定积分及其应用(学习资料)

因为 在 上是增函数， 在 上也是增函数，且 ，所以 在 上是增函数，因此不等式 等价于 ，所以 或 。
若 为真， 为假，所以 与 一真一假，
若 真 假，应有 所以 ；
若 假 真，应有 所以 ；
因此 的范围是 且 。
试题解析：依题意得 ，定义域是 ．
（1） ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
由于定义域是 ，所以函数的单调增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）令 ，得 ，由于 ， ， ，
所以 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
考点：定积分的计算利用导数研究函数的单调性与最值
14． 且 。
【解析】解：关于 的不等式 对任意 恒成立，即 在 上恒成立。由于 在 上是增函数，所以 ，要保证 在 上恒成立，只要 即可，所以 。
.
12．
【解析】
试题分析： ，所以 ， ，即 ，所以 ．
考点：积分运算．
13．（1）单调增区间是 ，单调递减区间是 ；（2）最大值为-6，最小值为 ；
【解析】
试题分析：（1）由题可知，由定积分的运算方法得出 ，对其求导，利用导数， ，函数递增， ，函数递减来判定单调区间；（2）区分好最值与极值的区别，求最值时，需把区间的端点值的函数值求出，再进行比较大小；
考点：1.二项式定理；2.定积分．
【思路点晴】利用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
A．－ B．－2C．－1D．－
2．若 ，则 ＝（）
A．－1B．－ C． D．1
3． （）
A． B． C． D．
4．设曲线 与直线 所围成的封闭区域的面积为 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B. C. D.
6．若 与 是 上的两条光滑曲线，则这两条曲线及 所围成的平面图形的面积为（ ）
对于③，f（x）=ln（ ﹣x）是定义域R上的奇函数，
且积分的上下限互为相反数，
所以定积分值为0，满足条件；
综上，∃a＞0，使 f（x）dx=0的函数是①③．
故选：B．
考点：特称命题．
8．A
【解析】
试题分析：由题，因为函数 为奇函数， 为偶函数，故
考点：定积分
9．
【解析】
试题分析：令 ,则 ,其通项公式为 , ,所以 ;直线为 ,由 解得 ,故直线 与曲线 所围成的封闭区域的面积为 .
②求出 （ex+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；
③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．
解：对于①，f（x）=xsinx，
∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，
∴ xsinxdx=（sinx﹣xcosx） =2sina﹣2acosa，
令2sina﹣2acosa=0，
10．
【解析】
试题分析： ，所以二项式 的通项公式为 ，令 得 ，所以展开式中含 项的系数是 ．
考点：定积分与二项式定理.
11．
【解析】
试题分析：因为 ，所以 .
考点：定积分的计算.
【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中 恰好为 的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为 ，所以有
A． B． C． D．
7．给出下列函数：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=ex+x；
③f（x）=ln（ ﹣x）；
∃a＞0，使 f（x）dx=0的函数是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
考点：1.分段函数；2.定积分的面积计算.
6．C
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可得 与 是 上的两条光滑曲线，则这两条曲线及 所围成的平面图形的面积为 ，故答案为C．
考点：定积分的几何意义．
7．B
【解析】
试题分析：①求出 f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使 f（x）dx=0成立；
考点：定积分的几何意义．
4．B
【解析】
试题分析：将曲线方程 与直线方程 联立方程组，解得 或 ．结合图形可知选项B正确．
考点：定积分的几何意义.
5．B
【解析】
试题分析：
根据定积分的面积计算当 时，与 轴所围成的面积就是正方形的面积 ，减四分之一个圆的面积 ，即 ，当 时， ，当 时， ，面积相加等于 .故选B.
14．（本小题满分12分）
已知 关于 的不等式 对任意 恒成立；
，不等式 成立。
若 为真， 为假，求 的取值范围。
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：
考点：定积分计算
2．B
【解析】
试题分析：设 ，即 ，则 ，所以 ， ．故选B．
考点：微积分基本定理．
3．C
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示,可知 ．
9．若 的展开式中各项的系数之和为 ，且常数项为 ，则直线 与曲线 所围成的封闭区域的面积为______.
10．若 ，则二项式 展开式中含 项的系数是．
11．定积分 ．
12．若函数 在 上可导， ，则 ．
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
13．（本小题10分） ．
（1）求 的单调区间；（2）求函数 在 上的最值．
绝密★启用前
2015-2016：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．若 ，则实数m的值为()
∴sina=acosa，
又cosa≠0，∴tana=a；
画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；
在（0， ）内，两函数的图象有交点，
即存在a＞0，使 f（x）dx=0成立，①满足条件；
对于②，f（x）=ex+x， （ex+x）dx=（ex+ x2） =ea﹣e﹣a；
令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；