小学数学比和比例ppt
小学数学六年级下册《比例的意义和基本性质》教学课件
3：8 = 15：40 3：15 = 8：40 • ：8 = 15：3 40：15 = 8：3
：8 3 = 40：15 8：40 = 3：15 15：3 = 40：8 15：40 = 8：3
（2）2.5×0.4 = 0.5 ×2
第三十八页，共三十九页。
在括号(kuòhào)里填上适当的数：
5
（）
1、 （ ） = 8
2 ∶3 = 4 ∶6
6 ∶4 = 3 ∶2
2 ∶4 = 3 ∶6
6 ∶3 = 4 ∶2
4 ∶2 = 6 ∶3
3 ∶6 = 2 ∶4
4 ∶6 = 2 ∶3
3 ∶2 = 6 ∶4
第二十五页，共三十九页。
判断下列(xiàliè)各组比能否组成比例：
⑴ 6 ：12 和 4 8：
()
⑵ 24：8 和 0.6：2
2
40cm
第六页，共三十九页。
求出它们的比值，你发现(fāxiàn)了什么？
＝ 2.4︰1.6
60︰40
或
＝ 2 . 4
60
1 .6
40
表示两个(liǎnɡ ɡè)比相等的式子叫做比例。
在这四面国旗的尺寸中，你还能找出 哪些比可以组成比例？
第七页，共三十九页。
判断两个比能不能组成比例(bǐlì)， 要看它们的比值是否相等。
第三十页，共三十九页。
根据比例的基本性质，如果已知 比例中的任何(rènhé)三项，就可以求 出这个比例中的另外一个未知项。
求比例(bǐlì)中的未知项，叫做解比例。
第三十一页，共三十九页。
例1法、国巴黎的埃菲尔铁塔高320m。北京的“世界(shìjiè)
公园”里有一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔的高
冀教版六年级数学上册 (按比例分配)比和比例教学课件
2 下面是某中学图书馆各类图书数量的统计表。
文学类 32%
外语类 28%
科普类 30%
工具书 10%
读出上面的百分数，说 出各数表示的具体含义。
32%读作：百分之三十二 30%读作：百分之三十
28%读作：百分之二十八 10%读作：百分之十
3 读出下面服装成分中的百分数。
38.7%读作：百分之三十八点七 32.1%读作：百分之三十二点一 29.2%读作：百分之二十九点二
（2）思思作业全部完成，就是完成了全部作业的（ 100 ）%， 亮亮完成了一半作业，就是完成了全部作业的（ 50 ）%。
2 读出横线上的百分数。
合格证 品名：毛呢大衣 面料成分：羊毛80.4% 羊驼毛14.9% 里料成分：纤维100% 等级：合格品
锦纶4.7%
80.4%读作：百分之八十点四 4.7%读作：百分之四点七
63.8%读作：百分之六十三点八 36.2%读作：百分之三十六点二
4 下面的分数可以用百分数表示吗？
不能。百分数是表示两个数的关系，不表示一个具体数， 后面不能有单位名称。
可以。表示破坏的环境和总面积的关系可以用分数表示， 也可以用百分数表示。
5 下表中的百分数表示几种蔬菜中的胡萝卜素的含量。
蔬菜种类 菠菜 胡萝卜素含量 8.1%
8.5千克的药粉与加入的水 的质量比也是9:1
如果用x表示需要加入的水 的质量，根据比例的意义列
出方程解答
解:设需要加入x千克水。
1 9
=
8.5 x
x =8.5×9
x =76.5 答:需要加入76.5千克水。
药粉和水的质量比是1:9
药粉的质量是水的
1 9
求水的质量用除法
比和比例课件.ppt
5、正比例和反比例的意义：
（1）正比例关系用字母表示是：
＝
K（一定）
（2）反比例关系用字母表示是：
× ＝ K（一定）
判断正、反比例的方法：
两种量
不相关联 →不成比例
加的关系 →不成比例
相关联
减的关系 →不成比例 乘的关系 积一定 →成反比例
除的关系 商(比值)一定 →成正比例
得的商叫做（比值 ） 15︰10＝ 15÷10＝ 3
2
︵︵︵ 前比 后 项号 项 ︶︶ ︶
︵ 比 值 ︶
比的意义：
（3）根据分数与除法的关系，两个数
的比也可以写成分数形式。比如：
3︰2＝
3 2
＝（
3 ）÷（ 2
）
比和除法、分数的关系：
比的前项相当于除法算式中的（被除数） 分数中的（ 分子 ）；比的后项相当于除法 算式中的（ 除 数 ），分数中的（ 分母 ）； 比值相当于除法算式中的（ 商 ），分数 中的（分数值）；比号相当于除法算式中的 （ 除号 ），分数中的（分数线）。
解比例： 根据比例的基本性质，如果已知
比例中的任何三项，就可以求出这个 比例中的另外一个未知项。求比例中 的未知项 ，叫做（ 解比例 ）。
4、解下面的比例：
︰10＝ 1︰1 43
0.4︰ ＝1.2︰2
12 ＝ 3 2.4
根据比例的基本性质我们知道，两个内项的积等 于两个外项的积。倒过来理解，乘积相等（并且不为0） 的两个乘法式子，也可以改写成比例。
荷花村
杏花村
练习 十 七
1:101
1
9
乘3
5
3
4
35
6、比例尺： 一幅图的图上距离和实际距离的比，
冀教版小学五年级数学上册第二单元《比和比例》PPT课件
临街墙壁。粉刷完这面墙壁需要白色涂料和蓝色涂
料各多少千克？
粉刷1平方
米墙壁需
要0.25千克
涂料。
解：粉刷墙壁需要涂料：300×2×0.25=150（千克）
白色涂料：150 3 112.（5 千克） 31
蓝色涂料：150 1 37.（5 千克） 31
答：需要白色涂料112.5千克，蓝色涂料37.5千克。
可以增大蓝色涂料所占的比例，可以调成3：2。
二、巩固练习
两条线段把长方形分成如图的四个部分，已知其中的3个 部分的面积，你能求出第四个部分的面积吗？
50
60
40
解：设第四部分的面积为x， 50:40=60:x x=48
三、作业布置
用比例解决实际问题时，按比分配是指一个数量按一定的 比来进行分配。这里的“一定的比”不单单指两个数的比，也 可以是多个数的比。
冀教版小学五年级数学上册第二 单元《比和比例》PPT课件
第2单元 比和比例
第 1 课时 比 的 意 义
一、探究新知 1 搅拌水泥沙浆。
1千克水泥和3千克沙子的关系可以表示为1∶3，读作：1比3。 3千克沙子和1千克水泥的关系可以表示为3∶1，读作：3比1。 像1∶3、 3∶1这样的表示方法，叫做比。
总份数：3+5+2=10
奶糖：500
×
3 10
=150（千克）
水果糖：500
×
5 10
=250（千克）
酥糖：500 × 2
10
=100（千克）
答：需要奶糖150千克、水果糖250千克、酥糖100千克。
四、课堂小结
把一个数量按照一定的比进行分配，这种方法通常叫做按 比例分配。平均分是按比分配的一个特例。根据分配总量一共 有几份，再看要求的部分有几份，然后先除后乘得方法解答， 也可以转化成分数乘法应用题解答。
比和比例-比例
用字母表示为：
如果a:b=c:d，那么ad=bc。
或a b
c d
, 那么ad
bc。
比和比例的区别与联系：
意义 项数
基本性质
区别
比
表示两个 数相除
比的前项和后项同时乘 2项 或除以相同的数（0除
外），比值不变。
比是一个 除法算式
表示两个 比例 比相等
4项
两个外项的积等于两个 内项的积。
比例是一 个等式
（3）求比例尺时，一般要把较小的项化简成“1”。 （4）无论是计算比例尺、计算实际距离，还是计 算图上距离，都要先把参加计算的数量统一成较小的 长度单位，然后再计算。这样方便一些。 （5）计算实际距离和计算图上距离时，数值比例 尺最好写成分数形式，这样可以把比例尺当作一个分 数来参加计算。
1、填空
比例的判断：
判断两个比能不能组成比例，可以有两种方法： （1）根据比例的意义判断：看两个比值是否相等。 （2）根据比例的基本性质判断：看两个内项的积
是否等于两个外项的积。
判断下面每组中的两个比能否组成比例？
(1) 6:15 和 8:20
因为
6
: 15
2 5
8
:
20
2 5
2 5
2 5
所以 6:15 8:20
（3）如果4X=3Y,（X和Y均不为0），
× 那么4:X=3:Y。（ ） × （4）因为3×10=5×6，所以3:5=10:6。（ ）
千帆竞发，帆帆顺风； 万树争春，树树参天。
因为 0.42 0.8 0.52.5 1.25 0.8 1.25
所 以 0.5 : 0.4和2 : 2.5 不能组成比例。
不能组成比例。
小学六年级数学总复习-比、比例
按2:1画出下面图形放大后的图形.
按2:1放大也就是各 边放大到原来的2倍.
按2:1画出下面图形放大后的图形.
三角形的两条直角边放大 到原来的2倍后,斜边是否 也变为原来的2倍呢?
观察一下,放大后的图形与原 来的图形相比,有什么相同的 地方?有什么不同的地方?
如果把放大后的三个图形的各边按1:3缩小, 图形又发生了什么变化?画画看.
0 20 40 60千米
线段比例尺可以改写成数值比例尺，用1厘米比它所代表的实 际距离， 即： 1厘米：20千米﹦1厘米：2000000厘米 ﹦1： 2000000
这些比例尺分别表示什么?
1:5000000 表示图上1 厘米相当于实际的 5000000厘米（ 即： 50千米）
1 30000000
计划在景观大道种800棵观赏树，前8天种了200 棵。照这样计算，要完成任务，还要多少天？
解：设还要X天。 200 800-200 = 8 X 200X=8×600 X=24
一堆煤，原计划每天烧12吨，可以烧45天；实 际每天比计划节约25%，实际烧了多少天？
解：设实际烧了X天。 12×（1-25%）×X=12×45
3
学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场， 画出操场的平面图。 比例尺 1:1000
（1）把数值比例尺变为线段比例尺： 1000cm=10m
0 10m
（2）求长的图上距离：
80÷10 = 8（cm） （3）求宽的图上距离： 60÷10 = 6（cm）
3
学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场， 画出操场的平面图。
因为图上距离和实际距离的单位不同，所以必须化成同级单位。
10米＝1000厘米 1 或 － 1 ∶ 100 10∶1000＝ 100 10厘米 ∶ 10米 ＝ 10厘米∶ 1000厘米 ＝ 1∶ 100
复习课：比和比例
1、六年级男生人数与全班人数的比是4：9 2、六年级女生人数与全班人数的比是5：9 …… （两个量之间比的关系） 3、六年级男生人数占女生人数的4/5 4、六年级女生人数占全班人数的5/9 5、六年级男生人数比女生人数少1/5 …… (两个量之间分数的关系） 6、六年级男生人数占女生人数的80% 7、六年级女生人数比男生人数多25% 8、六年级男生人数比女生人数少20% …… （两个量之间百分数关系） 此类题如：小红读一本书，读了几天后，已读页数与未读页数的比是3： 5，又读了27页后，已读页数与未读页数的比是9：7，这本书共有几页？ 思路：已读页数与未读页数的比是3：5，得已读页数占总页数的3/8 读了27页后，已读页数与未读页数的比是9：7，得已读页数占总页数的9/16 这样，运用了转化的思想，即统一了单位“1”，又使题迎刃而解。
1、XY=8( 3、X-Y=3( 5、X/Y=12( ) ) ) 2、X+Y=4.2( 4、2.5X=Y( 6、X÷Y=4( ) ) )
知识点五：比例尺
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做 这幅图的比例尺。
图上距离 ：实际距离 比例尺
或
图上距离 比例尺 实际距离
图上距离 比例尺 实际距离 实际距离 比例尺 图上距离
知识点四：正比例和反比例的对比：
正比例 相同点 反比例
都是两种相关联的量，一种量随着另一种量变化。
变化的方向相反，一种量扩大 （或缩小），另一种量反而缩 小（或扩大）。相对应的两个 数的乘积一定。
不 同 点
变化的方向相同，一种量扩 大(或缩小)，另一种量也扩大 变化 (或缩小)。相对应的两个数的 规律 比值（商）一定。
第十二讲 比和比例
第十二讲 比和比例（一）【知识概要】：比和比例，是小学数学中一个很重要的内容，也是学习后续数学知识的重要基础。
有了“比”这个概念和表达方式，我们再处理倍数、分数等问题时，要方便灵活得多。
如a ÷b = ba = a : b(b 不为0)，因此比、分除法是可以相互转化的。
这一讲主要将学习以下内容：1、求从已知一些比或者其他数量关系求出新的比，2、将各部分量的比转化成各部分量占总量的几分之几，再根据部分量占总量几分之几求出各部分量的按比例分配问题。
【例题探析】例题1：甲、乙两个正方体的棱长比是1：3，这两个正方体的棱长和之比是（ ），占地面积之比是（ ），表面积之比是（ ），体积之比是（ ）。
[点评] 大家能不能找到一定的规律呢？是不是可以看出，两个正方体的棱长比为ａ：ｂ，棱长和之比也是ａ：ｂ，表面积的比为2a ：2b ，体积比为3a ：3b 。
想一想，两个正方形的边长比和面积比有什么关系呢？两个圆的半径比、直径比 、周长比和面积比之间又有什么关系呢？[举一反三]1、甲、乙两个圆的半径比是3：5，直径比是（ ），周长比是（ ），面积比是（ ）。
2、甲、乙正方形边长的比是3：4，乙正方形的面积比甲方形的面积多35平方分米，这2个正方形的面积各是多少平方分米？3、一个正方体棱长减少31，所得的小正方体表面积减少几分之几，体积减少几分之几？ 例2：有大、小两个圆片，它们的面积之和是1991平方厘米。
已知大圆周长是小圆周长的191倍，求小圆的面积是多少？[点评]解决这道题的关键是要能将圆的周长之间的关系，转化成其面积之间的关系，而将这种倍数关系转化的最佳途径就是通过“比”来沟通和转化，这是最容易理解的一种方法。
[举一反三]1、将一个圆的半径增加21，周长会增加几分之几，面积会增加几分之几？ 2、将一个正方体的棱长增加到原来的151倍后，体积增加110立方厘米，求原来正方体的体积？ 3、如果一个圆形周长减少52后，面积比原来减少了80平方厘米，原来圆的面积是多少平方厘米？ 例题3：明明和华华各收集了一些邮票，这天，明明对华华说：“我的邮票比你多64张”。
六年级下册数学课件-16整理和复习——比和比例人教版
(1）全班人数一定，出勤人数与缺勤人数。 (不成比例)
(2）已知
y x
=
3
,y
与
x
。
(3）三角形的面积一定，它的底与高。
(4）正方体的表面积与它的一个面的面积。
(5）已知 xy＝1 , y 与 x 。
(6）出油率一定，花生油的质量与花生的质量。
判断下面各题中的两个量是否成正比例或反比例关系。
(1）全班人数一定比，值出一勤定人数与缺勤人数。 (不成比例)
整理与复习 比和比例 小学六年级 数学
各部分名称
0.6 ∶ 0.4
前项 后项
意义
比 两个数的比表 示两个数相除。
比的前项和后项同时乘 或除以相同的数（0除
外），比值不变。 基本性质
意义
表示两个比相等 的式子叫做比例。
比例
基本性质
在比例里，两个内项的 积等于两个外项的积。
0.6 : 0.4 = 3: 2
(1）全班人数一定，出勤人数与缺勤人数。 (不成比例)
(2）已知
y x
=
3
,y
与
x
。
(成正比例)
(3）三角形的面积一定，它的底与高。 (成反比例)
(4）正方体的表面积乘与积它一的定一个面的面积。 (成正比例)
(5）已知 xy＝1 , y 与 x 。
(成反比例)
(6）出油率一定，花生油的质量与花生的质量。
×2
每天页数/页
每天页数 60
48
40
240 7
30
...
天数 4 5 6 7 8 ...
240
(1,240)
÷2
210
180
150
比和比例
试题精粹
7.求未知数x
1∶1 ＝x 525
1 ×x＝ 1 ： 1 10 8 6
6∶x＝ 2 × 4 5 15
1.2 ＝0.4：x 7.5
1.2x:40＝2.5:4
x7＝ 7 6 2.1
试题精粹
8.一批零件，原计划按8:5分给师徒 两人加工。3天后，师傅实际加工 了2000个，超过分配任务的25%， 徒弟只完成了分配任务的40%。这 时徒弟实际加工了多少个？
苏教版小学数学六年级下册 总复习
比例的复习
知识梳理
1.（表示两个比相等的式子 ）叫作比例。
比例的基本性质：
在比例里，两个外项的积等于 两个内项的积，这叫作比例的基本 性质。
2.比例尺＝（图上距离）:（实际距离）。
知识梳理
3.如果
y x
＝k（一定），x和y成（ 正 ）
比例；如果xy＝k（一定），x和y成
D. b∶c＝d∶a
bd c a
试题精粹
5.在下列各项中，两种量成反比例关系 的是（ ）。 A、长方形周长一定时，长和宽 B、圆锥的体积一定，圆锥的直径和高 C工作时间一定，生产每个零件用的时 间和生产零件个数
6.给一间教室铺地砖，所用地砖的块数 与（ ）成反比例。 A．每块砖的边长 B．每块砖的面积 C．教室的面积 D．教室的周长
）比例；如果x-y＝0，
那么x与y成（
）比例。
试题精粹
3.右图，A点和B点分别是
A
长方形的两条边的中点， B
空白部分与涂色部分的面
积比是（
）。
试题精粹
4.如图，三角形边a上的高为b，边c上的
高为d。根据这些信息，判断下面式子中，
（ ）是不正确的。
六年级上数学课件-第二单元 比和比例_ 冀教版(2014秋)
分什么，有多少？
按 比
总数量
例 分
配
怎样分？
应
（）︰（）︰（）
用 题
一
求平均分的总份数
般 步
转化成
骤
求每部分占总数量的几分之几是多少？ ：
用分数乘法求出每部分是多少。
按比例应用题的解题规律： （1）求出总份数。 （2）求出各部分数占总份 数的几分之几。 （3）按照求一个数的几分 之几是多少用乘法来计算。
一种药水是用药粉和水按3：100配成的。
（1）要配制这种药水515千克，需要 药粉多少千克？
（2）有水60千克，需要药粉多少千克？
（3）用90千克的药粉，可配成多少千 克的药水？
工厂买来2120吨生产原料， 其中的 分给5 一车间，其余
的按3：5分给甲乙两个车间， 甲乙两个车间各分到多少吨？
甲乙两地相距600千米，两车分 别从两地相向同时出发，3小时后两 车相遇，已知快车与慢车的速度比为 11：9，快车与慢车的速度分别是多 少？
是25，如果将分子加上8，
分母加上7，新的分数约分后
是 1 ，原来的分数是多少？3Biblioteka 例：给30个方格分别涂上红色
和黄色，使红色与黄色方格数
的比是3∶2。两种颜色各涂多
少格？
想一想：
你是怎么理解3:2的呢？ 看到3:2你会联想到什 么？
例：给30个方格分别涂上红色和 黄色，使红色与黄色方格数的比 是3∶2。两种颜色各涂多少格？
想：30个方格被分成： 2+3=5（份）
每一份格数是： 30 ÷5=6（格）
第4级 一根长80厘米的铁丝，做成
一个长方体框架，长宽高的比 是5︰3︰2，它的长宽高分别是 多少厘米？
人教版小学数学整理与复习精品ppt课件
（10）12x=9y,则x : y=( ) : ( )
用4、3、9、12四个数写一个比例
• 知识应用
真 棒！
1、铺一间教室，用边长是3分米的方砖需要
400块，若改用边长是4分米的方砖需要多少 块?(用比例解）
2、一辆汽车6小时行驶420千米，照这样的速 度，甲、乙两地相距225千米，这辆汽车行 完全程需多少小时?(用比例解）
（4）、3a=9b,则a 与 b 成（ ）比例。 （5）、互为倒数的两个数（ ）比例。
（ 6）、ab=3，则 a、b 成（ ）比例， a=3b, 则 a、b 成（ ）比例。
a : 6=3 : b, a,b（
）比例
（7）、圆周长和半径成（ ）比例。
（8）、正方形周长和边长成（ ）比例
（9）、圆柱底面半径一定，体积和高成 （ ）比例
2． 相对应的两个数的
（商）是一定的
乘积是一定的。
3． 关系式y：x=k（一定）
3． 关系式yx=k（一定）
图象是一条直线。
. 图象是一条曲线
• 填一填、说一说
真
棒！
（1）、路程一定，（ ）和（ ） 成（ ）比例
（2）、单价一定，（ ）和（ ） 成（ ）比例
（3）、比例尺、图上距离、实际距离三个量中 一个量一定时，另外两个量成什么比例。
小学数学（人教版）六年级下册
整理与复习
比和比例的联系与区别
比
比例
意义 构成 基本性质
两个数相除 表示两个比 又叫做两个 相等的式子 数的比。 叫做比例。
由两项组成，由四项组成，两
分别叫比的
端的两项叫做比 例的外项，中间
前项和后项。的两项叫做比例
的内项。
比的前项和后项 在比例里，两个
冀教版六年级上册数学教学课件-第2单元 比和比例-第7课时 解决问题
2 一种淡蓝色涂料是用白色涂料和蓝色涂料按3：1 配制的。
（1）现在有12千克白色涂料，需要几千克蓝色涂料 才能配成这种淡蓝色涂料？
解：
12÷3=4（千克）
答：需要4千克蓝色涂料才能配成这种淡蓝色涂料。
冀教版小学上册数学教学课件设计
（2）现在要用这种涂料粉刷一面长300米、高2米的
临街墙壁。粉刷完这面墙壁需要白色涂料和蓝色涂
冀教版小学上册数学教学课件设计
中小学精品教学资源 中小学精品教学资源
中小学精品教学资源 中小学精品教学资源
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六年级数学上册（JJ） 教学课件
第2单元 比和比例
第 7 课时 解 决 问 题
冀教版小学上册数学教学课件设计
一、探究新知 1
冀教版小学上册数学教学课件设计
2+3+5=10
冀教版小学上册数学教学课件设计
可以增大蓝色涂料所占的比例，可以调成3：2。
冀教版小学上册数学教学课件设计
二、巩固练习
两条线段把长方形分成如图的四个部分，已知其中的3个 部分的面积，你能求出第四个部分的面积吗？
50
60
40
解：设第四部分的面积为x， 50:40=60:x x=48
冀教版小学上册数学教学课件设计
三、作业布置
用比例解决实际问题时，按比分配是指一个数量按一定的 比来进行分配。这里的“一定的比”不单单指两个数的比，也 可以是多个数的比。
料各多少千克？
粉刷1平方
米墙壁需
要0.25千克
涂料。
冀教版小学上册数学教学课件设计
解：粉刷墙壁需要涂料：300×2×0.25=150（千克）
白色涂料：150 3 112.（5 千克） 31
第八讲 比和比例
第八讲比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC 的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5 x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸11×5-15=40（张），小强原有图画纸11×2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.白球有 7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多 158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝ 1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为 1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，或简写成 6A＋5B＝100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.A＝5，猪 5头，绵羊 25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.10＋ 4＝ 14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.比和比例补充讲义在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定，亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．⑩圆的半径和面积．(11)长方体体积一定，底面积和高．(12)正方形的边长和它的面积．(13)乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．答：新合金内铜和锌的比是1∶2．例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400 100x＝1200x＝12．答：完成计划还需12天．。
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求比值
2 4 ∶ ＝10 5 一般方法 求比值
化简比
2 4 ∶ ＝10∶1 5
结果
根据比值的意义，用 是一个商，可以是整 数、小数或分数. 前项除以后项.
根据比的基本性质， 把比的前项和后项都 是一个比，它的前项 化简比 乘上或者除以相同的 和后项都是整数. 数零除外）.
求比值
45 ∶72 ＝0.625 1 ∶2 ＝0.25 2 化简比 1 2 ∶ ＝0. 5 3 3 7 0.7 ∶0.25 ＝ 25
什么叫做比例尺？ 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺. 这幅地图的比例尺是多少？ 1 ∶35000000 这个比例尺的含义是什么？
表示实际距离是图上距离的35000000倍.
正比例的意义
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化. 如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定, 这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例 关系. 反比例的意义
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化. 如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就 叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.
判断下面各题中的两种量是不是成比例．如果 成比例，成什么比例． 1、收入一定，支出和结余
不成比例
2、出米率一定，稻谷的重量和大米的重量
成正比例
3、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高
3、因为把72 ∶96的前项和后项同时除以12，所 得到的比就是6 ∶8
甲数除以乙数的商是1.4，甲数和乙数的比是多少？ 因为 甲数÷乙数＝1.4 7 所以 甲数∶乙数＝1.4＝ 5 ＝7 ∶5 解比例 3 ∶x ＝ 5 1 ＝ x 3
1 ∶2 3 3 ×2 5 1 3 x ＝ 5 ×2 ÷ 3 18 x＝ 5
一 比和比例的意义及性质
二 求比值和化简比
三 比例尺 四 正比例和反比例
比
意 义
各 部 分 名 称
比例
两个数相除又叫做两 表示两个比相等的式子 数 比 个数的比. 叫做比例. 0.9 ∶ 0.6 ＝ 1.5 5∶6 ＝ 20∶24 内项
前项
后项 比值
外项
在比例里，两个内项的 积等于两个外项的积. 5∶6 ＝ 20∶24 ( 6 )×(20)＝( 5 )×(24)
基 本 性 质
比的前项和后项同时乘 上或者同时除以相同的 数（0除外）,比值不变. 0.9 ∶0.6 ＝9∶( 6 ) ＝3∶( 2 )
比和分数、除法有什么联系？
比
分数 除法 前项数
比值 分数值 商
（分数线）
÷（除号）
比的基本性质有什么用？比例的基本性质呢？
应用比的基本性质可以把 比化成最简单的整数比
应用比例的基本 性质可以解比例
比的化简方法 整数比化简，比的前项和后项同时除以它们的 最大公约数.
小数比化简，一般是把前项、后项的小数点向右 移动相同的位数（位数不够补零），使它成为整数比， 再用第一种方法化简. 分数比化简，一般先把比的前项、后项同时乘上 分母的最小公倍数，使它成为整数比，再用第一种方 法化简.
特殊 也可以用求比值的方法化简，求出比值后再写成 比的形式.
李师傅昨天6小时做了72个零件，今天8小时做了96个 零件．写出李师傅昨天和今天所做零件个数的比和所用 时间的比．这两个比能组成比例吗？为什么？ 零件个数比是 72 ∶96 所用时间比是 6 ∶8
判断方法
1、因为72 ∶96和6 ∶8的比值都是0.75,比值相等 2、假设72 ∶96 ＝ 6 ∶8 72×8都等于576 内项积96×6和外项积
成反比例
木料总量、每件家具的用料和制成家具的件数这三种量 当（ 每件家具的用料 ）一定时，
（
当（ （ 当（
木料总量
）和（
家具件数
）成 正比例
家具件数 木料总量
）一定时， ）和（ 每件家具的用料 ）成 正比例 ）一定时，
家具件数
木料总量
（ 每件家具的用料 ）和（
）成 正比例
如果 y ＝8x
x 和 y 成（ 正 ）比例 x
y
＝8
y ＝8x
如果 y ＝ 8
和 y 成（ 反 ）比例 x x y＝ 8 y ＝8 x x