2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(一)

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人教A版必修52020学年高中数学综合测试数学试题

高一必修5试题一．选择题：（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若a>1，则a+1＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．4 C.2aa －1D ．3 2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01503．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC （）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定4. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为ο30、ο60，则塔高为( )A. m 3400B. m 33400 C.m 3200 D. m 33200 5. 在{a n }中，a 1=15,3a n +1=3a n －2 (n ∈N *),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（） A.a 21和a 22B.a 22和a 23C.a 23和a 24D.a 24和a 256.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+……+a 99=0,则（）A a 1+a 99>0B a 2+a 98<0C a 3+a 97=0D a 50=50 7. 数列{a n }中，a 1=1,a 2=32,且n ≥2时，有1111+-+n n a a =n a 2,则（） A. a n =(32)nB. a n =(32)n －1C. a n =22+n D . a n =12+n8. {}n a ，{}n b 是项数相同的等比数列，则下列数列中：①{}n n a b +；②{}nn b a ⋅；③{}(0)n c a c +≠；④{}n n b ca (c )0≠；⑤n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，等比数列有（）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个9．已知1273,023++=-+y xy x 则的最小值是（）A. 393B. 221+C. 6D. 710．原点和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(－∞，0]∪[2，＋∞) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．[0，2]11．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A 、11{|}32x x -<或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或12.a ,b 是正数，则2,2a b aba b++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b aba b++22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤≤+ 二、填空题13．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________14．△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.15. 已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于_______；16．在等比数列{}n a 中，311289a a =，则7a =．数学答题纸一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：13． 14. 15. 16. 三、解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分） 17.(10分) 在ABC ∆中，已知3,2,45,a b B ===o求,A C c 和.18. (12分) 已知ABC ∆中，三内角C B A ,,的度数成等差数列，边c b a ,,依次成等比数列．试判断ABC ∆的形状.19.(12分)学校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。

2019-2020年数学必修5(人教A版)练习：模块综合评价(一)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( )A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝bsin A a ＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°.答案：C3．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，所以n ≥10.答案：D4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}．又3－xx ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为() A ．16 B ．32 C ．48 D ．64。

最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套

最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0，故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立．因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号．所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①，又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a b 2D ．b a >a b[解析] ∵a b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°，解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立，当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 20，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ．因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0，即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)．实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。

2019_2020学年高中数学学期综合测评新人教A版必修5

学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5答案 C解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5.2．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17 答案 A解析 S 4＝1，S 8－S 4＝3而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列，值分别为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.3．若a 1bB ．a 2<ab C ．a a>b aD ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<|b |＋1|a |＋1答案 D解析当a ＝－2ab ，所以B 不成立．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a －|b |＋1|a |＋1＝|b |－|a ||a ||a |＋1＝－b ＋a |a ||a |＋1<0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <|b |＋1|a |＋1，故选D ． 4．若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,4)B ．(－2，－1)∪(3,4)C ．(3,4]D ．[－2，－1)∪(3,4] 答案 D解析由题意，得原不等式可转化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1.当a ＝1时，不符合题意．故实数a 的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]，故选D ．5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为( )A ．12B ．32C ．233D ． 3 答案 C解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝3b 2a .∴c b sin B ＝2ac 3b2＝233. 6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞ ) 答案 A解析画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x图象上存在区域D 上的点，则y ＝ax的图象过A 点时为一个临界位置．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －11＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9，即A (2，9)，代入y ＝a x满足a 2≤9即a ∈[－3,3]，又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．7．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A 解析先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域，如图中阴影部分所示．变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0.又直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值，结合图象，知在点A 处取得最大值．由x ＋y ＝1，y ＝mx ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.则1m ＋1＋m ×m m ＋1<2，解得1－2<m <1＋ 2. 又m >1，故m 的取值范围为(1,1＋2)．8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．( )A ．10 2B ．20 3C ．10 3D ．20 2 答案 A解析根据题意画出示意图，如图所示，由题意，知∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理可得BC ＝ABsin45°×sin30°＝10 2.故选A ．9．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x －22＋12x －2＝x －22＋12x －2.∵x ≥52，∴x －2>0，∴f (x )≥214＝1. 当且仅当x －22＝12x －2，即x ＝3时，取等号． 10．已知△ABC 的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是( )A ．0<x <5B ．1<x <5C ．1<x <3D ．1<x <4答案 C解析剩余的部分三边长分别为4－x,5－x,6－x (0<x <4)，其为钝角三角形，则(6－x )2>(5－x )2＋(4－x )2，∴1<x <5，∴1<x <4.由两边之和大于第三边得(4－x )＋(5－x )>6－x ，∴x <3，∴1<x <3.故选C ．11．设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a >0且a ≠1，n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200的值为( )A ．100aB ．101a 2C ．101a100D ．100a 100答案 D解析 ∵log a x n ＋1＝1＋log a x n ，∴log a x n ＋1＝log a (ax n )，∴x n ＋1x n＝A ．∴数列{x n }是公比为a 的等比数列．设b 1＝x 1＋x2＋…＋x 100，b 2＝x 101＋x 102＋…＋x 200，则b 2＝b 1a 100＝100a 100.12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1答案 B解析 ∵B ＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得2sin π6＝c sinπ4，即212＝c22，∴c ＝2 2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若不等式3x －k >x －4的解集是{x |x ≥4}，则整数k 最大可取________．答案 11解析原不等式等价于3x －k >x －4对x ≥4恒成立，即k <2x ＋4对x ≥4恒成立，得k <2×4＋4＝12，又所求的为满足该不等式的最大整数，故填11.答案 (22，4) 解析15．若1<1a <1b，则有如下结论：①log a b >log b a ；②|log a b ＋log b a |>2；③(log b a )2<1；④|log a b |＋|log b a |>|log a b ＋log b a |. 其中，正确的结论是________(填序号)．答案 ①②③解析用特殊值法．由1<1a <1b，知0<b <a <1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定①②③均正确，④不正确．16．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n(n ∈N *)，则b n ＝________.答案－1n3×2n －1解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3×2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n.∴b n ＝(－1)n·1a n ＝－1n3×2n －1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0. 即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－1或x ＞32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.18．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 满足 1－cos2C2＋sin(B －A )＝2sin2A ． (1)求a b；(2)若AB 是最大边，求cos C 的取值范围．解 (1)∵1－cos2C2＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ⇒sin B cos A ＝2sin A cos A ．因△ABC 为锐角三角形，则cos A ≠0，由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝12. (2)∵b ＝2a ，且a <b ≤c ，则π3<C <π2，则0<cos C <12，又∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≤a 22ab ＝14，∴cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ．(1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的范围．解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a，即b 2－a 2＝ab ，①又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ． sin A sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.② 由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2. 所以△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋cb>1. 又a ＋c b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2a 2＋c 2b 2＝2b2b 2＝2，故a ＋cb的取值范围为(1，2]． 20．(本小题满分12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年的总收入为50万美元．设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？解由题意，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )>0，则－2n 2＋40n －72>0⇒2<n <18. 又n ∈N *，所以从第三年开始获取纯利润． (2)①年平均利润为f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号，故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128，当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案获利128＋16＝144(万美元)，此时n ＝10.比较两方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }． (1)求A ；(2)若a >0，以a 为首项，a 为公比的等比数列的前n 项和记为S n ，对于任意的n ∈N *，均有S n ∈A ，求a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }＝{x |(x －1)·(x －a )≤0，a ∈R }． ①a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }； ②a <1时，A ＝{x |a ≤x ≤1}． (2)①当a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }．而S 2＝a ＋a 2>a ，S 2∉A ，故a ≥1时，不存在满足条件的A ．②当0<a <1时，A ＝{a ≤x ≤1}，S n ＝a 1－a n1－a ，S n －a ＝a 1－a n 1－a －a ＝a 2－a n ＋11－a≥0，∴S n ≥a ，又a n>0，∴S n <a 1－a ，对任意的n ∈N *，S n ∈A ，只须a 满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a1－a ≤1，解得0<a ≤12.综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1，故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n- 11 - ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n .。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习：第一章章末复习方案全优评估阶段质量检测

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0,3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶7解析：因为a －2b ＋c ＝0,3a ＋b －2c ＝0，所以c ＝73a ，b ＝53a . a ∶b ∶c ＝3∶5∶7.所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7.答案：D2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a2＋c2－b22ac ·tan B ＝32. 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3. 答案：D3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，当a 2＋b 2<c 2时，△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：cos C ＝a2＋b2－c22ab<0，则C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形．答案：C4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2 解析：∵S △ABC ＝12ac sin B ， ∴c ＝4 2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b＝5.由正弦定理2R＝bsin B＝52(R为△ABC外接圆的半径)．答案：C5．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC( ) A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定解析：b sin A＝4×sin 60°＝4×32＝2 3.又a＝6，且6<23，故△ABC无解．答案：C6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b＝8，c＝8 3，S△ABC＝16 3，则A＝( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：由S△ABC＝12bc sin A得，12×8×8 3sin A＝16 3.所以sin A＝1 2.所以A＝30°或150°.答案：C7.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A．2sin α－2cos α＋2B．sin α－3cos α＋3C．3sin α－3cos α＋1D．2sin α－cos α＋1解析：四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.答案：A8．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p ∥q，则角C的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a2＋b2－c22ab ＝12＝cos C . ∴C ＝π3. 答案：B9．△ABC 中，BC ＝13，A ＝60°，AC ＝4，则边AC 上的高是( ) A.323 B.323或32 C.32 D ．3 3 解析：∵A ＝60°，a ＝3，b ＝4，由余弦定理得13＝16＋c 2－4c ，即c 2－4c ＋3＝0，解得c ＝1或3.设边AC 上的高为h ，则h ＝c sin 60°，∴h ＝323或32. 答案：B10．空中有一气球，在它的正西方A 点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B 点，测得它的仰角为30°，若A 、B 两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是( ) A.266 77米 B ．(266 77＋1)米 C ．266米D ．266 7米解析：如图，D 为气球C 在过AB 且与地面平行的平面上的正投影，设CD ＝x米，依题意知：∠CAD ＝45°，∠CBD ＝30°，则AD ＝x 米，BD ＝3米．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即2662＝x 2＋(3x )2－2x ·(3x )·cos 150°＝7x 2，解得x ＝266 77，故测量时气球到地面的距离是(266 77＋1)米．答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________. 解析：由余弦定理得：cos B ＝a2＋c2－b22ac＝错误! ＝－323＝－32，所以B ＝5π6. 答案：5π612．等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长等于________．解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，设BC 中点为D ，连结AD ，则AD ⊥BC .在Rt △ABD 中，cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14. 设AB 中点为点E ，连结CE ，则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·cos B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2， ∴CE ＝62a . 答案：62a 13．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于________，AC 的取值范围为________．解析：设A ＝θ⇒B ＝2θ.由正弦定理得AC sin 2θ＝BC sin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒AC cos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．答案：2 (2，3)14．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距an mile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________n mile.解析：如图，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ，乙船行驶距离为x nmile ，则AC ＝3x ，由正弦定理得sin θ＝BC·sin 120°AC ＝12， ∴θ＝30°.由图知，∠ACB ＝60°－θ＝60°－30°＝30°，从而BC ＝AB ＝a (n mile)．即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船已行驶了a n mile.答案：北偏东30° a三、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分) (2012·聊城五校联考)已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1 (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且c ＝7；f (c )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin2x －12cos 2x －1 ＝sin(2x －π6)－1 当sin(2x －π6)＝－1时，f (x )min ＝－2. ∴最小正周期为T ＝π(2)f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0∴sin(2C －π6)＝1 ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜116π，∴2C －π6＝π2， ∴C ＝π3. ∵m ∥n ，∴sin B －3sin A ＝0，∴b －3a ＝0.①∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，c ＝7，∴7＝a 2＋b 2－ab ②由①，②知：a ＝1，b ＝3.16．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34. (1)求AB 的值；(2)求sin(2A ＋C )的值．解：(1)由余弦定理，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2. 那么AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34且0<C <π，得sin C ＝1－cos2C ＝74. 由正弦定理，AB sin C ＝BC sin A，解得sin A ＝BCsin C AB ＝148，所以，cos A ＝528. 由二倍角公式sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝5716，且cos 2A ＝1－2sin 2A ＝916，故sin(2A ＋C )＝sin 2A cos C ＋cos 2A sin C ＝378. 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C. (1)证明B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π＜B －C ＜π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13. 又0＜2B ＜π，于是sin 2B ＝1－cos22B ＝223. 从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429， cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin(4B ＋π3)＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318. 18.(本小题满分14分)如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)解：轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AE sin C，即sin C ＝AEsin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin C，即AB ＝BCsin C sin 120°＝4x×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝ 313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。

2019-2020人教A版数学必修5章末综合测评1 解三角形

章末综合测评(一) 解三角形满分：150分时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．±53 B ．23 C ．－53D ．53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎨⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）>2mk ，3mk >m （k ＋1）， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22C [∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3，5，7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A ．33B ．36C ．63D ．66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a ＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C . ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2[∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.]15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C （sin B cos A ＋cos B sin A ）sin A sin B cos C ＝sin C sin （B ＋A ）sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．[解](1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2， ∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。

2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷及答案

2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.√24D.√23答案:B2下列结论正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若√a<√b,则a>b答案:C3等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13的值是() A.130 B.65C.70D.75解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.所以S13=13(a1+a13)2=13(a7+a7)2=13a7=130.答案:A4已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=125.∵A∈(0,π2),∴cos A=15.∵cos A=36+b2-492×6b ,∴b=5或b=−135(舍).故选D.答案:D5若在等比数列{a n}中,a4=7,a6=21,则a8等于()A.35B.63C.21√3D.±21√3 答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=4√3,A=30°,则角B 的度数等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ) A .(0,π3]B.[π3,π] C .(0,π6]D.[π6,π) 答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z ,则z=1 600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36 800.故选C .答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( )A.x+y ≥2(√2+1)B.xy ≤√2+1C.x+y ≤(√2+1)2D.xy ≥2(√2+1) 解析:∵xy=1+(x+y )≤(x+y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0, ∴x+y ≥2(√2+1),当且仅当x=y =√2+1时等号成立. 答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n -√3√3a n +1(n ∈N *),则a 20等于( )A.0B .−√3C.√3D.1解析:由a 1=0,a n+1=n √3√3a +1n ∈N *),得a 2=−√3,a 3=√3,a 4=0,…由此可知数列{a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=−√3. 答案:B11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1. 答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值. 于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1. 答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列, 所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100.所以2n ≥51,n ≥6.答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO|的最小值等于 ,最大值等于 . 答案:√2 √1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =√2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos 120°.∵c =√2a,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n. (2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2a =10n-n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10√7海里,求B船的速度.解如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10√7,∠ABC=120°.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos 120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为8060=43(小时),路程为BC=20海里,则有v=2043=15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba =cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2√5,求△ABC面积的最大值.解(1)因为2c-ba =cosBcosA,所以(2c-b)cos A=a cos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B, 整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B)=sin C.在△ABC中,0<C<π,所以sin C≠0.所以cos A=12.又0<A<π,故A=π3.(2)由(1)得A=π3,又a=2√5,则cos A=b 2+c2-a22bc=12,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=12bcsin A=12bcsinπ3=√34bc≤√34×20=5√3.所以△ABC面积的最大值为5√3.20(12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n2n-1}的前n项和.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得{a 1=1,d =-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)设数列{an2n -1}的前n 项和为S n , 即S n =a 1+a 22+⋯+a n 2n -1,则S 1=a 1=1,S n 2=a 12+a 24+⋯+a n2n . ∵当n>1时,S n 2=a 1+a 2-a 12+⋯+a n -a n -12n -1−a n 2n=1−(12+14+…+12n -1)−2-n 2n=1−(1-12n -1)−2-n 2n=n2n ,∴S n =n2n -1.当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数列{an2n -1}的前n 项和S n =n2n -1.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率? 解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可. 由{21x +11y =86,x +y =6,得M (2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万. 故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n 为数列{1an a n+1}的前n 项和,若Tn ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得d=1或d=0(舍去),因此a 1=2.故a n =n+1. (2)∵由(1)可知1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,∴T n =12−13+13−14+⋯+1n -1−1n+2=n2(n+2). ∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴n 2(n+2)≤λ(n+2),即λ≥n2(n+2)2对任意n ∈N *恒成立.又n 2(n +2)2=n 2(n 2+4n +4)=12(n +4n+4)≤116,当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值为116.。

高中数学人教A版必修五模块综合测评1 Word版含答案

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)

2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(时间:90分钟满分:120分) 【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理及其应用6,9,12,15,16余弦定理及其应用2,3,4,7,10,11,14正、余弦定理的综合应用13,17,18,19,20三角形的形状判定1,5,8一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,若==,则△ABC是( B )(A)直角三角形(B)等边三角形(C)钝角三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理==知,tan A=tan B=tan C,所以A=B=C.2.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)4解析:bcos C+ccos B=b·+c·==a=2.【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第1页】3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于( D )(A)3 (B)(C)4 (D)解析:cos C=-cos(A+B)=-,所以c2=a2+b2-2abcos C=32+22-2×3×2×(-)=17,所以c=,故选D.4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( A )(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)解析:由余弦定理得cos B===+≥,因为B∈(0,π),所以B∈(0,].5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则△ABC的形状为( B )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,从而sin(B+C)=sin A=sin2A,解得sin A=1,所以A=,故选B.6.(2018·河北衡水枣强中学期中)在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于( B )(A)3 (B)2(C)-2 (D)0解析:由BC=1,B=2A,应用正弦定理得=,即==,所以=2.故选B.7.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c且tanB=,·=,则tan B等于( D )(A) (B)-1(C)2 (D)2-解析:由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第3页】。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：1.2.1 实际应用问题版含解析

DI YI ZHANG 第一章解三角形1．2 应用举例第5课时实际应用问题知识点一距离问题1．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆B ，C 的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h (A ，B ，C 在同一铅垂面内)，则两个场馆B ，C 间的距离为( )A ．h sin αsin βsin (α－β) B ．h sin (β－α)sin αsin βC ．h sin αsin βsin (α－β)D ．h sin βsin αsin (α－β)答案 B解析在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)sin αsin β．2．一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B 处，望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为________．答案 (12－43) 海里解析如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°．∴P A＝AB·sin∠PBA sin∠APB＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠P AB＝60°，∴AQ＝2AB＝8．于是PQ＝AQ－AP＝12－43，∴两灯塔的距离为(12－43) 海里．3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km．答案3 6解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km．由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin∠ACB，∴BC ＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin75°＝6－223·6＋24＝36(km)．知识点二测量高度问题4．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC 为( )A ．500 2 mB ．200 mC ．1000 2 mD ．1000 m 答案 D解析 ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，∴BC ＝AB ·sin45°＝10002×22＝1000(m)．5．甲，乙两楼相距20 m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案 20 3 m ，4033 m解析如图所示：h 甲＝AB ＝20·tan60°＝203(m)， h 乙＝CD ＝20·tan60°－20·tan30°＝4033(m)．知识点三测量角度问题6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？答案北偏东30°解析如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BCsin ∠CAB＝ACsin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at＝12．∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°．即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．7．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝207．由正弦定理ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得sin∠ACB＝ABBC sin∠BAC＝217．∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝27 7．∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos30°－sin∠ACB sin30°＝277×32－217×12＝2114．易错点忽略审题环节，看图不准确8．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°．如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．答案 64a解析解法一：由题意知∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°，又因为∠ACD ＝60°，所以∠DAC ＝60°．所以AD ＝CD ＝AC ＝32a ．在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BD sin ∠BCD＝CD sin ∠DBC，所以BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC＝32a ·6＋2422＝3＋34a ，在△ADB 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB ＝34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋34a 2－2·32a ·3＋34a ·32＝38a 2，所以AB ＝64a ．解法二：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝CD sin45°，则BC ＝CD sin30°sin45°＝64a ，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝64a．一、选择题1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 3 km，那么x的值为()A． 3 B．2 3C．3或2 3 D．5答案C解析本题考查余弦定理的应用．由题意得(3)2＝32＋x2－2×3x cos30°，解得x＝3或23，故选C．2．如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行12h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10 km B．10 2 kmC．15 km D．15 2 km答案B解析在△ABC中，BC＝40×12＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20·sin30°sin45°＝102(km)．3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B 点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0．1 km，参考数据：3≈1．732)()A．11．4 km B．6．6 km C．6．5 km D．5．6 km答案B解析本题考查正弦定理的实际应用．∵AB＝1000×160＝503(km)，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032(km)．∴航线离山顶的距离为5032×sin75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11．4(km)．∴山顶的海拔为18－11．4＝6．6(km)．故选B．4．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．100 2 m B．100 3 mC ．50(2＋6) mD ．200 m 答案 A解析如图，由条件知，AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°) ＝25(6＋2)，CD ＝100cos75°＝25(6－2)，BD ＝AD tan30°＝25(6＋2)33＝25(32＋6)．∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．5．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m 答案 D解析设建筑物的高度为h ，由题图知， P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h．②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0．③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m ．二、填空题6．作用在同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡，已知F 1＝30 N ，F 2＝50 N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则F 3与F 1之间的夹角的正弦值为________．答案 5314解析本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡．设F 3与F 1之间的夹角为θ，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得F 3＝302＋502－2×30×50×cos (180°－60°)＝70 N ，再由正弦定理得50sin (180°－θ)＝70sin (180°－60°)，即sin θ＝50sin120°70＝5314． 7．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是________小时．答案 23解析设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．答案 1063 cm解析如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°．由正弦定理知，x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．三、解答题9．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D ．求AB 的长度．解在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，在△ABD 中，由余弦定理得：cos D＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7．由∠C＝∠D，得cos C＝cos D，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．10．如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20．由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28．所以渔船甲的速度为BC2＝14 n mile/h．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°．即sinα＝AB sin120°BC＝12×3228＝3314．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.1.2 数列的递推公式 Word版

姓名，年级：时间：第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝错误!,则数列{a n｝的第4项是（）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!,a4＝错误!＝错误!＝错误!．3．已知数列｛a n}满足a1＝1,a n＋1＝2a n－1（n∈N*），则a1000＝( )A．1 B．1999 C．1000 D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1,a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1（n∈N*)．4．已知数列｛a n｝对任意的p，q∈N＊满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6,那么a10等于( ) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6,∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3）＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6）＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n},a n＝a n＋m(a＜0，n∈N＊），满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析∵错误!∴错误!∴a n＝(－1)n＋3，∴a3＝（－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1,a4n－1＝0,a2n＝a n，n∈N＊,则a2011＝________；a2018＝________．答案0 1解析∵a2011＝a503×4－1＝0，∴a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1．知识点二利用数列的递推公式求通项公式7．数列｛a n}满足递推公式a1＝5，a n＝错误!a n－1（n≥2,n∈N*），则数列｛a n｝的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，错误!，错误!，2 a n＝错误!解析由错误!＝错误!（n≥2,n∈N＊），得a2a1＝23，错误!＝错误!，…，错误!＝错误!(n≥2,n∈N＊),将以上各式两两相乘得错误!＝错误!·错误!·…·错误!＝错误!，所以a n＝错误! (n≥2,n∈N＊)，又a1＝5符合上式，所以其通项为a n＝错误!．所以a1＝5，a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝2．8．已知数列{a n｝满足a1＝1，a n－a n－1＝错误!（n≥2），求数列{a n}的通项公式．解累加法：a n－a n－1＝错误!＝错误!－错误!,a2－a1＝1－错误!,a3－a2＝错误!－错误!,a4－a3＝错误!－错误!,…，a n－a n－1＝错误!－错误!,累加可得a n－a1＝1－错误!．又a1＝1，所以a n＝2－错误!．易错点一忽略数列中第1项9．在数列{a n｝中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3）＋…＋(a2－a1）＋a1＝－2(n－1）＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．易错点二对递推公式变形时忽略n取值的变化而致错10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1）2仅适用于n∈N＊且n≥2时的情况,因此两式相除得到a n＝错误!也仅适用于n≥2时的情况,从而错误断定a n＝错误!是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1）2，两式相除得a n＝错误!（n≥2，n∈N*)，故a n＝错误!一、选择题1．已知a n＝3n－2,则数列{a n｝的图象是（)A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N＊，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n｝中,a1＝错误!，a n＝（－1）n·2a n－1（n≥2），则a5等于( ）A．－错误! B．错误! C．－错误! D．错误!答案B解析∵a1＝错误!,a n＝（－1)n·2a n－1,∴a2＝(－1)2×2×错误!＝错误!,a3＝（－1）3×2×错误!＝－错误!，a4＝（－1)4×2×－错误!＝－错误!，a5＝（－1）5×2×－错误!＝错误!．3．函数f(x）满足f（1）＝1，f（n＋1）＝f(n)＋3（n∈N*），则f（n）是（) A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不能确定答案A解析∵f（n＋1)－f(n）＝3(n∈N＊），∴f（2）>f(1）,f（3）>f（2），f(4）〉f（3），…，f(n＋1)>f（n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列｛a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝( ）A．－7 B．3 C．15 D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2,所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列｛a n｝满足a1＝1，a2＝3，且2na n＝(n－1）a n－1＋(n＋1）a n＋1,则a20的值是（)A．4错误! B．4错误! C．4错误! D．4错误!答案D解析由题知：a n＋1＝错误!,a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝4，a5＝错误!＝错误!,a6＝错误!＝错误!，故a n＝错误!．所以a20＝错误!＝错误!＝4错误!．故选D．二、填空题6．在数列{a n}中，a n＝2n＋1,对于数列{b n｝，b1＝a1，当n≥2时，b n＝ab n－1，则b4＝________，b5＝________．答案31 63解析由a n＝2n＋1，知b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63．7．已知F（x)＝f错误!－1是R上的奇函数．a n＝f(0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f(1）(n∈N*）．则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝n＋1解析因为F（x)＋F(－x)＝0，所以f错误!＋f错误!＝2,即若a＋b＝1，则f（a)＋f（b)＝2．于是由a n＝f（0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f（1)(n∈N*)，得2a n＝［f（0)＋f(1)]＋错误!＋…＋错误!＋[f(1)＋f（0)］＝2n＋2，所以a n＝n＋1．8．函数f(x)定义如下表，数列{x n｝满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f （x n）,则x2019＝________．答案5解析由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1，5，2，1,…故数列{x n｝为周期为3的周期数列．∴x2019＝x3×673＝x3＝5．三、解答题9．数列｛a n}中a1＝1，对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2．(1)求a3，a5；（2）探究错误!是否为此数列中的项；若是，是第多少项?（3)试比较a n与a n＋1(n≥2）的大小．解（1）∵对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，∴a1·a2＝22，a1·a2·a3＝32，a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52．∴a3＝错误!，a5＝错误!．(2）∵a1·a2·a3·…·a n＝n2,∴n≥3时，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴n≥3时，∴a n＝错误!2，且a1＝1，a2＝4,而错误!＝错误!2，∴错误!是数列中的项，是第16项．（3)∵错误!＝错误!2×错误!2＝错误!2〉1,∴a n〉a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n｝满足a1＝1,a n＋1＝错误!(n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝错误!,a3＝错误!,a4＝错误!,又a1＝错误!,∴可猜想a n＝错误!．应有a n＋1＝错误!,将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝错误!．解法二：∵a n＋1＝错误!，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得错误!－错误!＝错误!．∴错误!－错误!＝错误!，错误!－错误!＝错误!，…,错误!－错误!＝错误!．把以上各式累加得错误!－错误!＝错误!．又a1＝1，∴a n＝错误!．故数列{a n}的通项公式为a n＝错误!(n∈N*)．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：1.1.2.2 余弦定理(2)

第4课时余弦定理(2)知识点一利用余弦定理判定三角形的形状1．若1＋cos A ＝b ＋cc ，则三角形的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析由1＋cos A ＝b ＋c c ，得cos A ＝bc ，根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，则c 2＝a 2＋b 2．所以三角形为直角三角形．故选A ．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．若sin B sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由b 2＋c 2＝a 2＋bc 及余弦定理，知A ＝π3，又由sin B sin C ＝sin 2A 及正弦定理，得bc ＝a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c ，所以△ABC 为有一个内角为π3的等腰三角形，即为等边三角形．故选C ． 3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形答案 B解析由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ．∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°．故△ABC 是等边三角形．4．在△ABC 中，a cos(B ＋C )＋b cos(A ＋C )＝c cos(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式可化为a cos A ＋b cos B ＝c cos C ．由余弦定理可知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ，∴a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理，得(a 2－b 2)2＝c 4，即a 2－b 2＝±c 2， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2，故△ABC 一定为直角三角形．知识点二正弦定理与余弦定理的综合应用5．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A ．1010 B ．105 C ．31010 D ．55 答案 C解析由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5．∴AC ＝5．由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c cos A ＋a cos C ． (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理，得2b cos A ＝c cos A ＋a cos C ⇒2cos A sin B ＝cos A sin C ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°．(2)由余弦定理，得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，把b ＋c ＝4代入，得bc ＝3，故bc ＝3．知识点三余弦定理与其他知识的综合应用7．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32 B ．－23 C ．23 D ．32 答案 D解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC＝14．故AB →·AC→＝3×2×14＝32． 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c ＝lg sin A ＝－1g 2，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析因为lg b ＋lg 1c ＝lg sin A ＝－lg 2，所以c＝2b，且sin A＝2 2．因为A为锐角，所以A＝π4，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋2b2－2b×2b×22＝b2，所以a＝b，所以B＝π4，所以C＝π2，故△ABC为等腰直角三角形．故选D．9．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx，23cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝32，求a的值．解(1)f(x)＝m·n＋|m|＝cos2ωx＋23·sinωx cosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋3sin2ωx＋1＝2sin2ωx＋π6＋1．由题意，知T＝π，又∵T＝2π2ω＝π，∴ω＝1．(2)∵f(x)＝2sin2x＋π6＋1，∴f(A)＝2sin2A＋π6＋1＝2，sin2A＋π6＝12．∵0<A<π，∴π6<2A＋π6<2π＋π6．∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3．∴S△ABC ＝12bc sin A＝32，∴b＝1．∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋4－2×1×2×12＝3．易错点忽视构成三角形的条件10．已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．易错分析易忽略隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，则k＋(k＋2)＞k＋4．即k＞2而不是k＞0．解∵c＞b＞a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122k(k＋2)＜0．∴k2－4k－12＜0，解得－2＜k＜6．由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)＞k＋4，∴k＞2，综上所述，k的取值范围为2＜k＜6．一、选择题1．在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sin B sin C，则A等于() A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析根据正弦定理的推广asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，从而原等式等价于a2－c2－b2＝bc，结合cos A＝b2＋c2－a22bc，得cos A＝－12，由0°<A<180°，得A＝120°．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 D解析由a 2b 2＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a2及余弦定理，得a 2b 2＝2ac cos B 2bc cos A ，即a b ＝cos Bcos A ，所以由正弦定理，得sin A sin B ＝cos Bcos A ，所以有sin2A ＝sin2B ，从而2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2．故选D ．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A ．518 B ．34 C ．32 D ．78 答案 D解析设等腰三角形的底边边长为x ，则腰长为2x (如图)，由余弦定理，得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78．故选D ．4．某人要做一个三角形，要求它的三条高线的长度分别是113，111，15，则此人将( )A ．不能做出满足条件的三角形B ．做出一个锐角三角形C ．做出一个直角三角形D ．做出一个钝角三角形答案 D解析设三条高线对应的底边分别为a ，b ，c ，则由三角形的面积公式，得a ·113＝b ·111＝c ·15＝t (t >0)．∴a ＝13t ，b ＝11t ，c ＝5t ．∴a 为最大边．由余弦定理，得cos A ＝(11t )2＋(5t )2－(13t )22×11t ×5t <0．∴能做出一个钝角三角形．故选D ．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由余弦定理，得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理，得sin A sin B ＝ab ＝2．二、填空题6．在△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________．答案 1或2解析已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝3＋c 2－3c ，即c 2－3c ＋2＝0，因式分解，得(c －1)(c －2)＝0，解得c ＝1或c ＝2，经检验都符合题意，所以c 的值为1或2．7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________．答案19解析由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19．8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22．∴AD ＝AC sin C ＝3．三、解答题9．在△ABC 中，a 2＋b 2－mc 2＝0(m 为常数)，且cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ，求m 的值．解由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，由a 2＋b 2－mc 2＝0，得 c 2＋2ab cos C ＝mc 2，即2ab cos C ＝(m －1)c 2．结合正弦定理，得2sin A sin B cos C ＝(m －1)sin 2C ，又由cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ，得cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin (A ＋B )sin A sin B ＝cos Csin C ，即sin A sin B cos C ＝sin 2C ，得m －1＝2⇒m ＝3．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34．(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC→＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－342＝74．由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ．于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477．(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2．由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3．。

2019-2020学年人教A版数学必修五阶段质量检测(一) Word版含答案

阶段质量检测（一）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选A 由题意有asin A ＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：选A ∵A＝180°－45°－60°＝75°，∴A＞C＞B，∴边b最短．由bsin B＝csin C得b＝csin Bsin C＝sin 45°sin 60°＝63.3．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC( ) A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定解析：选C b sin A＝4×sin 60°＝4×32＝2 3.又a＝6，且6＜23，故△ABC无解．4．若三角形三边长如下：①4,6,8；②10,24,26；③10，12,14.其中分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的是( )A．①②③B．③②①C．②③①D．③①②解析：选B 利用余弦定理，计算最大边所对角的余弦值，判断最大角是钝角、直角或锐角即可．5．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB―→·BC―→的值为( )A．19 B．14C．－18 D．－19解析：选D 在△ABC中，由余弦定理得cos B ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC ＝49＋25－362×7×5＝1935.∴AB ―→·BC ―→＝－|AB |―→|BC |―→cos B ＝－7×5×1935＝－19.6．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得 cos B ＝a2＋c2－b22ac＝＋－2×2k×4k＝1116. 7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3D.3π4解析：选C 由正弦定理得(c －b )(c ＋b )＝(c －a )a ，即c 2＋a 2－b 2＝ac,2ac cos B ＝ac ，cos B ＝12.又0<B <π，因此B ＝π3.8．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2A ，a ＝1，b ＝43，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得1sin A ＝43sin 2A，则cos A ＝23，从而cos B ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝－19＜0，所以角B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．10．(全国丙卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a ＝－1010.故选C. 法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a2＋29a2－a22×53a×23a ＝－1010. 11．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) A ．(8,10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B 设1,3，a 所对的角分别为C ，B ，A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A ＜12＋32＝10,32＝1＋a 2－2×a cos B ＜1＋a 2， ∴22＜a ＜10.12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，在炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 米B ．100 3 米C ．2030 米D ．30米解析：选D 设炮台顶部为A ，两条船分别为B ，C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得DB ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________. 解析：由余弦定理得a 2＋c 2－2ac cos 30°＝b 2， ∴a 2－1503a ＋15 000＝0. 解得a ＝1003或50 3. 答案：1003或50 314．△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．解析：cos C ＝a2＋b2－c22ab，∵C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2. 答案：a 2＋b 2<c 215．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为________．解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. 整理得，c 2＝a 2＋b 2－ab . ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝12.即C ＝π3.答案：π316．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝ 2AB ，则BD ＝________. 解析：如图所示，设AB ＝a ，AC ＝2a ，BD ＝k ，DC ＝2k ，在△ABD 与△ADC 中分别运用余弦定理有⎩⎪⎨⎪⎧a2＝k2＋2＋2k ，2a2＝4k2＋2－4k ，解得k 2－4k －1＝0⇒k ＝2＋ 5.答案：2＋ 5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝623×12＝32.又A ＝30°，且a ＜b ，∴B ＝60°或B ＝120°. ①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，故S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23×6sin 30°＝3 3.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35. (1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 19．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)因为sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64，C ＝180°－(45°＋75°)＝60°，故a ＝b ·sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°s in 45°＝ 6. 20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A ＋sin B ＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝－15.(2)∵sin A ＋sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.21．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝ABsin 30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1.∵BC12×60＝5， ∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min.答：最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并持续至少5 min 才算合格． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1. (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且c ＝7，f (c )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝32sin2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，f (x )min ＝－2. ∴最小正周期为T ＝π. (2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m ∥n ，∴sin B －3sin A ＝0， ∴b －3a ＝0.①∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，c ＝7， ∴7＝a 2＋b 2－ab ② 由①，②知：a ＝1，b ＝3.(B 卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D. π12解析：选A 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，因为三角形为锐角△ABC ，所以A ＝π3. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ．则角C 等于( )A.π6B.π4C.π3D.5π6解析：选A 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ，由正弦定理可知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝32，又因为0<C <π，所以C ＝π6.3．在△ABC 中，B ＝30°，b ＝503，c ＝150，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D 由正弦定理可得sin C ＝csin B b ＝32.∵b <c ，∴C ＝60°或120°.从而A ＝90°或A ＝B ＝30°.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则 2sin2B －sin2Asin2A的值为( )A.19 B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin2B －sin2A sin2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin2B －sin2A sin2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3 B ．5 C ．5 2D ．6 2解析：选C ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5. 由正弦定理2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D 由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac，又因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以有cos B ·tanB ＝32，即sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 7．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.14解析：选D 因为sin C sin A ＝3，由正弦定理得c ＝3a ，又因为b 2－a 2＝52ac ，所以b 2＝172a 2，由余弦定理可知cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋9a2－172a26a2＝14.8．已知等腰三角形ABC 的面积为32，顶角A 的正弦值是底角B 正弦值的 3 倍，则该三角形一腰的长为( )A. 2B. 3 C ．2D. 6解析：选A 依题意b ＝c ，sin A ＝3sin B . 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝3b .∴三角形底边上的高h ＝ b2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12b .又三角形的面积为32，∴32＝12×3b ×b 2， ∴b ＝ 2.9．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，其面积S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37D.13解析：选D 因为S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝33，所以sin A ＝32，又因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos A ＝9＋16－2×3×4×12＝13，∴BC＝13.吊索AB＝51910.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，m，起吊的货物与岸的距离AD为( )A．30 m B.1532mC．15 3 m D．45 m解析：选B 在△ABC中，AC＝15 m，AB＝519 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos∠ACB＝AC2＋BC2－AB22×AC×BC＝152＋102－192×15×10＝－12.∴sin∠ACB＝32.又∠ACB＋∠ACD＝180°.∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝32.在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×32＝1532m.11．在△ABC中，若3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形解析：选A 由已知3b＝23a sin B可得bsin B＝a32，根据正弦定理知sin A＝32，∴A＝60°或120°.又cos B＝cos C，∴B＝C.∴A＝B＝C＝60°或A＝120°，B＝C＝30°，所以选A项．12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A．2sin α－2cos α＋2B．sin α－3cos α＋3C．3sin α－3cos α＋1D．2sin α－cos α＋1解析：选A 四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长等于________．解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，设BC 中点为D ，连结AD ，则AD ⊥BC .在Rt △ABD 中，cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14. 设AB 中点为点E ，连结CE ，则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·cos B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2， ∴CE ＝62a . 答案：62a 14．在△ABC 中，a 比c 长4，b 比c 长2，且最大角的余弦值是－12，则△ABC 面积等于________．解析：由题意得：a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，则A 为最大角，cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝＋＋c2－＋＋＝c2＋4c ＋4＋c2－c2－8c －16＋＝c2－4c －122c2＋4c ＝－12，即c 2－4c －12＝－c 2－2c .即c 2－c －6＝0.解得c ＝3，或c ＝－2(舍)．∴a ＝7，b ＝5， A ＝120°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝15 34. 答案：15 3415．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，C ＝π3，则b ＝________. 解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12，因为a <c ，所以A ＝π6，B ＝π2，则b ＝c2＋a2＝4. 答案：416．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，对塔顶A 的仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO.令AB＝x，则BC＝x，BO＝3x.在△BCO中，由余弦定理得(3x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，整理得x2－5x－50＝0. 解得x＝10，或x＝－5(舍去)．所以塔高为10 m.答案：10 m三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A－B2＋4sin A sinB＝2＋ 2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4, △ABC的面积为6，求边长c的值．解：(1)由已知得2＋4sin A sin B＝2＋2，化简得－2cos A cos B＋2sin A sin B＝2，故cos(A＋B)＝－22.所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12ab sin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝3 2.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c＝10.18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足4a cos B－b cos C＝c cosB.(1)求cos B的值；(2)若ac＝12，b＝32，求a，c.解：(1)∵4a cos B－b cos C＝c cos B及正弦定理得4sin A cos B－sin B cos C＝sin C cos B，∴4sin A cos B＝sin(B＋C)，即4sin A cos B＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝1 4 .(2)∵ac ＝12，b ＝32及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2＝24，由a 2＋c 2＝24及ac ＝12解得a ＝c ＝2 3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)如果cos B ＝63，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为cos B ＝63，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos2B ＝33. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝bsin A sin B＝3. 因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以c 2－2c －5＝0，解得c ＝1±6，因为c >0，所以c ＝6＋1.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32＋32. 20．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32， ∴C ＝π3或C ＝2π3， ∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去， ∴C ＝π3. (2)∵c ＝3，sin C ＝32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π3－A ， ∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin Acos π6＋cos Asin π6＋3＝23·sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜A ＜π2， ∴32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]．21．(本小题满分12分)A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c .若m ＝－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形的面积S ＝3，求b ＋c 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12， ∴－cos 2 A 2＋sin 2 A 2＝12，即－cos A ＝12， ∴cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12bc ·sin 2π3＝3， ∴bc ＝4.又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos2π3＝b 2＋c2＋bc ， ∴16＝(b ＋c )2，故b ＋c ＝4.22．(本小题满分12分)如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)解：轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin∠EAC ＝AE sin C，即sin C ＝AEsin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin∠BAC ＝AB sin C，即AB ＝BCsin C sin 120°＝4x×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝ 313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时).。

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∴Error!
1
7
解得 a＝12，b＝12．
1 而当 a＝12>0 时，不等式 ax2－bx＋1>0 的解集不可能是{x|3<x<4}，
故不存在实数 a，b 使不等式 f(x)>0 的解集是{x|3<x<4}．
(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1．
∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0， ∴函数 f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1 必有两个零点．
对应的一组平行线，观察在点(1，3)处 z 最小，为 500 元．
16．如果 a>b，给出下列不等式：
11
a
①a<b；②a3>b3；③ a2> b2；④2ac2>2bc2；⑤b>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b
．
其中一定成立的不等式的序号是________．
答案 ②⑥
11 解析 ①若 a>0，b<0，则a>b，故①不成立；
1 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－2＝300，所以
AC＝10 3．
第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
a＝3，b＝4，c＝6，则 bccosA＋cacosB＋abcosC＝________．
B(3，0)，C(1，3)．将 A，B，C 三点的坐标分别代入 z＝2x＋5y，得
z＝10，6，17，故 z 的最小值为 6．
3 5．已知△ABC 的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 2 ，
则这个三角形的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
答案 A
解析根据题意，设△ABC 的三边长为 a，a＋2，a＋4，且 a＋4 所对的角为
最大角 α，
3
11
∵sinα＝ 2 ，∴cosα＝2或－2，
1
当 cosα＝2时，α＝60°，不符合题意，舍去；
1 当 cosα＝－2时，α＝120°，由余弦定理得：
a2＋a＋22－a＋42 1
cosα＝cos120°＝
2aa＋2
＝－2，
解得 a＝3 或 a＝－2(不符合题意，舍去)，则这个三角形周长为
A．an＋1>bn＋1 B．an＋1≥bn＋1
C．an＋1<bn＋1 D．an＋1＝bn＋1 答案 B
a1＋a2n＋1 解析 an＋1＝ 2 ≥ a1a2n＋1＝ b1b2n＋1＝bn＋1．
12．如图，一轮船从 A 点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛 B，又从 B 沿北偏东 10°的方向行驶 10 海里至海岛 C，若此轮船从 A 点直接沿直线行驶至海岛 C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛 C( )
满足需要的条件下，最少要花费________元．
答案 500
解析设购买 35
kg 的 x 袋，24
kg 的 y 袋，则
35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N*，共花费 z＝140x＋120y．作出由
35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N*对应的平面区域，再作出目标函数 z＝140x＋120y
故数列{an}的通项公式为 an＝1＋(n－1)×1＝n． (2)由题意可设公比为 q，则 q＞0．
1 由 b1＝1，且 b2，2b3，2b1 成等差数列，得 b3＝b2＋2b1， ∴q2＝2＋q，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)．故数列{bn}的通项公式为 bn＝1×2n－1＝2n－1． 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ax2－bx＋1．
17 答案 6
解析设数列{an}的公差为 d(d＞0)， 1
即有 an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋2n(n－1)d，
( ) 1
1
dn2＋ 1－ d n
Sn＝ 2
2，
由于数列{ Sn}也为等差数列，
可得 d＝2，即有 an＝2n－1，Sn＝n2，则
( ) Sn＋8 n2＋8 1 8 1 8
n＋
n·
1 解析 asinB＝asin29°<asin30°＝20×2＝10＝b<a，所以有两解．故选 C． 4．设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝2x＋5y 的最小值为( ) A．－4 B．6 C．10 D．17 答案 B
解析由题意知，约束条件Error!所表示的三角形区域的顶点分别为 A(0，2)，
a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝9＋6＝15．故选 A．
6．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若内角
A，B，C 依次成等差数列，且不等式－x2＋6x－8＞0 的解集为{x|a＜x＜c}，则
S△ABC＝( ) A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
答案 B
解析不等式－x2＋6x－8＞0 的解集为{x|2＜x＜4}，由此可知
a＝2，c＝4．又由 A，B，C 依次成等差数列，知 2B＝A＋C，而 A＋B＋C＝π，
π
1
1
3
所以 B＝3．于是 S△ABC＝2acsinB＝2×2×4× 2 ＝2 3．故选 B．
7．在等差数列{an}中，若 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝200，则 4a5－2a3 的值为( )
A．80 B．60 C．40 D．20
答案 A
解析 ∵a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝200，
∴5a7＝200，a7＝40．又 4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，
∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选 A． 8．已知 Sn 和 Tn 分别为数列{an}与数列{bn}的前 n 项和，且 a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝ebn，则当 Tn 取得最大值时 n 的值为( ) A．4 B．5 C．4 或 5 D．5 或 6
61 答案 2
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 解析由余弦定理得 bccosA＋cacosB＋abcosC＝ 2 ＋ 2 ＋ a2＋b2－c2 a2＋b2＋c2 61 2 ＝ 2 ＝2． 14．已知数列{an}是各项为正数，首项为 1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，
Sn＋8 若数列{ Sn}也为等差数列，则an＋1的最小值是________．
A．3 B．5 C．7 D．10
答案 D
解析设使用 x 年，年平均费用为 y 万元，则
10＋0.9x＋0.2＋0.2xx ÷ 2 10＋x＋0.1x2
y＝
x
＝
x
x 10
＝1＋10＋ x ≥3，当且仅当 x＝10 时等号成立．
故选 D．
11．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且 a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则( )
②∵y＝x3 在 x∈R 上单调递增，且 a>b．∴a3>b3，故②成立；
③取 a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当 c＝0 时，ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；
⑤取 a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
1 ⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)＝2[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>
4≤n≤5，所以当 n＝4 或 n＝5 时，Tn 取得最大值．故选 C． 9．已知△ABC 的周长为 2，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
sinA＋sinB
sinC ＝3c，则 c 等于( )
3
2
2
A．2 B．1 C．1 或3 D．3
答案 D
sinA＋sinB a＋b 解析由正弦定理得： sinC ＝ c ＝3c，
∴sinB＋sinA＋sinC＝3sinC，
∴sinB＋sinA＝2sinC，∴a＋b＝2c，
∴a，c，b 成等差数列．
1
3
(2)S＝2absinC＝ 4 ab＝2 3，∴ab＝8，
c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab
＝4c2－24．
∴c2＝8，得 c＝2 2．
18．(本小题满分 12 分)已知{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是各项都是正数的等比数列．
π (2)若 C＝3，△ABC 的面积为 2 3，求 c．
解 (1)证明：由正弦定理得：
A
B3
sinBcos22＋sinAcos22＝2sinC，
1＋cosA
1＋cosB 3
即 sinB· 2 ＋sinA· 2 ＝2sinC，
∴sinB＋sinA＋sinBcosA＋cosBsinA＝3sinC，
∴sinB＋sinA＋sinx)在(－2，－1)上恰有一个零点，
A．北偏东 60°；10 2 B．北偏东 40°；10 3 C．北偏东 30°；10 3 D．北偏东 20°；10 2 答案 B 解析由已知得在△ABC 中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°， AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从 A 到 C 的航向为北偏东 70°－30° ＝40°．由余弦定理得
(1)是否存在实数 a，b 使不等式 f(x)>0 的解集是{x|3<x<4}，若存在，求实数
a，b 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若 a 为整数，b＝a＋2，且函数 f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求 a 的
值．解 (1)∵不等式 ax2－bx＋1>0 的解集是{x|3<x<4}， ∴方程 ax2－bx＋1＝0 的两根是 3 和 4，
an＋1＝ 2n ＝2 n ≥2·2 n＝2 2，当且仅当 n＝2 2取得等号，由于 n 为
17 正整数，即有 n＝2 或 3 取得最小值．当 n＝2 时，取得 3；n＝3 时，取得 6 ，故