沪教版高三上册数学加法原理素材三级第一学期(1)
沪教版高中三年级数学：计数原理II——加法原理
例4. 如果从7名运动员中选4名运动员组成接力队,参加 4×100接力赛,那么甲、乙两人不跑中间两棒的安排方法 有多少种? 析:按照4名运动员中, ①含甲、乙两人; ②含甲、乙两人之 一; ③不含甲、乙两人进行分类
①甲、乙跑1、4棒有P22 中间两棒有:P52
解:①含甲、乙两人,但甲、乙两人不跑中间两棒有:P22 P52种
②甲、乙之一跑1、4棒有P21P21 中间两棒有:P53
②含甲、乙之一,但该人不跑中间两棒有:P21 P21 P53 种
③不含甲、乙的有P54
③不含甲、乙, 有:P54 种
由加法原理得到:共有 P22 P52 + P21 P21 P53 + P54=400种
“分类”理解:①类与类之间不能重复也不能遗漏; ②“分类”与“分步”的不同点: “分类”中的每一类方法都能独立完成一件事; “分步”中的每一部的方法都无法独立完成一件事;
③“类与类”之间是“或”的关系; 而“步与步”之间是“且”的关关系;
④“分类”与“分步”的图示区别:完成“从A到B”事
件
分 类A
第1类 第…2…类
火车6
分
汽车5
类甲
乙
轮船3
共有6+5+3=14种走法.
例2.用红黄蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号,每次可以挂 一面或二面或3三面,并且不同的顺序表示不同的信号,共可表 示多少种不同的信号?
解:N=P31 + P32 +P33 =15种不同的信号
例3.在3000到8000之间,有多少个没有重复数字的奇数? 析:题意中出现的数字是一个四位数,其限制条件是首位是3~7 之间的整数,末位是奇数的各位数上数字均不同. 完成四位奇 数必须分二类:①首位是3~7的奇数; ②首位是3~7的偶数
沪教版(上海)数学高三上册-1 排列课件
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2.全排列:当 n m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列.
全排列数：A
n n
n
(n
1)
(n
2)
21 n!（叫做 n 的阶乘）
注:规定 0! 1
A53
5
43
5
43 21
21
5
5!
3!
3.公式变形: Anm n(n 1) (n m 1)
2.若 Anm 17 16 15 5 4 ，
则 3.
n _1_7__, m _1__4_ .
5×6×7×8 用排列数符号表示（
A84
）
4.11×12×13×14×…×20 用排列数符号表示为A10 20
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例2 某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每队 要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多 少场比赛？
练习2 ：从4个不同的元素中取出3个元素的排 列数,记为
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从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
呢？ 呢？
A3 5 4(5 31) 5
排列数公式 Anm n (n1) (n 2) (n m 1)
1.排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因 数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1, 共有m个因数．
n (n 1) 2 1
沪教版(上海)数学高三上册-16.3 加法原理 教案
教学设计课题：加法原理授课人：班级：教学目标：1、理解和掌握加法原理；2、理解加法原理和乘法原理的区别；3、培养学生的分类讨论能力和归纳能力教学重点：加法原理教学难点：加法原理和乘法原理的区别教学过程：一、复习回顾1、乘法原理2、排列与排列数二、新授引入：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题2：某校高中高二年级4个班级举行班级男、女篮球比赛（1）男队需要进行多少场比赛？女队呢？（1）男队需要进行多少场比赛？女队呢？加法原理定义：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m1 + m2 + ······ + mn辨析：分步与分类：物理中的串联电路与并联电路适应练习：1、从甲地去乙地可以乘火车,也可以乘汽车或轮船如果一天中火车有6班,汽车有5班,轮船有3班,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?2、某人从甲地经过乙地到丙地,从甲地到乙地可以乘火车或汽车,一天内火车有6班,汽车有5班,再从乙到丙需要乘轮船,每天有3班,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?3、用红,黄,蓝的小旗各一面挂在旗杆上作为信号每次可以挂1面,2面,3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少中不同的信号?例题讲解例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组。
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能够少于2人，共有多少种不同的建组方案？（2）如果这个医疗小组中必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？例3如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。
(完整word版)沪教版三年级数学第一学期知识点
沪教版三年级数学第一学期知识点1、正方形组成的图形（边与边重合）叫多连块。
一连块有1种，二连块有1种，三连块有2种，四连块有5种，五连块何12种。
2、交换两个加数的位置，和不变。
在连加运算中，后面两个数先算，和不变。
交换两个因数的位置，积不变。
在连乘运算中，后面两个数先算，积不变。
在连减、加减混介运算中，括号前面是减号，添上括号里面要变号。
在连除、乘除混介运算中，扌舌号前面是除号，添上扌舌号•里而要变号。
在加减混介或乘除混合运算中，带着符号」起交换，得到的结果不变。
加减乘除混合运算中，先乘除后加减。
3、多位数乘一位数的竖式计算，从个位乘起，满几十就向前一位进几。
末尾有零的乘法①一位因数的书写位置与多位因数末尾的0前面的数字对齐；②多位因数末尾有几个0, 就在积的末尾上添几个64、公历年份是4的倍数的一般都是闰年：但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。
判断平闰年的方法：不是整百年的，看后两位，后两位除以4,能整除的是闰年，自余数的是平年。
是整百年的，看前两位，前两位除以4,能整除的是闰年，有余数的是平年。
5、一年有7个大月，4个小月，1个特殊月。
闰年2月29天，全年366天，平年2 月28天，全年365天。
一年分四个季度，每3个月一个季度。
一个星期有7天。
平年第一季度90天，闰年91天：第二季度91天：第三季度92天，第四季度92天。
6、 $位数除以-位数的方法：从高位除起，一位不够看两位，除到哪位商哪位，哪位不够用0来占位，余数要比除数小。
7、有余数除法的验算：先看余数，如果余数大于或等于除数，答案错，如果余数小于除数，再看商X除数+余数是否二被除数。
8、单价X数量二总价总价4■单价二数量总价一数量二单价9、1 km = 1000 m 1 m = 10 dm = 100 cm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm10、轴对称图形的特征：以对称轴为折线两边能完全叠合在一起。
沪教版高三上数学知识点
沪教版高三上数学知识点在高三上学期，数学作为理科中的一门基础学科，是高中学生们必不可少的一门课程。
对于沪教版高三上数学知识点的掌握，不仅对于高考有着至关重要的影响，也是学生们进入大学数学学习的基础。
本文将从几个重要的数学知识点展开论述。
一、函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是高三数学的重中之重。
在高三上学期，学生们需要掌握函数的概念、性质与图像。
其中，一次函数、二次函数和指数函数是教材中的重点内容。
学生们需要学会根据函数的性质和图像，解决实际问题，并能够运用函数的相关知识进行证明和计算。
二、三角函数三角函数在高三上学期也是一项重要的数学知识点。
学生们需要掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义和性质，了解三角函数的图像和周期性，掌握三角函数的基本变换和求值技巧。
此外，还需要学习三角函数的应用，如解三角方程、三角恒等式的证明等内容。
三、数列与数学归纳法数列是高中数学的另一个重要内容，也是高考中考察频率较高的知识点。
学生们需要了解等差数列、等比数列等基本概念和性质，并学会使用相关公式求解数列的各种问题。
数学归纳法作为数列证明的重要方法，也需要学生们掌握。
四、函数图像的绘制与复合函数在函数与方程的基础上，学生们还需学会绘制函数图像和分析函数的基本性质。
此外，复合函数也是高三上学期的重点内容之一。
学生们需要了解复合函数的定义和性质，能够进行复合函数的计算和应用。
五、微分与导数微分与导数是高中数学的难点和重点之一。
学生们需要掌握导数的定义和性质，了解导函数与原函数的关系，并学会使用导数计算函数的极值、最值和变化率等问题。
此外，还需掌握常见函数的导数公式和求导法则。
六、集合与排列组合在高三上学期的数学学习中，集合与排列组合也是一项重要知识点。
学生们需要了解集合的基本概念和运算法则，掌握集合的运算和集合关系的表示方法。
同时，还需要学习排列组合的基础知识，能够应用排列组合的原理解决实际问题。
总的来说，沪教版高三上数学知识点内容繁杂，需要综合掌握各个知识点才能在高考中取得较好的成绩。
高三数学《加法原理》文字素材 沪教版
加法原理
例1：张叔叔要从南京到杭州去开会，现在知道每天从南京到杭州有3趟不同的火车，5趟不同的汽车，还有2班不同的飞机。
那么，张叔叔在一天中从南京去杭州一共有多少种不同的走法？
模仿练习：
1、学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小红到图书馆借书时，图书馆有文艺书185
本，科技书240本，连环画210本。
那么，小红借一本书可以有多少种不同的借法？
2、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁，全部都搞乱了。
问：最多要试验
多少次，才能全部配好锁和全部的钥匙？
3、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
例2：体育课时，张老师要求我们每一位同学都去登台阶，每一个小朋友每一步只能登1级或2级台阶，请你算出有多少种不同的登法？
模仿练习：
1、有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？
2、小名要登上15级台阶，每步登一级或两级台阶，共有多少种不同的登法？
3、把一元钱换成角票，有几种换法？（人民币角币票有五角、二角、一角）。
沪教版上海数学高三上册-1二项式定理ppt课件
于是x6项的系数是
(－1)4
24
C140＝16×
10 9 8 7 43 21
＝3360
问题1： C0n＋C1n＋ C2n＋C3n＋ … ＋ C nr＋…＋ Cnn＝?
解：根据二项式定理，取a=1,b=1 (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn ∴Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：
(1+x)n=1+ C1n x+ C2nx2+…+ Crn xr +…+ Cnnxn
二项式定理：
(a＋b ) n ＝ C n0an＋C n 1an-1b＋C n 2an-2b2＋…＋C nran-rbr＋…＋ C n nbn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C nran-rbr ；其中 C nr称为第r +1项的二项式系数。
二项式定理
1、创设情境——引出问题
教 学
设
计
若今天是星期一，再过8100 天后的那一天是星期几？
8100＝（7＋1）100除以7的余数是多少？
（a b)n (n N )的展开式是什么？
问题1：
C0n＋C1n＋ C2n＋C3n＋ … ＋ C nr＋… ＋ Cnn＝?
问题2：
你能否判断(3 数项？
(a＋b)3＝(
a2 a＋b
)(
＝aa＋b ba)b(
b2 a＋b
)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3C 0 3 a3C
1 3
a2b
C
2 3
ab2
C
沪教版(上海)数学高三上册-1 二项式定理课件
小结： x5 5x4 10 x3 10 x2 5x 1
二项展开式是在 a bn 这个标准下而言的， 如 a bn展开时需把-b看成b代入二项式定理.
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 6.5 二 项 式定 理课件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 6.5 二 项 式定 理课件
例2
求
x
1 x
7
的展开式的第6项.
解：
(x
1 )7 x
C70
x7
(
1 x
)0
C71
x6
(
1 x
)1
C72
x5
(
1 x
)
2
C73
x
4
(
1 x
)3
C74
a bn 的展开式的第k+1项，而不是第k项；
（2）二项式 a bn 的展开式和 b an 的展开式
是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是
不能随便交换的.
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 6.5 二 项 式定 理课件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 6.5 二 项 式定 理课件
探究3 仿照上述过程,推导
的展开式
(a b)2 C20a2b0 C21ab C22a0b2 (a b)3 C30a3b0 C31a2b1 C32a1b2 C33a0b3
(a b)4 a4b0 a3b a2b2 ab3 a0b4
(a b)n ?
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沪教版数学高三上册-1组合演示PPT
沪教版数学高三上册-1组合PPT全文课 件[1] 【完美 课件】
组合
abc
abd acd
bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab
你发现ad了b bda dba 什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
沪教版数学高三上册-1组合PPT全文课 件[1] 【完美 课件】
例题分析
例4、甲，乙，丙，丁4个足球队举行单循环赛：
（1）共需比赛多少场？列出各场比赛的双方；
（2）冠亚军共有多少种可能？列出所有冠亚军情况。
解：（1）共需
C42
43 21
6
场比赛.分别为
甲、乙、丙、丁 乙、丙、丁
丙、丁
（2）冠亚军共有 A42 4 3 12 种可能,分别为
排列数公式（1）：
n个不同元素的全排列公式：
排列数公式（2）：
Anm
(n
n! m)!
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天 的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学 参加下午的活动，有多少种不同的选法？
乙
甲
甲
甲
乙
丙
丙
丙
乙
A32 6
沪教版数学高三上册-1组合PPT全文课 件[1] 【完美 课件】
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概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
沪教版(上海)数学高三上册-1计数问题课件
1、排列的定义 2、排列数的定义及公式 3、解决排列的实际问题
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
培育英才
复兴中华
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排 成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
思考: 如果将1，2，3，4都看作元素，并分别用字母a， b，c，d表示，那么上述排数问题的本质是什么？
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
问题1
问题2
从宁夏育才中学高二（1）， 从1，2，3，4这4个数中，
（2），（3）三个班级中选 每次取出3个排成一个三
两个班级参加植树活动，其 位数，共可得到多少个不
中1个班参加上午的活动,另1 同的三位数？
个班参加下午的活动 ,有多少
种不同的选派方法?
本质是：从3个不同的元素 中,任取2个,按照一定的顺序 排成一列,有多少种不同的 排法？
本质是：从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,有多少种不同 的排法？
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高三 上册-1 计数问 题课件
辨析: 下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中选2名学生开会,共有多少种选法? （2）10名学生中选2名做正、副组长,共有多少种选法? （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘,共有多少不同的结果? （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除,共有多少不同的结果? （5）一条从银川到包头的慢车线上有10个车站，共需多少种不同的
沪教版(上海)数学高三上册-1加法原理和乘法原理课件
因此“完成一件事”（从甲地到乙地）
共有3×2=6（种）不同的方法
分步乘法计数原理：一般地,做一件事，完成它需要分 成两个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2 不同的方 法．
注:分步──步步相乘.
沪教版（上海）数学高三上册-1加法 原理和 乘法原 理课件
因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以， 从酉阳到成都需乘一次火车再接着乘一次汽车就可
以了，共有 3 2 6 种不同的方法。
沪教版（上海）数学高ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上册-1加法 原理和 乘法原 理课件
通过此例抽象出数学模型: 把“从酉阳地到重庆”看成“完成一件
事” ，
完成这件必须分二个步骤:
第一个步骤有3种方法（从甲地到丙地）
思考：区别分类和分步的依据是什么？ 分类时各类方法都能独立完成这件事； 而分步时每一步都不能独立完成这件事。
沪教版（上海）数学高三上册-1加法 原理和 乘法原 理课件
沪教版（上海）数学高三上册-1加法 原理和 乘法原 理课件
练习1：学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种 汤菜。
（1）若你只吃一样菜，你有多少种选择？ （2）若要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制
沪教版（上海）数学高三上册-1加法 原理和 乘法原 理课件
例2：某厂生产的手机为了在款式上能适应更多 顾客的需求，为统一的机芯设计了2种不同的 外形，同时每种外形又有3种不同色彩的外壳， 该厂这种手机共可设计多少种不同的款式？
分析：确定一个手机的款式有2个步骤：第1步，确 定外形的种数；第2步，确定外壳的颜色的种数，外 形有2种，外壳有3种，根据乘法原点，总共有不同 的款式：
高中数学：16.3 加法原理 素材(沪教版高三上)
8、加法原理[问题一]某某去某某可以乘火车、乘飞机、乘汽车。
如果每天有18班火车，6班飞机，20班汽车。
问：一共有多少种不同的走法？想：从某某去某某有三类方法，即可以乘火车、可以乘飞机、可以乘汽车。
乘火车有18种不同的选择，乘飞机有6种选择，乘汽车有20种选择。
所以一共有18+6+20=44（种）不同的走法。
解：18+6+20=44（种）答：一共有44种不同的走法。
[试一试]1、从某某到某某可以乘飞机，坐火车，坐汽车。
在同一天里，从某某到某某飞机有3班，火车有4班，汽车有5班。
问：同一天里想从某某到某某共有多少种不同的走法？2、从甲城到乙城，可以乘飞机、可以乘火车，可以乘汽车还可以乘轮船。
如果每天飞机有4班，火车有8班，汽车有6班，轮船有2班。
那么一天中乘这些交通工具从甲城到乙城，共有多少种不同的走法？3、学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的故事书150本，不同的科技书200本，不同的文艺书100本。
那么小明借一本书可以有多少种不同的选法？[问题二]灯塔上最多可以上下同时挂两盏信号灯，现有红色、黄色和蓝色的信号灯各一盏，如果用信号灯表示不同的信号，最多能表示多少种不同的信号？（不同排列顺序表示不同信号）想：根据信号灯的数量不同，可以将信号分为两类：第一类是只挂一盏信号灯的信号，有红、黄、蓝3种；第二类是挂二盏信号灯的信号，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
解：3+6=9（种）答：最多能表示9种不同的信号。
[试一试]1、旗杆上最多可以同时挂两面信号旗，现有红、黄、蓝、绿四种颜色的信号旗各一面，最多能表示多少种不同的信号？（不同排列顺序表示不同信号）2、有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，在天平上能称出多少种不同重量的物体？3、有“5”、“3”、“8”三X数字卡片，从中选一X或二X，可以组成多少个不同的自然数？[问题三]如图，在4×4的方格图中，共有多少个正方形？想：设方格的边长为1，则在横线与纵线上，长为1的线段有4条；长为2的线段各有3条，长为3的线段各有2条，长为4的线段各有1条。
沪教版高三上册数学乘法原理素材三级第一学期
乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C 到B．而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论．解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名．首先，王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4=48个不相等的三位数．②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2=18个没有重复数字的三位数．解：由乘法原理①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．解：由1、2、3、4、5、6共可组成3×4×5×3=180个没有重复数字的四位奇数．例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．由乘法原理，共有9×4=36种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉．解：取出的总钱数是9×4-1=35种不同的情形．。
沪教版高三上册数学组合教案三级第一学期
16.4组合（1）一、教学内容分析本节内容是学生在学习了乘法原理、排列、排列数公式和加法原理以后的知识，学生已经掌握了排列问题，并且对顺序与排列的关系已经有了一个比较清晰的认识.因此关键是排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系，指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.二、教学目标设计1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别3.通过练习与训练体验并初步掌握组合数的计算公式三、教学重点及难点组合概念的理解和组合数公式；组合与排列的区别.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 复习引入 1．复习我们在前几节中学习了排列、排列数以及排列数公式以上由学生口答. 2．引入那么请问：平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有几条？ 这是一个排列问题 27P若改为：构成的线段有几条？则为 2P 27 ，其实亦可用另一种方法解决，这就是组合. 二、学习新课 1. 探究性质1. 组合定义： P16一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.【说明】：⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同.2.组合数定义：从n 个不同元素中取出m()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C表示.如：引入中的例子可表示为27C2P 27÷＝2227 P P ÷＝27C 这是为什么呢？因为 构成有向线段的问题可分成2步来完成： 第一步，先从7个点中选2个点出来，共有27C 种选法； 第二步，将选出的2个点做一个排列，有22 P 种次序；根据乘法原理，共有27C ·22 P ＝27 P 所以222727 P P C ＝·判断何为排列、组合问题： 利用书本P16～P17例题请学生判断·m mmnm n P P C ＝!m )!m n (n -！＝这个公式叫组合数公式3．组合数公式：mmmnm n P P C ＝!m )!m n (n -！＝ 如27C ＝ 47C ＝用计算器求 1226C 、 1426C 、 217C 、 1517C 可发现1226C ＝1426C 217C ＝1517C 由此猜想: mn nmn C －＝C用实际例子说明：比如要从50人中挑选4个出来参加迎春长跑的选择方案有450C ，就相当于挑46个人不参加长跑的选择方案4650C 一样.“取法”与“剩法”是“一 一对应”的.证明：∵)!m n (!m !n )]!m n (n [)!m n (!n C m n n -=---=-又 )!m n (!m !n C m n-=，∴mn nmnC C -= 当m ＝n 时，1C C 0n n n ==此性质作用：当2nm >时，计算mn C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化.4. 组合数性质： 1、mn nm n C －＝C2、m1n C +＝mn C +1-m nC )1m (≥可解释为：从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m nC 个．根据加法原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想. 证明：)]!1m (n [)!1m (!n )!m n (!m !n CC1m nmn---+-=+- )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+=得证.【说明】1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用.2．例题分析例1、(1)6x 312x 2x 12C C2＋＝-，求x(2)=+++++383736353433C C C C C C (3)=++-n 3n 13n 17n 2C C略解：(1) 6x 312x 2x 6x 3x 2x 22--=-+=-或 06x x 06x 5x 22=-+=--或2x 2x ,3x 3x ,2x ==-===经检验：或(2) 126C C C C C C C 49383736353444==+++++原式＝ (3)6n 213n 317n13n 3n 2n 17=⇒≤≤⇒⎩⎨⎧+≤≤-311912C C C C 11911218191112=+=+=+=∴原式 例2、应用题：有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1） 分给甲4本，且都不是数学书； 略解：（1）49C3．问题拓展 例3.题设同例2： （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.略解：（2）55510515C C C （3）3355510515P C C C（4）66713215C C C （5）3366713215P C C C三、课堂小结指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.四、作业布置 (略)七、教学设计说明在学习过程中，从排列问题引入，随即自然地过渡到组合问题.由此让学生对于排列与组合两者的异同有深刻理解，并能自如地进行判断.本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.在例题的设计上从最基本的组合数公式的利用，到简单的应用题，再到组合中较难的分组分配以及平均不平均分配问题的训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.。
沪教版上海数学高三上册-1计数原理Ⅱ-加法原理优质ppt课件
（2）如果从中选出3个数字，那么可以组成多少个公差不为零的等差数列？ （2）甲不能排在首末； (请你谈谈本节课所学的主要内容和思想方法)
分步乘法原理 *解题策略：1、判断是否需要分类，怎么分？
（3）可以组成多少个无重复数字且比240135大的数？ 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地前往乙地共有多少种不同的走法? 问一共可以表示出多少种不同的信号?
法,在第2类办法中有m2种不同的方法,······在第n类办法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有:N = m1+m2+······+mn种 不同的方法. *说明: (1)比较加法与乘法原理的区别; 分类 or 分步
(2)注意运用加法原理的前提: 各类之间独立
完成一件事情的方法可(分为n个类); 且每一类办法中的每一种方法(都可以完成)这件事情.
计数原理Ⅰ *乘法原理: 如果完成一件事需要n个步骤,第一步有m1种方法;
第二步有m2种方法;……第n步有mn种方法,那么完成 这一件事共计有:N= m1×m2×……×mn种不同的方法.
*说明: 运用乘法原理计数的前提是:完成这一件事必需要 有n个步骤,而且缺一步就不能完成.
*特点: （1）分步；（2）各步之间相关
*友情提醒: 分类最重要是不重不漏
*练习: 如果将7名运动员全体排成一列，在下列情况下，各 有多少种不同的排法？ （1）甲只能排在首末； （2）甲不能排在首末； 【“不能”——可用排除法】 （3）甲不能在排首,乙不能在排末.
【注意不要“过分”排除】
【注意不要“过分”排除】 且每一类办法中的每一种方法(都可以完成)这件事情.
沪教版(上海)数学高三上册-16.3 计数原理Ⅱ——加法原理(一) 教案
一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是：书P49 书P59分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步。
强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比。
两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。
两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。
2．例题分析例1、从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车或轮船，如果一天中火车有6班，汽车有5班，轮船有3班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2．用红、黄、蓝的小旗各一面挂上旗杆上表示信号，每次可以挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可表示多少种不同的信号？说明：乘法和加法原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于：加法原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；乘法原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事。
（三）巩固练习书P60 1、2、3、4（四）课堂小结本节课主要介绍了加法原理，并让学生理解两个计数原理的不同之处。
解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，关键是做到不重不漏。
六、课后笔记：在区分两个原理的教学过程中注意与生活实际的联系。
这样教学效果会更加好，学生会更容易理解“分类”、“分步”的具体意义。
第一课时的例子与练习不宜过难。
达到原理的理解和区分这一层次即可。
20 年月日。
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加法原理
例1：张叔叔要从南京到杭州去开会，现在知道每天从南京到杭州有3趟不同的火车，5趟不同的汽车，还有2班不同的飞机。
那么，张叔叔在一天中从南京去杭州一共有多少种不同的走法？
模仿练习：
1、学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小红到图书馆借书时，图书馆
有文艺书185本，科技书240本，连环画210本。
那么，小红借一本书可以有多少种不同的借法？
2、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁，全部都搞乱了。
问：
最多要试验多少次，才能全部配好锁和全部的钥匙？
3、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
例2：体育课时，张老师要求我们每一位同学都去登台阶，每一个小朋友每一步只能登1级或2级台阶，请你算出有多少种不同的登法？
模仿练习：
1、有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种
不同的取法？
2、小名要登上15级台阶，每步登一级或两级台阶，共有多少种不同的登法？
3、把一元钱换成角票，有几种换法？（人民币角币票有五角、二角、一角）。