2020版高考数学一轮复习课时作业38基本不等式(理)(含解析)新人教版

课时作业38 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 3．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝( C ) A ．2B ．4C ．2 2D ．2 5解析：∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 24＝2，t 2＝8.又t ＝a ＋b >0，∴t ＝8＝2 2.4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( D )A.12 B.43 C ．－1D ．0解析：f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.5．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( C )A ．3 B.72 C ．4D.92解析：∵x ＋y ＋1x ＋1y＝5，∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝2＋y x ＋x y≥2＋2＝4，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，∴1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4，当且仅当x ＝y ＝2时取得．6．(2019·吉林长春外国语学校质检)已知x >0，y >0，且3x ＋2y ＝xy ，若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( B )A ．(－∞，－8)∪(3，＋∞)B ．(－8,3)C ．(－∞，－8)D ．(3，＋∞)解析：∵x >0，y >0，且3x ＋2y ＝xy ，可得3y ＋2x ＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2x ＝13＋6xy＋6yx≥13＋26x y ·6y x＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立，∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ，∴t 2＋5t ＋1<25，解得－8<t <3.7．若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：由x >0，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，令t ＝x ＋1x ，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.二、填空题8．已知a >0，则a －14a －1a的最小值为－1.解析：a －14a －1a＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a.∵a >0，∴4a －5＋1a≥24a ·1a －5＝－1，当且仅当4a ＝1a ，即a ＝12时取等号，∴a －14a －1a的最小值为－1.9．若x >0，y >0，x ＋4y ＋2xy ＝7，则x ＋2y 的最小值是3. 解析：因为x >0，y >0，x ＋4y ＋2xy ＝7，则2y ＝7－xx ＋2.则x ＋2y ＝x ＋7－x x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2－3≥2x ＋2·9x ＋2－3＝3，当且仅当x ＝1时取等号．因此其最小值是3.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题11．(2019·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下： 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋y ＋122≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． 解：(1)由题设， 得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.13．(2019·海淀质监)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( D )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]解析：因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18，当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m1－2m ≥8，又1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.14．(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2 017＝4 034，则1a 9＋9a 2 009的最小值为4.解析：由等差数列的前n 项和公式， 得S 2 017＝2 017a 1＋a 2 0172＝4 034，则a 1＋a 2 017＝4.由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4， 所以1a 9＋9a 2 009＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 9＋9×4a 2 009＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 9＋a 2 009a 9＋9a 9＋a 2 009a 2 009＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2a 2 009a 9×9a 9a 2 009＋10＝4， 当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，且ac ≤4，则a c 2＋4＋ca 2＋4的最小值为( B )A ．0B ．12 C ．14D ．1解析：因为函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋c ≥0在R 上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4，又ac ≤4，所以ac ＝4，又a >0，所以c >0，则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋ca 2＋ac ＝a cc ＋a ＋c a c ＋a ＝1c －1c ＋a ＋1a －1c ＋a ＝1a＋1c －2c ＋a≥21ac－22ac＝1－12＝12，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，故选B.16．(2019·天津模拟)已知x ，y 为正实数，则2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为52. 解析：∵x ，y 为正实数，则2x x ＋2y ＋x ＋yx＝2x x ＋2y ＋y x ＋1＝21＋2y x＋yx＋1， 令t ＝y x，则t >0， ∴2x x ＋2y ＋x ＋y x ＝21＋2t ＋t ＋1 ＝112＋t ＋t ＋12＋12≥2112＋t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋12＝52， 当且仅当t ＝12时取等号．∴2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为52.。