2019湘教版数学选修2-2当堂检测：5-4复数的几何表示 含解析
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第5章章末小结含答案
1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ＋)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n＋3＝0(n ∈N ＋)． 2．复数的分类复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．共轭复数设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ；z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数相等的条件复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0(a ，b ∈R)．5．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．复数的概念[例1] 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？[解] (1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②由②得x ＝4，经验证满足①式． ∴当x ＝4时，z ∈R.(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎨⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4，即3＋212<x <4或x >4. ∴当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2－3x －3)＝0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1或x ＝4，x >3且x ≠4.无解．∴复数z 不可能是纯虚数．解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．1．若复数z ＝a ＋2i1＋i＋(2－i)为纯虚数，求实数a .解：∵z ＝a ＋2i 1＋i ＋(2－i)＝(a ＋2i )(1－i )2＋(2－i)＝(a ＋2)＋(2－a )i2＋(2－i)＝a ＋62－a 2i 为纯虚数，∴a ＋62＝0，即a ＝－6. 2．已知z ＝x －i 1－i(x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i＝x ＋12＋x 2＋x 2i.根据题意x ＋12－x 2＋x 2＝－32，得x 2－1＝3.∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝⎛⎭⎫32＋3i ⎝⎛⎭⎫32－3i ＝454.复数的四则运算[例2] 计算： (1)(2＋2i )4(1－3i )5； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[解] (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.3．计算1－i (1＋i )2＋1＋i(1－i )2.解：1－i(1＋i )2＋1＋i(1－i )2＝1－i 2i－1＋i 2i ＝－2i2i ＝－1.4．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，求z ·z ＋z . 解：∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i.∴z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋(1－2i)＝5＋1－2i ＝6－2i.复数问题实数化[例3] 设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)．试求a 的取值范围． [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i. 由(1)，知x ＜0，y ＞0. 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)， 故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2， ∵y ＞0，∴4(y －1)2≥0. ∴36－a 2≥0.∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x ＜0，∴a ＜0.∴－6≤a ＜0. ∴a 的取值范围为[－6,0)．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，依据是复数相等的充要条件．5．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1， ∴a ＝－3，b ＝4.复数的几何意义[例4] 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点P (a ，b )一一对应，和向量OP ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．6．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)， 故z ＝－5.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把复数z 的共轭复数记作z －，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3iD ．3解析：(1＋z )·z －＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 答案：A2．(全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.答案：C3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i ＋i －i 2＝4－2i. 在复平面内对应的点为(4，－2)，位于第四象限． 答案：D4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－iD ．－2i解析：设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i＝(2＋b i )(1＋i )2＝(2－b )＋(2＋b )i2.∵z ＋21－i是实数，∴2＋b ＝0. ∴b ＝－2，∴z ＝－2i. 答案：D5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：D6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R)，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1，则|z 1|＝5，故选D. 答案：D7．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R)互为共轭复数，则z 1对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限． 答案：C8．(全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题． 答案：B9．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ， 所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 故z 2＋z －2的虚部为0. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i ＝3－i.答案：A11．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝ |z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．答案：A12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ， 解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→，则a ＝________，b ＝________.解析：∵OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a ，－4＝6＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －1014．若复数z 满足方程z i ＝i －1，则z ＝________. 解析：∵z i ＝i －1，∴z ＝i －1i ＝(i －1)(－i)＝1＋i.∴z ＝1－i. 答案：1－i15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1009＋i6＝i 4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i16．设z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1，则z 2的虚部是________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 1＝a －b i ，∴z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.由已知得a －b ＝1.∴z 2的虚部为－1.答案：－1三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)已知z 1＝(x ＋y )＋(x 2－xy －2y )i ，z 2＝(2x －y )－(y －xy )i ，问x ，y 取什么实数值时，(1)z 1，z 2都是实数；(2)z 1，z 2互为共轭复数．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－xy －2y ＝0，y －xy ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝13. 所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝13时，z 1，z 2都是实数． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ，x 2－xy －2y ＝y －xy ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34，所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝34时，z 1，z 2互为共轭复数． 19．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i. (2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解：(1)z 1＝i(1－i)3＝i(1－i)2(1－i)＝2－2i ，∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知 |z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.21．(本小题满分12分)设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z |＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z 2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＝－b i ，因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 因为z －z 2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. z －z 2为实数， 所以b ＋2ab ＝0. 因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(本小题满分12分)已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． 解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12， 即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
湘教版数学选修2-2当堂检测4-5-4微积分基本定理 Word版含解析
．微积分基本定理
．(＋ )等于
( ) ．π ．．π－．π＋
答案
解析∵(＋)′＝＋，
＝＋－＝π＋.
．若＝＋，则的值是
( ) ．．．．
答案
解析＝＋＝＋
＝－＋＝＋，解得＝.
＝.
答案
解析＝－
＝＝－＝.
．已知()＝(\\(－π，≤≤(π)，，(π)<≤π))，计算().
取()＝－π，则′()＝－π；
取()＝，则′()＝ .
．求定积分的一些常用技巧
()对被积函数，要先化简，再求积分．
()若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
()对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在轴下方的图形面积要取定积分的相反数．。
湘教版数学选修2-2分层训练5-3复数的四则运算 Word版含解析
．复数的四则运算一、基础达标．复数＝－，＝－，则＋等于( ) ．＋－－答案解析＋＝－＝－.．若＋－＝＋，则等于( ) ．＋．＋．－－．－－答案解析＝＋－(－)＝＋.．若，∈，为虚数单位，且(＋)＝＋，则( ) ．＝，＝．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝－答案解析∵(＋)＝－＋＝＋，∴(\\(＝－＝)).．在复平面内，复数＋(＋)对应的点位于( ) ．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析＋(＋)＝＋＋(－＋)＝－＋，对应点在第二象限．．设复数满足(＋)＝－＋(为虚数单位)，则的实部是．答案解析由(＋)＝－＋得到＝－＝＋－＝＋.．复数的虚部是．答案－解析原式＝＝＝－，∴虚部为－.．计算：＋.解＋＝＋＝(＋)＋＝－＋＋(－)＝－＋－＝－.二、能力提升．(·新课标)设复数满足(－)＝，则＝( ) ．－＋．－－．＋．－答案解析因为复数满足(－)＝，所以＝＝＝－＋.．若复数满足(－)＝＋(为虚数单位)，则为( ) ．＋．－．－＋．－－答案解析＝＝＝＝＋.．已知是纯虚数，是实数，那么等于．答案－解析设＝(∈，≠)，则＝＝＝＝＋是实数，所以＋＝，＝－，所以＝－.．(·山东聊城期中)已知复数＝，若＋＋＝＋(，∈)，求＋的值．解由＝，得＝＝＝－，又＋＋＝＋，∴(－)＋(－)＋＝＋，∴(＋)＋(－－)＝＋，∴＋＝.．满足＋是实数，且＋的实部与虚部是相反数的虚数是否存在？若存在，求出虚数，若不存在，请说明理由．解设虚数＝＋(，∈，且≠)．。
数学课件：5-4复数的几何表示
2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几 何模型是数轴．由复数的定义可知任何一
个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a， b)一一对应，那么类比一下实数，能否找
到用来表示复数的几何模型呢？
答 由于复数集与平面直角坐标系中的点 集可以建立一一对应，所以可以用直角坐 标系作为复数的几何模型．
[预习导引]
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2. 因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组 成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所
有点组成的集合，故符合题设条件的点的集
合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的
圆环，包括边界.
1 在哈金森工厂
走近作品 基础练习
1.连线作者
一是任何复数的模都是非负实数；二是复数 的模表示该复数在复平面内对应点到原点的 距离．所以复数的模是绝对值概念由实数的 直线坐标系(一维空间)向平面直角坐标系(二 维空间)的一种推广．
跟踪训练3 已知复数z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ. (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解 (1)|z1|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1. ∴|z1|>|z2|.
实数，
∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点 Z为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)若对应点位于x轴正半轴上， 则kk22－－35kk－－46>＝00，， 解得k＝6. (2)若对应点位于y轴负半轴上， 则kk22－ －35kk－ －46＝ <00，， 解得k＝4. (3)若对应点位于第四象限角平分线上， 又第四象限角平分线的方程为y＝－x(x>0)， ∴kk22－ －53kk－ －64＝ >0－，k2－3k－4， 解得k＝5.
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第5章5.3复数的四则运算含解析
5．3复数的四则运算[读教材·填要点]复数的四则运算一般地，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，有 (1)加法：z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝a －c ＋(b －d )i.(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．[小问题·大思维]1．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 提示：不能．如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，若z 1－z 2＝ 13－2i ，求z 1，z 2.[自主解答] z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i.又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i. z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．1．(1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 解：(1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ， 即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1， 所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－295i)÷(7－35i)．[自主解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－295i 7－35i ＝(5－295i )(7＋35i )(7－35i )(7＋35i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i72＋(35)2＝470－1885i94＝5－25i.(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样． (2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．2．(1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部； (2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ， 则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i. 于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0有实根，求纯虚数m 的值．[自主解答] 设m ＝b i(b ≠0)，x 0为一实根，代入原方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3b i －1)i ＝0. ∴(x 20＋x 0＋3b )＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3b ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，b ＝112.∴m ＝112i.若将“求纯虚数m ”改为“求实数m ”，如何求解？ 解：x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0，即(x 2＋x )＋(2x －3m ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，2x －3m ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，m ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，m ＝－13. 即m ＝13或－13.复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决．3．已知关于x 的方程x 2＋kx －i ＝0有一根是i ，求k 的值． 解：因为i 为方程x 2＋kx －i ＝0的一个根， 所以代入原方程，得i 2＋k i －i ＝0. 所以k ＝1＋i i ＝(1＋i )ii2＝1－i.计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018.[解] 法一：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0.∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 018＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018) ＝1＋i ＋i 2＝i.法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018 ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 504×4＋31－i＝1－i 31－i ＝1＋i 1－i＝i.1．(6－2i)－(3i ＋1)等于( ) A ．3－3i B ．5－5i C ．7＋iD ．5＋5i解析：(6－2i)－(3i ＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i ＝5－5i. 答案：B2．(全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.答案：D3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i ＝2i ＝－2i.答案：B4．若z ＝－1－i2时，求z 2 018＋z 102＝________.解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 018＋z 102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3 ＝－i ＋i ＝0 答案：05．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.答案：36．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.1．设i 为虚数单位，则5－i1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－6i2＝2－3i.答案：C2．(山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i. 答案：A3．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0. 答案：B4．已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4iD ．4－3i解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：D 二、填空题5．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．解析：∵1－2＋i ＋11－2i ＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i ，∴虚部是15.答案：156．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝______. 解析：∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i＝1＋i. 答案：1＋i7．(天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－28．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为________，________. 解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0.解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2 三、解答题9．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数， ∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0. ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，求x ，y 的值．解：∵x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i， ∴x (1－i )2＋y (1－2i )5＝5(1－3i )10.即5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i. (5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.。
高二数基础达标：5.4 复数的几何表示(湘教选修2-2)[ 高考]
![高二数基础达标：5.4 复数的几何表示(湘教选修2-2)[ 高考]](https://img.taocdn.com/s3/m/f5cd0d0aaaea998fcc220e3c.png)
5．4 复数的几何表示基础达标 (限时20分钟)1．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内 答案 D2．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 ∵z 1与z 2互为共轭复数，∴⎩⎨⎧x －2＝3x ，y ＝－1，∴z 1＝－3－i. 答案 C3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 23<m <1，则3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．答案 D4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )对应的点在虚轴上，则a 的值为________．解析 a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.答案 0或25．复数z ＝3＋4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则向量OZ 1→对应的复数为________．解析 由题意知，Z 点的坐标为(3,4)点Z 关于原点的对称点Z 1(－3，－4)所以向量OZ 1→对应的复数为－3－4i.答案 －3－4i6．已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为OZ 1→＝a ，OZ 2→＝b ，求向量a 与b 的夹角．解 设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝3×(－5)＋0×53×25＋25＝－22， ∵0≤α≤π，∴α＝3π4.综合提高 (限时25分钟)7．(2011·山东)复数z ＝2－i 2＋i 在复平面内对应的点所在象限是 ( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝3－4i 5， 其对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，在第四象限． 答案 D8．(2011·课标全国)复数2＋i 1－2i 的共轭复数为 ( )．A ．－35iB.35i C ．－i D ．i 解析 2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，其共轭复数为－i. 答案 C9．(2011·上海)若复数z ＝1－2i ，则z z ＋z ＝________.解析 z z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.答案 6－2i10．在复平面内复数2i 1－i 对应点的坐标为________，复数的模为________． 解析 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(－1＋i )2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，对应向量的坐标为(－1,1)，其模为 2.答案 (－1,1)， 211．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数x 的取值范围．解 ∵复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，∴x 满足⎩⎨⎧x 2－6x ＋5<0，x －2>0，解得2<x <5， ∴x ∈(2,5)．12．(创新拓展)(2011·上海)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|.解 z 1＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝－2i 2＋2＝2－i ， 设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，由于z 1z 2为实数，∴4－a ＝0.∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i|z 2|＝42＋22＝2 5.。
数学同步优化指导(湘教版选修2-2)课件：5.4 复数的几何表示
8.两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的
点的距离 _____________.
பைடு நூலகம் 复平面及复数的几何意义
m2－m－6 当m分别为何实数时，复数z＝ ＋(m2－2m m＋3 －15)i对应的点在：(1)原点向右的x轴上；(2)第二象限；(3)虚 轴上？
[思路点拨]本题是一个基础性题目，主要考查复数与复平 面内点之间的对应关系，注意虚轴包含原点，切不可丢掉. (1)要求点Z在原点向右的x轴上，说明z是正实数，即z的虚 部为0，实部大于0.
2.已知|z|＝2，求|2＋ 3i＋z|的最值.
解：方法一 圆，则|2＋ |z|＝2表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的 3 i)|的最大(小)值是指点A(－ 3 i＋z|＝|z－(－2－
2，－ 3)到圆的最大(小)距离.如图1所示，点A在圆的外部，显 然|AB|＝2＋ 7为最大值，|AC|＝ 7－2为最小值.
b∈R).
复平面 ， 2.建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫作_______ 实轴 ， y 轴叫作 _______. x 轴叫作 _______ 显然，实轴上的点都表示 虚轴 ________ 纯虚数 实数 ，除________ 原点 以外，虚轴上的点都表示_________.
→ 与平面直角坐标系 的向量 OZ 3.复平面内的点Z(a，b)与__________________ 一一对应(实数0与零向量对应)，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R) → 来表示. 也可以用向量OZ
图1
方法二
设ω＝z＋2＋ 3i，则z＝ω－(2＋ 3i).
∵|z|＝2，∴|ω－(2＋ 3i)|＝2. 故复数ω对应的点在以(2， 3 )为圆心，以2为半径的圆 7 ，|ω|的最小值
湘教版高中数学选修2-2同步精练：5.4 复数的几何表示 含解析
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（)．A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i2．满足条件｜z｜＝|3＋4i｜的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）．A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆3．若x∈C，则方程|x｜＝1＋3i－x的解是（)．A．错误!＋错误!i B．－1或4C．－4＋3i D．错误!＋错误!i4．设z的共轭复数是错误!，若z＋错误!＝4，z·错误!＝8，则错误!等于（)．A．i B．－i C．±1D．±i5．已知复数z＝1－2i，那么错误!等于( )．A．错误!＋错误!i B．错误!－错误!iC．错误!＋错误!i D．错误!－错误!i6．若复数3－5i,1－i和－2＋a i在复平面内对应的点在一条直线上，则实数a＝________。
7．若z是实系数方程x2＋2x＋p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝__________。
8．已知z1＝2(1－i),｜z｜＝1，则|z－z1|的最大值是________．9．在复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|错误!|。
10．已知复数z1＝2＋i,2z2＝错误!。
（1)求z2；（2）若△ABC三内角A，B，C依次成等差数列,且u＝cos A＋2icos2错误!，求｜u＋z2｜的取值范围．参考答案1．C 6＋5i对应点A（6,5)，－2＋3i对应点B(－2，3)，则C错误!，即C(2，4)，所以点C对应的复数为2＋4i.2．C ∵｜3＋4i|＝5,∴|z|＝5表示以原点为圆心，以5为半径的圆．3．C 设x＝a＋b i，则错误!＝1＋3i－a－b i。
∴错误!⇒错误!即x＝－4＋3i。
4．D 设z＝a＋b i，则错误!＝a－b i（a，b∈R），∵z＋z＝4，z·z＝8，∴a＝2，a2＋b2＝8.∴b＝±2。
高中数学 第5章 数系的扩充与复数 5.4 复数的几何表示课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
2019/10/18
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谢谢欣赏！
2019/10/18
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要点二 共轭复数
例2 已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)与复数4－20i互为
共轭复数，求x的值． 解 因为4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋ (x2－3x＋2)i＝4＋20i，根据复数相等的定义，有
x2＋x－2＝4， x2－3x＋2＝20，
即 xx＝＝－－33或或xx＝＝26，，
跟踪训练3 已知复数z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ. (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解 (1)|z1|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1. ∴|z1|>|z2|.
要点三 复数的模及其几何意义
例3 设全集I＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}， z∈C}， B在＝复{平z||面z|<内1对，应z∈点C的}，轨若迹z．∈A∩(∁IB)，求复数z在
解 ∵z∈C，∴|z|∈R，设|z|－1＝x，∴x＝|z|－
－1∈R.
由||z|－1|＝1－|z|，即|x|＝－x，知x≤0， 即|z|－1≤0，|z|≤1，∴A＝{z∈C||z|≤1}． 又B＝{z∈C||z|<1}，∴∁IB＝{z||z|≥1，z∈C}
∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点Z为(k2 －3k－4，k2－5k－6)．
(1)若对应点位于x轴正半轴上， 则kk22－－35kk－－46>＝00，， 解得k＝6. (2)若对应点位于y轴负半轴上， 则kk22－ －35kk－ －46＝ <00，， 解得k＝4. (3)若对应点位于第四象限角平分线上， 又第四象限角平分线的方程为y＝－x(x>0)， ∴kk22－ －53kk－ －64＝ >0－，k2－3k－4， 解得k＝5.
高中数学第五章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示课件湘教版选修2_220171018239
3．已知复数z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ . (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
解 (1)|z1|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1. ∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2. 因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表 示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件 的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环， 包括边界．
5．4 复数的几何表示
【课标要求】 1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复
数的几何意义． 2．了解复数的模的意义，理解共轭复数概念．
自学导引
1．直角坐标系与全体复数建立了一一对应关系的平面叫作 复平面 ，x轴叫作 实轴 ，实轴上的点都表示 实数 ；y轴 叫作 虚轴 ，除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)(或平面向量 O→Z)之间建立了 一一对应 关系，这是复数的几何表示．
题型二 共轭复数
【例2】 已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)与复数4－20 i互为共轭复数，求x的值．
解 因为4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋ (x2－3x＋2)i＝4＋20i，根据复数相等的定义，有
x2＋x－2＝4， x2－3x＋2＝20，
即 xx＝ ＝－ －33或 或xx＝ ＝26， ，
自主探究
复平面内|z|的意义是什么？
提示 在实数集中，实数a的绝对值，即|a|表示实数a的点与 原点O间的距离．在复平面内，|z|表示复数z的点Z到原点的 距离，也就是向量O→Z的模． 设复平面内两点P、Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝ |z1－z2|，即是复平面内两点间的距离公式．
高中湘教版数学选修2-2章末检测5数系的扩充与复数 Word版含解析
章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i ∈S答案 B2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．3．(2013·天津改编)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n im －n i ＝ ( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i.4．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于 ( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2 答案 A解析a－i1＋i＝(a－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(a－1)－(a＋1)i2是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i等于() A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i答案 B解析∵(x－i)i＝y＋2i，x i－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，∴x＋y i＝2＋i.6．已知2＋a i，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为() A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5答案 A解析由条件知2＋a i，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4 B．－45C．4 D.45答案 D解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5(3＋4i)25＝35＋45i，故z的虚部等于45，故选D.8．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋b i(a，b∈R)，则ab的值是()A．－15 B．3 C．－3 D．15 答案 C解析1＋7i 2－i＝(1＋7i )(2＋i )5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.9．(2013·广东)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2) 答案 C解析 z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个 答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎨⎧m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4. 12．(2013·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.13．(2013·山东改编)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝________. 答案 5－i解析 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝ 2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i.14．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎨⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎨⎧2x －1＝y1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 三、解答题15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．16．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N )，求集合{x |x ＝f (n )}中元素的个数． 解 ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n .设k ∈N .当n ＝4k 时，f (n )＝2，当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k ·i ＋(－i)4k ·(－i)＝0， 当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k ·i 2＋(－i)4k ·(－i)2＝－2，当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k ·i 3＋(－i)4k ·(－i)3＝0， ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．17．(2013·山东德州期中)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， |ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i.即(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2.18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． (1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a . 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
5.4 复数的几何表示 同步练测(湘教版选修2-2)
5.4 复数的几何表示同步练测（湘教版选修2-2）[来源:1ZXXK](a2−3a+2)i表示的点位于第二象限，试求实数a的取值范围.16.已知在复平面内，复数z=a2+a−2+答题纸得分：1、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6. 7. 8.9. 10．二、解答题11.12.[来源:]13.14.15.16.答案1.D 解析：用特殊值法进行估值.不妨取m =45,则复数z =25−15i,故z对应的点Z (25,−15)在第四象限.2.B 解析：因为i 2=−1,所以z =√3−1,所以复数z在复平面的实轴上.故选B.3.B 解析：在锐角三角形中，必有A +B >90°c o s (A +B )<0a n B −1a n A =−c o s (A +B )c o s B s n A>0所以复数z的对应点在第二象限.故选B.[来源:1]4.A 解析：因为z 1,z 2的实部相等，虚部互为相反数，所以z 1,z 2关于实轴对称.故选A.5.B 解析：由已知得z的虚部为0，即m 2−2m −3=0,解得m =3或m =−1.当m =−1时，lgm 无意义，故舍去.所以m =3.6.二 解析：因为x =3+4i ,所以∣x ∣=√32+42=5.所以=3+4−51−=3+4−51+=−3+57.−5−3i 解析：⃗C A =⃗C B +⃗B A =−32+−2=−538.√19 解析:因为¿z 1−z 2∨¿7,所以∣z 1−z 2∣2=49. 故(z 1−z 2)∙(z 1−z 2)=49,即(z 1−z 2)∙(z 1−z 2)=49.所以z z +z z −z z −z z =49 (＊)又z z =∣z =9z z =∣z ∣=25代入(＊)式，得z 1∙z 2+z 2∙z 1=−15.所以∣+∣=(+)(+)=(+)(+)故∣z 1+z 2∣=√19.9.±(1±2√2)解析：要使负数z在复平面上对应的点在抛物线y =12x 2上，则2(t 2−2∣t −3)=(∣t −1)2,所以t 2−2∣t ∣−7=0,即(∣t ∣−1)2=8,所以t =±(1±2√2).10.②④ 解析：对于①，若复数a =−i ，可得a +1a =−i +1−i =0.对于③，若复数a =12+√32i ，复数b =−12+√32i ，则有｜a ｜=｜b ｜=1.而a ≠±b .所以②④正确.11.证明：因为四边形OZ 1AZ 2为矩形，所以有对角线OA 与Z 1Z 2相等，即∣⃗O Z 1+⃗O Z 2∣=⃗O Z 1−⃗O Z 2∣所以有∣z 1+z 2∣=∣z 1−z 2∣. 12. 解:∣z +2−2i ∣表示复数z对应的点到定点P (−2,2)的距离为1，满足圆的定义，所以复数z 对应的点的轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆. ∣z −2−2i ∣ 表示复数z 对应的点到点Q (2,2)的距离，故可知当z =−1+2i 时， ∣z −2−2i ∣取得最小值3. 13.解：设z =x +y i (x ,y ∈R ),∵ ∣z −1∣=∣z +i ∣,[来源:1]∴ 复数z 对应的点(x,y )在以点(1,0)和(0,−1)为端点的线段的垂直平分线上，∴ 复数z 对应的点(x,y )在以(√3,0)和(−√3,0)为焦点， 2为实轴长的双曲线的左支上.由{¿y =−x,¿x 2−y22=1(x <0),得{x =−√2,y =√2.故所求复数z =−√2+√2i . 14.解:因为m x 2−n x +p >0(m n p ∈R )的解集为(−1,2),所以{m <0,(−1)+2=n m ,(−1)×2=pm,即m <0,p >0,故复数m +pi所对应的点位于复平面内的第二象限.15.解:由∣z∣2−3∣z∣+2≤0,知1≤∣z∣≤2,点P应在以原点为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环面上(包括边界)，∣ω∣=5,所以∣PQ∣的最大值为5+2=7.16.解：根据复数的几何意义可知，复数z=a2+a−2+(a2−3a+2)i表示的点就是P(a2+a−2,a2−3a+2),要使点P位于第二象限，则{a2+a−2<0,a2−3a+2>0,解得−2<a<1.即满足条件的实数a的取值范围为−2<a<1.。
湘教版数学选修2-2分层训练5-4复数的几何表示含解析
5．4 复数的几何表示一、基础达标1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四 答案 D解析 由i 2＝－1，z ＝3－i ，对应点坐标为(3，－1)． 2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)．由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限．故选D.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 答案 C解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴答案 B解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎨⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |. 解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ， sin A ＞cos B ．cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0， 所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 10．复数z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第________象限．答案 三 解析 3<0，log 3 12<0，∴z ＝3＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限．11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎨⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎨⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i. 三、探究与创新13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0 ⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝02ab ＝0， ⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝±3，b ＝0 或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．。
2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步练习：5.4 复数的几何表示应用案巩固提升 Word版含解析
[A 基础达标]1．若复数z ＝2i ＋21＋i，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) A.22 B. 2 C. 3D ．2解析：选 B.由题意，得z ＝2i ＋21＋i ＝2i ＋2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，复数z 的模|z |＝12＋12＝ 2.2．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.由1＋z1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i 2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.5．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋i D ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.6．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________． 解析：因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， 所以a 2＝12，所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i.答案：±23－2i7．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3，2m )， 所以m －3＝2m ，即m －2m －3＝0.解得m ＝9. 答案：98．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________． 解析：因为复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，所以z ＝2i.所以|z |＝2.答案：29．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解：因为z ＝3＋a i(a ∈R )， 所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈(－7，7)．10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？解：结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， 所以z ＝（1－i ）（1＋2i ）1＋i ＝（1－i ）2（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i.所以复数z 所对应的点在第四象限．[B 能力提升]11．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1 解析：选D.|z 1－z 2| ＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝ 3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4≤3＋22＝2＋1.12．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i ，则z －＝________．解析：z ＝2i 31＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1－i ，所以z －＝－1＋i.答案：－1＋i13．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.14．(选做题)设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z1＋z，求证：μ为纯虚数．解：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y ≠0， 所以y －yx 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－（x ＋y i ）1＋（x ＋y i ）＝（1－x－y i）（1＋x－y i）（1＋x）2＋y2＝1－x2－y2－2y i 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi.因为y≠0，所以μ为纯虚数．。
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5．4 复数的几何表示
1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．
2．当0<m<1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 ∵0<m<1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0，故对应的点在第四象限内．
3．在复平面内，O 为原点，向量OA
→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线
y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB
→对应的复数为 ( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i 答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B(－2,1)，∴向量OB
→对应的复数为－2＋i.
4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m 的值为________．
答案9
解析∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2m，解之得m＝9.
1．复数的几何意义的理解中需注意的问题
(1)复数的实质是有序实数对．
(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.
(3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi(a，b∈R)是纯虚数，所
以纵轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．
(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写，复平面内点Z(a，b)
中的Z，书写时应大写．
2．共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则其共轭复数z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．。