江苏省建陵高级中学高考数学一轮复习 椭圆的标准方程
江苏省建陵高级中学2020学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程(2)导学案(无答案)苏教版选修1-1
江苏省建陵高级中学2020学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程（2）导学案（无答案）苏教版选修1-1 【学习目标】1． 灵活应用椭圆的两个定义解题；2． 能推导椭圆的焦半径公式，并会用此公式解决问题。
【课前预习】1. 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点M(x 0,y 0)的左焦半径|MF 1|= ，右焦半径|MF 2|= 。
2. AB 是过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 1的弦，则⊿ABF 2的周长是 。
3. 设P 是椭圆上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 2F 1=75°，∠PF 1F 2=15°，则这个椭圆的离心率是 .4. 椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【课堂研讨】例1 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存在一点M ，使12F M F M ⋅u u u u r u u u u u r =0，其中1F 、2F 为左、右焦点，求椭圆的离心率的取值范围。
例3 已知椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|取得最小值，求这个最小值及M 的坐标。
【学后反思】课题：2.2.1椭圆的标准方程(2)检测案班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1． 椭圆131222=+y x 的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ）A ．43±B ．23±C ．22±D ．43± 2． 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 1，左准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .3． 点P （x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则x+y 的最大值= ；最小值= 。
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结范文)椭圆
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结范文)椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究]1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质[探究]2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆某216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：选D∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝ca＝22.2．已知F1，F2是椭圆某216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆某2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4解析：选A由题意知a2＝1m，b2＝1，且a＝2b，则1m＝4，得m＝14.4．若椭圆某216＋y2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．23B．25C．43D．45解析：选C把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝23，故焦距为2c＝43.5．设F1、F2分别是椭圆某225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2某5－6＝4.答案：4[例1](1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆某23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC是周长是()A．23B．6C．43D．12(2)(2022·山东高考)已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线某2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.某28＋y22＝1B.某212＋y26＝1C.某216＋y24＝1D.某220＋y25＝1[自主解答](1)根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.(2)由离心率为32得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±某，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．[答案](1)C(2)D———————————————————用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在某轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或某2b2＋y2a2＝1(a>b>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为m某2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在某轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又ca＝32，得c＝33，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为某236＋y29＝1.答案：某236＋y29＝12．已知F1，F2是椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|＋|PF2|＝2a，①|PF1|·|PF2|＝18，②|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3.答案：3[例2](2022·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：某2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．[自主解答](1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12 .(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3(某－c)．将其代入椭圆方程3某2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c.所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|in∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atco60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：选B根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆某2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线某＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F′，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为某29＋y25＝1,所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23[例3]如图，椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．[自主解答](1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得(2＋c)2＋1＝10，ca＝12，解得c＝1，a＝2.所以椭圆方程为某24＋y23＝1.(2)设A(某1，y1)，B(某2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与某轴垂直时，直线AB的方程为某＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝k某＋m(m≠0)，由y＝k某＋m，3某2＋4y2＝12消去y，整理得(3＋4k2)某2＋8km某＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，某1＋某2＝－8km3＋4k2，某1某2＝4m2－123＋4k2.所以线段AB的中点M－4km3＋4k2，3m3＋4k2.因为M在直线OP：y＝12某上，所以3m3＋4k2＝－2km3＋4k2.得m＝0(舍去)或k＝－32.此时方程①为3某2－3m某＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，某1＋某2＝m，某1某2＝m2－33.所以|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝396·12－m2.设点P到直线AB距离为d，则d＝|8－2m|32＋22＝2|m－4|13.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝36·(m－4)2(12－m2).其中m∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3某＋2y＋27－2＝0.———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2022·洛阳模拟)已知椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝k某－13与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|＝4269，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)∵由题意知ca＝22，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝2，∴椭圆的方程为某22＋y2＝1.由y＝k某－13，某22＋y2＝1，得(2k2＋1)某2－43k某－169＝0.Δ＝169k2－4(2k2＋1)某－169＝16k2＋649>0恒成立．设A(某1，y1)，B(某2，某2)，则某1＋某2＝4k3(2k2＋1)，某1某2＝－169(2k2＋1)，∴|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝1＋k2·(某1＋某2)2－4某1某2＝4(1＋k2)(9k2＋4)3(2k2＋1)＝4269，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.(2)证明：∵MA＝(某1，y1－1)，MB＝(某2，y2－1)，∴MA·MB＝某1某2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)某1某2－43k(某1＋某2)＋169＝－16(1＋k2)9(2k2＋1)－16k29(2k2＋1)＋169＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.1个规律——椭圆焦点位置与某2、y2系数之间的关系给出椭圆方程某2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在某轴上m>n>0；椭圆的焦点在y轴上0<m<n.1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在某轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例](2022北京高考·满分14分)已知曲线C：(5－m)某2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在某轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝k某＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在某轴上的椭圆―――――――――→椭圆的标准方程某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m的范围―→需建立关于m的不等式．由椭圆的标准方程―→――――――→确定a2，b2a2＝85－m，b2＝8m－2―――――――→建立关于m的不等式5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2解不等式组,得m的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m＝4；曲线C与y轴交于A，B与直线y＝k某＋4交于M，N；直线y＝1与直线BM交于G―――――――――――→把m＝4代入曲线C的方程并令某＝0，得A、B的坐标曲线C的方程某2＋2y2＝8，A(0,2)，B(0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A，G，N三点共线―――――――→利用斜率转化联立方程y＝k某＋4与某2＋2y2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M，N的坐标满足的条件―――――――――→写出BM的方程并令y＝1写出G的坐标――――――――――→写出kAN，kAG的表达式证明kAN－kAG＝0.[准确规范答题](1)曲线C是焦点在某轴上的椭圆，当且仅当5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2，(3分)解得72＜m＜5，所以m的取值范围是72，5.(4分)(2)当m＝4时，曲线C的方程为某2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．(5分)由y＝k某＋4，某2＋2y2＝8，得(1＋2k2)某2＋16k某＋24＝0.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)某24＞0，即k2＞32.(7分)设点M，N的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)，则y1＝k某1＋4，y2＝k某2＋4，某1＋某2＝－16k1＋2k2，某1某2＝241＋2k2.(8分)直线BM的方程为y＋2＝y1＋2某1某，点G的坐标为3某1y1＋2，1.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝y2－2某2，kAG＝－y1＋23某1，(11分)所以kAN－kAG＝y2－2某2＋y1＋23某1＝k某2＋2某2＋k某1＋63某1＝43k＋2(某1＋某2)某1某2＝43k＋2某－16k1＋2k2241＋2k2＝0.即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2022·上海高考)对于常数m，n，“mn>0”是“方程m某2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为当m<0，n<0时，方程m某2＋ny2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程m某2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时，m>0，n>0，mn>0.2．已知椭圆：某210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不对解析：选C由10－m>0，m－2>0，得2<m<10，由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D 两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．43解析：选D依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.4．(2022·汕尾模拟)已知P为椭圆某225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(某＋3)2＋y2＝1和圆(某－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．相交C．相离D．无法确定解析：选A如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|＝12|PF2|＝12(2a－|PF1|)＝a－12|PF1|＝R－r.6．(2022·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线某＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：选C根据题意直线PF2的倾斜角是π3，所以32a－c＝12|PF2|＝12|F1F2|＝12某2c，解得e＝34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与曲线某2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以22≤ca.又ca<1，所以22≤e<1.答案：22，18．(2022·江西高考)椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝ca＝55.答案：559．已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝________.解析：根据已知ca＝32，可得a2＝43c2，则b2＝13c2，故椭圆方程为3某24c2＋3y2c2＝1，即3某2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为某＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则根据AF＝3FB，得(c－某1，－y1)＝3(某2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－2cmm2＋4，y1y2＝－c23(m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝cmm2＋4，－3y22＝－c23(m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝12，从而k2＝2，k＝±2.又k>0，故k＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|＝453，|PF2|＝253.由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，即a＝5.由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，in∠PF1F2＝|PF2||PF1|＝12.可求出∠PF1F2＝π6，2c＝|PF1|·coπ6＝253，从而b2＝a2－c2＝103.所以所求椭圆方程为某25＋3y210＝1或3某210＋y25＝1.11．已知椭圆G：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝22，ca＝63，解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为某212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝某＋m.由y＝某＋m，某212＋y24＝1，得4某2＋6m某＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)(某1<某2)，AB中点为E(某0，y0)，则某0＝某1＋某22＝－3m4，y0＝某0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.解得m＝2.此时方程①为4某2＋12某＝0.解得某1＝－3，某2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：某－y＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.12．(2022·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在某轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝c2.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝ca＝255.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝12·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝c2·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为某220＋y24＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为某＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my －16＝0.设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝4mm2＋5，y1·y2＝－16m2＋5，又2BP＝(某1－2，y1)，2BQ＝(某2－2，y2)，所以2BP·2BQ＝(某1－2)(某2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－16(m2＋1)m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB2⊥QB2，得2BP·2BQ＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为某＋2y＋2＝0和某－2y＋2＝0.1．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1·PF2＝0，则e21＋e22(e1e2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22.又∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2a21＋2a22＝4c2.∴a1c2＋a2c2＝2，即1e21＋1e22＝2，即e21＋e22(e1e2)2＝2.答案：22．已知F1，F2为椭圆某2100＋y2b2＝1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为6433，求b的值．解析：(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝20，则|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，故(|PF1|·|PF2|)ma某＝100.(2)因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|in60°＝6433，所以|PF1|·|PF2|＝2563.①又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2＝400，|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|co60°，所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，则b＝a2－c2＝8.3．已知平面内曲线C上的动点到定点(2，0)和定直线某＝22的比等于22.(1)求该曲线C的方程；。
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆-第1课时 椭圆及其标准方程
知识拓展
1.,,三个量的关系:在椭圆的标准方程中,表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的
一半,可借助图形帮助记忆.如图，,,（都是正数）恰好是一个直角三角形的三边长,
是斜边,所以 > , > ,且2 = 2 + 2 .
2.椭圆的焦点三角形
（1）定义:由椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”.
△ 1 2 的周长为 1 + 2 + 1 2 = 2 + 2;△ 1 的周长为
1 + 2 + 1 + 2 = 4.
性质2: 4 2 = 1 2
2
= 1
2
+ 2
2
− 2 1 2 cos .
自测诊断
1.（多选题）已知在平面直角坐标系中,点 −3,0 , 3,0 ,点为一动点,且
= > ,故点的轨迹是椭圆,且焦距为 = ,B错误,C正确；当 = 时,点
的轨迹为线段,D错误.
2
2.椭圆
25
2
+
169
= 1的焦点坐标是() C
A. ±5,0 B. 0, ±5 C. 0, ±12 D. ±12,0
[解析]因为椭圆的焦点在轴上,且 = , = ,所以 = − = ,所以
, 的距离等于4,即 + = > = ,满足椭圆定义,所以
+
+ +
−
+ = 表示焦点在轴上,焦距为2,长轴长为4的椭圆,故
B正确；
C选项,由
+
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(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第47课 椭圆的方程及几何性质教师用书-人教版高
第47课椭圆的方程及几何性质[最新考纲]内容要求A B C中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质√1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>F1F2时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝F1F2时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<F1F2时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率e＝ca，且e∈(0,1)a ，b ，c的关系c 2＝a 2－b 21．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．x 24＋y 23＝1 [椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．(2015·某某高考改编)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.3 [由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m >0，故m ＝3.]4．(2016·全国卷Ⅰ改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．12 [如图，OB 为椭圆中心到l 的距离，则OA ·OF ＝AF ·OB ，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.]5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________．3 [直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，即a ＝2，此时，AB ＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.]椭圆的定义及应用(1)如图471所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM交于点P ，则点P 的轨迹是________．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.图471(1)椭圆 (2)3 [(1)由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)由定义，PF 1＋PF 2＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→， ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝4c 2， ∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝4c 2，∴2PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴PF 1·PF 2＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×2b 2＝9，因此b ＝3.][规律方法] (1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件． (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2的整体代换．[变式训练1] 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________. 【导学号：62172260】x 225＋y 216＝1 [设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10>C 1C 2，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.]求椭圆的标准方程(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为____________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．(1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 (2)x 29＋y 23＝1 [(1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9. ∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] [规律方法] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．[变式训练2] (1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(1)x 220＋y 24＝1 (2)x 2＋3y 22＝1 [(1)法一：椭圆y 225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 法二：设所求椭圆方程为y 225－k＋x 29－k＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k＋329－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由AF 1＝3F 1B ，可得AF →1＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋c，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得251－b29＋19b 2＝1， 得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝ 1.]椭圆的几何性质(1)(2016·某某高考)如图472，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图472(2)椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P ，Q ，E (3,0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为________.【导学号：62172261】(1)63 (2)6 [(1)将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．(2)设P 点坐标为(m ，n )，则m 236＋n 29＝1，所以PE ＝m －32＋n －02＝34m 2－6m ＋18＝34m －42＋6，因为－6≤m ≤6，所以PE 的最小值为6，所以EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP 2→－EP →·EQ →＝EP 2→，所以EP →·QP →的最小值为6.] [规律方法] 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．2．利用椭圆几何性质求值或X 围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[变式训练3] (1)已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点．若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为________．(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点，若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值X 围是________．(1)－5017 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 [易知椭圆的左焦点F (－4,0)．根据对称性可设P (t ，y 0)，Q (t ，－y 0)，则FP →＝(t ＋4，y 0)，FQ →＝(t ＋4，－y 0)，所以FP →·FQ →＝(t ＋4，y 0)·(t ＋4，－y 0)＝(t ＋4)2－y 20.又因为y 2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 225＝9－925t 2，所以FP →·FQ →＝(t ＋4)2－y 20＝t 2＋8t ＋16－9＋925t 2＝3425t2＋8t ＋7，所以当t ＝－5017时，FP →·FQ →取得最小值．(2)左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵AF ＋BF ＝4，∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32.[思想与方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错与防X]1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的X 围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．3．椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .课时分层训练(四十七)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·某某模拟)若方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示一个椭圆，则实数m 的取值X 围为______________．(2,4)∪(4,6) [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，解得2<m <6且m ≠4.]2．已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，则椭圆E 的方程为________．x 216＋y 212＝1 [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝3c 2.所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.]3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________.【导学号：62172262】43 [由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得BA ＋BF ＝CA ＋CF ＝2a ，所以△ABC 的周长为BA ＋BC ＋CA ＝BA ＋BF ＋CF ＋CA ＝(BA ＋BF )＋(CF ＋CA )＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.]4．(2017·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．57 [如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45. 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，∴F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57.]5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．椭圆 [点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故PA ＝PN ，又AM 是圆的半径， 所以PM ＋PN ＝PM ＋PA ＝AM ＝6>MN ， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．]6．椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则PF 1＝________.415 [因线段PF 1的中点M 在y 轴上，故可知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎪⎫4，±95，所以PF 1＝10－95＝415.] 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________. 【导学号：62172263】(－5,0) [因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3,0)，所以c ＝3.又b ＝4，所以a ＝b 2＋c 2＝5.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为________．2 [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，所以m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又因为直线l 与圆M 相切，所以c ＝1，所以a 2－3＝1，所以a ＝2.]9．若m ≠0，则椭圆x 2m 2＋1＋y 2m＝1的离心率的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [因为椭圆方程中m >0，m 2＋1≥2m >m (m >0)，所以a 2＝m 2＋1，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝m 2－m ＋1， e 2＝c 2a 2＝m 2－m ＋1m 2＋1＝1－m m 2＋1＝1－1m ＋1m ≥1－12＝12，所以22≤e <1.] 10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．6 [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2， ∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]二、解答题11．(2017·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 过点(0,2)，其焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，求△PF 1F 2的面积. 【导学号：62172264】[解] (1)由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)法一：由(1)可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4. 法二：由(1)可知e ＝53，设P (x 0，y 0)， 因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35， 代入方程得15＋y 204＝1，解得|y 0|＝45， 所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4. 12．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程； (2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当PM 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，某某数m 的取值X 围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，所以PM 2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12(－4≤x 0≤4)． 所以PM 2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为x 0＝4m .由题意知，当x 0＝4时，PM 2最小，所以4m ≥4，所以m ≥1.又点M (m,0)在椭圆长轴上，所以1≤m ≤4.B 组 能力提升(建议用时：15分钟) 1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为________．12 [因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2，因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.] 2．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．15 [PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点(图略)，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋6－32＋42＝15.]3．已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2＋2b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0， 则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3 2.又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△PAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92. 4．(2017·某某模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行且与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若椭圆C 1的短轴长为8，求PM →·PN →的最大值．[解] (1)由题意，得F (c,0)，A (0，b )，k AF ＝－b c ， ∵在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行，∴直线l ：y ＝－b c x ＋3－2，即bx ＋cy ＋(2－3)c ＝0. ∵直线l 与圆C 2相切，∴|2c |b 2＋c 2＝1，2c a＝1，e ＝22， (2)∵椭圆C 1的短轴长为8，∴2b ＝8，b ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，2ca ＝1，∴a ＝2c,2c 2＝b 2＋c 2， ∴c ＝b ＝4，a ＝42，∴椭圆方程是x 232＋y 216＝1，设P (x ，y )， ∴PM →·PN →＝(PC →2＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →)＝(PC 2→)2＋PC 2→·(C 2M →＋C 2N →)＋C 2M →·C 2N → ＝(PC 2→)2＋C 2M →·C 2N →＝x 2＋(y －3)2－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 216＋(y －3)2－1＝－y 2－6y ＋40＝－(y ＋3)2＋49，又y ∈[－4,4]，∴PM →·PN →的最大值是49.。
2025高考数学一轮复习-3.1.2-第2课时-椭圆的标准方程及性质的应用【课件】
知识点 1 点与椭圆的位置关系
点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔_a_x202_＋__by_202_＝__1_； 点 P 在椭圆内部⇔_a_x202_＋__by_202_<_1__； 点 P 在椭圆外部⇔_a_x202_＋__by_202_>_1__．
又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2 是方程的两个根，于是 x1＋x2＝8(42kk22＋－1k). 又 M 为 AB 的中点，∴x1＋2 x2＝4(42kk22＋－1k)＝2， 解得 k＝－12. 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2). 又 M(2，1)为 AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又 A，B 两点在椭圆上，则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴yx11－ －yx22＝－4(xy11＋＋xy22)＝－12，即 kAB＝－12. 又直线 AB 过点 M(2，1)， 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
1.若点 A(a，1)在椭圆x42＋y22＝1 的内部，则 a 的取值范围 是________．
(－ 2， 2) [∵点 A 在椭圆内部，∴a42＋12＜1， ∴a2＜2，∴－ 2＜a＜ 2.]
知识点 2 直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系：
C [由x2＋4y2＝4，消去 y 并整理得
D．±2
2x2－2mx＋m2－4＝0.
2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【课件】
预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
预测 出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
常数
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F
1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(3)
源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
2 2
+y =1
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
4
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的
高三数学理第一轮复习圆锥曲线—椭圆苏教版
高三数学理第一轮复习：圆锥曲线—椭圆苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线——椭圆二. 教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
三. 知识要点：1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|，即21212F F a PF PF >=+），这个动点的轨迹叫椭圆（这两个定点叫焦点）. ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。
2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c a 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1（3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，2221A B A B a b ==+3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+b y a x 和12222=+bx a y )0(>>b a 其中222b a c -=。
椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a c e =ab 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的一半）。
范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b y ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，【典型例题】例1. 已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -，直线4=y 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程;② 设点P 在椭圆上，且121=-PF PF ，求cos 21PF F∠.解：①134,2,4,1222=+∴=∴==x y a c a c . ②设n PF m PF ==21,则⎩⎨⎧=-=+14n m n m ⎪⎩⎪⎨⎧==+∴15421722mn n m 又2122cos 24PF F mn n m ∠-+= 53PF F cos 21=∠∴，例2. 求中心在原点，一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程.解：设椭圆方程 )0(12222>>=+b a b x a y ，),(11y x A ，),(22y x B ，因为弦AB 中点)21,21(-M ，所以12121,1x x y y +=+=-。
2020版江苏高考数学一轮复习教程学案第46课__椭圆的标准方程 Word版含解析
第46课 椭圆的标准方程1. 熟练掌握椭圆的定义、几何性质.2. 会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.3. 重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.1. 阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a 2－c 2＝b 2的合理性与必要性. 3.践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断1.已知下列方程：①x24＋y23＝1；②4x 2＋3y 2＝12；③2x 2＋2y 2＝5；④x212＋y232 ＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有②④.(填序号)解析：①的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；将②的方程4x 2＋3y 2＝12化为x23＋y24＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.2. 已知M(1，0)，N(0，1)，动点P 满足PM ＋PN ＝2，则点P 的轨迹是 椭圆 .3.已知椭圆x212＋y23＝1，其焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则PF 12PF 22解析：由题意得c ＝a2－b2＝3，所以F 2(3，0).设PF 1的中点为Q ，则OQ ∥PF 2，所以PF 2垂直于x 轴，故可设P(3，y 0)，所以912＋y203＝1，所以y 0＝±32，所以PF 2＝32.又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 1＝732.4. 已知方程x22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是(1，2).解析：由题意得2k －1>2－k>0，所以1<k<2.范例导航考向❶求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52. 解析：(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上，。
第59讲 椭圆的标准方程(原卷版)(新高考专用)-《考点解透》高考数学一轮复习必备
第59讲 椭圆的标准方程【基础知识回顾】 1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2 (大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为 ； (2)若a ＝c ，则集合P 为 ； (3)若a ＜c ，则集合P 为 ．2、焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝ ，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．1、设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102、若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )A ．3B ．2＋3C ．2D.3＋13、已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. m>-9B. m<25C. -9<m<25D. 8<m<254、过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是（ ）A ．2211510x y +=B ．2211015x y +=C ．221925x y +=D ．221105x y +=5、已知F 1、F 2为椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，且PF 1＝t·PF 2，则t 的值为__________．考向一 椭圆的定义及其应用例1、（1）一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）求过点A(2，0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．变式1、(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线（2）△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 变式2、.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求||PF 1·||PF 2，通过整体代入可求其面积等考向二 椭圆的标准方程例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为223；(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．变式1、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3).变式2、(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 (2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上、在y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能； ②设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a>b>0)或mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．1、【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．62、【2021年乙卷文科】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．23、【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1 C ．x 23+y 22=1 D ．x 22+y 2=14、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5、【2021年甲卷文科】已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．6、【2019年新课标3卷理科】设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.。
高三数学一轮复习 椭圆知识点总结
高三数学一轮复习椭圆部分知识点总结一、定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122a F F >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距()122F F c =.（1）()222210x y a b a b+=>>中,a x a b y b -≤≤-≤≤.（2）()222210y x a b a b+=>>中,b x b a y a -≤≤-≤≤.2.对称性()222210x y a b a b +=>>和()222210y x a b a b+=>>都关于x 轴对称、y 轴对称、原点对称.其中原点也成为椭圆的对称中心.3.顶点椭圆()222210x y a b a b+=>>中，顶点为长轴的左右端点()1,0A a -、()2,0A a 和短轴的两个端点()10,B b -和()20,B b .其中12A A 叫做椭圆的长轴、12B B 叫做椭圆的短轴.椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b .4.离心率椭圆的离心率c e a=,01e <<.并且0e →时椭圆越圆，1e →时椭圆越扁.圆的离心率0e =.（3）椭圆焦点三角形中，利用椭圆定义和余弦定理求12PF PF ⋅，进而求焦点三角形的面积.六、.椭圆第二定义（课外知识补充）平面内到定点距离与定直线距离比值等于常数()01e e <<的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的一条准线，常数e 为椭圆的离心率.由椭圆第二定义可推出以下结论：（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（在长轴端点处取得）.（2）椭圆上的点到原点距离的最大值为a ，最小值为b （在长轴与短轴端点处取得）.（3）椭圆短轴的一个端点与长轴的两端点所成角，是椭圆上所有点与长轴两端点所成角中的最大角.（4）椭圆短轴的一个端点与椭圆两焦点所成角，是椭圆上所有点与两焦点所成角中的最大角.七、.直线与椭圆位置关系的常规解决方法联立直线与椭圆方程构成的方程组，消元化简，然后利用韦达定理解决相关问题.八、弦长公式.1212线有两焦点，否则此等式无意义.2.联立方程组法通过联立直线与椭圆（双曲线）的方程组得到一元二次方程后，利用韦达定理（即根与系数关系）求解。
(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第四节椭圆实用课件文
3.[考点二]已知中心在原点，焦点坐标为(0，±2 6)的椭圆被直线
a42＋b32＝1， c2＝a2－b程为x82＋y62＝1.
[答案] (1)x32＋y22＝1 (2)x82＋y62＝1
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[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路
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能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
MAN 的中位线，则|DF1|＝12|AN|，同理|DF2|＝12|BN|，所以|AN|
＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定
义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.
答案：8
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2.[考点一](2018·浙江金丽衢联考)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝________. 解析：由题意得 a＝3，c＝ 7，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△ F2PF1 中，由余弦定理可得 cos∠F2PF1＝42＋22×2－4×22 72＝－12. 又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝23π. 答案：23π
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2(1．)焦椭点圆在的x标轴准上方的程椭圆的标准方程是__xa_22_＋__by_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22_＋__xb_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
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高三数学一轮复习 2.2.1 椭圆的标准方程
§2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．3．2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程1．椭圆标准方程的两种形式2．椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( × ) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × ) 3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( √ )题型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化成标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |， 所以动点M 的轨迹是椭圆．反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 答案 ②解析 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)．题型二 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (3)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210， 即a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(3)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，0＋⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.反思感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.题型三 椭圆中焦点三角形问题例3 (1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积；(2)已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．解 (1)由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. (2)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，又∵0°＜∠F 1PF 2＜180°， ∴∠F 1PF 2＝120°.反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知|F 1F 2|＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2＝|F 1F 2|， ∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则m ＋n ＝2a ＝4. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos60°)，解得mn ＝4. ∴12PF F S ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×4sin60°＝ 3.待定系数法求椭圆的标准方程典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与a >b >0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.方法二 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[素养评析] 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.2．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 圆与椭圆 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|为常数且|MF 1→|＋|MF 2→|>|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆． 3．若方程3x 2＋ky 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的可能取值为( ) A ．1B ．3C ．0D ．－2 答案 A解析 当k ＝1时，原方程可化为y 21＋x 213＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆，其他选项不合题意．4．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 18解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.1．椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决． 3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.。
江苏省建陵高级中学2020学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程(1)导学案(无答案)苏教版选修1-1
江苏省建陵高级中学2020学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程（1）导学案（无答案）苏教版选修1-1 【学习目标】1.理解并掌握椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导方法；2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法求椭圆的方程；【课前预习】1、椭圆定义的理解：2、椭圆的标准方程：3、椭圆的标准方程的推导：【课堂研讨】例1、（1）求椭圆14222=+y x 的焦距与焦点坐标；（2）求焦点为)0,3(),0,3(21F F -，且过点)516,3(-的椭圆的标准方程.课题：2.2.1椭圆的标准方程（1）班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1.椭圆3222=+y x 的焦距为2.若椭圆13222=+m y mx 的焦距为4，则m = 3.焦点为(0,-1)，(0,1)的椭圆方程可以是A.112222=++a y a x B. 112222=++a y a x C. 112222=-+a y a x D. 112222=+-a y a x4.椭圆12522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离 5.如果方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_______. 6.已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若12||||22=+B F A F ，则.____||=AB .【课后巩固】1.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点21,F F 的连线互相垂直，则21F PF ∆的面积__.2.椭圆12922=+y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若,4||1=PF 则_____,||2=PF .____21=∠PF F3.已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数166)(2--=x x x f 的零点，则椭圆的标准方程为__________________________________.4.线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，|AB |=5，点M 是线段AB 上一点，且|AM |=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.5.已知圆B ：16)1(22=++y x 的圆心为点B ，又有定点C A ),0,1(为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线与线段CB 的交点P 的轨迹方程.6.已知椭圆C 与椭圆373722=+y x 的焦点21,F F 相同，且椭圆C 过点)6,275(-. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若C P ∈，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积.。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§15.1 椭 圆
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/312021/7/312021/7/31Jul-2131-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/312021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021
高考数学
第十五章 圆锥曲线与方程
§15.1 椭 圆
知识清单
1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1、F2的① 距离的和 等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆. 符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),轨迹是椭圆. 当|PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)时,轨迹是② 线段F1F2 ; 当|PF1|+|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,轨迹不存在.
易知直线l'与直线OB之间的距离为 4 3,
13
故△OBC面积的最大值为 1 × 1 ×9 4 =3 . 3 (2)显然,直线l与y轴不垂直,2 故设直4线l的1 3方程为x=my+n,
由
x2 4
消y32去 x1并, 整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0,
x m y n
∴
5
≥4 b ,即b≥4 1,所以e2=
32 (4)2 5
≤ 3,
2
= c =2 a 2≤ b 2 ,又4 0<b 2e<1,3所以0<e
a2
a2
4
4
即椭圆E的离心率的取值范围是0<e≤ 3 .
2
答案 0<e≤ 3
2
江苏省建陵高级中学高考数学一轮复习 坐标系与参数方
江苏省建陵高级中学2014届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程导学案一：学习目标1、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
二：课前预习1、在极坐标系中,圆4sin p θ=的圆心的极坐标是______________.2、直线2,34x lt y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数,l 为常数)恒过定点_______________.3、已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.4、在极坐标系中,已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线 cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.三：课堂研讨1、求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.2、已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x （其中α为参数），M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O 点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线2C ，直线的方程为2)4sin(=+πρx ，直线与曲线2C 交备 注于,A B 两点。
(1)求曲线2C 的普通方程； (2)求线段AB 的长。
3、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l 的参数方程为3,1x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大.四：课后反思课堂检测——坐标系与参数方程 姓名：1、在极坐标系中,圆C 是以点C (2,-π6)为圆心、2为半径的圆则圆C 的极坐标方程为__________________.2、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,则r =_______.3、在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.4、在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.课外作业——坐标系与参数方程 姓名：1、已知圆的极坐标方程为:22cos()4πρθ=+,则圆心的极坐标为________.2、已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1,2(312x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),则直线l 被曲线C 截得的线段长度为___________. 3、在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)的右焦点,且与直线42,(3x tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数)平行的直线的普通方程.4、已知曲线C 的参数方程是cos 3sin x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数,0a >),直线l 的参数方程是31x ty t=+⎧⎨=--⎩(t 为参数),曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.(Ⅰ)求曲线C 普通方程;(Ⅱ)若点12324(,),(,),(,)33A B C ππρθρθρθ++在曲线C 上,求222111||||||OA OB OC ++的值.。
江苏省建陵高级中学高三数学一轮复习导学案椭圆的标准方程和几何性质(1)
1、点P到点F（1，0）的距离是 到直线x=9的距离的 ，,则点P轨迹
的方程是
2、已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，其焦距的取值范围
是
3、已知 ABC中，A(-4，0），C（4,0)，B在椭圆 上，则
的值=
4、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点，且△ 的周长为20，则A到左准线的距离和到左焦点的距离之比为.
2、若椭圆 的离心率为 ,则m的值是
3、椭圆 上一点Ｍ到左焦点Ｆ１的距离为２，Ｎ点是ＭＦ１的中点，
Ｏ是坐标原点，则｜ON｜＝
4、已知直线 与椭圆 的一个交点在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则m的值=
5、椭圆 上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点距离
为1，则P到右准线的距离=
6、已知椭圆的焦点为F1(—3，0），F2（3,0），且椭圆与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。
4、椭圆的第二定义：内到一个定点F和到一条定直线l（）的距离之比等于常数e 的点的轨迹叫椭圆，其中F叫点，l叫做相应F的线。中心在原点,焦点在x轴上椭圆的准线方程为，焦点在y轴上椭圆的准线方程为.
5、已知椭圆 上一点Ｍ，若点Ｍ到一个焦点的距离是３，则它到相应准线的距离为，到另一个焦点的距离为.
三：课堂研讨
例1、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的３倍,
且过点Ｐ（３，２），求椭圆的方程.
例2、设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点,
（1）若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1｜>｜PF2|，求 的值；
（2）当 为钝角时，求点P横坐标的取值范围;
（3）当Q在左准线上时，求 的最大值。
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江苏省建陵高级中学2014届高考数学一轮复习 椭圆的标准方程与几
何性质导学案 一：学习目标
会判断直线与椭圆的位置关系，能解决与弦有关的问题.
二：课前预习 1、由222222y kx m b x a y a b
=+⎧⎨+=⎩得'2'''2''0,4a x b x c b a c ++=∆=-， （1）∆ 0（ ）⇔直线与椭圆相交（切、离）；
（2）相交时，弦AB 中点坐标为 ；弦长AB =
2、椭圆22
1123
x y +=的焦点为12F F 和，点P 在椭圆上，若线段P 1F 的中点在y 轴上，则P 1F 是P 2F 的 倍.
3、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为512
-，A 为左顶点，F 是右
焦点，B 为短轴的一个端点，则AFB ∠=
4、椭圆22
12516
x y +=上点P 到直线x+2y+9=0的距离的最大值为 ，最小值为 。
5、当k 变化时，直线y=kx+1与椭圆22
15x y m
+=总有公共点，则m 的取值范围是
三：课堂研讨
例1、 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线x-y+1=0与椭圆 相交于点A 、B ，且OA OB ⊥,102AB =
,求椭圆的方程.
例2、已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与过点A （2，0），B （0，1）的直线
备 注
有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率为32
. （1）求椭圆的方程；（2）设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证2122AT AF AF =⋅.
例3、已知椭圆22
143
x y +=上有两点A 、B. （1）若AB 的中点为1(,1)2
P ,求直线A B 的方程；
（2）若A 、B 关于直线y=4x+m 对称，求实数m 的取值范围.
课堂检测——椭圆的标准方程和几何性质（2） 姓名：
1、设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作
圆M ，若过点P 2
(,0)a c
所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
2、直线y=x+1被椭圆22
24x y +=所截得的弦的中点坐标为
3、设AB 是过椭圆的右焦点的弦，则以AB 为直径的圆与椭圆的右准线的位置关系是
4、 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =． ⑴ 求椭圆的标准方程；
⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．
课外作业——椭圆的标准方程和几何性质（2） 姓名：
1、过22
1259
x y +=中心的弦为AB ，且2ABF ∆的面积为8，（2F 为右焦点），则直线AB 的方程为 2、若直线kx-y+2k=0与椭圆2
214
x y +=相交于A 、B 两点，P （2，0），则使APB ∆面积取得最大值时k=
3、已知两点M （-3，0），N （3，0），若直线上存在点P ，使10PM PN +=,则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①253
x =；②y=2x+3;③y=x+10;④y=-5x+1.其中是“A 型直线”的序号是
4、过点（0，2）且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 、Q.
（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，
是否存在常数k ，使得OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存
在，请说明理由.。