2020高二数学下学期期中试题 理

【2019最新】精选高二数学下学期期中试题 理数学试卷（理科）时量：120分钟 总分：150分 命题人：班级： 姓名： 考号：_____________________一．选择题（共12小题）1、复数的共轭复数是（ ）()i i 13-2、与的大小关系是（）dx e m x ⎰=1dx xn ⎰=11 n m A >. 无法确定n m B <.n m C =..D3、已知，计算得，，，，，由此推算：当时，有（ ）()()*∈++++=N n n n f 131211Λ()232=f ()24>f ()258>f ()316>f ()2732>f 2≥n 4、函数的减区间为（ ）()x x x f ln -=5、用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）()1,12131211>∈<-++++*n N n n n Λ 6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）.A 96种 120种 480种 720种.B .C .D7、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点．以上推理中（ ）()x f ()00='x f 0x x =()x f ()3x x f =0=x ()00='x f 0=x ()3x x f = .A 大前提错误 小前提错误 推理形式错误结论正确 .B .C .D8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为（ ）32219、的二项展开式中，的系数是（ ）81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2x10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ）.A 35种 24种 18种 9种.B .C .D11、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（ ）X ()X P ()4=X P12、已知,都是定义在上的函数，且，＜，，则的值为（ ）()()()1,0≠>=a a a x g x f x 且()x f '()x g ()x f ()x g '()()()()251111=--+g f g f a 二．填空题（共4小题）13、已知，则。

56101111⨯⨯⨯⨯=ΛmA =m ________ 14、已知，，，则。

C z z ∈21,121==z z 321=+z z =-21z z ________15、若曲线上存在垂直与轴的切线，则实数的取值范围是。

()x ax x f ln 2+=y a________16、若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是。

()322+-=x ae x f x a e a ________三．解答题（共6小题）17、已知函数在点处的切线方程为；()x b ax x f ln 2-=()()1,1f A 1=y （1）求实数，的值；a b （2）求函数的极值．()x f18、已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求的值．()n a 12+521516⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ()n a 12+a 19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院海洋学院医学院 经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列．ξξ20、一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元．（为自然对数的底数，是一个常数）x x -4xx x e e 1ln 22--e e （Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式()xf x（Ⅱ）当月产量在 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）[]e 2,121、已知数列满足，，试比较与的大小并证明．{}n a 11=-+n n a a 11=a n a a a a 23211111++++Λ22+n 22、已知，，．()()R x a a ax x x f ∈≤++=,22()xe x g =()()()x g x f x =Φ （Ⅰ）当时，求的单调区间；1=a ()x Φ（Ⅱ）求在是递减的，求实数的取值范围；()x Φ[)∞+∈,1x a（Ⅲ）是否存在实数，使的极大值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．a ()x Φ3a2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试数学答案一．选择题（共12小题）D A D B D C A A A C C B二．填空题（共4小题）13、7． 14、1． 15、 16．（0，）．()0,∞-三．解答题（共6小题）17．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2ax﹣，f（1）=a=1，f′（1）=2a﹣b=0①，将a=1代入2a﹣b=0，解得：b=2；。

5分（2）由（1）得：f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）=1．。

10分【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，求函数的单调区间、极值问题，是一道基础题．18．已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．【解答】解：由（x2+）5得，Tr+1=C5r（x2）5﹣r（）r=（）5﹣r•C5r•x．令Tr+1为常数项，则20﹣5r=0，∴r=4，∴常数项T5=C54×=16．又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．由题意得2n=16，∴n=4．由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C42a4=54，∴a=±．【点评】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质，解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式．19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0 1 2 3P【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，且列表如下：x （1，e） e （e，2e]f'（x）+ 0 ﹣f（x）增极大值f（e）减由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于难题．21．已知数列{an}满足an+1﹣an=1，a1=1，试比较与的大小并证明．【解答】解：≥．证明如下：由an+1﹣an=1，a1=1，知数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，∴通项公式为an=n．要证≥，只要证：1+++…+≥，下面用数学归纳证明：n=1时，1+=，结论成立，当n=2时，左边=1+=，结论成立；假设n=k时结论成立，即1+++…+≥，那么：n=k+1时，1+++…++…+＞++…+＞++…+＞+=，即n=k+1时，结论也成立．综上所述，n∈N，结论成立．【点评】本题是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式，是中档题．22．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，φ（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤1∴a≥1∵a≤2，1≤a≤2；（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）ea﹣2设μ（a）=（4﹣a）ea﹣2，μ′（a）=（3﹣a）ea﹣2＞0，∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）ea﹣2≠3，∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，属于中档题．。