2014-2015学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(A卷)(理科)(含完整答案和解析)
河南省洛阳市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的..1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．∅2．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．23．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣4．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＞0，a1007+a1008=0，则当S n取最大值时，n=（）A．1007 B．1008 C．2014 D．20157．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（，2）8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为（）A．B．C．D．9．若命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）10．已知椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则•的值为（）A．3 B．7 C．11 D．2111．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；②命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；③命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为假命题．正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2B∥OP，|FA2|=+，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A1M交椭圆于点N，则•=（）A．10B．5C．15D．随点M在直线l上的位置变化而变化二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知数列{a n}的前n项和为S n=2n﹣3n，则a6+a7+a8=______．14．已知实数x，y满足+y2=1，则x+2y的最大值为______．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则点B与点D1两点间的距离为______．16．已知p：“≤0”，q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”，命题“若￢p，则￢q”为假命题，“若￢q，则￢p”为真命题，则实数m的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+2．（1）若实数a＜0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，求正实数a的取值范围．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞1，S2=6，且a2是a3与a3﹣2的等差中项．（1）求a n和S n；（2）设b n=log2a n，求T n=++…+．19．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；（2）若B=，求sinA+sinC的取值范围．20．已知点A（﹣，0）和圆B：（x﹣）2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．21．如图，ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；（2）若BE⊥PC且交点为E，BE=a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．22．斜率为1的直线l经过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4．（1）求实数p的值；（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△PCD的内切方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PCD面积的最小值．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的..1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），当x＜0时，B中不等式变形得：x＜1，此时x＜0；当x＞0时，B中不等式变形得：x＞1，此时x＞1，∴B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．2．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC及内部），目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可知当直线经过点A（1，2）时，取最大值2，故选：D．3．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得．【解答】解：因为抛物线y=4x2，可化为：x2=y，则抛物线的准线方程为y=﹣．故选：D．4．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=ac，化为（a﹣c）2=0，解得a=c．又B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴A=60°．故选：C．5．“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程﹣=1表示双曲线⇔（2+n）（n+1）＞0，解得n即可得出．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线⇔（2+n）（n+1）＞0，解得n＞﹣1或n＜﹣2．∴“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的必要不充分条件．故选：B．6．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＞0，a1007+a1008=0，则当S n取最大值时，n=（）A．1007 B．1008 C．2014 D．2015【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和题意易得数列{a n}的前1007项为正，从第1008项开始为负，易得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＞0，a1007+a1008=0，∴a1007＞0且a1008＜0，即等差数列{a n}的前1007项为正，从第1008项开始为负，∴当S n取最大值时，n=1007．故选：A7．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x代入双曲线的方程，由题意可得b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系和离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：将直线y=x代入双曲线﹣=1，可得：（b2﹣a2）x2=a2b2，由题意可得b2﹣a2＞0，即有c2﹣2a2＞0，即为e2＞2，即e＞．故选：B．8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），=（﹣1，1，0），=（0，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面A1C1A的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面A1C1B的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，1），设二面角B﹣A1C1﹣A的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为．故选：C．9．若命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】全称命题．【分析】根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式△的取值，进行求解即可．【解答】解：判别式△=（2+a）2﹣4（2+a）=（a+2）（a﹣2），若判别式△=（a+2）（a﹣2）≤0，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，满足条件．若判别式△=（a+2）（a﹣2）＞0即a＞2或a＜﹣2时，设f（x）=x2﹣（2+a）x+2+a，要使命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则满足，则a≤0，∵a＞2或a＜﹣2，∴a＜﹣2，综上，a≤2，故选：B ．10．已知椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同的焦点F 1，F 2，两曲线的一个交点为P ，则•的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．11 D ．21【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的P 的坐标，求出向量，的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同焦点为（±3，0），即有m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点P （，），则=（﹣3﹣，﹣），=（3﹣，﹣），即有•=（﹣3﹣）（3﹣）+=+﹣9=11．故选：C ．11．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，以下说法：①在△ABC 中，“a ，b ，c 成等差数列”是“acos 2+ccos 2=b ”的充要条件；②命题“在锐角三角形ABC 中，sinA ＞cosB ”的逆命题和逆否命题均为真命题； ③命题“对任意三角形ABC ，sinA +sinB ＞sinC ”为假命题．正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． ②根据四种命题之间的关系进行判断即可．③根据正弦定理进行判断即可．【解答】解：①若acos 2+ccos 2=b ，即a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得：sinA +sinAcosC +sinC +cosAsinC=3sinB ，即sinA +sinC +sin （A +C ）=3sinB ，可得sinA +sinC=2sinB ，由正弦定理可得，整理得：a +c=2b ，故a ，b ，c 为等差数列；反之也成立，即，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；故①正确，②在锐角三角形ABC中，则A+B＞，于是＞A＞B﹣＞0，则sinA＞SIn（B﹣）=cosB，即sinA＞cosB成立，则原命题为真命题．则逆否命题也为真命题，命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题为：若sinA＞cosB，则三角形为锐角三角形，在三角形中，当B为钝角时，cosB＜0，此时满足sinA＞cosB，则命题的逆否命题为假命题．，故②错误，③在三角形中，由正弦定理得若“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”则等价为对任意三角形ABC，a+b＞c成立，即命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为真命题，故③错误，故正确的个数是1，故选：B12．如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2B∥OP，|FA2|=+，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A1M交椭圆于点N，则•=（）A．10B．5C．15D．随点M在直线l上的位置变化而变化【考点】椭圆的简单性质．【分析】由F的坐标，求得P的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得b=c，再由条件可得a=，b=c=，求得椭圆方程，设出M的坐标，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，消去y，由韦达定理可得N的横坐标，进而得到N的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：由F（﹣c，0），可得P（﹣c，），A2（a，0），B（0，b），即有k OP=，可得﹣=﹣，即有b=c，a=c，|FA2|=a+c=+，解得a=，b=c=，即有椭圆的方程为+=1，设M（，t），A1（﹣，0），即有直线A1M：y=（x+），代入椭圆方程x2+2y2=10，可得（20+t2）x2+2t2x+10t2﹣200=0，（﹣）•x N=，可得x N=，y N=（x N+）=，则•=•+t•==10．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知数列{a n}的前n项和为S n=2n﹣3n，则a6+a7+a8=215．【考点】数列的求和．【分析】利用a6+a7+a8=S8﹣S5，代入计算即得结论．【解答】解：∵S n=2n﹣3n，∴a6+a7+a8=S8﹣S5=（28﹣3×8）﹣（25﹣3×5）=215，故答案为：215．14．已知实数x，y满足+y2=1，则x+2y的最大值为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的参数方程和三角函数的性质求解．【解答】解：∵实数x，y满足+y2=1，∴，0≤θ＜2π，∴x+2y=2cosθ+2sinθ=2sin（），∴x+2y的最大值为2．故答案为：2．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则点B与点D1两点间的距离为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由已知得=，由此能求出点B与点D1两点间的距离．【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，∴=，∴=（）2=+2+2+2=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2，∴||=．∴点B与点D1两点间的距离为．故答案为：．16．已知p：“≤0”，q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”，命题“若￢p，则￢q”为假命题，“若￢q，则￢p”为真命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3] ．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的x的范围，根据p⇒q，而q推不出p，求出m的范围即可．【解答】解：若p：“≤0”为真命题，则p：﹣2＜x≤2；若q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”为真命题，则1+m＜x＜1﹣m，命题“若￢p，则￢q”为假命题，“若￢q，则￢p”为真命题，即p⇒q，而q推不出p，∴，解得：m＜﹣3，将m=﹣3代入符合题意，故答案为：（﹣∞，﹣3]．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+2．（1）若实数a＜0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，求正实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】（1）f（x）=ax2﹣（a+2）x+2=（ax﹣2）（x﹣1），a＜0，可得ax2﹣（a+2）x+2=0的两根为，且＜1，即可得出．（2）f（x）+2x＜0化为：g（x）=ax2﹣ax+2＜0，由“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，可得，又a＞0，解得a范围．【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣（a+2）x+2=（ax﹣2）（x﹣1），∵a＜0，∴ax2﹣（a+2）x+2=0的两根为，且＜1．∴关于x的不等式f（x）＞0的解集为．（2）f（x）+2x＜0化为：g（x）=ax2﹣ax+2＜0，∵“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，∴，又a＞0，解得a＞．∴正实数a的取值范围是．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞1，S2=6，且a2是a3与a3﹣2的等差中项．（1）求a n和S n；（2）设b n=log2a n，求T n=++…+．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）联立a1（1+q）=6及2a1q=a1+a1q2﹣2，计算可知q=2、a1=2，进而计算可得结论；（2）通过（1）裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意，a1（1+q）=6，①2a1q=a1+a1q2﹣2，即a1（q2﹣2q+1）=2，②①÷②并化简得：3q2﹣7q+2=0，解得：q=2或q=（舍），代入①并化简得：a1=2，则a n=2n，S n==2n+1﹣2；（2）由（1）可知b n=log2a n=n，∵==（﹣），∴T n=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=．19．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；（2）若B=，求sinA+sinC的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）b是a与c的等比中项，可得cosB=≥=，即可得出B的取值范围．（2）sinA+sinC=sinA+=，由于，可得≤1．即可得出．【解答】解：（1）∵b是a与c的等比中项，∴cosB=≥=，当且仅当a=c时取等号，≤cosB＜1，又0＜B＜π，∴B的取值范围是．（2）sinA+sinC=sinA+=sinA+cosA+sinA=，∵，∴≤1．∴＜．故sinA +sinC 的取值范围是．20．已知点A （﹣，0）和圆B ：（x ﹣）2+y 2=16，点Q 在圆B 上，线段AQ 的垂直平分线角BQ 于点P ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）轨迹C 上是否存在直线2x +y +1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S ，T ，求直线ST 的方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）直接由题意可得|PA |+|PB ||=4＞|AB |=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b 2=a 2﹣c 2求得b 2，则点P 的轨迹方程可求；（2）设S （x 1，y 1），T （x 2，y 2），由题意可设直线ST 的方程为y=x +m ，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用线段ST 的中点（﹣m ， m ）在对称轴2x +y +1=0上，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意知|PQ |=|PA |，∴|PA |+|PB ||=4＞|AB |=2由椭圆定义知P 点的轨迹是以A ，B 为焦点椭圆，a=2，c=∴b=，∴点P 的轨迹的方程是=1；（2）设存在直线ST 的方程为y=x +m ，与椭圆方程联立，化简可得3x 2+4mx +4m 2﹣8=0．S （x 1，y 1），T （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∵线段ST 的中点（﹣m ， m ）在对称轴2x +y +1=0上，∴﹣m +m +1=0，∴m=，满足△＞0，∴存在直线ST 的方程为y=x +．21．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ．（1）若PA=AB ，点E 是PC 的中点，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若BE ⊥PC 且交点为E ，BE=a ，G 为CD 的中点，线段AB 上是否存在点F ，使得EF ∥平面PAG ？若存在，求AF 的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以A 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面PCD 的法向量，即可求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）确定E 的坐标，平面PAG 的法向量，利用EF ∥平面PAG ， •=0，即可得出结论．【解答】解：（1）以A 为原点，建立如图所示的坐标系，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （a ，a ，0），D （0，a ，0），P （0，0，a ），E （，，），=（，，），=（a ，0，0），=（0，a ，﹣a ），设平面PCD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取=（0，1，1），则直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为=；（2）G （，a ，0），设P （0，0，c ）（c ＞0），则=（﹣a ，﹣a ，c ），设=λ，则E （（1﹣λ）a ，（1﹣λ）a ，λc ），∴=（﹣λa ，（1﹣λ）a ，λc ），∵BE=a ，∴（﹣λa ）2+[（1﹣λ）a ]2+（λc ）2=①∵BE ⊥PC ，∴λa 2﹣（1﹣λ）a 2+λc 2=0，∴c 2=a 2，②由①②解得λ=，c=a ，∴E （a ， a ， a ），P （0，0，a ）若存在满足条件的点F，可设AF=l（0≤l≤a），则F（l，0，0），=（l﹣a，﹣a，﹣a），设平面PAG的法向量为=（s，t，p），则，∴=（（﹣2，1，0），∵EF∥平面PAG，∴•=0，∴﹣2l+a﹣a=0，∴l=a，∴存在满足条件的点F，AF=a．22．斜率为1的直线l经过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4．（1）求实数p的值；（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△PCD的内切方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PCD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；（2）设P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨设c＞d，直线PC的方程为y﹣c=x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：（1）抛物线的焦点为（，0），直线l的方程：y=x﹣，与抛物线E：y2=2px联立消去y得（x﹣）2=2px，∴x2﹣3px+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1；（2）设P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨设c＞d，直线PC的方程为y﹣c=x，化简得（y0﹣c）x﹣x0y+x0c=0，又圆心（1，0）到直线PC的距离为1，故=1，即（y0﹣c）2+x02=（y0﹣c）2+2x0c（y0﹣c）+x02c2，不难发现x0＞2，上式又可化为（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，同理有（x0﹣2）d2+2y0d﹣x0=0，所以c，d可以看做关于t的一元二次方程（x0﹣2）t2+2y0t﹣x0=0的两个实数根，则c+d=﹣，cd=﹣因为点P（x0，y0）是抛物线Γ上的动点，所以y02=2x0，所以（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd=，又x0＞2，所以c﹣d=．所以S△PBC=（c﹣d）x0=x0﹣2++4≥2×2+4=8，当且仅当x0=4时取等号，此时y0=±2，所以△PBC面积的最小值为8，此时P（4，±2）．2016年9月16日。
河南省洛阳市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24120x x x A =--<，{}2x x B =<，则()RAB =ð（ ）A ．{}6x x <B ．{}22x x -<<C ．{}2x x >-D ．{}26x x ≤< 2、设i 为虚数单位，复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 3、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -=4、若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75、已知命题:p 0R x ∃∈，使0sin x =:q R x ∀∈，都有210x x ++>．给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；④命题“()()p q ⌝∨⌝是假命题． 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③6、已知角α的终边经过点()a A ，若点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．BC ．12-D ．127、在平面直角坐标系内，若曲线C :22224540x y ax ay a ++-+-=上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞ 8、已知直线:m 230x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P 点的坐标可能是（ ）A ．3,22ππ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭9、把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=10、在平面直角坐标系x y O 中，点A 与B 关于y 轴对称．若向量()1,a k =，则满足不等式20a OA +⋅AB ≤的点(),x y A 的集合为（ ）A ．()(){}22,11x y x y ++≤ B ．(){}222,x y x y k +≤C ．()(){}22,11x y x y -+≤ D ．()(){}222,1x y x y k ++≤11、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π 12、设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '．对R x ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c +的最大值为（ ）A 2B 2C ．2D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是 ．14、函数()1,10,01x x x f x e x +-≤<⎧=⎨≤≤⎩的图象与直线1x =及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15、将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是 （用数字作答）． 16、如图，在C ∆AB中，C sin2∠AB =，2AB =，点D 在线段C A 上，且D 2DC A =，D B =，则cosC = ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设12log n n b a =，求22212111111n n b b b T =++⋅⋅⋅+---．18、（本小题满分12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ），且规定82.7分是复试线，那么在这200012.7≈，若()2,z μσN ，则()0.6826z μσμσP -<<+=，()220.9544z μσμσP -<<+=）()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD =． ()1求证：平面Q PB ⊥平面D PA ；()2在棱C P 上是否存在一点M ，使二面角Q C M -B -为30？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点． ()1求椭圆C 的标准方程；()2设O 为坐标原点，22b k k aOA OB⋅=-，判断∆AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 21、（本小题满分12分）设函数()()2ln 12f x x ax a x =---（0a >）．()1若0x ∃>，使得不等式()264f x a a >-成立，求实数a 的取值范围；()2设函数()y f x =图象上任意不同的两点为()11,x y A 、()22,x y B ，线段AB 的中点为()00C ,x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()0k f x '>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（理A ）参考答案一、选择题：13、60 14、12e 15、24016、79三、解答题。
2014-2015学年上学期高中期末考试卷(高二理科生物)(含答案)
2014-2015学年上学期期末考试高二生物（理科）试卷说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将答题卡交回。
满分100分，考试时间120分钟。
第一卷（选择题，共60分）一、选择题(本题包括40小题，每题1.5分，共60分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意)1．下列有关组成生物体化学元素和化合物的叙述，正确的是 ( )A．磷是脂肪、ATP、DNA等不可缺少的成分 B．酶和核酸都是含有氮的生物大分子C．肌肉细胞中含量最多的化合物是蛋白质 D．纤维素是植物细胞的主要储能物质2．下面关于蛋白质的叙述中，正确的是（）A.蛋白质是酶,其基本组成单位是氨基酸B.每种蛋白质都是由20种氨基酸组成的C.蛋白质是肽链以一定方式形成具有复杂空间结构的高分子化合物D.各种蛋白质都含有C、H、O、N、P等元素3.右图是细胞亚显微结构模式图。
下列相关叙述，正确的是（）A．②是内质网，是细胞内蛋白质合成和加工以及脂质合成的“车间”B．③是中心体，细胞分裂间期中心体发出纺锤丝，形成纺锤体C．④是核糖体，无生物膜结构，其合成与核仁有关。
D．⑤是核孔，是DNA进出细胞核的通道4.将三种洋葱鳞片叶表皮放在相同浓度的蔗糖溶液中，一段时间后制成临时装片放在显微镜下观察到下图所示的不同状态的细胞图像。
这3个细胞原来细胞液浓度的高低关系是（）A.甲＞乙＞丙 B．甲＜乙＜丙C．乙＞甲＞丙 D．甲＝乙＝丙5对于下列各结构在生物中的叙述，不正确的是（）①叶绿体②染色体③核膜④核糖体⑤细胞壁⑥拟核A．①～⑤在绿藻体内都存在 B．大肠杆菌和蓝藻共有的是④⑤⑥C．除①②③外其他都在乳酸菌的体内存在D．菠菜和发菜体内都含有①③④⑤6.如图所示：甲图中①②表示目镜，③④表示物镜，⑤⑥表示物镜与载玻片之间的距离，乙和丙分别表示不同物镜下观察到的图像。
下面描述正确的是 ( )A．①比②的放大倍数大，③比④的放大倍数小B．把视野里的标本从图中的乙转为丙时，应选用③，同时提升镜筒C．从图中的乙转为丙，正确调节顺序：转动转换器→调节光圈→移动标本→转动细准焦螺旋D．若使物像放大倍数最大，甲图中的组合一般是②③⑤7．下列关于人体细胞结构和功能的叙述，错误的是（）A、唾液腺细胞和胰腺细胞中高尔基体数量较多B、在mRNA合成的同时就会有多个核糖体结合到mRNA上C、核孔是生物大分子可以选择性地进出的通道D、吸收和转运营养物质时，小肠绒毛上皮细胞内线粒体集中分布在细胞两端8.下列关于细胞膜的流动性和选择透过性的叙述，不正确的是( )A.流动性的基础是组成细胞膜的磷脂分子和蛋白质分子大多是可以运动的B.选择透过性的基础是细胞膜上的载体蛋白和磷脂分子具有特异性C.细胞的胞吞和胞吐体现了细胞膜的流动性D.钾离子通过主动运输的形式进入细胞，体现了细胞膜的选择透过性9.如图所示为细胞膜的亚显微结构，其中a和b为物质的两种运输方式，下列对细胞膜结构和功能的叙述不正确的是 ( )A.如果图中所示为肝细胞膜，则尿素的运输方向是Ⅱ→ⅠB.细胞间的识别、免疫、细胞的癌变与②有密切的关系C.大多数②可以运动D.b过程不需要能量，a过程能体现膜的选择透过性这一生理特性10. 对光合作用过程中物质转变途径的叙述，错误的是（）A．碳原子：CO2→C3化合物→（CH2O） B．氧原子：H2O→O2C．氢原子：H2O→ATP→（CH2O） D．氧原子：CO2→C3化合物→（CH2O）11. 下图为不同条件下酶促反应的速率变化曲线，相关叙述错误的是（）A．在c点增加酶的浓度，反应速率将加快B．Ⅱ比Ⅰ反应速率慢的原因是温度低使酶活性降低C．bc段影响反应速率的主要限制因子是底物浓度D．在a点增加底物浓度，反应速率将加快12.下图表示比较过氧化氢在不同条件下的分解实验。
【精品】2014-2015年河南省洛阳市高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2014-2015学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，2＞1，则命题￢p为（）A．∀x∈R，2≤1B．∃x0∈R，2≤1C．∃x0∈R，2＜1D．∀x∈R，2＜12．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b23．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=（x+3）2+y2的最小值为（）A．8B．10C．12D．164．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27B．36C．42D．635．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=10，则弦AB的长为（）A．16B．14C．12D．106．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或7．（5分）已知O为坐标原点，A（﹣1，1），B为圆x2+y2=9上的一个动点，则线段AB的中垂线与线段OB的交点E的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件B．“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真C．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≤（）2”的充要条件D．已知命题p，q，若（￢p）∨q为假命题，则p∧（￢q）为真命题9．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB=2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N，已知点M在y轴上，且满足=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．211．（5分）某足够大的长方体箱子内放置一球O，已知球O与长方体一个顶点出发的三个平面都相切，且球面上一点M到三个平面的距离分别为3，2，1，则此半球的半径为（）A．3+2B．3﹣C．3+或3﹣D．3+2或3﹣212．（5分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为，直线l：y=﹣2，任取椭圆上一点P（异于短轴端点M，N）直线MP，NP分别交直线l于点T，S，则|ST|的最小值是（）A．2B．4C．4D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）13．（5分）已知=（m+1，0，2m），=（6，0，2），∥，则m的值为．14．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcos（B+C）=0，则△ABC一定是三角形．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+12=0和直线l2：x=﹣1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．（5分）已知数列满足a1+a2+a3=6，a n+1=﹣，则a16+a17+a18=．三、解答题（共大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省洛阳市2014届高三上学期期末质量检测化学(A卷)试题 Word版含解析
本试卷可能用到的相对原子质量：H ：1 O：16 Na：23 Cu：64一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意，每小题2分，共20分）1．节约资源和保护环境是每个公民应尽的义务。
下列说法错误．．的是A．废弃的金属、纸制品、塑料是可回收资源，玻璃不是可回收资源B．大力推广农作物的生物防治技术，以减少农药的使用C．“静电除尘”、“燃煤固硫”、“汽车尾气催化净化”都能提高空气质量D．“低碳生活”倡导生活中耗用能量尽量减少从而减少CO2排放2．以下进行性质比较的实验，不合理．．．的是A．比较镁、铝金属性：氯化镁、氯化铝溶液中分别加入过量的NaOH溶液B．比较氯、溴非金属性：溴化钠溶液中通入氯气C．比较Cu、Fe2+的还原性：铁加入硫酸铜溶液中D．比较高锰酸钾、氯气的氧化性：高锰酸钾中加入浓盐酸【答案】C【解析】试题分析：A．比较镁、铝金属性的强弱可以通过它们的最高价氧化物对应的水化物的碱性的强弱。
即氯3．中学化学实验中常用到碳酸钠溶液，下列有关叙述错误．．的是A．在实验室中，能用碳酸钠溶液制备少量烧碱B．实验室制CO2气体时，用饱和碳酸钠溶液除去其中混有的HCl气体C．制取乙酸丁酯时，用于除去混有的丁醇和乙酸D．做银镜反应实验时，可用热的碳酸钠溶液洗涤掉反应前试管内壁上的油污4．莽草酸可用于合成药物达菲，其结构简式如图，下列关于莽草酸的说法正确的是A．分子式为C7H6O5B．分子中含有两种官能团C．可发生加成和取代反应D．在水溶液中羟基和羧基均能电离出氢离子【答案】C5．由—CH3、、—OH、—COOH四种原子团两两组合形成的有机物中，属于弱电解质的有A．3种B．4种C．5种D．6种6．下列说法不正确．．．的是A．K sp只与难溶电解质的性质和温度有关B．由于K sp(ZnS)＞K sp(CuS)，所以ZnS沉淀在一定条件下可转化为CuS沉淀C．其他条件不变，离子浓度改变时，K sp不变D．两种难溶电解质作比较时，K sp小的，溶解度一定小正确。
2014—2015学年度上学期期末考试高 一 地 理 试 题(含答案)
绝密★启用前2014—2015学年度上学期期末考试高一地理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共50分）和第Ⅱ卷（非选择题，共50分）两部分。
21世纪教育网考试时间为90分钟。
满分为100分。
21世纪教育网注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。
2．每小题选出答案后，填入答题卡答题栏中。
3．考试结束，考生只将答题卡交回，试题卷自己保留。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、单项选择题(共25小题，每小题2分，共50分)。
据英国《每日邮报》报道，天文学家发现一颗绕昏暗恒星运转的类地行星，距地球仅40光年。
它是一个热气腾腾的“水世界”，体积是地球的6倍。
据推测，这个“水世界”同样拥有大气层，且75%的表面区域被水覆盖，但由于温度太高，它无法支持地球型生命的存在。
结合材料回答下列问题。
1．“水世界”类地行星所在的天体系统是（）A．地月系B．太阳系C．银河系D．河外星系2．天文学家推测“水世界”类地行星无法支持地球型生命存在的主要依据是（）A．该行星陆地面积狭小B．该行星不存在大气层C．该行星距离太阳太远D．该行星距离恒星太近美国国家科学院预言：在2014年的某一天，美国南部的一些城市，在五彩斑斓的极光光幕过后，电网会突然变得闪烁不定，灯光在瞬时明亮后将会停电，一分半钟之后，这个大停电现象将会遍及美国整个东部地区，甚至整个欧洲以及中国、日本等区域也会同样经历这样的灾难，而这场灾难仅仅源于太阳打了一个强烈的“喷嚏”。
据此回答3～4题。
3．材料中所述的太阳打了强烈的“喷嚏”极有可能是（）A．太阳耀斑爆发B．太阳爆炸C．太阳辐射增强D．太阳辐射减弱4．该“喷嚏”还可能产生的明显影响不包括（）A．短波通讯中断B．信鸽丢失C．指南针失灵D．地球公转速度的变化5．每年儿童节到中秋节，太阳直射点的移动规律是（）A．先向南再向北B．一直向北C．一直向南D．先向北再向南6．地球自转的真正周期（）A．1恒星日24小时B．1太阳日23时56分4秒C．1恒星日23时56分4秒D．1恒星年365日6时9分10秒图1为“某地正午太阳高度角年变化折线图”，读图回答7～8题。
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
2014-2015学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．73．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．1084．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤87．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4010．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或311．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）【解答】解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：B．2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．7【解答】解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选：A．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]【解答】解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选：B．7．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选：A．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r+1令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选：D．10．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：515．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．【解答】解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），=bcsinA=×4×2×=2；∴S△ABC（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．【解答】（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则f′（x）＞0得x＞0；f′（x）＜0得x＜0．故f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。
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2014-2015学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷
（A 卷）（理科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.已知命题p ：∀x ∈R ，2 x 2−2＞1，则命题￢p 为（ ）
A.∀x ∈R ，2 x 2−2≤1
B.∃x 0∈R ，2 x 02−2≤1
C.∃x 0∈R ，2 x 02−2＜1
D.∀x ∈R ，
2 x 2−2＜1
2.若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A.1a−b ＞1a
B.1a ＞1b
C.|a |＞|b |
D.a 2＞b 2
3.已知x ，y 满足约束条件{y ≥0
x ≥−2x +y ≥1
，则z =（x +3）2+y 2的最小值为（ ）
A.8
B.10
C.12
D.16
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=3，S 5=30，则a 7+a 8+a 9=（ ）
A.27
B.36
C.42
D.63
5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=10，则弦AB 的长为（ ）
A.16
B.14
C.12
D.10
6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B=√3ac ，则角B 的值为（ ）
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
7.已知O 为坐标原点，A （-1，1），B 为圆x 2+y 2=9上的一个动点，则线段AB 的中垂线与线段OB 的交点E 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
8.下列说法正确的是（ ）
A.“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件
B.“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的否命题为真
C.若x ，y ∈R ，则“x =y ”是“xy ≤（x+y 2）2”的充要条件
D.已知命题p ，q ，若（￢p ）∨q 为假命题，则p ∧（￢q ）为真命题
9.正四棱锥S-ABCD 中，SA=AB=2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）
A.√36
B.√66
C.√33
D.√63 10.已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N ，已知点M 在y 轴上，且满足F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为（ ）
A.√2
B.√3
C.2√3
D.2
11.某足够大的长方体箱子内放置一球O ，已知球O 与长方体一个顶点出发的三个平面都相切，且球面上一点M 到三个平面的距离分别为3，2，1，则此半球的半径为
（ ）
A.3+2√2
B.3-√2
C.3+√2或3-√2
D.3+2√2或3-2√2
12.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为√32，直线l ：y =-2，任取椭圆上一点P （异于短轴端点M ，N ）直线MP ，NP 分别交直线l 于点T ，S ，则|ST|的最小值是（ ）
A.2√3
B.4√2
C.4√3
D.8√2
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.已知a ⃗ =（m +1，0，2m ），b ⃗ =（6，0，2），a ⃗ ∥b ⃗ ，则m 的值为 ______ ．
14.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos B+bcos （B+C ）=0，则△ABC 一定是 ______ 三角形．
15.已知直线l 1：4x -3y +12=0和直线l 2：x =-1，则抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ______ ．
16.已知数列满足a 1+a 2+a 3=6，a n +1=-1a n +1，则a 16+a 17+a 18= ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17.已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0及命题q ：∃x 0∈R ，x 02-x 0+a =0，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
18.已知点O （0，0），M （1，0），双曲线C ：x 2a -y 2
b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上有一点P ，满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3．
（1）求渐近线方程；
（2）若双曲线C 过点（2，3），求双曲线方程．
19.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos C ，bcos B ，ccos A 依次成等差数列．
（1）求角B ；
（2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 面积的最大值．
20.已知等比数列{a n }中，公比q ＞1，a 1+a 4=9，a 2a 3=8．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =a n +1log 2a n +1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得2n +1+S n ＞60n +2成立的正整数n 的最小值．
21.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中点，F是BC 上的一点，AF交CD于点E，且CE=DE，将△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为
120°．
（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）求二面角F-AC-E的余弦值．
22.已知椭圆M：x2
m2+y2
n2
=1，过点P（1，2）的直线l与x，y轴正半轴围成的三角形面
积最小时，l恰好经过曲线M的两个顶点A，B．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l交曲线M于点C，D（异于A，B）两点，求四边形ABCD面积最大时，直线l的方程．。