2021高考数学人教A版理(豫晋皖甘青黑吉宁新蒙)新素养备考大一轮讲义：第二章 2.1 函数及其表 第2课时 Wor

第2课时 函数的定义域与值域题型一 函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ； (3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)； (4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得－2<x <0或1≤x <2， ∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3. 思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．题型二 函数的值域例1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝x 2＋x ＋1x ；(3)y ＝2x ＋1－x ； (4)y ＝x ＋1＋x －1； (5)y ＝|x ＋1|＋|x －2|；(6)f (x )＝min{|x ＋1|，|x －2|}，其中min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .解 (1)分离常数法：y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |，∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2，∴－1<－1＋21＋|x |≤1，∴函数的值域为(－1,1]． (2)方法一由y ＝x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2. 得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 方法二 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时y ≥3；函数在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (3)令1－x ＝t ，t ≥0，则x ＝1－t 2，∴y ＝2－2t 2＋t ＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋178≤178， 即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，178. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)． (5)方法一 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数的值域为[3，＋∞)．方法二y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．(6)画出f (x )大致图象(实线部分)，由图可知，x ＝－1或2时，f (x )min ＝0， ∴值域为[0，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)， y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1， 由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2， ∴函数的值域为(0，2]． 思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0. 所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞. 题型三 定义域与值域的应用例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞) 解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x ≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数， ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体． 一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________.答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________. 答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1. 二、抽象函数的定义域例2 (1)(·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________． 答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x 答案 D解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确． 3．在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)，函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x 的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求； 故答案为D. 4．函数y ＝x －1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 D解析 函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)． 5．(·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案 A解析 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A. 6．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析 设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选B. 7．函数y ＝ ⎝⎛⎭⎫14－x －3·2x －4的定义域为( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x －3·2x －4≥0， 即22x －3·2x －4≥0.∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A. 8．(·衡水武邑中学月考)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4]B.⎣⎡⎦⎤－254，－4C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图象如图所示．因为y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始， 一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3.9．(·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．10．函数f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为________． 答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ，x >0， 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数， ∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得f (x )的值域为[5,7]．11．若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案 [2，＋∞) [4，＋∞)解析 x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)；因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4，故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案 [26＋4，＋∞)解析 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当t ＝6t 即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．15．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋log a x在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋log a2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋log a2，＋∞)，由题意可知(3＋log a2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a2≥4，即log a2≥1，∴1<a≤2.。