2017年江苏省中考数学复习指导 利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
2017年江苏省南京市中考数学试卷(含解析版)
2017年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（ ）A ．7B ．8C ．21D ．362．（2分）计算106×（102）3÷104的结果是（ ）A ．103B ．107C ．108D ．1093．（2分）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．三棱锥D ．四棱锥4．（2分）若√3＜a ＜√10，则下列结论中正确的是（ ）A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜4C ．2＜a ＜3D ．2＜a ＜45．（2分）若方程（x ﹣5）2=19的两根为a 和b ，且a ＞b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C ．a ﹣5是19的算术平方根D ．b+5是19的平方根 6．（2分）过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ）A ．（4，176） B ．（4，3） C ．（5，176） D ．（5，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）计算：|﹣3|= ；√(−3)2= ．8．（2分）2016年南京实现GDP 约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ．9．（2分）分式2x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 10．（2分）计算：√12+√8×√6= ． 11．（2分）方程2x+2﹣1x=0的解是 ． 12．（2分）已知关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= ．13．（2分）如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．14．（2分）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= °．15．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= °．16．（2分）函数y1=x与y2=4x的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）计算（a+2+1a ）÷（a ﹣1a）．18．（7分）解不等式组{−2x ≤6①x ＞−2②3(x −1)＜x +1③请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得 ，依据是： ．（2）解不等式③，得 ．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．19．（7分）如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE=CF ，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE=OF ．20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200 人数 1 1 1 3 6 1 11 1（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x= ，y= ；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？24．（8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．25．（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26．（8分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．（11分）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．2017年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）（2017•南京）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（）A．7 B．8 C．21 D．36【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】11 ：计算题；511：实数．【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=12+3+6=21，故选C【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2分）（2017•南京）计算106×（102）3÷104的结果是（）A．103B．107C．108D．109【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可求解．【解答】解：106×（102）3÷104=106×106÷104=106+6﹣4=108．故选：C．【点评】考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．3．（2分）（2017•南京）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱，该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【考点】I1：认识立体图形．【分析】根据四棱锥的特点，可得答案．【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，故选：D．【点评】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键．4．（2分）（2017•南京）若√3＜a＜√10，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜4【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】首先估算√3和√10的大小，再做选择．【解答】解：∵1＜√3＜2，3＜√10＜4，又∵√3＜a＜√10，∴1＜a＜4，【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算√3和√10的大小是解答此题的关键．5．（2分）（2017•南京）若方程（x ﹣5）2=19的两根为a 和b ，且a ＞b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C ．a ﹣5是19的算术平方根D ．b+5是19的平方根【考点】22：算术平方根；21：平方根．【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．【解答】解：∵方程（x ﹣5）2=19的两根为a 和b ，∴a ﹣5和b ﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a ＞b ，∴a ﹣5是19的算术平方根，故选C ．【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．记为根号a ．6．（2分）（2017•南京）过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ）A ．（4，176）B ．（4，3）C ．（5，176）D ．（5，3）【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】已知A （2，2），B （6，2），C （4，5），则过A 、B 、C 三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线的交点即可．【解答】解：已知A （2，2），B （6，2），C （4，5），∴AB 的垂直平分线是x=2+62=4，设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （6，2），C （4，5）代入上式得{6k +b =24k +b =5， 解得{k =−32b =11， ∴y=﹣32x+11，设BC 的垂直平分线为y=23x+m ， 把线段BC 的中点坐标（5，72）代入得m=16， ∴BC 的垂直平分线是y=23x+16，当x=4时，y=176，∴过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（4，176）．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）（2017•南京）计算：|﹣3|= 3 ；√(−3)2= 3 ．【考点】73：二次根式的性质与化简；15：绝对值．【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．【解答】解：|﹣3|=3，√(−3)2=√32=3，故答案为：3，3．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键．8．（2分）（2017•南京）2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．【解答】解：10500=1.05×104．故答案为：1.05×104．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1 ．9．（2分）（2017•南京）分式2x−1【考点】62：分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．（2分）（2017•南京）计算：√12+√8×√6= 6√3．【考点】79：二次根式的混合运算．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式=2√3+√8×6，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2√3+√8×6=2√3+4√3=6√3．故答案为6√3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．（2分）（2017•南京）方程2x+2﹣1x=0的解是 x=2 ．【考点】B3：解分式方程．【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：2x+2﹣1x =0，方程两边都乘以x （x+2）得：2x ﹣（x+2）=0， 解得：x=2，检验：当x=2时，x （x+2）≠0， 所以x=2是原方程的解， 故答案为：x=2．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．12．（2分）（2017•南京）已知关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= 4 ，q= 3 ．【考点】AB ：根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1， ∴﹣3+（﹣1）=﹣p ，（﹣3）×（﹣1）=q ， ∴p=4，q=3． 故答案为：4；3．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出﹣3+（﹣1）=﹣p 、（﹣3）×（﹣1）=q 是解题的关键． 13．（2分）（2017•南京）如图是某市2013﹣2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 2016 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 2015 年．【考点】VD ：折线统计图；VC ：条形统计图． 【分析】直接利用条形统计图以及折线统计图分别分析得出答案．【解答】解：由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2016年，净增183﹣150=33（万辆），由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2015年． 故答案为：2016，2015．【点评】此题主要考查了折线统计图以及条形统计图的应用，正确利用图形获取信息是解题关键． 14．（2分）（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= 425 °．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据补角 的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：∵∠1=65°， ∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°， 故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 15．（2分）（2017•南京）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D=78°，则∠EAC= 27 °．【考点】M5：圆周角定理；L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=12∠DCB=12（180°﹣∠D ）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D=78°， ∴∠ACB=12∠DCB=12（180°﹣∠D ）=51°，∵四边形AECD 是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB ﹣∠ACE=27°， 故答案为：27．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16．（2分）（2017•南京）函数y 1=x 与y 2=4x 的图象如图所示，下列关于函数y=y 1+y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ①③ ．【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； ③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确； ∴正确的有①③． 故答案为：①③．【点评】考查根据函数图象判断相应取值；理解图意是解决本题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（7分）（2017•南京）计算（a+2+1a ）÷（a ﹣1a ）． 【考点】6C ：分式的混合运算． 【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（a+2+1a ）÷（a ﹣1a ） =a 2+2a+1a ÷a 2−1a=(a+1)2a ⋅a(a+1)(a−1)=a+1a−1．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．18．（7分）（2017•南京）解不等式组{−2x ≤6①x ＞−2②3(x −1)＜x +1③请结合题意，完成本题的解答．（1）解不等式①，得 x ≥﹣3 ，依据是： 不等式的性质3 ． （2）解不等式③，得 x ＜2 ．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x＜2 ．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3．（2）解不等式③，得x＜2．（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）﹣2＜x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（7分）（2017•南京）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】连接BE、DF，由已知证出四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：连接BE、DF，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OF=OE．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．20．（8分）（2017•南京）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．月收入/元45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200人数 1 1 1 3 6 1 11 1（1）该公司员工月收入的中位数是3400 元，众数是3000 元．（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．【考点】W5：众数；W2：加权平均数；W4：中位数．【分析】（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列起来，找出最中间一个数即可；根据众数的定义找出现次数最多的数据即可；（2）根据平均数、中位数和众数的意义回答．【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000．故答案为3400；3000；（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当；【点评】此题考查了中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，平均数=总数÷个数，众数是出现次数最多的数据．21．（8分）（2017•南京）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：；（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是12（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率=1；2；故答案为12（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，．所以至少有一个孩子是女孩的概率=34【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（8分）（2017•南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．【点评】本题考查了作图，利用勾股定理的逆定理、圆周角是解题关键．23．（8分）（2017•南京）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．（1）①当减少购买1个甲种文具时，x= 99 ，y= 2 ；②求y与x之间的函数表达式．（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？【考点】FH ：一次函数的应用． 【分析】（1）①由题意可知x=99，y=2． ②由题意y=2（100﹣x ）=﹣2x+200．（2）列出方程组，解方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）①∵100﹣1=99， ∴x=99，y=2， 故答案为99，2．②由题意y=2（100﹣x ）=﹣2x+200，∴y 与x 之间的函数表达式为y=﹣2x+200．（2）由题意{y =−2x +2005x +3y =540，解得{x =60y =80，答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数以及方程组解决问题，属于中考常考题型． 24．（8分）（2017•南京）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ． （1）求证：PO 平分∠APC ；（2）连接DB ，若∠C=30°，求证：DB ∥AC ．【考点】MC ：切线的性质． 【分析】（1）连接OB ，根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答；（2）先证明△ODB 是等边三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C ，即可得到DB ∥AC ． 【解答】解：（1）如图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， 又OA=OB ，∴PO 平分∠APC ；（2）∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP=∠OBP=90°， ∵∠C=30°，∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°， ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC=12∠APC=12×60°=30°，∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°， 又OD=OB ，∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP ﹣∠OBD=90°﹣60°=30°， ∴∠DBP=∠C ， ∴DB ∥AC ．【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ODB 是等边三角形． 25．（8分）（2017•南京）如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】TB ：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【分析】如图作CH ⊥AD 于H ．设CH=xkm ，在Rt △ACH 中，可得AH=CHtan37°=xtan37°，在Rt △CEH 中，可得CH=EH=x ，由CH ∥BD ，推出AH HD =ACCB，由AC=CB ，推出AH=HD ，可得xtan37°=x+5，求出x 即可解决问题．【解答】解：如图作CH ⊥AD 于H ．设CH=xkm ， 在Rt △ACH 中，∠A=37°，∵tan37°=CHAH ， ∴AH=CHtan37°=xtan37°，在Rt △CEH 中，∵∠CEH=45°， ∴CH=EH=x ，∵CH ⊥AD ，BD ⊥AD ， ∴CH ∥BD ， ∴AH HD =AC CB，∵AC=CB ， ∴AH=HD ， ∴x tan37°=x+5，∴x=5⋅tan37°1−tan37°≈15，∴AE=AH+HE=15tan37°+15≈35km ，∴E 处距离港口A 有35km ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．26．（8分）（2017•南京）已知函数y=﹣x 2+（m ﹣1）x+m （m 为常数）． （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是 D ． A.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上． （3）当﹣2≤m ≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；H3：二次函数的性质． 【专题】11 ：计算题；535：二次函数图象及其性质． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．【解答】解：（1）∵函数y=﹣x 2+（m ﹣1）x+m （m 为常数），∴△=（m ﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2， 故选D ；（2）y=﹣x 2+（m ﹣1）x+m=﹣（x ﹣m−12）2+(m+1)24， 把x=m−12代入y=（x+1）2得：y=（m−12+1）2=(m+1)24，则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；（3）设函数z=(m+1)24，当m=﹣1时，z 有最小值为0；当m ＜﹣1时，z 随m 的增大而减小； 当m ＞﹣1时，z 随m 的增大而增大， 当m=﹣2时，z=14；当m=3时，z=4，则当﹣2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 27．（11分）（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到△PBC ． （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ，他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为a cm ，对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围． 【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为165cm ．【考点】RB ：几何变换综合题． 【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC ，PB=CB ，得出PB=PC=CB 即可； （2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可； （4）证明△AEF ∽△DCE ，得出AEDC =EF CE =14，设AE=x ，则AD=CD=4x ，DE=AD ﹣AE=3x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF 是BC 的垂直平分线，BG 是PC 的垂直平分线，∴PB=PC ，PB=CB ，∴PB=PC=CB ，∴△PBC 是等边三角形．（2）解：以3√32点B 为中心，在矩形ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到△P 1BC 1； 再以点B 为位似中心，将△△P 1BC 1放大，使点C 1的对称点C 2落在CD 上，得到△P 2BC 2； 如图⑤所示；（3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示；（4）解：如图⑦所示：△CEF 是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD ，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE ，∴△AEF ∽△DCE ，∴AE DC =EF CE =14，设AE=x ，则AD=CD=4x ，∴DE=AD ﹣AE=3x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：（3x ）2+（4x ）2=42，解得：x=45，∴AD=4×45=165； 故答案为：165．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、位似的性质等知识；本题综合性强，难度较大．祝福语祝你考试成功!。
2017年中考复习数学苏科版教学案：平面几何最值问题的解法(含答案)
平面几何最值问题的解法平面几何的最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，有两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答.一、利用对称性质，实现问题简单化图形经过某一点或者轴对称之后，就会有很多固有的由对称产生的等量关系，不同的对称性(如中心对称、轴对称等)也有独特的对称性质.合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助.例 1 在如图所示的平面直角坐标系中，在:轴的正半轴上有一点A ，B 的坐标为，点C 的坐标为1(,0)2，三点构成直角三角形OAB ，斜边OB 上有一个动点P ，求PA PC +的最小值.解析 我们利用对称的性质，会使解题息路得到转化.如右图所示，以OB 为轴，作点A 的对称点D ，连接AD 交OB 于点M .有AP DP =恒成立.利用三角形关系中两边之和大于第三边可得出当P 在DC 连线上时取得最小值，即为图中所示的情形，只要求出CD 的长即可.根据B 点坐标可求出AB =OB =由三角形面积不同求法间的等量关系可得出32AM =.故1322AN AD ==，由C 点坐标可求出1CN =.由勾股定理可求出DC =PA PC +的最小值. 点拨 本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法.对称性的应用注重于问题的解题技巧，目的是通过对称性使复杂的问题简单化.二、构造不等关系，巧用基本不等式对于平面几何问题，不等关系的构造是离不开几何图形本身的数量关系的.想要利用基本不等式求解，学生需要在图形中找出满足不等式的条件，这不光对于学生的平面几何知识有考查，还要学生深入理解不等式的相关知识.例2 已知四边形ABCD ，O 点为对角线AC 与BD 的交点，4AOB S =V ，9COD S =V ，求四边形ABCD 的面积S 的最小值解析 题中的四边形为不规则图形，没有直接求此类图形的公式，我们需要将其拆分成几个三角形进行分别求解.题中给出了两个三角形的面积，我们再表示出另两个三角形的面积就可以了.四边形按照此种分解后求面积，我们发现有很多等高的三角形，出现此类三角形，其面积比就只与底的长度有关，这时就可利用此关系计算.即有AOD COD AOB BOC S S S S =V V V V ，设AOD S a =V ，BOC S b =V ，整理得36ab =.又有131325S a b =++≥=，故最小值为25.点拨 本题中对于三角形知识的考察非常深入，将三角形面积间的关系转化为长度关系进行解答是最为关键的步骤，学生要有思维模式的转化才会想出这一解决方法，而后结合不等式知识解题，否则盲目地求面积是不能实现的.三、化为二次函数，列出方程再求解二次函数是初中数学中最重要的一类函数，此处并不是像压轴题那样对二次函数进行全面的考察，而是将所求的量转化为二次函数的形式，利用二次函数的相关性质解题，更加注重于对问题的分析转化能力.例 3 有一三角形ABC ，底边120BC =，高80AD =，如图所示。
江苏省苏州市2017年中考数学指导复习例析坐标系中三角形周长最小值问题练习
—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2P D P F =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B D M''∆中，B M D M B ''''+>，即BM D M BM D M ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则 90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133c o s 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D'与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例 3 (2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则P CF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即PC F ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则C G O C H C '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212C H C H =='.所以4,CH C H '==6C H C H C C ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''==所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例 4 (2015年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则P Q R ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长.若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒ ,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,D E G B A C D G E ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.。
例说利用几何变换求线段和的最小值
例说利用几何变换求线段和的最小值作者：张海华潘从清来源：《教育界·中旬》2015年第05期新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。
故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。
利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。
本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。
一、利用图形的对称变换1.求两条线段和的最小值例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为。
解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。
例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为。
解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM （B、M、N共线时等号成立）。
又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。
所以DN+MN的最小值为10。
2.求几条线段和的最小值例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为。
解析：作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知PQ=P1Q，PR=P2R。
即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。
中考数学中利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
中考数学中利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.
一、求两动点到一定点距离和的最小值
此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换
至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值
此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.
三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值
此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.
四、求两动点到另一动点距离和的最小值
一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
五、求三动点构成的三角形周长的最小值
三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解.
六、求三动点到一定点距离和的最小值
解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.。
2017年江苏省泰州市中考数学复习指南(第一波：精准定位)
2017年江苏省泰州市中考数学复习指南时间宝贵，长话短说。
（第一波：中考精准定位）上菜：第一道：数与式，重点落实如下考点：1、实数混合运算；2、分式化简求值；3、分式混合运算，中考时这三个考点至少考1个，正常情况下考2个，总分值20分左右。
第二道：方程、不等式，重点落实如下考点：1、一元二次方程应用（必考）；2、一元一次方程应用；3、分式方程应用，中考时这三个考点必考1个，正常情况下考2个，总分值15分左右。
（也许是出于个人喜好，最近这一拨命题组的人对方程是大爱，如果2017年的江苏省泰州市的命题组长不换人，估计又会注重方程而轻视不等式，但是为了全面，建议大家也把“不等式应用”这一块复习一下，毕竟这里也是可以考8分左右的大题的。
）第三道：函数，这道菜在整份试卷中的比重甚大，难度也很大，主要用于区分中等生、优生，考题具有深厚的选拔功能。
重点落实如下考点：1、二次函数综合（必考）；2、一次函数综合；3、反比例函数综合；4、一次函数、反比例函数、二次函数结合题，中考时这三个考点至少考1个，正常情况下考2个，总分值25分左右。
第四道：图形的性质，这道菜在整份试卷中的比重甚大，难度也很大，主要用于区分中等生、优生，考题具有深厚的选拔功能。
重点落实如下考点：1、四边形综合（必考）；2、圆综合；（建议特别留心：圆的切线的证明及相关的线段、角的计算），中考时这三个考点至少考1个，正常情况下考2个，总分值20分左右。
第五道：图形的变化，重点落实如下考点：1、解直角三角形的应用（必考）；2、相似三角形的证明、判定（含全等）；中考时二点必考1个，正常情况下考2个，总分值20分左右。
第六道：统计、概率，这道菜最近基本口味不变。
重点落实如下考点：1、统计图的综合（出题方向：1、条形、折线、扇形统计图，一般3选2，有些考题为了加大难度，会将三者融合；2、频数（率）分布直方图；3、以上1与2的结合，眼前市面上这类菜少，将来可能会成为中考命题一个新的开发热点）；2、概率的计算（树状图和列表法，一般主要是考树状图，此类题还可心进行延伸，如游戏公平、重新设计游戏等）；中考时这二个考点都考，总分值15分左右。
江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：速解选择题有妙法
速解选择题有妙法选择题是中考中常出现的题型.由于无需写出解题过程，因此如何快速、简捷地找出正确的选项是解题的目标.经验告诉我们，通过对题目的合理分析和推断，采用灵活多变的解题方法，常常可以收到事半功倍的解题效果.一、直接法从题设条件出发，通过推理或演算，直接得出结论，并把结果与选择支对比，从而找出正确答案的方法.它是经常被采用的一种方法.例1 使关于x 的方程22440(2)(3)x x a x x -++=--只有一个实数根的a 的取值是( ) (A)–4 (B) –10，–2 (C) –2 (D) –4，–10解析 不难看出方程的增根只能是2x =和3x =.分别代入22440x x a -++=，解 得4a =-和10a =-，经检验它们符合条件，故应选D.点评 有些同学误由△=0推得2a =-，而错选C.这是由于把方程有两个相同的实根，与只有一个实根混淆了所致.二、验证法对于某些选择题，由于其选项的答案具体，因此可采用验证的方法快速获解.例2 方程22(1)4(2)x x +=-的解是( )(A) 1x = (B) 5x = (C) 121,5x x == (D) 121,2x x ==- 解析 观察题后，将1,5,2x x x ===-分别代入原方程的左边与右边.当1x =时，左边=2(11)4+=，右边=24(12)4⨯-=;当5x =时，左边=2(51)36+=,右边=24(52)36⨯-=;当2x =-时，左边=2(21)1-+=，右边=24(22)64⨯--=. 综上可知应选C.三、特例法此法是从研究众多的大范围的一般对象中，捕捉和研究那些在不改变本质属性条件下的小范围中个别的、特殊的对象，从而解决问题，找出正确的选项.例3 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那 么实数m 的取值范围是( )(A) 01m ≤≤ (B) 34m ≥ (C) 314m <≤ (D) 314m ≤≤ 解析 分析各选项，不难看出34是一个特例.取34m =，有23204x x -+=, 解得1213,22x x ==. 又有31x =，从而132x x x +=，不可作为一个三角形三边之长，所以34m ≠. 故应选C.例4 一个三角形的底边长度增加1%,底边上的高减少1 %，则这个三角形的面积(A)减少1% (B)增加1% (C)减少10% (D)不变解析 取底边为20，高为10的特例，则由11201020(110%)10(110%)1000.011%22⎡⎤⨯⨯-⨯+⨯⨯-÷==⎢⎥⎣⎦. 故应选A.四、估算法对于有些选择题利用不等式或相关定理、法则，便可估算求值对象的取值范围，从而快速、简捷找出正确选项.例5 上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( )(A) 9点30分 (B) 10点5分 (C) 10点5511分 (D ) 9点83211分 解析 如图1所示，时针OB 与分针OA 在9点时恰好成直角，此时也可看成优角(优弧所对角) 270AOB ∠=︒.当分针继续转动，优角AOB ∠慢慢变小，直到OA 与OB 重合，故下一次时针OB 与分针OA 成直角的时间应在9点与10点之间，而9点30分时，时针与分针成105︒，不合题意.故应选D.五、逆推法从选项出发，逆向推理，找出符合已知条件的结论.此法主要适合子已知条件复杂而结论简单的选择题.例6 用配方法解一元二次方程26110x x +-=，则方程可变形为( )(A) 2(3)20x += (B) 2(3)20x -= (C) 2(3)2x += (D ) 2(3)2x -= 解析 由选项A ，得26920x x ++=,即26110x x +-=,它与题设相同，故应选A.例7 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是223y x =，则原抛物线是( ) (A) 22(2)33y x =-+ (B) 22(2)33y x =+- (C) 22(2)33y x =++ (D) 22(2)33y x =-- 解析 将223y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得22(2)33y x =+-. 故应选B.六、度量法例8 如图2，凸五边形ABCDE 中，120,A B EA AB BC ∠=∠=︒=== 12DC = 12DE ,则D ∠=( ) (A) 30︒ (B) 45︒ (C) 60︒ (D)67.5︒解析 通过作出准确的图形，可直接量出60D ∠=︒.故应选C.七、相互关系法例9 如图3所示，在ABCD Y 中，点M 是AD 的中点, BM 平分ABC ∠，则( )(A) CM 可能垂直于AD (B) AC 可能等于CD(C) CM 不可能垂直于AD (D) CM 可能平分ACD ∠解析 分析各选项，选项A 与选项C 之中必有一个成立;再结合已知可得CM 是线段AD 的中垂线，故选项B 与选项D 都能成立，这与单选项不符.故选项A 错误，只能选C. 事实上，由已知可得AM AB =，若CM 也垂直AD 的话，由中垂线性质可知CD AC =，于是得AM AB CD AC ===.因此，在Rt ACM ∆中，出现斜边AC 与直角边AM 相等的矛盾，故CM 不可能垂直AD .。
2017年苏州初三中考数学压轴题专题突破(解答题)
2017年苏州初三中考数学压轴题专题突破（解答题）压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
苏州市中考真题赏析1.（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．2.（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．江南汇教育网3.（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t 秒（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．4.（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a ＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．江南汇教育网（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．5.（2015•苏州）（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．m l7. （2015•苏州）（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）； （2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．8.（2016•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，D 、E 为⊙O 上位于AB 异侧的，连接BD 并延长至点C ，使得CD =BD ，连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE 、DF ．（1）证明：∠E =∠C ；（2）若∠E =55°，求∠BDF 的度数；（3）设DE 交AB 于点G ，若DF =4，cosB =，E 是的中点，求EG •的值．（第28题）O 1ABOP（图②）（图①）PO DCBA9.（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．10.（2016•苏州）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC 的度数）．参考答案：1.解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为（1，1）．∵CD∥x轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为（2，1）．∴．（2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．2.（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．3.解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．4. （1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．江南汇教育网由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x 轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．5.（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△△EBD∽△ADC，且相似比k=，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S△ABC=．6.解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；故答案为：45°；（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，∴P点的坐标为：（，）；（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（，），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2，∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m2﹣2m+∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，=（m﹣）2+。
中考数学线段最值问题 常见的解题方法及步骤.doc
中考数学线段最值问题常见的解题方法及
步骤
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。
所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。
苏科版初三数学中考复习小专题系列1：最值问题 (精讲精练及参考答案)
xyBOMAxy CEO'BOMAD系列一：最值问题（1）—两线段之和的最值一、 【背景分析】 几何问题中的线段之和最值问题是中考复习问题常见情形，除了要运用最基本的“将军饮马”的原理之外，它最明显的特征：紧紧围绕“将军饮马”原理可以包含多种初中阶段的常用知识点，在不同的背景中，如直角坐标系中，各种特殊平行四边形，或圆中，可以全方位的考察必考知识点和常用方法，能有效考察学生对知识方法的分析能力，作图能力，计算能力等，故需要进行相应程度的训练与巩固。
二、 基本原理呈现:问题：已知在直线l 外有两定点A ，B ，试在l 上寻找点O ，使得AO ＋OB 的长度最短。
作法： ①从点A 作关于直线l 的对称点A'，连接A'B 与直线l 相交于点O ；②此时AO ＝A'O ，即AO ＋OB ＝A'O ＋OB ＝A'B ，根据“两点之间线段最短”可知此时AO ＋OB 的长度最短。
③点O 即为所求。
步骤简述：作对称点，连接产生交点。
三、课堂例题精讲例1则BO+BA 的最小值是 。
（图1） （图2）结合知识点：全等构造，勾股定理，一次函数直线思路与解析：如图2，过点B 作BC 垂直y 轴与点C ，构造“K 型”△BC M ≌△表示出点B （m,m+8），得出B 点运动路径为一次函数直线y=x +8，根据上ACAG述原理，作点O 关于直线y=x +8的对称点，再构建Rt △O ，EA 求出BO+BA 的最小值= O ，A=5816822=+。
【点评】：本题的难点之处是需分析出点B 的运动轨迹例2、已知如图3，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AD=3，点E 、F 分别是AB ，AC 上的动点，且满足AE=CF ，则DE+DF 的最小值为（图3） （图考察点：全等构造，最值，对称，勾股定理思路与解析：如图4，因AE=CF 和30° ，在AC 上取点G ，使AG=AD=DC ，连GE ，易证：△DFC ≌△GEA ，通过构造全等形成转换，DF=EG ，因G 为定点，作点G 关于的对称点，连接DG ，，故DE+DF 的最小值转为熟悉的“将军饮马”ED+EG 的最小值=DG ，=233322=+。
中考数学压轴题全揭秘资料专题 动态几何之双(多)动点形成的最值问题
江苏泰州锦元数学工作室编辑数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
一.应用几何公理定理求最值问题原创模拟预测题1. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，当线段DH长度取最小值时，AE＝▲ ．51。
【考点】双动点问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】如图1，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，二.应用轴对称的性质求最值问题原创模拟预测题2.如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数4yx（x＞0）图象上，17（OC＞OA）．（1）求点B的坐标；（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC 向C以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为12秒时，在x轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题，双动点问题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（最短线路问题）。
2017年中考数学解题技巧和压轴题的解法总结
2017年中考数学解题技巧和压轴题的解法总结如何有针对性的高效提分至关重要。
中考更像是一场竞技赛，除了不断提升自己，踏实做好训练，更重要的是找准进攻方向，知道中考出题规律，同时也要把握好自己的作战节奏。
最后180多天，好好把握，则马到成功;有所偏离，则功亏一篑!备考方法大胆取舍——确保中考数学相对高分“有所不为才能有所为，大胆取舍，才能确保中考数学相对高分。
”针对中考数学如何备考，着名数学特级老师说，这几个月的备考一定要有选择。
“首先，要进行一次全面的基础内容复习，不能有所遗漏;其次，一定要立足于基础和难易度适中，太难的可以放弃。
在全面复习的基础上，再次把掌握得似懂非懂，知道但又不是很清楚的地方搞清楚。
在做题练习上要学会选择，决不能不加取舍地做题，即便是老师布置的作业，也建议同学们选择性地做，已经掌握得很好的不要多做，把好像会做但又不能肯定的题认真做一做，把根本没有感觉的难题放弃不做。
千万不要到处去找各个学校的考试题来做，因为这没有针对性，浪费时间和精力。
”做到基本知识不丢一分某外国语学校资深中考数学老师建议考生在中考数学的备考中强化知识网络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。
“首先要梳理知识网络，思路清晰知己知彼。
思考中学数学学了什么，教材在排版上有什么规律，琢磨这两个问题其实就是要梳理好知识网络，对知识做到心中有谱。
”他说，“其次要掌握数学考纲，对考试心中有谱。
掌握今年中考数学的考纲，用考纲来统领知识大纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的计算关，做到基本知识不丢一分，那就离做好中考数学的答卷又近了一步。
根据考纲和自己的实际情况来侧重复习，也能提高有限时间的利用效率。
”做好中考数学的最后冲刺广州中考研究中心老师表示，距离中考越来越近，一方面需按照学校的复习进度正常学习，另一方面由于每个人学习情况不一样，自己还需进行知识点和丢分题型的双重查漏补缺，找准短板，准确修复。
压轴题坚持每天一道，并及时总结方法，错题本就发挥作用了。
初中几何最值：利用几何变换求解多动点线段和的最值问题(6个类型全面)
利用几何变换求解多动点线段和的最值问题多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.一、求两动点到一定点距离和的最小值此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换 至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例1如图1，菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒. E 为BC 上的一动点，F 为AB 上的一动点，P 为AC 上一个定点，则PE PF +的最小值为 .解析 如图2，根据菱形的对称性作点F 关于AC 的对称点1F ，连结1PF ，则有1PE PF PE PF +=+.所以，当点E 、P 、1F 三点共线且垂直BC 时PE PF +最小.作AG BC ⊥点G ，所以PE PF +的最小值即为AG 为长.因为菱形ABCD 的边长为4,60B ∠=︒，所以2BE =，AG =PE PF +的最小值为 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.例2 如图3，45AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q 、R 分别是OA 和OB 上的动点，求PQR 周长的最小值.解析 如图4，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连结CD ，则PR PQ RQ CD ++≥，当Q 、R 在线段CD 上时，PQR 周长最小.因为290COD AOB ∠=∠=︒，10OC OD OP ===，所以CD ==PQR周长的最小值为 三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.解析 如图6，作点D 关于x 轴的对称点1D ，则122OB OD OD ===，1(0,2)D - 将点C 向左平移2个单位(2EF =)到1C 点，定点D 、C 分别到动点E 、F 的距离和等于为定点1D 、1C 到动点E 的距离和，即11DE CF D E C E +=+，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.连结11D C 交x 轴于点E ，四边形1EFCC 为平行四边形，此时1111DE CF D E C E D C +=+=值最小，则四边形CDEF 的周长最小.由(0,2)D -、1(1,4)C可求直线11D C 解析式为62y x =-.当0y =时，13x =，即1(,0)3E ，则7(,0)3F . 四、求两动点到另一动点距离和的最小值 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例4 如图7，菱形ABCD 中3AB =，60A ∠=︒，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，求PE PF +的最小值.解析 如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P )所在直线(CD )同侧的两个动点(E 、F )中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F ，但考虑到F 是圆上动点，因此作菱形ABCD 和⊙B 的对称图形11A B CD 和⊙1B .根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A 、D 、1B 三点共线，1PF PF =.欲求PE PF +的最小值，即求1PE PF +的最小值，所以当1PA PB +最小时，1PE PF +的最小值为:1113PA PB AE BF PA PB +--=+-显然，点P 运动到D 时，1PA PB +最小值为6，所以PE PF +的最小值是3.五、求三动点构成的三角形周长的最小值三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知(0,2)A ，(3,0)B -，(1,0)C .点P 是线段BC 上的动点(点P 不与B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与A 、B 重合)，点R 是线段AC 上动点(点R 不与A 、C 重合)，求PQR 周长的最小值. 解析 如图10，不妨作P 关于AB 的对称点1P ，交AB 于G ，作P 关于AC 的对称点2P ，交AC 于H ，连结1PQ 、2P R 、1AP 、2AP .由对称性可知:12PQR l PQ QR P R =++, 当PQR l 最小时，1P 、Q 、R 、2P 四点共线，即Q 、R 分别为12P P 与边AB 、AC 的交点，PQR l 的最小值为12P P . 由对称性可知12AP AP AP ==，1P AB PAB ∠=∠，2P AC PAC ∠=∠,所以122PPP BAC ∠=∠.所以1212sin 2sin PP AP BAC AP BAC =⨯∠=⨯∠ (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).从条件不难发现BAC ∠为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP BC ⊥(点即P 运动 到点O )时，AP 最小，从而12P P 最小.又根据条件，不难求出2AP =，1PC =，3BP =，AB =AC =11sin 22ABC S AB AC BAC BC AP =⨯⨯∠=⨯,sin BAC ∴∠=,1222PP ∴=⨯=.即PQR l 最小值为：65. 六、求三动点到一定点距离和的最小值解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.例6 如图11，四边形ABCD 是边长为2的正方形，M 为对角线BD 上任意一点，当M 在何处时，AM BM CM ++最小，并求出最小值.解析 如图12，将ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到EBN ，连结MN ，由旋转性质得EN AM =，BN BM =，BMN 为等边三角形，所以MN BM =，此时AM BM CM ++转化为折线EN NM CM ++.根据模型2, C 、M 、N 、E 四点共线时，AM BM CM ++最小，等于CE ，所以M 位于BD 与CE 的交点处.过点E 作BC 的垂线交CB 的延长线于点F .由题意得30EBF ∠=︒，所以1EF =，FB =从而CE ====即AM BM CM ++。
2017数学中考专题 6 线段最值问题
几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）llBPA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA -PB|最大，需转化，使点在线同侧4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为P 到圆的最远距离类型一 线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁CNOQP ED CBAQPKDCBA第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值为 .4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxF D CBA xy O E第5题图 第6题图 第7题图变式加深：7、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为() A. B. C. D.第8题图 第9题图第10题图8、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为9、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G,连接BE 交AG 与点H 。
中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤
中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤
当前，我们在解决线段最值问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，使我们难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手．下面我们主要探究如何利用数学模型求线段最值的问题．
其中，最常用的三种数学模型：从“形”的角度构造“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两种几何模型；从“数”的角度建立函数模型来进行分析．
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。
所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。
2017年中考苏科版数学二轮复习 几何图形中常见最值问题的解法 教学案(含答案)
几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析 根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解 连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析 利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解 作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1 在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析 作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P . PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 .分析 本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =， AC CD + 11BD AC B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11AC B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解 作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+,点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -，点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,)5，点D 的坐标为7(,0)3. 二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析 根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解 过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A - 、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 .分析 因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2. PQ ∴7 四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 .分析 这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解 在21Rt A B B ∆中，2112A B =cm , 15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+=, 213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。
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利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.
一、求两动点到一定点距离和的最小值
此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换 至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例1如图1，菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒. E 为BC 上的一动点，F 为AB 上的一动点，P 为AC 上一个定点，则PE PF +的最小值为 .
解析 如图2，根据菱形的对称性作点F 关于AC 的对称点1F ，连结1PF ，则有1PE PF PE PF +=+.所以，当点E 、P 、1F 三点共线且垂直BC 时PE PF +最小.作AG BC ⊥点G ，所以PE PF +的最小值即为AG 为长.因为菱形ABCD 的边长为4,
60B ∠=︒，所以2BE =，AG =PE PF +的最小值为 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值
此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.
例2 如图3，
45AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q 、R 分别是OA 和OB 上的动点，求PQR V 周长的最小值.
解析 如图4，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连结CD ，则
PR PQ RQ CD
++≥，当Q 、R 在线段CD 上时，PQR V 周长最小.因为
290C O D A O B ∠=∠=︒，10OC OD OP ===，所以CD =PQR V
周长的最小值为.
三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值
此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.
例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
解析 如图6，作点D 关于x 轴的对称点1D ，则122
OB OD OD ===，1(0,2)D - 将点C 向左平移2个单位(2EF =)到1C 点，定点D 、C 分别到动点E 、F 的距离和等于为定点1D 、1C 到动点E 的距离和，即11DE CF D E C E +=+，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.
连结11D C 交x 轴于点E ，四边形1EFCC 为平行四边形，此时
1111DE CF D E C E DC +=+=值最小，
则四边形CDEF 的周长最小.由(0,2)D -、1(1,4)C
可求直线11D C 解析式为62y x =-.当0y =时，13x =，即1(,0)3E ，则7(,0)3
F . 四、求两动点到另一动点距离和的最小值 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例4 如图7，菱形ABCD 中3AB =，60A ∠=︒，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，求PE PF +的最小值.
解析 如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P )所在直线(CD )同侧的两个动点(E 、F )中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F ，但考虑到F 是圆上动点，因此作菱形ABCD 和⊙B 的对称图形11A B CD 和⊙1B .
根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A 、D 、1B 三点共线，1PF PF =.
欲求PE PF +的最小值，即求1PE PF +的最小值，
所以当1PA PB +最小时，1PE PF +的最小值为:
1113PA PB AE BF PA PB +--=+-
显然，点P 运动到D 时，1PA PB +最小值为6，所以PE PF +的最小值是3.
五、求三动点构成的三角形周长的最小值
三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用
模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知(0,2)A ，(3,0)B -，(1,0)C .
点P 是线段BC 上的动点(点P 不与B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与A 、
B 重合)，点R 是线段A
C 上动点(点R 不与A 、C 重合)，求PQR V 周长的最小值.
解析 如图10，不妨作P 关于AB 的对称点1P ，交
AB 于G ，作P 关于AC 的对称点2P ，交AC 于H ，连结1PQ 、2P R 、1AP 、2AP .
由对称性可知:
12PQR l PQ QR P R =++V ,
当PQR l V 最小时，1P 、Q 、R 、2P 四点共线，即Q 、
R 分别为12PP 与边AB 、AC 的交点，PQR l V 的最小值为12PP .
由对称性可知
12AP AP AP ==，1PAB
PAB ∠=∠，2P AC PAC ∠=∠, 所以122PPP BAC ∠=∠.
所以1212sin 2sin PP AP BAC AP BAC =⨯∠=⨯∠ (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).
从条件不难发现BAC ∠为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP BC ⊥(点即P 运动 到点O )时，AP 最小，从而12PP 最小.
又根据条件，不难求出
2AP =，1PC =，3BP =，AB =AC =11sin 22
ABC S AB AC BAC BC AP =⨯⨯∠=⨯V Q ,
sin BAC ∴∠=,
1222PP ∴=⨯=.
即PQR l V 最小值为：
65. 六、求三动点到一定点距离和的最小值
解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.
例6 如图11，四边形ABCD 是边长为2的正方形，M 为对角线BD 上任意一点，当M 在何处时，AM BM CM ++最小，并求出最小值.
解析 如图12，将ABM V 绕点B 逆时针旋转60︒得到EBN V ，连结MN ，由旋转性质得E N A M =，BN BM =，BMN V 为等边三角形，所以MN BM =，此时AM BM CM ++转化为折线EN NM CM ++.根据模型2, C 、M 、N 、E 四点共线时，AM BM CM ++最小，等于CE ，所以M 位于BD 与CE 的交点处.
过点E 作BC 的垂线交CB 的延长线于点F .由题意得30EBF ∠=︒，所以1EF =，
FB =从而
CE ==
==
即AM BM CM ++。