江苏省南京师范大学附中2017届高三考前模拟数学试卷

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江苏省南京市2017届高三年级三模数学卷(不含附加题)解析版

所以an＋1＞an，即{an}单调递增．…………………………10分
（i）当≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，
所以an＋1＝|p－an|＋2an＋p＝an－p＋2an＋p＝3an，所以an＝3n－1a1．
若{an}中存在三项ar，as，at(r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，则有2as＝ar＋at，
【考点】圆与圆的位置关系
【解析】由题意圆M上任意一点Q向圆O作切线，切点为P，∠PQM=30，所以OQ=4，即
，解得
【答案】[－，0]
14．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为▲．
【考点】线性规划、利用导数知识求曲线切线问题
【解析】本题属于压轴题，考察利用令的换元，转换成线性规划问题，再利用导数知识求曲线切线知识解决最小值问题。本题为江苏省2012年第14题改编，解题方法如出一辙。
【答案】因为为正实数，对的左右两边同除，得；
对的左右两边同乘，得；
令，则条件可转化为
再进行化简，可得
求的取值范围问题
转换为线性规划的问题，画出可行域，
对求导，并令导函数值为，可得切点横坐标为3，带入曲线，计算出切点坐标为
利用线性规划，可知分别在和取max和min
带入计算可得范围为
即2×3s－1＝3r－1＋3t－1．（*）
因为s≤t－1，所以2×3s－1＝×3s＜3t－1＜3r－1＋3t－1，
【考点】概率【解析】本题考察的Fra bibliotek概率，属于基础题
【答案】
3．若复数z满足z＋2＝3＋2i，其中i为虚数单位，为
复数z的共轭复数，则复数z的模为▲．
【考点】复数的模长
【解析】解得，本题考察基础的复数的模的计算

江苏省南师附中高2020届高2017级高三年级第二学期期初检测试卷数学参考答案及评分标准

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题,160分）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1.[]2,4-2.二3.64.55.()2,06.58 7.38.252 9.12 10.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.[)4,+∞ 12.19 13.[]1,11- 14.3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ,得a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C , 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ,得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ,…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A .因为A ＋B ＝π－C ,所以sin(A ＋B )＝sin C , 所以sin C cos C ＝sin C cos A ,…………4分因为C 是△ABC 的内角,所以sin C ≠0,所以cos C ＝cos A .又因为A ,C 是△ABC 的内角,所以A ＝C .…………6分（2）由（1）知,因为A ＝C ,所以a ＝c ,所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2.…………8分因为BA →·BC →＝1,所以a 2cos B ＝a 2－2＝1,所以a 2＝3.…………10分所以cos B ＝13.…………12分因为B △(0,π),所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.…………14分16.（本小题满分14分）解：（1）因为AD △平面BCC 1B 1,AD ⊂平面ABCD ,平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC , 所以AD △BC .…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1,AD ⊂平面ADD 1A 1, 所以BC △平面ADD 1A 1.…………6分（2）由（1）知AD △BC ,因为AD △DB ,所以BC △DB ,…………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1△平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , 所以DD 1△BC ,…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1,DB ⊂平面BDD 1B 1,DD 1∩DB ＝D , 所以BC △平面BDD 1B 1,…………12分因为BC ⊂平面BCC 1B 1,所以平面BCC 1B 1△平面BDD 1B 1.…………14分 17.（本小题满分14分）解：（1）连接AB ,因为正方形边长为10米,所以10OA OB AB ===,则3AOB π∠=,所以»103AB π=,…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-.…………6分（2）作OG CD ⊥于G ,OK AD ⊥于K G ,记OAK α∠=, 则2220sin AD DG OK α===,…………8分由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ,…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号,所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为.答：4条小路的总长度的最小值为.…………14分 18.（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0). 依题意,c a ＝12,且a 2c ＝4,解得a ＝2,c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.…………4分（2）设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 124＋y 123＝1,x 224＋y 223＝1.两式相减,得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0,14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0,所以14＋13·k ·(－12)＝0,得k ＝32.…………8分（3）由题意,S 1S 2＝32,即12·|AF |·|y 1|12·|BF |·|y 2|＝32,整理可得|y 1||y 2|＝12,…………10分所以→NF ＝2→FM .代入坐标,可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1,即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1.…………12分又点M ,N 在椭圆C 上,所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1,解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5.所以M 的坐标为(74,358).…………16分19.（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2,则f ′(1)＝1－a ＝2,解得a ＝－1,则f (x )＝ln x －1x ＋1,此时f (1)＝ln1－1＋1＝0,则切点坐标为(1,0), 代入切线方程,得b ＝－2, 所以a ＝－1,b ＝－2.…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1,g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.△当a ＝0时,g ′(x )＝1x ＞0,则g (x )在区间(0,12)上为增函数,则g (x )在区间(0,12)上无最小值.…………4分△当a ≠0时,方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0, 则方程有两个不相等的实数根,设为x 1,x 2,由韦达定理得x 1x 2＝－1,则两根一正一负,不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0), （i ）若a ＞0,若x 2△(0,12) ,则m (0)＝－a ＜0 ,m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ,解得0＜a ＜23.此时x △(0,x 2)时,m (x )＜0,则g (x )递减；x △(x 2,12)时,m (x )＞0,则g (x )递增,当x ＝x 2时,g (x )取极小值,即为最小值.若x 2≥12,则x △(0,12),m (x )＜0,g (x )在(0,12)单调减,无最小值.…………6分（ii ）若a ＜0,此时x △(0,x 2)时,m (x )＞0,则g (x )递增；x △(x 2,＋∞)时,m (x )＜0,则g (x )递减, 在区间(0,12)上,g (x )不会有最小值.所以a ＜0不满足条件.综上,当0＜a ＜23时,g (x )在区间(0,12)上有最小值.…………8分（3）当a ＝0时,由方程f (x )＝bx 2,得ln x ＋1－bx 2＝0,记h (x )＝ln x ＋1－bx 2,x ＞0,则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x.△当b ≤0时,h ′(x )＞0恒成立,即h (x )在(0,＋∞)上为增函数,则函数h (x )至多只有一个零点,即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根, 所以b ≤0不符合题意.…………10分△当b ＞0时,当x △(0,12b)时,h ′(x )＞0,所以函数h (x )递增；当x △(12b,＋∞)时,h ′(x )＜0,所以函数h (x )递减, 则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12. 要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根,则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0,解得0＜b ＜e2.…………12分（i ）当0＜b ＜e 2时,h (1e )＝－be 2＜0.又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0,则1e＜12b, 所以存在唯一的x 1△(1e ,12b),使得h (x 1)＝0.…………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ,记k (b )＝－ln b ＋1－1b ,0＜b ＜e2,因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2,则k (b )在(0,1)上为增函数,在(1,e2)上为减函数,则k (b )max ＝k (1)＝0,则h (1b )≤0.又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0,即1b＞12b, 所以存在唯一的x 2△(12b ,1b],使得h (x 2)＝0, 综上,当0＜b ＜e2时,方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根.…………16分20.（本小题满分16分）解：（1）△若1λ=,因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-,则()()1111n n n n S a S a +++=+,111a S ==. 又△0n a >,0n S >,△1111n n n nS a S a +++=+,△3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得1112n n S a +++=.△ △当2n ≥时,12n n S a +=.△△－△,得12n n a a +=,即()122n na n a +=≥. △当1n =时,22a =,1n =时上式也成立,△数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,12n n a -=.…………4分△因为()1n n b n a =+,△()112n n b n -=+⋅.所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ,所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-,所以2nn T n =⋅.…………8分（2）令1n =,得21a λ=+.令2n =,得()231a λ=+.要使数列{}n a 是等差数列,必须有2132a a a =+,解得0λ=. 当0λ=时,()111n n n n S a S a ++=+,且211a a ==.…………10分当2n ≥时,()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-,整理,得2111n n n n n S S S S S +-++=+,1111n n n nS S S S +-+=+, 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++, 化简,得11n n S S ++=,所以11n a +=.…………14分综上所述,()*1Nn a n =∈,所以0λ=时,数列{}n a 是等差数列.…………16分第△卷（选做题,40分）21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 .…………4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3).令f (λ)＝0,解得M 的特征值为λ1＝1,λ2＝3.…………6分 △当λ＝1时,⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ,得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1,则y ＝－1,于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1.…………8分△当λ＝3时,⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ,得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1,则y ＝1,于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11. 因此,矩阵M 的特征值为1,3,分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1,⎣⎡⎦⎤11.…………10分 B.选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=,…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，,…………6分所以交点Q 的极坐标是)π4，.…………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2,0),且当l 垂直于x 轴时,AB ＝4, 所以抛物线经过点(2,2),代入抛物线方程,得4＝2p ×2,解得p ＝1.…………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ,得ky 2－2y －4k ＝0,则y 1＋y 2＝2k ,y 1y 2＝－4.…………4分因为C 为AB 中点,所以y C ＝y 1＋y 22＝1k, 则直线l 1方程为：y ＝1k.…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直,则l 2方程为：y ＝－1k(x －2),联立⎩⎨⎧y ＝1k ，y ＝－1k (x －2)，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1,1k),所以,点P 在定直线x ＝1上.…………10分 23.（本小题满分10分）解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S .…………4分（2）由二项式定理得,(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤, 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ,…………8分所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L高三数学参考答案第 11 页共 11 页 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=.…………10分。

江苏省南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题含答案

（第6题）结束输出y y ←x 2-2x +2y ←5x <4Y 输入x 开始 N 2016-2017高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分)一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB =▲ ．【答案】[1,2]2．复数iia 212+-(i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题,则实数a 的取值范围是_______。

【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间［4，5)上的数据的频数为__________．【答案】 30．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】47．在平面直角坐标系xOy 中,点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案8．已知a ,b 为实数,且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b —ab 2.(填“〉”、“<"或“=”) 【答案】“〈”9．ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则公比q 的取值集合是．【答案】⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，F 是棱BC 的中点，M 是线段1A F上的动点，则△1MDD 与△1MCC 的面积和的最小值是．【答案】；12．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则实数c 的值为．【答案】 214-13。

(江苏版)备战高考数学模拟试卷分项专题11 概率统计-人教版高三全册数学试题

第十一章概率统计 1. 【南师附中2017届高三模拟二】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为__________．【答案】112【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，有98362n ⨯==种情形，其中一个是另一个的三倍的事件有()()()1,3,2,6,3,9，共3种情形，所以由古典概型的计算公式可得其概率是313612P ==，应填答案112。

2. 【南师附中2017届高三模拟二】射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为__________．【答案】45【解析】因为910810895x ++++==，所以[]2140111155s =++++=，应填答案45。

3. 【南师附中2017届高三模拟一】从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________.【答案】124．【南师附中2017届高三模拟一】随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。

5. 【某某中学2018届高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______. 【答案】点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动X 围．当考察对象为点，点的活动X 围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6. 【某某中学2018届高三上学期开学考试】某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为__________．【答案】660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在之间的频率为：，∴估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为：.故答案为660.7. 【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_________.【答案】8．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_________.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为()0.020.0110800240m=+⨯⨯=，应填答案240。

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学 2017.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲乙（第5题图）（第4题图）▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）ACB A 1B 1C 1D（第10题图） ABCFED（第15题图）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．（第17题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；（3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准（第18题图）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ)800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．（*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分（ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，所以a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分（iii ）当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AE AC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ，所以AB ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分设(AB )－1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14 ． …………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21(A)图）解：由于ρ2 ＝ x 2＋y 2，ρcos θ ＝ x ，所以曲线C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－8x ＋15＝0，即 (x －4)2+y 2＝1，所以曲线C 是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l 的直角坐标方程为 y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分因为圆心 (4，0) 到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分所以直线l 与圆相离，从而PQ 的最小值为d －1＝22－1．…………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，所以x 3＋2 ＝ x 3＋1＋1 ≥ 33x 3×1×1 ＝ 3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ……………………… 3分（2）T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ……………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ……………………… 6分于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2 T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ……………………… 10分。

2017届高考数学模拟卷二(南师大)(含答案)

南师大2017高考数学模拟卷二一、填空题1．已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 2. 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3. 射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为 ▲ .4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．6．从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －3≤0，则当2x －y 取得最小值时，x 2＋y 2的值为 ▲ ．8. 已知函数[]),0(sin )(π∈=x x x f 和函数x x g tan 31)(=的图像相交于C B A ,,三点，则ABC ∆的面积为▲ .9．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．（第4题）10. 如图，在ABC ∆中，→→→→====EB AE DC AD BC AC AB 21,,2,.若21-=⋅→→AC BD ，则=⋅→→AB CE ▲ ．11．已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)．则关于m 的不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的解集为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．13. 公比为q (q ≠1)的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q 的取值的代数和为 ▲ ．14. 设常数1>k ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤--==1,)1(,10,1)(2x kx x kf x x x x f y ，则)(x f 在区间)2,0[上的取值范围为▲ ．二、解答题15. 已知角α的终边上有一点)2,1(p ，（1）求)4tan(πα+的值；（2）求)652sin(πα+的值.16. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1）求证：;1AA BD ⊥（2）若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右准线的方程为924x =，左、右两个焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -. （1）求椭圆E 的方程；（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1F C 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在x 轴上方），且12F C F B +等于椭圆E 的短轴的长，求直线1F C 的方程.18. 如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成。

2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(三)

2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。

江苏南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试数学试题

江苏南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试数学试题This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 20202017届南京师大附中高三年级模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}21,2,3,4,|20A B x x x ==-->，则A B = .2. 已知复数z 满足()13z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模z = .3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车的辆数为 .4.如右图所示的流程图中，输出S 的为 .5．函数()()12log 23f x x =-的定义域是 .6.袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .7.已知正四棱锥的底面边长为4cm 5cm ，则该四棱锥的侧面积是 2cm .8.设变量,x y 满足约束条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax y =+的最小值为-2，则a = .9.设函数()()233sin cos 0f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若满足41130a a +=，则2114S S = . 11.若1b a >>，且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 . 12.已知P 是圆221x y +=上一动点，AB 是圆()()225124x y -+-=的一条动弦（A,B是直径的两个端点），则PA PB ⋅的取值范围为 .13.设()34f x ax x =-，对[]1,1x ∀∈-总有()1f x ≤，则a 的取值集合为 .14.在ABC ∆中，已知边a,b,c 的对应角分别为A,B,C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知)sin sin sin .C A B -=（1）求b c a-的值；（2）若32b BA BC =⋅=，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,.2CD AB AD DC AB == （1）若M 是PB 的中点，求证：//CM 平面PAD ；（2）若,AD AB BC PC ⊥⊥，求证：平面PAC ⊥平面PBC .17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.18.（本题满分16分）平面直角坐标系中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点53⎝⎭25. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0K 作一直线与椭圆C 交于A,B 两点，过A,B 两点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为11,A B ，试问直线1AB 与1A B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.19.（本题满分16分）设()[]sin ,0,2xf x e x ax x π=⋅+∈，（a 为常数）（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间()0,2π内的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围.20.（本题满分16分）设{}n a 为各项均不相等的数列，n S 为它的前n 项和，满足()11,.n n na S n N R λλ*+=+∈∈（1）若11,a =，且123,,a a a 成等差数列，求λ的值；（2）若{}n a 的各项均不为零，问当且仅当λ为何值时，234,,,,,n a a a a 成等差数列试说明理由.数学附加卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，过D 作O 的切线交AB 的延长线于点C,若DA=DC,求证：AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点()1,1P 在矩阵A 的变换下得到点()0,1P '-，求矩阵A 的两个特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程已知P 是曲线2cos :3x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，2πθπ≤≤）上一点，O 为原点，若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标.D.选修4-5：不等式选讲已知实数,x y 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.23.（本小题满分10分）（1）设()22601261x x a a x a x a x ++=++++，求23,a a ；（2）设((20172525x =+++，求x 的整数部分的个位数字.。

南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学 2017.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7 7 9 0 8 94 8 10 3 5 甲乙（第5题图）（第4题图）7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．（2017南京三模）若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．（2017南京三模）在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13.（2017南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．（2017南京三模）已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2017南京三模）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（2017南京三模）（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（2017南京三模）（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；ACB A 1B 1C 1D（第10题图）ABCFE D（第15题图）（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．18．（2017南京三模）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p 的取值范围．20．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；（3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5．6.8 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分 x y OCBDMA（第18题图）又 CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分 16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ＝(4－23cos θ) 800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1．① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1，a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3， a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． ………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．（*），因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分（ii ）当－1＜a 1p ＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p ＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t －2是整数，所以a 1 a 1＋2 p ≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分（iii ）当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x)≥f (1)＝0恒成立．……………………………13分当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g (x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e．……………………………16分。

(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学2017.05注意事：1．本卷共 4 ，包含填空（第 1 ~第 14 ）、解答（第15 ~第 20 ）两部分．本卷分 160 分，考120 分．．．．2．答前，势必自己的姓名、学校写在答卡上．的答案写在答卡上目的答案空格内．考束后，交回答卡．参照公式：方差 s2＝1[(x1－x )2＋ (x2－x )2＋⋯＋ (x n－x )2]，此中 x x1，x2，⋯， x n的均匀数．n柱体的体公式：V＝ Sh，此中 S柱体的底面，h 柱体的高．体的体公式：1h 体的高．V＝Sh，此中 S 体的底面，314 小，每小．．．．．．．一、填空：本大共 5 分，共 70 分．把答案填写在答卡相地点上．1．已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，会合 A＝ {1 ， 4} ， B＝ {3 ， 4} ， ?U(A∪ B)＝▲．2．甲盒子中有号分1， 2 的 2 个球，乙盒子中有号分3，4，5，6 的 4 个球．分从两个盒子中随机地各拿出 1 个球，拿出的球的号之和大于 6 的概率▲ ．－－Read x3．若复数 z 足 z＋ 2 z＝ 3＋ 2i，此中 i 虚数位， z复数 z 的共复数，复数 z 的模▲．If x≥ 0Then y← 2x＋1 Else4．行如所示的代，若出y 的 1，y← 2－x2 End If入 x 的▲．Print y（第 4 题图）5．如是甲、乙两名球运在五比中所得分数的茎叶，在五比中得分定（方差小）的那名运的得分的方差▲．甲乙779089481035（第 5 题图）π16．在同向来角坐系中，函数y＝sin(x＋3)（x∈ [0，2π ]）的象和直y＝2的交点的个数是▲．7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 2－ y 2 ＝ 1 的焦距为 6，则全部知足条件的实数 m 组成的会合是2m 3m▲．38 ．已知函数 f( x) 是定义在R 上且周期为 4 的偶函数．当x ∈ [ 2 ， 4] 时， f( x) ＝ | log 4 (x － 2) | ，1则 f(2)的值为▲．A 1C 1B 19．若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 3－ a 1＝ 2，则 a 5 的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC － A 1 B 1C 1 中， AB ＝1， BC ＝ 2， BB 1＝ 3，∠ ABC ＝ 90°，点DDA C为侧棱 BB 1 上的动点．当 AD ＋ DC 1 最小时，三棱锥 D － ABC 1 的体积为▲．B11．（ 2017 南京三模）若函数 f(x)＝ e x ( －x 2＋2x ＋ a)在区间 [a ，a ＋ 1]上单一递加，则实数a （第 10 题图）的最大值为▲．12．（ 2017 南京三模）在凸四边形→ → →→ → →ABCD 中， BD ＝ 2，且 AC · BD ＝ 0， ( AB ＋ DC )?(BC ＋ AD )＝ 5，则四边形 ABCD 的面积为▲．13. （ 2017 南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ：x 2 ＋ y 2＝1，圆 M ： (x ＋ a ＋3) 2＋ (y － 2a)2＝ 1(a为实数 )．若圆 O 与圆 M 上分别存在点P ， Q ，使得∠ OQP ＝30 ，则 a 的取值范围为▲．2＋ 3≤ 2，则 3a ＋8b的取值范围为▲．14．（ 2017 南京三模）已知 a ，b ，c 为正实数，且 a ＋ 2b ≤ 8c ，a b c c6 小题，合计 90 ．．．．．．．．二、解答题：本大题共分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A15．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A － BCD 中，E ，F 分别为棱 BC ，CD 上的点，且 BD ∥平面 AEF ．（ 1）求证： EF ∥平面 ABD ；（ 2）若 BD ⊥ CD ， AE ⊥平面 BCD ，求证：平面 AEF ⊥平面 ACD ．DF2α，＝α，B， α∈， πE16．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）已知向量 a ＝ (2cos α， sin)b (2sint)(0 )．（第 215 题图）Cπ（ 1）若 a －b ＝ (2， 0)，求 t 的值；（ 2）若 t ＝1，且 a ? b ＝ 1，求 tan(2α＋)的值．5417．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域 ABC ，及矩形表演台 BCDE 四个部分组成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以 AB ， AC 为直径的两个半圆形地区，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍；矩形表演台BCDE 中， CD ＝ 10 米；三角形水域 ABC 的面积为 400 3平方米．设∠ BAC ＝ θ．EDA（ 2）若表演台每平方米的造价0.3 万元，求表演台的最低造价．2218．（ 2017 南京三模）（本小分 16 分）如，在平面直角坐系 xOy 中，x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的a b→ →3y右点和上点分A ，B ， M 段 AB 的中点，且 OM · AB ＝－ b 2．B2（ 1）求的离心率；COMA x（ 2）已知 a ＝ 2，四形 ABCD 内接于， AB ∥ DC ．直 AD ， BC 的斜率分 k 1， k 2，求： k 1·k 2 定．D19．（2017 南京三模）（本小分（第 18 题图） *．16 分）已知常数 p ＞0，数列 { a n } 足 a n ＋1＝ |p －a n |＋2 a n ＋ p ，n ∈ N（ 1）若 a 1＝－ 1， p ＝ 4n n1，①求 a 的；②求数列{ a } 的前 n 和S ．（ 2）若数列 { a nr st*， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，求a 1的取范．} 中存在三 a ， a， a (r ，s ， t ∈Np20．（2017 南京三模）（本小分16 分）已知 λ∈ R ，函数 f (x)＝ e x － ex － λ(xlnx － x ＋ 1)的函数 g(x)．（ 1）求曲 y ＝ f (x)在 x ＝1 的切方程；（ 2）若函数 g (x)存在极，求 λ的取范；（ 3）若 x ≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立，求 λ的最大．南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学参照答案及评分标准一、填空（本大共 14 小，每小5 分， 70 分 .）31． {2}2． 83． 54．－ 15．6.86． 231 1－ 1＋ 57． { 2}8． 29． 810．311．212．313． [－ 6， 0]14． [27， 30]5二、解答（本大共 6 小， 90 分．解答写出必需的文字明，明程或演算步）15．（本小分 14 分）明：（ 1）因 BD ∥平面 AEF ， BD 平面 BCD ，平面 AEF ∩平面 BCD ＝EF ，所以 BD ∥ EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 BD 平面 ABD ， EF 平面 ABD ，所以 EF ∥平面 ABD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因 AE ⊥平面 BCD ， CD 平面 BCD ，所以 AE ⊥CD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因 BD ⊥ CD ，BD ∥ EF ，所以CD ⊥ EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又 AE ∩EF ＝ E ，AE 平面 AEF ， EF 平面 AEF ，所以 CD ⊥平面 AEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又 CD 平面 ACD ，所以平面AEF ⊥平面 ACD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16．（本小分14 分）解：（ 1）因向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝ (2sin α， t)，且 a － b ＝ (2， 0)，所以 cos α－ sin α＝1， t ＝ sin 2α．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分55由 cos α－sin α＝1得 (cos α－ sin α)2＝ 1，即 1－2sin αcos α＝ 1，进而 2sin αcos α＝ 24． 5 25 25 25所以 (cos α＋ sin α)2＝1＋ 2sin αcos α＝ 49 ． π 7 5 分25因 α∈ (0， )，所以 cos α＋ sin α＝． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 5(cos α＋ sin α)－ (cos α－ sin α) 3 9所以 sin α＝ 2＝ 5，进而 t ＝ sin 2α＝ 25． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（ 2）因 t ＝ 1，且 a ? b ＝ 1，所以 4sin αcos α＋ sin 2α＝ 1，即 4sin αcos α＝ cos 2α．π1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 α∈ (0， )，所以 cos α≠ 0，进而 tan α＝2 4所以 tan2α＝2tan α2 ＝8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分1－ tan α 15π8＋ 1π tan2α＋ tan 4＝ 15＝ 23． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分进而 tan(2α＋ )＝4·π8 71－ tan2α tan 4 1－ 15 17．（本小分14 分）解：（ 1）因看台Ⅰ的面是看台Ⅱ的面的 3 倍，所以 AB ＝ 3AC ．在△ ABC 中， S △ ABC ＝ 1 AB?AC?sin θ＝ 400 3，所以 AC 2＝ 800．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2sin θ由余弦定理可得 BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ?AC ?cos θ，＝ 4AC 2－ 2 3AC 2cos θ＝ (4－ 2 3cos θ)800，sin θ即 BC ＝(4 －28002－ 3cos θ3cos θ)?＝ 40．sin θsin θ所以 BC ＝ 402－ 3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分sin θ（ 2）表演台的造价 W 万元．因 CD ＝10m ，表演台每平方米的造价 0.3 万元，所以 W ＝ 3BC ＝ 1202－3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分sin θ2－ 3cos θ3－ 2cos θf(θ)＝sin θ ， θ∈ (0， π)． f ′(θ)＝ sin 2θ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分π ππ由 f ′(θ)＝ 0，解得 θ＝．当 θ∈ (0，) ， f ′(θ)＜ 0；当 θ∈ ( ， π) ， f ′(θ)＞ 0．666故 f(θ)在 ππ θ＝π， f(θ)获得最小，最小f( π(0， )上减，在( ， π)上增，进而当6) ＝ 1．666所以 W min ＝ 120(万元 )．答：表演台的最低造价 120 万元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．（本小分16 分）解：（ 1） A(a ，0)， B(0， b)，由 M 段 AB 的中点得a b → a b → M( ，)．所以 OM ＝( ， )， AB ＝ (－ a ，b)．2 2 2 2→ → 3 a b a 2 b 2 3 b 2，因 OM · AB ＝－b 2，所以 ( ， ) ·(－ a ， b)＝－＋＝－ 22222 2整理得 a 2＝ 4b 2，即 a ＝ 2b ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 a 2＝ b 2＋ c 2，所以3a 2＝ 4c 2，即3a ＝ 2c ．所以的离心率e ＝ c＝3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分a2（ 2）方法一：由 a ＝ 2 得 b ＝ 1，故方程x 2＋ y 2＝ 1． 4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率－1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分21因 AB ∥ DC ，故可DC 的方程 y ＝－ 1y ＝－ 2x ＋ m ，x ＋ m ． D( x 1，y 1)， C(x 2， y 2)．立 22x＋y 2 ＝1，4消去 y ，得 x 2－ 2mx ＋ 2m 2－ 2＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 2m ，进而 x 1＝ 2m － x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分11＋m － 1－ x 1＋ m2－ x 2y 122直 AD 的斜率 k 1＝＝1，直 BC－ 1＝ x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分1的斜率 k 2＝ x 2x － 2x － 211 x 21 1 (m －1)x 1－ 1mx 2＋ m(m －1)－ x 1＋ m －＋m － 1 x 1x 2－2 2所以 k 1· k 2＝ 2241－ 2 ·x 2＝1－ 2)x 2x(x11 11 12m ＋ 1 (2m －x )＋m(m － 1) 11x x － m(x ＋x )＋ x ＋ m(m － 1)x x － mx x － x＝41 22 1221＝41 22 ·2241 2221，＝＝x x － 2x2x x － 2xx x －2x2 412 1 2 21 2 即 k 1 ·k 2定 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分4方法二：由 a ＝2 得 b ＝1，故方程x 2＋ y 2＝ 1．4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率－1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2x 021C(x 0， y 0)， 4＋y 02＝ 1．因 AB ∥ CD ，故CD 的方程 y ＝－2(x －x 0 )＋ y 0．1立y ＝－ 2(x － x )＋ y，2消去 y ，得 x 2－ (x 0 ＋2y 0) x ＋2x 0 y 0＝ 0，解得 x ＝x 0（舍去）或 x ＝ 2y 0．x＋ y 2＝ 1，41⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分所以点 D 的坐 (2y 0 ， x 0) ．212x 011y － 1所以 k 1·k 2＝· x 0＝ 4，即 k 1·k 2定4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分2y － 219．（本小分 16 分）解：（ 1）因 p ＝ 1，所以 a n ＋1 ＝|1－ a n |＋ 2 a n ＋ 1．① 因a 1＝－ 1，所以 a 2＝ |1－ a 1|＋ 2 a 1＋ 1＝1， a 3＝ |1－ a 2|＋ 2 a 2＋ 1＝3，a ＝ |1－ a 3 |＋ 2 a ＋ 1＝ 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分43② 因 a 2＝ 1， a n ＋1＝ |1－a n |＋ 2 a n ＋ 1，所以当 n ≥ 2 ， a n ≥ 1，进而 a n ＋ 1 n n n n ＋ 1＝ nn＝3 n －2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分＝ |1－ a |＋ 2 a ＋ 1＝ a － 1＋ 2 a 3a ，于是有a (n ≥ 2)n －1n －1 － 3当 n ＝ 1 ， S 1＝－ 1；当 n ≥ 2 n23n1－ 3＝ 3．， S＝－ 1＋ a ＋ a ＋⋯＋ a ＝－ 1＋ 1－ 321，n ＝ 1，3 n －1－ 3所以 S n ＝－即 S n ＝* ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3n 1－ 3， n ∈N2， n ≥ 2， n ∈ N * ，2（ 2）因 a n ＋1－ a n ＝ |p － a n |＋ a n ＋ p ≥ p － a n ＋ a n ＋ p ＝ 2 p ＞ 0，所以 a n ＋ 1＞ a n ，即 { a n } 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ i ）当a 1≥ 1 ，有 a 1≥ p ，于是 a n ≥ a 1≥ p ， p所以 a n ＋ 1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝ a n －p ＋ 2 a n ＋ p ＝ 3a n ，所以 a n ＝ 3n －1a 1．若 { a n } 中存在三a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，有2 a s ＝a r ＋ a t ，即 2× 3s － 1＝3r － 1＋ 3t － 1．（ * ），因 s ≤ t －1，所以 2× 3s － 1＝2× 3s ＜ 3t －1＜ 3r －1＋ 3t －1，即（ *）不建立．3故此数列 { a n } 中不存在三挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分a 1（ ii ）当－ 1＜ p ＜ 1 ，有－ p ＜a 1＜ p ．此 a 2＝ |p － a 1|＋ 2 a 1＋ p ＝p －a 1＋ 2 a 1＋ p ＝a 1＋ 2 p ＞ p ，于是当 n ≥ 2 ， a n ≥ a 2＞ p ，进而 a n ＋1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝a n －p ＋ 2 a n ＋p ＝ 3a n ．所以 a n ＝ 3n － 2a 2＝ 3n －2(a 1 ＋2p) (n ≥ 2)．若 { a n } 中存在三 a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，同（i ）可知， r ＝1，于是有 2× 3s －211t －2 12≤ s ≤ t － 1，(a ＋ 2 p)＝ a ＋ 3(a ＋ 2p)．因a1＝－－2 1 －－－2是整数，所以1a 1≤－ 1，所以 12× 3s2－ 3t2＝9× 3s－ 3 × 3t1＜ 0．因 2×3s 2－3ta ＋ 2 pa ＋ 2 p于是 a 1≤－ a 1－ 2p ，即 a 1≤－ p ，与－ p ＜a 1 ＜p 相矛盾．故此数列 { a n } 中不存在三挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分（ iii ）当a 1≤－ 1 ，有 a 1≤－ p ＜ p ， a 1 ＋p ≤ 0，于是 a 2＝ | p － a 1|＋ 2a 1 ＋p ＝ p － a 1＋ 2 a 1＋p ＝ a 1＋ 2p ， p上可知：a1≤－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分p20．（本小分 16 分）解：（ 1）因 f′(x)＝ e x－ e－λln x，所以曲 y＝ f (x)在 x＝1 的切的斜率f′(1)＝ 0，又切点 (1 ，f (1))，即 (1， 0)，所以切方程 y＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分λ（2） g (x)＝ e x－ e－λlnx， g′(x)＝ e x－．x当λ≤0 ， g′(x) ＞0恒建立，进而g (x)在 (0，＋∞ )上增，故此 g (x)无极．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分λλ当λ＞0 ， h( x)＝ e x－， h′(x)＝ e x＋x 2＞ 0 恒建立，x所以 h(x)在 (0，＋∞ ) 上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分①当 0＜λ＜ e ，λλh(1)＝ e－λ＞0， h()＝ e e－ e＜ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，e所以存在独一的 x0λ， 1)，使得 h(x0∈ (e)＝ 0．②当λ≥ e ，λh(1)＝ e－λ≤ 0， h( λ)＝e － 1＞ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，所以存在独一的 x0∈ [1，λ)，使得 h(x0)＝ 0．故当λ＞ 0 ，存在独一的x ＞ 0，使得 h(x )＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分00且当 0＜x＜ x0， h( x)＜ 0，即 g′(x)＜0，当 x＞ x0， h(x)＞ 0，即 g′(x)＞ 0，所以 g (x)在 (0， x )上减，在 (x ，＋∞ ) 上增，00所以 g (x)在 x＝ x0有极小．所以当函数 g (x)存在极，λ的取范是 (0，＋∞ )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分λ（ 3） g (x)＝ f′(x)＝ e x－e－λlnx， g′(x)＝ e x－x．若 g′(x)≥ 0 恒建立，有λ≤ xe x恒建立．φ(x)＝ xe x(x≥ 1)，φ′(x)＝ (x＋ 1) e x＞ 0 恒建立，所以φ(x)增，进而φ(x)≥ φ(1)＝e，即λ≤ e．于是当λ≤ e ， g (x)在[1 ，＋∞ )上增，所以 f (x) ≥f (1)＝ 0 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分当λ＞e ，由（ 2）知，存在x0∈ (1，λ)，使得 g (x)在 (0， x0)上减，即 f′(x)在 (0， x0)上减．所以当 1＜ x＜ x0， f′(x)＜ f′(1) ＝ 0，于是 f (x) 在[1， x0)上减，所以 f (x0) ＜ f (1)＝ 0．与 x≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立矛盾．所以λ≤ e，即λ的最大e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分。

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2017届高三期初模拟考试数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则A B =I . 2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .6.设向量(1,4)a =-r ，(1,)b x =-r，3c a b =+r r r ，若//a c r r ，则实数x 的值是 .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =u u u r u u u r，若3DB DC •=u u u r u u u r ，则AC 的长是 .14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2xf xg x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是310，点B 的纵坐标是25. （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点. （1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥.17. （本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=. （1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=u u u r u u u r.（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率12[2e ∈，求实数λ的取值范围.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．3．80 4．125．5 6．47．568．1 9.－1 10．6 11．3n－112．[－2，8]1314．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）从而sinα＝＝10．……………………2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B，所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－5． …………………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝10×(－5)＋10×5＝－10． …………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝2． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD． (8)分因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C． (10)分又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC． (12)分又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． (14)分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝22x OA•＝800x，0＜x＜π．……………………2分在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD 的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sin x．……………………4分从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sin x＋800x，0＜x＜π． (6)分（2）由（1）知，S(x)＝1600sin x＋800x，0＜x＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． …………………… 8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝23π．从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23π＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减． ……………………11分所以当x ＝23π，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大． ……………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1，32)，所以221914a b +=，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF u u u r ＝(－2c ，－2b a)，1FQ u u u r ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF u u u r ＝λ1FQ u u u r ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b a λ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b a λ＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． (14)分因为e ∈[12]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以22c a ＋202y b ＝1，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝22b ac(x ＋c )．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，2b a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－22224b c c b +，即－c －x 1＝22224b cc b +． …………………… 11分因为1PF u u u r ＝λ1FQ u u u r ，所以λ＝12cc x --＝2224c b b +＝22223c a a c +-＝22311e e +-＝2431e--． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝11n n a a +，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝11n n a a +＝1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+， …………………… 6分即 b 2－b 1＝11(1)23-， b 3－b 2＝111()235-，……b n －b n －1＝111()22321n n ---，（n ≥2）累加得：b n－b 1＝111(1)22121n n n --=--， …………………… 9分所以b n ＝b 1＋121n n --＝1＋121n n --＝3221n n --．b 1＝1也符合上式．故b n ＝3221n n --，n ∈N*． …………………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3221n n --＝32－142n -，b m ＝32－142m -，所以43＋(32－142n -)＝2(32－142m -)，即121m -＝16＋142n -，化简得：2m ＝721n n -+＝7－91n +． ……………………14分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x．因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x－y－2＝0． …………………… 3分（2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝22(21)1ax a x x -++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．……………………10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ．因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ………………14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ．因为φ′(t )＝22(1)2t t-≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2． …………………… 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B＝∠EDC ． ……………………… 3分因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ……………………… 5分所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ……………………… 7分又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． (5)分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x＋3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………………… 6分解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅；解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ……………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，（第22题）所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． (4)分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63，即 |cos<m ，n >|＝63，所以 |m ·n || m |·| n |＝63，|4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． ………………………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225； P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45； P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ……………………… 10分。

南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题(附答案)

2017届南京师范大学附中高三考前模拟考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸指定的位置上.1.已知集合2{1,2,3,4},{|20}A B x x x ==-->，则AB =2. 已知复数z 满足(1)3z i i +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模z =3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段的时速超过50/km h 的车辆数为辆. （）4. 如下图所示的流程图中，输出的S 为5.函数()f x =的定义域是6. 袋中有形状、大小相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为7.已知正四棱锥的底面边长为4cm，则该四棱锥的侧面积是2cm8. 设变量,x y 满足约束条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax y =+的最小值为2-，则a =9. 设函数()2sin cos (0)f x wx wx wx w =->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间[,0]4π-上的最大值为10. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若满足41130a a +=，则2114S S = 11. 若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 12.已知P 是圆221x y +=上的一动点，AB 是圆22(5)(12)4x y -+-=的一条动弦（,A B 是直径的两个端点），则PA PB ⋅的取值范围是13. 设()34f x ax x =-，对[1,1]x ∀∈-总有()1f x ≤，则a 的取值范围是14.在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A =第Ⅱ卷（共80分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b csin )sin C A B -=. （1）求bc a-的值；（2）若32b BA BC =⋅=，求ABC ∆的面积. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中,1//,2CD AB AD DC AB ==.（1）若M 是PB 的中点，求证：//CM 平面PAD ；（2）若,CD AB BC PC ⊥⊥，求证：平面PAC ⊥平面PBC .17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米圆心角为θ（弧度）的扇形景观水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元. （1）当r 和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；（2）若要求步道长为105米，则可设计出水池最大面积是多少.18. 平面直角坐标系中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(2,0)K 作一直线与椭圆C 交于,A B 两点，过,A B 点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为11,A B ，试问直线1AB 与1A B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.19.设()sin ,[0.2](xf x e x ax x a π=⋅+∈为常数）.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间(0.2)π的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围. 20.设{}n a 是各项均不相等的数列，n S 为它的前n 项和，满足11(,)n n na S n N R λλ++=+∈∈.（1）若11a =，且123,,a a a 成等差数列，求λ的值；（2）若{}n a 的各项均不相等，问当且仅当λ为何值时，23,,,,n a a a 成等差数列？试说明理由. 21.选做题A.如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，过D 作O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA DC = ，求证：2AB BC =.B.已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,1)P -，求矩阵A 的两个特征值. C.已知点P是曲线2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，2πθπ≤≤）上一点，O 为原点，若直线OP 的倾斜角3π，求点P 的直角坐标. D.已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.某小组共10人，利用暑假参加义工活动，已知参加义工活动此时为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从10人中学车2人作为该组参加座谈会.（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.23.（1）设23260126(1)x x a a x a x a x ++=++++，求23,a a .（2）设2017(25(25x =+++，其x 的整数部分的个位数字.试卷答案一、填空题1. {}3,43 .774 .25125 .3(,2]26 .567 .248 .2- 9.1 10 7611.112 .[]140,192 13{}3 14.1- 二、解答题15.解：（1)bc a b c a-=⇒=- （2）22222)111325322cos 2c a b c a c a a b a c b c a c ca ac BA BC ca B -=-=⎧-==⎧⎧⎪=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-=+=⋅=⎩⎩⎪⎪⎩⎪⋅==⎩，所以3cos sin 44B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ==. 16.解（1）取AP 的中点N ，连接MN 和DN ，由因为M 是PB 的中点，所以MN 是PAB ∆的中位线，所以1//,2MN AB MN AB =，由题意1//,2CD AB CD AB =，所以,//MN CD MN CD =，所以四边形MNDC 是平行四边形，所以//CM DN .(2)由题意，在直角梯形ABCD 中，经计算可证得BC AC ⊥，又,,BC PC AC PC ⊥⊂面ACP ， ACPC C =,BC ⊥面ACP ,又BC ⊂面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC.17.解：（1）由题意，输出弧长AB 为r θ，扇形面积为212S r θ=，由题意2414001000(2)24102r r r θθ⨯++≤⨯，即25(2)1200r r r θθ++≤，即2r r θ+≥所以21200r θ+≤，所以t 0t >，则2101200402t t t +≤⇒≤，所以当240r r θ==时，面积212S r θ=的最大值为400. （2）即105210522r r rθθπ+=⇒=-<，1052r r θ=-代入可得 215(1052)51051200210567502r r r r r -+⨯≤⇒-+≥⇒≤或45r ≥，又222211105105105(1052)()222416S r r r r r r θ==-=-+=--+，当1510510522122152()2r r θπ≤=-≥-=>与2θπ<不符，()S θ在[45,)+∞上单调，当45r =时，S 最大337.5平方米，此时13θ=. 18.解（1）由题意得2222253114425a b c a b a b c c a⎧⎪=+⎧=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为2215x y +=. （2）①当直线AB 的斜率不存在时，准线15:,2l x AB =与1A B 的交点是9(,0)4； ②当直线AB 的斜率存在时，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 为(2)y k x =-，由222222(2)(15)20205055y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+=⎩，所以2212122220205,1515k k x x x x k k-+==++，1255(,),(,)22A y B y ，所以121215:()522AB y y l y x y x -=-+- ，121125:()522A B y y l y x y x -=-+- 联立解得2212222122205252545(1)9154420520(1)4515k x x k k x k x x k k----++====+--+-+，代入上式可得222221122121112020594()9()42015150104410410k k k k k x x k x x kx x k k k y y x x x --⋅+⋅--+++++=+===-+--，综上，直线1AB 与1A B 过定点9(,0)4.19.解：（1）当0a =时，()(sin cos )sin()4xx f x e x x x π'=+=+，令()0f x '>，则()370,2,44x x f x πππ<<<<单调增；令()0f x '<，则()37,44x f x ππ<<单调增，所以()f x 的单调递增区间为37(0,),(,2)44πππ，单调递减区间为37(,)44ππ. （2）设()()(sin cos )xg x f x e x x a '==++，则()22cos g x e x '=，令()0g x '>，则3cos 0,0,222x x x πππ><<<<，令()0g x '<，则3cos 0,22x x ππ<<<，所以()g x 的单调递增区间为3(0,),(,2)22πππ，单调递减区间为3(,)22ππ. 故()g x 在2x π=处取得极大值，在32x π=处取得极小值，()3222301,(),(),(2)22g a g a e g a e g a e ππππππ=+=+=-=+，所以()32()(0)()22g g g g πππ>>> ①若3()02g π≥，则()()0,f x f x '≥在(0,2)π上单调增，故()f x 在(0,2)π无极值，所以3()02g π<； ②若3()02g π≤，则()f x 在(0,2)π内至多有一个极值点，从而()20,()02g g ππ>>，于是在区间33(,),(,2)222ππππ内()f x 分别有极大值、极小值各一个，则在(0,)2π内无极值点，从而()00g ≥3223210(0)0()001230()02a g g a e a e a e g πππππ⎧+≥⎧⎪≥⎪⎪⎪⎪>⇒+>⇒-≤<⎨⎨⎪⎪⎪⎪-<⎩<⎪⎩ ，所以的取值范围是321a e π-≤<. 20.解：（1）令1,2n =，得21321212211a a a S a a λλ=+=⎧⎨=+=++⎩，又由123,,a a a 成等差数列，所以213321a a a a =+=+，解得λ=. （2）当且仅当12λ=时，23,,,,n a a a 成等差数列，证明如下：由已知11n n na S λ+=+，当2n ≥时，1(1)1n n n a S λ--=+，两式相减得1n n n n n na na na a a λλλλ+-++=，即1()(1)n n n n a a a λλ+-=-，由于{}n a 个各项均不相等，所以1,(2)1n n na n n a a λλ+=≥--，当3n ≥时，所以11(1)1n n n a n a a λλ---=-- 两式相减可得1111n n n n n n a a a a a a λλ-+-=----， ①当12λ=，得111n n n n n n a a a a a a -+-=--，当3n ≥时，所以11111n n nn n n n n n a a a a a a a a a -+--=+=---， 0n a ≠，所以11112(3)n n n n n n n a a a a a a a n +-+--=-⇒=+≥，故23,,,,n a a a 成等差数列.②再证当23,,,,n a a a 成等差数列，时，12λ=，因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以11(3)n n n n a a a a n +--=-≥，可得11111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a λλ--+----=-==-----，所以12λ=，所以当且仅当12λ=时，23,,,,n a a a 成等差数列.22.A 解：连接OD ，因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠，因为OA OD =, 所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD DC = 所以BCD OAD ∠=∠故OAD BDC ∆≅∆，所以BC OD R ==，从而2AB BC =. B.解：111001111a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以11a +=，即2a =-，特征方程211(1)2021λλλ-⎡⎤=--=⎢⎥-⎣⎦，因此1λ=C.解：由题意得，曲线C 的普通方程为22143x y +=， 2sin 00y πθπθ≤≤⇒≤⇒≤，直线OP的方程为y =，联立得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点P的坐标为(. D.解：由柯西不等式可知：2222221)1](23)z x y z ++⋅≤++++，所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++，当且仅当6412,,111111x y z ===时取等号. 22.解：（1）有已知得1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,2221111334333422101047(0),(1)1515C C C C C C C P X P X C C +++======, 11342104(2)15C C P X C ===，所以随机变量X 的分布列为数学期望为()1E X =.23.解：(1)因为23230312224333333(1)((1))(1)(1)(1)x x x x C x C x x C x x C x ++=++=++++++，所以2121123313326,7a C C a C C C =+==+=.（2）令2017(25(25y =-+-，则20172017(25(25(25(25x y y +==++++-+-20201717[(25(25][(25(25]=++-+++-201818202017215168202017172(2525620(620)2(2525620(620))C C C C =+⨯++++⨯++,已知x y +为整数且个位数为0，而50250.225<-=<=，所以201720170(25(250.20.21<-+-<+<，所以x 的各位为9.。

江苏省南师附中高2020届高2017级高三年级第二学期期初检测试卷数学Ⅱ卷附加题

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题
第Ⅱ卷（选做题,40分）
21.【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2.
（1）求M 2；
（2）求矩阵M 的特征值和特征向量.
B.选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中,求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)及点M (2,0),动直线l 过点M 交抛物线于A ,B 两点,当l 垂直于x 轴时,AB ＝4.
（1）求p 的值；
（2）若l 与x 轴不垂直,设线段AB 中点为C ,直线l 1经过点C 且垂直于y 轴,直线l 2经过点M 且垂直于直线l ,记l 1,l 2相交于点P ,求证：点P 在定直线上.
O
y
B
x
M A C P
l l 1
l 2
23.（本小题满分10分）
对于给定正整数n ,设n
n
n
x a x a x a a x ++++=-
Λ2
2
10)1(,记01n
n k
k S a ==∑.
（1）计算1234S S S S ，，，的值；
（2）求n S .。

南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．假设复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如下图的伪代码，假设输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．如图是甲、乙两名篮球运发动在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定〔方差较小〕的那名运发动的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y =sin(x ＋π3)〔x ∈[0，2π]〕的图-象和直线y =12的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m =1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是▲ ．7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5甲乙〔第5题图〕〔第4题图〕 Read x If x ≥0 Then y ←2x ＋1Else y ←2－x 2End If Print y8．已知f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )=log 4(x －32)，则f (12)的值为 ▲ ．9．假设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1=2，则a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3， ∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．假设函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2=1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2=1(a 为实数)．假设圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP =30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．〔1〕求证：EF ∥平面ABD ；〔2〕假设BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．ABCFED〔第15题图〕 ACBA 1B 1C 1D〔第10题图〕已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．〔1〕假设a －b ＝(25，0)，求t 的值；〔2〕假设t ＝1，且a •b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．〔本小题总分值14分〕在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC 及矩形表演台BCDE 四个部分构成〔如图〕．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．〔1〕求BC 的长〔用含θ的式子表示〕；〔2〕假设表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．〔第17题图〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．〔本小题总分值16分〕已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．〔1〕假设a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．〔2〕假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p 的取值范围．20．〔本小题总分值16分〕已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．〔1〕求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；〔2〕假设函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；〔3〕假设x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．〔第18题图〕南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，点B 和点C 在直线AE 的两侧．求证：AB ·AC ＝AD ·AE ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ，X ＝⎣⎡⎦⎤－1 1，且AX ＝⎣⎡⎦⎤12，其中x ，y ∈R ．〔1〕求x ，y 的值；〔2〕假设 B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－8ρcos θ＋15＝0，直线l 的极坐标方程是θ＝π4〔ρ∈R 〕．假设P ，Q 分别为曲线C 与直线l 上的动点，求PQ 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．ABC DE〔第21(A)图〕【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x =－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →=0．设动点P 的轨迹为曲线C ．〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．23．〔本小题总分值10分〕已知数列{a n }共有3n 〔n ∈N *〕项，记f (n )＝a 1＋a 2＋…＋a 3n ．对任意的k ∈N *，1≤k ≤3n ，都有a k∈{0，1}，且对于给定的正整数p (p ≥2)，f (n )是p 的整数倍．把满足上述条件的数列{a n }的个数记为T n ．〔1〕当p ＝2时，求T 2的值；〔2〕当p ＝3时，求证：T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分〕1．{2} 2．38 3． 5 4．1- 5 6．2 7．{32} 8．12 9．8：12201a q =>- 10．13 11．－1＋52：求导 12．3 13．[－65，0] 14．[27，30]12．解：设ACBD O =，OA a =，OB b =，OC c =，OD d =．依题意得()()5b a c d c b d a -+--+-=，22()()5c a b d ---=，2()459c a -=+=． 13．解：当P 为切点时，30OQP ∠≥︒，则2OQ ≤，圆M 上点到点O 的最小距离12OM -≤，所以22(3)(2)9a a ++≤，化简得2560a a +≤，解得605a -≤≤． 14．解1：令a x c =，b y c =，则28,23 2.x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩直线28x y +=与曲线232x y +=相交于(2,3)A ，(4,2)B 两点．由平面区域可得，当直线38z x y =+过点(2,3)A 时，30z =；当直线38z x y =+与曲线232x y+=相切〔切点为9(3,)4〕时，27z =．解2：令a x c =，b y c =，则28,232,x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩且3838a b x y c +=+．12338(38)()272x y x y x y +≥++≥，当3x =，94y =时等号成立．将不等式组中两式相乘得223x y ≤≤，又由232x y +≤得322xx y+≤，有2x ≥．所以384(2)4830x y x y x x +=+-≤⨯-≤，当2x =，3y =时等号成立．〔自解〕二、解答题〔本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤〕 15．〔本小题总分值14分〕证明：〔1〕因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． ………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………… 6分〔2〕因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ． ………………… 8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ． ………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ． ………………… 12分又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． ………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分〔2〕因为t ＝1，且a •b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ．…………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ＝4AC 2－23AC 2 cos θ ＝(4－23cos θ)800sin θ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分〔2〕设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分〔2〕方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． …………………… 9分直线AD 斜率k 1=y 1x 1－2=－12x 1＋m x 1－2，直线BC 斜率k 2=y 2－1x 2=－12x 2＋m －1x 2，……… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0〔舍去〕或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1．① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1，a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． ………………………… 3分② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2)． ………………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32．所以11,1,33,2,2n n n S n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分〔2〕因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分〔i 〕当a 1 p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1．〔*〕因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即〔*〕不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分〔ii 〕当－1＜a 1 p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，因2a p ，由〔i 〕可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t －2是整数，所以a 1 a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． …………………… 14分〔iii 〕当a 1p≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p≤－1． …………………… 16分20．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0．又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． …………………… 2分〔2〕g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． …………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． …………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0．所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分〔3〕g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．假设g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………… 13分当λ＞e 时，由〔2〕知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分又∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝AE AC，即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：〔1〕AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分〔2〕由〔1〕知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4． …………… 6分设(AB )－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14． …………… 10分〔说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构〕C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0， AB CD E 〔第21(A)图〕即(x －4)2+y 2＝1，所以曲线C 是以(4，0)为圆心，1为半径的圆． …………… 3分直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分因为圆心(4，0)到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分所以直线l 与圆相离，从而PQ 的最小值为d －1＝22－1． …………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，所以x 3＋2＝x 3＋1＋1≥33x 3×1×1＝3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分所以(x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以ST →＝(4，－y )．因为OP →＝(x ，y )，OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分〔2〕因为直线PQ 过点(1，0)，故可设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． ……………… 10分23．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ………………… 3分〔2〕T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ………………… 6分于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ………………… 10分。

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2017届南京师大附中高三年级模拟考试
数学
2017.05
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合{}{}21,2,3,4,|20A B x x x ==-->，则A B = .
2. 已知复数z 满足()13z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模z = .
3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过
50km/h 的汽车的辆数为
.
4.如右图所示的流程图中，输出S 的为 .
5．函数()
f x =的定义域是 .
6.袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .
7.已知正四棱锥的底面边长为
4cm ，则该四棱锥的侧面积是 2cm .
8.设变量,x y 满足约束条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，若目标函数z ax y =+的最小值为-2，则
a = .
9.
设函数(
)()2sin cos 02f x x x x ωωωω=
->，且()y f x =的图象的一个对称中心到
最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为 . 10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若满足41130a a +=，则
2114S S = . 11.若1b a >>，且3log 6log 11a b b a +=，则321
a b +-的最小值为 . 12.已知P 是圆221x y +=上一动点，AB 是圆()()225124x y -+-=的一条动弦（A,B 是直径
的两个端点），则PA PB ⋅ 的取值范围为 .
13.设()34f x ax x =-，对[]1,1x ∀∈-总有()1f x ≤，则a 的取值集合为 .
14.在ABC ∆中，已知边a,b,c 的对应角分别为A,B,C ，若
2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c
，已知
)sin sin sin .C A B -=
（1）求
b c a -的值；（2
）若32b BA BC =⋅= ，求ABC ∆的面积.
16.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，
//,CD AB AD =（1）若M 是PB 的中点，求证：//CM 平面PAD ；
（2）若,A D A B B
C P C ⊥⊥，求证：平面PAC ⊥平面
PBC .
17.（本题满分14分）园林管理处拟在公园某区域
规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水
池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理
想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造
价为每
平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
18.（本题满分16分）
平面直角坐标系中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎝⎭，离心率为5. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点()2,0K 作一直线与椭圆C 交于A,B 两点，过A,B 两点作椭圆右准线的垂线，垂足
分别为11,A B ，试问直线1AB 与1A B 的交点是否为定
点，
若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
19.（本题满分16分）设()[]sin ,0,2x f x e x ax x π=⋅+∈，（a 为常数）
（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在区间()0,2π内的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围.
20.（本题满分16分）设{}n a 为各项均不相等的数列，n S 为它的前n 项和，满足()11,.n n na S n N R λλ*+=+∈∈
（1）若11,a =，且123,,a a a 成等差数列，求λ的值；
（2）若{}n a 的各项均不为零，问当且仅当λ为何值时，234,,,,,n a a a a 成等差数列？试说明理由.
2017届南京师大附中高三年级模拟考试
数学附加卷
21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 为O 的直径，D 为O 上一点，过D 作O 的切线交AB 的延长线于点C,若DA=DC,求证：AB=2BC.
B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中a R ∈，若点()1,1P 在矩阵A 的变换下得到点()0,1P '-，求矩阵A 的两个特征值.
C.选修4-4：坐标系与参数方程
已知P
是曲线2cos :x C y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，2πθπ≤≤）上一点，O 为原点，若直线OP 的倾斜角为3
π，求点P 的直角坐标.
D.选修4-5：不等式选讲
已知实数,x y 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A,求事件A 发生的概率；
（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.
23.（本小题满分10分）
（1）设()22601261x x a a x a x a x ++=++++ ，求23,a a ；
（2）设((20172525x =+++，求x 的整数部分的个位数字.
- 11 -。