圆有两个交点P，Q. 当CP CQ 时，求L 的斜率.C2y 219.（12分）设定点M（-2，2），动点N在圆上运动，以OM、0N为两边x2作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.20.（12分）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且被直线截得10y2x x y0的弦长为，求圆C的方程.4222x y2x4y30 21.（12分）已知圆C：．（1）若不经过坐标原点的直线与圆C相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求l ll直线的方程；（2）设点P在圆C上，求点P到直线距离的最大值与最小值．x y50xoy22.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆22C1:(x3)(y1)4和圆22C2:(x4)(y5)4.（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；1（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和1l，它们2C C2l1C1l2C2分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，1试求所有满足条件的点P的坐标.参考答案一题 1. 选 B . 纵坐标不变，其他的变为． 2. 选 D .圆心到切线的距离径 . 3. 选 A . 直线 l 为过点 M ， 且垂直于过点 M 的直径的直线 . 4. 选 D . 把三点的坐标代入四即可 . 5. 选 D. 因为点 A （ - 1， 1）关于 x 轴的对称点坐标为 （- 1，- 1），圆心坐标为 （2，3）， 所以点 . A （- 1，1经x轴反射圆 C ：（x －2） 2＋（ y －3）2=1 上一点的最短路 程为 2 2 ( 1 2) ( 1 3) 1 4. 6. 选 B. 由题意知，圆心坐标为（ - 2，- 1）， 2a b 1 0. 2 2 (a 2) (b 2) 表示点（ a,b ）与（ 2，2）的距离， 2 2 4 2 1 所以（ a 2） （b 2）的最小值为 5， 4 1 所以2 2 (a 2) (b 2) 的最小值为 5. C CM AB M CM P Q ABP 7. 选 B.过圆心 作于点 ，设 交圆于 、 两点，分析可知 4ABQ | AB | 55 d和 分别为最大值和最小值，得 ， ，所以最大值和最小值 1 4 1 分别为 ． 5( 1) (4 5) 2 5 2 8. 选 D. 两圆关于直线 l 对称，则直线 l 为两圆圆心连线的垂直平分线 . 9. 选A.可以判断点 P在圆外，因 10. 选 D. 曲线方程可化为 2 2 ( x 1) ( y 3) 9 ，由题设知直线过圆心，即k ( 1) 2 3 4 0, k 2. 故选 D.11. 选 C. 由平面几何知识，知 AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标 准式可得两圆心，分别为 C 1（ 2，- 3）、C 2（3，0），因为 C 1C 2 斜率为 3，所以直 线方程为y- 0=3（x- 3），化为一般式可得 3x- y- 9=0 .12. 选 A ．（方法 1）由题意，若使︱ MN ︱≥2 3 ，则圆心到直线的距离 d ≤ 1，即 3k 1 2 k23 1 ≤ 1，解得 34 ≤ k ≤ 0. 故选 A. （方法 2）设点 M ，N 的坐标分别为 x 1 , y ), (x , y ) （ 1 2 2y kx 3，2xk x 2方程组k，消去 y ，得 (1)2(3)6 022(x 3)(y 2) 4，由根与系数的关系，得2(k 3)6xx, x x，1k22122k1 1 2| |1( )4 22由弦长公式知 | MN | 1 k x xkxxx 1 x 2 =1212122 22(k 3)620k24k 12k[] 4，222k 1 k1 k 1︱ MN ︱ ≥ 2 3 ， ∴220k24k 122k1≥ 2 3 ，即 8k (4k 3）≤ 0，∴ 3 4≤ k ≤ 0，故选A .二、填空题13.3. 由圆的方程可知 C （ 1， 2），由点到直线的距离公式，可得 3 1 4 2 4 d 3 ．2 234 x 2y5 0,14. 2 3 （ 方 法 1， ， 由 消 去 得（ 1, 1) y2 222x y 8.2 5x 10x 7 0，由根与系数的关系得7 x x 2, x x , 1 2 1 2 52xx( xx )4 x x12121 24 15 5，15 4 152AB 1 （ ） x x2 3∴.122 2 55（方法2）因为圆心到直线的距离，d 552 2AB 2 r d 2 8 5 2 3 所以.2 215. ( x 3 ) y 2 .由题意知，点x y 1 0B（2，1）且与直线垂直的直线在点A,B x y10x y30的中垂线上.可求出过点B（2，1）且与直线垂直的直线为，x y30,x3,A,B x3C(3,0)的中垂线为，联立方程，解得，即圆心，半径x3,y0,r CA2，2 2 所以，圆的方程为(x3)y2.2y216..如图，圆的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线13c13x412x-5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于 1.即c221251,c13,13c13.三、解答题22217.【解析】根据条件设标准方程，(x a)(y b)rx截轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；222(3a)b r,a2,18222b2,(a)(b)r,则：∴或55222r5r1b,abr4,6,37.222 2 ∴所求圆的方程为(x2)(y2)5或(x4)(y6)37.18.【解析】（1）设，由中点公式得A x1,y1,M x,yx1x2x1，12y3y2y3，11y21x222232x2y34,即x y 1 因为A在圆C上，所以.23点M的轨迹是以0,为圆心，1为半径的圆.2（2）设L的斜率为k，则L的方程为y3k x1，即kx y k30，因为CP CQ，△CPQ为等腰直角三角形，1圆心C（-1，0）到L的距离为CP=2，2k k 32 2由点到直线的距离公式得，2 4k 12k 9 2k 22k 12-12 k+7=0，解得k=3±∴2k 11 2.故直线PQ 必过定点103，0 .19. 【解析】设P（x，y），N （x0，y0），2 2x0 y 2∴，（*）∵平行四边形MONP ，x x0 2，∴2 2y y2，2 2有x x+2，y y2，2 y 2 代入（*）有(x 2) ( 2) 2，又∵M、O、N 不能共线，∴将y0=- x0代入（*）有x0≠±，1∴x≠- 1 或x≠- 3，2 y2∴点P 的轨迹方程为(x 2) ( 2) 2 （x1且x 3）.y 2x C a,2 a20. 【解析】因为所求圆的圆心 C 在直线上，所以设圆心为，2 2x a y 2a 10 所以可设圆的方程为，x y 4 2 C a,2 a x y 0因为圆被直线截得的弦长为，则圆心到直线的距离2a 2a 4 2 ad 10 d 2 a 2，即，解得.222 21 12 2 2 2 所以圆的方程为或.x 2 y 4 10 x 2 y 4 102 2(x 1) ( y 2) 221.【解析】（1）圆C 的方程可化为，即圆心的坐标为（- 1，2），2 l半径为，因为直线在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设l x y m 0 直线的方程为；| 1 2 m|m 1m 3 于是有 ，得或，1 12l x y 1 0x y 3 0 因此直线 的方程为或．（2）因为圆心（ - 1，2）到直线 的距离为4 2，所以点 P 到直x y| 1 2 5|5 01 1x y 5 05 2 3 2 线距离的最大值与最小值依次分别为和 ．22. 【解析】（1）设直线 l 的方程为： y k (x 4) ，即 kx y 4k 0 ，由垂径定理，得：圆心 C 到直线 l 的距离122 3 2d，2 ( ) 12结合点到直线距离公式，得： | 3k 1 4k |2k 11，化简得： 24 2 7 07 kk ，解得 k或k，24 求直线 l 的方程为： y 0 或7 ( 4)yx ，24即y 0或 7x 24 y 28 0.（2） 设点 P 坐标为 (m, n) ，直线l 、l 2 的方程分别为：11y n k(x m), y n(x m) k11 kx y n km 0,x y n m 0 ，即：kk，lC 1l 2C 2因为直线被圆截得的弦长与直线被圆 截得的弦长相等，两圆半径相等 .1由垂径定理，得圆心 C 到直线与直线的距离相等 .lC 2 l 211故有：41 | 5 nm || 3k 1 n km |kk 21k112k， 化简得： (2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5，关于 k 的方程有无穷多解，有：2 m n 0， m- n +8=0， 或m n 3 0， m+n -5=0 ， 3 135 1解之得：点 P 坐标为 )2222。
人教A版必修2第4章测试题及答案.docx
人教A 版必修2第4章测试题一、选择题（共10小题；共40分） I.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A. (x-l)2 + (y-l)2 = 1 C. (x + I)2 + (y + 1尸=22.将圆x 2 + y 2 - 2x - 4y + 1 = 0平分的直线是（）A ・x + y ・-1 = 0 B ・ x + y + 3 = =0 C. x - y + 1 = 0D. x - y + 3 = 03.圆(x + 2)2 + y2 =4 与圆(x — 2)2 + (y — I)2 =9的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离4.圆 x 2 + y 2■-2x : = 0^Mx 2+y 2-4x--2y+l=0的位置关系为（）A.相交B.相离C.外切D.内切5. 已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点（3,5）的最长弦和扱短弦分别为AC 和BD , 贝侧边形ABCD 的面积为（） A. IO A /6B. 20V6C. 30A /6D. 40^66. 一条光纤从点（-2,-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+ 3尸+ （y-2）2 = l 相切，则反射光线所在 直线的斜率为（） A. -| 或-1 c. Y 或 Y7.过点M （l,2）的直线1与圆C ： （x - 2）2 + y 2 = 9交于A 、B 两点，C 为闘心，当点C 到直线1的 距离垠大时，直线1的方程为（） A. x = 18 •过三点 A(l,3), B(4,2), C(l,—7)的圆交 y 轴于 M, N 两点，则 |MN| =()A. 2V6B. 8C. 4V6D. 109.在空间直角坐标系中，--定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（） A •乎B.V3C.存D 乎10. 在如图所示的空间直角坐标系0 - xyz 屮，一个四而体的顶点坐标分别是（0,0,2）, （2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）.给出编号为①②®④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 _______B. (x+ 1尸 + (y+ 1)2 = 1 D. (x- l)2 + (y - l)2 = 2B. -三或一223D. 一兰或一三B. y = 1 D. x - 2y + 3 = 0D.④和②二、填空题(共5小题；共20分)11.____ 已知A(l,-2,5), B(—1,0,1), C⑶一A.①和②B.③和①C.④和③4,5),则△ ABC 的边BC 上的中线长为____________________________________________________________________ .12.与直线x + y-2 = 0和曲线x2+y2-12x-12y + 54 = 0都相切的半径最小的圆的标准方程是________•13.|员I心在直线x = 2卜-的阿与y轴交于两点A(0, -4), B(0, -2),则该圆的标准方程为__________14.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y = x—l被圆C所截得的弦长为2V2,则过圆心且与直线1垂直的直线的方程为_______ .15.与圆C:x2 + y2 - 2x + 4y = 0外切丁源点，且半径为2V5的I员I的标准方程为_______ ・三、解答题(共6小题；共60分)16.过点(1.V2)的百线1将圆(x 一2尸+ y2 = 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，求百线1的斜率.17.已知圆x2 +y2 = m与圆x2 + y2 + 6x - 8y - 11 = 0相交，求实数m的取值范围.18.已知AABC中，ZACB = 90°, SA丄平而ABC, AC = 3, BC = 4, SB = 13,建立适当的空间盲角坐标系，写出B, C, S的坐标.19.已知A（（H,O）, C（2,l,l）,在xOz 平面上是否存在一点P 使得PA 丄AB, PA 丄AC ?若存在，求岀P点坐标.20.判断圆Ctix2 +y2 - 2x = 0与圆C2：x2 +y2 - 4y = 0的位置关系，若相交，求其公共弦长.21.如图，船行前方的河道上有一座圆拱桥，在止常水位吋，拱圈最高点距水面为9 m,拱圈内水面宽22 m.船顶部宽4 m,船只在水面以上部分高6.5 m时通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m，船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载，降低船身.试问船身必须降低多少米，才能顺利地通过桥洞？（精确到0.01m,参考数据V9877 « 99.383）答案第一部分1. D2. C3. B4. A5. B6. D7. D8. C9. A 10. D第二部分11.212.(x-2)2 + (y-2)2 = 213.(x - 2)2 + (y + 3)2 = 514.x 4- y - 3 = 015.(x+2)2 + (y-4)2 = 20第三部分16.⑴由题，当劣弧所对的圆心角最小时，弦长也最小，此时圆心到直线1的距离最大，此时直线1和関心与定点的连线垂直，因此直线1的斜率为f.17.(1)由题意知m>0 ,圆x2 4- y2 = m 的圆心为01(0,0),半径r x = Vm ,圆x2 4- y2 + 6x - 8x - 11 = 0 的圆心为。
人教A版数学必修二第四章测试卷附解析
第四章测试卷附解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4D ．6或－22．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＜12 B ．m ＜0 C ．m ＞12D ．m ≤123．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 54．直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交5．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32 B ．34 C ．2 5D ．6556．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C．－2或6 D．0或48．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为()A．－3或 3 B． 3C．－2或 2 D． 29．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4C．3 D．210．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－12B．1C．2 D．1 211．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y ＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是()A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________．15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是____________．16．由直线y＝x＋1上一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝27，求圆C的方程．20．(12分)已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．21．(12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．(1)求圆C的方程；(2)试求圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
人教版高中数学必修2第四章单元测试(一)-Word版含答案
16．已知圆心在 x 轴上，半径为 则圆 O 的方程是 ________．
2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋ y＝ 0 相切，
三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17． (10 分 )已知三条直线 l1： x－ 2y＝ 0， l 2： y＋1＝ 0， l 3： 2x＋ y－1＝ 0 两两相交， 先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
）
A． (m－2) 2＋ n2＝4
B． (m＋ 2)2＋ n2＝ 4
C． (m－2) 2＋ n2＝8
D． (m＋2) 2＋ n2＝8
11．若圆 x2＋y2＝ 4 和圆 x2＋ y2＋ 4x－ 4y＋ 4＝0 关于直线 l 对称， 则直线 l 的方程为
（）
A． x＋ y＝ 0
B． x＋ y－ 2＝0
C． x－ y－ 2＝0
程是（
）
A． (x－ 1)2＋ y2＝ 4
B． ( x－ 1)2 ＋y2＝ 2
C． y2＝ 2x
D． y2＝－ 2x
8．设直线 2x－ y－ 3＝ 0 与 y 轴的交点为 P，点 P 把圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 25 的直径分为
21人教版高中a版数学同步必修2 第四章 圆与方程达标检测(可编辑word)
本章达标检测一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知圆C的圆心为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0的根,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2)2+(y-1)2=162.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.若将直线3x-y+c=0向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线与圆x2+y2=10相切,则c的值为( )A.14或-6B.12或-8C.8或-12D.6或-144.经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积是( )A.πB.2πC.3πD.4π5.空间直角坐标系中,点A(3,4,0)和点B(1,y,5)的距离为3√5,则y的值为( )A.0B.8C.0或8D.-8或06.若圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=07.若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )A.(-√3,√3)B.[-√3,√3]C.(-√33,√33)D.[-√33,√33]8.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为( )A.√6或-√6B.√5或-√5C.√6D.√59.直线l:kx-y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A,B两点,且|AB|=4√2,过点A,B分别作l 的垂线与y轴分别交于点M,N,则|MN|等于( )A.2√2B.4C.4√2D.810.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l的方程为( )A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=011.已知圆x2+y2=4上有且仅有两个点到直线12x-5y+m=0的距离为1,则实数m的取值范围是( )A.(13,39)∪(-39,-13)B.(-∞,-13)∪(13,+∞)C.(13,+∞)D.(-∞,-13)12.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4√2=0相切.点P在直线x=8上,过点P 引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为( )A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若点P(x,y)满足x2+y2=16,则x-y的最大值为.14.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为.15.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0对称的点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.16.若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB 长度的最大值是.三、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知圆C过点P(2,1),圆心为C(5,-3).(1)求圆C的标准方程;(2)如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点,求实数k的取值范围.18.(12分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心C在直线x+y-1=0上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.19.(12分)已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l和x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).(1)求证:直线l与曲线C相切的条件是(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程.20.(12分)已知圆M:x2+y2=1.(1)求过点(-1,-2)的圆M的切线方程;(2)设圆M与x轴相交于A,B两点,点P为圆M上异于A,B的任意一点,直线PA,PB 分别与直线x=3交于C,D两点.(i)当点P的坐标为(0,1)时,求以线段CD为直径的圆的圆心坐标及半径长; (ii)当点P在圆M上运动时,以线段CD为直径的圆C2被x轴截得的弦长是不是定值?请说明理由.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.22.(12分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(2,0),动点M(x,y)满足|MA||MB|=12,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹方程,并说明曲线C是什么图形;(2)过点(1,2)的直线l与曲线C交于E,F两点,若|EF|=4√55,求直线l的方程; (3)设P是直线x+y+8=0上的点,过P点作曲线C的切线PG,PH,切点分别为G,H,设C'(-2,0),求证:过G,P,C'三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.答案全解全析 基础过关练一、选择题1.C 根据圆C 的半径长是方程(x+1)(x-4)=0的根,可得半径长为4,故要求的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.C 易得圆心坐标为(-1,-2),半径长r=12√4+16+12=2√2,又圆心到直线x+y+1=0的距离d=√2=√2,∴过圆心且平行于直线x+y+1=0的直线与圆有2个交点,另一条与直线x+y+1=0的距离为√2的平行线与圆相切,只有1个交点,∴共有3个点.3.A 将直线3x-y+c=0即y=3x+c 向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线方程为y=3(x-1)+c-1,即3x-y+c-4=0.由直线3x-y+c-4=0与圆x 2+y 2=10相切,得√32+(-1)=√10,即|c-4|=10,所以c=14或c=-6.4.D 由题意可知,线段AB 的中垂线l 1的方程为x=1,线段AC 的中点坐标为(0,1),直线AC 的方程为y=x+1,从而线段AC 的中垂线l 2的方程为x+y-1=0,联立l 1与l 2的方程可得圆心坐标为Q(1,0),从而半径长r=|QB|=√(1-3)2+(0-0)2=2,所以圆的面积S=πr 2=4π.故选D.5.C 由两点间的距离公式得|AB|=√(3-1)2+(4-y )2+(0-5)2=3√5,解得y=0或y=8.6.A 将圆的方程x 2+y 2-2x-5=0,x 2+y 2+2x-4y-4=0化为(x-1)2+y 2=6,(x+1)2+(y-2)2=9.设两圆圆心分别为C 1(1,0),C 2(-1,2).线段AB 的垂直平分线必经过C 1,C 2,所以直线C 1C 2为线段AB 的垂直平分线,直线C 1C 2的方程为x+y-1=0.7.D 作图如下,易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心(1,0)与直线kx-y-3k=0的距离应小于等于半径长1,即√1+k2≤1,解得-√33≤k≤√33.8.B 由题意知,O 到直线AB 的距离为1,由点到直线的距离公式可得√12+(-2)=1,所以a=±√5.9.D 因为圆x 2+y 2=8,所以半径长r=2√2,因为|AB|=4√2=2r,所以AB 为圆x 2+y 2=8的一条直径.所以直线AB 过圆心(0,0),所以k=-1,则直线l 的方程为y=-x,所以两条垂线的斜率均为1,倾斜角为45°, 结合图象(图略)易知|MN|=2×√2×2√2=8.10.B 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=0,联立得{x =0,x 2+y 2-2x -2y -2=0,解得{x =0,y =1-√3或{x =0,y =1+√3,∴|AB|=2√3,符合题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+3,∵圆x 2+y 2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(1,1),圆的半径长r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=√k 2+1=√k 2+1,∵d 2+(|AB |2)2=r 2,∴(k+2)2k 2+1+3=4,解得k=-34,∴直线l 的方程为y=-34x+3,即3x+4y-12=0.综上,直线l 的方程为3x+4y-12=0或x=0.11.A 由题意得,圆心到直线的距离d 满足1<d<3,即1<|m |13<3,解得13<m<39或-39<m<-13.故选A.12.A 依题意得圆C 的半径长r=√2√12+12=4,所以圆C 的方程为x 2+y 2=16.因为PA,PB 是圆C 的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B 在以OP 为直径的圆上,设点P 的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP 的中点坐标为(4,b2),所以以OP 为直径的圆的方程为(x-4)2+(y -b 2)2=42+(b 2)2,b∈R,化简得x 2+y 2-8x-by=0,b∈R,因为AB 为两圆的公共弦,所以直线AB 的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0.所以直线AB 恒过定点(2,0).二、填空题13.答案 4√2解析 令x-y=t,则y=x-t,将其代入x 2+y 2=16得2x 2-2tx+t 2-16=0,所以Δ=4t 2-8(t 2-16)≥0,所以t 2≤32,所以t 的最大值为4√2,即x-y 的最大值为4√2. 14.答案 (0,-1)解析 圆C 的方程可化为(x +k 2)2+(y+1)2=-34k 2+1.所以当k=0时,圆C 的面积最大,此时C 的坐标为(0,-1). 15.答案 [√2-1,√2+1]解析 C 2关于直线x-y=0对称的圆为圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,由题意知,圆C 与圆C 1有交点,所以r-1≤√2≤r+1,所以r 的取值范围是[√2-1,√2+1]. 16.答案 8解析 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心为C 1(0,0),半径长r 1=1,圆C 2:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为C 2(3,-4),半径长r 2=2, ∴|C 1C 2|=5.又A 为圆C 1上的动点,B 为圆C 2上的动点, ∴线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|+r 1+r 2=5+1+2=8.三、解答题17.解析 (1)由已知可得圆的半径长为|PC|=√(5-2)2+(-3-1)2=5.∴圆C 的标准方程为(x-5)2+(y+3)2=25.(2)由题意可知,直线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0. 由√k 2+1>5,解得k>940.∴实数k 的取值范围是(940,+∞). 18.解析 (1)∵P(4,-2),Q(-1,3),∴线段PQ 的中点M 的坐标为(32,12),斜率k PQ =-1,则线段PQ 的垂直平分线的方程为y-12=1×(x -32),即x-y-1=0.解方程组{x -y -1=0,x +y -1=0得{x =1,y =0,∴圆心C(1,0),半径长r=√(4-1)2+(-2-0)2=√13.故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=13.(2)由l∥PQ,设l 的方程为y=-x+m.代入圆C 的方程,得2x 2-2(m+1)x+m 2-12=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=m+1,x 1x 2=m 22-6.故y 1y 2=(m-x 1)(m-x 2)=m 2+x 1x 2-m(x 1+x 2), 依题意知OA⊥OB,∴y 1x 1·y2x 2=-1,即x 1x 2+y 1y 2=0,于是m 2+2x 1x 2-m(x 1+x 2)=0,即m 2-m-12=0.∴m=4或m=-3,经检验,都满足Δ>0. 故直线l 的方程为y=-x+4或y=-x-3.19.解析 (1)证明:设l 的方程为x a +yb =1(a>2,b>2),化为一般式方程为bx+ay-ab=0.圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 因为l 与圆C 相切,所以√a 2+b 2=1,即ab(ab+2-2a-2b)=0,又a>2,b>2,所以ab≠0,所以ab+2-2a-2b=0.所以(a-2)(b-2)=2. (2)设AB 的中点为M(x,y). 由题意得{x =a+02,y =0+b 2,即{a =2x ,b =2y ,代入(a-2)(b-2)=2,得(2x-2)(2y-2)=2 . 又a=2x>2,b=2y>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)(y-1)=12(x>1,y>1).20.解析 (1)因为点(-1,-2)在圆M 外,所以圆M 过点(-1,-2)的切线有两条. 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-1,满足条件.当直线的斜率存在时,可设为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0. 由圆心到切线的距离d=√k 2+1=1,解得k=34.此时切线方程为3x-4y-5=0.综上,圆M 的切线方程为x+1=0或3x-4y-5=0.(2)因为圆M 与x 轴相交于A,B 两点,所以不妨设A(-1,0),B(1,0).(i)当点P 的坐标为(0,1)时,直线PA 的斜率为k PA =1,直线PA 的方程为y=x+1. 直线PA 与直线x=3的交点坐标为C(3,4),同理,直线PB 的斜率为k PB =-1,直线PB 的方程为y=-x+1.直线PB 与直线x=3的交点坐标为D(3,-2).所以以线段CD 为直径的圆的圆心为(3,1),半径长为3. (ii)以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.设点P(x 0,y 0)(y 0≠0),则x 02+y 02=1.直线PA 的斜率为k PA =y 0x 0+1,直线PA 的方程为y=y 0x 0+1(x+1). 直线PA 与直线x=3的交点坐标为C (3,4y 0x 0+1). 同理,直线PB 的斜率为k PB =y 0x 0-1,直线PB 的方程为y=y 0x 0-1(x-1). 直线PB 与直线x=3的交点坐标为D (3,2y 0x 0-1). 所以所求圆的圆心为C 2(3,y 0(3x 0-1)x 02-1),半径长r=|y 0(x 0-3)x 02-1|.解法一:圆C 2被x 轴截得的弦长为2√|y 0(x 0-3)x 02-1|2-[y 0(3x 0-1)x 02-1]2=2√8y 02(1-x 02)(x 02-1)2=2√8(1-x 02)(1-x 02)(x 02-1)2=4√2.所以以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.解法二:圆C 2的方程为(x-3)2+[y -y 0(3x 0-1)x 02-1]2=[y 0(x 0-3)x 02-1]2. 令y=0,解得(x-3)2=[y 0(x 0-3)x 02-1]2-(-y 0(3x 0-1)x 02-1)2=8y 02(1-x 02)(x 02-1)2=8(1-x 02)(1-x 02)(x 02-1)2=8.所以x=3±2√2.所以圆C 2与x 轴的交点坐标分别为(3-2√2,0),(3+2√2,0).所以以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.21.解析 (1)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C 1(-3,1)到直线l 的距离d=√k 2+(-1)=√4-(2√32)2=1,化简得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-724. 所以直线l 的方程为y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 的坐标为(m,n),不妨设直线l 1,l 2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-1k '(x-m),即k'x-y+n-k'm=0,-1k 'x-y+n+m k '=0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,两圆的半径长也相等,所以圆心C 1(-3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等,即√k '+(-1)=|-4k '-5+n+m k '|√(-1k ')2+(-1),化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5,关于k'的方程有无穷多解,则{2-m -n =0,m -n -3=0或{m -n +8=0,m +n -5=0, 解得{m =52,n =-12或{m =-32,n =132,故满足条件的点P 的坐标为(52,-12)或(-32,132).22.解析 (1)由题意得√(x+1)2+y 2√(x -2)+y 2=12,化简可得(x+2)2+y 2=4, 所以动点M 的轨迹方程为(x+2)2+y 2=4.曲线C 是以(-2,0)为圆心,2为半径长的圆.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,不符合题意; ②当直线l 的斜率存在时,设l:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0, 圆心C(-2,0)到l 的距离为d=√1+k 2. ∵|EF|=2√4-d 2=4√55, ∴d 2=165=(2-3k )21+k 2,即29k 2-60k+4=0,解得k 1=2,k 2=229, ∴l 的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0.(3)证明:∵P 在直线x+y+8=0上,∴设P(m,-m-8).∵C'为曲线C 的圆心,由圆的切线的性质可得PG⊥GC',∴经过G,P,C'三点的圆是以线段PC'为直径的圆,则方程为(x+2)(x-m)+y(y+m+8)=0,整理可得x 2+y 2+2x+8y+m(-x-2+y)=0,令x 2+y 2+2x+8y=0,且-x-2+y=0,解得{x =-2,y =0或{x =-5,y =-3.则经过G,P,C'三点的圆必过定点,所有定点的坐标为(-2,0),(-5,-3).。
第四章 数列 章末检测试卷一(第四章)(含解析)高中数学人教A版选择性必修第二册
章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（ ）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（ ）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（ ）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（ ）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（ ）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（ ）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（ ）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（ ）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（ ）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（ ）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析 根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析 函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解 (1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解 (1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明 因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解 因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解 因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解 (1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解 (1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。
高中数学必修2第四章测试(含答案)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝() A．5 B.13 C．10 D.107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. 3B. 2C.3或－ 3D.2和－ 28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3 C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A.9πB.πC．2π D．由m的值而定11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512) B．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1.(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A 3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62，∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)．∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12， ∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3.答案：C 8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4，∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0，∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2.∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |.依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1.∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C12解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D 13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.14解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 15解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0.∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)，∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0，解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x ＋y －3＝0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12， |AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2.∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510. 21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16.此时，x 13＝y 14＝45， ∴x 1＝125，y 1＝165. ∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165.同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0，∵上式对于任意k ≠－1恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)．(3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径，即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±3 5.。
高中数学 人教A版 必修2 第四章 圆与方程 高考复习习题(解答题201-300)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第四章 圆与方程 高考复习习题（解答题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B （,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点,M N ，（O 为坐标原点），求曲线C 的方程．2．已知直线l :y=k 与圆O:224+=x y 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，∆ABO 的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.3．在ΔABC 中，点A,B 的坐标分别是(−√2,0),(√2,0),点G 是ΔABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求ΔABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l:y =kx +m 与轨迹E 相交于P,Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．4．已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．5．已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l .（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．6．（本小题12分）圆C 的半径为3，圆心在直线20xy 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为25．（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．7．（本小题12分）已知点)5,0(P 及圆:C 02412422=+-++y x y x ． （1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段AB 长为34，求直线l 的方程； （2）求圆C 内过点P 的弦中点的轨迹方程．8．已知⊙M ：x 2＋（y －2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． （Ⅰ）若AB ＝，求MQ 及直线MQ 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点．9．已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的两条直线交轨迹Q 于点A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点．10．已知点1(2,3)P -，2(0,1)P ，圆C 是以12P P 的中点为圆心，121||2PP 为半径的圆. （1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线方程；（2）若(,)P x y 是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，||||PM PO =，求使||PM 最小的点P 的坐标.11．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问是否存在直线:l y x b =+与圆C 交于,A B 两点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）．若存在，求出l 的方程；若不存在，试说明理由．12．在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 13．如图所示，已知以点A （－1，2）为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B （－2，0）的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当＝2时，求直线l 的方程； （3）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．14．已知12F F 、为椭圆（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆O 是以1F ， 2F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A 、，若32OA OB ⋅=-，求k 的值. 15．已知圆C 的方程为x 2+（y-4）2=4，点O 是坐标原点，直线l:y=kx 与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且=+．请将n 表示为m 的函数．16，动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．17．（原创）（本小题满分12分）已知点(3,0),H -点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在PQ 上，且满足0HP PM ⋅=,3PM MQ =-. （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程C;（2）给定圆N: 222x y x +=，过圆心N 作直线l ，此直线与圆N 和（1）中的轨迹C 共有四个交点，自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程。
人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷A(含答案)
第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。
高中数学选择性必修二 第四章 数列单元测试(提升卷)(无答案)
第四章 数列 单元过关检测 能力提升B 卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则1324a a a a （ ）A ．13B ．23C ．53D ．22．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914 D ．149244．已知数列{}n a 为等差数列，135102a a a ++=-，24699a a a ++=-，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最小值的n 是（ ） A ．37和38B ．38C ．37D ．36和375．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4B ．5C ．6D ．76．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，以此类推，若100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，则N 的最小值为（ ） A ．440B ．330C ．220D ．1107．等差数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*3,n n ≥∈N ，满足121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=，则（ ）A ．n 的最大值为50B ．n 的最小值为50C ．n 的最大值为51D ．n 的最小值为518．已知数列{}n a 满足()2*1232n n a a a a n N =∈，且对任意的*n N ∈都有12111nt a a a +++<，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．1+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，C ．2+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，D ．2+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，二、多选题9．(多选)已知单调递增的等差数列{}n a 满足123101+a +a +0a a ⋯+=，则下列各式一定成立的有（ ） A ．11010a a +>B ．21000a a +=C ．31000a a +≤D ．510a =10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，99101011,01a a a a -><-则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．10111a a >C ．n S 的最大值为10SD ．n T 的最大值为9T11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝012．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N 为边BC 上的一列点，连接nAF 交BD于n G ，点()*n G n ∈N满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--三、填空题13．已知数列{}n a 满足142n na a +=-且14a =，n S 为数列{}n a 的前项和，则2020S =__________. 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______. 15．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．16．已知等比数列{}n a 中11a =，48a =，在n a 与1n a +两项之间依次插入12n -个正整数，得到数列{}n b ，即12345,1,,2,3,,4,5,6,7,,8,9,10,11,12,13,14,15,,a a a a a ⋅⋅⋅．则数列{}n b 的前2013项之和2013S =_______(用数字作答)．四、解答题17．在①对任意1n >，满足()1121n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③()11n n S na n n +=-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，______，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．18．根据预测，疫情期间，某医院第()N n n *∈天口罩供应量和消耗量分别为n a 和n b （单位：个），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第4天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S n =--+（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为2*111,1,,n n n n S a S S a n N ++=+=∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：1122222...22n n n n a b a b a b a b +++++=-，求数列221log n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1a 为2a 与2S 的等差中项，当2n ≥时，总有11230n n n S S S +--+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记m b 为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在区间(()1*0,4m m N -⎤∈⎦内的个数，记数列(){}21m m b -⋅的前m 项和为m W ，求20W .21．已知项数为*,(2)m m N m ∈≥的数列{}n a 为递增数列，且满足*n a N ∈，若()12 (1)m n na a a ab m +++-=-，且*nb N ∈，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（1）数列1,5,9,13,17是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由；（2）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列"，证明: 12m b b b >>⋯>；（3）已知数列{}n a 存在“伴随数列{}n b ，且11,2049m a a ==，求m 的最大值. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()1*1221N n n n S a n ++=-+∈，且25a =．（1）证明12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 2nn n b a =+，且22212111n nT b b b =++⋅⋅⋅+，证明2n T <； （3）在（2）的条件下，若对于任意的*N n ∈不等式()()1260n n b n n b λ+-+-<恒成立，求实数的取值范围．。
人教A版高中数学必修2第四章综合检测
第四章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3D.11[解析] B 点坐标为(0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13.∴应选B.2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜12B ．m ＜0C ．m ＞12 D ．m ≤12[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)， 5[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5.4．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1， ∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．5．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2 D ．±2[答案] D[解析] ∵圆心坐标为(－a2，0)， ∴|－a2|＝1，∴a ＝±2.6．圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与圆C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)外切，则r 的值为( )A.102B.52 C ．5 D ．10 [答案] A[解析] 圆C 1与圆C 2的圆心坐标分别为(0,0)，(3，－1)，则圆心距d ＝10，故2r ＝10，r ＝102.7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0[答案] D[解析] ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 设切线的斜率为k ，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0.8．(2012－2013·江苏苏州模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4 [答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故|a －2|2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.9．(2012～2013·北京东城区高三期末检测)直线l 过点(－4,0)，且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 [答案] D[解析] 由题意，得圆心C (－1,2)，半径r ＝5，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －2)2＝25，x ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，即此时与圆C 的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB |＝8，即x ＋4＝0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋4k |k 2＋1＝|3k －2|k 2＋1，又|AB |＝2r 2－d 2，所以225－(|3k －2|k 2＋1)2＝8，解得k ＝－512，则直线l 的方程为－512x －y ＋4×(－512)＝0， 即5x ＋12y ＋20＝0.10．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1[答案] B[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.11．(2012－2013·山东威海模拟)若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3 B. 3 C ．－2或 2 D. 2[答案] A[解析] 方法一：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－(32)2＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3.方法二：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.12．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( )A ．(0，43]B ．[13，43]C ．[0，12] D ．[0,1][答案] D[解析] 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是________．[答案] －76[解析] 设点P (0，b,0)，则 (1－0)2＋(2－b )2＋(3－0)2＝(2－0)2＋(－1－b )2＋(4－0)2，解得b ＝－76.14．(2012－2013·江苏扬州安宜高中期中)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.15．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C 的切线有且只有________条．[答案] 2[解析]由C(1，－2)，r＝2，则|PC|＝12＋(－2－5)2＝52>r＝2，∴点P在圆C外，∴过P作圆C的切线有两条．16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，∵A到l的距离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，即r2＝ 2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.故其方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．[解析]∵AB的中点是(1,3)，k AB＝4－2－1－3＝－12，∴AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.令x ＝0，得y ＝1， 即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝12＋(4－1)2＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)(2012～2013·宁波高一检测)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．[解析] 以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得： |MN |＝(a 2－a 4)2＋(a 2－34a )2＋(a2－a )2＝64a .规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．19．(本小题满分12分)已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2510时，求实数m 的值． [解析] (1)∵圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为(3,0)．∵直线x －my ＋3＝0与圆相切， ∴|3＋3|1＋m2＝2，解得m ＝±2 2. (2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝61＋m 2.由2510＝24－(61＋m 2)2得，2＋2m 2＝20m 2－160， 解得m 2＝9，故m ＝±3.20．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4,0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值． [解析] (1)∵点P (x ，y )是MN 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16.故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.21．(本小题满分12分)如图所示，l 1，l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M ，N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一段圆弧，点M 在点O 正北方向，且|MO |＝3 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为4 km 和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑到环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于26 km.求校址距离点O 的最近距离．(注：校址视为一个点．)[解析] (1)以城市开发中心O 为原点，分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意，得M (0,3)，N (4,5)，故k MN ＝5－34－0＝12，MN 的中点为(2,4)， ∴线段MN 的垂直平分线方程为y －4＝－2(x －2)．令y ＝0，得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝(4－0)2＋(0－3)2＝5.∴圆A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，∴MN ︵的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4,3≤y ≤5)．(2)设校址选在点B (a,0)(a ＞4)， 则(x －a )2＋y 2≥26时0≤x ≤4恒成立，又y 2＝25－(x －4)2，所以(8－2a )x ＋a 2－17≥0①对0≤x ≤4恒成立．令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17，∵a ＞4，∴8－2a ＜0.∴f (x )在[0,4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞4，f (4)≥0时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4，(8－2a )4＋a 2－17≥0， ∴a ≥5，即校址距离点O 的最近距离为5 km.22．(本小题满分12分)已知圆P ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ≠0)，满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，圆的方程．[分析]根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r，a，b之间的方程组，然后解出相应的a，b，r间的关系，最后借助于一元二次函数解决．[解析]如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，∴∠APB＝90°.取AB的中点D，连接PD，则有|PB|＝2|PD|，∴r＝2|b|.取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.∵圆截y轴所得弦长为2，∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即2b2－a2＝1.则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.规律总结：(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有(l2)2＋d2＝r2.。
人教A版高中必修二试题高中第四章达标测试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中数学必修2第四章达标测试卷时量：120分种 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝02．点A(－1，2，1)在x 轴上的投影点和在x O y 平面上的投影点的坐标分别为A ．(－1，0，1)，(－1，2，0)B ．(－1，0．0)，(－1，2，0)C ．(－1，0，0)，(－1，0，0)D ．(－1，2，0)，(－1，2，0)3．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋k ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则k 的取值范围是A ．(－17，－7)B ．(3，13)C ．(－17，－7)∪(3，13)D ．[－17，－7]∪[3，13]4．若直线ax ＋y ＝1与圆(x －3)2＋(y －2)2＝1有两个不同交点，则a 的取值范围是A ．(0，3)B ．(－3，0)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)5．过点(2，1)的直线被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程是A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝06．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1＝0的圆心到直线x －y ＋1＝0的距离是A ．21B ．23C ．22D ．223 7．两个圆C 1：x 2十y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是A ．],(41-∞B ．),(410C ．),(041-D ．),[+∞-419．曲线x 2＋y 2＋22x －22y ＝0关于A ．直线2=x 对称B ．直线y ＝－x 对称C ．点(－2，2)中心对称D ．点),(02-中心对称 10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2十6x －4y ＝0，则两圆的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交D ．内含11．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2十(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF(O 是原点)的面积为A ．23B ．43C ．52D ．556 12．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于A ．－33或3B ．－33或33C ．3或－3D ．－3或33二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知圆(x －2)2＋(y －3)2＝13和圆(x －3)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
人教A版高中必修二试题第四章过关测试卷(
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第四章过关测试卷 （100分，45分钟）一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝02. 过点(1，0)的直线与圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4相交，截得的弦的中点M 的轨迹是( )A ．圆弧B ．圆C ．线段D ．直线3. 圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3，1)，则直线l 的方程为 ( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x －y －2＝0 D ．x ＋y －4＝04. 已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条5.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-42,42 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-81,81 6. 〈杭州模拟〉若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）7. 若P (x ，y )在圆(x －3)2＋(y －3)2＝6上运动，则xy的最大值为______．8. 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，过定点A (1，2)可作该圆的两条切线，则a 的取值范围为______．9. 过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是_______．10. 〈苏州一模〉过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为______．三、解答题（11，12题各14分，13题16分，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11. 〈大连模拟〉已知圆M过点C(1，－1)，D(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形P AMB的面积的最小值．12. 如图1所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D对称的点的坐标.图1 13. 圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证：以''Q P 为直径的圆C 总经过定点，并求出定点的坐标.参考答案及点拨一、1. D 点拨:设切线方程为y －3=k (x －1).∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，∴圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为(2，0)，∴1230--·k ＝－1，解得k ＝33， ∴切线方程为x －3y ＋2＝0.∴选D.2. A 点拨:定点A (1，0)，圆心C (－1，1)，设M (x ，y )．∵△AMC 为直角三角形．∴(x ＋1)2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2＝(1+1)2+(0－1)2. ∴x 2＋y 2－y －1=0.∵点M 在圆内，∴轨迹为圆弧．3. D 点拨:由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，则圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2，0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－ACk 1 (x －3)＝－x ＋3，即得x ＋y －4＝0.4. B 点拨:因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，所以经过其中任意两点的割线共有21×(12×11)＝66（条），过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78（条），而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72（条）．故选B.5. C 点拨:易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得122++k kk ＜1，即k 2＜81，解得－42＜k ＜42.6. A 点拨：将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.答图1二、7. 2＋3 点拨:由x y 的几何意义知xy＝OP k ，P 在圆(x －3)2＋(y －3)2＝6上，如答图1所示，当P 点是由O 点向圆作切线的切点时，xy的值最大，设直线OP 的斜率为k （k >0），则直线OP 的方程为y ＝kx ，圆心O 1的坐标为(3，3)，半径为6，圆心O 1到直线OP 的距离等于6，则有2133kk +-＝6，解得k 1＝2＋3，k 2＝3－2（舍去），∴xy的最大值是2＋3. 8. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332 点拨:圆C 的方程可变形为：(x +2a )2＋(y ＋1)2＝4342a -，其中4342a -＞0，即－332＜ a ＜332.①∵过A 可作该圆的两条切线，∴A 在圆C 外，∴1＋4＋a ＋4＋a 2＞0，即a 2＋a ＋9＞0.②由①②可得：－332＜ a ＜332.∴a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332. 9. ( 2，2) 点拨:方法一：如答图2所示，｜OP ｜＝OPAOA ∠sin ＝2，易得P为CD 的中点，故P (2，2)．方法二：设P (x ，y )，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.2,2022222y x y x y x 故P (2，2)．答图210. 35 点拨:如答图3所示，根据题意，得∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝90°， ∴CP ⊥l .∴P 到圆心C 的距离等于C 到l 的距离d ＝141-82+⨯＝35.答图3三、11.解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+--=--+-，，）（，）（02)1(1)1(1222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===，，，4112r b a 故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12｜AM ｜·｜P A ｜＋21｜BM ｜·｜PB ｜，又｜AM ｜＝｜BM ｜＝2，｜P A ｜＝｜PB ｜，所以S ＝2｜P A ｜，而｜P A ｜＝4222-=-PMAMPM，即S ＝242-PM.因此要求S 的最小值，只需求｜PM ｜的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得｜PM ｜的值最小，所以｜PM ｜min ＝224381413++⨯+⨯＝3，所以四边形P AMB 的面积的最小值为243242min2-=-PM＝25.12. 解：由B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，得BB 1的中点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2111，，， 由B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，得D 1B 1的中点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,2121，.设B 1关于点D 对称的点为M (x 0，y 0，z 0)， 即D 为B 1M 的中点，因为D (0，0，0)，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.111210210210000000z y x z y x ，，解得，，， 所以B 1关于原点D 对称的点的坐标为（－1，－1，－1）.13. 解：(1)∵直线l 1过点A (3，0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)(斜率不存在时，明显不符合要求)，即kx －y －3k ＝0， ∴圆心O (0，0)到直线l 1的距离d ＝132+k k ＝1，解得k ＝±42，∴直线l 1的方程为y ＝±42(x －3)． (2)对于x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1，∴可令P (－1，0)，Q (1，0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2的方程为x ＝3，设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y ＝1+s t (x ＋1)．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++==，)1(1,3x s ty x 得⎪⎩⎪⎨⎧+==，14,3s t y x ∴P ′⎪⎭⎫ ⎝⎛+143s t ，.同理可得，Q ′⎪⎭⎫⎝⎛-123s t ，，∴以P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)(x－3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+-14s t y ⎪⎭⎫ ⎝⎛--12s t y ＝0，又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋t s 26-y ＝0，若圆C 经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22，∴圆C 总经过定点，其坐标为(3±22，0)．。
人教A版高中数学必修2练习测试题第四章4.1.2
4．1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程．[知识链接]1．圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断． [预习导引]1．圆的一般方程的定义(1)当222＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛－D 2，－(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)2222点M 在圆内x 0＋y 0＋Dx 0＋Ey 0＋F <0要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项． ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径长的圆． 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.要点二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 要点三 求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解 设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2 ＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线．即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点． 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法．(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程． 解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3.且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为 x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为 x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．2．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤12 B ．k ＝12C ．k ≥12D ．k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 4．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________．答案 114解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．一、基础达标1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9 答案 A解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0 答案 C解析 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a ＝2或a ＝0.3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F 答案 A解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A. 4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1 ＝3－ 2.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 7．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k . 由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即：x ＋y －4＝0. 二、能力提升8．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.9．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝2 答案 A解析 设P (x ，y )，则PM ⊥PN .又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形， 因此不成立．同理当x ＝－2时也不成立． 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．10．光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________． 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2.11．已知定点A (2,0)，圆x 2＋y 2＝1上有一个动点Q ，若线段AQ 的中点为P ，求动点P 的轨迹．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，Q (x 1，y 1)， 利用中点坐标公式有⎩⎨⎧x ＝2＋x12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －2，y 1＝2y ，∵x 21＋y 21＝1，∴(2x －2)2＋(2y )2＝1，∴动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝14.∴动点P 的轨迹为以(1,0)为圆心，12为半径的圆．三、探究与创新12．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． 解 方法一 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上， 故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |.r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方，得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
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高中数学必修2第四章达标测试卷
时量：120分种 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
2．点A(－1，2，1)在x 轴上的投影点和在x O y 平面上的投影点的坐标分别为
A ．(－1，0，1)，(－1，2，0)
B ．(－1，0．0)，(－1，2，0)
C ．(－1，0，0)，(－1，0，0)
D ．(－1，2，0)，(－1，2，0)
3．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋k ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则k 的取值范围是
A ．(－17，－7)
B ．(3，13)
C ．(－17，－7)∪(3，13)
D ．[－17，－7]∪[3，13]
4．若直线ax ＋y ＝1与圆(x －3)2＋(y －2)2＝1有两个不同交点，则a 的取值范围是
A ．(0，3)
B ．(－3，0)
C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
5．过点(2，1)的直线被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程是
A ．3x －y －5＝0
B ．3x ＋y －7＝0
C ．x ＋3y －5＝0
D ．x －3y ＋1＝0
6．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1＝0的圆心到直线x －y ＋1＝0的距离是
A ．21
B ．23
C ．22
D ．2
23 7．两个圆C 1：x 2十y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是
A ．],(41-∞
B ．),(410
C ．),(04
1- D ．),[+∞-41 9．曲线x 2＋y 2＋22x －22y ＝0关于
A ．直线2=x 对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．点(－2，2)中心对称
D ．点),(02-中心对称 10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2十6x －4y ＝0，则两圆的位置关系是
A ．相切
B ．相离
C ．相交
D ．内含
11．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2十(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF(O 是原点)的面积为 A ．3 B ．3 C ．52 D ．56
12．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于
A．－33或3B．－33或33C．3或－3D．－3或33二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝13和圆(x－3)2＋y2＝9交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
14．经过两点A(6，5)，B(0，1)，并且圆心C在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程是＿＿＿＿＿。
15．若直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是＿＿＿＿＿＿。
16．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为＿＿＿＿＿＿。
三、解答题(第17小题10分，第18～22小题各12分，共70分)
17．求经过原点且与直线x＝1及(x－1)2＋(y－2)2＝1都相切的圆的方程。
18．设有半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇。
设A，B两人的速度都一定，其比为3∶1，那么A，B两人在何处相遇?
19已知圆C'的方程是x2＋(y－1)2＝4，圆C的圆心坐标为(2，－1)，若圆C与圆C'交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆C的方程。
20．已知点A(a，0)，B(0，b)(其中a，b均大于4)，直线AB与圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切。
(1)求证(a－4)(b－4)＝8；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程。
21．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|P A|＝2|PB|。
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值。
22．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD＝90︒，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，P A⊥底面ABCD，∠PDA＝30︒，AE⊥PD于E。
试建立适当的空间直角坐标系，求出图中各点的坐标。