2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题18平面向量的概念及其线性运算(题型专练)含解析

专题18 平面向量的概念及其线性运算1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量，则a=bB.若a=b，则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0，则|a|=|b|D.若a-b=0，则a与b是相反向量【答案】C.2.已知点D是△ABC的边AB的中点，则向量等于()A.-+B.--C.-D.+【答案】A.【解析】因为点D是AB的中点，所以=+=+=-+.3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若=(1+λ)-λ，其中λ∈R，则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【答案】C.【解析】因为=(1+λ)-λ，所以-=λ(-)，所以=λ，所以B，D，P三点共线，因此点P一定在BD边所在的直线上.4.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a-b|=|a|+|b|D.|a-b|=|a|-|b|【答案】C【解析】因为向量a与b共线反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|≥0，而|a|-|b|的符号不确定，所以A，B不正确.同理，D不正确，C显然正确.5.已知下列结论①已知a是非零向量，λ∈R，则a与λ2a方向相同②已知a是非零向量，λ∈R，则|λa|=λ|a|③若λ∈R，则λa与a共线④若a与b共线，则存在λ∈R，使a=λ b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.4【答案】B6.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若=m+n(m，n∈R)，则的值为()A.-2B.-C.2D.【答案】A【解析】如图.设=a，=b，则=ma+nb，=-=b-a，由向量与共线可知存在实数λ，使得=λ，即ma+nb=λb-λa，又a与b不共线，则所以=-2.7.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3，则△ABM与△ABC的面积比为()A. B. C. D.【答案】C8.在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为()A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】如图所示.设=λ，9.O是△ABC所在平面外一点且满足=+λ，λ为实数，则动点P的轨迹必经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】如图，设==，已知均为单位向量，故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，由=+λ得=λ，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心.10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足=，则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【答案】B近C点的一个三等分点.11．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①② 【答案】A【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．12．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |≥|λ|a【答案】C【解析】A 中，当λ＜0时，a 与－λa 方向相同，故A 不正确；B 中，当－1＜λ＜1时，|－λa |＜|a |，故B 不正确；C 中，因为λ2＞0，所以a 与λ2a 方向相同，故C 正确；D 中，向量不能比较大小，故D 不正确，故选C ．13．如图4-1-1所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )图4-1-1 A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b【答案】A14．如图4-1-2所示，矩形ABC D 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )图4-1-2A ．58B ．14C ．1D ．516【答案】A【解析】DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A ．15．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】B【解析】根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.16．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.17．如图4-1-4，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4-1-4【答案】2318．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】12 －16【解析】∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.19.已知点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且=a ，=b ，给出下列命题:①=a-b; ②=a+b;③=-a+b ;④++=0.其中正确命题的序号为 . 【答案】②③④20.在▱ABCD中，=a，=b，3=，M为BC的中点，则=.(用a，b表示)【答案】-a- b【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a- b.21.在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=.【答案】b+ c22.在△ABC中，已知D是AB边上一点，=+λ，则实数λ=.【答案】【解析】如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则=+.因为=+λ，所以==λ.由△ADE∽△ABC，得==，所以==，故λ=.23.已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.【解析】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，24.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若=m+，求实数m的值.25.已知△ABC中，=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+λa+λb，若动点P的轨迹与边BC的交点为M，试判断M点的位置.【解析】依题意，由=+λa+λb，得-=λ(a+b)，即=λ(+).如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于点M ，则=λ，所以A ，P ，D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹与BC 的交点为BC 的中点，即点M 为BC 的中点.26．如图4-1-3，在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4-1-3【解析】 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 27．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．28．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.。