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数学考研历年真题答案及解析
数学考研历年真题答案及解析数学考研对于很多考生来说是一个相当重要的科目，也是一个相对较难的科目。
因此，了解历年真题的答案及解析对于备考考生来说是至关重要的。
下面，我们将为大家提供数学考研历年真题的答案及解析，希望能对大家的备考有所帮助。
第一题：某考生在数学考研中遇到了如下题目：已知函数f(x)=-x^2+3x+2，求f'(2)答案及解析：首先，求f'(x)即可得到函数f(x)的导函数：f'(x)=-2x+3然后，将x=2代入f'(x)中：f'(2)= -2*2 + 3 = -1所以，f'(2)的值为-1，即答案为-1。
解析：此题考察了对函数的求导运算，求导的结果表示导函数在给定点的斜率。
通过对函数f(x)求导，得到导函数f'(x)为-2x+3。
然后，将x=2代入导函数中得到f'(2)=-1。
因此，题目的答案为-1。
此题比较简单，是考纲中的基础内容。
第二题：某考生在数学考研中遇到了如下题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f''(2)答案及解析：首先，求f'(x)即可得到函数f(x)的导函数：f'(x)=3x^2-6x+2然后，再次求f''(x)即可得到函数f(x)的二阶导函数：f''(x)=6x-6最后，将x=2代入f''(x)中：f''(2)= 6*2 - 6 = 6所以，f''(2)的值为6，即答案为6。
解析：此题考察了对函数的二阶导运算，二阶导数表示导函数的斜率变化率。
通过对函数f(x)求导的操作，我们首先得到一阶导函数f'(x)为3x^2-6x+2，然后再次对一阶导函数求导得到二阶导函数f''(x)=6x-6。
最后，将x=2代入二阶导函数中，我们得到f''(2)=6。
考研数学考试真题答案解析
考研数学考试真题答案解析：提高数学解题能力的关键数学作为考研科目中的一项重要内容，对于考生来说是一个不可忽视的挑战。
在考研数学考试中，考生不仅需要具备扎实的数学基础知识，还需要具备良好的解题能力。
为了帮助考生提高数学解题能力，我们将对考研数学考试真题的答案进行解析，以便考生更好地理解解题思路和方法。
首先，我们来解析一道典型的考研数学试题：2019年考研数学一试卷中的一道选择题如下：已知函数f(x)满足f'(x) = 2x + 3，并且过点(2, 4)。
则f(3)的值为多少？A. 15B. 16C. 17D. 18解析：根据题目已知条件可知，函数f(x)的导函数f'(x) = 2x + 3。
我们可以得到函数f(x)的原函数为f(x) = x^2 + 3x + C，其中C为常数。
由题目已知条件可知，函数f(x)过点(2,4)，即f(2) = 4。
我们可以利用原函数求解得出C的值。
将x = 2代入f(x) = x^2 + 3x + C中，得到4 = 2^2 + 3*2 +C。
化简得C = -9。
因此，函数f(x)的表达式为f(x) = x^2 + 3x - 9。
我们可以利用这个函数来求解f(3)的值。
将x = 3代入f(x) = x^2 + 3x - 9中，得到f(3) = 3^2 + 3*3 - 9。
化简得f(3) = 7。
综上所述，f(3)的值为7。
因此，答案为C。
通过这个例子的解析，我们可以看出，解决数学考试题目的关键在于对已知条件的理解和掌握。
在解答题目时，我们可以根据已知条件推导出相关的数学表达式，再根据所求的内容利用已知条件进行求解，最后再综合计算得出结果。
除了解析单个题目外，考生还应对整个数学试卷进行详细分析。
通过对试卷的分析，可以发现不同知识点的分布情况和题目类型的规律，从而更好地制定备考策略。
此外，提高数学解题能力还需要考生进行大量的练习和实践。
通过做更多的习题、真题和模拟试题，考生可以熟悉各类数学题目的解题思路和方法，掌握常用的数学工具和技巧。
2023-2024学年上海华东师大二附中九年级(上)启航夏令营数学试卷(A营)+答案解析
2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（A营）一、填空题：本题共10小题，每小题8分，共80分。
1.已知实数x，y，z满足，，则______.2.已知，则______.3.计算______.4.已知，，且，则正整数n的值为______.5.已知实数a，b，c满足，，则______.6.设为最接近的整数，则______.7.若正整数a，b，c满足，，则称为“好数组”，好数组共有______个.8.设实数x，y，z满足，则的最大值为______.9.已知x，y为整数，且满足，求的值______.10.电影院售票处前有10个人排队买票，票价都是50元，其中有五个人持有50元钞票，五个人持有100元钞票，售票处没有零钱找补.问使大家都能顺利买到票且不发生零钱找补困难的排队方式有______种.二、解答题：本题共4小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题15分解方程组12.本小题15分解方程：13.本小题20分若从1、2、3、…、20中，任取n个不同的数，在这n个数中一定能找到两个数，使大数是小数的奇数倍，求n的最小值.14.本小题20分求满足为素数的所有三元整数组答案和解析1.【答案】4【解析】解：，，，，，，，，，，，，故答案为：根据，，利用非负数的性质可以得到x、y、z的值，从而可以求得所求式子的值．本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出x、y、z的值．2.【答案】2022【解析】解：，，，，，，故答案为：先变形已知条件，两边平方变形得到，所以，然后利用降次的方法计算．本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．3.【答案】1【解析】解：原式故答案为：首先利用完全平方公式化简复合二次根式，然后利用二次根式的计算法则计算即可求解．本题主要考查了复合二次根式的化简，对于学生的能力要求比较高．4.【答案】2【解析】解：，，，，，将代入得，化简得，，，解得故答案为：先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得，，然后将代入，结果化简为，进而求解．本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解．5.【答案】0【解析】解：，，，，，，，，，，，，，故答案为：根据得出，，，即将已知等式的分母进行变形，把式子，通分后，去分母，把整体代入即可得出结论．本题是分式的加减法运算，灵活运用分式的加减法和整体代入的方法将所给的分式进行化简；异分母的分式相加减时，要化成同分母分式，先通分，化成同分母分式后，分母不变，分子相加减，按此法则进行计算可以得出abc的值．6.【答案】【解析】解：根据题意得：，共2个；，共4个；，共6个；⋯；，共88个；，共43个；因此，原式故答案为：根据题意易得，，，，，，，，，，，，，，⋯，，，⋯，；整理化简即可求解．本题考查了估算无理数的大小，关键在于正确计算的值．7.【答案】3【解析】解：，，，，b，c为正整数，，又，或2①当时，或2或3或4或5或6，当，时，，解得：，不合题意，舍去；当，时，，整理得：，故c不存在；当，时，，解得：，故得“好数组”为；当，时，，解得：，故得“好数组”为，当，时，，解得：，不合题意，舍去；当，时，，解得：，不合题意，舍去；②当时，或3，当，时，，解得：，故得“好数组”为当，时，，解得：，不合题意，舍去．综上所述：“好数组”为，，，共3组．故答案为：先由，可得出，进而得，依题意可得a只能为1或2，然后进行分类讨论即可得出答案．此题主要考查了不等式及其性质，正整数的特征，解答此题的关键是由已知条件，得出，再根据正整数的特征进行分类讨论．8.【答案】【解析】解：，当且仅当，时，M取等号，此时故答案为：M中后两项提取z变形，根据题中等式表示出z，代入M中配方变形后，利用非负数的性质求出M的最大值即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9.【答案】0或【解析】解：，，，，，，或，①或②，由②得：，，，，把代入①得：，，y为整数，当或2时，x为整数，，的值为0或，故答案为：0或先把已知等式的右边分解因式，然后根据等式的基本性质得到，继续分解因式，最后得关于x，y的方程，把x用y表示出来，再根据已知条件进行解答即可．本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法和等式的基本性质．10.【答案】604800【解析】解：现把拿50元的5个人看成是相同的，把拿100元的5个人也看成是相同的，使用我们常用的“逐点累加法”，图中每条小横段表示拿50元的人，每条小竖段表示拿100元的人，要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数，拿50元的要先，且人数不能少于拿100元的，即不能越过对角线AB，求从A到B的走法的方法数，逐点累加可求出为42，又由于每个人是不相同的，所以共有种情况．故答案为：根据所示的题意可得出所述情况的几何表示，计点A到点B的方法数，且不能经过AB上面的顶点，从而再由每个同学是不同的可得出最终答案．此题属于应用类题目，解答本题的关键是根据题意所述，得出题意的几何表达图，难度较大，尤其在寻找的路线数时，要细心．11.【答案】解：假设，则原方程组可以化为：①，②，③，三式子相加：④，所以，，，所以，，代入方程得出：，解得：，，，经检验，它们都是方程组的解．原方程组的解为：【解析】假设，则原方程组可以化，进而求出，，，得出，，代入方程求出即可．此题主要考查了分式方程组的解法，根据假设，将原方程组变形，求出，是解决问题的关键．12.【答案】解：，，，设，，，或，，不成立；，即，，，，解得：或或，综上所述：该方程的解为或或【解析】观察原式，将原始变形为，设，则，再利用立方公式分解因式，建立x与之间的联系，最后再通过立方公式求解即可求出x的值．本题主要考查了用换元法和立方公式解高次方程，属于较难题，熟练掌握立方公式是解答的关键．第11页，共11页13.【答案】解：在1、2、3、…、20中有8个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19，另外如取只含有偶数因数的4、8、16，也不满足大数是小数的奇数倍，除以上11个数外，再取一个数都能满足使大数是小数的奇数倍，至少取12个数使大数是小数的奇数倍，的最小值为【解析】除8个质数和只含有偶数因数的4、8、16的这11个数，再取一个数都能满足使大数是小数的奇数倍，故判断出答案．本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．14.【答案】解：，为偶数，是奇数，是奇数，、q是素数，或，当时，，显然不成立；当时，，，若，则与，1，矛盾，，，，，三元整数组【解析】根据题意可得或，当时，，显然不成立；当时，，若，则与，1，矛盾，可得，从而求出，本题考查高次方程的解，根据题意得到或是解题的关键．。
考研高等数学真题及答案解析
考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。
在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。
通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。
本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。
第一道题目是关于向量的问题。
题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。
答案是√52。
解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。
接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。
这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。
通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。
掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。
第二道题目是极限问题。
题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。
答案是1。
解析：这道题目是一个常见的极限问题。
根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。
这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。
这道题目涉及到极限的概念和性质。
在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。
熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。
第三道题目是微分问题。
题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。
答案是a=4，b=-3。
解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。
对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。
将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。
2023考研数学一真题试卷+详细答案解析
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（ ） （A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化； 选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（ ） （A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（ ）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间； 代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 （21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ； （2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ， 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==， 所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求 （1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立 （3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=； （2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立 （3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。
2023年考研数学真题卷及答案(数学三)
2023年全国硕士研究生招生考试（数学三）试题及答案解析1.已知函数,ln sin f x y y x y ，则A. 0,1fx 不存在，0,1f y 存在.B. 0,1fx 存在，0,1f y 不存在.C. 0,1fx ，0,1f y均存在.D. 0,1fx ，0,1f y均不存在.x 0,2.函数f (x )(x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.3.若微分方程y ay by 0的解在 ，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.4.已知a n b nn 1n 1,2, ，若级数n 1an与n 1bn均收敛，则“n 1an绝对收敛”是“bn绝B.充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件.对收敛”的A.充分必要条件.C.必要不充分条件.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵， M 为矩阵M 的伴随矩阵，则=A E OB A..A B B A O B A B..B A A B O A B C..B A B A OA B D..A B A B OB A 6二次型f x 1,x 2,x 3 x 1 x 22x 1 x 324 x 2 x 32的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 15 09 17.已知向量α1 ,α2 ,β1 ,β2 ，若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β1,β2线性表示，则γ 34 3A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则EA.1eB.12C.X EX2eD.19.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本，Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，记111111n m n m i i n m n m i 1i 1X X i ,Y Y i ,S 12 X i X 2,S 22Y i Y1 1 2,则A. 2122,S F n m S B. 21221,1S F n m S C. 21222,S F n m S D. 212221,1S F n m S 10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记a X 1 X 2,若E,则aA.2B.2二、填空题1111.l x x x i mx 22 x sin cos _______.2πx d y y d x x y 12.已知函数f (x ,y )满足d f (x ,y ),f 1,1 24则f .!=2nx 2nn 013. .14.设某公司在t 时刻的资产为f (t )，从0时刻到t 时刻的平均资产等于f (t )tt ，假设f (t )连续且f (0)=0，则f (t )=1231230,20x ax x x ax 15.已知线性方程组 x ax 1 bx 2 2,有解，其中a ,b 为常数，若a110a211a 4，则1a 112aa b 0.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且X B 1,p ,Y B 2,p ,p 0,1 ,则X +Y 与X Y .的相关系数为三、解答题17.已知可导函数y =y (x )满足ae x y 2 y ln(1 x )cos y b 0,且y (0) 0,y '(0) 0.(1)求a ,b 的值；(2)判断x 0是否为y (x )的极值点.18.已知平面区域D ={(x,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.D1|d x d y .19.已知平面区域D {(x ,y )|(x 1)2 y 2 1}.计算二重积分 |20.（12分）设函数f (x )在[-a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0)=0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f(x )在（-a ,a ）内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2f (a ) f ( a )12x 1x 2x 3x 1x 2x 3x21.设矩阵A 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A2 . x x3 x 2 x 3（1）求A ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵 ，使得P 1AP Λ.xx22.设随机变量变量X 的概率密度为f x 1 e e 2, x ,令Y e x.（1）求X 的分布函数；（2）求Y 的概率密度；（3）Y的期望是否存在？2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.D10.A空题11、二、填23π12、113、e x2+2e −x14、f （t ）=2（1-t ）-2e t 15、816、p （p-1）将y (0) 0代入ae x2yy y1 1xcos y ln(1 x )(sin y )y 0得a 0 1 0，所以a 1b 1 1xcos y ln(1 x )sin y y 0（2）由e x2yy y1两边对x 求导，得：（1）将(0,0)代入得a b 01e x 2 y 22yy y(1 1x )2cos y 11xsin ysin y y ln(1 x ) 2sin yy cos y y 01 x代入，得1 y (0) 1 0，y (0) 2 0，x 0为极大值.17【解析】2141tan ttan t xsec t (1)24se tan c tsec 2tdt 4t dt2csc tdt1)21(2)11 1x 2 x 2dx 112 1 1x 2 x dx 4)dx (1 18【解析】D 1 {(x ,y ∣)x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1 )x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1D 2 (x ,y∣D 1D 2d x d y1 1d x d y原式=161310829D 12cos2d 1 1 r r d r 1πd x d y 2 6d 1 r r d r 2其中 19【解析】π2π022259182D 2DD 1D 1d x d y 2cos1 1 1 r 1 r d r1 π d x d yd x d yd x d y d所以4439π原式=.1 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x 1 22f 112f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，则f (a ) f(0)a2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )ff (x ) f x 0 f x x 0 x x 020代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得222100()()22f f f a f a a x a x222100|()()|22f f f a f a a x a x2200()()22f f a x a x 2200()2f a x a x 220()222f a x220()f a x2()2f a ，12 ()max f f f 其中,,a a 21()|()()|2f f a f a a. 21.【解析】12123311111011x x x xx x2(1)由题可知，A 11.2011 111A (2)|A E | (2 )(2)( 1) 01232,1,2A 中1 A 中对应的线性无关特征向量1(4,3,1).T 2 A 中对应的线性无关特征向量21,0,12T3 A 中对应的线性无关特征向量3(0,1,1)123,,p 1212P AP22.【解析】xf (t )dt ( x )(1)F (x ) txt e 2dte121 1xt d e te1t x1 e 11 1e x(2) 当0y 时22111()(ln )(1)(1)Y X y f y f y y y y y 210(1)()0 Y y y f y其它 (3) 20d (1)EY y y y，2(1)y y 1y ，所以期望不存在.。
数学三答案
承载理想，启航未来1启航考研数学测评试题答案（数三）解答题（满分100分，每题10分）：一、求极限3tan sin limx x xx→-；解析：3330001sin 1tan sin sin (1cos )cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x→→→⎛⎫- ⎪--⎝⎭==⋅ 222011cos 12limlim 2x x xxxx→→-===二、讨论函数221()32x f x x x -=-+的间断点并指出类型；解析：分母23201,2x x x x -+=⇒==没有定义，2211111(1)(1)1l i m )l i m l i m l i m 232(1)(2)2x x xx x x x x f x x x x x x →→→→--++====--+---（1x ⇒=为()f x 的第一类间断点，2222221(1)(1)1l i m )l i m l i m l i m 32(1)(2)2x x xx x x x x f x x x x x x →→→→--++====∞-+---（2x ⇒=为()f x 的第二类间断点。
三、设1yy xe -=，求x dy dx=及22x d y dx=；解析：由1y y xe -=知当0x =时，1y = 承载理想，启航未来2方程两边对x 求导得：0y y y e xe y ''--=，将0,1x y ==代入得： 000x x y e y e ==''-=⇒=方程0y y y e xe y ''--=两边对x 求导得：()0y y y y y e y e y x e y y e y ''''''''---+= 将0,1x y ==，0x y e ='=代入得： 2220002x x y e e y e ==''''--=⇒=，即2222x d y e dx==。
2019考研数学三真题及参考答案解析
（2） p为何值，X，Z不相关；
（3） X ,Z是否独立.
23.设随机变量
X
的概率密度为
f
(x,
2)
A
( x )2
e 2 2
,
x
0,
x
2 为已知参数， 为未知参数，A 常数，
X
，X
1
，，X
2
为取自总体X的简单随机样本
n
.
（1）求 A；
2
（2）求 的最大似然估计量
2019 年全国硕士研究生入学统一考试
故 f 1= e1 1 为极小值.
16. 解： g(x, y) xy f (x y, x y)
g x
y
(
f
u
fv),
g y
x(
fu
fv)
2g x 2
( fuu
fuv
fuv
fvv )
fuu
2 fuv
fvv
2g xy
1 (
fuu
fuv
fuv
fvv )
1
fuu
fvv
2g y 2
( fuu
f
0
lim x2x 1 lim e2xln x 1 lim 2x ln x ，
x x0
x0
x
x x0
f
0
lim xex 11 lim ex 1 .
x0
x
x0
故
f
x=
x2x 2 ln x
1
x
e
x
2
x0
.
x0
令 f x=0 ，得 x1 e1, x2 1.
（1）当 x 0, e1 , f x 0, f x单调递减，
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
第一章 行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不 构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
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x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1
2023全国硕士研究生招生考试数学试题(数学二)真题解析
2023 考研数学二真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（ ）. （A ）ey x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex xx →∞=−故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续 因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小 【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +< 利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ） 【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin ax y x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（ ） （A ）()f x 连续，(0)f ′不存在 （B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续 （C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在 （D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续 【答案】（C ） 【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−， 利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在 ，选（C ） 【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（ ）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ） 【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ） 【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+− ()22231237222x x x x x + =+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可 即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出， 又可21,ββ线性表出的向量。
2023年考研数学试题答案及评分参考
2023年考研数学试题答案及评分参考一、选择题部分题目一答案：B解析：根据题干，我们可以使用解析几何的知识来求解。
首先，根据已知条件可以得到以下方程组：2x + y = 4 (1)x - y = 2 (2)然后，我们使用消元法解方程组。
将方程(2)乘以2，得到：2x - 2y = 4 (3)。
然后，我们将方程(1)减去方程(3)，可以得到以下方程：3y = 0。
解得y=0。
将y的解代入方程(2)，可以得到x=2。
因此，方程组的解为x=2，y=0。
选项B符合题意，所以答案选B。
题目二答案：C解析：题目给出一个函数f(x)的表达式：f(x) = x^2 - 4x + 3。
我们需要求函数f(x)在区间[0,4]上的最小值。
首先，我们计算函数f(x)的导数，然后令导数等于0，可以得到极值点。
对函数f(x)求导，得到f’(x) = 2x - 4。
令f’(x) = 0，解得x=2。
然后，我们求解函数f(x)在x=2处的取值。
将x=2代入函数f(x)，可以得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
由于题目要求的是在区间[0,4]上的最小值，那么我们需要比较区间的端点和极值点的取值。
将x=0代入函数f(x)，可以得到f(0) = 0^2 - 40 + 3 = 3。
将x=4代入函数f(x)，可以得到f(4) = 4^2 - 44 + 3 = 3。
综上所述，函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为-1。
因此，答案选C。
二、计算题部分题目一解答：根据题目给出的条件，我们可以列出以下方程组：2x + y = 3 (1)3x - y = 5 (2)我们可以使用消元法解这个方程组。
我们将方程(1)乘以3，得到：6x + 3y = 9 (3)。
然后，我们将方程(2)乘以2，得到：6x - 2y = 10 (4)。
将方程(4)减去方程(3)，得到：5y = 1。
解得y = 1/5。
将y的解代入方程(1)，可以得到2x + 1/5 = 3。
考研数学真题2019答案
考研数学真题2019答案第一题：设A、B为事件，且P(A)=0.2，P(B)=0.3，已知P(A∪B)=0.5，则P(A∩B)等于多少？解答：根据事件的概率公式，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，将已知条件带入可得：0.5 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)，解方程可得P(A∩B) = 0.2。
第二题：已知集合A={x∈Z | 1 ≤ x ≤ 10}，集合B={x∈Z | 3 ≤ x ≤ 7}，则集合A∩B的元素个数是多少？解答：集合A中的元素为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，集合B中的元素为{3, 4, 5, 6, 7}，集合A∩B的元素为{3, 4, 5, 6, 7}，个数为5。
第三题：已知函数f(x) = 3x^2 + 2，求f(x)的单调递增区间。
解答：要求函数f(x)的单调递增区间，需要求函数f(x)的一阶导数f'(x) > 0所对应的x的取值范围。
对函数f(x)求导得f'(x) = 6x，令f'(x) > 0，可得x > 0。
因此，f(x)的单调递增区间为x > 0。
第四题：已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，即X~Exp(λ)。
若E(X)=10，求λ的值。
解答：指数分布的期望值E(X) = 1/λ，将已知条件带入可得1/λ = 10，解方程可得λ = 1/10。
第五题：已知A为3阶方阵，A^T为A的转置矩阵，且A^T*(A^T)^-1 = I，其中I为3阶单位矩阵，求A的行列式的值。
解答：首先，根据矩阵运算规则，有A^T*(A^T)^-1 = I，即A^T * (A^-1)^T = I。
由此可得A * A^-1 = I，其中A^-1为A的逆矩阵。
根据矩阵乘法的性质，若矩阵A与矩阵B互为逆矩阵，则det(A) * det(B) = 1。
因此，det(A) * det(A^-1) = 1，即det(A) * (1/det(A)) = 1，解得det(A) = 1。
考研数学一真题和答案解析
202X 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕真题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】〔C 〕【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选〔C 〕. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】〔A 〕【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比拟等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选〔A 〕(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】〔B 〕【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
启航考研真题及答案
启航考研真题及答案考研是许多中国大学生在本科学习结束后选择的一条道路，它不仅是对学术能力的一次挑战，也是个人职业规划的重要一步。
考研真题及答案的准备，对于考生来说至关重要，它能够帮助考生了解考试的难度和题型，为考试做好充分的准备。
# 考研真题的重要性考研真题是历年来考研考试中实际出现过的题目，它们反映了考试的出题规律和重点。
通过研究真题，考生可以：1. 了解考试结构：熟悉考试的题型和分值分布，为制定复习计划提供参考。
2. 掌握考试重点：发现历年考试中的高频考点，有针对性地加强复习。
3. 提高解题技巧：通过练习真题，提高答题速度和准确率，熟悉答题技巧。
4. 检验复习效果：定期模拟考试环境，检验自己的复习成果，及时调整复习策略。
# 如何获取考研真题1. 官方渠道：部分高校和教育部门会在官方网站上公布历年真题，考生可以登录相关网站下载。
2. 教育机构：一些考研辅导机构会整理并出版历年真题集，考生可以购买这些资料。
3. 图书馆和书店：图书馆和书店有时会有历年真题的资料，考生可以前往查阅。
4. 网络资源：互联网上有许多考研论坛和学习平台，考生可以在这些平台上找到真题资源。
# 如何使用考研真题1. 模拟考试：在规定的时间内完成真题，模拟真实考试环境，提高应试能力。
2. 分析答案：仔细分析每道题的解题思路和答案，理解出题者的意图。
3. 总结规律：通过对比不同年份的真题，总结考试的出题规律和趋势。
4. 查漏补缺：在练习真题的过程中，发现自己的知识盲点，及时补充和巩固。
# 考研真题的局限性虽然考研真题对于考生来说非常有帮助，但考生也应该意识到真题的局限性：- 时效性：随着教育改革和考试政策的变化，考试内容和要求可能会有所调整，过去的真题不能完全代表未来的考试。
- 全面性：真题只是考试的一部分，考生还需要结合教材和辅导资料，全面复习。
# 结语考研真题是复习过程中的重要资源，但考生应合理利用，结合自身实际情况，制定科学合理的复习计划。
2023年师华师启航夏令营数学a卷解答
2023年师华师启航夏令营数学A卷解答一、选择题1、答：B2、答：C3、答：A4、答：D5、答：C6、答：B7、答：A8、答：D9、答：A10、答：C二、填空题1、答：162、答：0.253、答：454、答：645、答：6三、解答题1、解：题目所求是一个等差数列的和，首先求得等差数列的公差为3，然后利用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
代入公式得：S10=10(2+29)/2=10*31/2=155答：1552、解：根据题意可知7个球从7个不同的箱子中进行放置，那么第一个球有7种放法，第二个球有6种放法，第三个球有5种放法，以此类推，第七个球只有一种放法，所以总共的放法数为7*6*5*4*3*2*1=5040答：50403、解：设学生数为x，班级数为y，根据题意可列出方程组：x-y=12x+y=38解得：x=25，y=13答：25，134、解：根据勾股定理可知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
已知a+b=17，a²+b²=145，代入勾股定理方程组中解得a=8，b=9 答：8,95、解：根据题意可知等边三角形的外接圆半径为边长的3/2倍，那么外接圆的半径为10*3/2=15答：15本次数学A卷解答完整，仅供参考。
接下来我们将继续扩写上面的解答内容，为您详细解析数学A卷中的各道选择题、填空题和解答题。
四、解析选择题1. 题目：已知正整数n满足n^2-5n+6=0，则n的取值范围是？解析：对于这道选择题，我们可以利用一元二次方程ax^2+bx+c=0的求解方法。
计算出Δ=b^2-4ac，根据Δ的情况分类讨论：若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无实数根。
根据题目所给的n^2-5n+6=0，计算Δ=(-5)^2-4*1*6=25-24=1>0，因此这道题的解为两个不相等的实数根。
启航考研真题答案
启航考研真题答案考研真题答案的获取对于每位准备考研的学生来说都是至关重要的。
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希望每位考研学子都能够在复习过程中找到适合自己的方法，最终取得理想的成绩。
启航数学练习题.doc
启航数学练习题11、己知全集为& = A = [L ；IA})B= {2.4.6},则图中阴影部分表示的集合为B. {4}C. {4, 5}D. {1,2, 3, 6}2、设全集 U= {1,2, 3, 4, 5, 6},设集合 P= {1, 2,3,4}, 0 二{3, 4, 5},则 PgQ=( )A. {1,2, 3, 4, 6}B. {1,2, 3, 4, 5}C. {1,2, 5}D. {1,2} 3、设集合M 二{x | x>-2),则下列选项正确的是[ ]A 、 {0}G MB 、 {0} eMC 、 0eMD 、 0£M4、 己知集合+ + = 若=则实数a 的值为A. 0B. T C ・ 7 D.-2 或 U 5、已知集合八凶宀1】上7破呷若如则实数d 的值为A. 1B. -1C. ±LD.减±1 6、已知人〃均为集合^ = {1.3.5.7.9}的子集，且AnB={3.u} "cQ2={9},则人二()A {1-3}B. P-7.9}C. {：Z9}D {3 9}7、设集合釘=仪1「潭一金+恳= 0}, N =罔护一力=0}则JU LiJV 等于( )A. («}评卷人 得分第1卷一、选择题B {仇讣C （0.1.5}D {仇-1. -5}8.集合P 二丘2|0U}帖丘吐*9}则\A. {1, 2}B. {0, 1, 2}C. {工|0£*3}D. {-v | 03x£3}9、设全集- R,集合八={才1屮> 1}・〃={才・/一：“一 4 >0},则lAc （S =（）A. {叩 V 才 < 4}B. {川一 <」}r （J B | —1 < Z < 0 }D {J'l-l <-r <4}An （ ）=A . P k <n > B. p |2<z<4} C {F |OV* v2或・1・ > 4}D {』|O v -r <2 或・r > 4}11、 已知集合 A 二{x|x 〈2},b 二{x 卜 1W X W3}，则 aUb=（>A. {x|xW3}B. {x|x2—l}C. {x|-l^x<>D. {x 卜 1W X W3} 12、 若集合八沖绸，且犷B",则集合占可能是（）A. 2； R.仲*9 C.（70.1} D. R 13、 已知集合A = {j'k < 1},〃= {* ”则）a. kk< -1}B. {j |-l <-r <0} c.W<HD W<2}14、 设尸・Q 是两个非空集合，定义^*<2= {（a.6）|ci € 7<6€ Q}若尸={0.1-2} Q = {1.2.3. 4}则卩• Q 中元素的个数是（）A. 4B. 7C. 12D. 16 15、设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|aep,beQ}.若P 二{0, 2, 5}, Q 二{1, 2, 6},则P+Q 中元素 的个数是（）10、已知全集为H,集合 ，则"= "一 m •一 N <则16、已知集合尸={才“-玄>0}, Q = {才|l V 才< 2},则(C R P) riQ 等于() A. 10- 1) b. (n-2jc. n-2) o il 2J17、 己知集合 A=P|2<-r< J} 〃 = {・r|(・r-l)Gr —3) V 0}则貝门！？=()A. (1,3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)18、 集合A = {_1・仇4},集合l/={z .r 2-2z-3<O.ze<V }全集为/ ；,则图中阴影部分表 示的集合是( )19、已知集合人=｛一2.0.2｝, " = ｛才|十一才一2 = 0｝,则且门刃=()A. 0B mC. (C 1D. ｛一三｝A. 5B. 4C. 3D. 2A. E口 B.(4 C (4>-2.-b04>2,4f 5^}D (3} 22、已知集合 A = {1.2.3.4.5} Z/={(z.y)|z€ A.z-yC A}则中所含元素的个 数为()20、 己知集合 ){^|Z =3H -2.« W 13 = {G.8.10.12.14}则集合川Cl “中元素的个数为21、 AHB J^-Q c.{5D {-!■«}A.3B.6C.8D.1(：AJ23、设集合A.$B.A>cND.W}24、满足= 的集合A的个数为()A.1B.2C.3D.4(0.1.2}.>V = {z|z = 2«.u € */}呗憔合MBA =(25己知集合耐=A.WB.{0 “D.啊26、设集合"={*1严--r - 6 < o} A; = {-r|l < JT<3}则A/ n N =( All-2) B」】2|c.S]D .P 3]27、设集合= {—1-0.1}.*V = {.r|-T2 =-r}-p{ljA/ n jV =( )A i-i.oi}B. {0-Uc.fl}D・{C--------- --------- 二、填空题28、已知集合辰也齐"*同，若4"囤8*},则实数4的值为29、设全集/ = & € iV'k < 6},集合A = {1.3} 2/= {3・ 5},则・i A B30、设尸・Q为两个非空实数集合，定义集合= {«-*«€ P.AGQ}.若‘• = {c• Q = n ?・昭-piij ” 一◎中元素的个数为___________________________ .31、已知集合A = {1・2・3}, " = {2丄5},则集合川IJ "中元素的个数为 ________________ .32、己知集合丸={@・对1才_斗=2}占={(・!■・抄)|2#_# = J}则xni?= ______________________33、己知八={4«・《計，"={4rv“}1.若B Q 4,贝皈的取值范围是__________________ ;2.若B2£则"的取值范围是__________________ •34、已知集合A = {-1.X2IW -1}集合〃={3・"'},若乃匸启,则实数加= _____________________________35、已知集合垃={0-1.2} zV = {.r\jr = 2«.w G 对}则集合制nA = ____________________ .36、己知集合M={x|x2<4h N={X|X2-2X-3<0^,则集合MAN= _____________________________________________37、已知九= (1-2} J/=U|X G.4}>则集合卫与Q的关系为___________________________ .38、全集5 = {l・3・h -疋一24•人={1・也- 1|}•如果d = {叫，则这样的实数;r是否存在?若存在，求出『若不存在,请说明理由.39、已知集合川=例2仔< 3}, B = {”= < 一1或才> &},若丸门〃=飢求a取值范围。
2023年山西省省际名校高考数学联考试卷(一)(启航卷)+答案解析(附后)
2023年山西省省际名校高考数学联考试卷（一）（启航卷）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数其中i是虚数单位，则( )A. B. C. D.3. 有一个正四棱台的油槽，可以装油152升.若油槽的上下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度是( )A. 180cmB. 80cmC. 60cmD. 30cm4. 现有6个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字1、3，3，4，5，从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字则所取出的两个小球上数字都是3的概率为( )A. B. C. D.5. 定义在R上的函数满足，且为奇函数.当时，，则( )A. 1B.C. 0D. 26. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处三点共线测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为( )A. 64mB. 74mC. 52mD. 91m7. 已知曲线：上一点处的切线为l，曲线：上至多存在一条与l垂直的切线，则实数b的取值范围是( )A. B.C. D.8. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB面积的最小值为( )A. B. C. 2 D. 19. 设向量，，则( )A. B. 与的夹角为C. D.10. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 函数在上单调递减B. 函数的值域是C. 若方程有5个解，则a的取值范围为D. 若函数有3个不同的零点，，，则的取值范围为11. 已知正方体的棱长为2，其外接球的球心为O，点P满足，过点P的平面平行于AD和，则( )A. 平面平面B.平面平面C. 当时，平面截球O所得截面的周长为D. 平面截正方体所得截面的面积为定值12. 已知圆C：，点Q为直线l：上的动点，则下列说法正确的是( )A. 圆心C到直线l的最大距离为8B. 若直线l平分圆C的周长、则C. 若圆C上至少有三个点到直线l的距离为，则D.若，过点Q作圆C的两条切线，切点为A，B，当点Q坐标为时，有最大值13. 展开式的常数项是______.14. 已知数列满足，，则的通项公式是______ .15.已知双曲线的左，右焦点分别为，，A为双曲线C 的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足，且，则双曲线C的离心率为______ .16. 已知实数a，b满足，则的取值范围是______ .17.已知数列满足，，且，，成等差数列.求的通项公式；若，求数列的前2n项和18. 已知函数的部分图象如图所示.求的解析式，并求的单调递增区间；若对任意，都有，求实数t的取值范围.19. 如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，，C是底面圆周上一点，PC与平面PAB所成的角为，点M，N分别在PB，PC上，且平面求的值；求平面AMN与平面PAC夹角的余弦值.20. 2022年河南、陕西、山西、四川、云南、宁夏、青海、内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“”高考模式.“”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.附：，，21. 已知点在椭圆上，直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为求直线l的斜率；求面积的最大值.22. 已知函数若，求实数a的取值范围；求证：有2个不同的零点.答案和解析1.【答案】A【解析】解：由得，，解得，，且，故选：可解求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设正四棱台的深度为h cm，因为油槽的上下底面边长分别为60cm和40cm，，解得：，故选：设出该正四棱台的深度，利用棱台的体积计算公式即可求解．本题考查了正四棱台的体积计算，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，从这6个小球中随机取出两个球，取出的球中有数字3，可分为有一个数字3，对应概率为，有2个数字3，对应概率为，故取出的球中有数字3的概率为，已经知道取出的球中有数字3，则所取出的两个小球上数字都是3的概率为，故选：根据题意，从这6个小球中随机取出两个球，取出的球中有数字3，可分为有一个数字3和有2个数字3，计算对应概率，进而求出取出的球中有数字3的概率，利用条件概率公式，计算即可．本题考查条件概率公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为为奇函数，所以，即有，所以，又因为，所以，所以，即，所以，所以的周期为4，所以，又因为，所以故选：由及为奇函数，可得的周期为4，于是可得，再由，可得，再根据时的解析式求解即可．本题考查了函数的对称性、周期性，难点在于得出函数的周期为4，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，在中，，在中，，，，由正弦定理，得，又在中，故选：先在中求出AC的长度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出CM，最后在中利用三角函数的定义求出MN的长度即可．本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题．7.【答案】A【解析】解：点在曲线：上，，，曲线方程为：，，曲线在处的切线l的斜率为2，的导函数为，又曲线：上至多存在一条与l垂直的切线，关于x的方程在R上最多只有一个根，即在上最多只有一个根，与在上最多只有一个交点，又由对勾函数的性质可得：在上的值域为，当与在上最多只有一个交点时，可得，实数b的取值范围是，故选：先根据点在曲线上，建立方程求出a，从而利用导数的几何意义，可得切线l的切线斜率，从而再根据题意可得：关于x的方程在R上最多只有一个根，再参变量分离结合对勾函数的性质，即可求解．本题考查利用导数求解曲线的切线问题，导数的几何意义的应用，方程的解的个数问题，对勾函数的性质的应用，化归转化思想，属中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得交点，准线方程，设直线AB的方程为，，，，，，联立，消去x整理得，则，，又，可得，即，化简得，过点P作轴交AB于M点，如图所示，则，所以M为AB的中点，故，故，当且仅当时等号成立，故三角形PAB的面积的最小值为故选：设直线AB的方程为，，，，，，联立直线AB的方程和抛物线方程求得，通过求得，再通过点P作轴交AB于M点，进而得到M为中点，由表示出三角形PAB 的面积，结合基本不等式求出最小值即可．本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：，，则，，故A正确；，则，故的夹角为，故B错误；，，则，故C错误，D正确．故选：根据已知条件，结合向量模公式，向量的夹角公式，向量垂直的性质，即可依次求解．本题主要考查向量模公式，向量的夹角公式，向量垂直的性质，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为，作出的图象，如图所示：对于A，由图象可得在和上单调递减，故错误；对于B，由图象可得，所以函数的值域为故正确；对于C，因为方程有5个解，即的图象与的图象有5个交点，所以，故正确；对于D，因为函数有3个零点，即的图象与的图象有3个交点，所以，当时，令，解得，又因为3个不同的零点，，满足，所以，，且有，即有，所以，即，，所以，所以，所以，故正确．故选：将函数写成分段函数，作出图象，结合图象逐一判断即可．本题考查了分段函数性质、对数函数的性质、二次函数的性质，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A，因为，过点P的平面平行于AD和时，，且，所以平面，选项A正确；对于B，因为平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，选项B正确；对于C，时，P是AB的中点，取CD的中点Q，的中点R，的中点S，连接PQRS，则四边形PQRS是矩形，矩形的对角线是平面截球面所得圆的直径，计算，所以截面圆的周长是，选项C错误；对于D，因为平面截正方体所得截面是矩形PQRS，且，SP是变化的，所以矩形PQRS的面积不是定值，选项D错误．故选：A中，由，，得出，再由，得出平面；B中，由平面得出平面平面，再由平面得出平面；C中，时P是AB的中点，画出截面四边形PQRS，求出平面截球面圆的直径，计算截面圆的周长即可；D中，根据平面截正方体所得截面是矩形，矩形PQRS的面积是相邻两边长的积，计算即可．本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．12.【答案】BD【解析】解：由圆C：，知圆心，半径，对于A：直线l：恒过定点，点C到直线l的最大距离为，故A不正确；对于B：直线l：平分圆C的周长，则直线过圆心C，，解得，故B正确；对于C：若圆C上至少有三个点到直线l的距离为，则圆心到直线的距离，，解得，故C错误；对于D，最大值时，则需最小，此时PC与直线l垂直，由，直线l：，过C与l垂直的直线方程为，即，联立方程可得，故D正确．故选：由圆C：，知圆心，半径，恒过定点，可求点C到直线l的最大距离，判断A；由直线过圆心可求k，从而判断B；由已知圆心到直线的距离，可求k的范围判断C；利用当最小时，有最大值，可求点Q的坐标判断本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，直线方程的求法，属中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．把按照二项式定理展开，可得展开式的常数项．【解答】解：的展开式的常数项为故答案为14.【答案】【解析】解：数列满足，，①，当时，可得，②①-②整理得：，，时，不适合上式，故故答案为：根据已知的递推关系式得到，以及时，，与已知的作差，整理后即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和逻辑思维能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意及对称性易知：四边形为平行四边形，，又，由余弦定理易得，，，将代入双曲线中，可得，，又，且，，，，又，解得，故答案为：根据题意及对称性易知：四边形为平行四边形，从而可得，又，从而由余弦定理可得，再根据勾股定理可得，再将代入双曲线方程中，可求出，从而建立方程，再化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，勾股定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：原式可化为，，设，由题意得是单调递增函数，，，，，设，，则，时，单调递增，时，单调递减，，的取值范围是故答案为：原式可化为，从而，设，由是单调递增函数，推导出，设，，则，利用导数性质能求出的取值范围．本题考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：，，，，，即，数列是公比为2的等比数列，又，，成等差数列，，即，解得，由可知，，【解析】将因式分解后，可得数列是公比为2的等比数列，再结合等差中项的性质，求得，得解；采用分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差中项的性质，等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由图象可得的最小正周期，，由图知，，，解得，，又，，，令，，解得，，函数的单调递增区间为，又对任意，都有，可得，可得，，，，解得，实数t的取值范围为【解析】由图象可得的最小正周期，利用正弦函数的周期公式可求的值，由图知，结合，可求，可得函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解；由题意利用三角函数恒等变换的应用可求得，可求范围，利用正弦函数的性质可得，进而即可解得实数t的取值范围．本题考查了正弦函数的周期公式，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换的应用，考查了函数思想，属于中档题．19.【答案】解：在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，，C是底面圆周上一点，PC 与平面PAB所成的角为，点M，N分别在PB，PC上，且平面AMN，过C作，垂足为D，底面ABC，平面PAB，平面平面ABC，平面PAB，为直线PC与平面PAB所成的角，即，，点D与点O重合，即，以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由P、N、C三点共线，设，则，，，故，平面AMN，，即，解得，所以；点M，N分别在PB，PC上，且平面AMN，平面AMN，是平面AMN的一个法向量，设平面PAC的一个法向量为，则，所以，令，取，则，则平面AMN与平面PAC夹角的余弦值为【解析】以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，利用平面AMN，解得，即可求解；求得两个平面的法向量，代入二面角公式即可求解．本题考查了线面垂直的应用和二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：根据题意，记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为事件A，从物理、历史里选一门，生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门的选法有种，事件A即从剩余生物学、思想政治、化学三个科目中选择一个，有种等可能选法，所以根据题意，设此次网络测试的成绩①由于此次测试平均成绩为210分，则，因为，且，即，即，，又，，所以前640名学生成绩的最低分低于，而考生甲的成绩为260分分，则甲同学能够获得荣誉证书．②若考生乙所说为真结果是开放的，只要统计理由充分，即可，则，，而，所以，从而理由1：根据统计学中的原则，认为为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假．理由2：，4000名学生中成绩大于420分的约有人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真．【解析】记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为事件A，分析全部的选法数目和事件A包含的选法数目，由古典概型公式计算可得答案；①由正态分布曲线的性质分析、的值，由此可以分析前640名学生成绩的最低分，由此可得结论；②结果是开放的，只要统计理由充分，即可．本题考查正态分布的应用，涉及古典概型的计算，属于中档题．21.【答案】解：将点A的坐标代入椭圆方程得，化简得，解得舍或，椭圆C的方程为设，，由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立直线l与椭圆C的方程并整理得，，即则，由，化简得，，整理得，又直线l不经过点A，即，，解得由知，直线l的方程为，，，点A到直线l的距离，，，当且仅当，即时等号成立．经验证，此时满足直线l与椭圆C相交，故的面积最大值为【解析】将点A的坐标代入椭圆方程得，化简解得，即可得出椭圆C的方程，设，，由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立直线l与椭圆C的方程并整理得，由，化简得，把根与系数的关系代入即可得出由知，直线l的方程为，可得点A到直线l的距离，利用根与系数的关系可得，由，化简整理结合基本不等式即可得出的面积最大值．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长与三角形面积问题、基本不等式、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：函数的定义域为，则等价于，令，则，令，由函数单调性的性质可知，在上单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，则，即实数a的取值范围为证明：有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根．令，则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，所以在处取极大值为又因为，当时，，当时，，且时，所以，且因为，是方程的2个不同实数根，则，所以，令，则，且，所以，又，，所以要证，只需证又，则只需证，即证，又，即证，令，则，所以在上单调递增，，所以当时，成立，即得证．【解析】问题等价于成立．令，利用导数求出函数的最大值即可得解；转化为证明有2个不同的实数根．令，利用导数研究函数的性质即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．。