【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9训练案知能提升 新人教A版必修4
优化方案高中数学第1章1.2.1知能优化训练新人教A版必修1
【优化方案】数学人教A版必修1第1章知能优化训练1．以下说法中正确的为( )A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不行能是同一函数C．f(x)＝1与f(x)＝x表示同一函数D．定义域和值域都同样的两个函数是同一个函数分析：选A.两个函数是不是同一个函数与所取的字母没关，判断两个函数能否同样，主要看这两个函数的定义域和对应法例能否同样．()2．以下函数完整同样的是A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C．(x )＝|x|，()＝x2f gxxx2－9D．f(x)＝x－3，g(x)＝x＋3分析：选、C、D的定义域均不一样．3．函数y＝1－x＋x的定义域是() A．{x|x≤1}B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}1－x≥0，得0≤x≤1.分析：选D.由x≥04．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，此中表示y是x的函数关系的有________．分析：由函数定义可知，随意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于此题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当时，直线x＝a与函数的图象没有交点．进而表示y是x的函数关系的有答案：(2)(3)a＞1或(2)(3) ．a＜－111．函数y＝x的定义域是() A．RB．{0}C．{|x ∈R，且≠0}D．{|x≠1}x x x11分析：选C.要使x存心义，必有x≠0，即y＝x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．2．以下式子中不可以表示函数y＝f(x)的是( )22A．x＝y＋1B．y＝2x＋1C．x－2y＝6D．x＝y分析：选A.一个x对应的y值不独一．3．以下说法正确的选项是()A．函数值域中每一个数在定义域中必定只有一个数与之对应B．函数的定义域和值域能够是空集C．函数的定义域和值域必定是数集D．函数的定义域和值域确立后，函数的对应关系也就确立了分析：选C.依据从会合A到会合B函数的定义可知，重申A中元素的随意性和B中对应元素的独一性，因此A中的多个元素能够对应B中的同一个元素，进而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B会合都是非空数集，应选项B错误；选项C正确；关于选项D，能够举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系能够是x→x，x∈A，能够是x →x，∈，还能够是x→x2，x∈.x A A4．以下会合A到会合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1} ，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1} ，B＝{－1,0,1} ，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值分析：选A.依据函数定义，选项B中会合A中的元素1对应会合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应独一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没存心义，也不切合函数定义中会合A中随意元素都对应独一函数值的要求；选项D中，会合A中的元素0在会合B中没有元素与其对应，也不切合函数定义，只有选项A切合函数定义．5．以下各组函数表示相等函数的是()A．y＝x2－3x＋3(x≠3) x－与y＝3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z分析：选、B与D对应法例都不一样．6．设f：x→x2是会合A到会合B的函数，假如B＝{1,2}，则A∩B必定是() A．?B．?或{1}C．{1}D．?或{2}分析：选B.由f：x→x2是会合A到会合B的函数，假如B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或＝{－1,1，－2}或＝{－1,1，2}或＝{－1，2，－2}或＝{1，－2，2}A A A A或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．因此A∩B＝?或{1}．7．若[a,3a－1]为一确立区间，则a的取值范围是________．1分析：由题意3a－1＞a，则a＞2.1答案：(2，＋∞)x＋18．函数y＝的定义域是________．3－2x分析：要使函数存心义，需知足x＋1≠0，即x＜3且x≠－1. 3－2x＞023答案：(－∞，－1)∪(－1，)29．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．分析：当x取－1,0,1,2时，y＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}答案：{－1，－2,2}10．求以下函数的定义域：－x34x＋8(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝3x－2.－－－x解：(1)要使y＝2x2－3x－2存心义，则一定－x≥0，12x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－2，1故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－2}．324x＋8存心义，则一定(2)要使y＝3x－2＞0，即x＞，故所求函数的定义域为{x|x3x－232＞}．31211．已知f(x)＝1＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x＋2(x∈R)．求f(2)，g(2)的值；求f(g(2))的值．1解：(1)∵f(x)＝1＋x，f(2)＝1＝1，1＋23又∵g(x)＝x2＋2，g(2)＝22＋2＝6.由(1)知g(2)＝6，1∴f(g(2))＝f(6)＝1＋6＝7.12．已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上存心义，务实数a的取值范围．解：函数y＝ax＋1(＜0且a为常数)．a1∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－a，1即函数的定义域为(－∞，－a]．∵函数在区间 (－∞，1]上存心义，1∴(－∞，1]?(－∞，－a]，1∴－a≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.即a的取值范围是[－1,0)．。
【配套K12】优化方案2016高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像5.2 训练案知能提升
【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像5.2 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．根据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排除A ；对B ，由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，故排除B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排除C ；对D ，由于y＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D.当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排除A 、B 、C ，选D . 5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A.函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排除B 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排除C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同一直角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3. 答案：38.已知sin x ＝m －1且x∈R ，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)(2)10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点．[B.能力提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 C ．(1，2]D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.因为0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6. 答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，32 5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围．(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 因为f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
[推荐学习]优化方案2016高中数学 第一章 三角函数 3弧度制 训练案知能提升 新人教A版必修4
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【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 3弧度制 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．－630°化为弧度为( )A ．－7π2B ．7π4C ．－7π16D ．－7π4解析：选A.－630°＝－630×π180＝－7π2.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.因为α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°， 所以α的终边在第三象限．3．与角23π终边相同的角是( )A.113π B ．2k π－23π(k ∈Z )C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )解析：选C.选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0，2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0，2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；(2k ＋1)π＋23π，k∈Z ，当k ＝0时，得[0，2π)之间的角为53π，故D 错．4．已知扇形的周长是3 cm ，面积是12cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．1或4C ．4D ．2或4 解析：选B.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝3，12l ·r ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12，l ＝2，故|α|＝lr＝1或4.5．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 解析：选B.如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23. 6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π3的终边相同的角为________．解析：与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ， 令k ＝1，2，得β＝－5π3，π3.答案：－5π3，π37．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________．解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为π2. 答案：π28．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ，得r ＝lα＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.59．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．解：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z .因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π.又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝10790π＋10π∈S .10．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.[B.能力提升]1．若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A.π3 B ．2π3C. 3D ．2解析：选C.如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3.2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选 C.当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2区域；当k 为奇数时，令k＝2n ＋1，n ∈Z ，则集合可化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2n π＋5π4≤α≤2n π＋32π，n ∈Z ，表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54π，32π区域，故选C. 3．若α＝3 rad ，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________．解析：由1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.所以3 rad ≈171.90°.所以α是第二象限角，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2k π，k ∈Z }．答案：二 {β|β＝3＋2k π，k ∈Z }4．半径为3 cm ，圆心角为120°的扇形面积为________cm 2.解析：因为扇形面积为S ＝12lr ＝12αr 2，所以S ＝12·2π3·32＝3π(cm 2)．答案：3π5.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4， 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π.6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积．解：木块的翻滚过程如题图所示．第一面运动时，点A 的路程为AA 1︵，其圆心角∠ACA 1＝π2，半径为5，弧长AA 1︵＝5π2，所在扇形的面积为254π；第二面翻滚时，路程为A 1A 2︵，圆心角∠A 1B 1A 2＝π2，半径为3，弧长A 1A 2︵＝3π2，所在扇形的面积为9π4；第三面翻滚时，A 点在A 2处不动；第四面翻滚时，点A 的路程为A 2A 3︵，圆心角为∠A 2D 3A 3＝π2－π6＝π3，半径为4，弧长A 2A 3︵＝4π3，所在扇形的面积为8π3，故总路程为AA 1︵＋A 1A 2︵＋A 2A 3︵＝5π2＋3π2＋4π3＝16π3(cm)，所在扇形的总面积为25π4＋9π4＋8π3＝67π6(cm 2)．。
人教A版高中数学必修一优化方案第一课时知能优化训练新(1)(2)
【优化方案】数学人教A 版必修1 第1章1.2.2第一课时知能优化训练1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是()解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x (x ≠－1)B.1＋x x(x ≠0) C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x(x ≠0)，∴f (t )＝t 1＋t(t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22－t2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.B.C.D.解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上，∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x . 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f]的值等于________． 解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f]＝f (1)＝2.答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2＋1x，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x≠1， ∴f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x ＝(1＋1x)2－(1＋1x)＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.。
人教A版高中数学必修一优化方案第一课时知能优化训练新(2)(1)
【优化方案】数学人教A版必修1 第1章1.1.3第一课时知能优化训练1．(2010年高考广东卷)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝( )A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}解析：选D.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．2．(2010年高考湖南卷)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则( )A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝( )A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于( ) A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4, 7} D．{5,8}解析：选D.∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7, 8}，∴A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于( ) A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于( ) A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．6．设集合S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1解析：选A.S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________．解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5，∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∅；当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}；当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2.答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}．又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9.综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B .解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}．借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R .综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ， 解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.。
[推荐学习]优化方案2016高中数学 第一章 三角函数 9三角函数的简单应用 新人教A版必修4
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§9 三角函数的简单应用, )1．问题导航(1)如图为电流强度I 与时间t 的函数关系的图像，根据图像探求下面的问题：由图知电流强度I 与时间t 的函数关系式是哪种类型的函数？ (2)结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？ ①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学． (3)应用三角函数模型需注意什么？ 2．例题导读P 58例．通过本例学习，学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，进而解决实际问题．试一试：教材P 59练习你会吗？1．三角函数模型周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型． 2．建立三角函数模型的步骤1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解析：选D.T ＝2π2π＝1.2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：选C.因为T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T＝80.3．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin (1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．解析：T ＝2πω＝2π1.83×108π≈1.09×10－8(s)． f ＝1T＝9.15×107(Hz)．答案：1.09×10－8 s 9.15×107Hz4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是________．解析：不妨设所求解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，(A ＞0，ω＞0)，则A ＝2，2πω＝0.8，ω＝5π2，由于图像过点(0，2)， 所以2sin φ＝2，结合图像可取φ＝π4，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4解答三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题． (1)审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．(2)建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．(3)解模运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． (4)回归实际问题应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．应用函数模型解题估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的解析式是D (t )＝k 2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12，其中t 表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．(1)若在波士顿，k ＝6，试作出函数D (t )在0≤t ≤365时的图像； (2)在波士顿，哪一天的白昼时间最长？哪一天最短？ (3)估计在波士顿一年中白昼超过10.5小时的天数． (链接教材P 60习题1－9A 组T 1、T 2、T 3)[解] (1)当k ＝6时，D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12. 设f (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79），利用“五点法”，列出下表： t 79 170 262 353 444 f (t ) 0 3 0 －3 0描点并连线，作出f (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）的简图，如虚线图．若t ＝0， f (0)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（－79） ≈3sin(－1.36)≈－2.9.因为f (t )的周期为365，所以f (365)≈－2.9.将y ＝f (t )，t ∈[0，365]的图像向上平移12个单位长度，得到y ＝D (t )的图像，如实线图．(2)因为k ＝6，所以D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12.白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170，对应的是6月20日(闰年除外)．类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼时间最短．(3)由D (t )>10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12>10.5， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）>－12，t ∈[0，365]，所以49<t <292，292－49－1＝242，即约有242天的白昼时间超过10.5小时．方法归纳(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，最大值为A ＋b ，最小值为b －A . (2)解答有关实际问题时，一定要明确各个变量所代表的实际意义，同时自变量的取值范围要符合实际意义．1．(1)已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．①求该地区这一段时间内温度的最大温差；②若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？(2)如图所示是一个半径为10个单位长度的水轮，水轮的圆心离水面7个单位长度．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面的距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin t －ha.①求正弦曲线的振幅；②正弦曲线的周期是多少？③如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出有关d 与t 的关系式； ④P 点第一次到达最高点大约要多少秒？解：(1)①x ∈[4，16]，则π8x －5π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，3π4.由函数图像易知，当π8x －5π4＝π2，即x ＝14时，函数取最大值即最高温度为30 ℃，当π8x －5π4＝－π2，即x ＝6时，函数取最小值即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.②令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263. 令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83(小时)．(2)①A ＝r ＝10；②T ＝604＝15(s)；③由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －h a＋k .又b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，所以a ＝152π.因为圆心距水面7个单位长度，所以k ＝7.所以d ＝10sin 2π（t －h ）15＋7.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15h ＝0.7，由计算器计算得2π15h ≈0.775，所以h ≈1.85.所以d ＝10sin 2π（t －1.85）15＋7.④P 点第一次到达最高点时，d ＝17，代入③中的解析式得17＝10sin 2π（t －1.85）15＋7.即sin 2π（t －1.85）15＝1，所以2π（t －1.85）15＝π2，解得t ＝5.6 s.构建函数模型解题游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距地面40.5 m ，半径40 m ．若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5 min 后到达最高点．从你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题．(1)能求出你与地面的距离y 与时间t 的函数解析式吗？ (2)当你登上摩天轮8 min 后，你与地面的距离是多少？ (3)当你第一次距地面30.5 m 时，用了多长时间？ (4)当你第四次距地面30.5 m 时，用了多长时间？ (链接教材P 58例)[解] (1)如图所示，O 是摩天轮中心，作ON 垂直地面于N ，交轮于P ，ON ＝40.5 m ，OP ＝40 m ．由题意可知，t ＝0时，你在摩天轮的P 点，经过t min ，旋转到P 1处，P 1到地面的距离为P 1M ＝y .作P 1Q 垂直OP 于Q .因为人从最低点旋转到最高点需5 min ，所以摩天轮的旋转速度为π5 rad/min ，经过t min 时间摩天轮旋转的角度是π5t rad ，即∠P 1ON ＝π5t rad.由图不难看出：y ＝P 1M ＝ON －OQ＝40.5－OP 1cos ∠P 1OQ＝40.5－40cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5t ＝40.5＋40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5t －π2.即所求函数的解析式为y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5t －π2＋40.5.(2)令t ＝8，得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5×8－π2＋40.5≈28.14，即登上摩天轮8 min 后与地面的距离约为28.14 m.(3)令y ＝30.5，得40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5t －π2＝－10，即cos π5t ＝0.25，得t ≈2.1，即当第一次距地面30.5 m 时，用了约2.1 min.(4)当第二次距地面30.5 m 时，用了约10－2.1＝7.9 min.当第四次距地面30.5 m 时，用了10＋7.9＝17.9 min.当你登上摩天轮100 s 后，你的朋友也在摩天轮的最低处登上摩天轮．问你的朋友登上摩天轮多少时间后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大？求出这个最大值．解：当你的朋友离地面高度为y 2＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5t －π2＋40.5＝－40cos π5t ＋40.5时，由于100 s ＝53min ，这时你自己离地面的高度为y 1＝－40cos π5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋53＋40.5.所以y 1－y 2＝40⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5t －cos π5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋53.当两人所处位置的连线垂直于地面时，距离之差最大，此时t ＝53.即当你的朋友登上摩天轮53min ＝100 s 后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大，这个最大值为40 m.方法归纳建立三角函数模型解决实际问题的步骤 第一步，阅读理解，审清题意．第二步，搜集整理数据，建立函数模型．第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求得结果． 第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．2．(1)如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．①试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度y ；②在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间P 点距离地面超过70 m ?(2)某公司的职工活动室全天对职工开放，工作人员经过长期统计而得到的一天中从0时到24时记录的时间t (小时)与到活动室活动人数y 的关系如下表：②若活动室的活动人数达到140人时需工作人员进入活动室帮助管理，该工作人员应何时进入活动室？每天在活动室需要工作多长时间？⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π10≈45解：(1)①由题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.②令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50＞70，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＞12，所以2k π＋π6＜2π3t －π2＜2k π＋5π6(k ∈Z )，所以2k π＋2π3＜2π3t ＜2k π＋4π3(k ∈Z )，所以3k ＋1＜t ＜3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1＜t ＜2. 因此，约有1分钟时间P 点距离地面超过70 m.(2)①以时间t 为横坐标、人数y 为纵坐标在直角坐标系中画出散点图，如图，根据图像，可以考虑用函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 来反映人数与时间之间的对应关系．从数据和图像可以得出：A ＝50，b ＝100，T ＝12，φ＝0.由T ＝2πω＝12，得ω＝π6.所以这个活动室的活动人数y 与时间t 的函数关系式为y ＝50sin πt6＋100.②由y ≥140，即y ＝50sin πt 6＋100≥140，得sin πt 6≥45，若sin πt 6＝45，在[0，24]内可得t 1＝1.8，t 2＝6－1.8＝4.2，t 3＝12＋1.8＝13.8，t 4＝12＋6－1.8＝16.2，所以工作人员应当在t 1＝1.8时即凌晨1点48分左右和t 3＝13.8即下午1点48分左右进入活动室．每天在活动室需要工作的时间为t 2－t 1＋t 4－t 3＝2.4＋2.4＝4.8(小时)．思想方法 转化与化归思想月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.827.7(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6； ③y －46－A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6. [解] (1)(2)如图所示．(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，所以T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， 所以A ＝25.8.(5)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8＞1≠cos π6，所以①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8＜0≠cos π6，所以②错误；同理④错误，所以四个模型中③最适合这些数据．[感悟提高] (1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点 ①反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；②充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；③结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 解析：选B.由图知，该质点的振幅为5 cm.2.如图所示为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A.因为T ＝604＝15，所以ω＝2πT ＝2π15.又y max ＝5，所以A ＝3.3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T＝6π，φ＝π3解析：选A.T ＝2πω＝2ππ3＝6，将点(0，1)代入方程，有sin φ＝12.因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6., [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.gπB ．g2π C.gπ2D ．g4π2 解析：选D.因为周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π≤t ≤4k π＋π，k ∈Z .当k＝1时，得t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数y ＝f (t )的图像可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A.将t ＝0及t ＝3分别代入给定的四个选项A ，B ，C ，D 中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )解析：选C.由l ＝αR 可知α＝l R ，结合圆的几何性质可知d 2＝R sin α2，所以d ＝2R sinα2＝2R sin l 2R ，又R ＝1，所以d ＝2sin l2，故结合正弦图像可知，选C. 6.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．解析：t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.答案：12，1π7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．解析：图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．所以12·2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图知A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20，这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20， 将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝34π.综上所求的解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]．答案：y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针匀速地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，(1)当t ＝0时，d ＝0，(2)当0＜t ＜30时，由sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt60；(3)当t ＝30时，d ＝10；(4)当30＜t ＜60时，sin 2π－πt 302＝d 25，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝d 10， 所以d ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝10sin πt 60；(5)当t ＝60时，d ＝0. 综上可知当0≤t ≤60时，均有d ＝10sin πt60.答案：10sin πt609.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P 0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O 距离为r cm ，求气针P 的纵坐标y 关于时间t的函数关系，并求出P 的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，说明其图像与函数y ＝sin t 图像有什么关系？解：过P 作x 轴的垂线(图略)，设垂足为M ，则MP 就是正弦线．所以y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π6，其图像是将y ＝sin t 的图像向左平移π6个单位长度得到的，如图所示．10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24(1) (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图像． 解：(1)图像如下．(2)设t 时的体温y ＝A sin(ωt ＋φ)＋c ，则c ＝37.4＋36.62＝37，A ＝37.4－36.62＝0.4，ω＝2πT ＝2π24＝π12.由0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×16＋φ＋37＝37.4，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，取φ＝－5π6. 故可用函数y ＝0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －5π6＋37来近似描述这些数据．(3)图像如下．[B.能力提升]1.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致是( )解析：选C.因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝π4，按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，所以d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝7，又T ＝2(7－3)＝8.所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7， 由f (3)＝9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. 所以3π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.3.如图，半圆的直径为2，A 为直径MN 的延长线上一点，且OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC ，设∠AOB ＝x 时，S 四边形OACB 等于________．解析：如图，S 四边形OACB ＝S △AOB ＋S △ABC .过点B 作BD ⊥MN 于D ， 则BD ＝BO sin(π－x )，即BD ＝sin x .所以S △AOB ＝12×2sin x ＝sin x .因为OD ＝BO cos(π－x )＝－cos x ，所以AB 2＝BD 2＋AD 2＝sin 2x ＋(－cos x ＋2)2＝5－4cos x .所以S △ABC ＝12AB ·AB sin 60°＝534－3cos x .所以S 四边形OACB ＝sin x －3cos x ＋534.答案：sin x －3cos x ＋5344．如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离|OA |＝3，P 0为圆周上一点，且∠AOP 0＝π6，点P 从P 0处开始以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．(1)1秒钟后，点P 的横坐标为________．(2)t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为________________________________________________________________________．解析：(1)1秒钟后，点P 从P 0处绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P 与P 0关于原点对称，从而点P 的横坐标为－ 3.(2)由题意得，周期为2，则t 秒钟后，旋转角为πt ，则此时点P 的横坐标为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6， 所以点P 到直线l 的距离为3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6，t ≥0. 答案：(1)－ 3 (2)3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6(t ≥0) 5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．已知绳子的长度为l ，求：(1)P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式； (2)点P 的运动周期和频率；(3)如果ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4，试求y 的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x 轴的非负半轴所需的时间． 解：(1)y ＝l sin(ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)．(2)由解析式得，周期T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.(3)将ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4代入解析式，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．得最小正周期T ＝2πω＝2ππ6＝12.当t ＝12k ＋1.5，k ∈N 时，y max ＝2， 当t ＝12k ＋7.5，k ∈N 时，y min ＝－2.(4)设小球经过时间t 后到达x 轴非负半轴， 令π6t ＋π4＝2π，得t ＝10.5， 所以当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋10.5，k ∈N ，所以小球到达x 轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k ，k ∈N . 6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据平均值如下表：(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)＋b 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段． 解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 函数模型较为合适．由图可知A ＝1.4－1.0＝0.4＝25，T ＝12，b ＝1，ω＝2πT ＝π6，此时解析式为y ＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 6＋φ＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有π6×0＋φ＝0，所以φ＝0. 所求函数的解析式为y ＝25sin πt6＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝25sin πt 6＋1≥45(0≤t ≤24)，得sin πt 6≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π，(k ∈Z )，得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，从而得0≤t ≤7或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 所以应在白天11时～19时进行训练．。
推荐学习K12优化方案2016高中数学 第一章 三角函数 9训练案知能提升 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.gπB ．g2π C.gπ2D ．g4π2 解析：选D.因为周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π≤t ≤4k π＋π，k ∈Z .当k＝1时，得t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是经长期观察，函数y ＝f (t )的图像可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]⎝⎭6C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A.将t ＝0及t ＝3分别代入给定的四个选项A ，B ，C ，D 中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )解析：选C.由l ＝αR 可知α＝l R ，结合圆的几何性质可知d 2＝R sin α2，所以d ＝2R sinα2＝2R sin l 2R ，又R ＝1，所以d ＝2sin l2，故结合正弦图像可知，选C. 6.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．解析：t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.答案：12，1π7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．解析：图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．所以12·2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图知A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20，这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20， 将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝34π.综上所求的解析式为⎝⎭84答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针匀速地绕点O 旋转，当时间t＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，(1)当t ＝0时，d ＝0，(2)当0＜t ＜30时，由sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt60；(3)当t ＝30时，d ＝10；(4)当30＜t ＜60时，sin 2π－πt 302＝d 25，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝d 10， 所以d ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝10sin πt 60；(5)当t ＝60时，d ＝0. 综上可知当0≤t ≤60时，均有d ＝10sin πt60.答案：10sin πt609.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P 0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O 距离为r cm ，求气针P 的纵坐标y 关于时间t的函数关系，并求出P 的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，说明其图像与函数y ＝sin t 图像有什么关系？解：过P 作x 轴的垂线(图略)，设垂足为M ，则MP 就是正弦线．所以y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π6，其图像是将y ＝sin t 的图像向左平移π6个单位长度得到的，如图所示．10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24(1) (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图像． 解：(1)图像如下．(2)设t 时的体温y ＝A sin(ωt ＋φ)＋c ，则c ＝37.4＋36.62＝37，A ＝37.4－36.62＝0.4，ω＝2πT ＝2π24＝π12.由0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×16＋φ＋37＝37.4，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，取φ＝－5π6. 故可用函数y ＝0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －5π6＋37来近似描述这些数据．(3)图像如下．[B.能力提升]1.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致是( )解析：选C.因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝π4，按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，所以d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝7，又T ＝2(7－3)＝8.所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7， 由f (3)＝9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. 所以3π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.3.如图，半圆的直径为2，A 为直径MN 的延长线上一点，且OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC ，设∠AOB ＝x 时，S 四边形OACB 等于________．解析：如图，S 四边形OACB ＝S △AOB ＋S △ABC .过点B 作BD ⊥MN 于D ， 则BD ＝BO sin(π－x )，即BD ＝sin x .所以S △AOB ＝12×2sin x ＝sin x .因为OD ＝BO cos(π－x )＝－cos x ，所以AB 2＝BD 2＋AD 2＝sin 2x ＋(－cos x ＋2)2＝5－4cos x .所以S △ABC ＝12AB ·AB sin 60°＝534－3cos x .所以S 四边形OACB ＝sin x －3cos x ＋534.答案：sin x －3cos x ＋5344．如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离|OA |＝3，P 0为圆周上一点，且∠AOP 0＝π6，点P 从P 0处开始以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．(1)1秒钟后，点P 的横坐标为________．(2)t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为________________________________________________________________________．解析：(1)1秒钟后，点P 从P 0处绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P 与P 0关于原点对称，从而点P 的横坐标为－ 3.(2)由题意得，周期为2，则t 秒钟后，旋转角为πt ，则此时点P 的横坐标为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6， 所以点P 到直线l 的距离为3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6，t ≥0. 答案：(1)－ 3 (2)3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6(t ≥0) 5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．已知绳子的长度为l ，求：(1)P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式； (2)点P 的运动周期和频率；(3)如果ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4，试求y 的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x 轴的非负半轴所需的时间． 解：(1)y ＝l sin(ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)．(2)由解析式得，周期T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.(3)将ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4代入解析式，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．得最小正周期T ＝2πω＝2ππ6＝12.当t ＝12k ＋1.5，k ∈N 时，y max ＝2， 当t ＝12k ＋7.5，k ∈N 时，y min ＝－2.(4)设小球经过时间t 后到达x 轴非负半轴， 令π6t ＋π4＝2π，得t ＝10.5， 所以当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋10.5，k ∈N ，所以小球到达x 轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k ，k ∈N . 6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据平均值如下表：(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)＋b 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段． 解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 函数模型较为合适．由图可知A ＝1.4－1.0＝0.4＝25，T ＝12，b ＝1，ω＝2πT ＝π6，此时解析式为y ＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 6＋φ＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有π6×0＋φ＝0，所以φ＝0. 所求函数的解析式为y ＝25sin πt6＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝25sin πt 6＋1≥45(0≤t ≤24)，得sin πt 6≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π，(k ∈Z )，得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，从而得0≤t ≤7或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 所以应在白天11时～19时进行训练．。
优化方案高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、
第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．函数y ＝cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤π3的值域是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析：选C.因为π6≤x ≤π3，所以π3≤2x ≤2π3.所以－12≤cos 2x ≤12.所以函数y ＝cos 2x ⎝⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：选B ．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.3．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：选D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x ＜0，因此函数的值域为[－2，0]．故选D.4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x2解析：选C.y ＝cos|x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A.由0≤x ≤9可得，－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，所以最大值为2，最小值为－3，最大值与最小值之和为2－ 3.6．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π7．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 760°<sin 470°.答案：＞8．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α>sin β，则α＋β与π2的大小关系为________．解析：因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 因为cos α>sin β，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α>sin β.因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以π2－α>β.所以α＋β<π2.答案：α＋β<π29．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 解：函数y ＝2sin μ的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．比较下列各组数的大小：(1)sin 1017π与sin 1117π；(2)cos 5π3与cos 14π9.解：(1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2<1017π<1117π<π，所以sin 1017π>sin 1117π.(2)cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3，cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. 因为函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π3<4π9<π，所以cos π3>cos 4π9，所以cos 5π3>cos 14π9.[B 能力提升]1．函数f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( ) A ．－2，2 B ．－2，52C ．－12，2D ．－52，2解析：选D.f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－52. 因为－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－52，当cos x ＝1时，f (x )max ＝2.2．f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析：因为0≤x ≤π3，所以0≤ωx ≤π3ω＜π3.因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，所以π3ω＝π4，所以ω＝34.答案：343．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值．解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2，即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.4．(选做题)已知函数y ＝a －b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1，1]，因为b >0，所以－b <0，⎩⎪⎨⎪⎧ymax＝b ＋a ＝32，ymin ＝－b ＋a ＝－12，所以a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知：g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－1，1]，所以g (x )∈[－2，2]，所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z .。
[推荐学习]优化方案2016高中数学 第一章 三角函数 5.3训练案知能提升 新人教A版必修4
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【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 5.3训练案知能提升新人教A 版必修4[A.基础达标]1．函数f (x )＝sin 4x ，x ∈R 的奇偶性为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：选B.因为f (－x )＝sin[4(－x )]＝sin(－4x )＝－sin 4x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 4x 为奇函数．2.已知a∈R ，函数f (x )＝sin x ＋|a |－1，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析：选D.由题意，得f (0)＝0，即|a |－1＝0，所以a ＝±1，即当a ＝±1时，f (x )＝sin x 为R 上的奇函数．3.函数f(x)＝－sin 2x ＋sin x ＋1，x ∈R 的最小值为( )A.54B ．1C ．0D ．－1解析：选D.f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 解析：选B .y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间．5.函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时的x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析：选C .当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 取最大值3. 6.函数y ＝sin |x |的图像关于________对称．解析：因为sin |－x |＝sin |x |，所以y ＝sin |x |是偶函数，其图像关于y 轴对称． 答案：y 轴7.函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤2π3的值域是________． 解析：利用图像解决．通过图像不难发现y ＝2sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3的值域为(0，2]． 答案：(0，2]8.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x ≤90°时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：sin 11°<sin 168°<cos 10°9.若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．解：因为－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b .所以a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1， 所以所求函数为y ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，所以a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1， 所以所求函数为y ＝－2sin (－x )＝2sin x .所以y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.10.判断函数f (x )＝lg 1－sin x 1＋sin x的奇偶性． 解：由1－sin x 1＋sin x>0得(1－sin x )(1＋sin x )>0， 所以－1<sin x <1，所以x ≠k π＋π2(k ∈Z )． 此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－sin （－x ）1＋sin （－x ）＝lg 1＋sin x 1－sin x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋sin x －1＝－lg 1－sin x 1＋sin x ＝ －f (x )．所以函数f (x )＝lg 1－sin x 1＋sin x为奇函数． [B.能力提升]1．已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.因为α、β为锐角三角形两内角，则0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α<1，即0<cos β<sin α<1.而已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，所以函数f (x )在[0，1]上也是递减的，所以f (cos β)>f (sin α)．2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时，( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的 解析：选B.因为12>0，所以函数y ＝2＋12sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y ＝2＋12sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减少的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．故选B. 3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝________. 解析：由诱导公式可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， 由f (x )的最小正周期是π，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 由f (x )是偶函数知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 答案：324．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． 解析：因为f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76. 因为当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝316.因为当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝sin 7π6＝－12.又因为f (x )是奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝－316，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝12－316＝516. 答案：5165．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求sin 2α＋sin 2β的取值范围．解：由已知条件知sin 2β＝sin α－32sin 2α， 所以0≤sin α－32sin 2α≤1， 解得0≤sin α≤23， 所以sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin α－32sin 2α ＝－12(sin α－1)2＋12，设sin α＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23， y ＝－12(t －1)2＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是增函数， 所以当t ＝0时，y min ＝0，当t ＝23时，y max ＝49. 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 6．(选做题)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . (1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围． 解：(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .若x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，则π＋x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 因为f (x )是最小正周期为π的周期函数，所以f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，所以x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)函数f (x )在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)x ∈[0，π]，sin x ≥12，可得π6≤x ≤5π6，函数周期为π， 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6，k ∈Z .。
优化方案高中数学第一章三角函数1周期现象、2角的概念的推广训练案知能提升新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学第一章三角函数 1周期现象、 2角的概念的推广训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角比第三象限角小C．第一象限角都是锐角D．锐角都是第一象限角解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 015盆花的颜色为( )A．红B．黄C．紫D．白解析：选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色．3．－495°角的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.－495°＝－2×360°＋225°，因为225°是第三象限角，所以－495°是第三象限角．4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为( )A．α＋β＝360°B．α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)C．α＋β＝k·180°(k∈Z)D．α＋β＝k·360°(k∈Z)解析：选B.如图所示，因为α与β的终边关于y轴对称，所以α角的终边逆时针旋转(180°－2α)就与β角终边重合．所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，所以α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，所以α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．答案：一二7．与2 015°角的终边相同的最小正角是________．解析：因为2 015°＝5×360°＋215°，所以215°为最小正角．答案：215°8．设集合M＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N ＝________．解析：对于M，当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，故M∩N＝{－126°，－36°，54°，144°}．答案：{－126°，－36°，54°，144°}9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上，写出角β的集合S.解：如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．[B.能力提升]1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则( ) A．M＝N B．N MC．M N D．M∩N＝∅解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}．因为k∈Z，所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，所以M N，故选C.2．如图所示，变量y 随x 的变化呈周期性变化．在区间[－1，11]上，直线y ＝12与函数y ＝f (x )的图像交点的个数为( )A ．10B ．12C ．13D ．15 解析：选B.由图可知周期为2，区间[－1，11]的长度为6个周期，在每个周期内y ＝12和y ＝f (x )的交点有2个，故所求交点个数为2×6＝12.3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.答案：270°4．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．则第100个图片的颜色是________．解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，……第5n 个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第100个圆片为黑色．答案：黑色5．(1)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．a ．485°；b.－35°；c.770°；d.－500°.(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．解析：(1)a.485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．b ．－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．c ．770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．d ．－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．(2)因为β是第四象限角，所以－90°＋k ·360°<β<k ·360°(k ∈Z )，所以－k ·360°<－β<90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－k ·360°<180°－β<270°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－β是第三象限角．6.(选做题)如图，点A 在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ并判定其终边所在的象限．解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，则θ＝k ·180°7，k ∈Z . 又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k ·180°7<112.5°，k ∈Z ， 所以k ＝3或k ＝4.故θ＝540°7或θ＝720°7. 易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°， 故角θ的终边在第一或第二象限．。
优化方案高中数学 第一章 三角函数 6.1余弦函数的图像、6.2余弦函数的性质 训练案知能提升 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 6.1余弦函数的图像、6.2余弦函数的性质 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23 C ．－43D ．－2解析：选D.需根据y ＝cos x 的性质(或图像)确定M 、m .由y ＝13cos x －1，可知y max ＝M ＝13－1＝－23，y min ＝m ＝－13－1＝－43.所以M ＋m ＝－2.2.若f(x)＝cos x 在[－b ，－a](a<b)上是增加的，则f(x)在[a ，b]上是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．减少的 D ．增加的 解析：选C.因为f (x )＝cos x 在R 上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f (x )在[a ，b ]上是减少的．3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选B.因为0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3.因为y ＝cos x 在[0，π]上为减函数，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤ 32.4．在△ABC 中，“A >B ”与“cos A <cos B ”的关系为( ) A ．由“A >B ”能推出“cos A <cos B ” B ．由“cos A <cos B ”能推出“A >B ” C ．由“A >B ”能推出“cos A <cos B ”，同时由“cos A <cos B ”也能推出“A >B ” D ．以上均不正确解析：选C.因为在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，在[0，π]内y ＝cos θ是递减的，所以若A >B ，则cos A <cos B ；若cos A <cos B ，则A >B ，故选C 项．5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：选D.由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图像与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC 的面积．因为|OA |＝2，|OC |＝2π，所以S 矩形＝2×2π＝4π，故选D.6．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．解析：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示， 由图像，可知原方程有两个实数解． 答案：27．函数f (x )的定义域为[0，1]，则f (cos x )的定义域是________． 解析：由0≤cos x ≤1得，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .所以f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 8．已知函数f (x )＝12sin 2x ＋a cos 2x ，当x ＝π12时取得最大值1，则a 的值为________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1得12sin π6＋a cos π6＝1， 所以14＋32a ＝1，解得a ＝32.答案：329．求函数y ＝2cos x －22sin x －1的定义域．解：若保证函数有意义，则保证：⎩⎨⎧2cos x －2≥0，2sin x －1≠0即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥22，sin x ≠12，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4（k ∈Z ），x ≠2k π＋π6且x ≠2k π＋5π6，k ∈Z ，所以，该函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π4(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心，对称轴方程，递减区间和最小正周期． 解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图像如图所示．由图像可知对称轴t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．所以x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．所以x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数是递减的，即2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋38π(k ∈Z )． 所以其递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋38π(k ∈Z )． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2（x ＋π）＋π4. 所以最小正周期T ＝π.[B.能力提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图像如图所示，由图像知只有D 正确．2．f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )A ．[－1，1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22解析：选C.当sin x ≥cos x 时，f (x )＝cos x ；当sin x <cos x 时，f (x )＝sin x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x <cos x .作出函数y ＝f (x )的图像，如图实线所示．由图可得函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.3．若cos x ＝1－m 2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝cos x 的图像可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以12≤1－m 2m ＋3≤1，解之得－23≤m ≤－14. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，－144．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ<π，解得φ＝π6.答案：π65．设a ，b 为常数，f (x )＝(a －3)sin x ＋b ，g (x )＝a ＋b cos x ，且f (x )为偶函数． (1)求a 的值；(2)若g (x )的最小值为－1，且sin b >0，求b 的值． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立， 即(a －3)sin(－x )＋b ＝(a －3)sin x ＋b 恒成立． 所以2(a －3)sin x ＝0恒成立．所以a ＝3. (2)g (x )的最小值是3－|b |， 所以3－|b |＝－1. 所以|b |＝4，b ＝±4.又因为sin 4<0，sin(－4)＝－sin 4>0， 故舍去b ＝4，所以b ＝－4.6．(选做题)设0≤x ≤π，函数f (x )＝sin(cos x )，g (x )＝cos(sin x )， (1)求f (x )的最大值、最小值；(2)将f (x )，g (x )的最大值、最小值按从小到大的顺序排列； (3)讨论f (x )和g (x )的大小关系． ⎝ ⎛⎭⎪⎫已知当0<x <π2时，sin x <x 解：(1)当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，因为sin x 在[0，1]上是增加的，所以f (x )的最大值为sin 1，最小值为0. 当π2<x ≤π时，－1≤cos x <0，而sin x 在[－1，0)上是增加的． 所以f (x )的最小值为sin(－1)，无最大值．综上所述，f (x )的最大值为sin 1，最小值为sin(－1)．(2)同理，因为0≤x ≤π，0≤sin x ≤1，cos x 在[0，1]上是减少的， 所以g (x )的最大值为cos 0，g (x )的最小值为cos 1. 所以sin(－1)<cos 1<sin 1<cos 0.(3)当0≤x <π2，0<cos x ≤1<π2，因为当0<x <π2时，sin x <x .所以sin(cos x )<cos x .又因为0≤sin x <x <π2，而cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是减少的，所以cos(sin x )>cos x ，所以sin(cos x )<cos(sin x )， 所以f (x )<g (x )． 当π2≤x ≤π时，cos x ≤0，0≤sin x ≤1， 所以sin(cos x )≤0，cos(sin x )>0， 所以sin(cos x )<cos(sin x )， 所以f (x )<g (x )．综上，当0≤x ≤π时，总有f (x )<g (x )．。
高中数学第一章三角函数1.优化练习新人教A版必修01
第2课时 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的性质[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4.答案：B2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π6 解析：因为T 2＝5π6－π3＝π2，所以T ＝π，因此ω＝2πT ＝2ππ＝2.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1，即2×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )．又因为0<φ≤π2，所以φ＝π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.答案：B3．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合．当0<|a |<1时，T >2π，且最小值为正数，A 符合； 当|a |>1时，T <2π，B 符合，故选D. 答案：D4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内，当x ＝π12时，取得最大值2，当x ＝712π时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：由题意知A ＝2，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：B5．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23B.43C.32D ．3解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )．∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C.答案：C6．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.解析：由函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.答案：10π 3π77．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象的一条对称轴方程是________． 解析：由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝0，得x ＝π8.答案：x ＝π8(答案不唯一)8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析：由题图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62. 答案：629．已知函数y ＝2cos(2x ＋π3)，用“五点法”画出其一个周期内的简图． 解析：(1)列表：(2)描点．(3)10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图：(1)求其解析式；(2)写出函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 在[0，π]上的单调递减区间．解析： (1)由图象知，A ＝2，T ＝7π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π，所以ω＝2，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0， 令－π8×2＋φ＝0，得φ＝π4，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 当k ＝0时，π8≤x ≤5π8，故函数在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8.[B 组 能力提升]1．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．1D ．－1解析：因为函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0， 所以a ＝－1. 答案：D2．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π解析：由题意至少出现50次最大值，即至少需有4914个周期，所以4914·T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.答案：B3．若对任意的实数a ，函数f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3－13(k >0)，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6的图象与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，则实数k 的值为________．解析：由函数f (x )的图象在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6时与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，故⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6的区间长度是函数f (x )的最小正周期，即T ＝π2，所以k ＝2πT ＝4.答案：44．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．解析：对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错误；对于②，由f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴②正确；对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③正确； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错误． 答案：②③5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间； (3)求方程f (x )＝0的解集． 解析：(1)由题干图知，A ＝1. 因为周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2ππ＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． 又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )．所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .所以函数y ＝f (x )的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(3)因为f (x )＝0，所以2x ＋π3＝k π，k ∈Z . 所以x ＝－π6＋12k π(k ∈Z )，所以方程f (x )＝0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－π6＋12k π，k ∈Z. 6．已知函数的解析式f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．解析：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6.又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．。
优化方案高中数学第1章1.1.2知能优化训练新人教A版必修1
【优化方案】数学人教A版必修1第1章知能优化训练1．以下六个关系式，其中正确的有( ){a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个3个以下及剖析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知会集 A，B，若A不是B的子集，则以下命题中正确的()选项是A．对任意a?B的a∈A，都有B．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0?BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B剖析：选C.A不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取＝{1,2}，＝{2,3}可否定，对于D选项，取＝{1}，＝{2,3}A B A B可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是() A．a≥2B．a≤1C．≥1D．≤2a a剖析：选A.＝{x |1<x<2}，＝{|<}，要使，则应有a≥2.A B xxa AB4．会集M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．剖析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，因此子集有4个．答案：41．若是A＝{x|x>－1}，那么( )A．0?AB．{0}∈AC．?∈AD．{0}?A剖析：选、B、C的关系符号是错误的．2．已知会集A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则( )A．>B．A BABC．B A D．A?B剖析：选 C.利用数轴(图略)可看出x∈B?x∈A，但x∈A?x∈B不成立．3．定义－＝{|x ∈A且?}，若＝{1,3,5,7,9}，＝{2,3,5}，则－等于()AB x xB A B AB A．A B．BC．{2}D ．{1,7,9 }剖析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能够在B中，因此只能是 D.4．以下共有6组会集．(1)＝{(－5,3)}，＝{－5,3}；A B(6)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；M＝?，N＝{0}；M＝{π}，N＝{3.1415}；M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的会集有A．2组B．3组()C．4组D．5组剖析：选A.(5)，(6)表示相等的会集，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义会集间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是( )A．4 B．8C．16D．32剖析：选 B.在会集A和B中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A*B＝{0,6,1 2}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是( )A．A?BB．B?AC．A∈BD．B∈A剖析：选D.∵B 的子集为{1} ，{2} ，{1,2} ，?，∴A ＝{x|x? B}＝{{1} ，{2}，{1,2}，?}，∴B ∈A.y7．设x ，y ∈R，A ＝{(x ，y)| y ＝x}，B ＝{( x ，y)| x＝1}，则A 、B 间的关系为________．剖析：在A 中，(0,0) ∈，而(0,0) ? ，故 .ABBA答案：B A8．设会集A ＝{1,3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A?B ，则a 的值为________．剖析：A? B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合会集元素的互异性，可确定 a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知 ＝{ |x ＜－1或 x ＞5}，＝{ |≤＜＋4}，若，则实数 a 的取值范围AxB xaxaAB是________．剖析：作出数轴可得，要使 A B ，则必定a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a|a ＞5或a ≤－5}．答案：{a|a ＞5或a ≤－5}，210．已知会集＝{a ，＋ ， ＋2}，＝{ a ， ac }，若 ＝，求c 的值．AababBacABa ＋b ＝acb2－2 ac ＝0，解：①若，消去得＋a ＋2b ＝ac 2aac即a(c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，会集B 中的三个元素相同，不满足会集中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1当c ＝1时，会集B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若a＋b＝ac2，消去b得2ac2－ac－a＝0，a＋2b＝ac即a(2c2－c－1)＝0.a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.1又∵c≠1，∴c＝－2.11．已知会集A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．若AB，求a的取值范围；若B?A，求a的取值范围．解：(1)若A B，由图可知，a>2.若B?A，由图可知，1≤a≤2.12．若会集A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求实数m的值．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵B，∴＋1＝0的解为－3或2或无解．A mx当mx＋1＝0的解为－3时，1由m·(－3)＋1＝0，得m＝3；当mx＋1＝0的解为2时，1由m·2＋1＝0，得m＝－；2当mx＋1＝0无解时，m＝0.1 1综上所述，m＝3或m＝－2或m＝0.。
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【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.gπB ．g2π C.gπ2D ．g4π2 解析：选D.因为周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π≤t ≤4k π＋π，k ∈Z .当k＝1时，得t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是经长期观察，函数y ＝f (t )的图像可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]⎝⎭6C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A.将t ＝0及t ＝3分别代入给定的四个选项A ，B ，C ，D 中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )解析：选C.由l ＝αR 可知α＝l R ，结合圆的几何性质可知d 2＝R sin α2，所以d ＝2R sinα2＝2R sin l 2R ，又R ＝1，所以d ＝2sin l2，故结合正弦图像可知，选C. 6.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．解析：t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.答案：12，1π7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．解析：图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．所以12·2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图知A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20，这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20， 将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝34π.综上所求的解析式为⎝⎭84答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针匀速地绕点O 旋转，当时间t＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，(1)当t ＝0时，d ＝0，(2)当0＜t ＜30时，由sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt60；(3)当t ＝30时，d ＝10；(4)当30＜t ＜60时，sin 2π－πt 302＝d 25，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝d 10， 所以d ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝10sin πt 60；(5)当t ＝60时，d ＝0. 综上可知当0≤t ≤60时，均有d ＝10sin πt60.答案：10sin πt609.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P 0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O 距离为r cm ，求气针P 的纵坐标y 关于时间t的函数关系，并求出P 的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，说明其图像与函数y ＝sin t 图像有什么关系？解：过P 作x 轴的垂线(图略)，设垂足为M ，则MP 就是正弦线．所以y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π6，其图像是将y ＝sin t 的图像向左平移π6个单位长度得到的，如图所示．10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24(1) (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图像． 解：(1)图像如下．(2)设t 时的体温y ＝A sin(ωt ＋φ)＋c ，则c ＝37.4＋36.62＝37，A ＝37.4－36.62＝0.4，ω＝2πT ＝2π24＝π12.由0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×16＋φ＋37＝37.4，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，取φ＝－5π6. 故可用函数y ＝0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －5π6＋37来近似描述这些数据．(3)图像如下．[B.能力提升]1.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致是( )解析：选C.因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝π4，按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，所以d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝7，又T ＝2(7－3)＝8.所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7， 由f (3)＝9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. 所以3π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.3.如图，半圆的直径为2，A 为直径MN 的延长线上一点，且OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC ，设∠AOB ＝x 时，S 四边形OACB 等于________．解析：如图，S 四边形OACB ＝S △AOB ＋S △ABC .过点B 作BD ⊥MN 于D ， 则BD ＝BO sin(π－x )，即BD ＝sin x .所以S △AOB ＝12×2sin x ＝sin x .因为OD ＝BO cos(π－x )＝－cos x ，所以AB 2＝BD 2＋AD 2＝sin 2x ＋(－cos x ＋2)2＝5－4cos x .所以S △ABC ＝12AB ·AB sin 60°＝534－3cos x .所以S 四边形OACB ＝sin x －3cos x ＋534.答案：sin x －3cos x ＋5344．如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离|OA |＝3，P 0为圆周上一点，且∠AOP 0＝π6，点P 从P 0处开始以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．(1)1秒钟后，点P 的横坐标为________．(2)t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为________________________________________________________________________．解析：(1)1秒钟后，点P 从P 0处绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P 与P 0关于原点对称，从而点P 的横坐标为－ 3.(2)由题意得，周期为2，则t 秒钟后，旋转角为πt ，则此时点P 的横坐标为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6， 所以点P 到直线l 的距离为3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6，t ≥0. 答案：(1)－ 3 (2)3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6(t ≥0) 5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．已知绳子的长度为l ，求：(1)P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式； (2)点P 的运动周期和频率；(3)如果ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4，试求y 的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x 轴的非负半轴所需的时间． 解：(1)y ＝l sin(ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)．(2)由解析式得，周期T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.(3)将ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4代入解析式，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．得最小正周期T ＝2πω＝2ππ6＝12.当t ＝12k ＋1.5，k ∈N 时，y max ＝2， 当t ＝12k ＋7.5，k ∈N 时，y min ＝－2.(4)设小球经过时间t 后到达x 轴非负半轴， 令π6t ＋π4＝2π，得t ＝10.5， 所以当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋10.5，k ∈N ，所以小球到达x 轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k ，k ∈N . 6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据平均值如下表：(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)＋b 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段． 解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 函数模型较为合适．由图可知A ＝1.4－1.0＝0.4＝25，T ＝12，b ＝1，ω＝2πT ＝π6，此时解析式为y ＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 6＋φ＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有π6×0＋φ＝0，所以φ＝0. 所求函数的解析式为y ＝25sin πt6＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝25sin πt 6＋1≥45(0≤t ≤24)，得sin πt 6≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π，(k ∈Z )，得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，从而得0≤t ≤7或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 所以应在白天11时～19时进行训练．。