高中数学：1角度问题

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人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章解三角形第2课时含解析

第一章 1.2 应用举例第二课时高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。

高中数学选择性必修一课件：1.4.2 空间中的夹角问题

所以nn11··AB→ →11BB＝＝00，，
即 xy11－＋
3z1＝0， 3z1＝0，
令z1＝ 3，解得x1＝3，y1＝－3，所以n1＝(3，－3， 3)．
___[_0_，__π_]
___|n_1_||n__2|_
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课后提能训练
【预习自测】
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．
()
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面
α所成的角．
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课后提能训练
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课后提能训练
题型1 异面直线所成的角
如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB ＝BC＝6，BD＝8，E为AD中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型2 直线与平面所成的角如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，
AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°. (1)求证：AP⊥PC； (2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的
正弦值．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
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又因为A1O⊥AC，A1O⊥OB，分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
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课后提能训练
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0， 3)，C(0,1,0)．因为A→A1＝B→B1＝(0,1， 3)，所以O→B1＝O→B＋B→B1＝(1,1， 3)．所以A→1B＝(1,0，－ 3)，B→C＝(－1,1,0)．设平面A1B1B的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.2第2课时角度问题课件新人教A版必修5

灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，
则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A．北偏东 5°
B．北偏西 10°
C．南偏东 5°
D．南偏西 10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°.]
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
sin D∠CDAC＝sAinCα，
∴AC＝sina
∠sinDαAC＝sin
a sin α （β－α）.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝sian
sin αsin β （β－α）.]
您好，谢谢观看！
Thank you for watching !
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2×( 3－ 1)×2×cos 120°＝6，
即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、余弦定理皆可．

高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题

知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料测量高度、角度问题[A组学业达标]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°答案:D2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(）A．100米B．50错误!米C．50错误!米D．50（错误!＋1）米解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝错误!AB，即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1）m.所以山AB的高度为50(3＋1)米．答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为()A．20 m B．20 2 mC．20错误!m D．40 m解析：设高OP＝h，则OA＝h tan 60°＝3h，OB＝h tan 45°＝h。

在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。

故选D.答案：D4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（）A。

错误!B．错误!C.错误!D.错误!π解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝错误!＝错误!＝错误!，又α∈错误!,∴α＝错误!。

答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m解析：如图,设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m,∴OD＝20 3 m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C。

高中数学 1-2-3角度和几何计算问题课件新人教A版必修5

[错解]
设缉私船用 t 小时， D 处追上走私船，在在△ABC
中，由余弦定理，得 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB· cos ∠ CAB ＝ ( 3 － 1)2 ＋ 22 － AC· 2×( 3－1)×2×cos120° ＝6， ∴BC＝ 6. 在△BCD 中，BD＝10t，CD＝10 3t，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD×cos∠CBD， 1 ∴(10 3t) ＝6＋(10t) －2× 6×10t×(－2)，
由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA· cos∠SAB AB· ＝3002＋(30t)2－2· 30tcos60° 300· 若 S 岛受到台风影响，则应满足条件 |SB|≤270 即 SB2≤2702，化简整理得 t2－10t＋19≤0，解之得 5－ 6≤t≤5＋ 6，所以从现在起，经过 5－ 6小时 S 岛开始受到影响， (5＋ 6) 小时后影响结束，持续时间：
2 2
∵BC＝2x，∴x＝14. 3 ACsin∠BAC 20× 2 又由正弦定理得， sin ∠ ABC ＝＝ 28 BC ≈0.62. ∴∠ABC＝38° .
而如图所示的 Rt△ADB 中，∠ABD＝40° . ∴∠EBC＝90° －38° －40° ＝12° . 即我巡逻艇用每小时 14 n mile 的速度向北 12° 东的方向航行．
→ → → 设OE＝F，将力 F 沿AO，两个方向进行分解， OB 作▱OCED， → → → 则OD＝－F1，＝－F2 由题设条件知|OE|＝12， OC ∠COE＝60° ， ∠OCE＝45° ，∴∠OEC＝75° ， 12 OC CE 在△OCE 中，由正弦定理得，sin45° sin75° sin60° ＝＝， 12sin60° 12sin75° ∴CE＝ sin45° ＝6 6，OC＝ sin45° ＝6( 3＋1)，

高中数学第一章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册

MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(

高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件新人教B版必修4

(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数，再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式．难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．

高中数学1.1.1任意角讲义苏教版必修4

1.1.1 任意角一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.]终边相同的角与象限角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及n α、αn所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________. －960° [∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，k ∈Z ，即－1110°<k ·360°<－750°，k ∈Z ，∴k ＝－3.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA 先绕端点O 逆时针方向旋转60°到OB 处，再按顺时针方向旋转820°至OC 处，则β＝________.－40° [∠AOC ＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解] (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n ＜113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。

2020届高中数学分册同步讲义(必修5) 第1章 1.2 第2课时角度、面积问题

第2课时角度、面积问题学习目标1.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式．知识点一角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解．知识点二用两边及其夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半,即S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .思考1 S △ABC ＝12ab sin C 中，b sin C 的几何意义是什么？答案 BC 边上的高．思考2 如何用AB ，AD ，角A 表示▱ABCD 的面积？答案 S ▱ABCD ＝AB ·AD ·sin A .1．仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．(√)2．在处理方向角时，两个正北方向线视为平行．(√)3．航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角．(√)4．△ABC的面积S＝14R abc(其中R为△ABC外接圆半径)．(√)题型一角度问题例1如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 3 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t，BD＝10t，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6. ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°， ∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，60°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思感悟解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度、时间等条件转化为三角形的角、边，化为解三角形问题．跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中， BC ＝at 海里， AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．题型二用两边夹角表示三角形面积命题角度1 求三角形面积例2 在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 3 答案 C解析由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3.反思感悟求三角形面积，主要用两组公式(1)12×底×高． (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半．选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求．跟踪训练2 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为．答案 16解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝tan A ， ∴|AB →||AC →|＝sin A cos 2A ，∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A＝12sin 2A cos 2A ＝12tan 2A ＝16. 命题角度2 涉及三角形面积的条件转化例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝ . 答案 14解析由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，得12ac sin B ＝a 2sin B ，即c ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 24a 2＝14.反思感悟表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角．跟踪训练3 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ．由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得sin C ＝cos C . 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°.三角形中的建模问题典例如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5 千米，AC ＝3千米，BC ＝4 千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米)．甲的路线是AB ，速度为5千米/时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/时．乙到达B 地后原地等待．设t ＝t 1时乙到达C 地．(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1,1]上的最大值是否超过3.说明理由．解 (1)由题意可得t 1＝AC v 乙＝38，设此时甲运动到点M ，则AM ＝v 甲t 1＝5×38＝158，∴f (t 1)＝MC ＝AC 2＋AM 2－2AC ·AM ·cos A＝32＋⎝⎛⎭⎫1582－2×3×158×35＝3418. (2)当t 1≤t ≤78时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，∴QB ＝AC ＋CB －8t ＝7－8t ，PB ＝AB －AP ＝5－5t ， ∴f (t )＝PQ ＝QB 2＋PB 2－2QB ·PB ·cos B ＝(7－8t )2＋(5－5t )2－2(7－8t )(5－5t )×45＝25t 2－42t ＋18，当78<t ≤1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P ， ∴f (t )＝PB ＝AB －AP ＝5－5t ，∴f (t )＝⎩⎨⎧25t 2－42t ＋18，38≤t ≤78，5－5t ，78<t ≤1，∴当38≤t ≤1时，f (t )∈⎣⎡⎦⎤0，3418，故f (t )的最大值没有超过3.[素养评析] 本题是关于对讲机有效通话距离的实际问题．其解决完整经历了数学建模的全过程：在实际情境中提出问题(警员能否在行动过程中保持通话)，分析问题．建立模型⎝⎛⎭⎪⎪⎫f (t )＝⎩⎨⎧25t 2－42t ＋18，38≤t ≤78，5－5t ，78<t ≤1，计算求解．最终解决实际问题．1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC 的面积为()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3答案 B解析S△ABC＝12ab sin C＝12×4×3×sin 60°＝3 3.2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于()A.32 B.22 C.3－1 D.2－1答案 C解析在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝ACsin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3．已知三角形的面积为14，其外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4答案 A解析设三角形外接圆的半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，∵S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.4．某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km 后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km. 答案 15 3解析设灯塔位置为A ，船的初始位置为O ，船的终止位置为B ，由题意知∠AOB ＝30°，∠OAB ＝120°，则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得AB ＝153，即此时船与灯塔的距离是15 3 km.1．各种测量问题本质上是把不能或不易直接测量的量转化为用能直接测量的量表示．而在三角形测量中易获得的数据方向角等多以铅垂线、正南正北为始边，需要准确地转化为三角形的元素．2．(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.一、选择题1．如图已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析如题图，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.所以灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°答案 B3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 答案 B解析设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m. 由正弦定理，得2sin 60°＝x sin (120°－α)，∴x ＝433sin(120°－α)．∵30°<120°－α<120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x 有最大值．即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则△ABC 的面积是( ) A ．3 3 B.332 C ．3 D.32答案 A解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋16－132×3×4＝12，∴sin A ＝32， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A. 3B.932C.332 D ．3 3答案 C解析由题意得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ， ∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.6．(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.7.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 B解析依题意可得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.8．若钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵钝角△ABC 的面积是12，AB ＝c ＝1，BC ＝a ＝2， ∴S ＝12ac sin B ＝12，即sin B ＝22.当B 为钝角时，cos B ＝－1－sin 2B ＝－22. 利用余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，即AC ＝5；当B 为锐角时，cos B ＝1－sin 2B ＝22，利用余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，即AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去．故AC ＝ 5. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且bc ＝8，则△ABC 的面积为．答案 2 3 解析因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3，三角形面积S ＝12bc sin A＝12×8×32＝2 3. 10．已知三角形ABC 的三边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ . 答案1517解析 S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝－2bc cos A ＋2bc ， ∵S ＝12bc sin A ，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A .即4－4cos A ＝sin A .平方得17cos 2A －32cos A ＋15＝0. 即(17cos A －15)(cos A －1)＝0. 得cos A ＝1(舍)或cos A ＝1517.11.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为．答案2114解析如题图知，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 三、解答题12．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9， ∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴甲船用34小时能最快追上乙船．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .由A ＝π4，得B ＋C ＝34π，则－cos 2B ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，所以sin 2C ＝2sin C cos C ，又sin C ≠0，解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.14．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B．5 3 C．6 3 D．7 3答案 B解析连接BD，四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分面积的和，由余弦定理，得BD＝23，S△BCD＝12BC×CD sin 120°＝3，∠ABD＝120°－30°＝90°，∴S△ABD＝12AB×BD＝4 3.∴S四边形ABCD＝3＋43＝5 3.15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 3 千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3千米，AC＝1千米，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝sin 30°AC×AB＝32，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 千米．在△ACD中，AC＝AD＝1千米，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1千米．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。

高中数学：第一章 1.2 第2课时高度、角度问题

[课时作业] [A 组基础巩固] 1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55°解析：如图可知，D 项正确．★答案★：D2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD. 2a km解析：∵∠ACB ＝120°， AC ＝BC ＝a ，∴由余弦定理知 AB ＝3a .★答案★：B3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521 mB ．10 m C.4 90013m D ．35 m 解析：作出示意图，设塔高OC 为h m.在△OAC 中，OA ＝h tan 60°＝33h ， OB ＝h .AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理求得h ＝521.★答案★：A4.如图，从山顶A 望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．50 3 米C ．502米D ．50(3＋1)米解析：在△ACD 中，CD ＝100米，∠D ＝30°，∠DAC ＝∠ACB －∠D ＝45°－30°＝15°，∴AC sin ∠D＝CD sin ∠DAC. ∴AC ＝CD sin D sin ∠DAC＝100sin 30°sin 15°＝50sin 15°. 在△ABC 中，∠ACB ＝45°，∠ABC ＝90°，AC ＝50sin 15°米，∴AB ＝AC sin 45°＝50sin 45°sin 15°＝50(3＋1)米．★答案★：D5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．15海里/时B ．5海里/时C ．10海里/时D ．20海里/时解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/时．★答案★：C6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理得BC sin 45°＝CD sin 30°，则BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，所以AB ＝BC tan 60°＝10 6.★答案★：10 67.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24 米，则AD＝DEsin β＝24sin 60°＝163(米)，则CD＝ADcos∠ADC＝ADcos 30°＝16332＝32 (米)．★答案★：328．在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m，则旗杆的高度为________m.解析：如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝10 6 m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30 m.★答案★：309.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．解析：在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝AB·sin∠BACsin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)．在△BCD中，sin∠BDC＝BC·sin∠CBDCD＝50(6－2)·sin 45°50＝3－1.由题图，知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.10．甲船在A 处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析：设AB ＝10海里，两船在C 处相遇，∠CAB ＝θ，乙船行驶了x 海里，则AC ＝ 3 x 海里．由题意，知∠ABC ＝180°－60°＝120°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin θ＝BC sin ∠ABC AC ＝12， ∴θ＝30°或θ＝150°.由题意知θ＝30°.∴∠ACB ＝180°－(∠ABC ＋θ)＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴BC ＝AB ＝10海里，60°－θ＝60°－30°＝30°.故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里．[B 组能力提升]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A 沿北偏东30°方向前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：设水柱高度是h ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.★答案★：A2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析： ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3， ∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.★答案★：C3．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝1002m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理得，AC sin 45°＝AM sin 60°，因此AM ＝1003m. 在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150(m)． ★答案★：1504．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝____________m.解析：依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600，由正弦定理可得600sin 45°＝BC sin 30°，即BC ＝3002m ，在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2.所以tan 30°＝CD BC ＝CD 3002，所以CD ＝1006m. ★答案★：100 65.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解析：设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306(m)或h ＝－306(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．海岛O 上有一座海拔1 km 的小山，山顶设有一观察站A ，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C 处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E 离海岛O 的距离是多少千米？解析：(1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB ＝OA cot 60°＝33， OC ＝OA cot 30°＝ 3.在△BOC 中，由余弦定理得BC ＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos ∠BOC ＝393， ∵由C 到B 用的时间为1060＝16(h)， ∴该船的速度为39316＝239(km/h)． (2)在△OBC 中，由余弦定理，得cos ∠OBC ＝BC 2＋OB 2－OC 22BC ·OB ＝51326， ∴sin ∠OBC ＝1－cos 2∠OBC ＝33926，∴sin ∠OEB ＝sin(∠OBE ＋∠EOB )＝sin ∠OBE ·cos ∠EOB ＋cos ∠OBE ·sin ∠EOB ＝1313，在△BEO 中，由正弦定理得OE ＝OB ·sin ∠EBO sin ∠OEB ＝32. BE ＝OB ·sin ∠BOE sin ∠OEB ＝396， ∴从B 到E 所需时间为396239＝112(h)，即所需时间为5 min. 即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5 km.。

高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件

≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度单位“°”不能角的正负与
角度制
量角的单位制省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来单位“rad”可以角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 012°是不是这个集合的元素．解：因为 150°＝56π，所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C，－150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误．答案：C

高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5

3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m，在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米，则乙楼高 CD＝ 32 米．

高中数学必修四 1.1.1任意角和弧度制

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又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°，得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则升旗手匀速升旗的速度为________．

例谈“1”在解高中数学题中的妙用

知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。

高中数学必修五：1角度问题

课题角度问题第课时教学目标1．知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．2．过程与方法通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．3．情感、态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．教学方法讲练结合教学过程：步骤、内容、教学活动二次备课方位角与方向角【问题导思】课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．图1－2－171．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°.2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.图1－2－18(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．确定航向的角度问题一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－19【思路探究】 (1)如图AB ，BC 已知，只要求出它们的夹角ABC 就可以用余弦定理求出AC ，∠ABC 怎样求？(2)∠CAB 怎样求？若求出∠CAB ，航向该怎样表示？【自主解答】在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15.由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC， sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－20所示，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．图1－2－20【解】连接AC ，在△ABC 中， ∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 150°≈1 289 m，由正弦定理，得 sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ≈860sin 150°1 289≈0.333 6，∴∠BAC ≈19.5°， ∴∠ACB ≈10.5°.在△ACD 中，∠ACD ≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ≈1 531 m.∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD≈0.911 1，∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°. 即从A 到D 的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)，所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12.∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t .由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°， ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt . ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0,解得vt ＝－a2(舍去)或vt ＝a . ∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. 60°－30°＝30°. 即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a 海里．易错辨析题：应用正余弦定理时出现增根致误图1－2－21某观测站C 在A 城的南偏西20°方向上，由A 城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C 处测得公路上距C 为31 km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，则这人还要走多远才可到达A 城？【错解】如题图所示，∠CAD ＝60°，在△BCD 中，由余弦定理，得：cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331.所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331. 在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin ∠BAC＝24(km)．在△ACD 中，由余弦定理，得：CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD . 所以AD ＝15或AD ＝9，即这人还要走15 km 或9 km 才能到达A 城．【错因分析】余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．【正解】设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437.所以si n α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)．即这人还要走15 km 才可以到达A 城．巩固练习：图1－2－221．对右图正确的描述应为( )A ．东偏北α°B ．东北方向α°C ．北偏东α° 【答案】 C2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【解析】如图，由题意，知AC ＝BC ，∠ACB ＝80°， ∴∠CBA ＝50°，α＋∠CBA ＝60°. ∴α＝10°，即A 在B 的北偏西10°.【答案】 B3．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝( ) A ．－15 B.15C.79D.45【解析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－840＝－15.【答案】 A4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5. 设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．课堂小结：1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.布置作业：。

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整理得：2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－ (舍去)，
所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10 ，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理得：＝，
∴sin∠CAB＝＝＝ .
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角为75°.
1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B，画出可以求解的三角形．
图1－2－18
(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．
确定航向的角度问题
一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)
【解】设甲船沿直线与乙船同时到C点，
则A、B、C构成△ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为 v，到达C处用时为t.
由题意BC＝vt，AC＝ vt，∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.∴2v2t2－avt－a2＝0,
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
所以AD＝＝15(km)．
即这人还要走15 km才可以到达A城．
巩固练习：
图1－2－22
1．对右图正确的描述应为()
A．东偏北α°B．东北方向α°C．北偏东α°
【★答案★】C
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()
即从A到D的方位角约为93.8°，距离约为1531 m.
不确定航向的角度问题
某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10 海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
【错因分析】余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．
【防范措施】求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．
【正解】设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD中，由余弦定理，得：
cosβ＝＝＝－ .所以sinβ＝ .
所以sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos 60°－sin 60°cosβ＝ × ＋ × ＝ .
如图1－2－20所示，从A到B，方位角是50°，距离是470 m，从B到C，方位角是80°，距离是860 m，从C到D，方位角是150°，距离是640 m，试计算从A到D的方位角和距离．
图1－2－20
【解】连接AC，在△ABC中，
∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，
由余弦定理，得
AC＝ ≈1289 m，
【思路探究】(1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？
【自主解答】如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10 t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，
可得：(10 t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.
图1－2－19
【思路探究】(1)如图AB，BC已知，只要求出它们的夹角ABC就可以用余弦定理求出AC，∠ABC怎样求？
(2)∠CAB怎样求？若求出∠CAB，航向该怎样表示？
【自主解答】在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
AC＝
＝
≈113.15.
由正弦定理，得＝，sin∠CAB＝
课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？
【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．
图1－2－17
1．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°.
2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
俯角、仰角与坡角
(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.
2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．
在甲船A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？
2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.
布置作业：
板
书
设
计
教
学
反Hale Waihona Puke 思桑植县贺龙中学集体备课电子教案
高一年级数学备课组（总第课时）主备人：刘毅时间：年月日
课题
角度问题
第课时
教
学
目
标
1．知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．
2．过程与方法
通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
【错解】如题图所示，∠CAD＝60°，
在△BCD中，由余弦定理，得：
cosB＝＝＝ .
所以sinB＝＝ .
在△ABC中，AC＝＝24(km)．
在△ACD中，由余弦定理，得：
CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，
即212＝242＋AD2－24AD.所以AD＝15或AD＝9，
即这人还要走15 km或9 km才能到达A城．
3．情感、态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．
教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．
教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．
教学方法
讲练结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
方位角与方向角
【问题导思】
＝ ≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，
75°－∠CAB＝56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.
1．本题中由于A、C均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB的大小，可用方向角表示出来．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0， ]上时，用正、余弦定理皆可．
【★答案★】A
4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．
【解】如图，B，C为两灯塔，行驶半小时后船从A到达D，由∠ADC＝75°，∠ADB＝60°，∴∠BCD＝∠BDC＝15°.
解得vt＝－ (舍去)或vt＝a.∴BC＝a，
在△ABC中AB＝BC＝a，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.60°－30°＝30°.
即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a海里．
应用正余弦定理时出现增根致误
图1－2－21
某观测站C在A城的南偏西20°方向上，由A城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则这人还要走多远才可到达A城？
由正弦定理，得
sin∠BAC＝ ≈ ≈0.333 6，
∴∠BAC≈19.5°，
∴∠ACB≈10.5°.
在△ACD中，∠ACD≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.
由余弦定理，得AD＝ ≈1531 m.
∴cos∠CAD＝ ≈0.911 1，
∴∠CAD≈24.3°.
∴从A到D的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
【解析】如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，
∴∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.
∴α＝10°，
即A在B的北偏西10°.
【★答案★】B
3．△ABC中，a＝4，b＝5，c＝7，则cosC＝()
A．－ B.
C. D.
【解析】cosC＝＝＝－ .
∴BD＝BC＝10，∴AD＝10×cos 60°＝5.
设船速为x，则 x＝5，即x＝10(海里/小时)．
课堂小结：
1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．