诱导公式的证明
高考数学三角函数诱导公式详解分析
高考数学三角函数诱导公式详解分析高考数学中，三角函数是重要的一部分，其中诱导公式是必须掌握的知识之一。
本文将从诱导公式的定义、证明方法以及应用展开详细的分析和解释，希望能够给同学们带来一些帮助。
一、诱导公式的定义在高中数学中，我们学习了正弦、余弦、正切等三角函数的概念和基本性质。
而对于不同角度的三角函数，它们之间存在着一些特殊的关系，这些关系被称为三角函数的诱导公式。
具体来说，诱导公式是指通过对三角函数的变量进行代换，将一个三角函数转化为另一个三角函数的公式。
通常情况下，诱导公式是将各个相邻的三角函数之间的关系进行转化，从而简化我们计算的过程。
二、诱导公式的证明方法针对不同的三角函数诱导公式，其具体的证明方法也各不相同。
这里我们以正弦诱导余弦公式为例，简单介绍一下具体的证明过程。
我们知道，对于任意角度x，有以下公式成立：sin2x + cos2x = 1接下来，我们进行代换。
首先，我们将sin2x 表示为sin(x + x) 的形式：sin2x = sin(x + x)再将cos2x 表示为cos(x + x) 的形式：cos2x = cos(x + x)接着，我们使用公式sin(a + b) = sinacosb + cosasinb 将正弦函数展开：sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx同样的，我们使用公式cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 将余弦函数展开：cos(x + x) = cosxcosx - sinxsinx将以上结果代入到sin2x + cos2x = 1 这个公式中，得到：sinxcosx + cosxsinx + cosxcosx - sinxsinx = 1化简可得：cos2x = cosxcosx - sinxsinx因此，我们可以得到正弦诱导余弦公式：sin2x = 2sinxcosx这个公式表明，通过代换可以将sin2x 转化为2sinxcosx，从而将正弦函数的平方与余弦函数联系起来。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们之间存在一个非常重要的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正弦函数，得到的结果是对应角的余弦函数。
通过这个公式，我们可以推导出一些其他的三角函数的诱导公式。
2.正切函数的诱导公式：正切函数是正弦函数和余弦函数的商：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正切函数，得到的结果是对应角的余切函数的倒数。
3.余切函数的诱导公式：余切函数是正切函数的倒数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到余切函数的诱导公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 1 / [cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)] = sin(π/2 - θ) / cos(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入余切函数，得到的结果是对应角的正切函数的倒数。
4.正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin(θ ± ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) ± cos(θ)sin(ϕ)cos(θ ± ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) ∓ sin(θ)sin(ϕ)这两个公式称为正弦函数和余弦函数的平方和差公式，它们揭示了正弦函数和余弦函数的和角和差角的关系。
通过这两个公式，我们可以将任意两个角的和、差转化为正弦函数和余弦函数的乘积，从而进行更复杂的运算。
这里的正弦函数和余弦函数的平方和差公式可以通过三角函数的诱导公式和欧拉公式来证明。
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
三角函数诱导公式总结
三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式是指用其中一三角函数来表示另一三角函数的公式。
在数学中三角函数诱导公式的推导和应用是非常重要的，它们在解三角方程、证明恒等式以及求解复数等领域中起到关键的作用。
本文将总结常见的三角函数诱导公式，并给出对应的推导过程和实际应用。
1.正弦函数的诱导公式：- $\sin (-x) = -\sin x$：通过几何意义可知，正弦函数在坐标系中关于原点对称，所以负角的正弦值等于对应正角的负值。
- $\sin (180° - x) = \sin x$：结合几何意义可知，正弦函数在坐标系中关于y轴对称，所以对于给定角度x，180°减去x所得的角度的正弦值等于x的正弦值。
- $\sin (180° + x) = -\sin x$：同理，正弦函数在坐标系中关于y轴对称，所以对于给定角度x，180°加上x所得的角度的正弦值等于x的负值。
- $\sin (360° - x) = -\sin x$：结合以上公式可得，对于给定角度x，360°减去x所得的角度的正弦值等于x的负值。
- $\sin (2x) = 2\sin x \cos x$：利用正弦函数的倍角公式，可得到角度为2x的正弦值可以分解为角度为x的正弦值的两倍乘以角度为x的余弦值。
这个公式在波动和震动的物理问题中常常使用。
2.余弦函数的诱导公式：- $\cos (-x) = \cos x$：由于余弦函数是偶函数，在坐标系中关于y轴对称，所以负角的余弦值等于对应正角的余弦值。
- $\cos (180° - x) = -\cos x$：余弦函数在坐标系中关于原点对称，所以对于给定角度x，180°减去x所得的角度的余弦值等于x的负值。
- $\cos (180° + x) = -\cos x$：同理，余弦函数在坐标系中关于原点对称，所以对于给定角度x，180°加上x所得的角度的余弦值等于x 的负值。
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是指通过一些基本的三角函数值，推导出其他三角函数的值的公式。
这些基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在证明三角函数的诱导公式时，可以运用几何图形、代数运算以及三角函数的定义等方法。
首先，我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
假设在单位圆上，角A对应的弧度为θ，其坐标为(x,y)，则可以得到以下关系式：x = cosθy = sinθ我们可以通过单位圆的对称性，得到以下诱导公式：1. sin(-θ) = -sinθ证明：设角B为-A，对应的弧度为-θ，其坐标为(-x,y)。
由对称性可知，-x = cos(-θ) = cosθ，y=sin(-θ)。
所以，sin(-θ) = -sinθ。
2. sin(π-θ) = sinθ证明：设角C为π-A，对应的弧度为π-θ，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(π-θ) = cosθ，-y = sin(π-θ)。
所以，sin(π-θ) = sinθ。
3. sin(θ+π) = -sinθ证明：设角D为A+π，对应的弧度为θ+π，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(θ+π) = -cosθ，-y = sin(θ+π)。
所以，sin(θ+π) = -sinθ。
通过这些诱导公式，我们可以计算任意角度的正弦函数值，而不仅仅局限于0到π的范围。
接下来，我们来讨论正弦函数和余弦函数的平方和公式和差公式。
1. sin²θ + cos²θ = 1证明：根据单位圆上坐标的定义，可以得到(x,y)² = x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1、所以，sin²θ + cos²θ = 12. cos(θ±φ) = cosθcosφ - sinθsinφ证明：设角A对应的弧度为θ，角B对应的弧度为φ。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
《诱导公式二、三、四》三角函数
公式应用
• 判断三角函数的奇偶性：通过观察周期函数的性质和诱导 公式三，我们可以发现正弦函数和余弦函数都是奇函数， 因为对于任何x，都有$\sin(-x) = -\sin(x)$和$\cos(-x) = -\cos(x)$。而正切函数则是非奇非偶函数，因为对于任何 x，都有$\tan(-x) = -\tan(x)$。
04
其他相关公式
正弦定理
总结词
正弦定理是一种用于求解三角形边长的数学公式。
详细描述
正弦定理指出，在任意三角形ABC中，各边长与对应角的正弦值之比相等，即$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。其中，a、b、c分别代表三角形ABC的边长，A、B、C分别代表与边长 对应的角度。
计算出其他两个角的大小。
求解三角形
已知一个三角形的三边长，利用 海伦公式可以求解三角形的面积 。
证明定理
三角函数在几何学中也被用于证明 一些定理，比如毕达哥拉斯定理。
在物Байду номын сангаас学中的应用
描述周期性运动
三角函数在物理学中被广泛用 于描述周期性运动，例如简谐
振动和正弦波。
求解问题
利用三角函数可以求解一些物 理学问题，例如在电学中求解
公式三
$\tan(2k\pi + \alpha) = \tan\alpha$
公式证明
公式一证明
1. 根据三角函数的定义，我们知道$\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
《诱导公式五、六》三角函数
诱导公式五、六的作用
诱导公式五、六是三角函数计算中的重要工具，它们可以帮 助我们将任意角度的正弦和余弦值转化为已知的角度。
在三角函数的应用中，例如在物理学、工程学、几何学等领 域，诱导公式五、六被广泛使用来解决各种问题。
02
诱导公式五、六在三角函 数中的应用
利用诱导公式五、六化简三角函数式
总结词
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
《诱导公式五、六》三角函 数
2023-11-06
目录
• 诱导公式五、六的介绍 • 诱导公式五、六在三角函数中的应用 • 诱导公式五、六在实际问题中的应用 • 诱导公式五、六的扩展知识
01
诱导公式五、六的介绍
诱导公式五、六的来源
诱导公式五、六是三角函数中重要的恒等式，它们来源于三角函数的周期性和对 称性。
如何记忆诱导公式五、六
总结规律：诱导公式五、六属于三角函数的诱导公式之 一，其记忆规律可总结为“奇变偶不变，符号看象限” 。其中“奇变偶不变”指对于形如$90^\circ + a$或 $270^\circ - a$的角，在诱导公式中可直接把角看作 锐角或钝角，也可以把角看作是$90^\circ$的整数倍 加上一个任意角，此时奇变偶不变；“符号看象限”指 在把角看作锐角或钝角时，需要记忆一些特殊角的三角 函数值，以便在计算时能够快速判断正负号。
三角函数诱导公式总结
三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式是指将一个三角函数的一个角度用另外一个角度的三角函数表示的公式。
它们是三角函数的基本性质，可以用于简化计算和推导其他三角函数的性质。
在这篇文章中，我们将总结常见的三角函数诱导公式，并给出相关推导和示例。
一、正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过将A角和B角的正弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB解：我们知道sin(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开sin(A + B)的定义：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这样，我们就得到了sin(A + B)的诱导公式。
二、余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这个公式可以通过将A角和B角的余弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例2：证明cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB解：我们知道cos(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开cos(A + B)的定义：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这样，我们就得到了cos(A + B)的诱导公式。
三、正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这个公式可以通过将A角和B角的正切函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例3：证明tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)解：我们知道tan(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
三角函数诱导公式证明过程
三角函数诱导公式证明过程三角函数的诱导公式是指通过已知的三角函数的值，推导出其他三角函数的值的公式。
下面我将从多个角度全面完整地回答你的问题。
首先，我们可以从图形的角度来理解三角函数的诱导公式。
考虑一个单位圆，以圆心为原点，半径为1。
假设在该单位圆上取一点P(x, y)，其中x和y分别表示P点的横坐标和纵坐标。
根据勾股定理，可以得到x^2 + y^2 = 1，即P点的坐标满足x^2 + y^2 = 1。
接下来，我们定义三角函数。
对于角度θ，我们定义sin(θ) = y和cos(θ) = x。
根据单位圆上的定义，sin(θ)表示角度θ对应的点P的纵坐标，cos(θ)表示角度θ对应的点P的横坐标。
现在，我们来推导三角函数的诱导公式。
首先，考虑角度θ的补角（记作90°-θ）。
根据单位圆的对称性，可以得到sin(90°-θ) = cos(θ)和cos(90°-θ) = sin(θ)。
接下来，考虑角度θ的余角（记作180°-θ）。
根据单位圆的对称性，可以得到sin(180°-θ) =sin(θ)和cos(180°-θ) = -cos(θ)。
进一步，考虑角度θ的补角的余角（记作90°+θ）。
根据单位圆的对称性，可以得到sin(90°+θ) = cos(θ)和cos(90°+θ) = -sin(θ)。
最后，考虑角度θ的补角的余角的余角（记作180°+θ）。
根据单位圆的对称性，可以得到sin(180°+θ) = -sin(θ)和cos(180°+θ) = -cos(θ)。
综上所述，我们通过单位圆的对称性和三角函数的定义，推导出了三角函数的诱导公式。
根据这些公式，我们可以通过已知的三角函数值，计算出其他三角函数的值。
总结起来，三角函数的诱导公式是通过单位圆的对称性和三角函数的定义推导出来的。
这些公式允许我们在已知某个三角函数值的情况下，计算其他三角函数的值。
诱导公式证明详细过程
诱导公式证明详细过程一、诱导公式（一）：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+ 2kπ)=cosα，k∈ Z1. 证明思路。
- 设角α终边上一点P(x,y)，r = √(x^2)+y^{2}。
- 对于角α + 2kπ（k∈ Z），它的终边与角α的终边相同。
2. 证明过程。
- 根据正弦函数定义sinα=(y)/(r)。
- 对于角α + 2kπ，其终边上一点P(x,y)不变（因为终边相同），r=√(x^2)+y^{2}也不变。
- 所以sin(α + 2kπ)=(y)/(r)=sinα。
- 同理，根据余弦函数定义cosα=(x)/(r)。
- 对于角α+2kπ，其终边上一点P(x,y)不变，r = √(x^2)+y^{2}不变。
- 所以cos(α + 2kπ)=(x)/(r)=cosα。
二、诱导公式（二）：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα1. 证明思路。
- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}，则角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，角π+α终边上一点P'(-x,-y)。
2. 证明过程。
- 根据正弦函数定义，sinα=(y)/(r)。
- 对于角π+α，sin(π+α)=(-y)/(r)=-sinα。
- 根据余弦函数定义，cosα=(x)/(r)。
- 对于角π+α，cos(π+α)=(-x)/(r)=-cosα。
三、诱导公式（三）：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα1. 证明思路。
- 设角α终边上一点P(x,y)，r = √(x^2)+y^{2}，角-α的终边与角α的终边关于x轴对称，角-α终边上一点P''(x,-y)。
2. 证明过程。
- 根据正弦函数定义，sinα=(y)/(r)。
- 对于角-α，sin(-α)=(-y)/(r)=-sinα。
- 根据余弦函数定义，cosα=(x)/(r)。
- 对于角-α，cos(-α)=(x)/(r)=cosα。
三角函数中诱导公式的证明
三角函数中诱导公式的证明三角函数中的诱导公式是指通过一些基本的三角函数关系，推导出其他与之相关的三角函数表达式的方法。
这些公式在解决三角函数问题，简化计算以及证明数学定理中起到了重要的作用。
本文将对三角函数中的诱导公式进行详细的证明和推导。
一、正弦函数的诱导公式我们从正弦函数的基本定义出发进行推导。
正弦函数可以定义为一个直角三角形中，对边与斜边之比。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
而正弦函数可以定义为sin(x) = a/c。
将这两个等式联立，并通过简单的代换和变换，我们可以得到正弦函数的诱导公式：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)二、余弦函数的诱导公式与正弦函数推导类似，我们仍然从余弦函数的基本定义出发。
余弦函数可以定义为一个直角三角形中，临边与斜边之比。
同样设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a²+ b² = c²。
而余弦函数可以定义为cos(x) = b/c。
将这两个等式联立，并通过简单的代换和变换，我们可以得到余弦函数的诱导公式：cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)三、正切函数的诱导公式正切函数是正弦函数与余弦函数之比，即tan(x) = sin(x)/cos(x)。
通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(a + b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))/(cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))四、其他三角函数的诱导公式除了正弦函数、余弦函数和正切函数的诱导公式，还存在其他三角函数的诱导公式。
例如，正割函数(secant)和余割函数(cosecant)可以通过倒数关系推导得到：sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，我们可以推导出正割函数和余割函数的诱导公式：sec(a + b) = 1/(cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))csc(a + b) = 1/(sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))以上是三角函数中一些常见的诱导公式的证明和推导过程。
第5章-5.2.3-诱导公式高中数学必修第一册湘教版
当 = 2 + 1, ∈ 时， = (2 + 1)π − ，则
sin = sin(2π + π − ) = sin π − = sin .
若sin = sin ，则 = 2π + 或 = 2π + π − ， ∈ ,即
= π + −1 ， ∈ ，
2
+ + sin
π
+
2
2
为偶函数，则 =___.
【解析】方法1 （定义法） 因为 为偶函数，所以 − = ，即
− − 1
2
− + sin −
π
+
2
2
= ( − 1) +
方法2 （特值法） 因为 为偶函数，所以
π
−
2
−1
2
π
−
2
=
π
2
−1
2
+
1
9
所以sin = − 1 − = −
故cos
π
+
2
= −sin =
2
2
3
2
.
2
3
.
1
，
3
2
2
3
)
D.
2
2
3
例3 (2024·山东省德州市期末)设，，是△ 的三个内角，则下列关系式恒成
立的是( B
)
A.cos + = cos
B.sin + = sin
，∴
3
3
− ，∴
5
= sin[π −
sin
2π
三角函数三角函数的诱导公式诱导公式五六
三角函数与三角函数的诱导公式诱导公式五六xx年xx月xx日contents •三角函数的基本概念•诱导公式及基本应用•三角函数的性质与证明•诱导公式在解三角形中的应用•三角函数与方程的结合•三角函数在物理中的应用目录01三角函数的基本概念正弦函数（sine function）定义正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值。
要点一要点二取值范围$-1 \leq sin(x) \leq 1$，且在$x=0$时，$sin(x)=0$。
图像正弦函数的图像呈现周期性波动，以$y=0$为对称轴，以$x=0$为起点，呈周期性上下波动。
要点三余弦函数（cosine function）定义余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值。
取值范围$-1 \leq cos(x) \leq 1$，且在$x=0$时，$cos(x)=1$。
图像余弦函数的图像也呈现周期性波动，以$y=1$为对称轴，以$x=0$为起点，呈周期性上下波动。
010203正切函数（tangent function）定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值。
取值范围正切函数的取值范围为全体实数，即$tan(x)$的值可以是任意实数。
图像正切函数的图像呈现周期性波动，以$y=0$为对称轴，以$x=0$为起点，呈周期性上下波动。
同时，正切函数的图像还呈现出垂直渐近线，即当$x$趋向于无理数时，$tan(x)$的值趋向于无穷大。
02诱导公式及基本应用1三角函数的诱导公式23$\sin(2k\pi + \alpha) = \sin\alpha$$\cos(2k\pi + \alpha) = \cos\alpha$$\tan(2k\pi + \alpha) = \tan\alpha$诱导公式的基本应用角度转换将任意角转化为锐角，方便后续计算。
诱导公式
诱导公式（1）——360︒ k + α, 180︒ - α, 180︒ + α, 360︒ - α, - α 目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。
过程：一、诱导公式的含义：任意角的三角函数 0︒到360︒角的三角函数 锐角三角函数二、诱导公式1、公式1：（复习）sin(360︒k +α) = sin α, cos(360︒k +α) = cos α.tan(360︒k+α) = tan α, cot(360︒k +α) = cot α.sec(360︒k +α) = sec α, csc(360︒k +α) = csc α2、对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）[[[[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当 36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3、公式2：设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P ’(-x ,-y )∴sin(180︒+α) = -sin α, cos(180︒+α) = -cos α. ︒+α) = tan α, cot(180︒+α) = cot α.︒+α) = -sec α, csc(180︒+α) = -csc α4、公式如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：-α) = -sin α, cos(-α) = cos α. -α) = -tan α, cot(-α) = -cot α. -α) = sec α, csc(-α) = -csc α5、公式4： sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,cos(180︒-α) = cos[180︒+(-α)] = -cos(-α) = -cos α,同理可得： sin(180︒-α) = sin α, cos(180︒-α) = -cos α.tan(180︒-α) = -tan α, cot(180︒-α) = -cot α.sec(180︒-α) = -sec α, csc(180︒-α) = csc α6、公式5： sin(360︒-α) = -sin α, cos(360︒-α) = cos α.tan(360︒-α) = -tan α, cot(360︒-α) = -cot α.sec(360︒-α) = sec α, csc(360︒-α) = -csc αy ) P’(P(诱导公式（2） 90︒ k ± α, 270︒ ± α,目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
诱导公式(二)
1 5 （2）已知 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
变:
求 sin( ) 3
的值.
公式三 sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan 公式五
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式六 sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
证明：左边=
cos ( ) 2
cos( ) 2
sin
右边
练习：证明
3 （ 1 ） sin( ) cos 2 3 (2) cos( ) sin 2
例题:化简
11 sin(2 ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 9 cos( ) sin(3 ) sin( ) sin( ) 2
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ), cos( 2k ) cos ( k Z ), tan( 2k ) tan ( k Z ).
诱导公式 一：
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 二： sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan . 诱导公式 四：
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
公式五
复习初中知识
cos60 sin45 cos45 sin 60 cos30
诱导公式
诱导公式 一、复习： 诱导公式（一）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（二）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（三）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒理解：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒ 例2..)3cos(4)3tan(3)sin(2,0cos sin ,54)sin(的值求且已知πααππαααπα--+-<=+的值。
求：已知例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+ 诱导公式（四） sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ=-=- 诱导公式（五） sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-例4. .273021cos ,sin 2παπαα<<=+-的两根，且的方程是关于已知ax x x .)900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的值求αααπαπαπ-︒︒--+--正弦、余弦函数1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
诱导公式一、二、三、四 Word版含解析
第7课时 诱导公式一、二、三、四1.2诱导公式：公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；一、选择题1．sin2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin58°D ．－sin58°答案：B解析：sin2 015°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝sin(180°＋35°)＝－sin35°.故选B.2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2答案：D解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．计算：cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．以上均不对答案：C解析：cos1°＋cos179°＝0，cos2°＋cos178°＝0，…，cos89°＋cos91°＝0，原式＝cos90°＋cos180°＝－1.4．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( )A ．cos CB ．－cos CC ．sin CD ．－sin C答案：B解析：cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C5．tan(π＋α)＝－2，则sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)的值为( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2答案：B解析：sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos αsin α＋cos α＝－tan α＋1tan α＋1又tan(π＋α)＝－2，tan α＝－2，∴原式＝3－1＝－3. 6．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.二、填空题7.cos 2600°＝________.答案：12解析：cos 2600°＝|cos120°|＝|－cos60°|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12. 8．化简函数式sin 2500°＋sin 2770°－cos 2(1620°－x )的结果是________________．(其中x ∈(π，2π))．答案：－sin x解析： 原式＝sin 2140°＋sin 250°－cos 2(1620°－x )＝sin 240°＋cos 240°－cos 2x ＝1－cos 2x ＝sin 2x＝－sin x .9．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．答案：{－2,2}解析：当k 为偶数时，由诱导公式得A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2当k 为奇数时，则有A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.三、解答题10．求下列三角函数值：(1)sin(－1320°)；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π； (3)tan 176π.解：(1)sin(－1320°)＝sin(－1440°＋120°)＝sin120°＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－23π＝cos 23π＝－cos π3＝－12. (3)tan 176π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝tan 56π＝－tan π6＝－33. 11．化简下列各式：(1)sin (2π－α)·cos (π＋α)cos (π－α)·sin (3π－α)·sin (－π－α)； (2)cos (α－π)sin (π－α)·sin(α－2π)·cos(2π－α)； (3)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α). 解：(1)原式＝(－sin α)·(－cos α)(－cos α)·sin α·sin α＝－1sin α； (2)原式＝－cos αsin α·(sin α)·cos α＝－cos 2α；(3)原式＝cos 2α＋tan αsin α＝cos 2α＋1cos α.12．若k ∈Z ，则sin (k π－α)cos (k π＋α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝________ 答案：－1 解析：若k 为偶数，则左边＝sin (－α)cos αsin (π＋α)cos (π－α)＝－sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝－1；若k 为奇数，则 左边＝sin (π－α)cos (π＋α)sin αcos (－α)＝sin α(－cos α)sin αcos α＝－1. 13．已知1＋tan α1－tan α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)的值． 解：∵1＋tan α1－tan α＝3＋2 2，∴tan α＝2＋2 24＋2 2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝cos 2αcos 2α＋sin 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23.。
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县公开课教案
执教人：陈延刚 时间：2004.12
课 题： 诱导公式的证明
教学目标
（一）知识目标
诱导公式
（二）能力目标
1.理解诱导公式的推导方法；
2.掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角函数等式的证明；
3.培养学生化规、转化的能力。
（三）德育目标
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”的解决问题的一条行之有效的途径。
教学重点
理解并掌握诱导公式
教学难点
诱导公式的应用－求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式。
教学方法
指导自学法
通过教师必要的指导，让学生自己动手、动脑获取知识，并指导学生总结、归纳求任意角三角函数的方法步骤，使学生在转化“矛盾”中，增强归纳、转化意识，树立化归、转化思想，提高化归、转化能力。
教学过程
Ⅰ.复习回顾
【师】上节课我们学习了公式二、公式三，哪位同学来复述一下？
【生】sin(1800+α)＝-sinα sin(-α)＝-sinα
cos(1800+α)=-cosα cos(-α)=cosα
tan(1800+α)=tanα tan(-α)=-tanα
cot(1800+α)=cotα cot(-α)=-cotα
（学生边答教师边板书）
【师】简便记法是什么呢？
【生】函数名不变，正负看象限。
【师】这句话的含义，大家要搞清楚：即1800+α、-α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号。
这节课我们来讨论1800-α、3600-α的三角函数与α的三角函数的关系。
Ⅱ.检查预习情况
【师】同学们课下已经对这部分内容进行了预习，存在什么问题吗？
【生】没有问题。
（最起码大多数同学不会有什么问题）。
【师】请把公式四、公式五复述一下。
【生】（学生边答，教师边板书）
sin(1800-α)=sinα
sin(3600-α)=-sinα cos(1800-α)=-cosα cos(3600-α)=cosα
tan(1800-α)=-tanα tan(3600-α)=-tanα cot(1800-α)=cotα
cot(3600-α)=-cotα
【师】××同学你是怎样推导3600-α的正弦与α的正弦的关系的？（教师提问的是一个学习成绩中等偏下的学生）。
××：sin(-α)=sin〔3600+(-α)〕=sin(-α)=-sinα
【师】××同学的推导正确吗？
【生】正确
【师】好，没有推导出的同学，不妨也照××同学的方法推导一下3600-α的余弦与α的余弦的关系。
【师】同学们考虑过了吗，我们总结的“函数名不变，正负看象限”，对于公式四、公式五这两组公式是否仍然正确呢？
【生】正确。
【师】好。
这也就是说k·3600+α(k∈Z)、-α、1800±α、3600-α的三角函数值都等于α的同名三角函数值，且前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，正负看象限”。
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式。
利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
一般可按下面的步骤进行：
任意负角的三角函数 用公式三 任意正角的三角函数 用公式
一
00到3600的三角函数 用公式二或四或五 锐角三角函数这一步步的转化，将生疏转化为熟悉，将未知转化为已知，这种化归的思想，我们一定要掌握，事实上，好多好多数学问题，都需要采取这种化归、转化的方法，使问题得到解决。
Ⅲ.例题分析
【例1】 化简
【例2】（补充例题）化简
Ⅳ.课堂练习
课本P32练习 1、2、3、4
Ⅴ.课时小结
本节课同学们自己导出了公式四、公式五，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”。
公式一至五组二十个用一句话：“函数名不变，正负看象限”来记忆，简单方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握。
利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度。
Ⅵ.课后作业
（一）1.课本P33习题4.5 1、2、3.
2.思考题：
正确吗？请你验证一下。
若错误，请指出错误在哪里。
（二）1.预习内容
P34两角和与差的正弦、余弦和正切
2.预习提纲
（1）坐标轴上（或数轴上）两点间的距离是怎样表示的？
（2）与坐标轴平行的直线上两点间的距离是怎样表示的？
（3）直角坐标系内，两点间的距离怎样求呢？
板书设计
§4.5.2 诱导公式
公式一： 例1 练习公式二：
公式三：
公式四：
公式五：
公式一、二、三、四、五都叫做诱导
公式
函数名不变、正负看象限 例2 小结
江苏省丰县优质课教案丰县欢口中学陈延刚
2004.12。