河南省名校联盟2021届高三上学期适应性考试(9月)数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年河南省百校联盟高三(上)9月质检数学(理科)试题word版含解析
2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．87．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．728．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+29．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则向量，的夹角为．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= ．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}【分析】化简集合N，求出∁R N，再计算M∩∁R N．【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，∴∁R N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩∁R N={0，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵a+=a+是纯虚数，∴a=2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据d=4，分别求出a2=6，a3=10，则a1，a2，a3不成等比数列，再根据若a1，a2，a3成等比数列，求得d=0，再根据充分必要条件的得以判断即可．【解答】解：a1=2，公差为d，则“d=4”，则a2=2+4=6，a3=2+8=10，则a1，a2，a3不成等比数列，若a1，a2，a3成等比数列，∴（2+d）2=2（2+2d），解得d=0，故“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，等差数列的定义，等比数列的定义，属于中档题．4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴=，∵y12=4x1，∴解得x1=或x1=4，∵|AF|＞2，∴x1=4，∴A点到原点的距离为=4，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】模拟程序框图的运行过程，当S≥60时终止循环，输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入a=16，A=1，S=0，n=1，S=0+16+1=17，S＜60，n=2，A=2，a=8，S=17+8+2=27，S＜60，n=3，A=4，a=4，S=27+4+4=35，S＜60，n=4，A=8，a=2，S=35+8+2=45，S＜60，n=5，A=16，a=1，S=45+16+1=62，S≥60，终止循环，输出n=5．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．6．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．8【分析】由题意得到tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），根据周期性求得ω．【解答】解：f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）图象重合，所以tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），所以ωx+=ωx++kπ，解得ω=﹣6k，k∈Z，又2＜ω＜10，所以ω=6；故选：B【点评】本题考查了正切函数的图象；关键是由题意得到函数为同一个函数，利用周期性得到所求．7．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．72【分析】根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，②、丁和戊相邻，同理可得情况数目，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，分析可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有A22=2种情况，②、同理，丁和戊相邻，也有2种情况，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，则共有2×A33=12种情况，则不同的站法种数为2×2×12=48种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+2【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）【分析】由f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，利用指数函数和对数函数的单调性能比较三个数f（a），f（b），f （c）的大小．【解答】解：∵f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，0＜a=（）＜=1，b=（）＞=1，c=log2＜log21=0，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．【分析】由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．求出DP，即可得出结论．【解答】解：由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．∴DP=，∴PE==，故选：D．【点评】本题考查面面平行的性质定理，考查学生的计算能力，确定P的位置是关键．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．【分析】题意知a n＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a4+a3﹣2a2﹣a1同理化简2a5+a4，再把上式代入用q来表示且化简，设=x构造函数y==x﹣x3，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a5+a4化简后式子求出最小值．【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，∴由题意知等比数列{a n}中a n＞0，则公比q＞0，，∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，则a1（2q+1）（q2﹣1）=8，则a1（2q+1）=，∴2a5+a4==q3a1（2q+1）==，设=x，则y==x﹣x3，由y′=1﹣3x2=0，得x=﹣或x=．x∈（﹣∞，﹣）时，y′＜0；x∈（﹣，）时，y′＞0；x∈（，+∞）时，y′＜0．∴y=x﹣x3的减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），增区间为（﹣，）．∴当x=时，y max==，∴2a5+a4的最小值为=12．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1；故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣；故﹣1＜﹣k＜﹣，故＜k＜1；故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）（2016秋•城区校级月考）．【分析】可知，对两边平方进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．【解答】解：根据条件：；∴===28；∴=；∴．故答案为：．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数值求角，以及向量夹角的范围．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= 10 ．【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值，利用定积分求出结论．【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：T r+1=•x10﹣r•x﹣r=•x10﹣2r；令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：﹣a=30，解得a=2．∴（3x2+1）dx==10．故答案为10．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，考查定积分知识的运用，是中档题．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．【分析】由线性约束条件画出可行域，转化目标函数为分段函数，根据角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，如图所示：z=3|x|+y，，得A（﹣1，0），此时z=3，可得B（0，2），此时z=2．由可得C（，），此时z=x﹣4y+1=0，此时z=z=3|x|+y的最小值为．故答案为：．【点评】在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，由|BF1|=|AF1|=2c，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，可得+=0，化为2c2﹣3ac﹣a2=0，得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B的正切函数值，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．【解答】解：（1）由cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0，得cosAsinB﹣（c﹣sinA）cosB=0，即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，，因为，所以，则tanB=，B=．（2）由，得ac=2，…（6分）由及余弦定理得，…（8分）所以a+c=3，所以…（10分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的定义通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n=a n+n﹣3，∴a1=S1=+1﹣3，解得a1=4．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n+n﹣3﹣，化为a n=3a n﹣1+2，变形为：a n+1=3（a n﹣1+1），因此取λ=1，则数列{a n+1}为等比数列，首项为5，公比为3．（2）由（1）可得：a n+1=5×3n﹣1，可得a n=5×3n﹣1﹣1，∴na n=5n×3n﹣1﹣n．数列{na n}的前n项和T n=5（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1）﹣．设A n=1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1，∴3A n=3+2×32+…+（n﹣1）×3n﹣1+n×3n，﹣2A n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n=﹣n×3n，∴A n=．∴T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【分析】（1）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面EBD⊥平面PAC．（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，则∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，…（1分）又因为AC⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，…（3分）而BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PAC…（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD，因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，所以，所以，…（7分）以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则…（8分）所以=（﹣，﹣2，0），=（﹣2，﹣，2），=（﹣，﹣2，4），=（3，0，0），设平面ABE的一个法向量为=（x1，y1，z1），由=0，，得，令x1=2，得=（2，﹣1，），…（9分）设平面BDP的一个法向量为=（x2，y2，z2），由•=0，•=0，得，令，得=（0，，1），所以cos＜＞==，…（11分）因为二面角A﹣BE﹣P的平面角为锐角，所以二面角A﹣BE﹣P的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式能求出A恰好获得4元的概率．（2）X的可能取值为0，4，6，12，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．分别求出相应的概率，由此能求出A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．【解答】解：（1）A恰好获得4元的概率为…（2分）（2）X的可能取值为0，4，6，12，，，…（5分）所以X的分布列为：X 0 4 6 12P…（6分）（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．因为，…（8分），…（9分）所以，所以，又，…（11分）由于EX＞EY+EZ，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．【分析】（1）由在椭圆C上，可得；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，可得：=2，联立解出即可得出．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，，直线AB的方程为2x+ty﹣2=0（t≠0），与椭圆方程联立：（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵在椭圆C上，∴，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，所以，直线AB的方程为，即2x+ty﹣2=0（t≠0），由得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，又，∴，由，得，∴，∴，当t=0时，直线，∴当t=0时，．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．【分析】（1）利用导数求出原函数的单调性，即可求出f（x）的极值；（2）证明f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立，即证，实际是比较左边函数的最小值与右边函数的最大值，利用导数求出左边函数的最小值与右边函数的最大值；【解答】解：（1）当a=﹣2时，，∴当x∈（0，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；∴f（x）在x=2处取得极大值f（2）=ln2﹣3，f（x）无极小值；（2）当a=1时，，下面证，即证，设g（x）=xlnx+1，则g'（x）=1+lnx，在上，g'（x）＜0，g（x）是减函数；在上，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以，设，则，在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）是减函数，所以，所以h（x）＜g（x），即，所以，即，即在（0，+∞）上恒成立．【点评】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用、函数的最值以及构造新函数等综合知识点，属中等题．。
2021届河南省八市重点高中高三第一次测评(9月) 数学(理)试题Word版含解析
2021届河南省八市重点高中高三第一次测评（9月）数学（理）试题一、选择题1．已知全集U R =，集合{}{}22,0,2,|230 U A C B x x x =-=--≥，则A B ⋂= ( ) A. {}2- B. {}0,2 C. ()1,2- D. (]2,1-- 【答案】B【解析】∵2230x x --≥，∴x 1x 3≤-≥，或，故()B 1,3=-，又{}2,0,2A =-， ∴{}0,2A B ⋂= 故选：B2．已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=-，则z = ( ) A. 12i - B. 12i + C. 2i - D. 2i + 【答案】A【解析】设z a bi a b R =+∈，、，则a bi z =-，由232z z i +=-，得： ()2a bi a bi 32i ++-=-，即3a bi 32i +=- 易得： 1{ 2a b ==-，∴12z i =-故选：A3．已知等差数列{}n a 中， 22383829a a a a ++=,且0n a <，则数列{}n a 的前10项和为( )A. 9-B. 11-C. 13-D. 15- 【答案】D【解析】∵22383829a a a a ++=，∴(3a +8a )2=9,又0n a <∴3a +8a =−3,故S 10=()11010a a 2+=5(1a +10a )=5(3a +8a )=−15 故选D4．从[]0,2内随机取两个数，则这两个数的和不大于1的概率为( ) A.116 B. 18 C. 14 D. 12【答案】B【解析】设取出的两个数为x 、y ；则有0≤x ≤2，0≤y ≤2，其表示的区域为纵横坐标都在[]0,2之间的正方形区域，易得其面积为4，而x +y ≤1表示的区域为直线x +y =1上及下方，且在0≤x 1≤，0≤y 1≤表示区域内部的部分，如图，易得其面积为12×1×1=12； 则两数之和小于1的概率是： 124=18；故选B.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B. 4C. 6D. 12 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱， 其体积为1V h 23262S ==⨯⨯⨯= 故选：C6．已知函数()32,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是( )A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()[),10,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()22,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，且()2f a ≥∴2a 1{22a -≤-≥或1{ 222a a >-+≥，即a 1≤-，或a 0≥故选：D7．二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数是( )A. 5B. 20-C. 20D. 5-【答案】A【解析】二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()5r1512y 2rr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭依据题意易得： 53{2r r -==，即r 2=所以32x y 的系数是3251452C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故选：A8．执行如图的程序框图，输出的S 值为( )A. 3-033【答案】B【解析】由程序框图可知： S 0n 1==，，循环第一次可得： 3S n 2==，， 循环第一次可得： 33S 3n 322=+==，， 循环第一次可得： S 3n 4==，，循环第一次可得： 3S n 52==，， 循环第一次可得： S 0n 6==，， 此时不适合，故输出S 0= 故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωφωφ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()f x 的取值范围是( )A. 3322⎡-⎢⎣⎦B. 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】由图易知： 3753T π46124T πππ=-==，，即2ω=根据最高点，得： 522k πk Z 122ππφ⨯+=+∈，， 2k πk Z 3πφ=-+∈，，又22ππφ-<< ∴3πφ=-;再根据与y 轴的交点，可得： 3sin 32A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， A 1=， ∴()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由7521212636x x πππππ≤≤-≤-≤，，故()f x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：D点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1) max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()2:20E y px p =>的准线分别交于,A B两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0FA FB ⋅=，则双曲线C 的离心率为( )2【答案】D【解析】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程是y =ba±x 又抛物线()2:20E y px p =>的准线方程是x =−p 2， p 02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A ,B 两点的纵坐标分别是y =pb 2a ±， pb 2FA p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， pb 2FB p a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又0FA FB ⋅=，∴222204p b p a-=，即224b a =， 2222245c a a c a -==，， e =故选：D11．三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 【答案】A【解析】不妨设a BC =底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD 与面ABD 垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为a ，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径22231325113312R π⎫⎫=⨯+⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=254π3R π=； 故选A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 12．已知方程213ln 022x mx -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A. 20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (20,e ⎤⎦D. ()20,e 【答案】D【解析】由213ln 022x mx -+=，得mx 2=2ln x +3， ∵x ≠0，∴方程等价为232ln m 22x x +=， 设f （x ）=232ln 2x x+，则函数f （x ）是偶函数， 当x ＞0时，f （x ）=232ln 2x x+， 则f ′（x ）=()42x 1lnx x -+，由f ′（x ）＞0得﹣2x （1+lnx ）＞0，得1+lnx ＜0，即lnx ＜﹣1，得0＜x ＜1e，此时函数单调递增， 由f ′（x ）＜0得﹣2x （1+lnx ）＜0，得1+lnx ＞0，即lnx ＞﹣1，得x ＞1e，此时函数单调递减，即当x ＞0时，x=1e 时，函数f （x ）取得极大值f （1e ）=213ln21e e +⎛⎫⎪⎝⎭=22e， 作出函数f （x ）的图象如图：要使232ln m 22x x +=，有4个不同的解，即y=m 2与f （x ）=232ln 2x x+有四个不同的交点，则满足0＜m 2＜22e ，故答案为： ()20,e点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．若平面向量a 与b 的夹角为090， ()2,0,1a b ==,则2a b +=__________． 【答案】2 【解析】()()()222222a b a b a b+=+=+=4422+=.故答案为： 2214．已知实数,x y 满足不等式组10{0 2x y x y x y m+-≥-≤+≤，且2z y x =-的最小值为2-，则实数m =__________．【答案】6【解析】做出可行域：当直线2z y x =+经过B 点时， 2z y x =-的最小值为2-.此时B 33m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，即2233m m -=-，即6m = 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，如图结构是戴九履一，左三右七，二匹为肩，六八为足,以五居中，洛书中蕴含的规律奥妙无穷，比如：222222492816++=++，据此你能得到类似等式是__________．【答案】222222438276++=++ 【解析】根据题意得：，即有222222492816.++=++ 又可得到222222438276++=++16．已知数列{}n a 满足()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅，且113a =，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 【答案】12n + 【解析】∵()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅ 两边同除以1n n a a +⋅，得：()()1112121111n n n nn na a a a a a +++---=-+， 整理，得：1111n na a +-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列. ()13112n n n a =+-⨯=+,即12n a n =+.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos cos b aB A-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（Ⅰ）4A π=（Ⅱ） 1.S ≤【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，利用两角和正弦公式可得结果；（2）利用余弦定理以及均值不等式求ABC ∆的面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）由cos cos b a B A -=，及正弦定理可得sin sin cos cos B C AB A-+=,()sin cos cos sin cos cos sin B A C A A B C A A B -==+cos sin C A C =，又sin 0C ≠，所以cos 2A =, 故4A π=.（Ⅱ）由余弦定理及（Ⅰ）得，2222242cos4a b c bc b c π==+-=+，由基本不等式得：(42bc ≥,当且仅当b c =时等号成立，所以()22222bc ≤=+-所以()112sin 2222 1.222S bc A =≤⨯+⨯=+ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1D D ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，01160,3,2,,BAD DD CF FC E G ∠===分别是AB 和DF 的中点，（Ⅰ）求证: CG ⊥平面DEF ； （Ⅱ）求二面角1A DE F --的余弦值；【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）55【解析】试题分析：(1)在△ADE 中，利用余弦定理易得： DE AB ⊥，即DE DC ⊥，又平面11CDD C ⊥底面ABCD ，所以DE ⊥平面11CDD C ，故DE CG CG DF ⊥⊥，易得，得CG ⊥平面DEF ；（2）以点D 为坐标原点，分别以1,,DE DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,1CG =-是平面DEF 的一个法向量， ()0,3,1n =是平面1A DE 的一个法向量， 5cos ,5CG n CG n CG n⋅==-. 试题解析：（Ⅰ）证明：由012,1,602DA AE AB BAD ===∠=，结合余弦定理可得2223,DE DA AE DE ==+，所以,.DE AB DE DC ⊥⊥因为1D D⊥底面ABCD，所以平面11CDD C⊥底面.ABCD又平面11CDD C⋂底面ABCD CD=，所以DE⊥平面11CDD C,因为CG⊂平面11CDD C，所以.DE CG⊥ --------①由112,3CF FC CC==，得2.CF CD==因为点G是DF的中点，所以.CG DF⊥ --------②由①②，得CG⊥平面.DEF（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,DE DC DD两两垂直，以点D为坐标原点，分别以1,,DE DC DD所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，())()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,2,2,0,1,1,D E C F G)()()13,1,3,3,0,0,3,1,3.A DE DA-==-设(),,n x y z=是平面1A DE的一个法向量，则30330xx y z=∴-+=,取0,3x y==，得()0,3,1n=,显然，()0,1,1CG=-是平面DEF的一个法向量，5cos,.CG nCG nCG n⋅==-由图可以看出二面角1A DE F--5点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股获利不赔不亏损购买基金获利不赔不亏损市 40% 赚20%20% 赚10%概率p121838概率pm13n（Ⅰ）甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于45，求m 的取值范围； （Ⅱ）若12m =，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大.【答案】（Ⅰ）32.53m <≤（Ⅱ）应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大 【解析】试题分析：（ I ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中A ，B 相互独立．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率． （ II ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），可得ξ的分布列为．假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），可得η的分布列，计算即可比较出大小关系． 试题解析：（Ⅰ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中,A B 相互独立， 因为()()1,2P A P B m ==，则()()()()P C P AB P AB P AB =++，即 ()()()11111112222P C m m m m ⎛⎫=-+-+=+ ⎪⎝⎭,由()14125m +>解得35m >； 又因为113m n ++=且0n ≥，所以23m ≤，故32.53m <≤， （Ⅱ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），则ξ的分布列为：则1135402.2884E ξ=⨯+⨯-⨯= 假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），则η的分布列为：则1115201.2366E η=⨯+⨯-⨯= 因为5546>，即E E ξη>，所以应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大. 20．已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0,A M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ； （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过()0,2F 的直线L 交曲线于不同的两点,G H ，（点G 在点F , H 之间），且满足35FG FH =，求直线L 的方程.【答案】（Ⅰ）22 1.2x y +=（Ⅱ） 2.y =+ 【解析】试题分析：(1) NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM=，.NC NM NC NA NC NM AC +=+=+=>由椭圆定义得轨迹方程；（2）设直线GH 的方程为：2y kx =+，联立方程得：2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，2121222343,,11222k k x x x x k k >+=-⋅=++，由35FG FH =,得1235x x =，巧借韦达定理建立k 的方程，解之即可.试题解析：（Ⅰ）设点N 的坐标为(),x y ，NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM =,又点N 在CM 上，圆()22:18C x y ++=，半径是r =.NC NM NC NA NC NM AC ∴+=+=+=∴点N 的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆，设其方程为()2222:10x y a b a b +=>>，则22221, 1.a a c b a c ====-=∴曲线E 方程： 22 1.2x y +=（Ⅱ）设()()1122,,,,G x y H x y当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为： 2y kx =+,222{ 12y kx x y =+∴+=,整理得： 2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,由0∆>，解得： 2121222343,,.11222k k x x x x k k >+=-⋅=++ ------①又()()1122,,2,,,2FG x y FH x y =-=-,由35FG FH =,得1235x x =，结合①得 22235651212k k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，即2322k =>,解得k =∴直线l的方程为： 2y =+,当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为10,3x FG FH ==与35FG FH =矛盾.∴直线l 的方程为： 2.y =+21．已知函数()2ln 22,.22a a f x x x x a R ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为0，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）210x y +-=（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】试题分析：(1)求出导函数，得到()()11,102f f '=-=，利用点斜式得到切线方程；（2）分类讨论函数()f x 的单调性，明确最小值，从而得到a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时， ()()21515ln 2,,222f x x x x f x x x =+-+=+-'()()11,10.2f f '=-=所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=--， 即210x y +-=.（Ⅱ）()()()()224222112222ax a x ax x a f x ax x x x -++-'-⎛⎫=+-+==⎪⎝⎭， 当0a =时， ()()22102x f x x-'-=<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意；当0a <时，任意[)1,x ∈+∞都有()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =， 故此时不符合题意；当02a <<时，由()0f x '=得12x =或21x a =>， 21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意； 当2a ≥时， ()()()22102ax x f x x'--=≥此时函数在[)1,+∞上为增函数，所以()()10f x f ≥=，即函数的最小值为0，符合题意， 综上a 的取值范围是[)2,+∞. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2tx y t=-=-，（ t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin .ρθ= （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()0,1A ，若点P 是直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，求四边形AMPN 面积的最小值.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=（Ⅱ）2【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，可得直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用切线的几何性质，将四边形AMPN 面积为直角三角形的面积问题. 试题解析：（Ⅰ）由y t =-得t y -=，代入22tx =-化简得240x y --=， 因为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=， 又因为{x cos y sin ρθρθ==，所以2220x y y +-=所以直线l 的普通方程为240x y --=，曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=； （Ⅱ）将2220x y y +-=化为()2211x y +-=，得点A 恰为该圆的圆心.设四边形AMPN 的面积为S，则S PM r r =⋅==PA 最小时， S 最小，而PA 的最小值为点A 到直线l的距离d ==所以min 2.S ===23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2112x x -+-<的解集为.M （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若整数m M ∈，正数,,a b c 满足42a b c m ++=，证明：1118.a b c++≥ 【答案】（Ⅰ）4|0 .3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法易得()3211f {1 21322x x x x x x x -≥=≤<-+<，，，，然后分段求解即可；（2）由（1）知， 42a b c ++=，巧用“1”得()111111142a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式即可证明不等式.试题解析：（Ⅰ）①当1x ≥时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得43x <，所以413x ≤<； ②当112x ≤<时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得2x <，所以112x ≤<；③当12x <时，原不等式等价于1212x x -+-<，解得0x >，所以10.2x <<综上， 403x <<，即4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）因为4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，整数m M ∈,所以42a b c ++= 所以()11111111444422a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14416622b a c a c b a b a c b c ⎛⎛⎫=++++++≥+ ⎪ ⎝⎭⎝ ()1624482=+++= 当且仅当2a b c == 时，等号成立，所以1118a b c ++≥点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2021届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题Word版含解析
2021届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数3(2i)i -的虚部为（ ） A.2- B.2C.1-D.1【答案】A【解析】根据21i =-化简3(2)=12i i i ---根据虚部的定义即可选出答案。
【详解】由3(2)(2)12i i i i i -=--=--，所以虚部为2-．故选A ． 【点睛】本题考查复数的运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b ，属于基础题。
2．已知集合2{|4}A x x x =<，{|25}B x x =<<，则A B =（ ）A.{|02}x x <<B.{|45}x x <<C.{|24}x x <<D.{|05}x x <<【答案】D【解析】解出A 集合，再由并集的定义写出A B 即可。
【详解】由2{|4}A x x x =<⇒{|04}A x x =<<，则{|05}A B x x ⋃=<<．故选D ． 【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。
属于基础题3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。
【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ． 【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案。
2021年高三上学期9月质检考试数学试题 含答案
2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。
2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。
嫌疑犯A、B、C对簿公堂。
嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。
由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。
河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学(理)试题(Word版含答案)
河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学〔理科〕试卷考前须知：1．本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复第一卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A ＝{x ｜〔x －1〕〔x －3〕≥0}，集合B ＝{0，1，2，3}，那么〔C R A 〕∩B 等于A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－x 上，且｜z ｜＝2，那么z 〔1＋i 〕＝ A ．2 B ．－2C ．±2D ．2i3．命题p ：x ∀∈〔0，2π〕，sinx ＜tanx ；命题q ：x ∃∈〔－∞，0〕，x π－＜e －x ，那么以下命题为真命题的是A ．p ∧qB ．p ∧〔q ⌝〕C ．〔p ⌝〕∧qD ．〔p ⌝〕∨q4．设函数()32sin 34f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋〔N ω*∈〕在[512π，56π]上单调递减，那么以下表达正确的选项是A ．f 〔x 〕的最小正周期为2πB ．f 〔x 〕关于直线x ＝12π轴对称 C ．f 〔x 〕在[2π，π]上的最小值为－54 D ．f 〔x 〕关于点〔23π，0〕对称 5．2021年中国人民银行方案发行60个贵金属纪念币品种，以满足广阔收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如下图的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，假设恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是A ．32π B ．3π C ．6π D ．12π 6．对实数p 、q 和向量a ，b ，c ，正确的选项是A ．p 〔a －b 〕＝p a －p bB ．a ·b ·c ＝a ·〔b ·c 〕C ．假设｜a ｜2b ＝｜b ｜2a ，那么a ＝bD ．假设p a ＝q a 〔p 、q ∈R 〕，那么p ＝q7．假设数列{n b }满足：()12337212n n b b b b n ＋＋＋…＋－＝，那么数列{n b }的通项公式为A ．21n b n ＝－B ．21n n b ＝－C ．121n n b ＝－D ．221n n b ＝－ 8．定义在R 上的函数f 〔x 〕，其导函数为()f x '，当x ＞0时()f x '－()f x x ＞0，假设a ＝2f 〔1〕，b ＝f 〔2〕，c ＝142f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c9．圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点N 〔3，，且与曲线〔x －1〕2＋y 2＝1相外切，那么圆C 的方程为A ．〔x －4〕2＋y 2＝4，x 2＋〔y ＋2＝12B ．〔x ＋4〕2＋y 2＝4，x 2＋〔y ＋2＝12C ．〔x ＋4〕2＋y 2＝4，x 2＋〔y －2＝36D ．〔x －4〕2＋y 2＝4，x 2＋〔y ＋2＝3610．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．某种蔬菜失去的新鲜度h 与其采摘后时间t 〔小时〕满足的函数关系式为h ＝m ·a t ．假设采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20％，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40％．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50％新鲜度〔参考数据lg 2≈0．3，结果取整数〕A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时11．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f 〔x 〕的图象恰好通过k 个整点，那么称函数f 〔x 〕为k 阶整点函数．以下函数不是一阶整点函数的是A ．y ＝2sinx ＋3B ．2cos 13y x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－C ．y ＝lg 〔x ＋2〕＋1，x ∈〔3，9〕D ．32y －12．过P 〔34，0〕的直线与抛物线y 2＝3x 〔x ＞0〕交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与抛物线的另一个交点为N ，那么两点N 、M 纵坐标的比值范围是A ．〔2，＋∞〕B ．〔3，＋∞〕C ．[2，＋∞〕D ．[3，＋∞〕第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．71x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭－的展开式中的常数项为__________． 14．据?九章算术?记载：将底面钝角为23π的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．假设堑堵的所有棱长都为3，那么其外接球的外表积为__________．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，c ，那么角C 的值为__________．16．两点F 、Q 分别是焦距为的双曲线C ：22221x y a b －＝〔a ＞0，b ＞0〕的右焦点及左支上一动点，单位圆与y 轴的交点为P ，且｜PQ ｜＋｜QF ｜＋｜PF ｜≥13，那么双曲线C 的离心率的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔本小题总分值12分〕为全面贯彻落实?中华人民共和国国家通用语言文字法?，实现“普通话初步普及，社会用字根本标准〞的城市语言文字工作目标，国家启动了三类城市语言文字标准化达标创立评估工作．评估验收专家组在对某县语言文字工作进行考查评估期间，到县属新华学校对学生进行问卷调查，被调查者之间答复以下问题相互独立、互不影响．工作人员在新华学校随机抽取了甲、乙、丙三名学生，每位学生从事先准备的5个问题中随机抽取2个问题进行问卷调查．计分规那么为：答对一个问题计20分，答错一个扣10分，最终三名学生得分相加为该校最终评估得分，总分位于[60，120〕评定为合格．其中甲、乙、丙分别能答对5个问题中的3个、4个、5个．〔1〕求甲、乙两名学生共计得分20分的概率；〔2〕设随机变量X 表示新华学校最终评估得分，求X 的分布列及数学期望，并求出该校为合格的概率．18．〔本小题总分值12分〕数列{n a }、{n b }满足：1n a ＋＝2n a ＋1且1a ＝1，n b ＝()2log 1n a ＋． 〔1〕求数列{n a }和{n b }的通项公式；〔2〕数列{n c }满足：1n c －1n b ＝n na b ，其中n N *∈，假设数列{n c }的前n 项和为n H ，求n H ．19．〔本小题总分值12分〕在四面体PABC 中，BA 、BC 、BP 两两垂直，等腰三角形BAP 的底边长为G为PA 中点，BC＝EF 是△PAC 的中位线．〔1〕求证：平面PAB ⊥平面GBC ；〔2〕线段AC 上一点N 满足NP ·BE ＝0，求直线BE 与平面NPB 所成角的正弦值．20．〔本小题总分值12分〕F 1，F 2分别为椭圆C ：22221x y a b＋＝〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点，椭圆上任意一点P 到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过F 1且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕过F 1的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点F 2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值?假设存在，试求出最大值；假设不存在，说明理由．21．〔本小题总分值12分〕假设函数f 〔x 〕＝ae x －3x 2，〔a ∈R 〕．〔1〕讨论f 〔x 〕的极值点的个数；〔2〕假设x ∈[0，2]时，f 〔x 〕≥0恒成立，那么a 的取值范围． 〔二〕选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1极坐标方程为sin 4ρθ＝．〔1〕M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足｜OM ｜·｜OP ｜＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；〔2〕F 〔－1，0〕，过点F 且倾斜角为6π的直线与C 2交于A 、B 两点，求｜FA ｜＋｜FB ｜．23．〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＝2．证明：〔1〕〔a ＋b 〕〔a 3＋b 3〕≥4；〔2〕a 2b ＋b 2a ≤2．。
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试题(附解析)
河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试卷满分150分，时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}21,0,1,2,2M N x x =-=<，则MN =（ ）A ．{}101-,,B ．{}1-C ．{0}1,D ．{1,0,1,2}-2．设,a b 是空间中两条不同的直线，α是平面，已知a α⊥，则b a ⊥是//b α的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．在等比数列{}n a 中，21a =-，54a =，则8a =（ ）A ．8B ．16C ．-8D ．-164．若()3sin 0,222x x ππ⎛⎫+=∈⎪⎝⎭，则x 的值为（ ）A ．56π或76π B ．6π± C ．56π± D ．23π或43π 5．若实数x ，y 满足约束条件10,20,240,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则32z x y =-的最大值为（ ）A ．113B ．1C ．53D ．1-6．已知向量()2,a m =， ()2,4b =，若a b a b +=-，则实数m =（ ）A ． 1B ．-1C 5D ．57．已知,x y 均为正实数，且满足4x y +=，则22log log (4)x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边 51-.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓ABCD 就是黄金矩形（如下图所示）.则图中AOD ∠的余弦值等于（ ）A 5B 10C 5D 259．已知函数()sin cos f x x x x =+图象上在点(),x y 处的切线的斜率为k ，若()k g x =，则函数()g x 在原点附近的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1，A ､B 分别为圆2O ､圆1O 上的点，若异面直线1O B ，2O A 所成的角为60︒，则AB =（ ） A ． 2 B ．22C ．2或 2 D ．2或2211．已知定义域为R 函数()f x 满足()()17f x f x -=-+，且()f x 在区间[)4,+∞上单调递增，如果124x x <<，且128x x +>，则()()12f x f x +的值（ ） A ．可正可负B ．恒为正C ．可能为0D ．恒为负12. 已知实数,,a b c 满足：2 21,31,log 1a b a b c c ⋅=⋅=⋅=，则（ ） A ． a b c << B ． c b a << C ． b c a <<D ． b a c <<二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面向量()1,2a =，()3,b m =-，若a b ⊥，则m =_______. 14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若13a =，且321,2,3S S S 成等差数列，则n a =______.15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =，则()g x 的解析式()g x =_________，若对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=，则m 的最小值为________．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．c a b <<三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分。
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题
河南省名校联盟2020—2021学年高三9月质量检测 理科数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩N ＝A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．设11i z i＝－＋（i 为虚数单位），则｜z ｜＝ A ．1 B ．22 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2：a ：3，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a ＝A ．3B ．4C ．5D ．64．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中，含x 4的项的系数是A ．220B ．－220C ．100D ．－1005．已知1sin 264απ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，则cos 3cos 23πααπ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝ A ．72 B ．－72 C ．732 D ．－7326．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为 A ．35 B ．310 C ．25 D ．237．已知()212x x a f x －＝＋（a ∈R ）是奇函数，且实数k 满足f （2k －1）＜13，则k 的取值范围是A ．（－∞，－1）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（0，＋∞）8．将函数()sin 4f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋（ω＞0）的图象向左平移4π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ A ．－2 B ．0 C ．2 D ．3 9．已知圆C ：（x －3）2＋（y －1）2＝1和两点A （－t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是A ．（0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]10．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为102cm ，母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为1 g ／cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14，精确到0．1）A ．609．4 gB ．447．3 gC ．398．3 gD ．357．3 g11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三边互不相等，若a ＝1，B ＝6π，14cos 0b C b＋＋＝，则△ABC 的面积是A ．3B ．3C ．3D ．1 12．已知函数()214313x e x f x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，≤，＝－＋－，＜＜，若函数g （x ）＝f （x ）－k ｜x ＋2｜有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．（0，15）∪（1e ，3e ]B ．（0，15）∪（1e，＋∞） C ．（0，15） D ．（1e ，＋∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期9月质检数学试卷(理科)含解析
2021年高三上学期9月质检数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．20．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄三中高三（上）9月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（△￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．【考点】定积分．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：由题意==8．故答案为：8．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】易得p：k＞0，q：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．【解答】解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴；②若p假q真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（I）因为f（﹣1）=f（2），函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（I）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…又因为函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），即y=x2﹣2x+c的值域为[0，+∞），故=0，解得：c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（Ⅱ）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜220．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f（x）=4y=则当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，故当且仅当14﹣x=4时，y有最小值为8﹣a﹣4．令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年10月13日35430 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2021届河南省中原名校高三上学期第二次质量考评(9月) 数学(理)试题Word版含答案
2021届河南省中原名校高三上学期第二次质量考评（9月） 数学（理）试题 (考试时间：120分钟 试卷满分:150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是 A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2.某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3.下列函数中，既是偶函数,又在区间（0, +∞)上单调递减的函数是A. 2x y =B. ||1ln x y =C. ||2x y = D. x y cos = 4.若函数⎩⎨⎧≤=0>,ln 0,2)(x x x x f x ，则))1((e f f (其中e 为自然对数的底数）= A. e 1 B. 21 C. -2 D. eln2 5.把函数x y 2=的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为32xy =,则t 的值为 A. 21 B. log 23 C. log 32 D.3 6.“函数)2<<2(cos ln ππx x y -=的图象是7.若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于 A. 23 B. 22 C. 26 D.1 8.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)41(=f ，当0<x 时，m x x f +-=)(log )(2，则实数m =A. -1B. OC.lD.2 9.已知16log ,17log ,171716171===c b a ,则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a10.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ,若对任意实数x ，有)(x f >)('x f ，且2019)(+x f 为奇函数，则不等式0<2019)(x e x f =的解集为A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(e 1,∞-) D. ),1(+∞e11.已知函数)32sin()(π-=x x f ，若方程31)(=x f 在（0, π）的解为 )<(,2121x x x x ，则=)-sin(21x xA. 332-B. 23-C. 21-D. 31- 12.已知R b a ∈,，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=0,)1(21310<,)(23x ax x a x x x x f ，若函数b ax x f y --=)(恰有三个零点，则A. a < -l ，b<0B. a< -1,b>0C. a> -1,b<0D. a>-l ，b>0二、填空题（本大翠共4小题,每小题5分，共20分）13.若函数)3)(()(+-=x a x x f 为偶函数,则=)2(f .14.=-⎰dx x x π0)cos (sin .15已知函数)1(2lg 2+--=a x x a y 的定义域为集合A ，若A ∈4,则实数a 的取值集合是 16.己知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-∈+-∈+=),)(232,22[),2sin(),)(22,22[),2sin(z k k k x x z k k k x x y ππππππππππ的图象与直线)0>)(2(m x m y +=恰有四个公共),(),,(),,(),,(44132111y x D y x C y x B y x A ，其中4321<,<<x x x x ，则=+44tan )2(x x .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分）已知函数)44)(23c x x x x f ++-=有三个不同零点，求c 的取值范围.18.(本题满分12分）设函数R x x x f ∈=,sin )(.(1)已知]2,0[πθ∈,函数)(θ+x f 是偶函数，求θ的值; (2)求函数22)]4([)]12([ππ+++=x f x f y 的值域. 19.(本题满分12分）已知:p m <a +1 <m 2 +2； q:函数a x x f -=2log )(在区间（41,4)上有零点. (1)若m= 1，求使q p ∧⌝)(为真命题时实数a 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20.(本题满分12分〉设函数)44)(23c x x x x f ++-=，且函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称.(1)求函数)(x f 在区间[0,4]上的最小值； (2)设xx f x h )()(=，不等式02)2(≥⋅-x x k h 在∈x [-l,l]上恒成立，求实数的取值范围. 21.(本题满分12分）—片森林原来面积为计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的41，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(2)今后最多还能砍伐多少年？22.(本题满分12分）已知函数)1(ln )(+-=x a x x f ,(其中R a ∈)在点（)1(,1f )处的切线与x 轴平行.(1)求)(x f 的单调区间；(2)若存在1 >0x ，当),1(0x x ∈时，恒有)1(>2122)(2-++-x k x x x f ，求k 的取值范围.。
2021年高三上学期9月质量检测考试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期9月质量检测考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若正数满足,则的最小值是（ ）A ．B ．5C ．D ．67．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－π2C ．8－πD ．8－π48、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．52种 B ．36种 C ． 20种 D ．10种 9、在△ABC 中，内角的对边分别是，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为( ) A ． B ． C ． D ．11．二项式展开式中含有项，则可能的取值是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．512．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 若函数f (x )=为偶函数，则=14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 15.若满足约束条件：；则的取值范围为16. 是定义在R 上的函数，且，，，则 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．.18.（本小题满分１2分）如图，在长方体中，==1，，点E 是线段AB 的中点．(1)求证：;(2)求二面角的大小的余弦值．19．名同学的语文、英语成绩如下表所示：（第10题图）BA 1CD B 1C 1D 1E（1）根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望． （线性回归方程中，，，其中为样本平均值，，的值的结果保留二位小数.）20．(本小题满分12分) 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，||PF ＝53．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点A ()－1，0的直线与椭圆C 1相交于M 、N 两点，求使FM →＋FN →＝FR →成立的动点R 的轨迹方程．21. （本小题满分12分）已知函数，其中a 为常数，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在上的最大值为，求a 的值.选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号．多答按所答的首题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。
河南省2021届高三上学期名校联盟模拟信息卷数学理科试题及参考答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟·模拟信息卷数学(理科)试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3243i i +-的共轭复数是（ ） A. 6172525i + B. 6172525i -C. 6172525i -+ D. 6172525i -- 2. 已知集合13=log 1P x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，{}2120Q x x =-<，则PQ =（ ）A. ()0,3B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()3,63. 某学生准备参加某科目考试，在12次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A. 95，94B. 95，95C. 93，94.5D. 95，94.54. 已知()4cos 20215πα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A.2425B. 2425-C.1225D. 1225-5. 设曲线1()ln 32f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则a =（ ） A. 1B. -1C. 2D. -26. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB CD =，E 为线段AD 的中点，且14BF AB =，则EF =（ ）A. 12DC BC + B.12DC BC - C. 12DC BC +D. 12DC BC -7. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为R ，则3R (单位：寸3)的值约为（ ）A. 2.9B. 3.0C. 3.1D. 3.28. 若点P 是抛物线28y x =上一点，且点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则PF 的中点到y 轴距离等于（ ） A. 1B.32C. 2D. 39. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若()1,M y -是角θ终边上一点，且tan 274πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则y =（ ）A. 13-B. 3C. 13-或3D.13或-3 10. 函数()sin 2xf x π=与函数1()66xg x x=+的图象的交点个数为（ ） A. 10B. 8C. 6D. 411. 已知Q 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，M 为双曲线右支上一点，若点M 关于双曲线中心O 的对称点为N ，设直线QM 、QN 的倾斜角分别为α、β，且tan()4tan tan 3αβαβ+=+，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4y x =±D. 14y x =±12. 已知长方体''''ABCD A B C D -中，''3A B =，''1B C =，'A B 与平面''ACC A 所成角的正弦值为510，则该长方体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 16πC.163π D.323π 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________. 【答案】4314. 若实数x ，y 满足约束条件2020y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值与最小值之和为_________.【答案】215. 63x x ⎛-- ⎪⎝⎭的展开式中含x 项的系数是_________(用数字填写答案).【答案】20316. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若2a =，且cos bc A a =，则b c +的取值范围为________. 【答案】(]2,4三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，27a =，6348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）31n a n =+；（2）21373262n n n nT ++=⋅-+.18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，1AB BB ⊥，12BB =，O ，D 分别为棱1AB ，11A C 的中点.（1）求证：//OD 平面11BCC B ﹔（2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，求直线OD 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】（2）427. 19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为()2,0，离心率为22.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，问椭圆C 上是否存在点P ，使得OP OA OB =+？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，直线l 的方程为2(1)2y x =±+.20. 某省为了迎接国家数学竞赛，特地在A ，B 两所学校分别用甲､乙两种方法培训教学.为观测其成绩情况，分别在两个班级各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合评分，将每名学生所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，其中，2m q =.记综合评分为80及以上的学生为优质学生.（1）求图中m ，q 的值，并求综合评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两个班级随机抽取3名学生，求所抽取学生中的优质学生数的分布列和数学期望﹔（3）填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为优质学生与培训方法有关. 附：(参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.)【答案】（1）0.010.02q m =⎧⎨=⎩，综合评分的平均数为81(分)；（2）分布列答案见解析，数学期望：1.8；（3）列联表，不能在犯错误的概本不超过0.1的情况下认为优质学生与培训方法有关. 21. 设函数()()()1xf x k x e =--.（1）当0k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若k 为整数，且当0x >时，()1f x x <+恒成立，求k 的最大值.【答案】（1）函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减；（2）最大值为2. 22. 在极坐标系中，直线l极坐标方程为()tan 2R θρ=∈.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 22cos x y αα=⎧⎨=-⎩(α为参数). （1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标.【答案】（1）x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；（2）()0,0与816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.23. 已知函数()12f x x a x =-++. （1）设2a =，求不等式()5f x ≥的解集﹔（2）设1a =，且2()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)8,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）[]1,3-.。
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题(解析版)
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20x x x M =-≤，{}1,0,1,2N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1【答案】D【解析】由集合描述求M 的集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N =．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合交运算求集合，属于简单题. 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算求出z ，得出对应点的坐标后可得象限． 【详解】 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-，所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的综合运算，复数的几何意义，解题方法是由复数运算化复数为代数形式，然后由复数的几何意义得出结论．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得． 【详解】由题意，605120a a =+，解得5a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等． 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．15 B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】第一次运行时，8412S =+=，3i =； 第二次运行时．12315S =+=，2i =； 第三次运行时，15217S =+=，1i =； 第四次运行时，17118S =+=， 此时满足判断条件1i =． 则输出S 的值为18． 故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，从而得出结论．5．圆C ：2240x y y +-=被直线l 10y --=所截得的弦长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出圆心到直线的距离，圆的半径，利用垂径定理得弦长． 【详解】圆C 的圆心为()0,2C ，半径为2R =，C 到直线l 的距离为d ==所以所截得的弦长为2==． 故选：B ． 【点睛】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．6．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ） A ．12B ．16C ．112D ．15【答案】B【解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率． 【详解】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法．7．函数()2421x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由奇偶性排除A ，C ，再求出0x >时函数有最值可排除D ，从而得正确选项． 【详解】由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+，所以()f x 偶函数，可排除A ，C ；当0x >时，()242222111x f x x x x ==≤=++，即当且仅当1x =时，()max 1f x =，可排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势，图象的特殊点等排除一些选项，最终得出正确选项．8．将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A． B ．0C．2D【答案】A 【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，求出()()412k k ω=+∈Z ，求出解析式，再利用诱导公式即可求解. 【详解】 由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥，若1A D 与b 所成角为60°时，则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线,a b 的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小. 【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直，设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =，2·cos ,1?DC v n DC v DC v m ∴===, 故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.10．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】A【解析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.11．在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A B ．43C D 【答案】D【解析】设3AH x =，求出,,,CA CH BA BH ，由双曲线的定义表示出2a ，2c AH =，再由离心率定义可得离心率．【详解】在ABC 中，0AH BC ⋅=，所以AH 为边BC 上的高，CA CB =．又3tan 4C =，令3AH x =，则|4CH x =，5AC CB x ==，BH x =，所以AB ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中，)21a BA BH x =-=，23c AH x ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为22c c e a a====故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是设3AH x =，根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率．12．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到） A ．609.4g B ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g【答案】C【解析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量． 【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB =．因为母线与底面所成角的正切值为tan B =10cm PO =．设正方体的棱长为a，DE =1010a -=，解得5a =．所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键． 二、填空题13．设向量()2,21a m m =-+，()1,3b =-，若a b ⊥，则m =_______． 【答案】1-【解析】0a b ⋅=可计算出m 值． 【详解】因为a b ⊥，所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=，解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考查数量积的坐标表示，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______．【答案】44-【解析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示： 由26z y x =-，可得32zy x =+，作直线0:3l y x =， 将其沿着可行域的方向平移，由图可知， 当直线32zy x =+过点B 时，z 取得最小值． 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ，所以min 226844z =⨯-⨯=-． 故答案为：44-. 【点睛】本题主要考查了根据简单的线性规划求最值，理解目标函数的几何意义最关键，属于基础题15．曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______． 【答案】440x y --=【解析】利用切线的斜率求得切点坐标，然后利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >， 对函数32y x x=-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020314x x y x ='=+=，因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0，则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=． 故答案为：440x y --=． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈，则k 的取值集合是_______．【答案】{}4,5【解析】利用已知n S 求n a 的法，求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知{}n a 是递减数列，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，即可求得k 的取值集合.【详解】当1n =时，11364a a =-，解得116a =；当2n ≥时，364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减， 得13n n n a a a -=-，即114n n a a -=， 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列， 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}n a 是递减数列，即各项依次为16，4，1，14，116，164，…， 所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，得k 的取值集合是{}4,5． 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，利用递推公式求数列通项，考查了等比数列的定义，属于中档题. 三、解答题17．某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元． （1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润． 【答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）． 【解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润． 【详解】解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．【点睛】本题考查由频数计算概率，统计的数字特征求实际问题中的平均利润，属于中档题. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且222b c a S +-=． （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2 【解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案．【详解】解：（1）由2223b c a S +-=，得12cos sin 32bc A bc A =⋅，所以cos A A =，所以tan A =()0,πA ∈， 所以π3A =．（2）由正弦定理，得2sin sin sin bc a R B C A ，解得R = 由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭ 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．19．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长2的菱形，PAB △和PBC 都是正三角形，且平面PBC ⊥平面PAB ．（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ，得到AC PB ⊥，再证明AC BD ⊥，则可证明AC ⊥平面PBD ，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=，而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离，即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅. 【详解】（1）证明：取PB 的中点O ，连接OA 和OC ．因为PBC 是正三角形，所以CO PB ⊥．同理OA PB ⊥．又CO OA O =，CO ，AO ⊂平面AOC ，所以PB ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC PB ⊥，因为四边形ABCD 是边长2的菱形，所以AC BD ⊥，又PB BD B ⋂=，PB ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．（2）因为//CD AB ，AB 平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离，即CO =，所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====． 【点睛】本题考查空间垂直关系的判定及证明，考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查棱锥体积的求解，难度一般.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22t u t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ． 由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122tu t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u +=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21．已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性.（2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围.【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-， ()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+. 令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x =-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤2x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得122x ≤<，则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增， 因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+， 所以()115224h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 152ln2204->->，则()()min 24ln2h x h ==-+，()max 1ln 222h x h ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u =⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=．【答案】（1）直线l 20y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u =⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=，得220u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=，则直线l 20y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=，得220u a -=． 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ，2u ，则12u u += 而y u x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =，所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =12k k k +=．【点睛】本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及直线与抛物线的位置关系之交点问题，注意理解参数的意义，属于中档题.23．已知函数()f x x x a =++．（1）当1a =-时，解不等式()3f x ≥．（2）若对任意的x ∈R ，总存在[]1,1a ∈-，使得不等式()22f x a a k ≥-+成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞．【解析】（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．分0x ≤，01x <≤，1x >三种情况分别求解不等式，可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+．①，即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．当0x ≤时，不等式变为13x x -+-≥，解得1x ≤-；当01x <≤时，不等式变为13x x +-≥，无解；当1x >时，不等式变为13x x +-≥，解得2x ≥．綜上，不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞．（2）要使对任意的x ∈R ，不等式()22f x a a k ≥-+成立，只需()2min 2f x a a k ≥-+．①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 所以①可转化为22a a a k ≥-+．②即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立， 即总存在[]1,1a ∈-，使得()211a a k --+≥成立． 而当1a =-时，()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时，max 1a =， 所以当1a =-时，()2max 114a a ⎡⎤--+=⎣⎦， 所以4k ≤，故实数k 的取值范围是(],4-∞．【点睛】本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，属于中档题.。
(全优试卷)河南省名校联盟高三上学期适应性考试(9月)数学(文)Word版含答案
河南名校联盟2017-2018学年度高三适应性考试文科数学一.选择题：1.已知i 为虚数单位，则21i+=（ ） A.-2i B.2i C.1-I D.1+i2.已知集合{|1,A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则()R C A B 为A.(,0][1,)-∞+∞B. (0,1)C. (0,1]D.[-1,1]3.为检测某校高一学生的身高状况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女的比例为3：2，则该高校高一年级男生的人数为（ ）A.600B.1200C.720D.9004.在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则为6a =（ ）A.-6B.8±C.-8D.85.如图所示为一个8X8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑方格内的豆子总数最接近（ ） A.40 B.50 C.60 D.646.空间有不重合的平面,,αβγ和直线a,b,c,则下面四命题中正确的有1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则β∥γ;2p ：若a ⊥b,b ⊥c,则a ∥c3p ：若,a b αα⊥⊥，则a ∥b;4p :若a ⊥α，b ⊥β，且αβ⊥，则a ⊥bA. 1p ,2pB. 2p ,3pC. 1p ,3pD. 3p ,4p7.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示出来如下，若输入a=20,b=8,则输出的结果为（ ） A.a=4,i=3 B.a=4,i=4 C.a=2,i=3 D.a=2,i=48.，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ） A.16 B.163 C.83D.8 9.变量x,y 满足22221x y x y y x +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩，则z=3y-x 的取值范围为（ ）A.[1,2]B.[2,5]C.[2,6]D.[1,6]10.已知()()xf x x a e =+的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.211.过抛物线22(0)y px p =>的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，过着两点向y 轴引垂线交y 轴于D ，C ，若梯形ABCD的面积为p=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 12.若对于任意的120x x a <<<都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A.2eB.eC.1D.0.5 二.填空题：13.已知非零向量,a b 满足(),(4)a a b b a b ⊥+⊥+，则:b a =__________________14.已知圆O ：221x y +=，点12534(,),(,)131355A B -，记射线OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，将点B 绕圆心O 逆时针旋转α角度得到C 点，则点C 的坐标是_________15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知561410,14a a S +=-=-，则0n S =时，n=( )16.以双曲线22221(0,0)x y a b a a-=>>的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ）三.解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须解答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）17.锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =（1）求角A 的大小（2）若a=2,求△ABC 周长的最大值18.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°， △PDC 和△BDC 均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 的中点 （1）求证：AE ∥平面PDC （2）若△PBC的面积为2，求四棱锥P —ABCD 的体积19.某学校对甲乙两个班级进行了物理测试，成绩统计如下（每班50人）（2）成绩不低于80分的记为“优秀”。
河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理(含解析).doc
河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|2A x x x =，{|14}B x x =<<，则A B =（ ）A. (,4)-∞B. [0,4)C. (1,2]D. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：∵A {x |0x 2}=≤≤，B {x |1x 4}=＜＜，∴A B 12]⋂=（，． 故选：C ．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. (2,1)-- B. (2,1)-C. (2,1)-D. (2,1)【答案】A 【解析】 【分析】设R z x yi x y =+∈（，），代入11z z i-=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x y ，的值，则答案可求．【详解】解：设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y ，则p ⌝为（ ）A. x y ∃≥，使得x xy yB. x y ∀，x x y y <C. x y ∃<，使得x x y y <D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x xy y所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2021中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。
2021年高三9月入学诊断检测 理科数学试题
2021年高三9月入学诊断检测理科数学试题一、选择题（每题5分，共5×12=60分）1.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2．对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件3.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）4.已知，，则（）A. B. C. D.5.变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.6.右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A．B．C．D．7.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则( )A. B. C. D.8.如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A． B. C. D.9.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A. 280种B. 240种C. 180种D. 96种10.函数的大致图象是（）11.若函数的图象在点处的切线与圆相交,则点与圆的位置关系是( )A．圆内 B. 圆内或圆外 C. 圆上 D. 圆外12．函数（）的图象如右图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度第（Ⅱ）卷二、填空题（每题4分，共4×4=16分）13.计算14.展开式中不含．．项的系数的和为.15.已知，，，则与的夹角为16.设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=____ __.三、解答题：（17、18、19、20、21每题12分，22题14分，共74分）17.（12分）已知函数（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（4分）（2）设△ABC的内角的对边分别为a,b,c且=，，若向量共线，求的值. （8分）18.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.（1）求证：BD⊥平面AED；（4分）（2）求二面角F-BD-C的余弦值.（8分）19．(12分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（6分）（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）.（6分）20.（12分）设等比数列的前项和为，已知N）.（1）求数列的通项公式；（6分）（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.（6分）21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；（6分）(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．（6分）22.（14分)在直角坐标系中椭圆：的左、右焦点分别为、.其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且.（1）求的方程；（6分）（2）平面上的点满足，直线∥，且与交于、两点，若，求直线的方程.（8分）兖州市高三数学试题参考答案（理科）xx.92解析：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选C.4.（教材必修4 P148 练习3）5.（xx 山东高考理科5）解析：作出可行域，直线，将直线平移 至点处有最大值，点处有最小值， 即.答案应选A.8. 解析：设 ， 则2)(PC PO PC PB PA =⋅=⋅+， 所以12. 解析：123A πωϕ===由图像可求得，，13.（选修2-2 P112习题3.2A 组5（4）） 14. 0.解析: 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，故答案为0.15.（必修4习题2.4A 组7） （或）16. （xx 山东高考理科15） 解析：，解得17解：（1）……………………………2分∴ ， T= ………………………………………4分（2）61162601)62sin(01)62sin()(ππππππ<-<-∴<<=-∴=--=C C C C C f 又…………………………6分由余弦定理得：①…………………………8分又∵向量共线∴②…………………………10分联立①②得：…………………………12分18.（xx山东高考理18）解析：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，∴又CB=CD,∴∴,即: BD⊥AD ………………………2分又BD ⊥AE，，平面AED，且，故BD⊥平面AED ……………………4分（2）法Ⅰ：由（1）可知BD⊥AD ,则，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则, ，…………6分设向量为平面的法向量，则,即，取，则，则为平面的一个法向量.……………9分易见向量为平面的一个法向量.……………………10分，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为.…………12分法Ⅱ：取BD的中点G，连CG,FG,可证为二面角F-BD-C的平面角，在R T⊿FCG中求解即可.19.解：（1）①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则…………………2分②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则，A 2，A 3互斥， …………………4分所以…………………6分（2）法Ⅰ解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2. ……………7分212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-====……………………………………………10分法Ⅱ：,于是可依次得出,,; 20. （1）由 Z *）得 Z *，），………………………………2分 两式相减得：，即 Z *，），………………………………4分 ∵是等比数列，所以 ； 又则，∴， ∴…………………………6分 （2）由（1）知，则 ∵ ，∴ …………………8分 ∵…∴1210341344343342-⨯+++⨯+⨯+⨯=n n n T ① nn n n n T 34134344343342311321⨯++⨯++⨯+⨯+⨯=- ②…………………10分 ①-②得nn n n T 3413413413413413423213210⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-……………………………………11分 ∴……………………………………12分21. (1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①…由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得＝3x 2＋2mx ＋n ，………………2分则g (x )＝＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0，解得 m ＝－3.代入①得n ＝0.于是＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．………………………4分由>0得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分由<0，得0<x <2，故f (x )的单调递减区间是(0,2)．………………………6分(2)由(1)得＝3x (x －2)，令＝0得x ＝0或x ＝2. ………………7分当x 变化时，，f (x )的变化情况如下表：增函数 增函数…………………………………………………………9分由此可得：当0<a <1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值；当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得，当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．………………………………12分 22（1）由： 知.………………………1分 设，在上，因为，所以 ， 解得，即……………………3分 又 在上，且椭圆的半焦距，于是， 消去并整理得，解得 （不合题意，舍去）. ……………………5分 故椭圆的方程为 . ……………………6分（2）由知四边形是平行四边形，其对角线交点为坐标原点， 因为∥，所以与的斜率相同，故的斜率.……………7分 设，，的方程为 ……………8分 由 整理得：.所以 ，.……………10分 因为，所以 ， 又()()()2212121216666m x x m x x m x mx y y +++=++=∴ ∴解得.……………12分代入验证此时 ，……………13分故所求直线的方程为或……………14分27401 6B09 欉(t27847 6CC7 泇26677 6835 栵34098 8532 蔲l26061 65CD 旍31504 7B10 笐O424275 5ED3 廓363318DEB 跫30526 773E 眾。
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河南省名校联盟2021届高三上学期适应性考试（9月） 数学（理）试题 一.选择题：
1.已知集合{|1,A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（ ）
A.{1}A B =
B.()R A C B A =
C.()(0,1]R C A B =
D.A B R =
2.复数21z i
=+，则2z =（ ） A.-2 B.2 C.-2i D.2i
3.如图所示为一个8X8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑方格内的豆子总数最接近（ ）
A.40
B.50
C.60
D.64
4.在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则为6a =（ ）
A.-6
B.8±
C.-8
D.8
5.空间有不重合的平面,,αβγ和直线a,b,c,则下面四命题中正确的有
1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则β∥γ;2p ：若a ⊥b,b ⊥c,则a ∥c
3p ：若,a b αα⊥⊥，则a ∥b;4p :若a ⊥α，b ⊥β，且αβ⊥，则a ⊥b
A. 1p ,2p
B. 2p ,3p
C. 1p ,3p
D. 3p ,4p
6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示出来如下，若输入a=20,b=8,则输出的结果为（ ）
A.a=4,i=3
B.a=4,i=4
C.a=2,i=3
D.a=2,i=4
7.已知113()2
e
e m dx x --=⎰，则m 的值为（ ） A.14e e - B.12 C.12- D.-1 8.已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，
图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A.16
B.163
C.83
D.8 9.变量x,y 满足22221x y x y y x +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩
，则z=3y-x 的取值范围为（ ）
A.[1,2]
B.[2,5]
C.[2,6]
D.[1,6]
10.26(1)(1)x x +-展开式中，3x 项的系数为
A.32
B.-32
C.-20
D.-26
11.过抛物线22(0)y px p =>的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，过着两点向y 轴引垂线交y 轴于D ，C ，若梯形ABCD 的面积为32，则p=（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
12.若对于任意的120x x a <<<都有211212
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A.2e B.e C.1 D.0.5
二.填空题：
13.已知非零向量,a b 满足(),(4)a a b b a b ⊥+⊥+，则:b a =__________________
14.已知圆O ：221x y +=，点12534(,),(,)131355
A B -，记射线OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，将点B 绕圆心O 逆时针旋转α角度得到C 点，则点C 的坐标是_________
15.以双曲线22
221(0,0)x y a b a a
-=>>的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
16.数列cos 3
n n n b a π=的前n 项和为n S ，已知201520161,0S S ==，若数列{}n a 为等差数列，则2017S =（ ） 三.解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须解答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）
17.锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足
2sin 3
R a A =（1）求角A 的大小（2）若a=2,求△ABC 周长的最大值
18.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，
△PDC 和△BDC 均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 的中点
（1）求证：AE ∥平面PDC （2）求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值
19.某建筑公司在A ，B 两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接
运往C 地，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从A 地或者B 地直达
C 地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该
地再运至C 以节约费用。
已知A ，B 之间为土路，土路运费为每吨千米20
元，公路的运费减半，A ，B ，C 三地距离如图所示。
为了制定修路计划，公
司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量得到下面的柱状图，以两个
工
厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率
（1）求“A ，B ”两地工厂某天的总日产量为20顿的概率
（2）以修路后每天总的运费的期望为依据，判断从A ，B 哪一地修路更加合算 20.椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的上下左右四个顶点分
别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2,PA PD ==4PC =
（1）求椭圆的标准方程和P 点的坐标
（2）过点C 作直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 做直线2l ，且1l ∥2l ，是否存在这样的直线1l ， 2l ，使得△CDQ,△MNA ，△MND 的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，说明理由
21.已知函数2
()ln f x a x x ax =-+
（1）讨论f(x)的单调性（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围
（二）选考题：
22.（选修4-4，参数方程和极坐标）
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42sin()4
πρθ=+，直线l 的极坐标方程为0θθ=()R ρ∈，曲线C 和直线l 相交于A ，B 两点 （1）若012π
θ=，求AB （2）设AB 的中点为P ，当0θ变化时，求点P 的轨迹方程
23.已知函数()21f x x a x =+++
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最小值（2）若f(x)在[-1,1]上的最大值为2a,求a 的值
河南省名校联盟2021届高三上学期适应性考试（9月）
数学（理）试题参考答案
1-6.BCBDDA 7-12.BCDBAC
13.2 14.5633(,)6565
-
16.-0.5
17.（1）60°（2）6
18.（1）略（2）105
19.（1）12
（2）从B 地修路更合算
20.（1）22
193
x y +=（2
21.（1）当a>0时，函数在(0,4
a +上递增，在
()4
a ++∞上递减，当0a ≤时，在(0,)+∞上递减（2）孤立a,讨论lnx+x,得01a ≤≤
22.（1）（2）2222x y x y +=+
23.（1）1.5（2）a=4。