2016-2017学年上学期期末考试 数学模拟试卷(A)(适用必修5 选修2-1)

2016-2017学年上学期期末考试数学模拟试卷（A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若△ABC 中，A ＜B ＜C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是（ ）．A ．tan A ＜tan CB ．tan A ＞tan CC ．sin A ＜sin CD ．cos A ＜cos C2．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14 等于（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．83．等差数列{a n }的公差d ＜0，且22111a a ，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是（ ）．A ．5B ．6C ．5或6D ．6或74．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若C （23，45）是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）．A ．（－103，－512） B ．（－125，－310） C ．（310，125）D ．（－125，310）5．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为（ ）．A ．60B ．－82C ．182D ．－967．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14＜0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）．A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题8．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 9．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）．A ．x 216＋y 212＝1B ．x 212＋y 216＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝110．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）．A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为（ ）．A ．24B ．23C ．33D ．3212．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）．A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，＋∞）D ．[3，＋∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．已知不等式x 2＋bx －b －34＞0的解集为R ，则b 的取值范围是________．14．在△ABC 中，A ＝30°，b ＝12，S △ABC ＝18，则sin A ＋sin B ＋sin Ca ＋b ＋c 的值为________．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．16．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；②“－12＜x ＜0”是“2x 2－5x －3＜0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，则a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；⑤ x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0．其中正确的命题有________．（把你认为正确的命题的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求a 2＋c 2的取值范围．18．{a n }，{b n }都是各项为正数的数列，对于任意n ∈N *，都有a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（1）试问{b n }是否为等差数列，为什么？ （2）若a 1＝1，b 1＝2，求S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n．19．已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆（x －1）2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p q 为真，非p 为真，求m 的取值范围．20．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋（y －m ）2＝9（m ∈R ），双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q －BP －C 的余弦值．22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年上学期期末考试 数学模拟试卷（A ）答案1．答案：C解析：利用正弦定理A ＜B ＜C ．所以a ＜c ，即2R sin A ＜2R sin C ．所以sin A ＜sin C ．2．答案：C解析：log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14＝log 4（a 1a 2·…·a 14）＝log 4（a 7·a 8）7＝log 447＝7．3．答案：C解析：由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0．所以a 6＝0．因为d ＜0，故a 5＞0，a 7＜0，所以n ＝5或6．4．答案：B解析：利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125＜a ＜－310．5．答案：B解析：sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．6．答案：B解析：a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝（a 1＋a 4＋…＋a 31）＋（d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ）＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82．7．答案：C解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确． 8．答案：B 9．答案：D解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1．∴双曲线的焦点为（0，4）、（0，－4），顶点坐标为（0，23）、（0，－23）．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1．10．答案：D解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2．而由双曲线x 22m 2－y23n 2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x ．11．答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），C 1（0，1，1）． ∴1DA ＝（1，0，1），DB ＝（1，1，0）， 1BC ＝（－1，0，1）． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则n ·1DA ＝0， n ·DB ＝0．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝（1，－1，－1）， ∴cos 〈n ，1BC 〉＝11BC BC ⋅n n ＝－23·2＝－63．∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63． ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33． 12．答案：B解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a ． ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ．∴c ≤3a ． 又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ． ∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3． 13．答案：（－3，－1）解析：由题知b 2－4·（－b －34）＜0，即b 2＋4b ＋3＜0，所以－3＜b ＜－1．14．答案：1125－23解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得18＝12×12×c sin30°．所以c ＝6． 再由余弦定理得a 2＝122＋62－2×6×12cos30°＝36（5－23）． 由正弦定理，得sin A ＋sin B ＋sin C a ＋b ＋c ＝sin A a ＝1265－23＝1125－23．15．答案：1155解析：如图，根据定义，d 1即为P 到焦点（1，0）的距离，∴d 1＋d 2的最小值也就是焦点到直线的距离．∴（d 1＋d 2）min ＝|1＋2×0－12|5＝1155．16．答案：①⑤解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3＜0，∴－12＜x ＜3．又－12＜x ＜0⇒－12＜x ＜3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；⑤中，Δ＝9－12＜0，故对 x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．17．解：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°．设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α．由0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°，得 －60°＜α＜60°．由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C ． 所以a 2＋c 2＝4（sin 2A ＋sin 2C ）＝4（1－cos2A 2＋1－cos2C2） ＝4－2（cos2A ＋cos2C ）＝4－2[cos （120°＋2α）＋cos （120°－2α）]＝4＋2cos2α．因为－60°＜α＜60°，所以－120°＜2α＜120°． 所以－12＜cos2α≤1．所以a 2＋c 2∈（3，6]．18．解：（1）b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，则a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1．因为a n ＞0，b n ＞0，n ∈N *．所以a n ＋1＝b n b n ＋1．所以n ≥2时，a n ＝b n －1b n ．又因为a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，则a n ＋a n ＋1＝2b 2n ．所以n ≥2时，b n －1b n ＋b n b n ＋1＝2b 2n ． 因为b n ＞0，所以2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2）． 所以{b n }是等差数列．（2）由（1）及a 1＝1，b 1＝2知：a 1＋a 2＝2b 21，所以a 2＝3．又a 2＝b 1b 2，所以3＝2·b 2，所以b 2＝322． 所以公差d ＝b 2－b 1＝22，所以b n ＝22（n ＋1）． 当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝12n （n ＋1）． 因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝(1)2n n +，n ∈N *． 所以1a n ＝2（1n －1n ＋1）．所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1) ＝2（1－1n ＋1）＝2n n ＋1． 19．解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2＜1，∴－2＋1＜m ＜2＋1．对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根，∴令f （x ）＝mx 2－x ＋m －4．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0.解得0＜m ＜4． 又∵非p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m ＜4，故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4．20．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），则G 的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为（0，5），半径为r ＝3． ∴|5a |a 2＋b2＝3 ⇒ a ＝3，b ＝4． ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．21．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ．（1）证明：依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1）， P （0，2，0），则DQ ＝（1，1，0），DC ＝（0，0，1），PQ ＝（1，－1，0）． 所以PQ DQ ⋅＝0，PQ DC ⋅＝0．即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ．故PQ ⊥平面DCQ ．又PQ ⊂平面PQDC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ．（2）依题意有B （1，0，1），CB ＝（1，0，0），BP ＝（－1，2，－1）．设n ＝（x ，y ，z ）是平面PBC 的法向量，则0,0,CB BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝（0，－1，－2）．设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝（1，1，1），所以cos 〈m ，n 〉＝－155．故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155．22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得（3＋4k 2）x 2＋8mkx ＋4（m 2－3）＝0，Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，则12221228,344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ 又y 1y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋mk （x 1＋x 2）＋m 2＝2223(4)34m k k -+，∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0）， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1．∴y 1y 2＋x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝0． ∴2222223(4)4(3)1640.343434m k m mk k k k --+++=+++∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0．解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0． 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k （x －2），直线过定点（2，0），与已知矛盾．当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k （x －27），直线过定点（27，0）．∴直线l 过定点，定点坐标为（27，0）．。