2019届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题：第九章 解析几何
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高考数学总复习 第九章 解析几何配套单元测试(含解析)理 新人教A版
第九章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.2．(2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.3．经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是( )A ．3x －2y －3＝0B ．6x －4y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55. 6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40.∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k PA ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255， 所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案x 24＋y 22＝1 解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得 6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率． 解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在， 因为直线l 过点M (－2,0)， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →·OQ →＝－12，即|OP →|·|OQ →|·cos∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159. 18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab)2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 21＋k22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去， 只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是m ＋62.于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0， 解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23， 此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0， 即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点， 则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2·k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ， 解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012·浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ·2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]． 所以[S (u )]max ＝S (66)＝69.故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012·辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012·孝感统考)若直线过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0答案 D解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析 当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析 设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |， 即x 2＋y 2＝x －12＋y 2·x ＋12＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴PA →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12.∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝2 2.∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝ca＝12＋1＝2－1.10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a)，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)． 所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ， 直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )． 设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得－2324＋k322＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)， 即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)．∴F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－11＋2k2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－11＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－921＋2k2. ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<921＋2k 2≤92. ∴－1≤F 2A →·F 2B →＝72－921＋2k 2<72. 综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72.13．(2013·衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k23＋4k2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013·北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32. 解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－－2＝1，kBQ ＝－45－0－65－－2＝－1.因为k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ . 所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋65，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)·k (x 2＋65)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k 2＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k 2)＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB .记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →·NM →＝10＋16k 25＋20k 2×65＋20k 2＋6k 5＋20k 2×6k 5＋20k 2＝60＋132k 25＋20k22≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 34－m 22|m |3＝12m24－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析 设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)， 则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)． 由F 1M →·F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得3b2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥ －2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b .方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b .17．(2013·武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[4k 2t24＋k22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′| x ＝t＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2. 设线段PA 的中点横坐标为x 3＝1＋t2.由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)．③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t)≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；(2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析 (1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立．∴m ＝35或m ＝3.21．(2012·浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p.所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|FA |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|FA |.所以△AFQ 为等腰三角形， 且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y .(2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)， 则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)·(1－x 1x 24)＝x 2－x 14－x 1x 2216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得S ＝16k 2＋16b 4＋4b 264b ＝1＋b2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝1＋b2bb.②令b ＝t ， ②得S (t )＝1＋t22t＝t 3＋2t ＋1t，S ′(t )＝3t 2－1t 2＋1t 2，∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233.22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22. (2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)．∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0， 方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k 2，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →·OS →＝0，得－k 2＋a k 22＋1a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0.∴a ＝2k2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习：第九章 解析几何 9.3
=
√22,即|x0-y0|=1.
故 y0-x0=±1,即 y0=x0±1.
①当 y0=x0+1 时,
由������02 − ������02=1 得(x0+1)2-������02=1,
则
������0 ������0
= =
01,,故
r2=3,
20因19年此5月圆18日P的方程为x缘2+分(让y我-1在)这2里=遇3见; 你你缘分让我在这里遇见
(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这 两条平行线之间的距离 d=√42=2√2 ;圆心是直线x+y=0被这两条平 行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),
与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所
求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.
因圆的标准方程为 x2+
B
������-
5 4
2
= 2156.
关闭
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
解析
答5 案
知识梳理 双基自测
12345
3.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程
为
.
设所求方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
22 + (-1)2 + 2������-������ + ������ = 0,
()
A.
������-
5 4
2+y2=2156
C.
������
+
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习：第九章 解析几何 9.1
2019年7月7日
你是我心中最美的风景啊你是我心中最美的 风景啊
4
知识梳理 双基自测
1234
2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率 常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=������������22--������������11.
2������
+
������������=1,
将(-5,2)代入所设方程,解得 a=-12,
此时,直线方程为 x+2y+1=0.
综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
2019年7月7日
你是我心中最美的风景啊你是我心中最美的 风景啊
19
考点1
考点2
考点3
(2)由√3x+y+1=0 得此直线的斜率为-√3, 所以倾斜角为 120°,
距的2倍,则该直线的方程为
.
(2)若直线经过点 A(-√3,3),且倾斜角为直线√3x+y+1=0 的倾斜
角的一半,则该直线的方程为
.
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中
点N在x轴上,则直线MN的方程为
.
思考求直线方程时应注意什么?
答案: (1)x+2y+1=0 或 2x+5y=0 (2)√3x-y+6=0 (3)5x-2y-5=0
l
倾斜角
α
的取值范围是
2019届高考数学人教A版一轮复习单元质检九 含解析 精品
单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017浙江,2)椭圆=1的离心率是()A. B. C. D.2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=03.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1B.C. D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C.3 D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.4212.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,文12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.14.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.15.(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠F AC=120°,则圆的方程为.16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.22.(12分)(2017天津,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EF A的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.答案：1.B解析:e=,故选B.2.D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.C解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.A解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.5.D解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=-.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.7.B解析:依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,从而易得cos∠ACB=,即∠ACB=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析:由条件知=1+=1+,当a>b时,,则,所以e1<e2.当a<b时,,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析:双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<∠AFB<90°,所以<k FB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.10.A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p.又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.12.A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则,即b≥1.所以e=.因为0<e<1,所以0<e≤.故选A.13.6解析:(方法一)设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故的最大值为6.(方法二)设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值为6.14.y=±x解析:抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.(x+1)2+(y-)2=1解析:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠F AC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.16.②解析:若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.17.解:(1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤≤2+1,解得a的取值范围为.18.解:(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线P A方程为,整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.因为直线P A与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x2=--1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解:(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.(2)由题意,得椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,则.由a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程可化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因为,所以||=3||,即3×.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范围是(1,3].21.解:(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b.因为c==2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m=c.将点A代入双曲线方程,得=1,化简得c2b2-c2a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).22.解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第九章+解析几何+9.8
1+
1
2 |y1-y2|
-4-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4
3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问��2 圆 2 + 2 =1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 ������ ������ ������ ������0 ������2 k=-������2 ������ ;在双曲线������2 0
2 2
−
������2 ������
2 =1
中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜
������ ������ 率 k=������2 ������0 ;在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线 0 ������ 的斜率 k= . ������0
-5-
知识梳理
������������ + ������������ + ������ = 0, 由 消元, ������(������,������) = 0
-2-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4
如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; 当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
-3-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 1 + ������ 2 · |x1-x2| 则所得弦长|P1P2|= 或
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第九章 解析几何 9.7
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点 对称轴 焦点
O(0,0) y=0 F
p
x=0 F - 2 ,0
p
,0 2
F 0, 2
p
F 0,- 2
-3-
p
知识梳理
双基自测
1 2 3
标准 方程 离心率 准线方程 范围
y2=2px (p>0) e=
考点2
考点3
-16-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键 是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由 于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标 准方程. 2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时 可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.
关闭
-12解析
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距 离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离
-13-
考点1
考点2
考点3
关闭
对点训练1(1)(2017河南濮阳一模)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为 圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于 M,N两点,则|MN|= ( ) A.30 B.25 C.20 D.15
1 2 3
-6-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一 定是抛物线.( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p>0).( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习：第九章 解析几何 9.2
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0
.
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
3
知识梳理 双基自测
123
2.两条直线的交点
唯一解 无解
无穷多解
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
4
知识梳理 双基自测
123
3.三种距离
关闭
由“l1∥l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A.
A
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
关闭
解析
答7 案
知识梳理 双基自测
12345
3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
∴kAB=���4���-+������2=-2,解得 m=-8.
又 l2⊥l3,∴
-
1 ������
×(-2)=-1,
解得 n=-2.∴月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
17
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)解 ①由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.
关闭
已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,
故所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.
2019版高考数学理一轮总复习：第九章解析几何 作业62
题组层级快练(六十二)1．(2018·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切．3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离 答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(2018·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d ≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k ≤34.故选C.5．(2017·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.6．(2018·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(2018·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(3，3) C ．(33，233) D ．(1，233)答案 D解析 当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋（33）2＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233. 8．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．2 2 D ．8答案 A解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ， ∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c ＝－3.9．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 把x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(2018·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C 上存在点P ，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.选B.11．(2018·重庆一中期末)已知P 是直线kx ＋4y －10＝0(k>0)上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(2014·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB＝2×121－14＝43. 17．(2017·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(2018·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(2014·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k ≤ 3.∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D.2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A. 另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0. 又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(2016·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ，所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2. 由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a 22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(2015·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6 B ．4 C. 6 D ．2 答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(2018·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．6－2 2B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(2018·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第九章 解析几何 9.6
线段 A1A2 叫做双曲线的 实轴 ,它的长 |A1A2|= 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线的 虚轴 ,它 a 的长|B1B2|= 2b ; 叫做双曲线的实半轴 长, b 叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 的关系
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知识梳理
双基自测
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3.常用结论 (1)渐近线的斜率与离心率的关系
答案: (1)B (2)44
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考点1
考点2
考点3
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2, 故|F1F2|=22. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,① 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②,得|PF1||PF2|=4.
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知识梳理
双基自测
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(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
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答案
知识梳理
双基自测
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2.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一 条渐近线的距离为( )
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答案
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双基自测
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A.焦距相等 C.虚半轴长相等
B.实半轴长相等 D.离心率相等
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答案
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双基自测
2019届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第九章 解析几何48 Word版含解析
考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.42.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.24.(2019河南许昌、新乡、平顶山三模)经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=45.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=.7.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.8.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.〚导学号37270494〛能力提升11.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.212.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()A.[1-2,1+2]B.[1-,3]C.[-1,1+2]D.[1-2,3]13.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0 〚导学号37270495〛14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.15.(2019江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.〚导学号37270496〛高考预测16.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.≤1D.≥1参考答案考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系1.B解析由方程(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,则圆心到直线l的距离d=由r=,故所求点的个数为2.2.B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.3.C解析依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=又|AC|=2,所以|AB|==6.4.A解析设圆心的坐标为(a,b),由题意可知解得故所求圆的标准方程是(x-1)2+(y+1)2=2.5.D解析如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.则圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-6解析如图,∵OA=1,AP=,又P A=PB,∴PB=∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.=||||cos 60°=7.4π解析因为圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.8.2解析如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|==1,故圆的半径r==2.9.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为=1<,所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解圆的半径r=,圆心C到直线l的距离为d=由点到直线的距离公式得,解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为10.解(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得所以M的轨迹C的方程为+y2=(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE==-,k QE=,当-k时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则,解得k=±综上所述,当-k或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.11.C解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=,故选C.12.D解析y=3-变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,即=2,解得b=1-2或b=1+2(舍去),故b的取值范围为1-2b≤3.故选D.13.A解析设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,所以,即|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.14.解因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由,得k=2±所以此时切线方程为y=(2±)x.综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-)x-y=0或(2+)x-y=0. 15.解因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t≤2+2 因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].16.D解析因为点M(cos α,sin α)在圆x2+y2=1上,又直线=1过点M,所以直线与圆相交或相切.所以1,所以1.。
高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章解析几何9-7Word版含答案
真题操练集训1．如图，设抛物线y 2＝4x的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不一样的点A ，B ，C ，此中点A ，B 在抛物线上，点C在y 轴上，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是( )| A. |BF |－1 | AF | － 1B. |BF | AF |2－ 1 2－ 1|C.|BF |＋1 | AF | ＋ 1D.|BF | AF |2＋ 12＋ 1答案： A分析：由图形可知，△BCF 与△ ACF 有公共的极点F ，且 A ，B ， C 三点共线，| BC |易知△ BCF 与△ ACF 的面积之比就等于 || .AC由抛物线方程知，焦点(1,0) ，作准线l ，F则 l 的方程为 x ＝－ 1.∵ 点 ， 在抛物线上，过， B 分别作 ，与准线垂直，垂足分别为点， ，且与A BAAK BH K Hy 轴分别交于点 N ， M .由抛物线定义，得 | BM |＝ | BF | －1， | AN | ＝ | AF | －1. 在△ CAN 中， BM ∥AN ，|BC | | BM | |BF | －1 ∴ | AC |＝ | AN |＝| AF | －1.2．以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于D ，E 两点．已知 |AB |＝ 4 2， | DE | ＝ 2 5，则 C 的焦点到准线的距离为 ()A ．2B ．4C ．6D ．8答案： B分析：由题意，不如设抛物线方程为 y 2＝ 2px ( p >0) ，由||＝4 2，| |＝25，可取 4 ， 2 2 ，p5 ，设为坐标原点，由 | | ＝A p D－ ， O ABDE2OA16p 2＝ 4，应选 B.| OD | ，得2＋ 8＝ ＋5，解得p4p3．设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2＝ 2 ( >0) 上随意一点， 是线段 上px pMPF的点，且 | PM | ＝2| MF | ，则直线 OM 的斜率的最大值为 ()32 2A.3B.3C. 2 D ．1答案： Ct2pp ＋ t 2分析：设 P ，t ，易知 F，0 ，则由 | PM |＝2| MF |，得 M2pt .2p23 ，3当 t ＝ 0 时，直线 OM 的斜率 k ＝0；当t ≠0时，直线的斜率 k ＝ t2 ＝ 1，OMt ptp ＋ 2＋ 2p tp112因此 | k | ＝ p | t | ≤ 2p| t | ＝ 2 ，＋2p t | ·| t | |2pp | t |OM 的斜率的最大值为2，应选 C.当且仅当 | t | ＝ 2p 时等号建立，于是直线2 x ＝ 2pt 2，4．设抛物线 ( t 为参数， p ＞ 0) 的焦点为 F ，准线为 l . 过抛物线上一点 A 作y ＝ 2pt7l 的垂线，垂足为 B . 设 C 2p ， 0 ，AF 与 BC 订交于点 E . 若 | CF | ＝ 2| AF | ，且△ ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为 ________．答案： 62p分析：抛物线的一般方程为 y ＝ 2px ，故 F 2， 0 ，l ：p| ＝2||，得|3＝－ .由|| ＝ ，x 2CF AFAF 2pp3p不如设点 A ( x ， y ) 在第一象限，则 x ＋ 2＝ 2 ，即 x ＝p ，因此 y ＝2p .易知△∽△，| AB | ＝ | AE | ＝ 1，ABEFCE | CF | | EF | 2因此 | | ＝2| | ，因此△ 的面积等于△的面积的 3 倍，即 △ ACF ＝ 9 2，EF AEACFAECS因此12 ＝ 92，解得 ＝ 6.△ ACF ＝ ×3 ×S2 p p p5．若抛物线 y 2＝ 4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是 ________．答案： 9分析：因为抛物线y 2＝ 4x 的焦点为 F (1,0) ，准线为 x ＝－ 1，设点 M 的坐标为 ( x ，y ) ，则x ＋ 1＝10，因此 x ＝ 9. 故 到y 轴的距离是 9.M课外拓展阅读对抛物线的标准方程认识禁止而致误剖析2x 22抛物线 C 1： x ＝2py ( p >0) 的焦点与双曲线C 2： 3 － y ＝1 的右焦点的连线交C 1 于第一象限的点 M . 若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则 p ＝ ()33 2 34 3A. 16B.8 C.3D. 3抛物线1：2＝ 2 ( >0) 的焦点坐标为 0， p，双曲线 x 2－ y 2 ＝ 1 的右焦点坐标为 (2,0) ，C xpy p 2 3p两点连线的方程为y ＝－ 4( x － 2) ， y ＝－ px －，4联立y ＝ 1x 2，2p消去 y ，得 2x 2＋ p 2x － 2p 2＝ 0.设点 M 的横坐标为 a ，MMy1x2a 易知在点′x ＝ a ＝′ x ＝a ＝ ，处切线的斜率存在，则在点处切线的斜率为2pp又因为双曲线x 22的渐近线方程为x3 － y ＝ 1± y ＝ 0，其与切线平行，3a 33因此 p ＝ 3 ，即 a ＝ 3 p ，22243代入 2x＋p x－ 2p＝ 0，得p＝ 3 或p＝0(舍去)．D。
高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章解析几何9-4Word版含答案
真题操练集训1．圆x2＋y2－ 2x－ 8y＋ 13＝ 0 的圆心到直线ax＋ y－1＝0的距离为1，则 a＝()4 3A．－3B．－4C.3D． 2答案： A分析：由已知可得，圆的标准方程为( x－ 1)2＋ ( y－ 4)2＝ 4，故该圆的圆心为 (1,4)，由点| a＋ 4－ 1|4到直线的距离公式得d＝a2＋1＝ 1，解得a＝－3，应选 A.2．过三点A(1,3)， B(4,2)， C(1，－7)的圆交 y 轴于 M， N两点，则| MN|＝()A．26B． 8C．46D． 10答案： C分析：设圆的方程为x2＋y2＋ Dx＋Ey＋ F＝0，D＋3E＋ F＋10＝0，则 4D＋ 2E＋F＋ 20＝ 0，D－7E＋ F＋50＝0，D＝－2，解得 E＝4，F＝－20.∴圆的方程为 x2＋ y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6，∴M(0，－2＋26) ，N(0 ，－ 2－ 2 6) 或M(0 ，－ 2－26) ，N(0 ，－ 2＋26) ，∴ | MN|＝4 6，应选 C.3．已知直线l ： x＋ay－1＝0( a∈R)是圆 C： x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a) 作圆C的一条切线，切点为B，则| AB|＝()A．2B．42C．6 D ．2 10答案： C分析：∵直线x＋ ay－1＝0是圆 C： x2＋ y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心 C(2,1)在直线 x＋ ay－1＝0上，∴2 ＋a－ 1＝ 0，∴a＝－ 1，∴A(－4，－1)．∴| AC| 2＝ 36＋4＝ 40.又 r ＝2，∴| AB|2＝40－4＝36.∴| AB| ＝6.4．已知直线l ：＋＋3－3＝0 与圆x2＋y2＝ 12 交于，两点，过，分别作l的mx y m A B A B垂线与 x 轴交于 C， D两点．若| AB|＝23，则 | CD| ＝________.答案： 4分析：设圆心到直线l ： mx＋ y＋3m－3＝ 0 的距离为d，则弦长 | AB| ＝ 212－d2＝ 23，得d＝3，即|3m－3|＝ 3，解得＝－3，则直线l：－ 3y＋ 6＝ 0，数形联合可得 || ＝2m3x CDm＋1| AB|cos 30 °＝4.5．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－ y－2m－1＝0( m∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________ ．答案： ( x－1) 2＋y2＝ 2分析：直线 mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝ 2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用假如点P在平面地区2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，上，点Q在曲线x2＋( y＋2)2＝1上，那么|PQ| x＋ y－2≤0的最小值为 ________．求解此题应先画出点P 所在的平面地区，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转变为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出| PQ| 的最小值．2x－y＋2≥0，由点 P 在平面地区 x－ 2 ＋1≤0，上，画出点 P 所在的平面地区．yx＋y－2≤0由点 Q在圆 x2＋( y＋2)2＝1上，画出点 Q所在的圆，如下图．由题意，得 | PQ| 的最小值为圆心(0 ，－ 2) 到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径 1.又圆心 (0 ，－ 2) 到直线x－ 2y＋1＝ 0 的距离为|0 －－＋1|＝5，12＋ 22此时垂足 ( －1,0) 在知足条件的平面地区内，故| PQ| 的最小值为5－ 1.5－ 1方法点睛此题考察线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考察考生综合应用知识解决问题的能力．此题的突出特色就是将圆与线性规划问题有机地联合起来，为我们显现了数学知知趣互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特别性，其实是对数形联合思想的提高，即利用线性或非线性函数的几何意义，经过作图来解决最值问题．。
高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章解析几何9-1Word版含答案
真题操练集训x 2 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C ：y ＝ 4 与直线 l ： y ＝ kx ＋ a ( a ＞0) 交于 M ，N 两点．(1) 当 k ＝ 0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2) y 轴上能否存在点 P ，使适当 k 改动时，总有∠ OPM ＝∠ OPN ？说明原因． 解： (1) 由题设，可得 M (2 a ， a ) ， N ( －2 a ， a ) 或 M ( －2 a ，a ) ， N (2a ， a ) ． 又 y ′＝ ，故 2 x 2 y ＝ 在 4 x ＝2 a 处的导数值为a ，则 C 在点 (2 a ，a ) 处的切线方程为y －a ＝ a ( x － 2 a ) ，即 ax － y －a ＝ 0；x 2y ＝ 4 在 x ＝－ 2 a 处的导数值为－a ，则 C 在点 ( － 2 a ，a ) 处的切线方程为 y － a ＝－ a( x ＋ 2 a ) ，即 ax ＋ y ＋a ＝ 0.故所求切线方程为ax － y － a ＝ 0 和 ax ＋ y ＋ a ＝ 0.(2) 存在切合题意的点．证明以下：设 P (0 ， b ) 为切合题意的点， M ( x 1， y 1) ， N ( x 2， y 2) ，直线 PM ， PN 的斜率分别为k 1， k 2.2 将 y ＝ kx ＋ a 代入 C 的方程，得 x － 4kx － 4a ＝ 0.故 x 1＋x 2＝ 4k ， x 1x 2 ＝－ 4a .y 1 －b y 2－ b 从而 k 1＋ k 2 ＝＋x 1 x 2 2kx 1x 2＋ a － b x 1＋ x 2k a ＋ b ＝x 1x 2 ＝ .a 当b ＝－ a 时，有 k 1＋ k 2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故∠ OPM ＝∠ OPN ，因此点 P (0 ，－ a ) 切合题意．课外拓展阅读 忽略斜率不存在而致误剖析已知圆 C ：( x － 1) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 4，则过点 P ( － 1,1) 的圆的切线方程为 ________． 第一考证过 P ( － 1,1) 斜率不存在的直线能否与圆相切，而后利用直线和圆相切的条件 列出方程求解．(1) 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝－ 1.此时圆心 (1 ，－ 2) 到直线 x ＝－ 1 的距离 d ＝| －1－1| ＝2， C故该直线为圆的切线．(2) 当直线的斜率存在时，设斜率为 k ，则其方程为y－1＝ k( x＋1)，即 kx－ y＋k＋1＝0.由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径，| k×1－－＋ k＋1|＝ 2，即k2＋－2|2 k＋ 3|＝ 2，整理得k2＋15解得 k＝－，1257故此时切线方程为－12x－ y＋12＝0，即 5x＋ 12y－7＝ 0.综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－7＝0.x＝－1或5x＋12y－7＝0温馨提示求解过定点的直线问题，第一要查验斜率不存在的直线能否切合题意，这是特别简单遗漏的问题．在办理有关问题时，也可依据图形判断所求直线的条数，从而防止此类失误．。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习：第九章 解析几何 9.4
所以弦长|AB|=2 ������2-������2=6.
故A 选 A.
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
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解析
答8 案
知识梳理 双基自测
12345
5.(2017山东枣庄一模)圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2=4的
位置关系是
.
由题意可得,两圆的圆心距为 (2-3)2 + (-1-2)2 = √10.
则 ∵哪圆 切思些心 点考? 到 在在直 第直线 二线的 象与距 限圆,离的∴位dk==置-√√1关4+3���.���系2=中r=,2求,化参简数得的k取2=值3.范围的常用方法有 关闭
∴(1)直B线(2l )的B方程为 y=-√3x,故选 B.
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见 你
13
考点1
考点2
考点3
解 (1)圆心C(1,2),半径r=2,
当直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相
切.
当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
解析
答10 案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到 直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线 的距离的表达较烦琐,则用代数法.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结 合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.
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单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.(2017全国Ⅱ,理9)若双曲线C1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为()5.1(a>b>0)与双曲线1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m 的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为()A. 3B.x=0或 3C.x=0或 3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.1的两条渐近线与直线A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()C.(1,2)D.(+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()C.3D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.4212.(2017福建厦门一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,1,则α=()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,理9)若双曲线x21则实数m=.14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.15.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.16.若关于x,y的方程1表示的是曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:1(a>b>0)F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)(2017吉林延边州模拟)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上的动点,△PBC的外接圆为☉O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.21.(12分)1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为求双曲线的离心率.22.(12分)已知椭圆E1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.答案：1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.C解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A解析可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为所以c=2a,所以e=2,故选A.4.A解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),1的渐近线x0的距离1.5.D解析由题意可知2n2=2m2+c2.因为m2+n2=c2,所以m=因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=解得6.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为圆的半径为2,1.由点到直线距离公式,1,解得综上所述,所求直线方程为x=0或3.7.B解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0从而易得cos ACB=45°,所以∠ACB=90°,0,故选B.8.D解析11当a>b时,所以e1<e2.当a<b时,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析1的两条渐近线方程为y=,当,y=所以不妨令因为60°<∠AFB<90°,1,1.所以1,即1<e2-1<3,<e<2.10.A解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).-y2=1的左顶点为A(,0),所以直线AM的斜率为解得11.B解析因为双曲线的离心率为2,所以e24,即b2=3a2,1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=,代入y2=2px(p>0),得或x=0,故x A=x B又因为|AF|=x A7,所以p=6.12.C解析如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2ab cos α.1,∴a2+b2-2ab cos α当α,不等式恒成立.故选C.13.2解析由题意知a=1,m>0,则离心率解得m=2.14.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O又因为圆面积为36π,所以半径为6,2=36,所以p=8.15解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴,设双曲线C的一条渐近线的倾斜角为θ,则tan θ=又tan θ=解得a2=3b2,∴16.②解析若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,解得1<t<4,且t所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<所以④错误.17.解(1)得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,1,所以|3k+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或所以所求圆C的切线方程为y=3或3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),2整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-12+1,解得a18.解(1)由题意,得可知a=4b,c=∵△PF1F2的周长是8+2,∴2a+2c=8+∴a=4,b=1.∴椭圆C的方程为2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知即32k2+36k+5=0,∴k+k k k=(1+x2+32k1x=0,∴x E同理x Fk EF故直线EF的斜率为19.解(1)抛物线y=x2由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>解得因为k>0,所以0即k的取值范围是(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1C(x2D(x3,y3),消去y,得x2-kx+k-1=0.由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x21.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x22.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则2,即k2+2k+2=0.因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义.1(a>b>0且y≠0),所以有|BC|=2c=2,|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,所以动点A的轨迹M1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0线段PB的垂直平分线方程为线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得1,∴∴☉O1的圆心O1到x轴的距离又内是单调递减函数,∴当y,y min∴d min21.解(1)1的渐近线方程为y=,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,1,解得a=b.因为c=2,所以1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足即①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得,将点A,1,2b22a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率负值舍去).22.解(1)由已知,,则椭圆E1.y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E1,点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l'的方程为(m≠0),所以点P的坐标为|PT|22.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2).由Δ>0,解得由②得x1+x2=-x1x2所以|PA|同理|PB|=所以|PA|·|PB|2.故存在常数λ使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.。