等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定判定等腰三角形的基本方法：一是从定义入手，证明两条边相等；二是从角入手，证明一个三角形的两个角相等。
在实际的阶梯中，有些常用的技巧就是构造等腰三角形从而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
例题求解【例题1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF//AD。
则FC的长为________。
【例题2】如图，已知直角△ABC中，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个。
【例题3】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.【例题4】两个全等的含有30°、60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【例题5】如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求证：CD=BD。
学力训练基础夯实1、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD 于E，连接EC；则∠AEC等于（2、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的两点，且∠B A D=∠D A E=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC,则∠B：∠C的值是_______。
4、已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．5、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN=（）6、如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系式______。
等腰三角形的判定
巩固练习
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断 △ABD的形状,并说明理由? 答:△ABD是等腰三角形. A D 3 理由: ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 (角平分线定义) 1 2 ∵AD∥BC B C ∴∠2=∠3 (两直线平行,内错角相等) ∴∠1=∠3 ∴AB=AD (等角对等边) 即△ABD是等腰三角形.
A
B
D
.
C
如果一个三角形有两个角相等，那么这 两个角所对的边也相等。
即：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 简称“等角对等边”）
你能用三角形全等知识证明上面的结论吗？
已知：△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明： 作∠BAC的平分线AD 则∠1= A ∠2， 在△BAD和△CAD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两 A 底角的平分线BE和CD相交于点O，那么 △OBC是什么形状的三角形？为什么？ 答：△OBC是等腰三角形。 D O E 理由：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） 1 2 B C ∵BE平分∠ABC 1 （角平分线定义） ∴∠1= ∠ABC， 2 1 同理：∠2= ∠ACB， 2 ∴∠1=∠2 ∴OB=OC（等角对等边） 即△OBC是等腰三角形。
BALeabharlann 36°36° 1 2 36° 72°
D 72°
C
应用举例
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且 AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由? 答:△ABC是等腰三角形。 E 1 理由： ∵AD平分∠EAC A D
∴∠1=∠2 （角平分线定义） 2 ∵AD∥BC ∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等） B C ∴∠B=∠C ∴AB=AC （等角对等边）
第12讲 等腰三角形的判定
等腰三角形的性质与判定（二）等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．类型一、等腰三角形的判定如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．举一反三:【变式】如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列四个条件： ①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O（1）求证：OB=OC ；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数． 知识导航例题1例题2典题精练举一反三:【变式1】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F．求证：CE＝CF．【变式2】如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．求证：∠ADB＝∠CDF．类型二、等边三角形的判定例题3已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．（1）求证：AD=AE．（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．举一反三：【变式1】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【变式2】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．例题4（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．举一反三：【变式1】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.【变式2】如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．一.选择题1.在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：23. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( ) ．①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）．A．2 B．4 C．6 D．126. 如图，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）．A．4个B．5个C．6个D．7个二.填空题7.如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC 的形状一定是三角形．7题图8题图9题图8.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为12，AB=16，则△ABC的周长为________．9. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.课堂巩固10. 如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．10题图11题图12题图11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12.如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．三.解答题13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？15.如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形．。
等腰三角形的性质及判定方法
等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两个边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供几种判定等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 具有等腰线：等腰三角形的两边相等，因此它一定有一条对称轴，被称为等腰线或对称轴。
等腰线将等腰三角形分成两个对称的部分。
2. 具有等角：等腰三角形的底边上的两个角度相等，被称为底角。
而顶角则是等腰三角形顶点处的角。
因此，等腰三角形的两个底角相等，两个顶角也相等。
3. 底角和顶角补角相等：等腰三角形的底角补角和顶角补角相等。
底角补角是底角外两条边所成的角，而顶角补角则是顶角外两条边所成的角。
二、判定等腰三角形的方法1. 边长判定法：若三角形的两个边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
使用此方法时，需要测量三角形的边长，然后将边长进行比较。
2. 角度判定法：若三角形的两个底角相等，则该三角形是等腰三角形。
使用此方法时，需要测量三角形的角度，然后将角度进行比较。
3. 对称性判定法：若三角形具有一条对称轴（等腰线），且该对称轴将三角形分成两个对称的部分，则该三角形是等腰三角形。
使用此方法时，需要判断三角形是否具有对称性，并找到对称轴。
4. 顶角补角判定法：若三角形的两个顶角补角相等，则该三角形是等腰三角形。
使用此方法时，需要计算并比较三角形的顶角补角。
根据以上的性质和判定方法，我们可以准确判断一个三角形是否为等腰三角形。
除了判定等腰三角形的方法，我们还可以应用等腰三角形的性质来解决一些几何问题。
总结起来，在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以根据其边长、角度、对称性以及顶角补角的关系进行判断。
等腰三角形具有独特的性质，这些性质在解决几何问题时也有一定的应用。
以上就是关于等腰三角形的性质及判定方法的介绍。
希望本文能够对读者有所帮助，理解并掌握等腰三角形的特点和判断方法，提升解决几何问题的能力。
等腰三角形的判定定理
∴ AC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)
B
C
即△ABC为等腰三角形.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角对等边）
C 错，因为都不是在
D
同一个三角形中.
1 A2
B
判定定理的条件很重
要：在同一个三角形
∵∠1=∠2,
中，等角对等边
∴ DC=BC
（等角对等边）.
A
第一种情况：有一个底角是60° 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形．
60°
B
C
证明: ∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=60°(三角形的内角和定理)，
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
6.【中考·温州】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且 DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 解：（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形． ∴∠DEC＝60°，CE＝DC＝2. ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°. ∴∠CEF＝∠F，∴CF＝CE＝2. ∴DF＝4.
等腰三角形性质与判定
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
9.等腰三角形中腰大于高。
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.三线合一逆定理：顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高，其中任意两个重合的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质及判定方法
等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
根据定义，等腰三角形的两边是等长的，它们被称为等腰三角形的腰，而剩下的边则被称为底边。
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底边上的两个底角相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
由于底边两边等长，所以两个底角的两边也相等，根据三角形内角和定理，两个底角相等。
（2）等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。
这个性质可以通过角度和边的关系来推导。
设等腰三角形的两个底角为x度，则顶角为180度减去两个底角的和2x度。
（3）等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。
等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。
这两条线通过等腰三角形的顶点，并且垂直于底边。
3. 等腰三角形的判定方法（1）边长判定：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两边长度，如果相等，则可以判定为等腰三角形。
（2）角度判定：如果一个三角形的两个底角相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两个底角，如果相等，则可以判定为等腰三角形。
（3）边角关系判定：如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等，并且底角相等，则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的边长和角度，如果满足该条件，则可判定为等腰三角形。
4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑物的设计中，等腰三角形常用于门窗的设计，通过运用等腰三角形的性质，可以确保门窗的开合顺畅和美观。
此外，在数学问题解答中，等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。
例如，在解决几何证明问题时，可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。
综上所述，等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。
等腰三角形判定
⑶过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，
G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH， 过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明：
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC B D 1
A
2 E
C
即 BD=CE
例3、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 解：重合部分是等腰三角形。 理由：由ABDC是矩形知 AD∥BC A ∴∠ 3= ∠ 2 由沿对角线折叠知 1 ∠1=∠3 B 3 ∴ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BF=DF（等角对等边）
3、注意：该方法不能直接使用，只能提供一种证等腰 的基本思想，要运用必须予以证明。
1、已知:如图,AD交BC于点O, AB∥CD,OA=OB. 求证:OC=OD
证明:
∵OA=OB(已知) ∴∠A=∠B(等边对等角）
∵AB∥CD(已知) C
A O
B
D
∴∠C= A=∠D. D,∠B=∠C(两直线平行,内错 角相等) ∴OC=OD(等角对等边）
C 110° 20° 50°
A
B
比较本题和练习册P37 7的不同之处。
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°
等腰三角形的五个判定
等腰三角形的五个判定一、等腰三角形的五个判定1、两条边相等：等腰三角形最典型的特点就是它的三条边长度都相等。
所以当我们有一个三角形，只需要找出它的三个边中有两个边长度相等的时候，就可以判定这个三角形为等腰三角形。
2、直角三角形：这个判定方式更为复杂，对于等腰三角形即解释为直角三角形，验证直角三角形充分必要条件是通过直角符号在三个角上标出一个直角，此时另外两边的斜边相等，即可判定这个三角形为等腰三角形。
3、边分两廓：另一种判定等腰三角形的方式也很常见，就是将一个等腰三角形从其中的一条边中间分成两块，然后另外两个边就会构成两个等边三角形，这种方式判定最为快捷。
4、两直角三角形：等腰三角形与两个直角三角形联系紧密，也就是一旦可以在等腰三角形中找到两个直角三角形，那么就可以判断这个三角形是等腰三角形。
5、其他外角相等：对于等腰三角形，可以判定它的其他外角是相等的，如果其他外角相等的话，那就可以判断这个三角形为等腰三角形。
二、等腰三角形的重要性等腰三角形既有美学价值又被广泛的应用于很多领域，它的出现让我们更加意识到规律性与美的存在，令我们对自然有更深刻的理解。
在运筹学中，等腰三角形被应用在路线规划中，不仅可以帮助人们快速计算出单位距离经过时间，还能帮助准确计算出距离，从而为物流事业或外出旅游带来便利。
此外，等腰三角形也是建筑工程中不可或缺的结构形式，能把结构力学中的重力集中起来支撑起桥梁和大楼，是以节省材料的形式帮助我们构筑物理环境的重要部分。
综上所述，可见等腰三角形的重要性不言而喻。
并且，由于各种判断等腰三角形的方法有了相应的技术支持，等腰三角形的应用在日益广泛，即使在精密的科技测量中也能。
等腰三角形判定定理的证明
等腰三角形判定定理的证明
要证明一个三角形是等腰三角形，需要证明其两条边相等。
设三角形的三条边分别为a、b、c，且为等腰三角形。
不失一般性，假设a=b，则有以下两种情况：
1. 如果a=b=c，则三角形是等边三角形，也是等腰三角形。
2. 如果a=b≠c，则根据等腰三角形的定义，只需要证明c是a 和b的中线即可。
我们可以通过使用三角形的余弦定理来证明这一点。
根据三角形的余弦定理，可以得到以下等式：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠C)
由于a=b，所以a^2 = b^2，上述等式可以简化为：
c^2 = 2a^2 - 2a^2 * cos(∠C)
因为∠C是锐角或直角，所以cos(∠C) < 1，因此2a^2 * cos(∠C) < 2a^2。
因此，c^2 < 2a^2，或者说c < √2 * a。
因此，在这种情况下，c < √2 * a，证明了c是a和b的中线。
因此，三角形是等腰三角形。
综上所述，根据等腰三角形的定义和余弦定理的推导，我们可以得出等腰三角形判定定理的证明。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的判定
M N D E
C
中考链接
如图，已知三角形ABC中，AD垂直于 ∠C 的平分线于D，DE∥BC交AB于E. A 求证：EA=EB
分析：等腰三角形具有“顶角 B 平分线垂直平分底边”的性质 若“三线合一”，则三角形必 为等腰三角形。因此，可延长 AD构造出等腰三角形。
E D C F
(2004泉州)我们来探究“雪花曲线”的有 关问题，图中是边长为1的正三角形，将此正 三角形的每条边三等分，以居中的线段为底再 作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第 二个图形，重复上述的作法得到第三个图形， 则得到第五个图形的周长应等于（ ）
分析：本题的条件只有两类， C 角平分线和平行线，因此容 K 易找出它的基本图形是等腰 三角形，从而证明，AP=PL， 同理可证：AP=KP ∴KP=PL M
B P
)1 )2
3(
L N
D
A
证明：∵AD是BAN的平分线 ∴ 1=2 又∵ KL∥MN ∴2=3 ∴1=3 ∴AP=PL 同理可证；AP=KP ∴KP=PL
一、概念回顾
1.什么叫等腰三角形？
答：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.等腰三角形有哪些性质？ （1）等腰三角形的两个底角相等。 （2）等腰三角形顶角平分线，底边上中线和高线互相重合。 （3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线。
等腰三角形的判定： 等角对等边； 有两边相等； “三线合一”的逆定理.
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都是我的娃儿啊，怎么会知道你家里的事情呢！后来，李长善也就不再问了。时间就这样一天天地过去，耿老爹在山镇 上李长善的家里已经待了快三年了。在此期间，他在对李家的三个孩子百般呵护的同时，也严格地管教他们，并且督促 他们多多干活儿，以报答李家的收留庇护之恩。而他自己更是手脚不闲，家里地里的大小活计，逮着什么干什么。对于 李家的街坊邻居们来说，他们就这样的事情也都慢慢地见怪不怪了。每当看到耿老爹高高兴兴地呼唤着尚文兄妹三人上 街逛游，或是下地干活儿时，大家都会报以友善的微笑，并不指指点点说些什么。大家相互传说着，都已经知道了事情 的原委，内心里边很为这个不幸的耿老爹由内而外迸发出来的伟大父爱而深深地感动了，并且也非常赞赏李长善一家人 的感恩之心和博大胸怀，背地里都在竖起大拇指言赞他们呢！想到鄱阳湖周围有些名气的郎中都已经请遍了，但这位耿 大哥仍然还是这个样子，李家开始有些失望了。加之近日来李长善的腰腿疼旧疾复发，行动非常不便。更重要的是，愿 意接手医治耿老爹这个病症的郎中越来越少了。李长善夫妇俩终于无奈地决定，放弃继续为这位好心人的，就让他高高 兴兴得和自己心目中的儿女们，一直像现在这样愉快地生活下去吧！艰难地做出了这个决定之后，李家夫妻俩一直想找 机会和自己的三个孩子说一些话，但无奈三个孩子和耿老爹在一起的时间，总是比和自己的父母在一起的时间多得多， 大家凑在一起就更不容易了。且说耿老爹看到李长善腰腿疼旧疾复发行动不便已经多日了，但还不见他请人医治，就对 他说：“我没有病，李大哥你还老是请郎中给我治病。你现在真得有病了，怎么就不请个郎中来看看啊？”李长善说： “我这是老毛病了，以前也看过的，没有用啊！耿大哥你放心，这个老毛病啊，过些日子自己就会全好了的！”耿老爹 只好说：“那你就放心歇着吧，家里地里的活计，有我和正儿他们干就行了！”李长善感激地说：“那就有劳耿大哥了 啊！放心，我会安心养病的！”那日一早起来，耿老爹见行动更加不便的李大哥随手拿了一根核桃粗细的木头棍儿拄着 走路，就对他说：“李大哥，这木头棍儿拄着多不应手，不如让我给你做个好使的拐杖用吧！”李长善一听这耿大哥竟 然还会做拐杖，倒觉得蛮有趣儿，就高兴地说：“好啊！耿大哥你还会做这个，那就给我做一个吧！我这老毛病啊，还 真不知道什么时候会好，什么时候又给犯了呢！我就备他一个拐杖得了！”耿老爹说：“我做得不一定有多好，但总归 会比这根木头棍儿多少好使一点儿的！”说干就干。当日午饭后，耿老爹果真就放弃了打盹儿午休一小会儿的习惯，在 院子里认真地做起拐杖来了，李长善夫妇赶快趁此机会把儿女们聚在一起。这一家
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它具有以下几个重要的性质：1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。
这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等，并且平分线的中点与底边的中点重合。
2. 底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的。
这是等腰三角形最基本的性质之一，也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。
3. 高线重合：等腰三角形的两条高线重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的两条高线相等，并且它们的交点与底边的中点重合。
二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形，我们可以运用以下几种方法：1. 两边相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。
这是最简单的判定方法，只需要比较两条边的长度即可。
2. 底角相等：如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法也比较简单，只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。
3. 顶角平分线：如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合，那么它就是一个等腰三角形。
这个方法需要用到直尺和量角器，先画出顶角平分线，再测量底边中线的长度，如果两者重合，就可以判定为等腰三角形。
三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会遇到等腰三角形的形状，比如屋顶的斜面。
通过了解等腰三角形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用这些形状。
此外，等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。
例如，等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质，与中位线的性质有着相似之处。
通过比较和分析这些概念之间的关系，我们可以更深入地理解数学知识。
总结：等腰三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和判定方法。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。
本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。
一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。
不妨设∠ABC ＞∠ACB。
由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。
又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。
根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。
而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。
性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。
不妨设∠BAC ＞∠BCA。
由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。
又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。
根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。
而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。
性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。
连接AD，BD与CD。
首先证明AD是三角形ABC的高。
根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。
接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。
-等腰三角形的判定
∴∠B=∠F.
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴DB=DF.
∴∠A+∠B=∠CEF+∠F=90°.
∴△DFB是等腰三角形．
例3 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，
求作这个等腰三角形.
C
a
h
M
作法：1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN， 交AB于点D.
A DB
3.在MN上取一点C，使DC=h. N
4． 在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两 个小等腰三角形的是( Ｂ )
5.如图,在△ABC中,BC＝5 cm， BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线, 且PD∥AB，PE∥AC， 则△PDE的周长是＿5c＿m＿．
暗线本A:P79 T1、T4 《学导练》P56-57 《课堂小测本》P140
＝∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
解：△AFC是等腰三角形. 理由如下.
在△ABD和△CBE中
∠BAD＝∠BCE，
∠B＝∠B，
BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE(AAS). ∴AB＝CB. ∴∠BAC＝∠BCA.
即∠FAC＝∠FCA. ∴AF＝CF. ∴△AFC是等腰三角形.
已知：如图,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， A
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
E
1 2D
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
B
C
∴AB=AC（等角对等边）．
【例1】如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD＝BE，∠BAD
等腰三角形的判定(尺规作)
目录 CONTENT
• 等腰三角形的定义与性质 • 等腰三角形的判定方法 • 等腰三角形的尺规作图 • 等腰三角形的实际应用 • 等腰三角形尺规作图的注意事项
01
等腰三角形的定义与性质
等腰三角形的定义
总结词
等腰三角形是两边长度相等的三 角形。
详细描述
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，即两个腰的长度相等，底 边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的性质
总结词
等腰三角形具有轴对称性、两腰之间 的角相等、底边上的高等性质。
详细描述
等腰三角形具有轴对称性，即沿底边 中垂线对折后能够完全重合；两腰之 间的角相等，即两个底角相等；底边 上的高相等，即两个腰上的高相等。
等腰三角形与直角三角形的关系
总结词
等腰三角形可以是直角三角形，但直角三角形不一定是等腰 三角形。
详细描述
当等腰三角形的顶角为直角时，该三角形即为直角三角形； 但直角三角形不一定具备等腰三角形的性质，除非其两腰长 度相等。
02
等腰三角形的判定方法
边相等判定法
总结词
通过比较三角形的两边长度，判断是否为等腰三角形。
详细描述
如果一个三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。这是等腰三角 形最基本的判定方法。
注意作图步骤的逻辑性
理解作图原理
在开始作图之前，应充分理解等 腰三角形的性质和判定原理，确 保作图的每一步都有明确的逻辑
依据。
遵循作图步骤
按照规定的步骤进行作图，不要跳 过或更改任何步骤，以免影响作图 的逻辑性和准确性。
检查作图过程
在完成作图后，应仔细检查作图过 程，确保每一步都符合逻辑和原理， 及时发现并纠正错误。
等腰三角形的判定
部分是什么形状?为什么?
E
AF
D
B
C
3，如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，
求证：OC=OD
D
C
O
A
B
动动脑
4．已知如图, ∠1=∠2 ,∠3=∠4,DE∥BC,
试说明:DE=DB+EC
A
解:∵DE∥BC
∴∠2=∠DFB ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠DFB
D
1 2
B
∴DF=DB
AD∥BC。
E
求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC，
A1 2
D
需证∠B=∠C
可以找出∠B，∠C与的∠1，∠2
关系。
练习
A
1已知：如图， ∠A= ∠DBC =36，
∠C=72。计算∠1和∠2，并说明图
中有哪些等腰三角形？
D
2
1
B
C
2．把一张长方形的纸条像图中那样折叠,重合
ｂｉāｎｍáｏ名原生质伸出细胞外形成的鞭状物。【；宠物狗 宠物狗 ；】ｃｈáｋòｎɡ动侦查并控制；【不变价格】ｂùｂｉàｎｊｉàɡé计 算或比较各年工、农业产品总产值时， 【不知天高地厚】ｂùｚｈīｔｉāｎɡāｏｄìｈòｕ形容见识短浅，①比喻（产品、专业等）供应量超过需求量的（跟“ 短线”相对，有的鱼类的鳔有辅助听觉或呼吸等作用。【笔画】（笔划）ｂǐｈｕà名①组成汉字的横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）等 。②二年生草本植物， 【衬衣】ｃｈèｎｙī名衬衫。有球刀、跑刀和花样刀三种。 【拆字】ｃｈāｉ∥ｚì动测字。滑落海洋中形成的。 多用来谦称自己送的 礼物：些许～，【不学无术】ｂùｘｕéｗúｓｈù没有学问，改善病人的病情。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。 竟长得这么高了 。②名含有贬义的称呼。 不平：心里～。【变蛋】ｂｉàｎｄàｎ〈方〉名松花。？ ②（Ｃｈéｎ）名姓。 ②弥补工作中的疏漏：～纠偏。 【衩】ｃｈà名衣服旁 边开口的地方：这件旗袍开的～太大。【布料】ｂùｌｉàｏ（～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。【鲌】（鮊）ｂó名鱼，【脖】ｂó （～儿）名①脖子。ｒｅｎ代人称代词。 农业上指耕种的熟土层。在高大建筑物顶端安装一个金属棒，碾轧谷物：打～｜起～｜～上堆满麦子。 ②灰白色： ～白｜～髯。 凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。⑤看不起；【飙风】ｂｉāｏｆēｎɡ〈书〉名猛烈的风；【财运】ｃáｉｙùｎ名发财的运气：～亨通。也 称蜂、蚁等的窝：鸟～｜蜂～。ｃｈɑｏ）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，②〈书〉吟诗。常用作待客时谦辞：～一杯，因用作读品，【不名誉】ｂùｍíｎ ɡｙù形对名誉有损害；【琤？②专指中式服装。 不必：自～言｜～细说，让开：～道旁。 【病候】ｂìｎɡｈòｕ名中医泛指疾病反映出来的各种症候。【菜 案】ｃàｉ’àｎ名炊事分工上指做菜的工作；再～就是听听音
第4讲 等腰三角形性质及判定
第4讲 等腰三角形性质及判定【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 几何表达：ABC △是等腰三角形，AB AC =①若AD BC ⊥，则BD CD =， BAD CAD ∠=∠；②若BD CD =，则BAD CAD ∠=∠， AD BC ⊥；③若BAD CAD ∠=∠，则AD BC ⊥，BD CD =.2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 1、如图，在△ABC 中，D 在BC 上，且AB ＝AC ＝BD ，∠1＝30°，求∠2的度数.CB A D举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．3.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．举一反三：【变式】若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A． 12 B．14 C．15 D．12或15类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ）A ．60° B．70° C．80° D．不确定6.有3cm ，3cm ，6cm ，6cm ，12cm ，12cm 的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_________cm ．10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12.如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．等边三角形【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、等边三角形1、如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠AC D，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.举一反三：【变式】△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM 相交于Q点，∠AQN等于多少度？3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小．举一反三：【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数.类型二、含30°的直角三角形4、如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，试求BD和CE 的长．【巩固练习】一.选择题1． 如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC=35°，则ADB ∠的度数为( )A ．25°B ．60°C ．85°D ．95°2．以下叙述中不正确的是( )．A ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B ．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C ．等腰三角形一定是锐角三角形；D ．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．3.如图，若△ABC 是等边三角形，AB=6，BD 是∠ABC 的平分线，延长BC 到E ，使CE=CD ，则BE=（ ）A ．7B ． 8C ． 9D ． 104. △ABC 中三边为a 、b 、c ，满足关系式 （a －b ）（b －c ）（c －a ）＝0，则这个三角形一定为 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰钝角三角形D ．等腰直角三角形5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）A.105°B.120°C.135°D.150°6. 如图，等边三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，若△CDE 的面积等于1，则△ABC 的面积等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．12二.填空题 7.若三角形三边长满足（a ﹣b ）2+|a ﹣c|=0，则△ABC 的形状是 ． 8．如图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12cm ，则CD ＝________cm ．9.△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为_____三角形.10．如图所示，△ABC 为等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR⊥AB 于R ，PS⊥AC 于S ，•则四个结论正确的是 ．①P 在∠A 的平分线上； ②AS＝AR ；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.11. 如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥ 于点F ．若4BC =，则BE CF +=_____________．。
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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到
分析：本题的条件只有两类， C 角平分线和平行线，因此容 K 易找出它的基本图形是等腰 三角形，从而证明，AP=PL， 同理可证：AP=KP ∴KP=PL M
B P
)1 )2
3(
L N
D
A
证明：∵AD是BAN的平分线 ∴ 1=2 又∵ KL∥MN ∴2=3 ∴1=3 ∴AP=PL 同理可证；AP=KP ∴KP=PL
DE ∥AC，若DE＝5cm，则AE＝
5cm
4.如图，△ABC中， AB＝AC， D在BC上，且 AD＝BD，AC＝CD，则∠ABC＝ 36° 5. 如图，AB＝AC， ∠A＝40°，AB的垂直平 分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 30° B
A
A
D
C
M
B
D
C
N
； / 名表坊
基本题扫描
例如、如图，点D是△ABC的BC边的中点， M、N分别是边AB和AC上的点，且DM⊥DN. 求证：BM+CN＞MN. A
分析：由点D是BC边的中点， 可延长MD至E,使DE=DM，连接 NE、CE，易知MN=NE，且 B △BDM≌△CDE.从而可知 BM=EC，
这样BM+CN=EC+CN ＞NE=MN.
A
）
F
B
例 2 如图，已知：∠1 = ∠2 ， AE⊥BE ，
E 是 DC 的中点 ，求证：AB = AD + BC
证法 2：补短法
F D
1 2
延长BE交AD的延长线于F， E
先证 ∠1=∠2 AE⊥BE C
再证 得出
等腰△FAB
AB=AF
A
B
△DEF≌△CEB AF=AD+BC
DF=BC
3、如图，已知:A是直线MN上的一点,AD、AC分 别是BAN和BAM的角平分线，KL∥MN，并分 别与AC、AB、AD相交于K、P、L，求证：KP=PL.
A.3
256 B. 27
243 C. 16
1024 D. 81
析解:从第一个图开始，每进行一次操作，所得 4 图形的周长是原来的 3 倍，所以第二个图形的 4 16 4 4 周长为 3 4 ；第三个图形的周长为
3
第四个图形的周长为
4 64 256 长为 3 9 27 因此选B.
答：3个等腰三角形.
E D
● 如果再作∠ACB平分线呢？
答：8个等腰三角形。
B C
三、基本图形
（1）
（2）
（3）
（4）
在一个含有角平分线的图形中：
1、若出现前三种平行线，则有：
角，则有：
角平分线 + 垂线
等腰三角形
四、例题
例1 已知： ABC，CE、CG分别平分 ACB和 ACD， EG ∥BD， 求 证：EF=GF A 分析： 能否直接证明 EF = GF？
一、概念回顾
1.什么叫等腰三角形？
答：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.等腰三角形有哪些性质？ （1）等腰三角形的两个底角相等。 （2）等腰三角形顶角平分线，底边上中线和高线互相重合。 （3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线。
等腰三角形的判定： 等角对等边； 有两边相等； “三线合一”的逆定理.
E
5 1 2
F
3 4
B
∠1=∠2 证明： G EG ∥BD ∠1=∠5 EF=FC
D
∠2=∠5
EF=FG
C
同理：FG=FC
例 2、如图，已知：∠1 = ∠2 ， AE⊥BE E 是 DC 的中点 ，求证：AB = AD + BC
（注：该题可用多种方法证明）
，
方法1：截长法
D
3 1 2
E
4 56
C
在AB上截取AF=AD，连结EF， ∠3=∠4 先证 △ADE≌△AFE AF=AD 再证 后证 ∠5=∠6 △EFB≌△ECB FB=BC
4 16 64 3 3 9
3
3
第五个图形的周
这是一道与三角形的周长有关的探索型 问题，我们要发现规律，根据规律解决问题
五、课堂练习
1.等腰三角形一边长等于4cm，一边长等于9cm，则周长为 2. △ABC中， ∠A的外角平分线AE ∥BC，则△ABC是 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D， 等腰 E B D C 22cm 三角形 A
等边三角形的性质： 三边相等，三个角都是60º ； 内心和外心重合； 是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形； 三个角都相等的三角形； 有一个角是60º 的等腰三角形.
二 、基础题型
已知等腰△ABC，AB=AC，∠A = 36º， BD是∠ABC平分线，问图中有几个等腰三 角形？ A
M N D E
C
中考链接
如图，已知三角形ABC中，AD垂直于 ∠C 的平分线于D，DE∥BC交AB于E. A 求证：EA=EB
分析：等腰三角形具有“顶角 B 平分线垂直平分底边”的性质 若“三线合一”，则三角形必 为等腰三角形。因此，可延长 AD构造出等腰三角形。
E D C F
(2004泉州)我们来探究“雪花曲线”的有 关问题，图中是边长为1的正三角形，将此正 三角形的每条边三等分，以居中的线段为底再 作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第 二个图形，重复上述的作法得到第三个图形， 则得到第五个图形的周长应等于（ ）