2018届人教B版 数列02 单元测试
2018-2019学年人教B版必修5 第2单元 数列 单元测试.doc
2018-2019学年人教B版必修5 第2单元数列单元测试1.【黑龙江省2018年仿真模拟(二)】（）A．．．．【答案】A【解析】2.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】等差数列{a}n 中，nS为na的前n项和，820a=，756S=，则12a=（）A. 28B. 32C. 36D. 40 【答案】B【解析】()177412847565682408322a aS a a a a+=⇒=⇒=∴=-=-=，选B.3.【2018届海南省琼海市高考模拟】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”。
其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发了多少升大米？A． 192 B． 213 C． 234 D． 255【答案】C【解析】【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟（二）】0的等差数列, 4．A．．．．【答案】C【解析】a42+a52=a62+a72即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10（a5+a6）=0，故选：C．5.B能力提升训练1．【2018届贵州省贵阳市第一中学月考一】在等差数列中，若，且，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 16 【答案】A2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-， 376a a +=-，则当n S 取得最小值时， n 等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】由题设1111{2286a d a d =-⇒=+=-，则()2211112n S n n n n =+--=-，所以当6n =时，212n S n n =-最小，应选答案A.3．【2018届湖南省永州市第一次模拟】在等比数列{}n a 中，已知11a =， 48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（ ） A. 49 B. 70 C. 98 D. 140 【答案】B【解析】在等比数列{}n a 中，由141,8a a ==，得352,4,16q a a ===，即264,16b b ==，()()()1726777774162870222b b b b b S +++=∴====，故选B.4．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】当 时， ，因为 ，所以 ，当 时，令时，5．【2018届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上三校联考】已知等差数列{}n a 中， n S 是数列{}n a 的前n 项和，且255,35.a s == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列n 1n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】（I ）21n a n =+， *n N ∈ . （II ）n T =1nn +. 【解析】试题分析: （I ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式代入计算,求出求出首项和公差以及通项公式; （II ）化简数列n 1n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式,利用裂项相消法求出n T ．试题解析:（I ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，因为255,35.a s ==所以115{ 545352a d da +=⨯+=得13{ 2a d == ∴数列{}n a 的通项公式是 21n a n =+， *n N ∈（II ）13,21n a a n ==+()()12321222n n n a a n n S n n +++∴===+,()21111111n S n n n n n n n ∴===--+++ ，12111111n n T S S S ∴=++⋅⋅⋅+--- 11111111223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. C 思维拓展训练1. 【2018届百校联盟开学联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i = ，且1210a a a <<< ，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C2．【2018届河北省鸡泽县第一中学10月月考】设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lga n }与{lgb n }的前n 项和，且＝，则55b log a = ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设两个数列公比分别为12,q q ，有123lg lg lg lg n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=()()][1012121231111lg lg lg n n n n a a a a a q n a q -+++⋅⋅⋅+-⎡⎤⋅⋅⋅==⎢⎥⎣⎦同理可得n T = 1212lg n n b q -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有n n S T = 121211221111121111221212lg lg log lg lg n n n n n n b q n a q a q a q n b q b q ----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦== ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1212121111log 22n n n b q n S n n a q T n n --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫++=∴= ⎪⎝⎭，当9n =时有()()45124115915log log 299b b q a q a +===⨯.故选C.3.【2018届甘肃省兰州第一中学第二次月考】已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，若以(),n n a S 为坐标的点在曲线()112y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为________． 【答案】n a n =4．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺（五）S n）A ． 8B ． 9C ． 10D ． 11 【答案】C 【解析】S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ，a 4=4，S 5=15， ，解得d=1，则a n =4+（n ﹣4）=n ．=解得m=10． 故答案为：10．故选：C ．5．【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知递增的等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，满足14231832a a a a +==，， 2b 是1a 和2a 的等差中项，且333b a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1) 2n n a =,21n b n =-;(2) n S = 21nn +. 【解析】。
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2018-2019学年人教B 版必修5 第2单元 数列 单元测试1．在数列1,2,,…中,是这个数列的第A ．16项B ．24项C ．26项D ．28项2．数列13,13-,527,781-,…的一个通项公式是 A ．a n =(-1)n+1213n n - B ．a n =(-1)n213n n - C ．a n =(-1)n+1213nn - D ．a n =(-1)n213nn - 3．若数列中,,则的值为 A ． B ． C ．D ．4．若数列的前项和,则它的通项公式是A ．B ．C ．D ．5．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++6．在数列中==则＝A ．B ．C ．D ．7．已知数列的通项为258n na n =+，则数列的最大值为AB ．7107C ．461D ．不存在8．已知函数=()633,7,7x a x x ax -⎧--≤⎨>⎩,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n 个图形中有_________个正方形.10．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ___________． 11．已知数列的前项和为,且=213n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则 ．12．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 13．已知首项为2的数列的前项和为，且，若数列满足()*113212n n n n b a n --=+∈N ，则数列中最大项的值为__________．14．已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n .(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?15．已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-7n-8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有,求出其最小项.16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*21n n S a n =-∈N ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n b 满足12b =，1n n n b a b +=+，求数列{}n b 的通项公式．17．已知数列{}n a 满足112a =，其前n 项和2n n S n a =，求其通项公式n a ．18．设数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________． 2．（2015江苏）数列满足且,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 .3．（2015新课标全国Ⅰ理科）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知a n >0,.（1）求{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=.求数列{b n }的前n 项和.1．【答案】A【解析】①②③逐一写出为0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为，不满足，故选A.2．【解析】（1）令，则.（2）由（1），知()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+， 设数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为n S ，则12111111211352133521212121n n a a a n S n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．【解析】（1）将代入，得，4．【答案】B 【解析】由题意得,,,,,所以数列是周期为4的周期数列，所以.选B ．5．【解析】（1）由已知11n n a a S S =+，可得当1n =时，2111a a a =+，可解得10a =或12a =， 当2n ≥时，由已知可得1111n n a a S S --=+，1．【答案】C【解析】数列1,2,,…可化为,,…,则由,解得2．【答案】C【解析】对于选项A,当n=2时,a2=12,不满足题意,所以A不正确;对于选项B,当n =1时,a 1=13-,不满足题意,所以B 不正确; 对于选项D,当n =2时,a 2=13,不满足题意,所以D 不正确; 当n =1,2,3,4时,a n =(-1)n+1213n n -均满足题意,C 正确.3．【答案】C 【解析】因为,所以,所以,所以,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以7．【答案】C 【解析】258n na n =+=158n n≤+，但，则取不到，又727758a =+=7107，828858a =+=461，a 7＜a 8，∴数列{a n }的最大项为a 8461=．故选C ． 8．【答案】B【解析】因为{}是递增数列,所以函数单调递增.当时,=单调递增,可得,解得;当时,=单调递增,可得，所以.而{}是递增数列,所以=，解得，所以23a <<,即实数a的取值范围是.故选B. 9．【答案】()12n n + 【解析】设数列为，由图知，所以由此猜想：()11232n n n a n +=++++=,故填()12n n +. 10．【答案】1211．【答案】15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【解析】n=1时,时,11233n -⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 12．【答案】(-3,+∞)【解析】由{a n }为递增数列,得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立,即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立,令f (n )=-2n-1,n ∈*N ,则f (n )max =-3. 只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞). 13．【答案】43 【解析】∵，∴当时，，当时，，两式相减可得，时也适合，∴当时，最大，最大值为43，故答案为43. 14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.令3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N*,-2∉N*,∴68不是该数列的项.15．【解析】（1）令a n<0,即n2-7n-8<0,得-1<n<8.又n∈N*,所以n=1,2,3, (7)故数列从第1项至第7项均为负数,共7项.（2）函数y =x 2-7x-8图象的对称轴为x =72=3.5,所以当1≤x ≤3时,函数单调递减; 当x ≥4时,函数单调递增, 所以当n =3或4时,数列{a n }有最小项,且最小项a 3=a 4=-20.16．【解析】（1）11a =，22a =，34a =.（2）因为()*21n n S a n =-∈N ，所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，17．【解析】因为2n n S n a = ①，所以211(1)(1,)n n S n a n n --=->∈*N ②，-①②得221=(1)n n n a n a n a ---， 即11(1,)1n n a n n n a n --=>∈+*N ．故21a a ⋅32a a ⋅43a a ⋅L 1n n a a -⋅12342134561n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+L ，即()121n a a n n =+， 又11,2a =所以n a =()11n n +(1,)n n >∈*N ， 当n =1时，()1111112a ==⨯+成立， 所以()1()1n a n n n =∈+*N ． 18．【解析】（1）∵点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上，1．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列， 所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.2．【答案】2011【解析】因为且，所以,则11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,所以数列的前10项和为11111202122223101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1+b 2+…+b n =()1111111[()()()]235572123323n n n n -+-++-=+++.。
2018届人教B版 数列 2 单元测试
1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A.－1B.－2C.－3D.－4解析 法一 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.答案 C2.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A.a 1＋a 101＞0B.a 2＋a 100＜0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.答案 C3.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A.0B.37C.100D.－37解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.答案 C4.(2016·沈阳质量监督)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A.5B.6C.7D.8解析 法一 由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋（n ＋2）（n ＋1）2d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n （n －1）2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，∴n ＝8，故选D.法二 由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8，故选D.答案 D5.(2016·长沙调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A.7B.8C.7或8D.8或9解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.答案 C二、填空题6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1. 答案 －17.(2015·陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析 设该数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得a 1＋2 015＝2×1 010，从而a 1＝5.答案 58.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 19三、解答题9.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1－n （n －1）2·a 11 007＝a 12 014(2 015n －n 2).∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1，S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1.∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎨⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A.答案 A12.(2016·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7＜－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8B.S n 的最小值是S 8C.S n 的最大值是S 7D.S n 的最小值是S 7 解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1， 即n （a 1＋a n ）2n ＜（n ＋1）（a 1＋a n ＋1）2（n ＋1）， 所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.答案 D13.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________. 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 答案 194114.(2015·衡水中学二模)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明：12≤b n ＜1. (1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，（a 1＋4d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋10d ）.注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1.所以a n ＝n ＋1.(2)证明 由(1)可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2. 因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增.所以b n ≥b 1＝12.又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1， 因此12≤b n ＜1.。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 数 列(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确. 【答案】 B2.数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A.70B.28C.20D.8【解析】 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 C3.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A.a n ＝1＋(－1)n ＋1B.a n ＝1－cos n πC.a n ＝2sin2n π2D.a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n ＝3和4时，D 选项不满足，故选D.【答案】 D4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) 【导学号：18082074】A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列.【答案】 A5.在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A.第100项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 【答案】 C 二、填空题6.已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________. 【解析】 由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N ＋， ∴n ≤9. 【答案】 97.已知数列{a n }，a n ＝a n＋m (a <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【导学号：18082075】【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2，∴a ＝2或－1， 又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋m ＝2， ∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n＋3， ∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 【答案】 28.如图211是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图中共有化学键________个.图211【解析】 各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个.【答案】 (5n ＋1) 三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，….【导学号：18082076】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n ＝43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n n ＋2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1).10.在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N ＋， 故2 016不是数列{a n }中的项.[能力提升]1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B.5 C.6D.log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2.已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，3) C.(－∞，2)D.(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可.【答案】 B3.根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点.图212【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点.【答案】 n 2－n ＋14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋).(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？【导学号：18082077】(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项.令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n2＝n ＋2－n ＋2.解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.。
2018届人教B版 数列 单元测试
(建议用时：90分钟)一、选择题1.某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是( )A.三棱柱B.四棱柱C.圆柱D.圆锥解析 依题意，当一个几何体的俯视图是正方形时，该几何体不可能是圆锥，故选D.答案 D2.(2016·绵阳诊断)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象，只需把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5图象上的所有点的( ) A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变解析 由于变换前后，两个函数的初相相同，纵坐标不变，所以只需将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的横坐标缩短到原来的12，即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象. 答案 D3.(2015·济南模拟)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A.若a <b ，则ac 2<bc 2B.若a >b >0，c <0，则c a <c bC.若a >b ，则(a ＋c )2>(b ＋c )2D.若ab >0，则a b ＋b a ≥2 解析 对于A ，当c ＝0时不成立；对于B ，由a >b >0，c <0，可知c a >c b ；对于C ，若a ＝1，b ＝－1，c ＝0，则(a ＋c )2>(b ＋c )2显然不成立；由基本不等式可知D 正确.答案 D4.(2016·南昌模拟)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 为平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A.1∶1B.2∶1C.2∶3D.3∶2解析 正视图和侧视图均为三角形，并且该三角形的底面边长和高都为正方体的边长，故正视图和侧视图的面积之比为1∶1.答案 A5.(2016·长沙模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤yx ＋y ≥22x ＋y ≤6，则z ＝2x －y 的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝2x ，可知当直线经过点A 时，z 取得最大值.由⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，x －y ＝0，得A (2，2).所以目标函数的最大值z max ＝2×2－2＝2.故选B.答案 B 6.(2016·青岛统一质量检测)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB.若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC.若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD.若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β 解析 当m ∥α，n ⊥β，m ⊥n 时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A ，B 错误；如图所示，由m ∥n ，得m ，n 确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l ，因为m ∥α，所以m ∥l ，l ∥n ，又n ⊥β，所以l ⊥β，又l ⊂α，所以α⊥β，故选项C 正确，D 错误，故选C.答案 C7.(2015·黄冈中学模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是( )A.p 或qB.p 且qC.綈p 或qD.p 且綈q解析 在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1和直线AB 分别是直线m ，l ，显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 是假命题，綈p 是真命题；命题q ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1和直线A 1B 1分别是直线m ，l ，显然满足l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，而α∥β，故命题q 是假命题，綈q 是真命题.故选C.答案 C8.(2016·兰州诊断)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.3解析 由三视图可知该几何体是一个四棱锥，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝x ，底面是一个上下边分别为1，2，高为2的直角梯形.∴V ＝13S ABCD ·x ＝13×（1＋2）×22x ＝3，解得x ＝3，故选D. 答案 D9.(2016·沈阳质量监测)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3B.83 cm 3C.3 cm 3D.4 cm 3解析 由三视图可得该几何体是一个四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为2，其体积为83 cm 3，故选B.答案 B10.已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[)5，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪(5，7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5，7) 解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数.函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论.若a ＞1，则h (5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞). 答案 A二、填空题11.(2016·枣庄四校联考)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析 由a ∥b 得sin θ＝－2cos θ，所以tan θ＝－2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－41－4＝43. 答案 4312.(2016·临川一中模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为________.解析 此几何体是三棱锥P －ABC (直观图如图)，底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB ，且顶点在底面内的射影D 是底面直角三角形斜边AB 的中点.易知，三棱锥P－ABC 的外接球的球心O 在PD 上.设球O 的半径为r ，则OD ＝23－r ，∵CD ＝2，OC ＝r ，∴(23－r )2＋22＝r 2，解得r ＝43， ∴外接球的表面积为4πr 2＝64π3. 答案 64π313.(2015·唐山模拟)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC .则截面的周长为________.解析 过点G 作EF ∥AC 交P A ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB 分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，∴四边形EFMN 是平行四边形，∴EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，∴截面的周长为2×4＝8.答案 814.(2016·武汉模拟)已知在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝23，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于________.解析 设正四棱锥P －ABCD 的底面边长为a ，因为P A ＝23，所以a 22＋h 2＝12.即a 2＝24－2h 2，所以正四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13a 2h ＝8h －23h 3(h >0)，V ′＝8－2h 2，令V ′>0得0<h <2，令V ′<0得h >2，所以当h ＝2时，正四棱锥P －ABCD 的体积取得最大值323.答案 2三、解答题15.(2015·烟台模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且函数f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A 在x ＝5π12处取得最大值.(1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域； (2)当a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积.解 ∵函数f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A=2cos x sin x cos A －2cos x cos x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )在x ＝5π12处取得最大值. ∴2×5π12－A ＝2k π＋π2，其中k ∈Z .即A ＝π3－2k π，其中k ∈Z .(1)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3， ∴－32<sin(2x －A )≤1，即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理得a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，则sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ， 即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.16.(2016·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列. ∴1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.17.(2015·郑州诊断)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B和B ′C ′的中点.(1)证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λA ′A ，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论.(1)证明 取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE ，∵M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，∴NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.∵A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，A ′A ⊂平面AA ′C ′C ， ∴ME ∥平面AA ′C ′C ，NE ∥平面AA ′C ′C ，又ME ∩NE ＝E ，∴平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面AA ′C ′C .(2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，NC ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，∴平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，∵AB ＝AC ，∴A ′B ′＝A ′C ′，又点N 是B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，∴CN ⊥A ′N .要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，∴CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， ∴λ＝2，则λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .18.(2016·兰州诊断)已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x ＋x 2＋x 在x ∈(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为x ∈R ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在R 上为增函数；当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数.(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(e x－x)－e x＋x2＋x，∵g(x)在x∈(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝x e x－m e x＋m＋1≥0在x∈(2，＋∞)上恒成立，即m≤x e x＋1e x－1在x∈(2，＋∞)上恒成立.令h(x)＝x e x＋1e x－1，x∈(2，＋∞)，h′(x)＝（e x）2－x e x－2e x（e x－1）2＝e x（e x－x－2）（e x－1）2，令L(x)＝e x－x－2，L′(x)＝e x－1>0在x∈(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝e x－x－2在x∈(2，＋∞)上单调递增，即L(x)>L(2)＝e2－4>0，∴h′(x)>0，即h(x)＝x e x＋1e x－1在x∈(2，＋∞)上单调递增，h(x)>h(2)＝2e2＋1e2－1，∴m≤2e2＋1e2－1.。
2018届人教B版(理) 数列、三角函数、立体几何、导数 检测题
单元测试考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A *B 等于( ) A ．(2，＋∞) B ．[0,1)∪(2，＋∞) C ．[0,1]∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪[2，＋∞)2．(2016·南昌调研)“x >1”是“1x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增加的，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，12] C ．[0，＋∞) D ．(12，＋∞)4．(2016·大同质检)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]5．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1636．(2016·济宁模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N ＋且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<07．(2016·黄山联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上是增加的B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上是减少的C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上是增加的D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上是减少的8．(2017·昆明统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－349．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是( )A ．(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2B.ln x x <(ln x x )2<ln x 2x 2 C ．(ln x x )2<ln x 2x 2<ln x xD.ln x 2x 2<(ln x x )2<ln x x10．(2016·滨州一模)若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13 C.13D ．112．(2017·陕西千阳中学质检)已知f 1(x )＝(x 2＋2x ＋1)·e x ，f 2(x )＝[f 1(x )]′，f 3(x )＝[f 2(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N ＋.设f n (x )＝(a n x 2＋b n x ＋c n )e x ，则c 100等于( ) A ．9 903 B ．9 902 C ．9 901 C ．9 900第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·福州质检)在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.14．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，○)应为________．15．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．16．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，则正实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18.(12分)已知数列{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和．19.(12分)(2016·江西上饶重点中学第二次联考)已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，7π24])的取值范围．20.(12分)(2016·景德镇质检)在等腰直角三角形ABC 中(图1)，斜边BC ＝6，O 为BC 中点，E ，F 分别在OC 和AC 上，且EF ∥AO ，现将三角形以EF 为折痕，向上折成60°的二面角，且使C 在平面ABEF 内的投影恰好为O 点(图2)． (1)求V C －ABEF ；(2)求平面CEF 和平面CAB 夹角的余弦值．21.(12分)(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长AB ＝13，BC ＝4，AC ＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由.22.(12分)(2016·潍坊一中期初考试)已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的最大值；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．答案解析1．C [A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}， 故A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， 由题图可知，A *B ＝{x |x ∈A 或x ∈B 且x ∉A ∩B } ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．]2．A [当x >1时，1x <1，当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件．]3．B [y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－(x －12)2＋14，x ≥0，(x －12)2－14，x <0.画出函数的图像，如图．由图易知原函数在[0，12]上是增加的．故选B.]4．A [借助偶函数的性质，先解不等式f (x )≤12，再利用图像的平移知识解不等式f (x －1)≤12.当x ∈[0，12]时，由cos πx ≤12，得13≤x ≤12；当x ∈(12，＋∞)时，由2x －1≤12，得12<x ≤34；所以不等式f (x )≤12(x ≥0)的解为13≤x ≤12或12<x ≤34，即13≤x ≤34.由于偶函数的图像关于y 轴对称，则在函数的定义域内， 不等式f (x )≤12的解为－34≤x ≤－13或13≤x ≤34.函数f (x －1)的图像可以看作由f (x )的图像向右平移1个单位得到的，故不等式f (x )≤12的解为14≤x ≤23或43≤x ≤74，即解集为[14，23]∪[43，74]．] 5．C [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AD ，又由三视图可得在△P AC 中，P A ＝AC ＝4，D 为PC 的中点， ∴AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ＝4，∠ADC ＝90°，BC ⊥平面P AC . 故V D －ABC ＝V B －ADC ＝13×12×22×22×4＝163.]6．A [因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.]7．B [∵f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋π3＋φ)，且其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π3＋π6)＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在(0，π2)上是减少的．]8．C [因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.] 9．A [方法一 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )在(1,2)上是增加的， ∴f (x )>1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2，故选A.方法二 ∵1<x <2，∴0<ln x x <1，∴(ln x x )2<ln x x ，又ln x 2x 2＝2x ·ln x x >ln xx ，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.]10．B [a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min ，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋4x －1＋2≥2(x －1)·4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即当x ＝3时取“＝”，∴a ≤6，∴a 的最大值为6，故选B.] 11．B [因为f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，所以ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10＝13＋2ʃ10f (x )d x ， 所以ʃ10f (x )d x ＝－13.] 12．C [∵f 1(x )＝(x 2＋2x ＋1)e x ， ∴f 2(x )＝[f 1(x )]′＝(x 2＋4x ＋3)e x ， f 3(x )＝[f 2(x )]′＝(x 2＋6x ＋7)e x ， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝(x 2＋8x ＋13)e x ， ∴数列{c n }为1,3,7,13，…， ∵1＝(1－1)×1＋1， 3＝(2－1)×2＋1， 7＝(3－1)×3＋1， 13＝(4－1)×4＋1， ∴c n ＝n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1.∴C 100＝1002－100＋1＝9 901.] 13.79解析 由CP →＝2PR →，得AP →－AC →＝2(AR →－AP →)，得AP →＝13(AC →＋2AR →)．又由AR →＝2RB →，得AR →＝2(AB →－AR →)，得AR →＝23AB →，故AP →＝13AC →＋49AB →，所以m ＋n ＝79.14．(5,10)解析 设数对为(a ，b )，则4a ＋b ＝30， 所以1a ＋1b ＝130(1a ＋1b )(4a ＋b )＝130(5＋b a ＋4a b )≥130(5＋2 b a ·4a b )＝310，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时等号成立，所以满足题意的数对为(5,10)． 15.2a 解析因为正方体内接于球， 所以2R ＝a 2＋a 2＋a 2， R ＝32a ， 过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示， 则直线被球截得的线段为QR ， 过点O 作OP ⊥QR 于点P ， 所以在△QPO 中，QR ＝2QP ＝2 (32a )2－(12a )2 ＝2a .16．[1，＋∞)解析 ∵f (x )＝1－x ax＋ln x ， ∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)． ∵函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， ∴ax －1≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1. 17．解 (1)由题图得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2， 所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)， 因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，则－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1， 则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2 ＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－34， cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＋12＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， ∴A ＝π4或A ＝3π4. ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝π4. ∴f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12. ∵x ∈∈[0，7π24]， ∴2x ＋π4∈[π4，5π6]， ∴sin(2x ＋π4)∈[12，1]， ∴2－12≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 故f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为 [2－12，2－12]． 20．解 (1)设OE ＝a ，则CE ＝2a ，又OE ＋CE ＝3，∴a ＝1，CO ＝3，S 四边形ABEF ＝7，∴V C －ABEF ＝13OC ·S ABEF ＝733. (2)分别以OA ，OB ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0，3)，E (0，－1,0)，F (2，－1,0)，EF →＝(2,0,0)，EC →＝(0,1，3)，CA →＝(3,0，－3)， CB →＝(0,3，－3)，设n 为平面CEF 的法向量，m 为平面ABC 的法向量，⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF →＝0，n ·EC →＝0⇒n ＝(0，－3，1)为平面CEF 的一个法向量， ⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA →＝0，m ·CB →＝0⇒m ＝(1,1，3)为平面ABC 的一个法向量． cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝0. 即平面CEF 和平面CAB 夹角的余弦值为0.21．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12 ⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2 ＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示， 所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.22．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x ex . 当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，＋∞)上是减少的． 因此，f (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，最大值为f (0)＝1.(2)由题意，存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 即2φ(x )min <φ(x )max .因为φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x，x ∈[0,1]， 所以φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －1)(x －t )e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上是减少的，所以2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1，符合题意． ②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上是增加的， 所以2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0，符合题意．③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上是减少的；若x ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1]上是增加的．所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2×t ＋1e t <max{1，3－t e}．(*)由(1)知，函数g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上是减少的， 故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e <3－t e <3e， 所以不等式(*)无解．综上所述，t 的取值范围为(－∞，3－2e)∪(3－e 2，＋∞)．。
2018-2019学年人教B版必修5 第2单元 数列 单元测试.doc
2018-2019学年人教B 版必修5 第2单元 数列 单元测试1．公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若312S =，则3a = A ．4 B ．6 C ．8D ．142．公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是 A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=，则11S = A ．9 B ．22 C ．36D ．664．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若679218a a a +-=,则63S S -= A ．18 B ．27 C ．36D ．455．已知数列{}n a 满足1393n n aa+=⋅，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++=A ．3B ．−3C ．13-D ．136．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，n a =n ≥2），则a 6=A ．B ．4C ．16D ．457．程大位《算法统宗》里有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”大意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为A ．65B ．184C ．183D ．1768．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为 A ．1007 B ．1008 C ．1009D ．10109．函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数()()5g x f x =-；数列{}n a 为等差数列，公差不为0，若()()190g a g a +=，则129a a a +++=A ．45B ．15C ．45-D ．010．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a >，500S =.设()*12n n n n b a a a n ++=∈N ，则当数列{}n b 的前n项和n T 取得最大值时,n 的值为 A ．23B ．25C ．23或24D ．23或2511．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 12．设等差数列{}n a 的公差是d ，其前n 项和是n S ，若11a d ==，则8n nS a +的最小值是__________． 13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15a =，()211n n nS n S n n +-+=+.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若()121n nb n a =+，判断{}n b 的前n 项和n T 与16的大小关系，并说明理由.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534,,2S S S 成等差数列，521322a a a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .15．已知正项数列{}n a 满足：2423n n n S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设62n a n b -=，记数列{}n b 的前n 项积123n n T bb b b =⋅⋅⋅，试求n T 的最小值.1．（2017浙江）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2016浙江文科）如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且112n n n n A A A A +++=，2,n n A A n +≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N (P Q ≠表示点P 与 Q 不重合)．若,n n n n d A B S =为1n n n A B B +△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列D ．2{}n d 是等差数列3．（2016新课标全国II 文科）等差数列{}n a 中，34574,6a a a a +=+=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．4．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2nka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．5．（2018北京文科）设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a aa+++.1．【答案】（1）见解析；（2）()11222n n n n S ++=--.方法二：由已知，1122n n n a a ++=+两边同除以12n +得1112122n n n n a a +++=+，即11122n nn na a ++-=， 又1112a =. ∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，公差为1的等差数列． （2）由（1）得()1112nna n n =+-⨯=， 故2nn a n =⋅． ∴2nn c n =-.∴123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+()()()()1232122232nn =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()1232222123nn =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()2121122n n n -+⋅=--()11222n n n ++=--.故数列{}n c 的前n 项和为()11222n n n n S ++=--()*n ∈N .2．【答案】D【名师点睛】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出.等差数列运算问题的通性通法： (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．3．【答案】（1）41n a n =+；（2）223n n +.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则4228d a a =-=， ∴4d =，∴()()2294241n a a n d n n =+-=+-=+. （2）由（1）知15a =， ∴()5412n n n S ++=223n n =+.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.（1）利用等差数列通项公式列出关于基本量d 的方程，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列前n 项和公式求得结果.4．【答案】（1）见解析；（2）50.【名师点睛】（1）根据数列的通项公式，通过作差并结合等差数列的定义证明．（2）根据数列{}n b 的通项公式，去掉绝对值后求和即可． 5．【答案】C 【解析】由1012162a a =+得1012212a a =+，∴812a =,又24a =，∴8216a a +=，即58a =.故选C ． 【名师点睛】本题考查等差数列的有关性质，属中档题.熟练掌握等差中项得性质：若2p q t +=，则2p q t a a a +=，可快速准确解决此类问题.6．【答案】B【解析】根据130S >，140S <，可以确定11371147820,0a a a a a a a +=>+=+<，所以可以得到780,0a a ><，所以n S 取最大值时n 的值为7，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的前n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前n 项和取最大值的条件10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.1．【答案】B【解析】因为32312S a ==，所以24a =，又公差为2，所以36a =，故选B ． 2．【答案】B【解析】因为()()111212n n n S na n n a -=+⨯=-+，所以11n S n a n =-+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.故选B. 3．【答案】D【解析】因为341118a a a ++=，所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，意在考查等差数列基本量的运算，解答过程注意避免计算错误. 4．【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得6345653S S a a a a -=++=，而()6796652222218a a a a d a d a +-=-=-==，所以59a =，所以6327S S -=，故选B ． 5．【答案】B【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列{}n a 是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可. 6．【答案】B【解析】因为n a =，所以222112=,n n n a a a +-+所以数列{}2n a 为等差数列，因为2221413,d a a =-=-=()213132n a n n =+-=-，因为0n a >，因此64n a a ==，故选B ．【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出2n a ，再根据正项数列条件得a n ，即得a 6.证明或判断{}n a 为等差数列的方法：(1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；(2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法：n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2n S An Bn =+. 7．【答案】B【名师点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果. 8．【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵满足S 2016=()1201620162a a +=()1008100920162a a +＞0，S 2017=()1201720172a a +=2017a 1009＜0，∴a 1008+a 1009＞0，a 1008＞0，a 1009＜0，d ＜0，∵对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，∴k =1009． 故选C ．【名师点睛】本题的解题关键在于公式的选择和解题思路.本题在转化2016S 和2017S 时，选择的都是不含有公差d 的公式，如果选择含有d 的公式，解题就比较困难，所以公式的选择很关键.在得到a 1008+a 1009＞0，a 1009＜0后，要能分析出a 1008＞0，d ＜0.这也是解题的一个关键. 9．【答案】A【解析】由题意得：()()190g a g a +=，所以()()19550f a f a -+-=，又因为函数()y f x =单调且为奇函数，所以19550a a -+-=，即1910a a +=，即55a =，再结合等差数列的性质可得：129a a a +++=()195440545a a a ++=+=，故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出1910a a +=是解题的关键，属于中档题. 10．【答案】D【名师点睛】本题主要考查等差数列的求和公式、等差数列的性质，以及数列前n 项和的最大值问题，属于难题.求数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的函数，利用函数的性质求解；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时n 的值. 11．【答案】613【解析】∵等差数列{}n a 中136S =，∴()11371313132622a a a S +⨯===，∴7613a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n 项和公式求解，即若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单． 12．【答案】92【解析】由11a d ==，可知()21,2n n S n n a n =+=，则28168192222n n S n n n a n n +++==++≥(当且仅当n =4时取等号)．故填92． 13．【答案】（1）见解析；（2）16n T <． 【解析】（1）∵()()2*111,5,n n nS n S n n n a +-+=+∈=N∴()()11111,1,511n n n n S S SnS n S n n n n ++-+=+-==+, ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5,公差为1的等差数列.【名师点睛】（1）数列中已知n S 求n a 时，要注意公式1n n n a S S -=-只对2n ≥成立，利用1a 与1S 相等求得1a ，然后比较可得通项公式；（2）当数列的通项可以看作是由等差数列相乘取倒数所得，即若{}n a 是等差数列，11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和用裂项相消法求得，其中1111n n n b d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 14．【答案】（1）a n =2n −1；（2）12362n n n T -+=-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由534,,2S S S 成等差数列，可知345S S S +=,即120,a d -= 由521322a a a =+-得：1420a d --=，解得:11,2a d ==，因此，()*21n a n n =-∈N .（2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则12n n T c c c =+++，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①－②,得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212n n ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +-. 所以12362n n n T -+=-.【名师点睛】本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用． 15．【答案】（1）21n a n =+；（2）116.（2）由（1）知，21n a n =+，设625n n c a n =-=-，则数列{}n c 是以3-为首项，2为公差的等差数列，所以数列{}n c 的前n 项和为2124n c c c n n ++⋅⋅⋅+=-，当2n =时，24n n -有最小值4-.又62n a n b -=， 所以123n n T bb b b =⋅⋅⋅212422nc c c n n++⋅⋅⋅+-==，故当2n =时，n T 的最小值是116. 【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.1．【答案】C【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件． 2．【答案】A【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么需要知道n h 的关系式．由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，则1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，把n 换成n +1可得111111(sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅， 作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，为定值，所以{}n S 是等差数列．3．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有1254a d +=，12106a d +=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=．（2）由（1）知23[]5n n b +=， 当n =1，2，3时，2312,15n n b +≤<=； 当n =4，5时，2323,25n n b +≤<=； 当n =6，7，8时，2334,35n n b +≤<=； 当n =9，10时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=．4．【思路分析】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得n n n n n a a a a a --+++++=21124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．5．【答案】（1）ln 2n a n =；（2）122n +-.（2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln2ln2e e e =2nn a n n ==， ∴{}ena 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln221e e e e e e =222=22nn a a a n n ++++=++++++-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.。
2018届人教B版(理科数学) 等比数列专题 单元测试
等比数列专题[基础达标](30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为()A.3B.4C.5D.6C【解析】由等比数列通项公式可知a n=a1q n-1，则，解得n=5.2{a n}中，a1+a2=2，a4+a5=，则a1= ()A.B.C.D.B【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则q3=，q=，则a1+a2=a1+a1=a1=2，解得a1=.3{a n}的前n项和为S n，若a3=6，S3=4x d x，则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-C【解析】S3=4x d x=2x2=18，所以当q=1时，符合条件.当q≠1时，联立方程组解得q=-.所以公比q的值为1或-.4x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是()A.RB.(0，4]C.[4，+∞)D.(-∞，0]∪[4，+∞)C【解析】由x，a1，a2，y成等差数列得a1+a2=x+y，由x，b1，b2，y成等比数列得b1b2=xy，所以=2+≥2+2=4.5{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lg a n}的前10项和等于() A.2 B.5 C.10 D.lg 50B【解析】由等比数列的性质知a3a8=a1a10=a2a9=a4a7=a5a6，所以数列{lg a n}的前10项和为lg a1+lg a2+…+lg a10=lg a1·a2·…·a10=lg(a3a8)5=lg(5×2)5=5.6{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列的前n项和，则=() A.-11 B.-8 C.5 D.11A【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则q3==-，q=-，则数列也是等比数列，且公比为=-2，所以=-11.二、填空题(每小题5分，共20分)7{a n}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40，则的值为.117【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(q2+q4)=(q2+q4)=40，解得q=3.所以a1+a2=a1+a1q=4a1=，a1=，则=32+33+34=117.8{a n}是递减数列，且对任意的正整数n，a n=-n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.(-∞，3)【解析】∵{a n}是递减数列，∴a n+1<a n，∵a n=-n2+λn恒成立，即-(n+1)2+λ(n+1)<-n2+λn，∴λ<2n+1对任意n∈N*恒成立.而2n+1在n=1时取得最小值3，∴λ<3.9{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n=.【解析】由题意可得a1，a2，a5成等比数列，则=a1·a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，又d≠0，所以化简得d=2a1=2，所以等比数列的公比q==3，则=a1q n-1=a1+(k n-1)d，即3n-1=1+2(k n-1)，解得k n=+1=.}是等比数列，公比q=，S n为{a n}的前n项和.记T n=，n∈N*，10.设{a设为数列{T n}的最大项，则n0=.4【解析】T n=·()n+-17，因为()n+≥8，当且仅当()n=4，即n=4时取等号，所以当n 0=4时T n有最大值.三、解答题(共10分)11.(10分{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2.(1)设b n=a n+1-2a n，证明数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)由a1=1及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3，由于S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n-1+2.②①-②得a n+1=4a n-4a n-1，∴a n+1-2a n=2(a n-2a n-1)，又∵b n=a n+1-2a n，∴b n=2b n-1，∴数列{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列.(2)由(1)可得b n=a n+1-2a n=3·2n-1，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴(n-1)=n-，∴a n=(3n-1)·2n-2.[高考冲关](25分钟40分)1.(5分{a n}和{b n}分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是() A.a2<a3B.a3>b3C.a3<b3D.b2>b3B【解析】由{a n}是等差数列，且a1=16，a5=1，得公差d<0，所以a2>a3，A错误；a3==b3，B正确，C错误；由{b n}是等比数列，且b1=16，b5=1，得公比q=或-，当q=-时，b2=-8<b3=4，D错误.2.(5分)已知数列{c n}，其中c n=2n+3n，且数列{c n+1-pc n}为等比数列，则常数p 的值为() A.2 B.3 C.2或3 D.5C【解析】由数列{c n+1-pc n}为等比数列，得(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，解得p=2或p=3.3.(5分{a n}满足a n=(n≥2)，若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是.【解析】由题意可得当{a n}为等比数列时，a n-1≥n2，∀n≥2恒成立，此时a n=2n-1a1，所以2n-1a1≥(n+1)2，即a1≥，∀n∈N*恒成立，则a1≥，n∈N*.令b n=，则b n+1-b n=，所以b1<b2>b3>…，则(b n)max=b2=，故a1≥.4.(12分{a n}的前n项和S n满足：S n=2(a n-1)，数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=(n-1)·2n+1+2.(1)求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；(2)记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2-T n|<1.【解析】(1)当n=1时，S1=a1=2(a1-1)，所以a1=2.当n>1时，a n=S n-S n-1=2(a n-a n-1)，即a n=2a n-1，所以数列{a n}是首项a1=2，公比q=2的等比数列，通项公式为a n=2n(n∈N*).由题意有a1b1=(1-1)·22+2=2，得b1=1.当n≥2时，a n b n=(a1b1+a2b2+…+a n b n)-(a1b1+a2b2+…+a n-1b n-1)=[(n-1)·2n+1+2]-[(n-2)·2n+2]=n·2 n，所以b n=n，显然b1=1满足该式，故数列{b n}的通项公式为b n=n(n∈N*).(2)因为T n=+…++…+，所以T n=+…+，两式相减得T n=+…+=1-，所以T n=2-，即|2-T n|=.下证：当n≥6时，<1，令f(n)=，f(n+1)-f(n)=，当n≥2时，f(n+1)-f(n)<0，即当n≥2时，f(n)单调递减，又f(6)<1，所以当n≥6时，f(n)<1，即<1，即当n≥6时，n|2-T n|<1.5.(13分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记a n=3f(n)，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，T n=b1+b2+…+b n，若T n<m(m∈Z)，求m的最小值；(3)求使不等式≥p对一切n∈N*均成立的最大实数p.【解析】(1)由题意得解得∴f(x)=log 3(2x-1)，∴a n==2n-1，n∈N*.(2)由(1)得b n=，∴T n=+…+，①T n=+…+.②①-②得T n=+…+++…+-.∴T n=3-=3-，设f(n)=，n∈N*，则由<1，得f(n)=，n∈N*随n的增大而减小，∴T(n)<3，又T n<m(m∈Z)恒成立，∴m min=3.(3)由题意得p≤对n∈N*恒成立.记F(n)=，则===1.又∵F(n)>0，∴F(n+1)>F(n)，即F(n)随n的增大而增大，F(n)的最小值为F(1)=，∴p≤，即p max=.。
山东省2018届高三数学 第二章《数列》单元测试13 文
山东省新人教B 版2018届高三单元测试13必修5第二章《数列》(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( ) A ．－7 B ．11 C ．12 D ．－6 解析：选C.易知{a n }为等差数列，且公差为1， ∴a 10＝3＋(10－1)×1＝12.2．数列{a n }是由实数构成的等比数列，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则数列{S n }中( ) A ．任一项均不为0 B ．必有一项不为0 C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或有无穷多项为0解析：选D.如在数列2，－2,2，－2…中，S 1＝2，S 2＝0，S 3＝2，S 4＝0，…，如果一项为0，那么就会有无限多项为0.3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选B.由S 偶－S 奇＝30－15＝5d 得d ＝3.4．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1、a 3、a 2成等差数列，则q ＝( )A ．1或－12 B ．1C ．－12D ．－2解析：选A.∵{a n }为等比数列且公比为q ， 且a 1，a 3，a 2成等差数列，则2a 1·q 2＝a 1＋a 1q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.5．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：选C.由a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，知a 7为一个定值，∴S 13＝13 a 1＋a 132＝13 a 7也为定值．6．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是( )A ．217－2B ．216－1C ．216－2D ．215－1解析：选B.题目虽然比较新，但是我们仔细分析题目中的条件，按照其规律有：215＋214＋213＋…＋1＝1－2161－2＝216－1.7．在Rt △ABC 中，已知a <b <c ，且a 、b 、c 成等比数列，则a ∶c 等于( ) A ．3∶4 B ．(5－1)∶2 C ．1∶(5－1) D.2∶1解析：选B.由a 2＋b 2＝c 2及b 2＝ac ， 即可推得a ∶c ＝(5－1)∶2.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 解析：选C.S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)， 解得S 6＝24.9．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n 个月内累计的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月解析：选C.S n ＝n 90(21n －n 2－5)＝190(21n 2－n 3－5n )．∴由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝S n －S n －1＝190(21n 2－n 3－5n )－190[21(n －1)2－(n －1)3－5(n －1)]＝190[21(2n －1)－(n 2＋n 2－n ＋n 2－2n ＋1)－5] ＝190(－3n 2＋45n －27)＝－390(n －152)2＋6340. ∴当n ＝7或8时，超过1.5万件．10．给定a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋)，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的数k (k ∈N ＋)叫企盼数，则区间(1,10000)内所有企盼数之和为( )A ．15356B ．16356C ．17356D ．16380解析：选B.∵a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23·log 34·log 45·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)为整数，∴k ＋2必是2的整数次幂．∵k ∈(1,10000)，∴k 可取22－2,23－2，…，213－2，∴所求企盼数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(213－2)＝(22＋23＋…＋213)－2×12＝4 212－1 2－1－24＝16356.11．已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝3n －n 2，则当n ≥2时，下列不等式中成立的是( ) A ．S n ＞na 1＞na n B ．S n ＞na n ＞na 1 C ．na 1＞S n ＞na n D ．na n ＞S n ＞na 1解析：选C.利用S n －S n －1＝a n 求出a n ，再进行作差比较三者的关系．12．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析：选 C.将通项公式变形得：a n ＝1n ＋1＋n ＝ n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48.二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝12，用πn 表示它的n 项之积：πn ＝a 1·a 2·a 3…a n ，πn 取得最大值时n ＝________.解析：法一：令y ＝log 2πn ＝log 2(a 1·a 2·a 3…a n )＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，而{log 2a n }构成公差为log 2q ＝log 212＝－1的等差数列，则我们可以用等差数列前n 项和公式得：y ＝9n ＋n 1－n 2＝－12(n －192)2＋3612，又a 10＝1，∴当n ＝9或10时，πn 最大．法二：a n ＝512·(12)n －1，当n ＝10时，a n ＝1， ∴n ≤9时，a n ＞1， n ＞10时，0＜a n ＜1，∴πn 最大时，n 取9或10. 答案：9或1014．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＝a n －1na n －1＋1(n ≥2)(a ≠0)，则a n ＝________.解析：由a n ＝a n －1na n －1＋1，可得1a n ＝n ＋1a n －1(n ≥2)，令b n ＝1a n，则b 2＝2＋b 1，b 3＝3＋b 2，…，b n ＝n ＋b n －1，各式相加，得b n ＝b 1＋(2＋3＋…＋n ) ＝1a ＋ n －1 n ＋2 2，a n ＝1b n ＝2a n －1 n ＋2 a ＋2. 答案：2an －1 n ＋2 a ＋215．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 解析：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－6.答案：－616．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数，则f (4)＝________；f (n )＝________.解析：1＝1,7＝1＋1×6,19＝1＋1×6＋2×6，则 f (4)＝1＋1×6＋2×6＋3×6＝37.f (n )＝1＋1×6＋2×6＋…＋(n －1)×6＝1＋6(1＋2＋…＋n －1)＝1＋3n (n －1)． 答案：37 1＋3n (n －1)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明数列{b n }为等比数列． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. ∴a n ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)证明：由(1)得b n ＝2a n －10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4. ∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．18．(2018年济南高二检测)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ≥1，n ∈N＋.求(1)数列{a n }的通项公式； (2)a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．解：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ＝1,2,3，…，得a 2＝13S 1＝13a 1＝13，由a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)，得a n ＋1＝43a n (n ≥2)，又a 2＝13，所以a n ＝13(43)n －2(n ≥2)，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1 13 43n －2n ≥2 .(2)由(1)可知a 2，a 4，…，a 2n 是首项为13，公比为(43)2，且项数为n 的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝13·1－ 432n1－ 432＝37[(43)2n－1]． 19．在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1,2，….(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n pa n (p ＞0)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，得a 1＋a 2a 1＝3，所以a 2＝2，即d ＝a 2－a 1＝1.又4n ＋2n ＋1＝S 2n S n＝a n ＋nd ＋a 12×2na n ＋a 12×n ＝2 a n ＋nd ＋a 1 a n ＋a 1＝2 a n ＋n ＋1a n ＋1，所以a n ＝n .(2)由b n ＝a n pa n ，得b n ＝np n，所以T n ＝p ＋2p 2＋3p 3＋…＋(n －1)p n －1＋np n ， ①当p ＝1时，T n ＝n n ＋12；当p ≠1时，pT n ＝p 2＋2p 3＋3p 4＋…＋(n －1)p n ＋np n ＋1， ②①－②，得(1－p )T n ＝p ＋p 2＋p 3＋…＋p n －1＋p n －np n ＋1＝p 1－p n 1－p－np n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋1 2，p ＝1，p 1－p n1－p 2－npn ＋11－p ，p ≠1.20．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q .由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －28 2＝6n 2－22n .21．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d ＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r (r ＞0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1＋r )n －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1＋r )n －2，…，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(1)写出T n 与T n －1(n ≥2)的递推关系式；(2)求证：T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列． 解：(1)由题意知T n ＝T n －1(1＋r )＋a n (n ≥2)．(2)证明：T 1＝a 1，对n ≥2反复使用(1)中的关系式，得T n ＝T n －1(1＋r )＋a n ＝T n －2(1＋r )2＋a n －1(1＋r )＋a n ＝…＝a 1(1＋r )n －1＋a 2(1＋r )n －2＋…＋a n －1(1＋r )＋a n . ①在①式两端同乘1＋r ，得(1＋r )T n ＝a 1(1＋r )n ＋a 2(1＋r )n －1＋…＋a n －1·(1＋r )2＋a n (1＋r )． ② ②－①，得rT n ＝a 1(1＋r )n ＋d [(1＋r )n －1＋(1＋r )n －2＋…＋(1＋r )]－a n ＝dr[(1＋r )n －1－r ]＋a 1(1＋r )n－a n ，即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n－d r n －a 1r ＋d r 2.如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d rn ，则T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是以a 1r ＋d r 2(1＋r )为首项，以1＋r (r ＞0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋dr2－d r 为首项，以－dr为公差的等差数列． 22．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－ －12n －11－ －12＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1， 当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N ＋)．。
单元测试02 数列B卷-2017-2018学年高二数学同步单元双
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列前项和为，若，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】，由于成等差数列，公差为，故原式.2．【2018届辽宁沈阳市东北育才学校上学期第一次模拟】在等差数列{}n a 中， n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75 C. 90 D. 105 【答案】B【解析】3482585325a a a a a a a ++=++== ，即5253a =，而()1995925997523a a S a +===⨯= ，故选B. 3．【2018届广东广州海珠区高三测试一】已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A. 20-B. 18-C. 16-D. 14- 【答案】B4．【2018届湖南永州高三上一模】在等比数列{}n a 中，已知11a =， 48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（ ） A. 49 B. 70 C. 98 D. 140 【答案】B【解析】在等比数列{}n a 中，由141,8a a ==，得352,4,16q a a ===，即264,16b b ==，()()()1726777774162870222b b b b b S +++=∴====，故选B.5．【东北四市一模】等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】C【解析】等差数列的公差为正数，则，据此可得：，则其前项和取最小值时的的值为8.本题选择C 选项.6．【2018届湖北武汉部分学校新起点】已知等比数列{}n a 中， 23a ， 32a ， 4a 成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（ ） A.139 B. 3或139 C. 3 D. 79【答案】B7．等差数列，是其前项和，且，，则下列结论错误的是（ ）A.B. C.D. 与是的最大值【答案】B【解析】由S 5<S 6得S 6-S 5>0,即a 6>0， 又∵S 6=S 7，∴S 7-S 6=0， ∴a 7=0，故C 正确； 同理由S 7>S 8,得a 8<0， ∵d=a 7−a 6<0，故A 正确；而B 选项S 9>S 5,即a 6+a 7+a 8+a 9>0,可得2(a 7+a 8)>0,由结论a 7=0,a 8<0，显然B 选项是错误的。
18版高中数学第二章统计章末综合测评新人教B版必修3170718164
第二章统计(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查.则这两种抽样的方法依次是( )A.分层抽样，简单随机抽样B.简单随机抽样，分层抽样C.分层抽样，系统抽样D.简单随机抽样，系统抽样【解析】由抽样方法的概念知，第一种是简单随机抽样，第二种是系统抽样.【答案】 D2.小波一星期的总开支分布如图1①所示，一星期的食品开支如图1②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1A.1%B.2%C.3%D.5%【解析】由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.【答案】 C3.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A.3.5B.－3C.3D.－0.5【解析】 少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.【答案】 B4.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )A.10B.9C.8D.7【解析】 由题意知抽取的比例为7210＝130， 故从高三中抽取的人数为300×130＝10.【答案】 A5.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64 【解析】 频率为13＋24＋15100＝0.52.【答案】 C6.如图2是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )【导学号：00732070】图2A.11B.11.5C.12D.12.5【解析】 由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C.【答案】 C7.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为 ( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏. A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s 甲＝3，s 乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确.【答案】 D8.在某次测量中得到的A 样本数据如下：52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差【解析】 由题意可知B 样本的数据为58,60,60,62,62,62,61,61,61,61，将A 样本中的数据由小到大依次排列为52,54,54,55,55,55,55,56,56,56，将B 样本中的数据由小到大依次排列为58,60,60,61,61,61,61,62,62,62，因此A 样本的众数为55，B 样本的众数为61，A 选项错误；A 样本的平均数为54.8，B 样本的平均数为60.8，B 选项错误；A 样本的中位数为55，B 样本的中位数为61，C 选项错误；事实上，在A 样本的每个数据上加上6后形成B 样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的标准差相等，故选D.【答案】 D9.如图3茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩.(单位：分)图3已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A.2,6 B.2,7 C.3,6D.3,7【解析】 依题意得9＋10×2＋2＋x ＋20×2＋7＋4＝17×5，即x ＝3，y ＝7，故选D. 【答案】 D10.在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A.32B.0.2C.40D.0.25【解析】 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1， 所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A. 【答案】 A11.如图4所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )图4A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B【解析】 A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B .【答案】 B12.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. x ，s 2＋1002B. x ＋100，s 2＋1002C. x ，s 2D. x ＋100，s 2【解析】x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x ，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x ＋100，方差不变，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.【导学号：00732071】【解析】 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.【答案】 6014.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测试分析，得到如图5所示的时速的频率分布直方图，根据下图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆.图5【解析】 由频率分布直方图可得时速在70 km/h 以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.【答案】 2015.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：由表中数据得回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝－2，预测当气温为－4 ℃，用电量为________.【解析】 回归直线方程过(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋－4＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，将(10,40)代入y ^＝－2x ＋a ^，解得a ^＝60，y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时用电量约为68度.【答案】 68度16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图6).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.图6【解析】∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则x100＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.【答案】0.030 3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样和分层抽样的方法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.【解】(1)系统抽样的方法：先将200个产品随机编号：001,002，…，200，再将200个产品按001～010,011～020，…，191～200，分成20组，每组10个产品，在第一组内用简单随机抽样确定起始的个体编号，按事先确定的规则，从每组中分别抽取样本，这样就得到一个容量为20的样本.(2)分层抽样的方法：先将总体按其级别分为三层，一级品有100个，产品按00,01，…，99编号；二级品有60个，产品按00,01，…，59编号；三级品有40个，产品按00,01，…，39编号.因总体个数：样本容量为10∶1，故用简单随机抽样的方法：在一级品中抽10个，二级品中抽6个，三级品中抽4个.这样就得到一个容量为20的样本.18.(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？并说明理由.【解】 (1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨).(2)中位数为41＋442＝42.5(吨).(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.19.(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2. 乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1. (1)哪台机床次品数的平均数较小？ (2)哪台机床的生产状况比较稳定？【解】 (1) x －甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x －乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x －甲>x －乙，∴乙车床次品数的平均数较小. (2)s 2甲＝110[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s 2乙＝0.76，∵s 2甲>s 2乙， ∴乙车床的生产状况比较稳定.20.(本小题满分12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21.图7(1)在如图7给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.【解】 (1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，s 2甲≈13.67，s 2乙≈16.67.因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长得较为整齐.21.(本小题满分12分)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数如下表：(1)如果y 与(2)估计尿汞含量为9 mg/L 时的消光系数.【导学号：00732072】【解】 (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a . ∵x ＝6，y ＝209.6，∴b ^＝7 774－5×6×209.6220－5×6＝1 48640＝37.15. ∴a ^＝209.6－37.15×6＝－13.3. ∴回归方程为y ^＝37.15x －13.3.(2)∵当x ＝9时，y ^＝37.15×9－13.3≈321， ∴估计尿汞含量为9 mg/L 时消光系数为321.22.(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图8所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].图8(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分).(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。
2018版高中数学 第二章 数列单元精选检测 新人教B版必修5
第二章 数列单元精选检测(二) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )【导学号：18082133】A.－1B.1C.0D.2【解析】 由递推关系，得a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.【答案】 A2.已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12B.－1C.－2D.2 【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A.33个B.65个C.66个D.129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. ∴a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4.等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )【导学号：18082134】A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项. 【答案】 C5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ≠0)，则{a n }( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，a －a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列.【答案】 C6.在等差数列{a n }中，若a 4＝－4，a 9＝4，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则( ) A.S 5＜S 6 B.S 5＝S 6 C.S 7＝S 5D.S 7＝S 6【解析】 因为a 4＋a 9＝a 6＋a 7＝0， 所以S 7－S 5＝a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5. 【答案】 C7.设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和及前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.X ＋Z ＝2YB.Y (Y －X )＝Z (Z －X )C.Y 2＝XZD.Y (Y －X )＝X (Z －X )【解析】 由题意，知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 因为{a n }是等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列， 所以(Y －X )2＝X ·(Z －Y ). 整理，得Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X ). 【答案】 D8.已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A.2 B.4 C.5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9.已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )【导学号：18082135】A.126B.130C.132D.134【解析】 因为{a n }是各项均为正数的等比数列，所以{b n }是等差数列.设公差为d ，则d ＝b 6－b 36－3＝12－183＝－2，所以{b n }的通项公式b n ＝b 3＋(n －3)d ＝18＋(n －3)×(－2)＝24－2n . 令b n ＝0，得n ＝12，所以{b n }的前11项或前12项和最大，S 11＝S 12＝＋2＝11×12＝132，故选C.【答案】 C10.我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30【解析】 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋2，∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ＝( )【导学号：18082136】A.2B.5C.－12D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12.【答案】 C12.在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A.S 17B.S 18C.S 19D.S 20【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20a 1＋a 202＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝a 1＋a 192＝192·2a 10<0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________.【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝a 1＋b 1＋a 100＋b 1002＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014.数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n ＝a n －1＋n 把各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.【答案】n n ＋215.已知在等差数列{a n }中，a 1＜a 2＜…＜a n ，且a 3，a 6为x 2－10x ＋16＝0的两个实根，则此数列的前n 项和S n ＝________.【解析】 因为a 1＜a 2＜…＜a n ，所以d ＞0. 因为a 3，a 6为x 2－10x ＋16＝0的两个实根， 所以a 3＝2，a 6＝8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.所以S n ＝－2n ＋n n －2×2＝n 2－3n .【答案】 n 2－3n16.已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列， 得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【导学号：18082137】【解】 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2).∵S 1＋2＝4≠0. ∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2.即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.19.(本小题满分12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，S n 为其前n 项和.数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.∴S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)∵log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，∴c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)，满足a n b n＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n.相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.21.(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值.【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n>1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22.(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝an n ＋2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝an n ＋2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1). 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2＋2n 2＝n n ＋2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －n ＋2－n (n ＋1)＝－n ＋22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋22，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.。
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数列 021.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q由341b b q =，得354272q ==，从而3q = 因此11132--⋅=⋅=n n n q b b ………………………………………3分 又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=从而216d a a =-=，故466)1(1-=⋅-+=n n a a n ……………………………6分 （Ⅱ）13)23(4-⋅-⋅==n n n n n b a c令122103)23(3)53(373431--⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Tn n n n n T 3)23(3)53(37343131321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ……………9分两式相减得13)13(3313)23(333333331211321--⨯+=⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+=---n nn n n Tnn 3)23(⋅--n 1n 9(31)13n 2)32--=+--⋅（ 73(67)44n n n T -∴=+，又n n n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅ ………………………12分2. (本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为1,3n n n S a S n +=-+且，1,2n a ∈=+N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)设()2n n n b n S n =∈-++N 的前n 项和为n T ，证明:nT ＜34. 【答案】(Ⅰ)()113,213n n n n a S n n a S n +-=-+≥=--+ 时， , …………２分,12,111-=-=-∴++n n n n n a a a a a 即112(1),(2,),n n a a n n +∴-=-≥∈N* ……………………………４分2221(1)232n n n a a --∴-=-=∙=n a ⎩⎨⎧≥+∙=-2,1231,22n n n ……………………………6分 （Ⅱ）113322n n n S a n n -+=+-=∙+- , 123-∙=∴n n nb ………………………………………………8分⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴-1222322131n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n T 2232221312132 相减得，⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-n n n n T 22121211312112 ,……………………………１０分n n n nT 23221134∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴﹤34. ……………………………12分∴结论成立.3.（本小题满分18分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n S =2-n a ，(n =1，2，3，…) (Ⅰ)求数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)若数列{n b }满足1b =1，且1n n n b b a +=+，求数列{n b }的通项公式； (Ⅲ)2)b -n(3n =n c ,求n c 的前n 项和nT【答案】解: (Ⅰ)∵n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2 ∴a 1=1∵S n =2-a n 即a n +S n =2 ∴a n+1+S n+1=2两式相减：a n+1-a n +S n+1-S n =0 即a n+1-a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n∵a n ≠0 ∴211=+n n a a (n ∈N *) 所以，数列{a n }为首项a 1=1，公比为21的等比数列.a n =1)21(-n (n ∈N *)b n -b 1=1+11232)21(22211)21(1)21()21()21(21----=--=++++n n n又∵b 1=1，∴b n =3-2(21)n-1(n=1，2，3，…) (3)1-2n n n c =所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=- .4. (本小题满分12分)根据如图的程序框图，将输出的,x y 值依次分别记为201321,,,x x x ；201321,,,y y y .（1）写出数列{}{},n n x y 的通项公式（不要求写出求解过程）；（2）求()()()1112211++++++=n n n y x y x y x S )2013(≤n .【答案】解：（1）)2013(13,12≤-=-=n y n x n n n ---------4分 （2）()n n n S 312353331321⨯-++⨯+⨯+⨯=()()13231233233313+⨯-+⨯-++⨯+⨯=∴n n n n n S两式相减,则()()n n n n 333233122S 321+++--⋅-=+ ()()20133311≤+-=∴+n n S n n -------------12分5.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足的前n 项和为n S ，且)(,1)31(*∈-+=N n n S nn . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 的通项公式满足)1(n n a n b -=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。
【答案】⑴由，)(,1)31(*∈-+=N n n S n n当1=n 时得3111==S a ， 当2≥n 时得n n n n S S a 3211-=-=-， 又311=a 满足上式，所以：数列{}n a 的通项公式为213n n a =-. ⑵由n n n na nb 32)1(=-=.所以n n n T 3233232231232++⋅+⋅+⋅=，得 14323233232231231+++⋅+⋅+⋅=n n nT相减得：)331313131(232132+-++++=n n n n T∴n n n T 323223⋅+-=.6.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，*1123111,23().2n n n a a a a na a n N ++=++++=∈ （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.【答案】解：（1）21,123,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ …………… 6分（2）()1,1n n a a n n λλ≤+⇔≥+由（1）可知当2n ≥时，()223,11n n a n n n -⋅=++ 设()()()*12,23nn n f n n n N +=≥∈⋅ ……………… 8分 则()()()()()()()12111110,2231n n n f n f n n f n f n -+-+-=<∴>≥⋅+又()1123f =及1122a =，所以所求实数λ的最小值为13……………… 12分7.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且121=+n n a S )(*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设)1(log 13+-=n n S b )(*∈N n ，求适合方程51251...1113221=++++n n b b b b b b 的正整数n 的值．【答案】（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a = ……………………1分 当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 11112n n s a --=-， …………………2分∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …………………………………………3分 ∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…………………………………4分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n …………………………………………6分 （2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--……………8分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …………………………………………9分1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…11分解方程11252251n -=+，得100n = …………………………………………12分 8.（本小题满分12分）设正项等比数列{}n a 的首项11,2a =前n 项和为n S ，且10103020102(21)0.S S S -++=（1）求{}n a 的通项； （2）求{}n nS 的前n 项n T ．【答案】解：（1）由 0)12(21020103010=++-S S S 得,)(21020203010S S S S -=-…２分即,)(220121*********a a a a a a +++=+++可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++⋅ …………４分因为0>n a ，所以 ,121010=q解得21=q ， …………５分因而.,2,1,2111 ===-n q a a n n n ……………………６分 （2）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故.2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= ……………………8分 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T前两式相减，得 122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T ……12分9.（本小题共13分）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N . （Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】 解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分 当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分 因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =.1a =-.……………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅114(21)(21)2n n n -=+---⋅(23)23n n =--⋅-.…………………………………………………12分所以(23)23n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分。