2018全国高中数学联赛模拟试题13参考答案
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共24分）函数f(x)=4−x2的定义域是（）.A. [−2,2]B. (−2,2)C. [0,2]D. (0,2)下列命题中，正确的是（）.A. 若α⊂β，则α∩β=αB. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知tanα=21，则sin2α=（）.A. 51B. 52C. 54D. 53设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.A. 2B. −2C. 21D. −21在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.A. 815B. 16315C. 23D. 415二、填空题（每题5分，共20分）函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.A. 必有一个是直角B. 必有一个是锐角C. 必有一个是钝角D. 都是直角已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.三、解答题（共56分）（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。
（1）求sinB的值；（2）求△ABC的面积。
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
2018全国高中数学联赛模拟试题7及参考答案.docx
2018年全国高中数学联赛模拟试题（七）参考答案第6页（共7页）
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2018年全国高中数学联赛模拟试题（七）参考答案第7页（共7页）
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2018年全国高中数学联赛模拟试题（七）
第一试
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第二试
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2018年全国高中数学联赛模拟试题（七）参考答案
第一试
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第二试
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2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题+答案
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页） 第7页
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
……5 分
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） 第8页
当 0＜p＜1 时，由 x[1,e]，得 x 1 ≥0， x
故 f(x)p(x 1 )2lnx＜x 1 2lnx＜2，不合题意.
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内
高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品
2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2018年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题+答案
|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
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(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案
⎫ ⎩ ⎭⎪ + 2高中联赛模拟试题 1一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1．若 A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是．⎨ x - 2a ⎬2.已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是．2 c os 2⎛ 1 x - 1 ⎫- x 3.函数f ( x ) = ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为 ．x - 1V + V 4.已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体OSCD=V 四面体OSBC + V 四面体OSDA．5.在椭圆 x 2 = 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ，a b则椭圆的离心率为 ．6.平面上 n 个三角形最多把平面分成 部分．sin2π ⋅ sin 8π7.计算： 15 15 = ．cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos4π 5 5 58. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为 ．2y 2BB 1CC 1( )二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2+ 2 交于不同的两点B ,C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足 PC ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2x + cos x ．证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ 2n + 1⎪ 2n + 1⎪ 2n + 1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭p11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．k =1高中联赛模拟试题 1加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）已知a, b, c∈，且+ c = 0 ．证明：a = b = c = 0二、（本题满分 40 分）a2b2 b2c2 c2 a2 31)已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证明：++≥．abc + c4abc + a4abc + b4 2三、（本题满分 50 分）已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．四、（本题满分 50 分）在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．C 3 3高中联赛模拟试题 1解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 0 < a < 5或 -1 < a < 0 ．2解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．2.1 ．4C k C 3-k 解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3(k = 0,1, 2,3)．从而得出6P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1．k =04 3.(1, -1) ．解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对称中心为 (1, -1) ．x -1 x4.1．解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA5.5 -1 ．2解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90 ⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90 ⇒ AB ⊥ BF ' ．又 AB 2= a 2 + b 2 , BF ' 2= a 2 , AF ' 2= (a + c )2．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2，由此， ⇒ c = a6.3n 2 - 3n + 2 ．解析：设 n 个三角形最多把平面分成 S n 个部分． S 1 = 2 ．因为任意一个三角形与另一个三角形至多有 6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多 6(n - 1)1 12 2 0 0⎨ BB 1 CC 1 AB 1 AC 1 1 , ⎝ ⎭段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．7.-2 ． 解析：sin 2π ⋅ sin 8π8sin πsin 2π sin 8π4sin π ⎛cos 2π - cos 2π ⎫2⎛sin 3π - sin π ⎫ + 2sin π15 15515 15 5 5 3⎪ 5 5 ⎪5 cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos 4π= cos 8π⎝ ⎭ = cos 8π ⎝ ⎭ ． sin 8π5 5 555 58.1 +解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，⎫令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ∆ABC 的费马点⎪ 时取值最小． ⎪ ⎝ ⎭二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交点． 故设直线l : y = k ( x - 2)． 与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1） 由 ∆ > 0 ⇒ k > 4 + 2 6或k < 4 - 2）设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ⎧x 1 + x 2 = k , （3）令 λ =CP= = = 2 - x 1 2 - x 2⎩x 1 x 2 = 2k + 2.（4）⎧ ⎪⎪x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ⎨ (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x- 2)得： 0 0⎪ y = y .⎪⎩ 3 0⎧x = 4 - 4k ⎪⎪ 3(4 - k ) ⎨⇒ 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： ⎪ y = ⎪⎩-4k 4 - k y - 44 y < 4 或 4 < y < 4 G 的轨迹方程为：3 3⎛ 12x - 3y - 4 = 0 4 -y < 4或4 < y < 4 ． 3 3 ⎪1- ，故⎝ ⎭3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ⇒ sin x - cos x ≥ 2 x -1 ⇒ ⎛ x - π ⎫ ≥ 2x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤k π + π ≤ π ． π 4 ⎪ π 2n +1 4⎝ ⎭而 2 sin k π ≥ 2 ⎛ k π + π ⎫ -1 = 2k 12n + 1 π 2n +1 4 ⎪2n +1 2⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ (n + 1)π ⎫⎤ n +1 ⎛ 2k 1 ⎫ 3(n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪⎥ ≥ ∑ - ⎪ = ⎢⎣ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭⎥⎦ k =1 ⎝ 2n + 1 2 ⎭ 2 (2n +1)⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫⎛ (n + 1)π ⎫ n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪ ≥ ． ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ 4(2n +1)11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 =k-1 ．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1． k -1由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于 是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．k =1（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1． 假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b≡ 1(mod p )，矛盾． 因此， x 3 -1≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．p3p p3故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1≡ 3(mod p ) ．k =2 k -1 k =1 k =2 k -1p综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．k =1(( ) ( ) ( )) ( )t1一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分显然， a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为 0． 下面假设 a , b , c 均不为 0．易证明：若 a , b , c 均为非 0 + c = 0 ；（1）d ,e ,f 均为非 0 有理数，且+ f = 0 ，则 a = b = c ．d e f（1+ 3a = 0 ；（1）式两边同时乘以+ 33b= 0 ． 于是， b = c = 3a= k ．（2）c 3a 3b由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ⇒ a = b = c = 0 ．二、（本题满分 40 分）x 2 y 2 z 2令 a 2= yz ,b 2= zx , c 2= xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + x + yz y + zx z + xy．由柯西不等式得：⎛ x 2y 2 z 2 ⎫ 2+ + ⎪x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ⎝ x + yz y + zx z + xy ⎭x 2 y 2 z 2( x + y + z )2( x + y + z )2⇒ + + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1 由 ( x + y + z )2≥ 3( x y + yz + zx ) ⇒ x + y + z ≥t = x + y + z2 因为 f (t ) = (t + 1) + 2 ，在区间) 上单调递增，所以：t + 1 t + 1 331)原式左边 ≥ f (t ) ≥．2三、（本题满分 50 分）连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ． 设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .由 S ∆ABC ⋅ S ∆PBF ⋅ S ∆ABD ⋅ S ∆PBE = 1 ，得AC ⋅ BC sin α ⋅ PB ⋅ FB ⋅ AD ⋅ BD sin β ⋅ PB ⋅ EB = 1．S ∆PBF S ∆ABD S ∆PBE S ∆ABC PF ⋅ BF sin α AB ⋅ DB PE ⋅ BE sin β AB ⋅ C B 整理得 PB 2 ⋅ AC ⋅ AD = AB 2 ⋅ PE ⋅ PF ．在圆 Γ 中，由相交弦定理得：PB 2 ⋅ AG ⋅ AH = AB 2⋅ PG ⋅ PH ．（1） 设 AB = a , PB = b , BG = c > a , BH = d > b ，其中， a , c , d 为常数， b 未定．则（1）式 ⇔ b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ． 整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值． 从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．四、（本题满分 50 分）n 的最小值为 27． 若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”． 首先证明： n ≤ 27 ．反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连 接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2 A 28 以外的至少六座城市通航，城市 A 2A 28 与除去 A 1A 29 以外的至少五座城市通航．设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市 组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0 ≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8) ． 又 X i ⋂ X j = ∅(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线． 故 A ⋃ ( X 0 ⋃ X 1 ⋃ ⋃ X 9 ) ≥ 29 + 6 ⨯ 2 + 5 ⨯ 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ． 其次证明： n = 27 是可以的．事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)． 当 i = 0, 9 时， X i = 6 ；当 i = 1, 2, ,8 时， X i = 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ⋂ X j = ∅ ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ． 对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通 航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航， 与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航． 这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市A 1A 28 至少经过 27 次直航来连接．因此， n = 27 ．。
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛及解析
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题|z |=5，则z=_________. 2.设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=__________.3.函数f (x )=|sin2x +sin3x +sin4x |的最小正周期=_________.4.设点P 、Q 分别在函数y=2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=_________.5.从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=_________.6.在边长为1的长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=___________. 7.设H 是△ABC 的垂心，且3HA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +4HB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +5HC⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则cos∠AHB =_____________. 8.把1，2，…，n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1，2，…，n.例如：T 3=[123894765].设2018在T 100的第i 行第j 列，则（i ，j ）=___________.二、解答题是矩形，点E 、F 分别是线段AD 、BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D 、H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：∠HAB=3∠GAB.10.设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值；⑵求△AOB的外心P的轨迹方程.11.⑴求证：对于任意实数x、y、z都有x2+2y2+3z2≥√3(xy+yz+zx).⑵是否存在实数k>√3，使得对于任意实数x、y、z有x2+2y2+3z2≥k(xy+ yz+zx)恒成立？试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案1.4-3i 或-3+4i【解析】1. 设z=x +yi ，由题设得x +y =1且x 2+y 2=25.故（x,y ）=（4，-3）或（-3，4）.所以z=4-3i 或-3+4i . 故答案为：4-3i 或-3+4i 2.213【解析】2.由n 5 ≈<44×1010，得200<n <300.设n =200(1+x ).由(1+x )5=1+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5 ≈<4432=1.375，得x ≈<0.075，n ≈<215.再由n 5≡n (mod10)，得n=213.（注：“≈<”表示“小于约等于”.）故答案为：213 3.2π【解析】3.f (x )=|1+2cosx |⋅|sin3x |，其中|1+2cosx |的最小正周期是2π，|sin3x |的最小正周期是π3. 故答案为：2π4.1+ln (ln2)ln2√2【解析】4.设P （a,2a ），Q （b,log 2b ）使|PQ |最小.由y=2x 与y =log 2x 互为反函数，知点P 、Q 处的切线斜率都是1，直线PQ 的斜率都是-1.故2a=b =1ln2，|PQ |=|a −b |√2=1+ln (ln2)ln2√2. 故答案为：1+ln (ln2)ln2√2 5.115【解析】5.x 1<x 2<x 3的样本方差s 2=13∑(x i −x )23i=1≤1，当且仅当x 1、x 2、x 3是连续的正整数. 故P (s 2≤1)=8C 103=115.故答案为：115 6.4−√65【解析】6.当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点D 1的三个面相切.以D 1为原点，D 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设A （0，1，1），C 1（1，0，0），小球圆心P （r ，r ，r ），则P 到AC 1的距离|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ×AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC 1|=√23|1−2r |=r . 再由r<12，得r =4−√65.故答案为：4−√65 7.−√66【解析】7. 由题设得tanA3=tanB 4=tanC5=λ.再由tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC ，得λ=√5，tanC=√5.故cos∠AHC =−cosC =−√66.故答案为：−√668.（34，95）【解析】8. 设1≤k ≤50，则T 100的第k 行第k 列元素是1+4∑(101−2i )k−1i=1=1+4(101−k )(k −1).因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列. 故答案为：（34，95） 9.见解析【解析】9.由E 、F 分别是AD 、BC 的中点，得EF//AB ⊥AD.如图，设P 是E 关于l 的对称点，则EP//AG ⊥l ，故四边形AEPG 是等腰梯形.进而∠PAG=∠EGA =∠GAB ，∠APG =∠GEA ，从而AP ⊥HG.再由HP=DE=EA=PG ，得∠HAP =∠PAG =∠GAB .因此∠HAB=3∠GAB.10.（1）见解析（2）a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2【解析】10.⑴双曲线在M （x 0,y 0）处的切线方程为x 0xa 2−y 00b2=1，与渐近线方程联立，得A （x 1,y 1）=(ax 0a +y 0b ,bx 0a +y 0b)，B （x 2,y 2）=(a x 0a−y 0b,−b x 0a−y 0b).从而S=12|x 1y 2−x 2y 1|=|ab |是定值.⑵由⑴可设A （λa,λb ），B （aλ,−bλ），P （x ，y ），λ为非零常数. 由|AP |=|OP |=|BP |，得(x −λa )2+(y −λb )2=x 2+y 2=(x −a λ)2+(y +b λ)2.从而有ax+by =λ2(a 2+b 2)，ax −by =12λ(a 2+b 2).上述两式相乘，得P 的轨迹方程为a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2.11.（1）见解析 （2）见解析.【解析】11.⑴由均值不等式，可知x 22+3y 22≥√3xy ，x22+3z 22≥√3xz ，y22+3z 22≥√3yz .故有x 2+2y 2+3z 2≥√3(xy +yz +zx ).⑵x 2+2y 2+3z 2−k (xy +yz +zx )=(x −k 2y −k 2z )2+(2−k 24)y 2+(3−k24)z 2−(k22+k )yz .上式≥0恒成立，当且仅当2−k 24≥0且(k22+k )2≤4(2−k 24)(3−k24). 化简得|k |≤2√2且k 3+6k 2≤24.故存在k >√3满足要求.12.N =2C 10093【解析】12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x i 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有M +N =C 20183，∑x i (2017−x i )2018i=1=2M .当且仅当每个x i =1008或1009时，N 取得最小值C 20183−10092×1008=2C 10093.N =2C 10093是可以取到的，例如：把线段i →i ±jmod2018（1≤i ≤2018，1≤j ≤504）染成红色，其他线段染成蓝色.。
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
2018 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 1 a 3 sin 2 x cos 2 x 1 a
p d2 p ，所以 an （常数），即 {an } 为常数列． d 2d
三、解答题
13．【解析】（Ⅰ） f x 4cos x sin x
3 1 sin x cos x a 4cos x a 6 2 2
1
二、填空题
7． 1, 2 8．
4,5
4
2 2
【解析】因为圆 C 的方程可化为 x 4 y 1 ，所以圆 C 的圆心为 4, 0 ，半径为 1 ． 若 y kx 2 上至少存在一点 A x0 , kx0 2 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 则存在 x0 R ，使得 AC 1 1 2 成立，即 AC min 2 ．又因为 AC min 为点 C 到直线 y kx 2 的距离
1 ． 2
| sin x | | sin x | | x | | 2 cos x |
x x x x y x2 1 【解析】由已知 y ，所以 z ， 2 x 1 2 x x 1 xy 1 x x 1 1 1 1 1 x x2 x 1 1 3 1 1 4 因为 x 1 ，即 0 1 ，所以 1 2 1 ，故 1 z ． x 4 x x 3
8 4 4． 3 3
1 1 , 2 5
【解析】注意到两直线是平行的，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等，且平行于两直线的直线，其方程 为 x 2 y 1 0 ，即 M x0 , y0 满足 x0 2 y0 1 0 ． 而满足不等式 y0 x0 2 的点在直线 y x 2 的左上方． 问题转化为求射线 x0 2 y0 1 0 （ x0 而
新人版2018全国高中数学联赛模拟试题4及参考答案
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2018 年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案
第一试
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2 2018 年全国高中数学联赛模拟试题（四）参考答案
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2018 年全国高中数学联赛模拟试题（四）
第一试
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第二试
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最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
2018年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题+答案
△CDF ∼ △EBF
CP ∥ AE .
∠F DP = ∠F BA
CD DP =
BE AB
DF CD
=
⃝3
FB BE
DF DP =
F B AB
⃝3 10 ⃝4 15
⃝4
△AF B ∼ △P F D, ∠AF B = ∠P F D A F P
20
12.
20
a1, a2, · · · , an
√ a1
+
b + 5a a + b = 8.
ab
|(a + i)(2 + i)| =
b−i 2−i
a+b=
.
(2a
−
1)2
+
(a
+
2)2
=
( 2b
+
1 )2
+
( b
−
2 )2
⇒
(b
+
5a)(b
−
5a)
=
24.
5
5
b + 5a = 12
b + 5a = 6
b − 5a
b − 5a = 2
b − 5a = 4
+
4a3
+·Fra bibliotek··
+
k2ak+1
≥
√ a1
+
4a2
+
·
·
·
+
(k
+
1)2ak+1.
10 分 ⃝1
[√ ( a2
)2
+
(√a3)2
2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案
2高中联赛模拟试题 2一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）sin (α + 2β ) π π1. 已知 = 3 ，且 β ≠ ， α + β ≠ n π + (n , k ∈)，则 tan (α + β )= ．sin α 2 2tan β2. 在等差数列{a n } 中，若a11 a 10< -1 ，且前n 项和 S n 有最大值，则当 S n 取得最小正值时， n = ．3. 若 a +b + c = 1(a ,b , c∈)， 4a + 14b + 1 + 4c + 1 > m ，则m 的最大值为 ．4. 已知 ∆ABC 满足 AC = BC = 1 ， AB = 2x ( x > 0)．则 ∆ABC 的内切圆半径 r 的最大值为．5. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， G 为底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．则 BG 与 AD 所成角的余弦值为___ ___．6. 函数 f ( x ) 在 上有定义，且满足 f ( x ) 为偶函数， f ( x - 1) 为奇函数．则 f (2019) =．7. 将一色子先后抛掷三次，观察面向上的点数，三数之和为 5 的倍数的概率为．8. 已知复数 z 1 , z 2 满足 ( z 1 - i )( z 2 + i ) = 1 ．若 z 1 = ，则 z 2 的取值范围是．二、解答题（第9 小题16 分，第10、11 小题20 分，共56 分）x 2 y 29. 设P 为双曲线-= 1 上的任意一点，过点P 分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A,Ba2 b2两点．求□ABCD 的面积．10. 求方程x5 - x3 - x2 + 1= y2 的整数解的个数．11. 对于n ≥ 6 ，已知⎛1 -1⎫<1．求出满足3n + 4n ++(n + 2)n =(n + 3)n 的所有正整数n． n + 3 ⎪ 2⎝⎭n高中联赛模拟试题 2加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）设 ∆ABC 为等腰三角形， AB = AC , D 为边 AB 上一点．设 ∆BCD 的外接圆 Γ 在点 D 处的切线与 AC 交 于点 E ， F 为过点 E 作圆 Γ 的另外一条切线的切点．设 BF 与 CD 交于点 G ， AG 与 BC 交于点 H ． 证明： BH = 2HC ．二、（本题满分 40 分）约定： n 维向量 x = ( x 1 , x 2 , , x n )( x i ≥ 0,i = 1, 2, , n ) 的 p - 范数记为：x = x 1 + x 2 + + x n ( p ∈ ) pp p pp+现有两个向量 A = (a ,b , c ), B = (d , e ) ．若： ⎧⎪ A = B ⎨ A = B ．证明：A≤ B ．2 2⎪⎩4 433B三、（本题满分 50 分）设整数 n ≥ 4 ， a 1 , a 2 , , a n 为区间 (0, 2n ) 内两两不同的整数．证明：集合 A = {a 1 , a 2 , , a n } 存在所有元 素之和能被 2n 整除的子集．四、（本题满分 50 分）设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合{a , b , c } ， 其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少个这 样的循环三元集？5 5 5 2 11 2 2高中联赛模拟试题 2解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1. 2．sin (α + 2β ) + 1解析： tan (α + β ) = sin (α + β ) ⋅ cos β = sin (α + 2β ) + sin α = sin α = 2 ． tan β cos (α + β ) ⋅ sin β sin (α - 2β ) - sin α sin (α + 2β ) -1sin α2. 19．解析：由 S n 有最大值可知 a 1 > 0, d < 0 ，由a 11 a 10< -1 ，则 a 10 + a 11 < 0, a 11 < 0 < a 10 ，20(a 1 + a 20 ) ⇒ S == 10(a+ a ) < 0, S 19(a 1 + a19 ) = = 19a > 0 ， 202101119210再由 S 19 - S 1 = a 2 + a 3 ++ a 19 = 9(a 10 + a 11 ) < 0 ，知 S n 取最小正值时，n = 19 ．3. 2 + ．解析： (a + 1)(b + 1) > 1 + a + b ⇒ a + 1 + b + 1+ 2 1 + a + b > 2 + a + b 2 1+ a + b2 2⇒ (a + 1 +b + 1) > (1 +1 + a + b )⇒ a + 1 + b + 1 > 1 + ．反复利用上式，得：+4b + 1+ 4c + 1 > 1 + 4 (a + b ) + 1 + 4c + 1 > 1 + 1 + = 2 + 5当 a → 1,b → 0, c → 0 时，不等式左边趋于 2 + ．因此 2+ 为最大的下界．4.解析：转化为求函数 f (x ) = x (1 - x )在 (0,1) 内的最大值．+ x5.6解析：BG = CG =1 + ⎛ 1 ⎫2 2 + ⎛ ⎫ BC = 6 BC ⇒ cos ∠GBC = BC = 6 ．又AD //BC ，则 BG 与AD ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 所成角的余弦值为 6． 6 1 + a + b 1 + 4 (a + b + c )2 2BG 6． 2 1 1 ⎪ 2 2 ⎪1x - ⎭ x -1 ⎪ 6. 0．解析：由已知得 f ( x ) 关于 x 轴及点 (-1, 0) 对称．从而4 为 f ( x ) 的一个周期，且 f (-1) = 0 ．故f (2019) = f (-1) = 0 ．7.43 216解析：和为 5 的形如 3、1、1 与 2、2、1，共 6 种．和为 10 的形如 6、3、1 的有 6 种，形如 6、2、2 的有 3 种，形如 5、4、1 的有 6 种，形如 5、 3、2 的有 6 种，形如 4、3、3 的有 3 种，形如 4、4、2 的有 3 种．合计 27 种．和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10 种．8. ⎡2 -2, 2 2 ⎤ ．⎣ ⎦解析：设 z 2 = x + yi ( x , y∈) ．则z 1 = z z 2i⇒ z = + i1 - y + xi x + y + 1i x2 + ( y + 2)2 = 2 ．由 z 2 的几何意义，知其范围为⎡2 -2 ⎤ ． ⎣ ⎦二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 双曲线的两条渐近线方程分别为 y = b x , y = - bx ．a a设 A ⎛ x , b ⎝ a x ⎫, B ⎛x , - b ⎭ ⎝a x ⎫, P (x , y ) ．⎭ b由 OAPB 知， x = x 1 + x 2 , y = aa 2(x 1 - x 2 ) ．代入双曲方程化简得 x 1 x 2 = ．4于是， OAPB 的面积为 x ⎛ - b ⎫ ⎝ a2 ⎪ b x 1 x 2 = ax 1 x 2 = 1 ab ． 210. 原方程可化为 (x 3 - 1)(x 2 - 1) = y 2 ⇒ ( x - 1)2( x + 1)(x 2 + x + 1) = y 2 ．------------------------------（1）当 x = 0 时， y 2 = 1 ⇒ y = ±1 ； 当 x = ±1 时， y = 0 ．设 x , y 为方程的整数解，且 x ≠ ±1, 0 ．由（1）式， ( x -1)2| y 2⇒ ( x -1) | y ⇒ ( x + 1)(x 2+ x + 1) = ⎛ y ⎫⎝ ⎭ ．又因为 y 为整数，则x -1( x + 1)(x 2 + x + 1)为完全平方数．而 x 2 + x + 1 = x ( x + 1) + 1 ⇒ (x + 1, x 2 + x + 1) = 1 ，2 2b a 2n n4 5 n + 3 ⎪⎩ ⇒ x + 1, x 2 + x + 1均为完全平方数 ⇒ x + 1 ≥ 0( x ≠ 0, ±1) ⇒ x ≥ 2 ⇒ x 2 < x 2 + x + 1 < (x + 1)2，显然， x 2 + x +1不为完全平方数．综上，原方程只能有 4 组解： ( x , y ) = (0,1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) ．11. 当 n ≥ 6 时，由 ⎛1 - 1 ⎫ < 1 ⇒ ⎛ n + 2 ⎫ < 1 ⇒ (n + 3)n - (n +2)n > (n + 2)n ． n + 3 ⎪ 2 n + 3 ⎪2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭n nn 而 ⎛ 3 ⎫< ⎛ 4 ⎫< < ⎛ n + 2 ⎫ < 1，故： ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 2⎧ 4n - 3n > 3n ,⎪5n - 4n > 4n , ⎨ ⎪⎪(n + 3)n - (n + 2)n > (n + 2)n . 累加后3n + 4n + + (n + 2)n< (n + 3)n- 3n < (n + 3)n，此时无解． 直接检验 n = 1, 2, 3, 4, 5 ，知当 n = 2, 3 时等式成立．, ．⎩a4 4 4 4 4⎣ ⎦一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分在 ∆ABG , ∆ACG 中，由正弦定理得 BG = AG CG = AGsin ∠BAH sin ∠ABF sin ∠CAH sin ∠ACD 故 BH = sin ∠BAH = BG ⋅ sin ∠ABF = BG ⋅ sin ∠FCD = sin ∠DCB ⋅ sin ∠FCD = FD ⋅ CI ． CH sin ∠CAH CG ⋅ s in ∠ACD CG ⋅ s in ∠DBI sin ∠CBF ⋅ s in ∠DBI DI ⋅ C F 设 AC 与圆 Γ 的另一个交点为 I ．则四边形 CFID 为调和四边形． 于是， FI ⋅ CD = CF ⋅ ID ． 由托勒密定理得 FD ⋅ CI = FI ⋅ CD + CF ⋅ ID = 2ID ⋅ CF ． 从而， BH = 2HC ．二、（本题满分 40 分）等价于证明： 设 a , b , c , d , e 为非负数，且满足⎧a 2 + b 2 + c 2 = d 2 + e 2⎨+ b + c = d + e ， 证明： a 3 + b 3 + c 3 ≤ d 3 + e 3 ．----------------------------------------------------------------------------------------（1） 注意到 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 )2- (a 4 + b 4 + c 4 ) = (d 2 + e 2 )2- (d 4 + e 4 ) = 2d2e 2． 则 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 = d 2e 2 ． 又a 6 +b 6 +c 6 - 3a 2b 2c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )(a 4 + b 4 + c 4 - a 2b 2 - b 2c 2 - a 2c 2 ) = (d 2 +e 2 )(d 4 + e 4 - d 2e 2 )= d 6 + e 6（1）式两边平方得 a 6 + b 6 + c 6 + 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) ≤ d 6 + e 6 + 2d 3e 33⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2d 3e 3 ⇔ 2(a 3b 3 + b 3c 3 + c 3a 3 ) + 3a 2b 2c 2 ≤ 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 2 ---（2）3设 x = ab , y = bc , z = ca ．则（2） ⇔ 2(x 3 + y 3 + z 3 ) + 3xyz ≤ 2(x 2 + y 2 + z 2 )2 ． 由柯西不等式，知⎡2 x 3 + y 3 + z 3 2 + 3xyz ⎤ = ⎡x 2x 2 + yz + y 2 y 2 + zx 2+ z 2z 2 + xy ⎤ ⎣ () ⎦ ⎣ ( ) ( ) ( )⎦≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡(2x 2 + yz )2+ (2 y 2 + zx )2+ (2z 2 + xy )2⎤ ⎢⎣⎥⎦≤ (x 2 + y 2 + z 2 )⎡4(x 4 + y 4 + z 4 ) + 8( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 )⎤ = 4(x 2 + y 2 + z 2 )3． 从而，结论成立．C b = C a+ 2 C a = ∑ ∑ ．17 三、（本题满分 50 分）若 n ∉{a 1 , a 2 , , a n } ，则 2n 个整数 a 1 , a 2 , , a n , 2n - a 1 , 2n - a 2 , , 2n - a n ∈(0, 2n ) ．由抽屉原理，知其中 必有两个数相等． 不妨设 a i = 2n - a j ．因为 n ∉{a 1 , a 2 , , a n }，所以 i ≠j ． 故{a i , a j }满足题意，命题成立．若 n ∈{a 1 , a 2 , , a n }，不妨设 a n = n ．考虑 n - 1 (n - 1 ≥ 3)个整数 a 1 , a 2 , , a n -1 ，在其中任取三个数 a i < a j < a k ． 若 a k - a j , a j - a i 均能被 n 整除，则 a k - a i ≥ 2n ，与 a k ∈(0, 2n ) 矛盾． 因此， a 1 , a 2 , , a n -1 中至少存在两个数，其差不能被n 整除．不妨设 a 1 , a 2 之差不能被 n 整除．考察 n 个数： a 1 , a 2 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , , a 1 + a 2 + + a n -1 ． （1）若这 n 个数关于模 n 的余数互不相同，则其中必有一个数能被 n 整除．令这个数为 kn ． 当 k 为偶数时，结论成立；当 k 为奇数时，加上 a n 即构成所需要的子集．（2）若这 n 个数中有两个数关于模 n 同余，则其差能被 n 整除．因为 a 1 , a 2 不同余，所以这两个数之差 必为原集合 A 中若干数之和．由此归结为（1）中讨论．综上，命题得证．四、（本题满分 50 分）一个三元集{a , b , c } 不是循环的⇔ 有一支球队赢了另外两队 ⇔ 有一支球队输给了另外两队． 用 A 1 , A 2 ,, A 17 代表这 17 支球队 ． 假 设 球 队 A i 赢了 a i 支球队，但输给了 b i 支球队 ．显然， a i + b i = 1 6(i = 1, 2 , , 1) ．17171 ⎛ 17 17 ⎫于是，不循环的三元集的个数为 2ii =1 2ii =1 ∑ 2 ⎝ i =1 i∑ i =1 C b ⎪ ． i⎭a (a -1)b (b -1) 1 ⎡(a + b )2⎤ 对于每一个 i ， C 2 + C 2 = i i + i i≥ ⎢ i i - (a + b )⎥ = 56 ． a i b i 2 2 2 ⎢ 2 i i⎥则不循环的三元集的个数至少为 1 ⨯17 ⨯ 56 = 476 ⎣ ⎦2故循环三元集最多有 C 3- 476 = 204 个．当且仅当 a i = b i = 8(i = 1, 2, ,17) 时，循环三元集的个数最多为 204．2。