河南省天一大联考2020届高三上学期期末考试数学(理)试题
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理科)试题答案详解版
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）试题答案详解版一、选择题（共12小题）.1．设集合，，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．[﹣4，﹣1]D．[﹣4，3）解：因为，即，解得﹣4≤x＜3，故集合A＝{x|﹣4≤x＜3}，因为，所以x≥﹣1，故集合B＝{x|x≥﹣1}，所以A∩B＝[﹣1，3）．故选：A．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（）A．5B．6C．7D．8解：∵已知的展开式中的通项公式为T r+1＝•x2n﹣3r，由于它的展开式中有常数项，则2n﹣3r＝0，即2n＝3r，即n＝，r＝0，1，2，…，n．故当r＝4时，可得n＝6，故选：B．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C83＝56种取法，其中任意两只都不成双的情况有C43×2×2×2＝32种，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P＝＝，故选：C．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x+cos x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝e﹣x+e x+cos x＝f（x），则f（x）是偶函数，f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin x，为奇函数，[f′（x）]′＝e x+e﹣x﹣sin x≥2﹣sin x＞0，即f′（x）为增函数，当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝1﹣1﹣0＝0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价为不等式f（|2m|）＞f（|m﹣2|），即|2m|＞|m﹣2|，平方得4m2＞m2﹣4m+4，即3m2+4m﹣4＞0，得（m+2）（3m﹣2）＞0，得m＞或m＜﹣2，即不等式的解集为，故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sin A+sin B）2+cos2C＝1+sin A sin B，则cos B＝（）A．B．C．D．解：由于a，b，c依次成等差数列，所以可设a＝x，b＝x+d，c＝x+2d，由于△ABC的周长为15，可得：x+d＝5，因为（sin A+sin B）2+cos2C＝sin2A+2sin A sin B+sin2B+1﹣sin2C＝1+sin A sin B，即sin2A+sin A sin B+sin2B﹣sin2C＝0，所以由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，可得cos C＝＝＝﹣，即＝﹣，将d＝5﹣x代入到上式中，解得：x＝3，d＝2，∴a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝．故选：B．10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．解：在△ABC中，由AB＝AC＝2，BC＝2，得cos A＝＝，∴sin A＝，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝4，又三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝5，则球心到△ABC外接圆圆心的距离为．则当P到平面ABC距离最大时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，此时P到平面ABC的最大距离为R+3＝8，三棱锥P﹣ABC体积的最大值为V＝．故选：A．11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（）A．1B．或1C．或1D．1或﹣1解：∵sinα﹣cosα＝，sin2α+cos2α＝1，∴8sin2α﹣4sinα﹣3＝0，8cos2α+4cosα﹣3＝0，又cosβ﹣sinβ＝，sin2β+cos2β＝1，∴8cos2β﹣4cosβ﹣3＝0，8sin2β+4sinα﹣3＝0，①若sinα＝cosβ，则α+β＝或，此时sin（α+β）＝1，②若sinα≠cosβ，则sinα，cosβ是方程8x2﹣4x﹣3＝0的根，故sinαcosβ＝﹣，同时cosα，sinβ是方程8x2+4x﹣3＝0的根，故cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）的值是1或﹣，故选：C．二、填空题13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），则，，令，则≤t≤2，则＝t+，在t＝1时，取得最小值为2，在t＝或t＝2时，取得最大值为．∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为．解：设点P为（m，n），则﹣n2＝1，即（m﹣n）（m+n）＝2，∴|m+n|＝，双曲线C的两条渐近线方程为x±y＝0，所以d1＝＝，d2＝，所以3d1+d2＝3×+＝×（3|m﹣n|+）≥×2＝2，当且仅当3|m﹣n|＝，即|m﹣n|＝时，等号成立，所以3d1+d2的最小值为2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB ＝5，cos∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，DD1⊂平面ADD1，AD⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1（II）解：由（I）知，DA，DB，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（3，0，0），D1（0，0，4），B（0，4，0）．由可得C（﹣3，4，0），所以E（﹣3，4，2）．则，，，设是平面BDE的一个法向量，则，令x＝2，可得设直线AD1和平面BDE所成的角为θ，则．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3， (24)24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；（Ⅱ）求输出的y值的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y 的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．解：（I）当输入x＝12时，因为12能被3整除，所以输出y＝1；当输入x＝20时，因为20不能被3整除，能被4整除，所以输出y＝2．（II）当x为3，6，9，12，15，18，21，24这8个数时，输出y＝1，所以；当x为4，8，16，20这4个数时，输出y＝2，所以；当x为其余12个数时，输出y＝3，所以．故y的分布列为：y123P（III）程序输出y的值为1，2，3的频率分别为，，，可近似地认为都是，与（II）中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝e x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）若a＝0，则f（x）＝ln（x+1），g（x）＝e x．∴，g'（x）＝e x，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，令，则，曲线y＝g（x）在点处的切线方程为，由题意知，整理可得，x0＝0显然不满足，因此；解：（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a，若a＞0，h（0）＝e﹣a﹣a＜e0﹣0＝1，不符合条件；若a＝0，h（x）＝e x﹣ln（x+1），，当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）＝1，符合条件；若a＜0，则h（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a＞e x﹣ln（x+1）≥1，符合条件．∴a的取值范围是（﹣∞，0]．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(理)试题(解析版)
（Ⅱ）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）取 中点为 ，根据几何关系，求证四边形 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式解得集合 ，根据集合的交运算即可求得结果.
【详解】
，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属基础题.
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意求得参数 ，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得 ，故 ，
故 ， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
如下图所示：
不妨设 ，则 ，
所以 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 所以
可取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
故可得直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
19．已知椭圆 ： ，不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
河南省天一大联考19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省天一大联考19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,−2}，集合B={−4,0}，则A∪B=()A. {0}B. {−2,0，−4}C. {0,−4}D. {−2,−4}2.已知z1+i=2+i，则复数|z|=()A. √10B. 2C. 1−3iD. 1+3i3.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，若a⃗⊥b⃗ ，则|2a⃗+b⃗ |=()A. 3√2B. 4C. 5D. 4√24.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门．某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14．其中正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则a5=()A. 310B. 23C. 18D. 196.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是()A. f(x)=2x−2−xB. f(x)=2x+2−xC. f(x)=log2|x|D. f(x)=x−48.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长AB=3，AD=4，AA1=5，则该长方体的外接球的表面积为()A. 25πB. 30πC. 45πD. 50π9.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为√3的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QP=QF2，则双曲线C的离心率为()A. √7B. √6C. √13+12D. √13−1210.数列{a n}中，a n+1+(−1)n a n=2n−1，则数列{a n}前12项和等于()A. 76B. 78C. 80D. 8211.已知函数f(x)=sin(ωx+2φ)−2sinφcos(ωx+φ)(ω>0.φ∈R)的图象的相邻两条对称轴相距π2个单位，则ω=()A. 1B. 12C. 13D. 212.如图，过抛物线y2=8x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=()A. 8B. 9C. 10D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(ax−1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是_______．14.已知实数x，y满足{2x−y≤5,x+y≥0,3x−4y≥0,则z=x−2y的最大值为______15.已知正三角形ABC的边长为2cm，PA丄平面ABC，A为垂足，且PA=2cm，则点P到BC的距离为________cm．16.已知函数f(x)={x 3,x≤mx2,x>m(m∈R)(1)若m=−1，则函数f(x)的零点是______；(2)若存在实数k，使函数g(x)=f(x)−k有两个不同的零点，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若a，b是方程x2−2√3x+2=0的两根，且2cos(A+B)=1．(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积．18.随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具．现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示．(Ⅰ)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5,7.5)(时)内的频率；(Ⅱ)求此人这三年出来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；(Ⅲ)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时问之和在[4.5,6.5)(时)内的周数为X，求X的分布列以及数学期望．19.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=CD=4，AD1=5，M是B1D1的中点．(1)求证：BM//平面D1AC；(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．20.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为12，|AB|=√5．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x=my−1与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=1−ln x+a 2x 2−ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=0且x∈(0,1)，求证：f(x)e x +x2−1x<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=2+3cosθ,y=3sinθ(θ为参数)。
河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-优质版
天一大联考高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。
下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。
图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN的最小值是A. 55C. 1D.2 7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎣⎦ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,cos sin .AB AD CD αβ===+（1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分） 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(解析word版)
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】 依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-.故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ） A ．7 B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，22303q m ==+=.故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误； 使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（ ） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=【答案】B【解析】由8114S a =+可得出234567814a a a a a a a ++++++=，再利用等差数列的基本性质可得出结果. 【详解】依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性得出a 、b 、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c 与2的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<；对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数， 当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1 lg1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减；对于C选项，作出函数()224,04,0x x xf xx x x⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D选项，函数()(2ln11f x x=-的定义域为(][),11,-∞-+∞，()()((()22ln11ln11f x x x f x-=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x=-()2,+∞上单调递增，外层函数lny u=也为增函数，所以，函数()(2ln11f x x=-()2,+∞上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D-的表面积为208，118AB BC AA++=，则该长方体的外接球的表面积为（）A．116πB．106πC．56πD．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AAAB BC BC AA AB AA++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=， 所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】设直线2PF 的斜率为k ，根据12P F PF '⊥以及1P F '与1PF 关于x 轴对称，可得出11PF k k =，由此可得出2241b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率. 【详解】不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-， 因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=， 由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C【解析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【解析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP . 【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x+=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 【答案】4【解析】根据长方体的体积得出14AA =，然后以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()2,,E y z ，根据已知条件得出24y z =+，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出1D E 的最小值.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m ee m<成立，下面解不等式lnmme<，即ln1mm e<，构造函数()ln xF xx=，0x>，()1ln xF xx-'=，令()0F x'=，得x e=.当0x e<<时，()0F x'>，当x e=时，()0F x'<.所以，函数()y F x=在x e=处取得最大值，即()()max1F x F ee==，所以，当0m>且m e≠时，不等式ln1mm e<恒成立，此时，0m e<<.当m e>时，1me>，若函数()y h x=的图象与直线mye=有1个交点，则有lnmme≤，即ln1mm e≥，由上可知，m e=（舍去）.综上所述，0m e<≤.故答案为：(]0,e.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，()sin2A B A+=，5b=，3AC MC=，2ABM CBM∠=∠.（1）求ABC∠的大小；（2）求ABC∆的面积.【答案】（1）34π；（2）52.【解析】（1）设CBMθ∠=，由3AC MC=可得出12BMCBMAS CMS AM∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 【详解】（1）因为3AC MC =，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==； （2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即))222522a a =++⋅⋅，解得a =故1135sin sin 2242ABC S ac ABC a π∆=∠=⋅⋅=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）； （3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF ，点P是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）33819【解析】（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。
故答案为D。
2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。
3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。
故答案为A。
5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。
6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。
8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(含答案解析)
.
当 时， ；
当 时，由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，故 ，
因为 也适合上式，所以 .
依题意， ，
故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用 求 ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
11．已知函数 ， ， .若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用三角恒等变换思想化简函数 的解析式为 ，由 可知函数 的一条对称轴方程为 ，可得出 的表达式，再结合条件 可求出 的值.
（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 （时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；
（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在 （时）内的周数为 ，求 的分布列以及数学期望.
【答案】（1） ；（2） ；（3）分布列见解析；数学期望 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题.
10．已知数列 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用 的前 项和求出数列 的通项公式，可计算出 ，然后利用裂项法可求出 的值.
二、填空题
13． 的展开式中，含 项的系数为______.
【答案】
【解析】求出二项展开式的通项，利用 的指数为 ，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.
【详解】
的展开式通项为 ，
令 ，得 ，因此， 的展开式中，含 项的系数为 .
故答案为： .
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =U （ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-解：依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-U U . 故选：D.2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D解：依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A.3．已知向量()3,0m =v ，()3,0n =-v ，()()q m q n -⊥-v v v v ，则q v为（ ） A ．7 B ．5C ．3D ．1解：由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，()()0q m q m ∴-⋅+=r u r r u r ，即22q m =r u r ，因此，3q m ===r u r .故选：C.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误； 使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 点评：本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（ ） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=解：依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 点评：本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．a b c >>解：幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<； 对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 点评：本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =解：对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数， 当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增.故选：B. 点评：本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π解：依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=， 所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 点评：本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．解：不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-， 因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=， 由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==. 故选：A. 点评：本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ）A ．58B ．34C ．54D ．52解：()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 点评：本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 11．已知函数()()22sin cos cos 2cos1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 解：依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 点评：本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =u u u v u u u v，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20解：依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x +=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 点评：本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 解：5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 点评：本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.解：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=.故答案为：173. 点评：本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，也可以两两联立求交点，代入即可15．已知长方体1111ABCD A B C D-的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 解：因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.点评：本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x mf x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 解：令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x<≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e=与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线m y e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m e e m <成立，下面解不等式ln m m e <，即ln 1m m e<， 构造函数()ln x F x x =，0x >，()1ln xF x x-'=，令()0F x '=，得x e =.当0x e <<时，()0F x '>，当x e =时，()0F x '<.所以，函数()y F x =在x e =处取得最大值，即()()max 1F x F e e==， 所以，当0m >且m e ≠时，不等式ln 1m m e<恒成立，此时，0m e <<. 当m e >时，1m e >，若函数()y h x =的图象与直线m y e =有1个交点，则有ln mm e≤，即ln 1m m e≥，由上可知，m e =（舍去）. 综上所述，0m e <≤. 故答案为：(]0,e . 点评：本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m 与e 的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()sin A B A +=，5b =，3AC MC =u u u v u u u u v，2ABM CBM ∠=∠.（1）求ABC ∠的大小； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）34π；（2）52. （1）设CBM θ∠=，由3AC MC =u u u r u u u u r可得出12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 解：（1）因为3AC MC =u u u r u u u u r，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==； （2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠， 即()()22225222a a a a =++⋅⋅，解得5a =. 故1135sin 2sin 2242ABC S ac ABC a a π∆=∠=⋅⋅⋅=. 点评：本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. （1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 解：（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）； （3）依题意，34,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029110102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 点评：本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF P ，点P 是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP P 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）338（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =，由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP 为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。